Mathe Heft

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Mathematik
Klasse 10.
Epoche 1
Maximilian Ernestus
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Konstruktion von Dreiecken
In einem Dreieck bezeichnen wir die länge der seiten mit a,b,c und die Winkel mit
α,β,δ gemessen in Grad.
C
b
A
a
c
B
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Frage: Welche Größen müssen im Dreieck angegeben sein um es Konstruieren zu
können?
Antwort: Eindeutiges Lösungsdreieck im Falle WSW, SSS, SWS, SSW, SWW. Im
Fall SSW kann es zwei Lösungsdreiecke geben, wenn der Winkel an der längeren
Seite liegt. Der Fall WWW lässt unendlich viele Lösungsdreiecke zu.
Merke: Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°.
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Ähnlichkeit
Z
C
C’
B
A
A’
B’
Wenn wir alle Seiten eines Ausgangsdreiecks verschieben, entsteht ein neues sog.
Bilddreieck mit denselben Winkeln. Die beiden Dreiecke haben die gleiche Gestallt,
aber eine unterschiedliche Größe. Figuren mit dieser Eigenschaft heißen ähnlich.
Bei ähnlichen Dreiecken, deren entsprechende Seiten Parallel sind, schneiden sich
die Verbindungslinien entsprechender Punkte im sog. Ähnlichkeitspunkt. Aufgrund
dieser Eigenschaft heißen diese Dreiecke zentrisch- ähnlich.
Als Vergrößerungsfaktor bezeichnet man das Verhältnis.
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Beispiel:
Konstruiere auf 3 Arten ein Quadrat in einem Dreieck.
a)
b)
C
B
A
c)
A
C
B
A
C
B
//Einführung in das Vermessungspraktikum
Vermessung
Wenn man ein Gelände vermessen will, muss man zunächst einige Pflöcke setzen,
die als Anhaltspunkte dienen. Danach werden die Entfernungen der Pflöcke zueinander und die Winkel vermessen. Diese werden auf einer Karte (meist in einem
Verkleinerten Maßstab) eingetragen, so dass man einige Hilfslinien zur Verfügung
hat. Wenn dann einen einzelnen Punkt berechnen will, so muss man zunächst einen
Punkt auf einer der Hilfslinien finden, zu dem ein rechter Winkel zwischen der Verbindungslinie und der Linie zwischen dem Punkt und dem zu vermessenden Punkt
entsteht. Jetzt kann man die Abstände zwischen den entsprechenden Punkten messen. Nach diesen Daten können die Punkte in die Karte eingezeichnet werden.
Fachbegriffe:
- man sagt, dass die Pflöcke einen Polygonzug bilden. Wörtlich übersetzt heißt das
Wort Vielwinkelstrecke.
- die Verbindung zwischen zwei Pflöcken bezeichnet man als Fluchtlinie.
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Das Dreieck mit Überraschungen
//Bild
Wenn man ein Ähnliches Dreieck zu einem Ausgangsdreieck konstruieren möchte,
muss man zunächst einen Punkt Z an einer beliebigen stelle festlegen. Man verbindet dann die Punkte A, B und C des Ausgangsdreiecks mit dem Punkt Z. Danach
muss man sich einen beliebigen Vergrößerungsfaktor K ausdenken (bei Schwierigkeiten  Ran#*10 am Taschenrechner drücken), um den das ähnliche Dreieck vergrößert werden soll. Man findet den Punkt A’ auf AZ [AZ x K] entfernt von A. Genauso findet man C’ und B’.
Wenn man genügend Mittelsenkrechten in ein Dreieck malt, kann man die weiteren
ähnlichen Dreiecke [ABD], [DCG], [ACE] und [EBG] finden.
Die Strahlensätze
Zwei ähnliche Dreiecke lassen sich ineinander schieben.
Es entsteht die Sog. Strahlensatzfigur mit dem gemeinsamen Scheitelpunkt S. Die
aufeinander fallenden Seiten werden zu Strahlen. Die jeweils 3. Seite wird zu einem
Abschnitt auf den beiden Parallelen.
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1. Strahlensatz
B'C' SC'
=
BC SC'
2. Strahlensatz
SC' SB'
=
SC SB
Die Parallelabschnitte verhalten sich wie die Strahlenabschnitte.
Die Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten sie wie die Abschnitte auf dem 2.
Strahl.
Beispiel:
Der Schatten eines Turms ist 4,2 Meter lang. Ei 1,5 Meter großer Mensch wirft zur
selben Zeit einen schatten von 90 cm. Wie hoch ist der Turm?
Turm
1,5m
4,2
•1,5 = Turm
0,9
Turm = 7m
€
0.9m
1,5
• 4,2 = Turm
0,9
Turm = 7m
4,2m
€
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Streckenverhältnisse in einer Figur
Bei zwei Dreiecken ist es ausreichend, für die Ähnlichkeit die Winkel zu überprüfen.
Das ist bei Vierecken nicht der Fall.
Bei diesen Rechtecken stimmen die Winkel überein, die beiden Figuren sind trotzdem nicht ähnlich. Neben dein Winkel müssen nämlich auch die Streckenverhältnisse übereinstimmen.
Format
l
b
l/b
lxb
DIN A0
1188
840
1,41428571429
997920
DIN A1
840
594
1,41414141414
498960
DIN A2
594
420
1,41428571429
249480
DIN A3
420
297
1,41414141414
124740
DIN A4
297
210
1,41428571429
62370
DIN A5
210
148,2
1,41700404858
31122
DIN A6
148,2
105
1,41142857143
15561
DIN A7
105
74,1
1,41700404858
7780,5
Wird ein DIN-A-Format geeignet halbiert, so erhält man das nächste Format in dieser
Reihe.
Alle DIN-A-Formate haben das selbe Streckenverhältnis L/B.
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€
€
€
€
€
€
Wir berechnen deren Streckenverhältnis:
Länge
Die Proportion Breite soll übereinstimmen
l 2•b
=
b
l€
l•b• l 2•b•b• l
=
b
l
l• l = 2•b•b
l l
• =2
b b
l l
  •  = 2
b b
l
= 2
b
Die DIN-A-Reihe beginnt mit den DIN-A-0 Format, dass 1m^2 Fläche hat.
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Die Winkelfunktionen
Rechtwinklige Dreiecke spielen in sehr vielen Aufgabenstellungen eine Rolle. Man
hat deshalb Streckenverhältnisse in Rechtwinkligen Dreiecken bestimmt, die dann
auch für alle ähnlichen Dreiecke gelten, die ebenfalls rechtwinklig sind, und auch
sonst in den Winkeln übereinstimmen.
Winkel
0°
0
0
1
10°
0,17632698071
0,17364817767
0,98480775301
20°
0,36397023427
0,34202014333
0,9998522876
30°
0,57735026919
0,5
0,86602540378
40°
0,83909963118
0,64278760969
0,76604444312
50°
1,19175359259
0,76604444312
0,64278760969
60°
1,73205080757
0,86602540378
0,5
70°
2,74747741945
0,93969262079
0,34202014333
80°
5,67128181962
0,98480775301
0,17364817767
90°
∞
1
0
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1. Beispiel:
Ein Papierdrachen fliegt an einer 80, langen Schnur, die mit dem Boden den Winkel
α = 70° einschließt.
Wie hoch fliegt der Drache?
y
= sin(70°)
80
y = sin(70°) • 80
y = 75,17540966287m
y = 75,18m
2. Beispiel
Bei einer Laderampe misst man länge L=3,5m und einen Steigungswinkel α = 10°.
• Berechnen sie bis zu welcher höhe die Rampe reicht.
H=sin(10°)·3,5
H=0,60m
• Berechnen Sie die Entfernung des Auflagepunktes vom Wagen. B=cos(10°)·3,5 B=3,45m
3. Beispiel
Eine Zahnradbahn führt von einer Talstation A zu einer Bergstation B. Sie überwindet
336 Höhenmeter.
• Wie groß ist der Steigungswinkel α, wenn die Entfernung laut einer Karte 400m beträgt? 336÷400=tan(α) α=40,03°
Welche
Strecke
fährt
die Bahn tatsächlich? •
336÷hyp=sin(40,03°)
hyp=519,49m
• Wie groß ist die Steigung in %?
x=100·(400÷336)
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Abkürzungen
Für die Seitenverhältnisse an man folgende Abkürzungen eingeführt:
GK
AK
GK
SINUS(α ) =
HYP
AK
COSINUS(α ) =
HYP
TANGENS(α ) =
4. Beispiel
Aus 1,5m Augenhöhe erblickt man die Spitze eines Turmes unter dem Erhebungswinkel α = 20°. Die Entfernung zum Turm beträgt 200m. Wie hoch ist der Turm?
tan(20°)
Antwort:
Der Turm ist 72+1,5 = 73,5m hoch.
·200=h
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€
Eigenschaften der Winkelfunktionen
• Die Tangenswerte beginnen bei 0 und werden immer größer. Merke: tan(45°) = 1
• Die Sinuswerte beginnen bei 0 und steigen bis 1 an
Merke: sin(30°) = 0,5
• Die€Cosinuswerte beginnen bei 1 uns sinken bis 0 cos(60°)
=
0,5
Merke:
•
€
GK
HYP
AK
cos(α ) =
HYP
sin(α €
)=
Mit dem Taschenrechner lässt sich zu jedem Winkel die entsprechende Winkelzahl
finden. zB 50°.
Es lassen sich auch für die Verhältniszahlen die entsprechenden Winkel finden.
Bei den Anwendungsaufgaben werden häufig folgende Begriffe verwendet.
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Der Sinussatz
Ein Schiff peilt einen Leuchtturm an. Zuerst misst es einen Winkel α = 43° und nach
einer Fahrt von 7,5 Seemeilen (1 sm = 1,852 km) den Winkel 58°.
//bild
a) um b zu berechnen, zeichne wir die Höhe ha
//viele formeln
b) um a auszurechnen, zeichnen wir die Höhe hb
//viele formeln
Ergebnisse:
//viele formeln
Das Verhältnis einer Seite zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist in einem
nicht rechtwinkligen Dreieck stets gleich.
1. Beispiel
Von Den Helder kommt man mit einer Fähre nach Texel. A ist die Anlegestelle in Den
Helder, B ist die Anlegestelle in Texel. C ist ein weiterer Punkt auf dem Festland. Wie
weit ist es von Den Helder bis Texel?
//bild
//ausrechnung
2. Beispiel
Die Höhe eines Berges soll bestimmt werden.
//zeichnung
//ausrechnung