Aufgaben

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Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE
3. Jahrgang HUM
Folgen und Reihen
Wichtig: Bildungsgesetze und Formeln einüben mit normalen Rechenaufgaben nach den
üblichen Lehrbuchaufgaben! Es ist laut BISTA nur die Kenntnis der Formeln wichtig. Der
Anwendungsbereich liegt bei der Finanzmathematik
3 B,C Eigenschaften von Folgen untersuchen
a) Berechnen Sie die ersten vier bis fünf Glieder der angegebenen Folge und untersuchen Sie, ob die Folge
monoton ist:
a1) an = 10 - n
a2) an = 6n - 2
a3) an = n² - 4n
a4) an = n³ - 0,5 n²
a5) an = 0,3n
a6) an = (-1/n)n
a7) an = (2n + 1)/3n
b) Interpretieren Sie anhand von jeweils einem Graphen, ob diese Folgen einen Grenzwert haben. Geben Sie
diesen im Falle an.
Lösung
a)
a1) fallend
=
1
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a2) steigend
a3) zuerst fallend bis 3, Glied, dann steigend
2
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a4) steigend
a5) fallend
a6) nicht monoton
a7) fallend
3
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b)
a1)
a2)
a3)
a4)
a5)
a6)
a7)
divergent
divergent
divergent
divergent
Grenzwert: 0
Grenzwert: 0
Grenzwert: 0,7
Geometrische Folgen und Reihen
3 A,B Helligkeit
Sterne werden nach ihrer scheinbaren Helligkeit in Größenklassen GK eingeteilt, die eine geometrische Folge bilden.
Ein Stern 1. GK ist dabei 100mal so hell wie ein Stern 6. GK.
Angenommen, ein Stern 6. GK hat die Helligkeit 1.
Stellen Sie die Formel für die Berechnung der Helligkeiten bei den unterschiedlichen Größenklassen auf.
Ermitteln Sie, wie hell dann Sterne 1., 2., 3., 4. und 5. GK sind. Runden Sie auf ganze Zahlen.
Lösung:
b1 = 100, b6 = 0,01 
1 = 100 · q5  q = 0,3981 …
bn = 100 · 0,398n
Helligkeitsfolge: <100| 40| 16|6|3|1>
3A,B Oktave
Wenn die Frequenz eines Tons verdoppelt wird, klingt er um eine Oktav höher. Bei der gleichschwebendtemperierten Stimmung von Musikinstrumenten wird eine Oktav in 12 Halbtöne eingeteilt, deren Frequenzen eine
geometrische Folge bilden.
Stellen Sie die Formel für die Berechnung der Frequenzen auf.
Berechnen Sie die Frequenzen aller Halbtöne zwischen a‘ (440 Hz) und a‘‘ (880 Hz). Runden Sie auf ganze Zahlen.
Oktave von a‘ auf a‘‘
a, ais, h, c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a‘‘ … 13 Elemente
b1 = 440, b13 = 880 = 440 · q 12  q = 1,059…
bn = 440 · 1,059n-1
Frequenzfolge: < 440; 466; 494; 523; 554; 587; 622; 659; 698; 740; 784; 830; 880 >
4
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3. Jahrgang HUM
3 A,B,C,D Firmenproduktion
Eine neugegründeten Firma in einem Entwicklungsland hatte im 1. Jahr mit einer Produktion von 80
Mengeneinheiten ME begonnen, von denen jede 21 Geldeinheiten (GE )kostet und war dann pro Jahr um 15 % des
jeweiligen Vorjahreswertes gestiegen.
a) Ermitteln Sie die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten der Firma im 8. Jahr?
b) Berechnen Sie den Gesamtwert der Produktion bis zum Ende des achten Jahres!
c) Stellen Sie eine allgemein gültige Gleichung für die Produktion im n-ten Jahr auf, die den folgenden Sachverhalt
beschreibt.
d) Die Formel P(n)  P(1)  0,93n1 beschreibt den jährlichen Produktionsverlauf einer weiteren Firma. Kann die
Firma ihre jährliche Produktion steigern? Begründen Sie ihre Entscheidung!
e) Firma A startet mit einer Produktion von 100 ME und einer jährlichen Steigerung von 10 %;
Firma B mit 150 ME und einer jährlichen Steigerung von 5 %.
Argumentieren Sie anhand einer graphischen Darstellung in welche Firma Sie langfristig investieren würden.
Lösung a)
b1  80 ME
q  1,15
b8  80  q 7  212,8  212ME
1,158  1
b) Lösung: s8  1680 
 23061,06GE
1,15  1
c) Lösung:
P(1) …….Produktion im ersten Jahr
P(n) ……Produktion nach n Jahren
p …..Prozentsatz der jährlichen Produktionssteigerung
P(n)  P(1)  (1  p) n1
d) Lösung: Steigerung nein, Verminderung um 7% weil 1 – 0,07 ist 0,93
e) Lösung Graphische Lösung mit Technologieeinsatz
Langfristig gesehen schneidet Firma A besser ab.
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