Aufgaben

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Aufgabenpool für angewandte Mathematik / Bundes-ARGE
2. Jahrgang HUM
2 A, D, Vermessungswinkel
a) Erklären Sie anhand einer geeigneten Skizze den Unterschied zwischen einem Höhenwinkel und
einem Tiefenwinkel.
b) Erklären Sie, was man unter dem Sehwinkel versteht
c) Finden Sie einen passenden Text zu dieser Skizze und erklären Sie, wie Sie diese Aufgabe lösen
können.
Lösung:
a) Argumentieren: Der Höhenwinkel wird von einer Waagrechten immer nach oben, der
Tiefenwinkel nach unten gemessen.
Höhenwinkel
Tiefenwinkel
b) Argumentieren: Sehwinkel „spannt“ das Objekt ein:
c) Transferieren, Argumentieren
Text: Von einem erhöhten Beobachtungspunkt A am diesseitigen Ufer eines Flusses aus misst man
den Tiefenwinkel α zu einem Punkt C, der sich am anderen Ufer befindet. Erklären Sie, wie man
daraus die Breite des Flusses berechnen kann. Die Entfernung AC ist bekannt.
Berechnen kann man die Breite des Flusses mit AC mal Cosinus α.
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2. Jahrgang HUM
2 C- Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck verstehen
a) Geben Sie den angegebenen Cosinus, Sinus oder Tangens als Seitenverhältnis
an und drücken Sie die angegebenen Seitenverhältnisse durch Sinus, Cosinus
oder Tangens aus:
sin(α)=
tan(ε)=
f

h
g

f
b) Kreuzen Sie an ob die Aussage richtig (r) oder falsch (f) ist. Korrigieren Sie falsche Aussagen.
r
f
1) Die 3 Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens gelten in
jedem beliebigen Dreieck.
2) Der Cosinus eines Winkels ist definiert als die Gegenkathete des
Winkels durch die Ankathete des Winkels
3) Der Wert der Winkelfunktionen hängt von der Größe des
Dreiecks ab.
Lösung: a) Interpretieren
g
h
f
tan  
g
f
 cos  oder sin 
h
g
 tan 
f
sin  
b) Argumentieren:
alle drei Sätze sind falsch.
1) gilt nur im rechtwinkligen Dreieck
2) Cosinus eines Winkels= Ankathete / Hypotenuse
3) Er hängt von den Seitenverhältnissen, nicht von der Größe des Dreiecks ab.
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2. Jahrgang HUM
2A,C Aussichtsterrasse
Eine Aussichtsterrasse befindet sich in einer Höhe von 12,5m. Von der Terrasse aus sieht man den
Fußpunkt eines Turmes unter einem Tiefenwinkel von 8,2°. Die Spitze des Turmes erscheint unter
einem Höhenwinkel von 4,9°.
Welche der beiden Skizzen passt zum angegebenen Text?
Begründen Sie warum die richtige Skizze passt, oder warum die falsche Skizze nicht passt.
1
2
Lösung: Transferieren und Interpretieren
Skizze 1 passt nicht: kein Höhenwinkel
Skizze 2 passt: Höhen- und Tiefenwinkel richtig
2B-Sonnendurchmesser
Wie groß ist der Durchmesser der Sonne, wenn die Sonne unter einem Sehwinkel von α ≈ 0,517°
erscheint und die Entfernung der Mittelpunkte von Erde und Sonne 149,5 · 106 km beträgt?
Lösung:
Operieren
r = 149,5 106  sin(α/2), d = 2r
Durchmesser 1,349 ·106 km
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2. Jahrgang HUM
2 B, C, D Therapiezentrum *
Ein Seniorenhaus soll einen zusätzlichen Therapiebereich erhalten. Da dieser Bereich auf einer
Anhöhe (rel. Höhe zum Haupthaus beträgt 20m) errichtet werden soll, muss ein geeigneter Weg
dorthin gebaut werden. Die Steigung der Straße zu diesem Therapiezentrum sollte nicht mehr als 6°
betragen.
a) Kann dieser Steigungswinkel eingehalten werden, wenn nur ein geradliniger Weg vom Haupthaus
zum Therapiezentrum möglich ist und der Horizontalabstand 200m beträgt?
b) Welcher prozentuellen Steigung entspricht dieser Anstieg? Um wie viel Prozent liegt die Steigung
unter bzw. über den geforderten 6° Steigungswinkel?
Lösung
a) Operieren, Argumentieren mittels Geogebra:
Oder mittels Berechnung (Skizze anfertigen): tan α = GK/AK
tan α = 20/200 = 0,1
α = 5,71°
Der Steigungswinkel kann eingehalten werden.
b) k(5,71) = 20/200 = 0,10 = 10% Steigung k(6°) =0,105..≈ 10,5 % Steigung.
0,5% geringere Steigung als maximal möglich
* Grundlage BISTA-Broschüre 2009
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2. Jahrgang HUM
A,B Radtour
Auf die Hohe Salve (Aussichtsberg in Mitten der Kitzbühler Alpen) führt eine lange und sehr steile
Radtour auf den Berg.
Das Streckenprofil ist in der Abbildung ersichtlich und hat folgende markante Punkte: Auf einer Höhe
von 705 Meter ist die Strecke einen Kilometer lang eben. Anschließend steigt die Strecke annähernd
regelmäßig bis zu km 9,8 an. Hier erreicht man die Endhöhe von 1 829 Meter. Anschließend führt die
Strecke wieder annähernd regelmäßig bergab bis zu Kilometer 18 (Seehöhe 712 Meter) und von dort
noch 1,2 km wiederum eben bis zum Zielpunkt.
Quelle: http://www.tourenwelt.at/radtour/11-hohe-salve.html
Fragen
a) Wie viele Kilometer legt der Radfahrer vom Start bis zum Ziel zurück?
b) Wie groß ist die durchschnittliche Steigung ab Kilometer 1 bis zum höchsten Punkt der
Strecke? Wie groß ist das durchschnittliche Gefälle vom höchsten Punkt der Strecke bis zu
Kilometer 18?
c) Die gesamte Strecke besteht zu 25 % aus Asphalt und zu 75 % aus Schotter. Wie vielen
Kilometern entsprechen diese Prozentzahlen?
d) Welche durchschnittliche Geschwindigkeit (km/h) muss der Radfahrer fahren, damit er die
Strecke in 3 Stunden zurücklegen kann?
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2. Jahrgang HUM
a) Modellieren und Operieren
h= 1 829-705 = 1 124 m
h2 = 1 829 – 712 = 1 117 m
a = 8,871 45 km mit Pythg. LS
b = 8,27573 km mit Pyth. LS
Gesamtweg: 2,2 + a + b = 19,347 km
b)Operieren: tan α = h / 8 800  α = 7,28° Steigung
tan ß = h2 / 8 200  ß = 7,76° Gefälle
c)Operieren
Gesamtstrecke = 100 %
Asphalt 25%  4,837 km
Schotter 75%  14, 51 km
d) Operieren:
3h für 19,347 km  durchschnittliche Geschwindigkeit : 6,449 km /h
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2. Jahrgang HUM
2-A,C Heißluftballon
Ein Heißluftballon wird von 2 Personen A und B, die 3,8 km voneinander entfernt sind
gleichzeitig beobachtet.
Der Ballon befindet sich senkrecht über Beobachter A und wird von Beobachter B unter
einem Höhenwinkel von 36,25° gesehen
a) Fertigen Sie eine Skizze an
b) In welcher Höhe befindet sich der Ballon?
c) Welchen Zusammenhang zwischen Winkel und Höhe können Sie erkennen? Wie
verändert sich der Höhenwinkel, wenn der Ballon steigt?
d) Berechnen Sie den neuen Höhenwinkel, wenn sich Beobachter B um 300 m weiter
von A entfernt.
e) Zeichnen Sie die verwendete Winkelfunktion für einen Winkel im 1. Quadranten am
Einheitskreis ein.
Lösung:
a) Modellieren und Transferieren
c1 = 3,8
 = 36,25°
b) Operieren
tana =
b1
3,8
 b1 = 3,8  tan36,25 = 2,8
c) Argumentieren
Je höher der Heißluftballon, desto größer der Höhenwinkel
d) Operieren
c1 = 4,1
2,8
|tan-1
4,1
 = 34,33°
e) Interpretieren und Operieren
tana =
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2. Jahrgang HUM
2-A,B,D Leiter an der Mauer
Eine 3,5m lange Leiter wird an eine Mauer gelehnt und reicht dort bis zu einer Höhe von 2,8m.
a) Stellen Sie diesen Sachverhalt grafisch dar.
b) Wie groß ist der Neigungswinkel, den die Leiter mit der waagrechten Bodenfläche einschließt?
c) Es soll eine Wandlampe in 3,2m Höhe erreicht werden.
Wie muss der Neigungswinkel der Leiter zur Horizontalen geändert werden?
d) Wie weit ist im Falle c)der Fußpunkt der Leiter von der Mauer entfernt?
e) Könnte man mit dieser Leiter auch eine Fahnenstange in 3,7 Meter Höhe erreichen? Geben Sie
Argumente für Ihre Antwort.
Lösung:
a) Modellieren, Transferieren:
b = 3,5 m
a = 2,8 m
b) Operieren
sina =
2,8
|sin-1
3,5
 = 53°
c) Operieren, Interpretieren
sina =
3,2
|sin-1
3,5
 = 66°
d) Operieren, Interpretieren
x2 + 3,22 = 3,52
x = 3,52 -3,22
x= 1,4 m
e) Argumentieren
Die Leiter reicht am weitesten nach oben, wenn sie senkrecht an die Mauer
angelehnt wird. Da die Leiter aber nur eine Länge von 3,5 Meter besitzt, kann die
Höhe von 3,7 Meter mit der letzten Leitersprosse nicht erreicht werden. Wenn man
aber die Leiter sehr steil aufstellt und sie jemand hält, dann könnte es gelingen, dass
man die Fahnenstange durch die Körpergröße erreicht, wenn es möglich ist auf der
obersten Sprosse zu stehen.
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