Übungszettel Trigonometrie

Übungszettel Trigonometrie
1.
a) Eine Straßenlampe, die an einem Mast in der Höhe h 3,5 m befestigt ist,
beleuchtet einen Fußweg, der unter dem Winkel ε 11° gegen die
Horizontale geneigt ist. Der Lichtkegel ist lotrecht nach unten gerichtet und hat
den Öffnungswinkel α 120°. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen
Sie die Länge der ausgeleuchteten Wegstrecke s.
b) Wie groß müsste h sein,
sei damit bei α 120° und ε 11° eine Wegstrecke
von 18 m ausgeleuchtet wird?
c) Stellen Sie eine allgemeine Formel zur Berechnung von h auf.
2. Von einem dreieckigen Grundstück in Hanglage mit den Eckpunkten A, B und
C kennt man folgende Bestimmungsstücke: 60 ; 75,72°.
Vom tiefsten Punkt A aus wird der um 10 höher liegende Punkt C unter dem
Höhenwinkel α 7,73°
gesehen. Vom Punkt C wird der Punkt B unter dem
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gesehen.
Tiefenwinkel γ 2,07°
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a) Bestimmen Sie die Längen der Seiten des Grundstückes (auf dm genau) und
dessen Flächeninhalt (auf m ).
b) Um wie viel m liegt der Eckpunkt B höher als A und tiefer als C ?
3. 3 Orte A, B und C liegen in einer horizontalen Ebene, wobei A von B 3250 m
entfernt ist. Von einem Gipfel G aus sieht man B unter dem Tiefenwinkel
18°36′ und A in derselben Richtung hinter B unter dem Tiefenwinkel
10°48′ .
Nach Drehen des Messinstruments um den Horizontalwinkel 38°30′ misst
man zu C den Tiefenwinkel 12°06′ .
a) Wie hoch liegt der Berggipfel G über der Ebene?
b) Wie weit ist C von A und von B entfernt?
c) In derselben Ebene, auf halber Strecke zwischen A und C,, befindet sich der Ort
H. Unter welchem Höhenwinkel sieht man im Ort H den Gipfel G?
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4. Ein Veranstaltungsgelände besitzt die Form eines unregelmäßigen ebenen
Fünfecks mit den Eckpunkten A, B, C, D und E. Folgende Abmessungen sind
bekannt:
= = 83 = = 95 = = 155 ∠ ! = = 106°
Die Strecke AB (= a) wird vom Eckpunkt C aus unter dem Winkel " = 27°
gesehen.
Vom Eckpunkt D aus sieht man die Strecke AE (= e) unter #" = 56°.
Die Strecke CD (= c) wird vom Eckpunkt A aus unter $ = 40° gesehen.
Bei der Berechnung soll jeder berechnete Winkel und jede Seite so genau wie
möglich berechnet werden!
a)
Berechnen Sie den Umfang dieses Fünfecks.
b)
Wie groß ist die Fläche, gemessen in Hektar?
c)
Wie groß ist die Winkelsumme in diesem Fünfeck?
d)
Begründen Sie, warum sich in jedem ebenen Fünfeck eine Winkelsumme
von 540° ergeben muss.
5. Die zwei Orte Altenbrunn und Blaubach liegen an den gegenüberliegenden
Ufern eines Sees (in derselben Horizontalebene).
a. Um die Entfernung der beiden Ortszentren zu bestimmen, werden vom
Berggipfel S des Sonnkogels, der sich 837m über dem See befindet,
Vermussungen zu Altenbrunn und Blaubach vorgenommen.
Vom Gipfel S sieht man das Zentrum von Altenbrunn unter dem Tiefenwinkel
α = 16,4° und nach Schwenken des Messinstruments um den Horizontalwinkel
γ = 121,9° das Zentrum von Blaubach unter dem Tiefenwinkel β = 8,1°.
Fertige eine Skizze an und berechne unter Berücksichtigung einer
Instrumentenhöhe von 1,5m die Entfernung der beiden Ortszentren.
b. Im Rathaus von Altenbrunn blickt der Bürgermeister aus seinem Bürofenster.
Er sieht die Spitze der Statue, die in der Mitte des neuen Biotops aufgestellt
wurde, unter dem Tiefenwinkel ε = 8,13°, und misst zum Fußpunkt der Statue
einen Tiefenwinkel von φ = 13,39°.
Berechne die Höhe der Statue, wenn sie sich in einem Abstand von 21m zum
Rathaus befindet.
c. In welcher Höhe über dem Niveau des Rathausplatzes befindet sich der
Beobachtungspunkt des Bürgermeisters?
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