2.2 Grundgesetze der Dynamik

2.2 Grundgesetze der Dynamik
In dem vorangegangenen Abschnitt zur Kinematik
habe wir die Bewegung von Massepunkten geometrisch-analytisch beschrieben.
•
Wir wissen also, wie sich ein Massenpunkt
bewegt.
•
Die Fragen nach den Ursachen können wir jedoch
noch nicht beantworten.
•
Dieser Fragestellung widmet sich die Dynamik
2.2.1 Erstes Newtonsches Axiom
Erstes Newtonsches Axiom (Trägheitsprinzip)
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) weiter, wenn keine resultierende Kraft auf den Körper
einwirkt.
Die Eigenschaft eines Körpers seinen Bewegungszustand beizubehalten, bezeichnet man als Trägheit.
Daher bezeichnet man das erste Newtonsche Axiom
auch als Trägheitsgesetz.
Früher (vor Galilei) nahm man an, dass stets eine
Kraft wirken muss um einen Körper in Bewegung
zu halten.
Alltagserfahrung
Ein gezogener Schlitten gleitet nach dem Loslassen
ein Stück weiter und bleibt schließlich stehen.
Galilei und Newton erkannten aber, dass sich der
Schlitten aufgrund von Reibung nicht kräftefrei
bewegt.
Galilei Experiment
(motiviert 1tes Newtonsches Axiom)
h
ϑ
ϑ'
Die Bälle bewegen sich unabhängig vom Neigungswinkel der Schräge fast wieder bis zu ihrer ursprünglichen Höhe h .
1) Je kleiner der Neigungswinkel ϑ wird, um so
weiter rollt der Ball nach rechts.
2) Bei Vernachlässigung der Reibung wird der Ball
auf einer horizontalen Ebene, d.h. ϑ = 0 , für
immer und ohne Geschwindigkeitsänderung
weiterrollen.
Dieser Sachverhalt motivierte die Formulierung des
ersten Newtonschen Axioms.
Bezugssystem, Inertialsystem
Das 1te Newtonsche Axiom unterscheidet nicht
zwischen einem ruhenden und einem sich gradlinig
gleichförmig, d.h. mit konstanter Geschwindigkeit
(Betrag und Richtung), fortbewegenden Körper.
Ob ein Körper ruht oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hängt von dem für die Betrachtung der Bewegung gewählten Koordinatensystem ab.
Gedankenexperiment
y'
S'
Eisenbahnwaggon
Gegenstand
Luftkissentisch
O'
a)
x'
Der Gegenstand befindet sich in dem Koordinatensystem S ', dessen Ursprung O' mit dem Waggon
verbunden ist, in Ruhe.
y
S
y' S '
v
O'
O
b)
x'
x
Der Gegenstand befindet sich relativ zum Waggon, d.h.
relativ zum Bezugssystem S ' in Ruhe. Die Geschwindigkeit v wird relativ zum Koordinatensystem S , das
mit den Schienen verbunden ist, gemessen. Relativ zum
Bezugssystem S bewegt ich der Gegenstand mit der
selben Geschwindigkeit v wie der Waggon nach rechts.
y
S
y' ' S ' '
F
a
O' '
O
c)
x' '
x
Der Eisenbahnwaggon starte zur Zeit t = 0 aus einer
Ruheposition heraus. Der Gegenstand erfahre wegen
des Luftkissens keine Reibung und bleibe relativ zum
Bewegungssystem S in Ruhe, während sich der Luftkissentisch zusammen mit dem Waggon unter ihm hinwegbewegt.
Im beschleunigten Bezugssystem S ' ' wird der Gegenstand mit − a nach hinten beschleunigt, d.h. er unterliegt ohne Krafteinwirkung einer horizontalen Beschleunigung.
Um den Gegenstand im Bezugssystem S ' ' in Ruhe
zu halten, ist die horizontale Kraft F nötig.
⇒ Das erste Newtonsche Axiom gilt nicht in
beschleunigten Bezugssystemen.
•
Ein Bezugssystem heißt genau dann Inertialsystem,
wenn das erste Newtonsche Axiom gilt.
•
Ein Bezugssystem, das sich relativ zu einem Inertialsystem mit konstanter Geschwindigkeit (Betrag und
Richtung) bewegt, ist selbst auch ein Inertialsystem.
•
Ein mit der Erdoberfläche verbundenes Bezugssystem
kann wegen der Erdbewegung genaugenommen kein
Inertialsystem sein.
•
Ist die Erddrehung im Vergleich zum Zeitablauf eines
Experiments vernachlässigbar langsam, so kann ein mit
der Erdoberfläche verbundenes Bezugssystem in guter
Näherung als Inertialsystem angesehen werden.
2.2.2 Zweites Newtonsches Axiom
Zweites Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip)
Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt
proportional zu seiner Masse und direkt proportional
zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt, d.h.
r
r F
a=
m
bzw.
r
r
F = ma
•
Eine Kraft ist die Größe, die einen Körper dazu bringt,
seine Geschwindigkeit zu ändern, d.h. zu beschleunigen.
•
Die Kraft und die von ihr verursachte Beschleunigung
zeigen in dieselbe Richtung.
•
Der Betrag der Kraft ist das Produkt aus der Masse und
dem Betrag der Beschleunigung.
•
Wirken mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen Körper ein,
so beobachtet man, dass der Körper nur in eine Richtung
beschleunigt wird, so als ob auch nur eine resultierende
Kraft an ihm angreife.
•
Um die resultierende aus mehreren Teilkräften zu finden,
setzt man diese unter Parallelverschiebung aneinander.
Die Resultierende ist dann der Schlusspfeil des gebildeten Kraftecks.
r
F'
Beispiel:
r
F2
r
F1
r
F2
r
F''
r
Fres
r
F1
Resultierende
zweier Kräfte
r
Fres
r
F4
r
F3
Geometrische
Addition von Kräften
r
F2
r
F3
r
F1
r
F1
r
Fres
r
F4
Geometrische Addition von
Kräften (das Krafteck)
r
F2
r
F3
Drei Kräfte im
Gleichgewicht
Die Masse (genauer träge Masse) ist die jedem Körper innewohnende Eigenschaft, sich einer Beschleunigung zu widersetzen.
Das Verhältnis zweier Massen kann wie folgt definiert werden. Eine Kraft F wirke auf zwei Körper der
Masse m1 bzw. m2 und erzeuge die Beschleunigung
a1 bzw. a2 , d.h.
F = m1a1 und F = m2 a2
Gleichsetzen liefert
F = m1a1 = m2 a2
und nach Umformen die Definition der Masse
m1 a2
=
m2 a1
Mit diesem Gesetz können Massen verglichen, z.B.
aus m2 = 2m1 und m3 = 4m1 ⇒ m3 = 2m2 , und eine Massenskala mittels eines Standartkörpers, dessen Masse
man als Masseneinheit festlegt, definiert werden.
Die Einheit der Kraft ist 1 Newton [N] und entspricht
jener Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der
Masse 1kg mit 1m/s 2 zu beschleunigen.
Aus den Definitionen der zuvor eingeführten Begriffe
der Kraft und Masse folgt direkt das 2te Newtonsche
r
Axiom
2r
r
r
dv
d r
=m 2
F = ma = m
dt
dt
Das 2te Newtonsche Axiom verbindet die
•
dynamischen Größen
-
Masse und
Kraft
mit den
•
kinematischen Größen
-
Beschleunigung,
Geschwindigkeit und
Verschiebung
Impuls
Der Impuls ist definiert als
r
r
p = mv
Newton hat das 2te Axiom selbst etwas allgemeiner
formuliert. Wenn eine Kraft auf einen Körper wirkt,
so ändert sich sein Impuls.
r
r dpr d (mvr ) dm r
dv
=
=
F=
v +m
dt
dt
dt
dt
Ist die Masse keine Funktion der Zeit, so gilt
r
r dpr
r
dv
F=
=m
= ma
dt
dt
Übungsaufgabe 7
Gewichtskraft
r
Die Gewichtskraft FG eines Körpers ist die Gravitationskraft zwischen dem Körper und der Erde. Sie ist
proportional
zur Masse m und zur Erdbeschleunigung
r
g , durch die das Gravitationsfeld der Erde definiert
wird und die mit der Beschleunigung des freien Falls
übereinstimmt, d.h.
r
r
FG = m g
Die Gewichtskraft ist keine körpereigene Eigenschaft.
Sie ist wie die Beschleunigung ortsabhängig.
2.2.3 Drittes Newtonsches Axiom
Drittes Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip)
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn ein Körper
A eine Kraft auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine
gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft
von Körper B auf Körper A.
Im Zusammenhang mit dem 3ten Newtonschen Axiom
werden häufig die Begriffe
•
•
Kraft und
Gegenkraft
verwendet, d.h. wenn ein Körper A eine Kraft auf einen Körper B ausübt, dann wird die Kraft, mit der B
umgekehrt auf A einwirkt, als Gegenkraft bezeichnet.
Kraft-Gegenkraft-Paar
r
FT '
Kraft
Gegenkraft
r
FT
Körper
r
FG
r
FG '
r
Die Gewichtskraft FG ist die Kraft, die von der Erde
auf den Körper ausgeübt wird. Eine
r gleich
r große, aber
entgegengesetzt gerichtete Kraft FG ' = − FG wirkt als
Gegenkraft vom Körper auf die Erde.
r
Der Tisch wiederum übt eine Kraft FT auf den Körper
aus, da sonst der Körper nach unten beschleunigt würde.
r Der rKörper wirkt seinerseits mit der Gegenkraft
FT ' = − FT auf den Tisch ein.
Kraft und Gegenkraft wirken auf verschiedene Körper,
so dass sich diese Kräfte niemals gegeneinander aufheben können.
2.2.4 Kräfte und Scheinkräfte
Fundamental Kräfte
Alle Kräfte, denen wir in der Natur begegnen, können
durch vier grundlegende Wechselwirkungen erklärt
werden.
• Gravitationswechselwirkung
• elektromagnetische Wechselwirkung
• starke Wechselwirkung (Protonen und Neutronen,
die den Zusammenhalt des Atomkerns bewirken)
•
schwache Wechselwirkung (zwischen Elektron
und Proton oder Neutron)
Die meisten Kräfte, die auf makroskopische Gegenstände des Alltags einwirken, wie die Kontaktkräfte,
die von Federn, Seilen oder Oberflächen ausgeübt
werden, beruhen auf molekularen Kräften. Sie sind
letztlich eine Folge elektromagnetischer Wechselwirkungen.
Für die meisten Anwendungen ist eine empirische
Beschreibung des makroskopischen Verhaltens hinreichend.
Kontaktkräfte
Federkraft (Rückstellkraft)
Ein zusammengedrückte oder auseinandergezogene
Feder nimmt nach dem Loslassen ihre ursprüngliche
Form an, vorausgesetzt, die Stauchung oder Dehnung
war nicht zu groß.
Bei zu großen Auslenkungen, d.h. oberhalb einer gewissen Grenze, wird die Feder dauerhaft verformt.
Experimentell beobachtet man, dass bei kleinen Auslenkungen ∆x die Federkraft proportional zu ∆x ist
und entgegen der Auslenkungsrichtung wirkt.
Dieser Sachverhalt ist als Hooksches Gesetz
Fx = −c ( x − x0 ) = −c ∆x
bekannt, wobei die Proportionalitätskonstante c als
Federkonstante bezeichnet wird.
Körper
x = x0
Fx = 0
x
a) Wenn die Feder weder gedehnt noch gestaucht ist, übt sie
auch keine Kraft auf den Körper aus.
∆x
Fx
Fx = −c ∆x
ist negativ da
∆x positiv
x
x = x0
b) Wenn die Feder gedehnt wird, d.h. ∆x > 0 ,dann greift die
Kraft in negativer x-Richtung mit dem Betrag c ∆x am
Körper an.
∆x
Fx = −c ∆x
ist positiv, da
∆x negativ
Fx
x = x0
x
c) Wenn die Feder gestaucht wird, d.h. ∆x < 0 ,dann greift
die Kraft in positiver x-Richtung mit dem Betrag c | ∆x |
am Körper an.
Normalkraft, Hangabtriebskraft
y
r
FH
r
FE
x
ϑ
r
FN
ϑ
r
r
FG = m g
Die Gewichtskraft führt bei Körpern auf einer schiefen
Ebene mit dem Neigungswinkel ϑ zu einer senkrecht
auf dier schiefe Ebene wirkenden Kraft, der Normalkraft FN , mit dem Betrag
FN = m g cos ϑ
und zu einer parallel zur schiefen Ebene gerichteten
r
beschleunigenden Kraft, der Hangabtriebskraft FH mit
dem Betrag
FH = m g sin ϑ
Übungsaufgabe 8
Festkörperreibungskraft
Körper
r
F
Boden
r
FR , H
Beim Versuch, einen großen Gegenstand zu schieben,
wirkt die Reibung einer Bewegung
r entgegen. Der Boden übt eine Haftreibungskraft FR , H aus, die die aufgewendete Kraft ausgleicht, so lange F < FR ,H max.
Intuitiv könnte man vermuten, dass die Haftreibungskraft proportional zur Größe der Berührungsfläche ist.
Experimentell zeigt sich jedoch, dass die Haftreibung
• nicht von der Größe der Berührungsfläche abhängt
• proportional zur Normalkraft ist, die eine Oberfläche auf die andere ausübt
• von der Oberflächenbeschaffenheit der beteiligten
Körperflächen abhängt.
Die maximale Haftreibungskraft ergibt sich folglich zu
FR , H max = µ H FN
wobei der Proportionalitätsfaktor µ H als Haftreibungszahl bezeichnet wird und von der Oberflächenbeschaffenheit der Berührungsfläche abhängt.
Allgemein gilt für die Haftreibungskraft
FR , H ≤ µ H FN
Bei einer Kraft F > FR , H max gerät der Gegenstand in
Bewegung.
Um den Gegenstand mit konstanter Geschwindigkeit
weiterbewegen zu können, muss jetzt eine Kraft aufgebracht werden, die die Gleitreibungskraft kompensiert, d.h. Gleitreibung wirkt ebenfalls der Bewegung
entgegen.
Die Gleitreibung ist definiert als
FR ,G = µ G FN
wobei µ G die Gleitreibungszahl angibt.
Experimentell ergibt sich
•
µ G ist kleiner µ H
•
µ G hängt von der Relativgeschwindigkeit der
Oberflächen ab. Im Geschwindigkeitsbereich von
1cm/s bis zu mehreren Metern pro Sekunde kann
als näherungsweise konstant angesehen werden.
•
µ G hängt wie µ H von der Beschaffenheit der
Kontaktflächen, nicht aber von der Größe der
makroskopischen Fläche ab.
FR
Reibungskraft
FR , H max = µ H FN
FR ,G = µ G FN
FR , H = F
eingesetzte Kraft
F
Übungsaufgabe 9
Eine dritte Variante der Festkörperreibung ist die sogenannte Rollreibung. Während z.B. ein Autoreifen
rollt, müssen sich die Kontaktflächen ständig voneinander lösen. Außerdem verformt sich die Oberfläche.
Wie bei der Gleitreibung, erfasst man alle zur Rollreibung beitragenden Einflüsse pauschal durch eine
Rollreibungszahl µ R , wobei die Rollreibungskraft
vereinfacht durch
FR , R = µ R FN
definiert ist.
Übungsaufgabe 10
Scheinkräfte, Trägheitskräfte
Die Newtonschen Gesetze gelten nur in Inertialsystemen, d.h. in ruhenden oder gradlinig gleichförmig
bewegten Bezugssystemen.
Sie gelten nicht in beschleunigten Bezugssystemen.
Sie lassen sich aber trotzdem anwenden, wenn man
Scheinkräfte einführt, die von der Beschleunigung
des Bezugssystems abhängen.
Translationsbeschleunigte Bezugssysteme
Gegenstand auf Luftkissentisch im beschleunigten Eisenbahnwaggon.
y
S
y' ' S ' '
r
FS
r
F
m
r
a
O' '
O
x' '
x
Das 2te Newtonsche Axiom kann im Bezugssystem des Waggons
nur dann angewendet
werden, wenn wir die Scheinkraft (Trägr
r
heitskraft) FS = − m a einführen.
d‘Albertsches Prinzip
In Bezug auf ein mit einem beschleunigten Körper mitbewegtes Bezugssystem befindet sich dieser in Ruhe.
Die Vektorsumme aller am Körper angreifender Kräfte
r
Fn (n = 1, 2,K, N )
einschließlich der Scheinkraft
r
r
FS = −m a
ist stets gleich Null
N r
r
r
r
r
r
∑ Fn + FS = Fres + FS = Fres − m a
n =1
Übungsaufgabe 11
Rotierende Bezugssysteme
Eine mit einer rotierenden Scheibe fest verbundenes
Bezugssystem ist kein Inertialsystem, denn jeder Punkt
auf der Scheibe bewegt sich auf einer Kreisbahn und
besitzt demzufolge eine Zentripetalbeschleunigung.
1tes Experiment:
Ein Körper ist über ein Seil mit dem Mittelpunkt einer
rotierenden Scheibe verbunden.
a) Für einen neben der Scheibe stehenden Beobachter
(INS) bewegt sich der Körper auf einer Kreisbahn
mit der Zentripetalbem
schleunigung, die von
r
r a
der
Zugkraft
(der
Zenr
F
v
tripetalkraft)
zp
zp
r
Fzp = Fzp
v2
= m a zp = m
r
im Seil aufgebracht
wird.
b) Für einen Beobachter auf der Scheibe befindet sich
der Körper in Ruhe. Damit das 2te NewtonscheAxiom gilt, muss eine
r
F
Scheinkraft, die Zentrim
fugalkraft
r
zf
Fzp
r
r
Fzf = − Fzp
r
r
v2
Fzf = Fzf = Fzp =
r
eingeführt werden, die
nach außen wirkt und
die Zentripetalkraft
ausgleicht.
Damit das zweite Newtonsche Axiom in rotierenden
Bezugssystemen gilt, muss neben der Zentrifugalkraft
noch eine weitere von der Geschwindigkeit des Körpers abhängende Scheinkraft, die Coriolis-Kraft, eingeführt werden.
2tes Experiment:
Vom Zentrum einer rotierenden Scheibe wird eine
Kugel mit der Geschwindigkeit v horizontal abgeworfen.
a) In einem Inertialsystem bewegt sich die Kugel
geradlinig und verpasst den Fänger, weil sich
dieser mit der Scheibe weggedreht hat.
Fänger
Fänger
Werfer
Werfer
t = t0 + ∆t
t = t0
Beobachter
Beobachter
b) Im Bezugssystem der rotierenden Scheibe ist der
Fänger in Ruhe und die Kugel wird nach rechts
abgelenkt. Die Scheinkraft, die die Kugel von der
gradlinigen Bahn abbringt, heißt Coriolis-Kraft.
t = t0
t = t0 + ∆t
Fänger
Fänger
Werfer
Werfer
Beobachter
Beobachter
r
∆s
Die Coriolis-Beschleunigung/Kraft erhält man wie folgt
Verschiebung:
für t0 = 0, s0 = 0 ⇒
radial
r = vt
lateral
s = vω t 2
∆s = s − s0 = s, ∆t = t − t0 = t gilt
(r = v ∆t )
(∆s = r 2π n ∆t = r ω ∆t = v ω ∆t )
2
wobei n = T1 die Drehzahl, ω = 2Tπ die Winkelgeschwindigkeit und
T die Dauer einer Umdrehung bezeichnet.
Coriolis-Beschleunigung:
Coriolis-Kraft:
r
d 2s
ac = ac = 2 = 2 v ω
dt
r
Fc = Fc = m ac = 2 m v ω
Beispiel:
a) Einfluss der Zentrifugalbeschleunigung
auf die Erdbeschleunigung.
b) Wirkung der
Coriolis-Kraft
auf der Erde.