Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM Lineare Optimierung *) *) die Aufgaben sind den gängigen Lehrbüchern für die HUM entnommen und etwas umgeformt 2 A,B Ungleichung Stellen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung grafisch dar: 2x + y ≥-1 Möglicher Lösungsweg: Modellieren und Operieren: Grafik mit TR, EXCEL, Geogebra o.a. 2 A,B Ungleichungssystem Stellen Sie die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems grafisch dar: 2x + y ≥-1 x – 2y ≤ 2 x–3≤0 y ≤2 Möglicher Lösungsweg, Modellieren und Operieren: Grafik mit TR, EXCEL, Geogebra o.a. 1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 2 B Zielfunktion Stellen Sie die Lösungsmenge des folgenden Ungleichungssystems grafisch dar 2x + y ≥-1 x – 2y ≤ 2 x–3≤0 y ≤2 a) Bestimmen Sie die maximale und die minimale Lösung für die Zielfunktion z = x + y b) Bestätigen Sie Ihre Lösungen durch Berechnung mit Technologieeinsatz. Lösung: Operieren a) b)Minimallösung Punkt B: x = 0, y = -1, z = -1 Maximale Lösung Punkt D: x = 3, y = 2, z = 5 Überprüfung mit EXCEL Solver, Maxima o.Ä. 2 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 2 C,D Lösungsbereich a) Welches Ungleichungssystem ist hier grafisch veranschaulicht? 1) y ≤ 3 und x < 4 2) 6x - y < 1 und -4 < y < 4 und 0 <x < 4 3) -6 < - 2x-3y und -4 < y < 4 und -4 <x < 4 b) Welche Zahlenpaare sind Elemente der Lösungsmenge? 1) (0/0) 2) (-1/2) 3) (1/2) 4) (-3/-3) 5) (-3/4) 6) (-3/1) c) Wie viele Elemente enthält die Lösungsmenge? Begründen Sie Ihre Antwort. Möglicher Lösungsweg: a) Argumentieren 3) -6 < - 2x-3y , Ablesung k = -2/3 d= 2 y = -2x/3 + 2 3y = -2x + 6..ri! und -4 < y < 4 und -4 <x < 4 legen die rote Fläche fest. b) Interpretieren 1): (0/0); (-1/2): (-3/-3) ; (-3/1) c) Argumentieren Unendlich viele Lösungspaare. Eine Gerade ist unendlich lang, daher ist die Halbebene unbegrenzt und enthält somit unendlich viele Zahlenpaare d.h. Punkte. 3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 2 A,B,C,D Autofirma Eine Autofirma erzeugt 3 Typen von Personenkraftwagen in zwei Fabriken F1 und F2. Für die Herstellung eines PKW vom Typ I werden in F1 40 Stunden in F2 80 Stunden benötigt und für Typ II in F1 60 St., in F2 60 St. Für Typ III werden in F1 20 und in F2 40 Stunden benötigt. Insgesamt kann man in F1… 11 200 Stunden arbeiten, in F2… 17 600 Stunden. Die Firma stellt im Monat insgesamt 300 PKW her. Vom Typ I können höchstens 120, vom Typ II höchstens 100 produziert werden. Der Gewinn je PKW beträgt bei I € 4.000,- bei II € 5.000,- und bei III € 2.000,-. Man möchte einen optimalen Gewinn erzielen. a) Erklären Sie Ihre Überlegungen, wie die Gleichungen oder Ungleichungen aufzustellen sind, wenn Sie die Aufgabe lösen wollen. b) Schätzen Sie über eine rasche Skizze ab, welches Ergebnis Sie ungefähr erwarten. c) Überprüfen Sie Ihre Schätzung mit Technologieeinsatz. (Excel-Solver, Maxima o.Ä.) Möglicher Lösungsweg: a) Modellieren und Argumentieren 1. Ordnen in Tabelle Typ F1 F2 Menge Gewinn in Euro A 40 80 x 4 000 B 60 60 y 5 000 C 20 40 300-x-y 2 000 ges 11200 17600 300 Max! 2.Gleichungen und Ungleichungen aufstellen Lösungsbereich: 40x+60y + 20 (300-x-y) ≤ 11200 80x + 60y + 40(300-x-y) ≤ 17600 300-x-y ≥ 80 x ≤ 120 y ≤ 100 x≥0 y≥0 Ziel : Z = 4 000 x + 5 000 y + 2 000 (300 - x - y) Maximum b) Operieren, Interpretieren: Skizze erstellen und ungefähre Lösung ablesen x = 100 und y = ca. 80 4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM c) Operieren und Technologieeinsatz hier: Maxima 2 A,B,C, D Tierzüchter In einem Tierzuchtunternehmen stehen 2 Sorten von Futtermittel A, B zur Verfügung, die 3 Nährstoffe N1, N2, N3 enthalten. Der Anteil von N1 in A beträgt 2%, in B 1% pro Mengeneinheit. Der Anteil von N2 in A beträgt 4%, in B 5%. Der Anteil von N3 beträgt in A 1% und in B 2%. Eine Mischung aus den zwei Futtermitteln soll mindestens 8 Mengeneinheiten (ME) des ersten, 34 ME des zweiten und 10 ME des 3. Nährstoffes enthalten. Es ist zu ermitteln, wie viel ME von jedem Futtermittel zu verwenden sind, damit die Kosten dafür möglichst gering sind. A kostet 30 GE und B 50 GE. a) Erklären Sie Ihre Überlegungen, wie die Gleichungen oder Ungleichungen aufzustellen sind, wenn Sie die Aufgabe lösen wollen. b) Schätzen Sie über eine rasche Skizze ab, welches Ergebnis Sie ungefähr erwarten. c) Überprüfen Sie die geschätzte Lösung mit Einsatz von Technologie. Lösung: a) Modellieren, Argumentieren 1. In Tabelle ordnen Menge N1 N2 N3 GE A: x 2% 0,02 4% 0,04 1% 0,01 30 B: y 1% 0,01 5% 0,05 2% 0,02 50 8 ME 34 ME 10 ME min! Gesamt 5 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 2. Ungleichungen und Gleichungen aufstellen : Ziel: z=30x+50y min 1. 0,02x + 0,01y ≥8 2. 0,04 x + 0,05y ≥ 34 3. 0,01 x + 0,02 y ≥ 10 b) Abschätzen aus der Skizze: Operieren und interpretieren x = 600, y = 200, Z = 28 000 c) Operieren und Technologieeinsatz (hier Maxima) 6 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 2 C,D Fluglinie Eine kleine Fluglinie erhält von einem Reiseunternehmen den Auftrag, für ein Urlaubsprogramm täglich mindestens 700 Personen sowie zusätzlich min. 12 000 kg Nutzlast zu befördern. Um diesen Auftrag zu erfüllen, muss die Fluglinie Flugzeuge mieten. Zur Auswahl stehen 2 Typen: Typ A kann höchstens 50 Personen sowie 1000 kg Nutzlast befördern. Typ B kann höchstens 60 Personen sowie 800 kg Nutzlast befördern Die Mietkosten betragen € 45.000 für das Flugzeug Typ A und € 50.000 für das Flugzeug Typ B jeweils pro Maschine. Die folgende Skizze zeigt den mathematischen Sachverhalt. Interpretieren und argumentieren Sie: a) Wie viel von jedem Typ soll man mieten, wenn die Miete möglichst günstig sein soll? Wie hoch ist die Miete? b) Kann das Ziel der Kostenminimierung erreicht werden, wenn 10 Flugzeuge Typ A und 10 Flugzeuge Typ B zur Verfügung stehen? c) Kann der Auftrag bewältigt werden, wenn nur 3 Flugzeuge Typ A und 10 Flugzeuge Typ B zur Verfügung stehen? d) Was ändert sich an der Lösung, wenn sich die Mietkosten vom Flugzeug Typ A von € 45.000,- auf € 35.000,- senken? Wie hoch sind die Mietkosten? Möglicher Lösungsweg: a) Aus der Grafik entnimmt man, dass es am besten wäre, wenn man 8 Flugzeuge vom Typ A und 5 Flugzeuge vom Typ B mietet. € 610.000,b) Wenn man je 10 Flugzeuge anmietet, dann ist die Auslastung nicht optimal und die Mietkosten sind zu hoch: € 950.000,c) Mit 3 Flugzeugen Typ A und 10 Flugzeugen Typ B kann der Auftrag nicht erfüllt werden. Der Punkt (3/10) liegt außerhalb des Lösungsbereichs, das bedeutet, dass die geforderte Menge der Personen oder der Nutzlast damit nicht transportiert werden kann. d) Die Kostenfunktion verläuft durch die Änderung flacher, das bedeutet, dass nun die optimalen Mietkosten mit 14 Flugzeugen nur des Typs A zu erreichen sind. € 490.000,- 7