KIT PPT Master

Tutorium 23
Grundbegriffe der Informatik (5. Sitzung)
Tutor: Felix Stahlberg
SOFTWARE DESIGN AND QUALITY GROUP
Source: pixelio.de
KIT – The cooperation of Forschungszentrum Karlsruhe GmbH and Universität Karlsruhe (TH)
Agenda - 5. Sitzung
Anmerkungen zu den Übungsblättern
Kontextfreie Grammatiken (2. Teil)
Relationen (2. Teil)
Zahlendarstellungen
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25.11.2010
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Tutorium 23 für Grundbegriffe der Informatik
Aufgabe 4.3 (Finden der Invariante)
Relevante Parameter ermitteln
Anzahl der schwarzen und weißen Kugeln im Behälter
Prozess auf diese Parameter hin analysieren
Sei 𝑠𝑖 ∈ ℕ die Anzahl der schwarzen Kugeln nach 𝑖-tem Schritt
Sei 𝑤𝑖 ∈ ℕ die Anzahl der weißen Kugeln nach 𝑖-tem Schritt
Fallunterscheidung
Unterschiedliche Farben gezogen
Eine weiße Kugel zurück
⇒ 𝑠𝑖+1 = 𝑠𝑖 − 1, 𝑤𝑖+1 = 𝑤𝑖
Zwei weiße Kugeln gezogen
Eine schwarze Kugel zurück
⇒ 𝑠𝑖+1 = 𝑠𝑖 + 1, 𝑤𝑖+1 = 𝑤𝑖 − 2
Zwei schwarze Kugeln gezogen
Eine schwarze Kugel zurück
⇒ 𝑠𝑖+1 = 𝑠𝑖 − 1, 𝑤𝑖+1 = 𝑤𝑖
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Scharf hinsehen
⇒ ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝔾𝑎+𝑏 :
𝑤𝑖 mod 2 = 𝑤𝑗 mod 2
Abschreiben
Sehr gute Idee: Lerngruppen
Halbwegs schlechte Idee: Abschreiben
Geht nicht in der Klausur
Sehr schlechte Idee: gedankenlos Abschreiben
Beispiel:
1−𝐴+𝐴∙𝐵
Wird zu 1 − 𝐴 + 𝐴. 𝐵
Wird zu ⟘ − 𝐴 + 𝐴. 𝐵
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Anmerkungen zu den Übungsblättern
Kontextfreie Grammatiken (2. Teil)
Relationen (2. Teil)
Zahlendarstellungen
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Kontextfreie Grammatiken (Definition)
Eine kontextfreie Grammatik ist ein 4-Tupel 𝐺 = (𝑁, 𝑇, 𝑆, 𝑃)
mit
𝑁 ist ein Alphabet sogenannter Nichtterminalsymbole
Meist Großbuchstaben
𝑇 ist ein Alphabet sogenannter Terminalsymbole
Meist Kleinbuchstaben
𝑁∩𝑇 =∅
𝑆 ∈ 𝑁 ist das sogenannte Startsymbol
𝑃 ⊆ 𝑁 × (𝑁 ∪ 𝑇)∗ ist eine Menge von Produktionen
Schreibweise: 𝑋 → 𝑤 statt (X, w) ∈ 𝑃
Bedeutung: Man kann 𝑋 durch 𝑤 ersetzen
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Kontextfreie Grammatiken (Ableitungsfolgen)
Sei 𝐺 = (*𝑋+, *𝑎, 𝑏+, 𝑋, *𝑋 → ε|𝑎𝑋𝑎|𝑏𝑋𝑏|𝑎|𝑏+)
⇒ 𝐿 𝐺 = *𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗ |𝑤 𝑖𝑠𝑡 𝑃𝑎𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑚+
Aufgabe: Zeige w = 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎 ist Palindrom (𝑤 ∈ 𝐿(𝐺))
Möglichkeit 1: Ableitungsfolge
Zeige 𝑋 ⇒∗ 𝑤
𝑋 ⇒ 𝑎𝑋𝑎 ⇒ 𝑎𝑎𝑋𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎 = 𝑤
Eine Kontextfreie Grammatik ist
𝐺 = (𝑁, 𝑇, 𝑆, 𝑃) mit
•
𝑁 ist Alphabet der Nichtterminalsymbole
•
𝑇 ist Alphabet der Terminalsymbole
•
𝑆 ∈ 𝑁 ist das sogenannte Startsymbol
•
𝑃 ⊆ 𝑁 × (𝑁 ∪ 𝑇)∗ sind Produktionen
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Kontextfreie Grammatiken (Ableitungsbäume)
Sei 𝐺 = (*𝑋+, *𝑎, 𝑏+, 𝑋, *𝑋 → ε|𝑎𝑋𝑎|𝑏𝑋𝑏|𝑎|𝑏+)
⇒ 𝐿 𝐺 = *𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗ |𝑤 𝑖𝑠𝑡 𝑃𝑎𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜𝑚+
Aufgabe: Zeige w = 𝑎𝑎𝑏𝑎𝑎 ist Palindrom (𝑤 ∈ 𝐿(𝐺))
Möglichkeit 2: Ableitungsbaum
X
a
X
a
X
a
a
b
w=
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a
a
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b
a
a
Kontextfreie Grammatiken (Die leere Sprache)
Gibt es eine Grammatik 𝐺 = (𝑁, 𝑇, 𝑆, 𝑃) mit L G = *+ ?
𝐺=
𝑋 , 𝑎, 𝑏 , 𝑋, 𝑋 → 𝑋 ?
Ja, Ableitung terminiert nicht
𝐺=
𝑋 , 𝑎, 𝑏 , 𝑋, *+ ?
Ja, leere Produktionsmenge erlaubt
𝐺=
𝑋 , *+, 𝑋, 𝑃 ?
Nein, Alphabete sind nichtleer
Eine Kontextfreie Grammatik ist
𝐺 = (𝑁, 𝑇, 𝑆, 𝑃) mit
•
𝑁 ist Alphabet der Nichtterminalsymbole
•
𝑇 ist Alphabet der Terminalsymbole
•
𝑆 ∈ 𝑁 ist das sogenannte Startsymbol
•
𝑃 ⊆ 𝑁 × (𝑁 ∪ 𝑇)∗ sind Produktionen
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Kontextfreie Grammatiken (2. Teil)
Relationen (2. Teil)
Zahlendarstellungen
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Relationen (Definitionen)
Produkt der Relationen R ⊆ 𝑀1 × 𝑀2 und 𝑆 ⊆ 𝑀2 × 𝑀3
𝑆 ∘ 𝑅 ≔ *(𝑥, 𝑧) ∈ 𝑀1 × 𝑀3 |∃𝑦 ∈ 𝑀2 : (x, y) ∈ 𝑅 𝑢𝑛𝑑 (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆+
Vergleiche: Verkettung von Funktionen
Sei nun R ⊆ 𝑀 × 𝑀 eine Relation
Potenzen von R
𝑅0 ≔ 𝑥, 𝑥 𝑥 ∈ 𝑀 =: 𝐼𝑀
∀𝑖 ∈ ℕ0 : 𝑅𝑖+1 = 𝑅𝑖 ∘ 𝑅
Reflexiv-transitive Hülle von R
𝑅∗ ≔
∞
𝑖
𝑖=0 𝑅
R ist reflexiv ∶⇔ ∀𝑥 ∈ 𝑀: (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅
R ist transitiv ∶⇔ ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑀: 𝑥, 𝑦 , 𝑦, 𝑧
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⊆ 𝑅 ⇒ (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅
Relationen (Visualisierung)
Sei 𝔾7 × 𝔾7 ⊇ 𝑅 = * 0,1 , 1,2 , 2,3 , 2,4 , 4,5 +
𝑹𝟎
𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝑹𝟑
𝑹𝟒
1
𝑹
5
0
∗
2
3
6
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Relationen (Kleiner Beweis)
Seien 𝑅, 𝑆 Relationen mit 𝑅 ⊆ 𝑆 und 𝑆 reflexiv und transitiv
Zeige: Es gilt: 𝑅∗ ⊆ 𝑆
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Anmerkungen zu den Übungsblättern
Kontextfreie Grammatiken (2. Teil)
Relationen (2. Teil)
Zahlendarstellungen
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Zahlendarstellungen (Motivation)
Fünf?
Hunderteins?
101
Zehn?
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Was will der Autor mir damit sagen?
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Zahlendarstellungen (Definitionen)
Sei 𝑍2 = 0,1 ein Alphabet
Definiere 𝑛𝑢𝑚2 : 𝑍2 → ℕ0 , 𝑛𝑢𝑚2 0 = 0, 𝑛𝑢𝑚2 (1) = 1
Definiere 𝑁𝑢𝑚2 : 𝑍2 ∗ → ℕ0
𝑁𝑢𝑚2 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ 𝑍2 ∗ : ∀𝑥 ∈ 𝑍2 : 𝑁𝑢𝑚2 𝑤𝑥 = 2 ∗ 𝑁𝑢𝑚2 𝑤 + 𝑛𝑢𝑚2 𝑥
Ist das wohldefiniert?
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Zahlendarstellungen (Beispiel)
Aufgabe: Berechne
𝑁𝑢𝑚2 (101)
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𝑁𝑢𝑚2 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ 𝑍2 ∗ : ∀𝑥 ∈ 𝑍2 :
𝑁𝑢𝑚2 𝑤𝑥 = 2 ∗ 𝑁𝑢𝑚2 𝑤 + 𝑛𝑢𝑚2 𝑥
Zahlendarstellungen (Wohldefiniertheit)
Zeige: 𝑁𝑢𝑚2 : 𝑍2 ∗ → ℕ0
ist wohldefiniert.
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𝑁𝑢𝑚2 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ 𝑍2 ∗ : ∀𝑥 ∈ 𝑍2 :
𝑁𝑢𝑚2 𝑤𝑥 = 2 ∗ 𝑁𝑢𝑚2 𝑤 + 𝑛𝑢𝑚2 𝑥
Zahlendarstellungen (Umwandlung)
w=101
𝒊
𝒗
𝒙
0
ε
0
1
2
3
Invariante?
𝑥 = 𝑁𝑢𝑚2 (𝑣)
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Zahlendarstellungen (Etwas Abgefahrener)
Sei Ƶ3 = ⥠, 0, ⥡ ein Alphabet
Definiere ň𝑢𝑚3 : Ƶ3 → ℤ
ň𝑢𝑚3 0 = 0, ň𝑢𝑚3 ⥠ = 1, ň𝑢𝑚3 ⥡ = −1
Definiere Ň𝑢𝑚3 : Ƶ2 ∗ → ℕ0
Ň𝑢𝑚3 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ Ƶ3 ∗ : ∀𝑥 ∈ Ƶ3 : Ň𝑢𝑚3 𝑤𝑥 = 3 ∗ Ň𝑢𝑚3 𝑤 + ň𝑢𝑚3 𝑥
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Zahlendarstellungen (Aufgaben)
Berechne Ň𝑢𝑚3 ⥡ 0 ⥠
Ň𝑢𝑚3 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ Ƶ3 ∗ : ∀𝑥 ∈ Ƶ3 :
Ň𝑢𝑚3 𝑤𝑥 = 3 ∗ Ň𝑢𝑚3 𝑤 + ň𝑢𝑚3 𝑥
Berechne Ň𝑢𝑚3 ⥠⥡⥠
Woran erkennt man das Vorzeichen einer Zahl?
Wie verändert sich Ň𝑢𝑚3 𝑤 für ein 𝑤 ∈ Ƶ3 ∗ , wenn man
alle ⥠ durch ⥡ und alle ⥡ durch ⥠ in 𝑤 ersetzt?
Welche ganze Zahlen besitzen Repräsentationen?
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Zahlendarstellungen (Lösungsvorschläge)
Berechne Ň𝑢𝑚3 ⥡ 0 ⥠
Ň𝑢𝑚3 ⥡ 0 ⥠ = −8
Berechne Ň𝑢𝑚3 ⥠⥡⥠
Ň𝑢𝑚3 ε ≔ 0
∀𝑤 ∈ Ƶ3 ∗ : ∀𝑥 ∈ Ƶ3 :
Ň𝑢𝑚3 𝑤𝑥 = 3 ∗ Ň𝑢𝑚3 𝑤 + ň𝑢𝑚3 𝑥
Ň𝑢𝑚3 ⥠⥡⥠ = 7
Woran erkennt man das Vorzeichen einer Zahl?
Ist das erste Zeichen „⥠ “ (positiv) oder „⥡ “ (negativ)?
Wie verändert sich Ň𝑢𝑚3 𝑤 für ein 𝑤 ∈ Ƶ3 ∗ , wenn man
alle ⥠ durch ⥡ und alle ⥡ durch ⥠ in 𝑤 ersetzt?
Entspricht einer Multiplikation mit −1
Welche ganze Zahlen besitzen Repräsentationen?
Alle
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Fragen?
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http://xkcd.com/152/
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