Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 3. Jahrgang HUM Folgen und Reihen Wichtig: Bildungsgesetze und Formeln einüben mit normalen Rechenaufgaben nach den üblichen Lehrbuchaufgaben! Es ist laut BISTA nur die Kenntnis der Formeln wichtig. Der Anwendungsbereich liegt bei der Finanzmathematik 3 B,C Eigenschaften von Folgen untersuchen a) Berechnen Sie die ersten vier bis fünf Glieder der angegebenen Folge und untersuchen Sie, ob die Folge monoton ist: a1) an = 10 - n a2) an = 6n - 2 a3) an = n² - 4n a4) an = n³ - 0,5 n² a5) an = 0,3n a6) an = (-1/n)n a7) an = (2n + 1)/3n b) Interpretieren Sie anhand von jeweils einem Graphen, ob diese Folgen einen Grenzwert haben. Geben Sie diesen im Falle an. Lösung a) a1) fallend = 1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 3. Jahrgang HUM a2) steigend a3) zuerst fallend bis 3, Glied, dann steigend 2 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 3. Jahrgang HUM a4) steigend a5) fallend a6) nicht monoton a7) fallend 3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 3. Jahrgang HUM b) a1) a2) a3) a4) a5) a6) a7) divergent divergent divergent divergent Grenzwert: 0 Grenzwert: 0 Grenzwert: 0,7 Geometrische Folgen und Reihen 3 A,B Helligkeit Sterne werden nach ihrer scheinbaren Helligkeit in Größenklassen GK eingeteilt, die eine geometrische Folge bilden. Ein Stern 1. GK ist dabei 100mal so hell wie ein Stern 6. GK. Angenommen, ein Stern 6. GK hat die Helligkeit 1. Stellen Sie die Formel für die Berechnung der Helligkeiten bei den unterschiedlichen Größenklassen auf. Ermitteln Sie, wie hell dann Sterne 1., 2., 3., 4. und 5. GK sind. Runden Sie auf ganze Zahlen. Lösung: b1 = 100, b6 = 0,01 1 = 100 · q5 q = 0,3981 … bn = 100 · 0,398n Helligkeitsfolge: <100| 40| 16|6|3|1> 3A,B Oktave Wenn die Frequenz eines Tons verdoppelt wird, klingt er um eine Oktav höher. Bei der gleichschwebendtemperierten Stimmung von Musikinstrumenten wird eine Oktav in 12 Halbtöne eingeteilt, deren Frequenzen eine geometrische Folge bilden. Stellen Sie die Formel für die Berechnung der Frequenzen auf. Berechnen Sie die Frequenzen aller Halbtöne zwischen a‘ (440 Hz) und a‘‘ (880 Hz). Runden Sie auf ganze Zahlen. Oktave von a‘ auf a‘‘ a, ais, h, c, cis, d, dis, e, f, fis, g, gis, a‘‘ … 13 Elemente b1 = 440, b13 = 880 = 440 · q 12 q = 1,059… bn = 440 · 1,059n-1 Frequenzfolge: < 440; 466; 494; 523; 554; 587; 622; 659; 698; 740; 784; 830; 880 > 4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE 3. Jahrgang HUM 3 A,B,C,D Firmenproduktion Eine neugegründeten Firma in einem Entwicklungsland hatte im 1. Jahr mit einer Produktion von 80 Mengeneinheiten ME begonnen, von denen jede 21 Geldeinheiten (GE )kostet und war dann pro Jahr um 15 % des jeweiligen Vorjahreswertes gestiegen. a) Ermitteln Sie die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten der Firma im 8. Jahr? b) Berechnen Sie den Gesamtwert der Produktion bis zum Ende des achten Jahres! c) Stellen Sie eine allgemein gültige Gleichung für die Produktion im n-ten Jahr auf, die den folgenden Sachverhalt beschreibt. d) Die Formel P(n) P(1) 0,93n1 beschreibt den jährlichen Produktionsverlauf einer weiteren Firma. Kann die Firma ihre jährliche Produktion steigern? Begründen Sie ihre Entscheidung! e) Firma A startet mit einer Produktion von 100 ME und einer jährlichen Steigerung von 10 %; Firma B mit 150 ME und einer jährlichen Steigerung von 5 %. Argumentieren Sie anhand einer graphischen Darstellung in welche Firma Sie langfristig investieren würden. Lösung a) b1 80 ME q 1,15 b8 80 q 7 212,8 212ME 1,158 1 b) Lösung: s8 1680 23061,06GE 1,15 1 c) Lösung: P(1) …….Produktion im ersten Jahr P(n) ……Produktion nach n Jahren p …..Prozentsatz der jährlichen Produktionssteigerung P(n) P(1) (1 p) n1 d) Lösung: Steigerung nein, Verminderung um 7% weil 1 – 0,07 ist 0,93 e) Lösung Graphische Lösung mit Technologieeinsatz Langfristig gesehen schneidet Firma A besser ab. 5