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Matrizen
Hier zwei Beispielmatrizen aus der Wirtschaft:
100 200 50 


150 150 200 

T
 0 200 250 


0 
150 0
 0,8 0,3 0,8 


0,5 0,5 0, 45 

K
 1
0, 65 0,55 


 0, 25 0,8 0,9 
Es handelt sich dabei um eine Transport- und eine Kostenmatrix. Man kann die Zeilen als
Rohstoffquellen interpretieren und die Spalten als Produktionsstätten. Dann würde man lesen:
Von Rohstoff A werden 100 Einheiten zum Werk A geliefert, 200 Einheiten zum Werk B und
50 Einheiten zum Werk C. Vom Rohstoff C wird nichts zum Werk A geliefert.
Der Transport einer Einheit vom Rohstoff A zum Werk A kostet 0,8 Kosteneinheiten, der
Transport eines C-Rohstoffs zum A-Werk kostet eine ganze Einheit.
 2 3 4
RZ  

 3 1 2
 2 1


ZE   1 2 
 1 3


Hierbei steht RZ für Rohstoff  Zwischenprodukt und ZE für Zwischenprodukt 
Endprodukt.
Eine Matrix ist nichts anderes als ein Schema aus Zahlen, die in Zeilen und Spalten
angeordnet sind. Die Zahlen in der Matrix nennt man Elemente der Matrix; es kann sich dabei
auch um Platzhalter und Variablen handeln. Die ersten beiden Matrizen heißen 4x3-Matrizen;
es wird also die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten angegeben.
Matrizen werden stets mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Ihre Elemente tragen
dann den entsprechenden kleinen lateinischen Buchstaben mit einem ihrer Position
entsprechenden Index: Der erste Element links unten in der Matrix A heißt a11, das darunter
a21.
Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten nennt man mxn-Matrix. Sie besitzt m  n Elemente,
die mit aij bezeichnet werden (mit 1 < i < m und 1 < j < n; i, j  ). Ist m = n so nennen wir
die Matrix eine quadratische Matrix. Alle Elemente einer quadratischen Matrix mit i = j
liegen auf der Hauptdiagonalen.
Man einzelne Spalten oder Zeilen aus einer Matrix auch als Matrix betrachten, diese heißen
dann Spalten- oder Zeilenvektoren. Sie werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet und tragen
einen Pfeil darüber, also z.B.
0
 
b   3 
1
 
Ein Vektor, in dem alle Elemente null sind, ist ein Nullvektor.
Man kann auch Verflechtungsdiagramme in Matrizenform darstellen:
5
2
10
A
B
5
20
10
20
15
C
5
D
40
 5 10 10 20 


5 2 0 20 

M 
 0 0 0 40 
 0 5 15 0 


Ist doch einfacher so… ;-)
Matrizen in der puren Mathematik: Lösen von LGS
Wir lösen folgendes LGS:
5 x1  3 x2  x3  0
 5 3 1
2 x1  x2  4 x3  3 A   2 1 4 
 2 2 3 
2 x1  2 x2  3 x3  1


Wir haben eine 3x3-Matrix erhalten; sie ist quadratisch und hat eine Hauptdiagonale.
Wir formen um mit dem Additionsverfahren:
5 x1  3x2  x3  0
12 x2  51x3  15
23x3  23
1
5 3


A   0 12 51 
 0 0 23 


 „obere Dreiecksmatrix“
Für eine obere Dreiecksmatrix gilt: dij  0; i  j
1  x1  0  x2  0  x3  2
0  x1  1  x2  0  x3  3
0  x1  0  x2  1  x3  1
 1 0 0


E   0 1 0
 0 0 1


 „Einheitsmatrix“
Eine Einheitsmatrix erkennt man an eij  1; i  j; und sonst eij  0; i  j .