Musterlösungen zu Blatt 5 - Logik und Sprachtheorie

Rene Gazzari
Mathematische Logik I, WS 09/10
Musterlösungen zu Blatt 5
Zu Aufgabe 22:
(1) Einführungsregel für ↓:
[φ]
..
.
[ψ]
..
.
⊥
⊥
φ↓ψ
(2) Beseitigungsregel für ↓:
φ
(3) Einführungsregel für | :
φ↓ψ
⊥
[φ]
..
.
⊥
;
;
φ|ψ
φ↓ψ
⊥
ψ
[ψ]
..
.
⊥
φ|ψ
(4) Beseitigungsregel für | :
φ|ψ
[¬φ]
..
.
[¬ψ]
..
.
σ
σ
σ
Beweisskizze zur Korrektheit: Induktiv; Anfang und Bezeichnungen wie
im Satz über die Korrektheit von Ableitungen (7.1); die aus der IV verwendeten
Teilableitungen werden von links nach rechts durchnummeriert.
(1) Einführungsregel für ↓:
Sei v mit [[Hyp(D)]]v = 1.
Angenommen [[φ ↓ ψ]]v = 0, dann ist o.E. [[φ]]v = 1 (oder analog [[ψ]]v = 1).
Damit [[Hyp(D1 )]]v = 1 und mit IV auch [[⊥]]v = 1. Widerspruch
Also [[φ ↓ ψ]]v = 1 und Hyp(D) |= φ ↓ ψ.
(2) Beseitigungsregel für ↓:
analog behandelt.
Betrachte o.E. die linke Regel, die rechte wird
Angenommen, es gibt v mit [[Hyp(D)]]v = 1.
Damit ist [[Hyp(D1 )]]v = 1, also mit IV [[φ]]v = 1.
Ebenfalls [[Hyp(D2 )]]v = 1, also mit IV [[φ ↓ ψ]]v = 1 und somit [[φ]]v = 0.
Widerspruch
Damit gilt für alle v:
[[Hyp(D)]]v = 0. Damit gilt schon Hyp(D) |= ⊥.
Rene Gazzari
Mathematische Logik I, WS 09/10
(3) Einführungsregel für | :
analog behandelt.
Betrachte o.E. die linke Regel, die rechte wird
Sei v mit [[Hyp(D)]]v = 1.
Angenommen [[φ]]v = 1, dann auch [[Hyp(D1 )]]v = 1 und mit IV [[⊥]]v = 1.
Widerspruch.
Also [[φ]]v = 0 und damit [[φ | ψ]]v = 1.
(4) Beseitigungsregel für | :
Sei v mit [[Hyp(D)]]v = 1.
Damit gilt nach IV [[φ | ψ]]v = 1. O.E. ist damit [[φ]]v = 0, also [[¬φ]]v = 1.
Damit ist aber [[Hyp(D2 )]] = 1 also auch (wieder mit IV) [[σ]]v = 1.
Damit gilt aber Hyp(D) |= σ.
Bemerkungen (Schlussregeln für ↓ und | ):
(1) Gegenseitige Ableitbarkeiten:
(a) φ ↓ ψ # $ ¬φ ∧ ¬ψ
(b) φ ↓ ψ # $ ¬(φ ∨ ψ)
(c) φ | ψ # $ ¬φ ∨ ¬ψ
(d) mit (RAA): φ | ψ # $ ¬(φ ∧ ψ)
(2) Variante der Beseitigung von | : Gesucht ist eine implikationsfreie Regel
für den Shefferstrich. Die folgende Variante ist zu stark, also nicht korrekt.
φ|ψ
[φ]
..
.
[ψ]
..
.
⊥
⊥
⊥
Beispiel:
(1) Verwendung der Regel (I | ):
[φ]1
[ψ]
2
φ → ¬ψ
( MP )
¬ψ
⊥ ( I | :1 )
φ|ψ
( MP )
⊥ ( I | :2 )
φ|ψ
[¬(φ | ψ)]3
( MP )
[¬(φ | ψ)]3
⊥ ( RAA:3 )
φ|ψ
( MP )