Trigonometrie

 wiederhole:
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Definition von sin und cos am Einheitskreis, Eigenschaften und Graph der Winkelfunktionen,
Unterschied Bogenmaß ↔ Gradmaß
Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck (AK, GK, H)
Sinussatz und Cosinussatz im allgemeinen Dreieck, Kongruenzsätze (SSS, SWS, ...),
Rechnen in allgemeinen Dreiecken (wann welcher Satz, wie beginnen, nicht eindeutig?, ...)
trigonometrische Flächenformel, ...
Begriffe bei Vermessungsaufgaben: Höhen- und Tiefenwinkel, Schwenkwinkel, Visierlinie,
Horizontalebene, vertikale Ebene, ...
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allgemeine Dreiecke: Löse:
Bsp.1)
geg.: ∆ ABC: b = 5,3 cm ; c = 12,4 cm ; α = 39°
ges.: a, β , γ , hC, A , u
Bsp.2)
geg.: ∆ ABC: a = 15,3 cm ; c = 10,5 cm ; α = 33,54°
ges.: b, β , γ , A , Umkreisradius rU
Bsp.3)
geg.: ∆ ABC: rU = 12,4 m ; β = 56,7° ; γ = 68,3°
ges.: a, b, c, α , A
Bsp.4)
geg.: ∆ ABC: b = 29,4cm , c = 35,6cm , β = 51°
ges.: Um wie viel cm² unterscheiden
Bsp.5)
sich die Flächeninhalte der beiden möglichen Lösungsdreiecke?
geg.: ∆ ABC: c = 14,7m , α = 33,57° , A = 56,7 m²
ges.: β , γ , a , b
ebene Vermessungsaufgaben:
Bsp. 6 – 9)
Berechne Flächeninhalt und Umfang des Viereckigen Grundstücks ABCD:
6) a = AB = 113m, c = CD = 211m, d = AD = 170m, ε = ∠ ABD = 63°, δ = ∠ ADC = 85°
7) a = AB = 66m, c = CD = 83m, d = AD = 90m, ε = ∠ ABD = 62°, δ = ∠ ADC = 81°
8) a = AB = 100m, b = BC = 60m, c = CD = 140m, e = AC = 130m, = α = ∠ BAD = 105°
9) a = AB = 35,5m, b = BC = 24,7m, c = CD = 58,1m, e = AC = 46,3m, α = ∠ BAD = 112°
Bsp. 10 – 12) Von einer s Meter langen Standlinie AB misst man die Winkel α 1 = ∠ BAP und
β1 = ∠ ABP zu einem Punkt P sowie die Winkel α 2 = ∠ BAQ und β 2 = ∠ ABQ zu einem Punkt Q.
Fertige eine Zeichnung im entsprechenden Maßstab an und berechne die Entfernung PQ!
s=100m, α 1 =115°, α 2 =44°, β1 =30°, β 2 =67°, Maßstab 1:1000
10)
11)
s=100m, α 1 =25°, α 2 =45°, β1 =34°, β 2 =60°, Maßstab 1:1000
12)
s=200m, α 1 =108°, α 2 =42°, β1 =38°, β 2 =64°, Maßstab 1:2000
Bsp.13/14)Von einem viereckigen Grundstück ABCD werden folgende Seiten und Winkel gemessen:
13) AB = 633 m, BC = 619 m, AD = 150 m, ∠ DAB = 89,2° , ∠ ABC = 115,62°
14) AB = 720 m, BC = 910 m, AC = 875 m, ∠ DAB = 93,45° , ∠ ADC = 72,44°
Das Grundstück soll durch eine von A ausgehende Teilungslinie AE (E liegt auf der Seite BC) in
2 flächengleiche Teile geteilt werden. Das dabei entstehende Grundstück ABE wird als Weide
genutzt und muss daher eingezäunt werden. Wie viel Meter Zaun müssen errichtet werden?
WH Trigonometrie
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Version vom 17.11.2006
Bsp.15/16) Von einem viereckigen Grundstück ABCD werden folgende Seiten und Winkel gemessen:
15) AB = 103 m, ∠ DAC = 40° , ∠ ABC = 125°, ∠ BCD = 96° , ∠ BAC = 12°
16) AB = 95,2 m, BC = 42,1 m, CD = 138,2 m, AD = 116,9 m , ∠ BAD = 108,42°
Durch einen Zaun BE (E liegt auf AD) wird das Grundstück in gleich große Teile geteilt. Berechne
die Länge des Zaunes BE und den Winkel, unter dem der Zaun die Seite AD trifft!
Verlängert man von einem viereckigen Grundstück ABCD ( AB = 120 m, BC = 83 m, AD = 68
m, AC = 132 m , ∠ BAD = 63° ) die Seiten AD und BC, so schneiden sie einander in einem Punkt P.
Berechne a) den Flächeninhalt des Vierecks ABCD b) den Flächeninhalt des Dreiecks DCP c) den
Abstand von P zur Seite AB
Bsp.17)
Ein dreieckiges Grundstück ABC (AB = 92 m, BC = 95m, AC = 105m) wird durch einen Zaun
DE (D ∈ AC, E∈ BC), der auf die Seite BC normalsteht, in 2 Teile geteilt. Eine geradlinige
Verlängerung des Zaunes trifft die Gerade AB in einem Punkt P mit AP = 55m. Fertige eine
Zeichnung im Maßstab 1:1000 an und berechne a)die Länge des Zaunes DE b) den Flächeninhalt
des viereckigen Grundstücks ABDE c) den Flächeninhalt des Dreiecks DCE
Bsp.18)
Von einem 1120 m2 großen viereckigen Grundstück kennt man neben der Seite AB = 37,4m
auch noch die Winkel ∠ DAB = 72,4° und ∠ ABC = 117,2°. Berechne den Umfang des Vierecks,
wenn die Diagonale AC die Fläche im Verhältnis 5:3 teilt, d.h. wenn AABC : AACD = 5:3 gilt!
Bsp.19)
Von einem viereckigen Grundstück ABCD kennt man die Seiten AB = 112m und AD = 66m, die
Diagonale AC = 106m und die Winkel ∠ DAB = 52° und ∠ ADC = 108°.
a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks!
b) Verlängert man die Seiten durch AD und BC, so schneiden sie einander in einem Punkt P. Wie
weit ist dieser Punkt P von der Seite CD entfernt?
Bsp.20)
räumliche Vermessungsaufgaben
Zwei Fenster eines Leuchtturms liegen senkrecht übereinander und haben eine Höhendifferenz
von a = 3m. Von den Fenstern sieht man ein Schiff unter den Tiefenwinkeln α = 10,2° bzw.
β = 8°6′. Wie weit ist das Schiff vom (Fußpunkt des) Leuchtturm entfernt ?
Bsp.21)
Ein 350 Meter hoch fliegender Ballon wird vom Fußpunkt F eines Turmes unter dem
Höhenwinkel α = 34,4° gesehen. Von der Spitze des Turmes sieht man den Ballon unter dem
Höhenwinkel β = 28,6°. Wie hoch ist der Turm ?
Bsp.22)
Von einem 50 Meter hohen Leuchtturm sieht man ein Boot A unter dem Tiefenwinkel α = 5,6°.
Schwenkt man das Fernrohr um den Horizontalwinkel γ = 106°, so sieht man ein zweites Boot B
unter dem Tiefenwinkel β = 9,3°. Wie weit sind die Boote voneinander entfernt ?
Bsp.23)
Von einem Geländepunkt A aus sieht man die Kirchturmspitze unter dem Höhenwinkel α = 20,2°.
Nähert man sich dem Kirchturm um 150 m, so sieht man die Spitze unter dem Höhenwinkel
β = 38°24′. Wie hoch ist der Kirchturm ?
Bsp.24)
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Version vom 17.11.2006
Auf einem unter ϕ = 7,5° geneigten Hang steht ein 56 Meter hoher Turm. Von den Endpunkten
A und B einer 100 Meter langen Standlinie, deren Verlängerung durch den Fußpunkt F des
Turmes hindurchgeht, sieht man die Turmspitze S unter den Höhenwinkeln α und β.
Wie groß ist α, falls β = 16,3° ist ?
Wie weit ist der Punkt A vom Fußpunkt F des Turmes entfernt ?
Wie viele Meter (von B ausgehend) muss man sich dem Turm nähern, damit die Spitze S unter
dem Höhenwinkel γ = 35° gesehen wird ?
Bsp.25)
a)
b)
c)
Von der Wilhelmswarte am Anninger (Meereshöhe 676m) sieht man die drei Haltestellen
Pfaffstätten, Gumpoldskirchen und Guntramsdorf der in diesem Abschnitt geradlinig
verlaufenden Südbahnstrecke. Die Meereshöhe der drei Haltestellen beträgt jeweils 250
Meter.
Berechne, wie weit die Haltestellen Pfaffstätten und Gumpoldskirchen entfernt sind, wenn man
von der Wilhelmswarte aus die Haltestelle Pfaffstätten unter dem Tiefenwinkel 6,6° und nach
Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel 65,4° die Haltestelle Gumpoldskirchen unter
dem Tiefenwinkel 7,8° sieht!
Um welchen Horizontalwinkel muss man das Fernrohr weiter schwenken, um die von
Gumpoldskirchen 1,5 km entfernte Haltestelle Guntramsdorf zu sehen?
Unter welchem Tiefenwinkel sieht man Guntramsdorf?
Bsp.26)
a)
b)
Von einem 80 Meter hohen Turm sieht man die 3 auf einer geradlinig verlaufenden Straße
liegenden Punkte A, B und C. A sieht man unter einem Tiefenwinkel von α =10° und nach
Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel ε =58° sieht man B unter dem Tiefenwinkel
β =6,3°. Schwenkt man das Fernrohr um weitere 19°, so sieht man den Punkt C. Berechne die
Bsp.27)
Entfernungen AB und BC! Unter welchem Tiefenwinkel sieht man C?
Von einem 90 Meter hohen Turm sieht man die 3 auf einer geradlinig verlaufenden Straße
liegenden Punkte A, B und C. A sieht man unter einem Tiefenwinkel von α =5,3° und B unter dem
Tiefenwinkel β = 7,1°. Um welchen Horizontalwinkel muss man dabei das Fernrohr schwenken ,
Bsp.28)
wenn AB= 800 m ist? Um welchen Winkel muss man weiter schwenken, um C (BC = 300m) zu
sehen? Unter welchem Tiefenwinkel sieht man C?
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Lösungen
1) a ≈ 8,9cm , β ≈ 21,94° , γ ≈ 119,06° , hC ≈ 3,3cm , A ≈ 20,7cm2 , u ≈ 26,6cm 2) b ≈ 22,9cm ,
β ≈124,18° , γ ≈ 22,28° , A ≈ 66,45cm2 , rU ≈13,85cm 3) a ≈30,3m , b ≈ 20,7m , c ≈ 23,0 m , α = 55° ,
A ≈ 291,5m2 4) 275,2 cm2 5) a ≈ 8,3m , b ≈ 13,95m , β ≈ 68,26° , γ ≈ 78,17° 6) A ≈24397m2 ,
u ≈ 661m 7) A ≈ 5593m2 , u ≈ 304m 8) A ≈ 8205m2 u ≈ 383,5m 9) A ≈ 1433,5m2 , u ≈ 162m
10) PQ ≈ 108m 11) PQ ≈ 36m 12) PQ ≈ 223,5m 13) ≈ 1963m 14) ≈ 2188,5m 15) ≈ 67,9m , ≈ 77,2°
16) ≈ 142m , ≈ 39,6° 17a) ≈ 6776m2 b) ≈ 3403m2 c) ≈ 170m 18a) ≈ 57m b) ≈ 2903m2 c) ≈ 1158m2
19) ≈ 153,2m 20a) ≈ 3708m2 b) ≈ 57,3m 21) ≈ 80m 22) ≈ 71m 23) ≈ 663m 24) ≈ 103m
25a) ≈ 14,4° b) ≈ 451m c) ≈ 252m 26a) 3,7km b) um 19,9° schwenken, Tiefenwinkel 6,1°
27) AB ≈ 618m , BC ≈ 708m , γ ≈ 3,4° 28) ≈ 54° , ≈ 20,6° , ≈ 6,1°
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