Aufgaben

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Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE
2. Jahrgang HUM
Lineare Optimierung *)
*) die Aufgaben sind den gängigen Lehrbüchern für die HUM entnommen und etwas umgeformt
2 A,B Ungleichung
Stellen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung grafisch dar:
2x + y ≥-1
Möglicher Lösungsweg: Modellieren und Operieren: Grafik mit TR, EXCEL, Geogebra o.a.
2 A,B Ungleichungssystem
Stellen Sie die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems grafisch dar:
2x + y ≥-1
x – 2y ≤ 2
x–3≤0
y ≤2
Möglicher Lösungsweg, Modellieren und Operieren: Grafik mit TR, EXCEL, Geogebra o.a.
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2. Jahrgang HUM
2 B Zielfunktion
Stellen Sie die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems grafisch dar
2x + y ≥-1
x – 2y ≤ 2
x–3≤0
y ≤2
a) Bestimmen Sie die maximale und die minimale Lösung für die Zielfunktion z = x + y
b) Bestätigen Sie Ihre Lösungen durch Berechnung mit Technologieeinsatz.
Lösung: Operieren
a)
b)Minimallösung Punkt B: x = 0, y = -1, z = -1
Maximale Lösung Punkt D: x = 3, y = 2, z = 5
Überprüfung mit EXCEL Solver, Maxima o.Ä.
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2. Jahrgang HUM
2 C,D Lösungsbereich
a) Welches Ungleichungssystem ist hier grafisch veranschaulicht?
1) y ≤ 3 und x < 4
2) 6x - y < 1 und -4 < y < 4 und 0 <x < 4
3) -6 < - 2x-3y und -4 < y < 4 und -4 <x < 4
b) Welche Zahlenpaare sind Elemente der Lösungsmenge?
1) (0/0)
2) (-1/2)
3) (1/2)
4) (-3/-3)
5) (-3/4)
6) (-3/1)
c) Wie viele Elemente enthält die Lösungsmenge? Begründen Sie Ihre Antwort.
Möglicher Lösungsweg:
a) Argumentieren 3) -6 < - 2x-3y , Ablesung k = -2/3 d= 2 y = -2x/3 + 2  3y = -2x + 6..ri!
und -4 < y < 4 und -4 <x < 4 legen die rote Fläche fest.
b) Interpretieren 1): (0/0); (-1/2): (-3/-3) ; (-3/1)
c) Argumentieren Unendlich viele Lösungspaare. Eine Gerade ist unendlich lang, daher ist
die Halbebene unbegrenzt und enthält somit unendlich viele Zahlenpaare d.h. Punkte.
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2. Jahrgang HUM
2 A,B,C,D Autofirma
Eine Autofirma erzeugt 3 Typen von Personenkraftwagen in zwei Fabriken F1 und F2.
Für die Herstellung eines PKW vom Typ I werden in F1 40 Stunden in F2 80 Stunden benötigt und für
Typ II in F1 60 St., in F2 60 St. Für Typ III werden in F1 20 und in F2 40 Stunden benötigt.
Insgesamt kann man in F1… 11 200 Stunden arbeiten, in F2… 17 600 Stunden.
Die Firma stellt im Monat insgesamt 300 PKW her.
Vom Typ I können höchstens 120, vom Typ II höchstens 100 produziert werden.
Der Gewinn je PKW beträgt bei I € 4.000,- bei II € 5.000,- und bei III € 2.000,-.
Man möchte einen optimalen Gewinn erzielen.
a) Erklären Sie Ihre Überlegungen, wie die Gleichungen oder Ungleichungen aufzustellen sind, wenn
Sie die Aufgabe lösen wollen.
b) Schätzen Sie über eine rasche Skizze ab, welches Ergebnis Sie ungefähr erwarten.
c) Überprüfen Sie Ihre Schätzung mit Technologieeinsatz. (Excel-Solver, Maxima o.Ä.)
Möglicher Lösungsweg:
a) Modellieren und Argumentieren
1. Ordnen in Tabelle
Typ
F1
F2
Menge
Gewinn in Euro
A
40
80
x
4 000
B
60
60
y
5 000
C
20
40
300-x-y
2 000
ges
11200
17600
300
Max!
2.Gleichungen und Ungleichungen aufstellen
Lösungsbereich:
40x+60y + 20 (300-x-y) ≤ 11200
80x + 60y + 40(300-x-y) ≤ 17600
300-x-y ≥ 80
x ≤ 120
y ≤ 100
x≥0
y≥0
Ziel : Z = 4 000 x + 5 000 y + 2 000 (300 - x - y)  Maximum
b) Operieren, Interpretieren: Skizze erstellen und ungefähre Lösung ablesen
x = 100 und y = ca. 80
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2. Jahrgang HUM
c) Operieren und Technologieeinsatz hier: Maxima
2 A,B,C, D Tierzüchter
In einem Tierzuchtunternehmen stehen 2 Sorten von Futtermittel A, B zur Verfügung, die 3
Nährstoffe N1, N2, N3 enthalten. Der Anteil von N1 in A beträgt 2%, in B 1% pro Mengeneinheit. Der
Anteil von N2 in A beträgt 4%, in B 5%. Der Anteil von N3 beträgt in A 1% und in B 2%. Eine
Mischung aus den zwei Futtermitteln soll mindestens 8 Mengeneinheiten (ME) des ersten, 34 ME
des zweiten und 10 ME des 3. Nährstoffes enthalten. Es ist zu ermitteln, wie viel ME von jedem
Futtermittel zu verwenden sind, damit die Kosten dafür möglichst gering sind. A kostet 30 GE und B
50 GE.
a) Erklären Sie Ihre Überlegungen, wie die Gleichungen oder Ungleichungen aufzustellen sind, wenn
Sie die Aufgabe lösen wollen.
b) Schätzen Sie über eine rasche Skizze ab, welches Ergebnis Sie ungefähr erwarten.
c) Überprüfen Sie die geschätzte Lösung mit Einsatz von Technologie.
Lösung:
a) Modellieren, Argumentieren
1. In Tabelle ordnen
Menge
N1
N2
N3
GE
A:
x
2%
0,02
4%
0,04
1%
0,01
30
B:
y
1%
0,01
5%
0,05
2%
0,02
50
8 ME
34 ME
10 ME
min!
Gesamt
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2. Ungleichungen und Gleichungen aufstellen :
Ziel: z=30x+50y  min
1. 0,02x + 0,01y ≥8
2. 0,04 x + 0,05y ≥ 34
3. 0,01 x + 0,02 y ≥ 10
b) Abschätzen aus der Skizze: Operieren und interpretieren
x = 600, y = 200, Z = 28 000
c) Operieren und Technologieeinsatz (hier Maxima)
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2 C,D Fluglinie
Eine kleine Fluglinie erhält von einem Reiseunternehmen den Auftrag, für ein
Urlaubsprogramm täglich mindestens 700 Personen sowie zusätzlich min. 12 000 kg
Nutzlast zu befördern. Um diesen Auftrag zu erfüllen, muss die Fluglinie Flugzeuge mieten.
Zur Auswahl stehen 2 Typen:
Typ A kann höchstens 50 Personen sowie 1000 kg Nutzlast befördern.
Typ B kann höchstens 60 Personen sowie 800 kg Nutzlast befördern
Die Mietkosten betragen € 45.000 für das Flugzeug Typ A und € 50.000 für das Flugzeug Typ
B jeweils pro Maschine. Die folgende Skizze zeigt den mathematischen Sachverhalt.
Interpretieren und argumentieren Sie:
a) Wie viel von jedem Typ soll man mieten, wenn die Miete möglichst günstig sein soll?
Wie hoch ist die Miete?
b) Kann das Ziel der Kostenminimierung erreicht werden, wenn 10 Flugzeuge Typ A und 10
Flugzeuge Typ B zur Verfügung stehen?
c) Kann der Auftrag bewältigt werden, wenn nur 3 Flugzeuge Typ A und 10 Flugzeuge Typ B
zur Verfügung stehen?
d) Was ändert sich an der Lösung, wenn sich die Mietkosten vom Flugzeug Typ A von
€ 45.000,- auf € 35.000,- senken? Wie hoch sind die Mietkosten?
Möglicher Lösungsweg:
a) Aus der Grafik entnimmt man, dass es am besten wäre, wenn man 8 Flugzeuge vom Typ A
und 5 Flugzeuge vom Typ B mietet. € 610.000,b) Wenn man je 10 Flugzeuge anmietet, dann ist die Auslastung nicht optimal und die
Mietkosten sind zu hoch: € 950.000,c) Mit 3 Flugzeugen Typ A und 10 Flugzeugen Typ B kann der Auftrag nicht erfüllt werden.
Der Punkt (3/10) liegt außerhalb des Lösungsbereichs, das bedeutet, dass die geforderte
Menge der Personen oder der Nutzlast damit nicht transportiert werden kann.
d) Die Kostenfunktion verläuft durch die Änderung flacher, das bedeutet, dass nun die
optimalen Mietkosten mit 14 Flugzeugen nur des Typs A zu erreichen sind. € 490.000,-
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