doc

Jobstvogt Esser, Nils
Schwarz, Oliver
Versuch 58
21.01.2005
Gruppe 1
Dynamische Viskosität von Gasen
Ziel der Versuchs:
Die Viskosität von Helium und Kohlenstoffdioxid wird mit Hilfe eines RankineViskosimeters und der bekannten Viskosität von Stickstoff bestimmt.
Theoretische Grundlagen:
Die Ideale Gastheorie beschreibt vereinfacht das Verhalten von Gasen. Dabei
werden jedoch einige Annahmen gemacht, die streng genommen falsch sind. Dabei
wird der Fehler um so größer, je größer der Druck und damit die Teilchendichte wird.
Aus diesem Grund beschreibt die kinetische Gastheorie das reelle Verhalten der
Gase. Es ist jedoch nicht möglich, jedes einzelne Teilchen in einem Volumen zu
beschreiben, daher werden nur statistische Aussagen über die Gesamtheit der
Teilchen getroffen.
Um diese Aussagen treffen zu können geht man bei der kinetischen Gastheorie von
folgenden Vorraussetzungen aus.
- Die Gasteichen haben eine Masse m und einen Durchmesser d, welcher
jedoch bezogen auf die mittlere freie Weglänge  sehr klein ist.
- Es existieren keine Wechselwirkungen zwischen den Teilchen, es sei denn sie
erleiden Stöße. In diesem Falle sind die Stöße elastisch.
- Für den Stoß, sowohl mit anderen Teilchen als auch mit Festkörpern, gelten
die Gesetze der klassischen Mechanik (Impuls- und Energieerhaltung)
- Ist das System im Temperaturgleichgewicht, so ist die Bewegung der Teilchen
regellos. Keine Richtung ist bevorzugt, und die Geschwindigkeit der Teilchen
ist durch die Maxwell-Bolzmann Verteilungsfunktion beschrieben.
Aus diesen Annahmen lassen sich nun einige charakteristische Größen ableiten. Zu
diesen Größen gehören
Die häufigste Geschwindigkeit, die die Teilchen besitzen. Für Stickstoff bei
m
Normalbedingungen nimmt sie etwa den Wert 420
an.
s
(1)
Vh 
2  R T
M
Die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen. Für Stickstoff bei Normalbedingungen
m
liegt sie in etwa bei 470
.
s
(2)
V 
8 R T
 M
Und die Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat. Hierbei haben alle
Teilchen die schneller bzw. langsamer als diese Geschwindigkeit sind die gleiche
m
Energie. Der Richtwert für Stickstoff bei Normalbedingungen beträgt 510
s
(3)
V2
3 R T
M
Der Druck p entsteht dadurch, das die Gasteilchen mit der Masse m und der
Geschwindigkeit v auf eine Fläche treffen. Dabei übertragen sie einen Impuls, der
zwei mal ihrer Masse mal ihrer Geschwindigkeit beträgt. Dies kommt daher, das ein
Teilchen, wenn es sich mit der Geschwindigkeit +v auf eine Fläche zu bewegt nach
dem Stoß mit dieser die Geschwindigkeit –v hat. Da jedoch keine Energie verloren
gehen darf, muss der übertragene Impuls zwei mal die Geschwindigkeit enthalten.
Weitere Größen die in die Beschreibung des Drucks einfließen sind die
Teilchendichte N/V des Systems, welches den Druck auf eine Fläche ausübt. Es
können jedoch nur 1/6 der Teilchen mit einer Fläche stoßen, da nur die Bewegung in
eine von drei Raumachse zu einem Stoß führt, und die Bewegungsrichtung in diesem
Fall auch zwei Vorzeichen haben kann.
Daraus ergibt sich folgende Formel für der Druck:
(4)
P
1 N
1 N
 V  2  m V   V 2  m
6 V
3 V
Der Druck wird üblicherweise durch die SI-Einheit Pascal [Pa] angegeben.
Die Stoßzahl zA*A gibt an, wie oft ein Teilchen A mit allen anderen Teilchen A pro
Sekunde stößt. Dazu betrachtet man die Flugbahn eines Teilchens und konstruiert
einen „Stoßkanal“ um das Teilchen, wessen Radius gleich dem Durchmesser des
Teilchens A ist. Befindet sich ein Teilchen innerhalb dieses Stoßkanals, so wird es
mit dem betrachteten Teilchen A einen Stoß ausführen. Die Stoßzahl z hängt
außerdem noch von der relativen Geschwindigkeit der Teilchen zueinander ab, welch
durch 2  V beschrieben wird, sowie der Teilchendichte N/V.
Man erhält folgende Formel
(5)
Z A* A  2  V 
N 2
 d 
V
ZA*A hat dabei immer die Einheit
1
s
Will man nun die Gesamtheit aller Stöße in einem System betrachten, so genügt es
lediglich, die Stoßzahl ZA*A mit der Teilchendichte zu multiplizieren. Damit man jedoch
1
nicht jeden Stoß doppelt zählt, muss noch der korrigierende Faktor
eingefügt
2
werden. Der Stoß von Teilchen A1 mit Teilchen A2 ist nämlich derselbe wie der von
Teilchen A2 mit Teilchen A1.
(6)
Z AA  Z A*A 
N 1

V 2
ZAA hat dabei die Einheit
1
s  m3
Aus den bisher beschriebenen Größen lässt sich nun sehr einfach die mittlere freie
Weglänge  ableiten. Sie beschreibt die Strecke, die ein Gasteilchen im Mittel im
freien Flug verbringt. Dabei fliegt es mit der mittleren Geschwindigkeit V und stößt
mit der Häufigkeit ZA*A
Daraus ergibt sich
V
(7)

Z A* A
 hat dabei die Einheit Meter [m].
Eine andere Schreibweise für  lautet:
1
(8)

2   d 2  N
Auswertung:
Zum Zeitpunkt der Versuches herrschte im Labor ein Druck von 978,3hPa und eine
Temperatur von 23°C (296,15K)
Die Messungen mit dem Rankine-Viskosimeter ergaben folgende Fallzeiten des
Quecksilbertropfens (Angaben in Sekunden).
Messung
N2
He
CO2
1
140,00
156,97
113,94
2
147,44
157,25
117,10
3
145,00
159,28
121,44
4
147,84
157,53
121,78
5
147,43
161,27
119,56
Durchschnitt
145,54
158,46
118,76
Daraus ergeben sich folgende Größen für die verschiedenen Stoffe.
Für Stickstoff:
J
.296,15K
m
mol

K
 419,3
Vh ( N 2 ) 
Kg
s
0,028
mol
J
8  8,314
.296,15K
m
mol

K
 473,1
V( N 2) 
Kg
s
  0,028
mol
J
3  8,314
.296,15K
m
2
mol

K
 513,5
V( N 2) 
Kg
s
0,028
mol
Über die Formel für die dynamische Viskosität , welche für Stickstoff bekannt ist,
können wir nun die mittlere freie Weglänge  berechnen.
3 

N mv
6,022  10 23
5
Mit   1,748  10 Pa  s , der Teilchendichte N 
 2,393  10 25  m 3 und
3
0,0252m
kg
m  1,66  10  24  0,028
mol
3  1,748  10 5  kg  m 1  s 1
( N 2 ) 
 9,967  10 8 m
25
3
 26
1
1
2,393  10  mol  m  4,648  10  kg  mol  473,1  m  s
2  8,314
Mit Hilfe der mittleren freien Weglänge lässt sich nun der Teilchendurchmesser
berechnen.
Die geschieht über Formel (8), wobei  bereits bekannt ist. Stellt man die Formel
nach d um, so ergibt sich:
1
d
2     N
d ( N 2) 
1
2    9,967  10  2,393  10  m
8
25
3
 3,072  10 10 m
Nun lässt sich auch die Stoßzahl eines Teilchens mit allen anderen Teilchen und die
Stoßzahl aller Teilchen in einem System berechnen.
m
 2,393  10 25  m 3  (3,072  10 10  m) 2    4,747  10 9  s 1
s
1
 4,747  10 9  s 1  2,393  10 25  m 3   5,68  10 34  m 3  s 1
2
Z A* A( N 2)  2  473,1 
Z AA(N2)
Für Helium ergeben sich folgende Werte.
J
.296,15K
m
mol  K
 1109,5
Vh ( He ) 
Kg
s
0,004
mol
J
8  8,314
.296,15K
m
mol  K
 1252
V ( He ) 
Kg
s
  0,004
mol
J
3  8,314
.296,15K
m
2
mol

K
 1358,9
V ( He ) 
Kg
s
0,004
mol
2  8,314
Die dynamische Viskosität ist, anders als die von Stickstoff, nicht bekannt. Die kann

t
aber über die Formel 1  1 berechnet werden. Hierbei ist, bis auf 2 jede Größe
2 t2
 t
bekannt. Stellt man die Formel also nach 2 um, so erhält man:  2  1 2 .
t1
Setzt man nun die gemessenen Daten ein, so ergibt sich
 ( He) 
1,748  10 5  Pa  s  158,46
 1,903  10 5  Pa  s
145,54
Nun kann man auch für Helium die mittlere freie Weglänge  berechnen, wobei die
kg
 6,64  10  27 ist.
Teilchendichte N sich nicht ändert und m( He)  1,66  10  24  0,004
mol
( He) 
d ( He) 
3  1,903  10 5  kg  m 1  s 1
 2,87  10 7 m
25
3
 27
1
1
2,393  10  mol  m  6,64  10  kg  mol  1252  m  s
1
2    2,87  10  2,393  10  m
Z A* A( N 2 )  2  473,1 
7
25
3
 1,81  10 10 m
m
 2,393  10 25  m 3  (3,072  10 10  m) 2    4,361  10 9  s 1
s
Z AA(N2)  4,361  10 9  s 1  2,393  10 25  m 3 
1
 5,218  10 34  m 3  s 1
2
Für Kohlenstoffdioxid
J
.296,15K
m
mol

K
 334,5
Vh (CO2 ) 
Kg
s
0,044
mol
J
8  8,314
.296,15K
m
mol

K
 377,5
V (CO2 ) 
Kg
s
  0,044
mol
J
3  8,314
.296,15K
m
2
mol

K
 409,7
V (CO2 ) 
Kg
s
0,044
mol
2  8,314
 (CO 2)
1,748  10 5  118,76

 1,426  10 5
145,54
(CO 2)
3  1,426  10 5  kg  m 1  s 1

 6,492  10 8 m
25
3
 26
1
1
2,393  10  mol  m  7,304  10  kg  mol  377,5  m  s
d (CO 2) 
1
2    9,967  10  2,393  10  m
8
25
3
 3,806  10 10 m
m
 2,393  10 25  m 3  (3,806  10 10  m) 2    5,808  10 9  s 1
s
1
 5,808  10 9  s 1  2,393  10 25  m 3   6,949  10 34  m 3  s 1
2
Z A* A(CO 2 )  2  377,1 
Z AA(CO2)
Größe
Vh
V
V2
m. f. Weglänge
Einheit
m
s
m
s
m
s
Stickstoff
Helium
Kohlenstoffdioxid
2  R T
M
8 R T
 M
3 R T
M