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Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3-C Einheitskreis, Winkel- und Bogenmaß Ergänzen Sie die folgende Tabelle! Schätzen Sie die Ergebnisse mit Hilfe des Einheitskreises ab, ohne zu berechnen. Lösung Interpretieren: Schätzungen sind unterschiedlich, aber die ungefähre Größenordnung müsste stimmen. Einheitskreis zeichnen. Zum Abschätzen ist zu bedenken, dass der Umfang 6,28 = 2π Einheiten lang ist. 1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 C Winkelfunktionen am Einheitskreis abschätzen Die folgende Grafik stellt die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens am Einheitskreis dar. Schätzen Sie die benötigten Größen ungefähr aus dem Kreis ab und füllen Sie die Tabelle aus. Beachten Sie die Vorzeichen! Winkel α im Bogenmaß! sin α = 0,8 α= cos α = 0,6 α= α= 1,57 sin α= α = 3,5 tan α= tan α = 1 α= α= 5,25 cos α= Lösung, Interpretieren Diese Übung ist nur dann sinnvoll, wenn man schätzt! Daher wird es natürlich sehr unterschiedliche Ergebnisse geben. Werte auf 2 Stellen genau als Richtlinie für Ihre Schätzung sin α = 0,8 α = 0,93 cos α = 0,6 α = 0,93 α= 1,57 sin α= 1 α = 3,5 tan α= 0,37 tan α = 1 α=0,79 α= 5,25 cos α=0,51 2 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM Bei den Winkelfunktionen und Gleichungen mit Winkelfunktionen ist an Technologieeinsatz gedacht! 3 B,C,D Sinusfunktion a) Welche der abgebildeten Funktionen beschreibt eine Sinusfunktion: Grün, blau oder rot? Benennen Sie die wichtigsten Charakteristika, an der Sie die Sinusfunktion erkennen konnten. b) Kreuzen Sie die richtige Antwort an und kommentieren Sie Ihre Wahl! Richtig Falsch 1) Die Sinusfunktion ist für alle reellen Zahlen definiert. 2) Die Sinusfunktion ist für Werte zwischen -1 und +1 definiert. 3) Der Funktionswert einer Sinusfunktion kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen. c) Wie müsste man den Funktionsterm verändern, damit die Funktion zwischen -2 und +2 ihre maximale Höhe bzw. Tiefe hat (die Amplitude = 2)? Stellen Sie die richtige Funktion grafisch dar. i) ii) iii) iv) Lösung a) Interpretieren und argumentieren. Blaue Kurve: sie hat die Maxima bei y = 1, die Minima bei x = -1. Sie beginnt bei x = 0 mit dem Funktionswert 0 (sin 0 = 0). Eine Periode ist abgeschlossen bei 2π: sin (2π) = 0 Die rote Kurve …Cosinusfunktion, die grüne…Tangensfunktion. b) Argumentieren 1) Richtig, 2) Falsch: die Funktionswerte der Sinusfunktion liegen zwischen -1 und 1, nicht die Werte der Definitionsmenge. 3) Falsch: Der Funktionswert der Sinusfunktion kann nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen. c) Argumentieren und Operieren 3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A,B „Fadenpendel“ Eine glatte reibungsfreie Kugel an einer Schnur (Fadenpendel) wird + 5 cm ausgelenkt und losgelassen. Sie schwingt periodisch nach links und nach rechts (Siehe Skizze). Die Dauer für einen vollen Hin- und Rückgang beträgt T = 1,6 s. (T nennt man „Schwingungsdauer“ ). Die Abhängigkeit der Auslenkung x von der Zeit t wird durch eine Cosinusfunktion beschrieben: x(t) = a cos (bt) a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b und geben Sie die Funktionsgleichung an. b) Zeichnen Sie den Funktionsgrafen Lösung: a) Modellieren t = 0 x = 5 t = 0,4 s …Viertelschwingung x = 0 Beide einsetzen: 5 = a cos (0) a = 5 (man nennt das die Amplitude= höchste Auslenkung) 0 = a cos (b0,4) 1,57 = 0,4 b Funktionsgleichung: b = 3,93 x(t) = 5cos(3,93t) b) Operieren: Auslenkung des Fadenpendels im Laufe der Zeit: 4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 B,C Pendelschwingung Eine glatte Kugel an einer Schnur schwingt reibungsfrei (Fadenpendel). Die Auslenkung e aus der Ruhelage im Laufe der Zeit beschreibt dabei die folgende Funktionsgleichung: e (t) = 4 sin (3t) a) Stellen Sie die Funktion grafisch dar. b) Entnehmen Sie aus der Grafik ungefähre Werte: Wie groß ist die höchste Auslenkung aus der Ruhelage? Wann erreicht der Körper diese zum ersten Mal? c) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T = Zeit, die der Köper für einen vollen Hin- und Rückgang benötigt. Lösung: a) Operieren b) Interpretieren: Die höchste Auslenkung beträgt 4 cm und wird nach ca. 0,5 s erreicht. c) Operieren: Ein volle Periode ist bei einem Winkel von 2π erreicht 3 t = 2π t = 2,09 s 5 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 B,C Biorhythmus-Modell* Ganz allgemein versteht man unter dem Biorhythmus einen zeitlichen Zyklus, der durch die Natur vorgegeben ist. Es handelt sich um einen Forschungsbereich der Chronobiologie, die sich z.B. mit Wachen/Schlafen, Winterschlaf bei Tieren etc. beschäftigt. Wissenschaftlich konnte es bislang zwar nicht eindeutig nachgewiesen werden, aber die Theorie geht davon aus, dass auch unser Wohlbefinden (Emotion/seelischer Zustand), unsere körperliche Leistungsfähigkeit (physischer Zustand) und unsere Denkfähigkeit (intellektueller Zustand) einem zeitlichen Auf und Ab (Hoch = 100 Einheiten und Tief = -100 Einheiten) unterliegen. Dieser Zyklus beginnt mit unserer Geburt und folgt von diesem Zeitpunkt an, einem strengen zeitlichen Rhythmus. Die drei Zustände lassen sich nach dieser Theorie durch folgende Funktionen von t (in Tagen) beschreiben: 2 t yW (t ) 100 sin 23 2 t y L (t ) 100 cos 28 2 t y D (t ) 100 sin 33 a) Stellen Sie die Grafen dieser Funktionen dar. b) Interpretieren Sie die drei Grafen jeweils für einen vollen Zyklus, wenn für t = 0 der heutige Tag angenommen wird. i. ii. iii. iv. Wie lange dauern die einzelnen Zyklen? Wann ist man in einem emotionalen Hoch? Wann ist man physisch in einem ausgeglichenen Zustand? Wann hat man ein intellektuelles Tief? Lösung: a) Operieren Grafische Darstellung der drei Funktionen und daraus ablesen. Z. B W, L, D 120 100 y 1( t ) y 2( t ) 5 0 5 10 15 20 25 30 y 3( t ) 100 120 5 b) t int Tagen Interpretieren. W-Zyklus: ca. 23 Tage, L-Zyklus..ca. 28 Tage, D-Zyklus…ca 33 Tage Emotionales Hoch am 6. Tag ab heute, am 29. Tag am 7. Tag am 21 Tag ab heute ca. am 8.Tag i. ii. iii. iv. * BISTA-Aufgabe 2008 6 33 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM 3 A,B,C,D Wiener Riesenrad Ein Fahrgast steigt in die Gondel des Riesenrads in Wien an der tiefsten Stelle ein. Legen Sie den Koordinatenursprung in die Radnabe (siehe Bild). Nach 20 Minuten hat das Rad eine halbe Umdrehung gemacht und die Gondel befindet sich an der höchsten Stelle y = 30,5 m bezogen auf den Koordinatenursprung. wird . a) Geben Sie eine Funktionsgleichung y = f(t) an, die den periodischen Ablauf der Drehung beschreibt, wobei die Gondelhöhe als Funktion von der Zeit wiedergegeben werden soll. Die Gondel wird als punktförmig angenommen. b) Zu welchen Zeiten ist die Gondel in einer Höhe von H = 43,5 m über der Einstiegshöhe? Erklären Sie, warum man diese Frage grafisch über Schnittpunkte von 2 Funktionen lösen könnte. Welche Funktionen sind hier im Spiel? c) 20 Minuten benötigt man, um einen Halbkreis zu fahren und befindet sich dann in einer Höhe von H = 61 m über der Einstiegshöhe. Kann man sagen, dass man sich nach 5 Minuten in einer Höhe von H/4 = 15,25 m bezogen auf den Einstieg befindet? d) Berechnen Sie die Durchschnitts-Geschwindigkeit, mit der sich die Gondel bewegt. Lösung: a) Modellieren und Operieren mit Ursprung in der Radnabe und Auslenkung y Folgende Punkte sind gegeben: t = 0, y = -30,5 ; t = 20 Minuten, y = 30,5 Meter. Und ein Punkt auf dem Kreis. Es handelt sich um eine periodische Funktion, die Cosinusfunktion eignet sich, weil y = -30,5 bei t = 0 Daher: y = a cos (bt) -30,5 = a cos (0) a = -30,5 m 30,5 = a cos (20 b) cos (20b) =30,5 / -30,5 = -1 20b = π b = 0,157 Funktionsgleichung: y (t) = -30,5 cos (0,157t) 7 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 2. Jahrgang HUM b) Interpretieren und Operieren: Die Funktion y (t) wird mit der Funktion y = 43,5 - 30,5 = 13 geschnitten: z.B mit Geogebra Nach ca. 12 Minuten 49 Sekunden bei m Heben der Gondel und nach 27 Minuten und 13 Sekunden beim Senken befindet sich die Gondel 43,5 m über der Einstiegshöhe. c) Argumentieren aus der Grafik Tatsächliche Gondelhöhe bezogen auf Einstiegshöhe H =0: H (t) = -30,5 cos (0,157t)+30,5 Nach 5 Minuten: H(5) = -30,5 cos (0,157 5) + 30,5 = ca, 8,9 m über dem Einstieg. Die Höhe steigt zunächst langsamer, die 15,25 m erreicht man erst nach 6,67 Minuten. d) Operieren v = s / t = 2rπ / T = 61 π / 40 = 4,8 m / min = ca ¼ km / h ist die durchschnittliche Geschwindigkeit einer Gondel. 8
