4 Codes

4 Codes
Die Umsetzung einer Nachricht in eine geeignete Darstellung oder die physikalische
Repräsentation wird als Codierung bezeichnet. Die Nachricht wird codiert, damit die
enthaltene Information in einem Nachrichtentechnischen System verarbeitet werden kann.
Der Informationsgehalt bestimmt die Codierungsvorschrift. Einige Definitionen:
Nachricht:
Zusammenstellung von Symbolen (Zeichen) zur Informationsübermittlung.
Symbol:
Element eines Symbol- oder Zeichenvorrates. Dieser Vorrat ist eine festgelegte endliche
Menge von verschiedenen Symbolen (= Elemente der Menge). Der Unterschied zwischen
Symbol und Zeichen ist recht subtil. Ein Symbol ist ein Zeichen mit bestimmter Bedeutung.
Alphabet:
Ein geordneter Vorrat von Symbolen.
Wort:
Folge von "zusammengehörigen" Zeichen, die in einem bestimmten Zusammenhang als
Einheit betrachtet werden.
Beispiel:
Alphabet: A,B,C,D,E,F,...,X,Y,Z
Wort: DONALD
Nachricht: DONALD SUCHT DAISY
Hier noch einige Beispiele:
4.1 Zielsetzung, Entwurfskriterien
Code:
Vorschrift für die eindeutige Zuordnung (= Codierung) der Zeichen eine Zeichenvorrats
(Objektmenge) zu den Zeichen eines anderen Zeichenvorrats (Bildmenge).
Häufig wird mit "Code" auch nur die Bildmenge bezeichnet.
Wie gesagt: Zweck der Codierung ist die Anpassung der Nachricht an technische Systeme (z.
B. Morsecode). Die Codierung ändert nur die Darstellungsform einer Nachricht, nicht ihre
Bedeutung.
Hier werden nur Binärcodes behandelt. Die Symbole des Codealphabets sind die
Binärzeichen {0,1}, Die Codeworte sind Binärworte --> Dualzahlen stellen einen Binärcode
dar. Binärcodes spielen in der Technik eine besonders wichtige Rolle.
Beispiele binärer Zeichenvorräte:
Intensität
hell
dunkel
Zahlen
1
0
Zustände
gelocht ungelocht
Wahrheitswerte wahr
falsch
Spannungen
5 Volt
0 Volt
Ströme
20 mA 0 mA
4.2 Kenngrößen von Codes
Zur Codierung aller Zeichen einer Objektmenge sind Codewörter aus einer bestimmten
Anzahl von Binärzeichen nötig. Mit einer Stellenzahl (= Wortlänge) von n können M = 2n
verschiedene (gleichlange) Codewörter gebildet werden.
Zur Codierung von M Zeichen sind also Codeworte der Länge
n = (ganze Zahl >= ld (M))
nötig. Ist M keine Zweierpotenz, können mehr Codeworte gebildet werden. Die nicht
verwendeten Codeworte heißen Pseudowörter --> Redundanz. Die Codewortlänge wird oft als
Coderahmen bezeichnet.
Es gibt auch Codes, bei denen die Codewortlänge kleiner als ld(M) ist. Die Codeworte sind
dann doppelt belegt und Umschaltzeichen ordnen den nachfolgenden Codeworten die
Belegung zu (z. B. Telegraphenalphabet CCITT Nr. 2: n = 5, Umschaltung
Buchstaben/Ziffern und Sonderzeichen).
Gründe für die Codierung:




Geeignete Nachrichtendarstellung für die technische Verarbeitung:
o Erfassung und Aufbereitung
o Übertragung
o Sortierung
o Verknüpfung und Bearbeitung
o Ausgabe
Ökonomische Darstellung von Informationen:
o Übertragungsgeschwindigkeit
o Energieersparnis
o Aufwand für Verknüpfung und Verarbeitung
o Speicherplatzbedarf
Sicherung der Information gegen Verfälschung,
o Übertragungsfehler
o Verarbeitungsfehler
Schutz der Informationen vor unbefugtem Zugriff (Verschlüsselung, Kryptologie)
4.3 Forderungen an einen Code:
Die Forderungen werden aus den o.g. Gründen abgeleitet, was zum Teil auch
wiedersprüchliche Merkmale nach sich zieht --> ein für alle Zwecke optimaler Code existiert
nicht --> Anwendung mehrerer Codes in einem System (DV-System) nicht ungewöhnlich -->
Umcodie- rung notwendig.
Beispiele für Codeeigenschaften (Forderungen):











umkehrbar eindeutig
Codierung leicht realisierbar
Gewichtung der einzelnen Binärstellen
geringe Wortlänge
Ordnungsrelation (für Sortierung)
einfache Komplementbildung (Rechnen)
Änderung nur einer Stelle beim Übergang zum nächsten Zahlenwert
einfache Realisierung arithmetischer Operationen
Erkennen und Korrektur von Übertragungsfehlern
Minimierung der 0- oder 1-Bits
Vermeindung von 0- oder 1-Wort


Unterscheidung von Zahlen größer/kleiner 5 (Rundung)
Unterscheidung gerader/ungerader Zahlen
4.4 Beispiele für numerische Codes
Einige der vorgestellten numerischen Codes haben ihre Bedeutung mit dem Fortschreiten der
technischen Entwicklung verloren. Sie wurden entwickelt, um beim Bau von Rechenanlagen
elektrische oder elektronische Komponenten zu sparen (z. B. Rundungserkennung). Die
Namen der Codes sollte man aber zumindest einmal gehört haben.
Dualcode
Der Dualcode ist ein reiner Binärcode, der der Zahlendarstellung im Dualsystem entspricht -> wortorganisierte binäre Codierung, einfache Arithmetik, Umcodierung bei Ein-/Ausgabe
oder Übertragung relativ schwierig.
BCD-Codes (binary coded decimal)
Jede Ziffer einer Dezimalzahl wird unabhängig codiert --> ziffernorganisierte binäre
Codierung. Es entsteht eine gemischte Darstellung; die Ziffernstruktur der Objektmenge
bleibt erhalten und jeder Dezimalziffer wird ein binäres Codewort zugeordnet. Zur
Darstellung werden 4 Bit benötigt --> tetradischer Code. Das Codewort für eine Ziffer wird
Tetrade genannt.
Von den insgesamt 16 Tetraden werden nur 10 Nutztetraden benötigt --> 6 Pseudotetraden.
Die Aufteilung der 16 Tetraden in Nutz- und Pseudotetraden führt zu verschiedenen
tetradischen Codes. In der Digitaltechnik haben nur einige Möglichkeiten Bedeutung
gewonnen.



8-4-2-1-Code (oft als "BCD-Code" bezeichnet)
o direkte Darstellung der Ziffern 0-9 im Dualcode
o gewichteter Code Jede Stelle der Tetrade besitzt ein bestimmtes Gewicht (8-42-1). Die Summe aus allen Dualziffern, jeweils multipliziert mit ihrem
Gewicht, ergibt den Wert der codierten Dezimalzahl, z. B.: 0101 --> 0*8 + 1*4
+ 0*2 + 1*1 = 5
o monoton wachsend
o einfache Zähl- und Addierschaltungen (Korrektur beim Übertrag notwendig!)
o Unterscheidung gerade/ungerade
o k e i n e einfache Bildung des Neunerkomplements möglich
2-4-2-1-Code (Aiken-Code)
o Pseudotetraden liegen in der Mitte
o gewichteter Code
o selbstkomplementierend (Vertauschen 0-1 ergibt Komplement)
o monoton wachsend
o Rundungserkennung (>5, <5)
o Unterscheidung gerade/ungerade
o Korrektur bei der Addition notwendig
o Übertrag stimmt mit Dezimalübertrag überein
5-4-2-1-Code (Biquinär-Code)
o Bezeichnung "biquinär" nicht eindeutig (gebildet aus "binär" (Basis 2) und
"quinär" (Basis 5)
o
o
o
o
o
o
o

gewichteter Code
je drei Pseudotetraden in der Mitte und am Ende
monoton wachsend
nicht selbstkomplementierend
Rundungserkennung (>5, <5)
keine Unterscheidung gerade/ungerade
das 1-Wort (1111) wird vermieden
Exzeß-3-Code (Stibitz-Code)
o Bildungsgesetz: Addition von 0011 zur Dualzahl
o ungewichteter Anordnungscode
o selbstkomplementierend
o monoton wachsend
o Unterscheidung gerade/ungerade
o Rundungserkennung (>5, <5)
o einfache Korrektur der Pseudotetraden bei der Addition
o 0- und 1-Wort werden vermieden
Mehrstellige BCD-Codes (n > 4, nicht tetradisch)
Häufig werden für die Codierung der Dezimalziffern mehr als vier Binärstellen verwendet -->
Übertragungssicherheit, Ausgabe, etc. Bedeutung haben fast nur Codes mit gleicher Anzahl
der 1-Bits in allen Codeworten --> gleichgewichtige Codes --> hohe Redundanz.
Ein Code mit dem Coderahmen (Wortlänge) n, dessen Nutzwörter alle m 1-Bits besitzen heißt
m-aus-n-Code. Beispiele:




2-aus-5-Code (n = 5, m = 2)
o bis auf die Null monoton wachsend
o bis auf die Null gewichteter Code
o Einsatz: Strichcode (5 Striche, 3 schmal, 2 breit) (Postleitzahlencodierung)
2-aus-5-Walking-Code
o Beim "Walking Code" wechseln beim Übergang zum nächsten Codewort
jeweils zwei benachbarte Sysmbole ihren Wert (ein Bit ist 0, das andere 1)
o nicht monoton wachsend
o nicht gewichtet
o zyklisch permutierend: Bildungsgesetz gilt auch für den Übergang 9 --> 0
Biquinärcode (2-aus-7-Code)
o spezieller 2-aus-7-Code, der aus einer 2-Bit- und einer 5-Bit-Gruppe besteht
(Kombination 1-aus-2-Code und 1-aus-5-Code).
o gewichteter Code
o Rundungserkennung (>5, <5)
o geeignet für Zählfunktionen
o leichte Komplementierung (Spiegelung) 0 = 01 00001, 9 = 10 10000
o unwirtschaftlich (große Länge)
1-aus-10-Code
o gewichteter Code
o monoton wachsend
o sehr übersichtlich
o großer Aufwand
o Anwendung zur Anzeige, numerische Tastaturen
o Kettencode
Nebenbemerkung: Kettencodes sind n-Bit-Codes, bei denen über eine zyklische Anordnung
von maximal 2<SUPN< SUP> Bits ein Ablesefenster verschoben wird, das n
aufeinanderfolgende Bits herausgreift. Für n=3 ist das z. B. mit der folgenden Anordnung von
8 Bits möglich:
Einschrittige BCD-Codes
Bisher haben sich beim Übergang von einem Codewort zum nächsten mehrere Bits geändert -> mehrschrittige Codes. Bei Abtastvorrichtungen für die Längenmessung oder bei der
Analog-Digital-Wandlung gibt es mit solchen Codes Fehlentscheidungen, wenn Abtastung
und Signalwechsel gleichzeitig erfolgen --> Bei einschrittigen Codes unterscheiden sich
benachbarte Codeworte nur in einem Bit. Beispiele:




Gray-Code
o nicht gewichteter Code
o nicht monoton wachsend
o 16-er-Teilung (9-->0 nicht einschrittig)
o ungeeignet für die Weiterverarbeitung (Umcodierung!)
o leicht umcodierbar in den 8-4-2-1-Code
o tetradischer Code
o Unterscheidung gerade/ungerade (gilt für alle einschrittigen Codes
gerade/ungerade Anzahl von 1-Bits)
Glixon-Code
o 0 .. 8 identisch mit Gray-Code
o 9 so, daß Übergang 9 -> 0 einschrittig ist (zykl. permutiert)
O'Brien-Code
o tetradischer Code
o zyklisch permutierend
o nicht gewichtet
o nicht monoton wachsend
o Rundungserkennung (>5, <5)
o Vermeidung von 0- und 1-Wort
o einfache Komplementbildung (Invertierung des MSB)
Libway-Craig-Code
o 5-stelliger Code
o zyklisch permutierend
o nicht gewichtet
o nicht monoton wachsend
o Rundungserkennung (>5, <5)
o "gepackte" Folge der 1-Bits
o Code des Johnson-Zählers
Mehrschrittige Anordnungscodes
Codes für spezielle Aufgaben. Als Beispiel 7-Segment-Code für Ziffernanzeigen.
4.5 Beispiele für alphanumerische Codes
Binärcodes für die Darstellung von Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen. Nach der
Wortlänge unterscheidet man 5-, 6-, 7- und 8-Bit-Codes. Die mindestens benötigte
Codewortlänge ergibt sich aus:
10 Ziffern, 26 Buchstaben, 10 Sonderzeichen --> 46 Zeichen --> 6 Bit Wortlänge
5-Bit-Codes
Hier erfolgt eine Doppelbelegung --> nicht eindeutig, es wird ein Umschaltzeichen
(Einfachbelegung) benötigt. Störung bei Übertragung des Umschaltzeichens führt zu falscher
Decodierung.




Fernschreibcode CCITT Nr. 2 (CCITT = Comite Consultativ International de
Telegraphique et Telephonique)
o international genormt
o gebräuchlichster 5-Bit-Code
o Steuerzeichen "Buchst. Umschaltung", "Ziffern-Umschalt.", "Wagenrücklauf",
"Zeilenvorschub", "Leerschritt" einfach belegt
o Stromsparend (1-Bit = Stromfluß) Anzahl der 1-Bits nach der
Buchstabenhäufigkeit
Teletype Baudot-Code
o bis auf einige Sonderzeichen identisch CCITT Nr. 2
Ziffernsicherungscode ZSC 2
o ähnlich CCITT Nr. 2
o Ziffern haben drei 1-Bits und zwei 2 0-Bits
o Vorzeichen "+" und "-" haben ein 1-Bit und vier 0-Bits
o Fehlererkennung eines fehlerhaften Bits bei Übertragung
o Fehlererkennung bei Buchstaben aufgrund der Redundanz der Sprache
Ziffernsicherungscode ZSC 3
o ähnlich CCITT Nr. 2
o Ziffern wie ZCS 2
o keine Fehlererkennung bei Vorzeichen
6-Bit-Codes
Wenig verbreitet; neben Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen auch Steuerzeichen
vorgesehen.


6-Bit-Transcode
o Belegung aller Bitkombinationen, 16 Steuerzeichen
BCDI-Code (BCD-Interchange)
o BCD-Code um 2 Bits erweitert
o nicht alle Codeworte belegt
o Siemens-300-Prozeßrechner

CDC-Displaycode
o Belegung aller Bitkombinationen
o herstellerspezifisch
7-Bit-Codes

ASCII, ISO-7-Bit-Code, CCITT Nr. 5)
(American Standard Code for Information Interchange)
o national und international genormt
o häufig auch interner Verarbeitungscode von DV-Systemen
o Groß- und Kleinbuchstaben, Ziffern, Sonder- und Steuerzeichen
o wenige Zeichen mit national alternativer Belegung
o häufigster Code für die Datenübertragung
binär
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
hexadezimal 0
1
2
3
4
5
6
7
0000
0
NUL DLE
0001
1
SOH DC1
0010
2
0
@
P
`
p
!
1
A
Q
a
q
STX DC2
"
2
B
R
b
r
0011
3
ETX DC3
#
3
C
S
c
s
0100
4
EOT DC4
$
4
D
T
d
t
0101
5
ENQ NAK
%
5
E
U
e
u
0110
6
ACK SYN
&
6
F
V
f
v
0111
7
BEL ETB
'
7
G
W
g
w
1000
8
BS
CAN
(
8
H
X
h
x
1001
9
HT
EM
)
9
I
Y
i
y
1010
A
LF
SUB
*
:
J
Z
j
z
1011
B
VT
ESC
+
;
K
[
k
{
1100
C
FF
FS
,
<
L
\
l
|
1101
CR
GS
-
=
M
]
m
}
D


1110
E
SO
RS
.
>
N
^
n
~
1111
F
SI
US
/
?
O
_
o
DEL
Die Kodierung eines Zeichens erhält man dadurch, daß Zeilenwert hinter Spaltenwert
geschrieben wird, z. B. 'A' = 0100 0001 binär = 41 hexadezimal.
Abkürzungen der Steuer- und Sonderzeichen:
ACK
BEL
BS
CAN
CR
DCi
DEL
DLE
EM
ENQ
EOT
ESC
ETB
ETX
FF
FS
GS
HT
LC
LF
NAK
NL
NUL
RS
SI
SO
SOH
STX
SUB
SYN
UC
US
VT
acknowledge - positive Rückmeldung
bell - Klingel
backspace - Rückwärtschritt
cancel - ungültig, Abbruch
carriage return - Wagenrücklauf
device control i - Gerätesteuerung i
delete - löschen, Entfernen
data link escape - Datenübertragungsumschaltung
end of medium - Ende der Aufzeichnung
enquiry - Stationsaufforderung, Anfrage
end of transmission - Ende der Übertragung
escape - Umschaltung
end of transmission block - Ende des Datenübertragungsblocks
end of text - Ende des Textes
form feed -Formularvorschub
file seperator - Hauptgruppentrenner
group seperator - Gruppentrenner
horizontal tabulation - Horizontaltabulator
lower case - untere Stellung, Kleinbuchstaben
line feed - Zeilenvorschub
negative acknowlegde - negative Rückmeldung
new line - neue Zeile
nil - Null (Füllzeichen ohne Einfluß auf Zeicheninhalt)
record seperator - Untergruppentrenner
shift in - Rückschaltung in Standardcode
shift out - Dauerumschaltung in andere Codetabellen
start of heading - Anfang des Kopfes
Start of text - Anfang den Textes
substitution - Austausch eines Zeichens
synchronous idle - Synchronisationslauf
upper case - obere Stellung, Großbuchstaben
unit seperator - Teilgruppentrenner
vertical tabulation - Vertikaltabulator
8-Bit-Codes

EBCDI-Code
o Extended Binary Coded Decimal Interchange Code
o IBM-Entwicklung
o
o
o


nur 145 der 256 Codeworte belegt --> Prüfmöglichkeit
erweiterter Steuerzeichenvorrat
Zifferndarstellung in den unteren 4 Bits entspricht BCD
"IBM-PC-Code"
o Erweiterung von ASCII auf 8 Bit für nationale Buchstaben und zusätzliche
Sonderzeichen
o nicht genormt
"ANSI-PC-Code"
o Erweiterung von ASCII auf 8 Bit für nationale Buchstaben und zusätzliche
Sonderzeichen
o Standard für Windows
o genormt
4.6 Codierung mit variabler Wortlänge
"Vom schweigsamen König, der gern Schweinebraten aß"
(Frei nach: Walter R. Fuchs: Knaur's Buch der Denkmaschinen, 1968)
In einem fernen Land lebte vor langer, langer Zeit ein kleiner König, der war dick faul und
unzufrieden und wollte den lieben langen Tag immer nur essen. Wir wollen hier nur seine
Nahrungs- gewohnheiten betrachten - insbesondere, da seine Ernährung recht einseitig war.
Den lieben langen Tag aß er nur:
(1) Schweinebraten,
(2) Schokoladenpudding,
(3) Essiggurken,
(4) Erdbeertorte.
Zudem war der König sehr maulfaul und mit der Zeit wurde es ihm sogar zu anstrengend,
seine Bestellungen aufzugeben (die er sowieso im Telegrammstil kundtat: "Braten, Torte,
Gurken"). Eines Tages beschloß er, eine Codierung zu entwickeln, mit der er seine Befehle
auch loswurde, ohne den Mund aufzutun. Durch Zufall wurde es sogar eine Binärcodierung:
Die rechte Hand ein wenig heben heiße:
Schweinebraten
Die linke Hand etwas heben heiße:
Schokopudding
Erst die rechte und dann die linke Hand heben:
Gurken
Zweimal nacheinander die rechte Hand heben:
Erdbeertorte
Der Übersichtlichkeit halber wollen wir die Codierung etwas abkürzen. "R" steht für "rechte
Hand heben" und "L" für "linke Hand heben". Dann ergibt sich folgende Codezuordnung:
R Braten
L Pudding
RL Gurken
RR Torte
Und schon gab es Probleme. Angenommen der König hob dreimal die rechte Hand (-->
RRR). Dann konnte dies bedeuten:
Braten, Braten, Braten oder
Braten, Torte oder
Torte, Braten
Nun mußte der König einmal wirklich viel reden. Er rief seinen Hofmathematikus zu sich und
erklärte den Sachverhalt. "Hmmmm" überlegte dieser: "Majestät haben Höchstdero
Speisewünsche binär codiert. Vorzüglich, Vorzüglich." "Aber es klappt nicht", raunzte der
König,"jedesmal, wenn ich Schweinebraten und Pudding will, bringen diese Hornochsen mir
Gurken!" und er sank erschöpft auf seinen Thron zurück. "Mit Verlaub, die Codierung ist
nicht ein- deutig, Majestät", wagte der Mathematikus einzuwerfen. "Ich weiß!
Laß Dir gefälligst was einfallen!" grunzte der König. Und vor lauter Angst, wieder etwas
Falsches zu bekommen, brüllte er: "Braten und Torte, aber fix!".
Der Mathematiker brütete inzwischen über eine eindeutige binäre Codierung nach und
gelangte zu folgenden Überlegungen:
1. Es sind vier Worte binär zu codieren, also brauche ich eine Codewortlänge von
mindestens 2 Binärzeichen.
2. Die Codierung der vier Speisewünsche sah folgendermaßen aus:
Braten RR
Pudding RL
Gurken LR
Torte LL
Nun war die Codierung unverwechselbar. Die Zeichenfolge "LRRLLLRRRRLL" konnte nur
noch bedeuten: Gurken, Pudding, Torte, 2 x Braten, Torte.
Zwar war die Codierung eindeutig, aber war sie auch optimal? Bisher wurde davon
ausgegangen, daß der König keine spezielle Vorliebe für bestimmte Gerichte hat (alle
Codewörter sind gleich wahrscheinlich). Zudem beschwerte sich der König schon nach kurzer
Zeit darüber, daß er viel zu häufig die Hände heben müsse.
Also vergatterte der Mathematikus seinen Assistenten, eine Statistik der königlichen
Essenswünsche aufzustellen. Heraus kam folgendes. Jeden Tag verspeiste der König im
Schnitt 18 Gerichte.
Die Häufigkeitsverteilung stellte sich so dar:
9 x Schweinebraten,
6 x Schokopudding,
1 x Gurken,
2 x Erdbeertorte.
Soll die Codierung optimal, also eindeutig und zweckmäßig sein, mußte der Matehmatikus
versuchen, für den Braten einen möglichst
kurzen Code zu wählen. Dafür darf der Code für eine Grurkenbestellung ruhig länger sein.
Also legte er erst einmal fest:
Braten --> R
Damit ist das "R" 'verbraucht', denn es darf wegen der Eindeutigkeit kein Codewort mehr mit
"R" beginnen (Fano-Bedingung: Kein Code darf der Beginn eines anderen verwendeten
Codes sein). Weiter geht es mit:
Pudding --> LR
Es bleibt somit noch ein zweistelliges Codewort übrig (LL, denn RR und RL sind wegen der
Fano-Bedingung 'verboten'), aber es sind noch zwei Speisewünsche zu codieren. Also müssen
die nächsten Codes dreistellig sein. Unter Beachtung der Eindeutigkeit ergibt sich:
Torte --> LLR Gurken --> LLL
wahlweise auch:
Torte --> LLL Gurken --> LLR
Ist diese Codierung nun wirklich besser, d. h. kürzer? Beim alten Code benötigte der König
für 18 Gerichte 36 bit. Nun sieht es bei der oben genannten Häufigkeitsverteilung
folgendermaßen aus:
9
6
1
2
x
x
x
x
Schweinebraten 9 bit
Schokopudding 12 bit
Gurken
3 bit
Erdbeertorte
6 bit
--------Summe
30 bit
Es wurden also durchschnittlich 6 bit pro Tag gespart. Probieren wir zum Schluß der
Geschichte aus, ob es klappt. Was will der König bei "LRRRLLR"? Da die Codewortlänge
variiert, muß man schrittweise vorgehen. Das erste "L" bedeutet noch nichts. "LR" heißt
eideutig "Pudding". Dann kommt "R" für "Braten" und gleich noch einer. Wieder ein "L", das
noch nichts besagt. Auch das folgende "L" liefert noch keine Lösung. Erst das letzte "R" gibt
Aufschluß: "Torte!".
Mathematischer Hintergrund:
Oben war von "Häufigkeiten" die Rede. Es handelt sich dabei um Erfahrungswerte, die durch
Beobachtung gewonnen werden (empirische Werte). Die empirischen Häufigkeitswerte
müssen zu den theoretischen Wahrscheinlichkeiten in klare Beziehung gebracht werden. Wir
wissen alle, daß beim Münzwurf die Wahlscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 1/2
beträgt. Um durch empirische Ermittlung auf die exakte Übereinstimmung zwischen
Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeit zu kommen, müßte man unendlich viele Würfe
auswerten. Die praktische Regel der Wahrscheinlichkeitsrechnung erspart uns Zeit, denn sie
besagt, daß sich bei genügend vielen Versuchen die Häufigkeit eines Ereignisses nur noch
sehr wenig von der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Ereignisses unterscheidet. Es
gilt:
Führt eine n-malige Verwirklichung der geforderten Bedingung in m Fällen zum zufälligen
Ereignis A, dann liegt die Häufigkeit h(A) = m/n beliebig nahe an der Wahrscheinlichkeit
P(A).
Jetzt können wir die Ergebnisse unseres Märchens aufarbeiten. An der königlichen Tafel sind
vier zufällige Ereignisse bedeutsam:
A1:
A2:
A3:
A4:
Der
Der
Der
Der
König
König
König
König
bestellt
bestellt
bestellt
bestellt
Braten
Pudding
Torte
Gurken
Auch die Häufigkeiten sind bekannt. Wir nehmen an, daß die Werte auf genügend vielen
Beobachtungen beruhen. Also können wir die Wahrscheinlichkeiten durch die Häufigkeiten
annähern:
P(A1)
P(A2)
P(A3)
P(A4)
=
=
=
=
9/18
6/18
2/18
1/18
=
=
=
=
1/2
1/3
1/9
1/18
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) ergibt immer den
Wert 1. Betrachten wir nun den König als Nachrichtenquelle. Seine Nachrichten sind A1, A2,
A3 und A4. Die oben erwähnten Wahrscheinlichkeiten stellen zusammen mit den
zugehörigen Nachrichten das Bild einer (sehr abstrakten) Nachrichtenquelle dar. Die
Nachricht A1 hat eine relativ hohe, die Nachricht A4 eine relativ geringe Wahrscheinlichkeit.
Mit anderen Worten: A1 dürfte in einer Nachrichtenfolge öfter auftauchen als A4 (wobei
nichts über die Position von A1 ausgesagt werden kann). Damit können wir auch den
Informationsgehalt definieren:
Je kleiner die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Nachricht ist, desto höher ist ihr
Informationsgehalt. Als Formel:
I(A) = ld( 1/P(A) )
[bit]
Wenden wir nun diese Formel auf die Nachrichten A1 bis A4 an:
I(A1)
I(A2)
I(A3)
I(A4)
=
=
=
=
ld(
ld(
ld(
ld(
1/(1/2) ) = ld(2) =
1/(1/3) ) = ld(3) =
1/(1/9) ) = ld(9) =
1/(1/18) ) = ld(18)
1,000 bit
1,585 bit
3,170 bit
= 4,170 bit
Nun besitzen wir präzise Zahlenwerte über den Informationsgehalt der einzelnen Nachrichten.
Das Maß für die Unsicherheit darüber, welche Nachricht nun als nächste in einer Folge
kommt, ist die "mittlere Information" (oder Entropie) H:
H(A1, ..., An) = Summe(P(Ai) * ld(1/P(Ai))) für i=1 ... n
Für unser Königs-Ernährungsproblem ergibt sich:
H = 1,000/2 + 1,585/3 + 3,170/9 + 4,170/18 = 1,614 bit
Dieser Wert sagt uns aber noch nicht viel; wir brauchen Vergleichswerte. Betrachten wir nun
die binär codierten Essenswünsche, die ja nur noch aus den Zeichen "R" und "L" bestehen.
Zunächst die erste Codierung mit jeweils zwei bit für jedes Codewort (man schreibe einfach
die Codes entsprechend obiger Häufigkeiten auf und zähle die "R"s und "L"s):
P(R) = 25/36
P(L) = 11/36
--> H1(R,L) = 0,883 bit
Nun sehen wir uns die optimierte Codierung mit unterschiedlicher Länge der Codeworte an:
P(R) = 17/30
P(L) = 13/30
--> H2(R,L) = 0,988 bit
Also trägt hier jedes Signal mehr Information.
Coderedundanz
Dank der bisher erarbeiteten Formeln läßt sich diese auch nun exakt berechnen. Alle
bisherigen Beispiele zeigen, daß durch die Codierung im Mittel mindestens soviele
Binärstellen m verwendet werden müssen, wie durch den mittleren Informationsgehalt H
berechnet werden. Es gilt also immer: H <= m.
Es läßt sich aber für eine bestimmte aufgabe ein Code finden, für den H beliebig nahe an m
liegt. Zur Informationstheoretischen Beurteilung der Eigenschaften von Codes dient die
Redundanz:
absolute Redundanz
R = m - H
relative Redundanz:
r = (m - H)/m = R/m
Wie sieht das für unseren stets hungrigen König aus?
(1) Code mit fester Wortlänge 2:
H = 1,614 bit
m = 2 bit
R = 2 - 1,614 = 0,386
r = 0,386/2 = 0,193 = 19,3%
(2) Code mit variabler Wortlänge:
H = 1,614 bit
m = 1,722 bit
R = 1,722 - 1,614 = 0,108
r = 0,108/1,722 = 0,063 = 6,3%
Fassen wir zusammen. Das Shannonsche Codierungstheorem besagt:
1. es eine untere Grenze für die mittlere Codewortlänge gibt
2. die Redundanz eines Codes beliebig klein werden kann
Die zweite Behauptung impliziert auch, daß es nicht den optimalen Code gibt, sondern nur
einen relativ besten.
Wir haben gesehen, daß Codes redundant sein können. Formelmäßig läßt sich das Maß für die
Redundanz eines Codes allgemein folgendermaßen festlegen:
absolute Redundanz
relative Redundanz:
R = m - H
r = (m - H)/m = R/m
m = mittlere Codewortlänge H = Informationsgehalt
Sind alle Codewörter gleich lang, gilt:
absolute Redundanz
relative Redundanz:
R = ld(M) - ld(n)
r = (ld(M) - ld(n))/ld(M)
= R/ld(M)
M = Anzahl der möglichen Codewörter n = Anzahl der verwendeten Codewörter
Beispiel: tetradische Codes (Darstellung der Ziffern 0 bis 9) Der Informationsgehalt I = ld(10)
ist 3,32 bit. Wir müssen also Codeworte von 4 bit Länge verwenden. Mit 4 bit können jedoch
16 Codeworte dargestellt werden, wir haben also 10 Nutzbits und 6 Pseudoworte. Die
Redundanz ergibt sich zu: Rc = 4 - ld(10) = 4 - 3,32 = 0,68 und rc = 0,68 / 4 = 0,17 --> 17%.
Der Morsetelegraph hatte einen dreiwertigen Code (Punkt, Strick, Leerraum) und variable
Codelänge
4.7 Redundanzreduktion (Datenkompression)
Wie der Hofmathematiker herausgefunden hat, läßt sich die Coderedundanz durch Wahl einer
variablen Wortlänge reduzieren. Häufig auftretende Codeworte erhalten eine kurze
Wortlänge, seltene Codeworte sind dafür länger --> optimaler Code. Wir haben aber auch
gesehen, daß ein optimaler Code nur für eine ganz bestimmte Häufigkeitsverteilung der
Codeworte gilt. So hat schon Samuel Morse bei seinem Code die Häufigkeitsverteilung der
Buchstaben in der englischen Sprache berücksichtigt. Dieser Sachverhalt wird durch das
Codierungstheorem von Shannon ausgedrückt:


es gibt eine Grenze für die mittlere Codewortlänge
die Coderedundanz kann beliebig klein werden
Verfahren zur Datenreduktion wurden von Shannon, Fano und Huffman entwickelt. Nehmen
wir z. B. die Huffman-Codierung. Sie generiert anhand der Häufigkeiten einen optimalen
Code:




suche die beiden "seltensten" Zeichen (geringste Haufigkeit).
bilde einen Teilbaum mit diesen Zeichen (Unterscheidung durch 0 und 1), wobei
diesem nun die Summe der beiden Häufigkeiten zugeordnet wird.
suche nun die beiden seltensten Zeichen/Teilbäume und wiederhole die Gruppierung.
fahre mit diesem Verfahren solange fort, solange noch mindestens zwei
Teilbäume/Zeichen existieren.
Dazu ein Beispiel: In einem Text werden die Buchstaben gezählt. Es ergeben sich folgende
Häufigkeiten:
Beispiel: Telefax
Bei der Bildübertragung im Telefaxdienst der Gruppe 3 wird die Vorlage zeilenweise
abgetastet und jede Bildzeile in 1728 einzelne Bildpunkte zerlegt (Codierung schwarz = 1,
weiß = 0). Die vertikale Auflösung beträgt 3,85 Zeilen/mm in Normalauflösung und 7,7
Zeilen/mm in Feinauflösung. Bei einer Papierlänge von ca. 29 cm ergibt sich ein
Datenvolumen von
1728 * 290 * 3,85 = 1929312 bit
Bei einer Datenübertragungsrate von 9600 bit/s dauert das Senden einer Seite ca. 200 s = 3
Minuten, 20 Sekunden. Da eine normale Schreibmaschinenseite überwiegend weiß ist, haben
die Daten sicher hohe Redundanz. Bei einem Schwarzanzeil von 5% ergibt sich z. B. ein
Informationsgehalt von:
H = 0,05 * ld(1/0,05) + 0,95 * ld(1/0,95)
= 0,216 + 0,07 = 0,286
Für die Datenreduktion werden die Bildpunkte einer Zeile zusam- mengefaßt, denn eine
Bildzeile besteht abwechselnd aus weißen und schwarzen Feldern unterschiedlicher Länge.
Nun werden nicht mehr die einzelnen Bildpunkte codiert übertragen, sondern nur noch ein
Code für die Anzahl, beispielsweise 10w, 30s, 123w, 2s, 67w, ... Das Ganze nennt sich dann
"Lauflängencodierung" (run length encoding). Für jede Anzahl weißer und schwarzer
Bildpunkte wird nun ein optimales (Binär-)Codewort ermittelt und übertragen.
Da nun jede Vorlage einen anderen Schwarzanteil besitzt, müßte man für jede Seite eine
optimale Codierung ermitteln und diesen Code an die Gegenstation senden. Dieses Vorgehen
ist sicher nicht praktikabel. Daher untersucht man eine repräsentative Auswahl von Vorlagen
("Standardseiten") und ermittelt für diese einen optimalen Code. Dieser Code wird dann für
alle Telefax-Übertragungen verwendet. In der Realität ist das noch komplizierter, da die
Lauflängen nach einen bestimmten Schema codiert werden. Insgesamt ergibt sich jedoch - je
nach Vorlage - eine Datenreduktion auf 5 bis 20 Prozent des ursürünglichen Volumens.
4.8 Fehlersicherung
Bei der Übertragung und Speicherung von Nachrichten können Fehler auftreten. "Fehler"
eines binären Signals ist die Inversion dieses Signals (0 --> 1, 1 --> 0). Diese Störungen
führen zur Verfälschung von Symbolen.
Die Störung muß groß genug sein, um die physikalische Repräsentation umzukehren. Ja nach
Repräsentation ist das nur schwer möglich (Vorteil gegenüber der Analogtechnik). Die
"Stärke" der Störung wird durch die Bitfehler-Wahrscheinlichkeit ausgedrückt. Eine
Bitfehlerwahrscheinlichkeit von z. B. 0,00001 bedeutet, daß auf 10000 übertragene Bits eines
verfälscht ist. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 0 ist die theoretische Grenze und mit
endlichem Aufwand nicht erreichbar. Für ISDN-Leitungen der Telekom wird beispielsweise
eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 10-7 für sogenannte Dauerwählverbindungen angegeben.
Aufgabe der Codesicherung ist es, die Bitfehler in Codewörtern oder Codewort-Blöcken zu
erkennen oder zu beseitigen. Fehlererkennung ist nur möglich, wenn durch Bitfehler ungültige
Codeworte entstehen (= Codeworte, die nicht im Codewort-Vorrat definiert sind). Bitfehler
die ein Codewort in ein anderes gültiges Codewort verfälschen sind nicht erkennbar.
Beispiel: 5-4-2-1-Code:
0 1 0 1 (= 5)
|
0 1 0 1
(= 5)
|
1 1 0 1 (Pseudotetrade)
--> Fehler erkannt
0 1 0 0 (= 4)
--> Fehler nicht erkannt
Grundsätzlich gilt: Codewörter ohne Zeichenzuornung müssen vorhanden sein --> Code muß
redundant sein.
Beispiel: tetradische Codes:
m = 4
M = 10
Rc = 4 - ld(10) = 4 - 3,32 = 0,68
rc = 0,68 / 4 = 0,17 --> 17%
Die Redundanz stellt aber die Sicherheit gegen Übertragungsfehler noch nicht her. Codes
gleicher Redundanz können unterschiedlich übertragungssicher sein.
Beispiel: 2-aus-5-Walking-Code <--> Libway-Craig-Code Für beide gilt: m = 5, M = 10, Rc =
1,68, rc = 33,6%
Beim 2-aus-5-Walking-Code führt jede Verfälschung nur eines Bits zu einem fehlerhaften
Codewort. Beim Libway-Craig-Code kann ein 1-Bit-Fehler zu einem gültigen Codewort
führen.
Das unterschiedliche Verhalten der beiden Codes ist darauf zurückzuführen, daß sich zwei
beliebige Codeworte beim 2-aus-5-Walking-Code in mindestens zwei Stellen voneinander
unterscheiden und beim Libway-Craig-Code nur ein Bit Unterschied besteht.
Distanz: (Stellendistanz)
Anzahl von Stellen, in denen sich zwei gültige Codeworte eines Codes voneinander
unterscheiden: 1 %lt;= d < m
Hammingdistanz:
Die Mindestzahl der Stellen, in denen sich jedes gültige Codewort eines Codes von jedem
anderen unterscheidet: h = dmin
Für das obige Beispiel zeigt sich:
2-aus-5-Walking-Code: h = 2 Libway-Craig-Code: h = 1
Erst bei h = 2 werden 1-Bit-Fehler sicher erkannt. Bei tetradischen Codes mit h = 1 können
solche Fehler nur teilweise erkannt werden. Sollen mehr als ein Bitfehler erkannt werden oder
Fehler korrigiert werden, so muß die Hamming-Distanz erhöht werden.
4.9 Fehlererkennung
Codes für die Fehlererkennung sind so zu konstruieren, daß h = 2 ist --> "fehlererkennende
Codes", "prüfbare Codes". Hierzu gehören z.B. alle m-aus-n-Codes (gleichgewichtige Codes).
Es wird dazu die Anzahl der 1-Bits im Codewort überprüft. Ist sie ungleich m, liegt
mindestens ein Bitfehler vor. Um eine Anzahl e von Fehlern zu erkennen benötigt man einen
Hammingabstand von mindestens e + 1. Es gilt also:
e=h-1
Beispiel: Der Code besteht aus den Codeworten 0000 und 1111.
1111 \__________Störung_____________ 1110 1 Fehler
0000 /
1001 2 Fehler
1000 3 Fehler
h = 4 --> e = h - 1 = 3
Welche Möglichkeiten bieten sich?

Fehlererkennung durch Pritätsprüfung (parity check) Ungesicherte Codes (h = 1)
können durch die Hinzunahme eines Prüfbits (parity bit) auf h = 2 erweitert werden 1-Bit-Fehler werden erkannt. Zwei Codeworte, die sich zunächst nur um eine Stelle
unterscheiden, unterscheiden sich mit dem Paritätsbit nun um zwei Stellen. Der Wert
des Paritätsbits wird folgender- maßen ermittelt:
o gerade Parität (even parity): Die Anzahl der 1-Bits im erweiterten Codewort ist
gerade. Das Wort wird auf eine gerade Anzahl von 1-Bits erweitert.
o ungerade Parität (odd parity): Die Anzahl der 1-Bits im erweiterten Codewort
ist ungerade. Das Wort wird auf eine ungerade Anzahl von 1-Bits erweitert.
Die Erweiterung des Codewortes um ein Paritätsbit wird auch "Querparität" oder
"Zeichenparität" genannt. Die Überprüfung der empfangenen Codeworte kann durch
Bildung der Quersumme (Addition modulo 2, d.h. ohne Berücksichtigung des
Übertrags) erfolgen. Jede ungeradzahlige Anzahl von 1-Bit-Fehlern im Codewort wird
erkannt, geradzahlige Bitfehlerzahl wird nicht erkannt.

Fehlererkennung durch Prüfzeichen Mehrere ungesicherte Codeworte bilden einen
(Daten-)Block (in der Praxis zwischen 16 und 64 Codeworte). Über die gleichwertigen
Stellen der Codeworte eines Blocks wird die Parität gebildet. Diese Paritätsbits geben
dann die Blockparität. Auch hier ist gerade und ungerade Parität möglich. -->
Längsparität, LRC (longitudinal redundancy check). Durch die Blockparität wird der
Hammingabstand ganzer Datenblöcke vergrößert.
Beispiel "ASCII", gerade Parität:
A
1 0 0 0 0 0 1
S
1 0 1 0 0 1 1
C
1 0 0 0 0 1 1
I
1 0 0 1 0 0 1
I
1 0 0 1 0 0 1
----------------------Parity: 1 0 1 0 0 0 1


Was tun nach Erkennen eines Fehlers?
o Ausgabe einer Fehlernachricht
o Wiederholungsaufforderung
Prüfziffern Eine Prüfziffer wird an das eigentliche Codewort angehängt und
zusammen mit dem Code übermittelt. Stimmt die gelesene Prüfziffer nicht mit der
vom Decoder errechneten überein, wird der Code nicht akzeptiert. Verwendung z. B.
bei Strichcodes oder der ISBN (Internationale Standard-Buchnummer). Das folgende
Beispiel zeigt die Prüfziffernrechnung Modulo 10, Wichtung 3:
1. Quersumme aller Ziffern in ungerader Position
2. Quersumme aller Ziffern in gerader Position
3. Multiplikation von b) mit 3
4. Summe von a) und c)
5. Differenz von d) zum nächsten Vielfachen von 10
Beispiel: 8 6 1 3 2 5 1 8
a) 8 + 1 + 2 + 1 = 12
b) 6 + 3 + 5 + 8 = 22
c) 22 * 3
= 26
d) 12 + 26
= 78
e) 80 - 78
= 2

Prüfsumme bei Datenblöcken Alle Datenworte werden aufsummiert und diese Summe
an den Datenblock angehängt. Auf Empfängerseite wird ebenfalls summiert --> beide
Summen müssen gleich sein. Oft wird die Summe auf die Wortbreite der Datenworte
"gekappt" (Prüfsumme modulo M).
Beispiel: Strichcode
Am interessantesten ist sicher der EAN-Code, den es in 13- oder 8-stelliger Version gibt.
Dieser Code hat zugleich auch den kompliziertesten Aufbau, denn er soll das Lesen in beiden
Richtungen ermöglichen. Beim EAN-13 werden nur zwölf der dreizehn Ziffern direkt codiert,
damit sich der Codeblock in zwei Hälften unterteilen läßt. Die Codierung der 13. Ziffer wird
dann in der linken Hälfte "versteckt". Betrachten wir den EAN-Code nun genauer. Ein
Zeichen, d. h. die Codierung einer Ziffer besteht aus verschieden breiten Balken und
Zwischenräumen, wobei sich jedes Zeichen aus der Kombination von 7
Balken/Zwischenräumen fester Breite zusammensetzt. Die Breite eines solchen Elements,
eines Moduls, ist konstant. Um linke und rechte Hälfte des Codes unterscheiden zu können,
werden die Zahlen links und rechts unterschiedlich codiert, wobei die Codierung der linken
Hälfte wieder mit zwei unterschiedlichen Zeichensätzen erfolgt. Es gibt also drei verschiede
Zeichensätze. Sehen Sie sich dazu einmal die Codierung der "0" an:
Die gesamte Codetabelle ist weiter unten abgedruckt. (0 = weiß, 1 = schwarz). Nun ist noch
zu klären, wo die 13. Ziffer versteckt wird (es ist übrigens die ganz links vor dem Code
gedruckte Ziffer). Diese Ziffer wird durch die Kombination von Zeichensatz A und B in der
linken Hälfte des Barcodes festgelegt. Wie die Zuordnung ist, zeigt die zweite Tabelle unten.
Der EAN-8-Code besteht nur aus zwei Blöcken zu je 4 Zeichen aus den Zeichensätzen A
(links) und C (rechts).
Die drei Zeichensätze des EAN-Barcodes
Zeichensatz A Zeichensatz B Zeichensatz C
0 0001101
0100111
1110010
1 0011001
0110011
1100110
2 0010011
0011011
1101100
3 0111101
0100001
1000010
4 0100011
0011101
1011100
5 0110001
0111001
1001110
6 0101111
0000101
1010000
7 0111011
0010001
1000100
8 0110111
0001001
1001000
9 0001011
0010111
1110100
Codierung des 13. Zeichens
0 AAAAAA
1 AABABB
2 AABBAB
3 AABBBA
4 ABAABB
5 ABBAAB
6 ABBBAA
7 ABABAB
8 ABABBA
9 ABBABA
Von links nach rechts besteht der gesamte EAN-13-Barcode aus:





Randzeichen aus drei Modulen (101)
sechs Nutzzeichen aus je 7 Modulen der Zeichensätze A und B
Trennzeichen aus fünf Modulen (01010)
sechs Nutzzeichen aus je 7 Modulen des Zeichensatzes C
Randzeichen aus drei Modulen (101)
Die letzte Ziffer (ganz rechts) ist eine Prüfziffer, die folgendermaßen ermittelt wird:
1.
2.
3.
4.
5.
Quersumme aller Ziffern in ungerader Position
Quersumme aller Ziffern auf gerader Position
Ergebnis von b) multipliziert mit 3
Summe von a) und c)
Differenz von d) zum nächsten Vielfachen von 10 (ergibt sich hier 10, wird die
Prüfziffer 0 genommen)
Beispiel:
Code: 0 1 1 3 7 3 5 5 9 2 4 3 PZ
a)
0 + 1 + 7 + 5 + 9 + 4
b)
1 + 3 + 3 + 5 + 2 + 3
c)
17 * 3
d)
26 + 51
e)
80 - 77
=
=
=
=
26
17
51
77
= 3
--> Prüfziffer 3
Von links nach rechts besteht der gesamte EAN-8-Barcode aus:





Randzeichen aus drei Modulen (101)
vier Nutzzeichen aus je 7 Modulen des Zeichensatzes A
Trennzeichen aus fünf Modulen (01010)
vier Nutzzeichen aus je 7 Modulen des Zeichensatzes C
Randzeichen aus drei Modulen (101)
Auch hier ist wieder das letzte Zeichen ganz links ein Prüfzeichen zur Fehlererkennung.
4.10 Fehlerkorrektur
Um Bitfehler nicht nur erkennen, sondern auch korrigieren (d. h. lokalisieren) zu können, muß
der Hammingabstand auf h >= 3 erhöht werden. Beispiel h = 3:
O: gültiges Codewort
X: ungültiges Codewort
Ein Bitfehler führt zu einem ungültigen Codewort, das sich vom verfälschten Codewort in nur
einem Bit unterscheidet. Zu allen anderen gültigen Codeworten hat es mindestens zwei Bit
Unter- schied. Da die Auftrittswahrscheinlichkeit des 1-Bit-Fehlers in einem Codewort
wesentlich höher ist, als bei zwei oder mehr Bit- fehlern, ordnet man das fehlerhafte
Codewort dem ähnlichsten gültigen Codewort zu --> Fehlerkorrektur. Allgemein gilt für die
Anzahl der korrigierbaren Fehler:
k = (h - 1)/2
Es existieren eine Reihe von Verfahren zur Fehlersicherung, z. B.

Produktcodes (Block/Kreuzsicherung)
Beispiel: Blockübertragung mit Kreuzsicherung

Hamming-Codes (systematischer Aufbau, Auswertung Prüfmatrix)
k = (h - 1)/2 = e/2
k = Anzahl der korrigierbaren Fehler
e = Anzahl der erkennbaren Fehler
Hamming-Codes haben viel mehr Bits als notwendig und sind nach einem bestimmten
System aufgebaut. So benötigen z. B. Codes mit 2, 3 und 4 Nutzbits noch zusätzliche
3 Prüfbits zur Korrektur eines Fehlers.
Ein System zum Aufbau von Haming-Codes zur Korrektur eines Fehlers verwendet 4
Nutzbits (n1 - n4) + 3 Prüfbits (p1 - p3) --> 7 Bits:
Berechnung der Prüfbits (Addition modulo 2):
Beispiel: 8421-Code mit Hammingzusatz (h = 3):
Wert | p1 p2 n1 p3 n2 n3 n4
-----+--------------------0 | 0 0 0 0 0 0 0
1 | 1 1 0 1 0 0 1
2 | 0 1 0 1 0 1 0
3 | 1 0 0 0 0 1 1
4 | 1 0 0 1 1 0 0
5 | 0 1 0 0 1 0 1
6 | 1 1 0 0 1 1 0
7 | 0 0 0 1 1 1 1
8 | 1 1 1 0 0 0 0
9 | 0 0 1 1 0 0 1
Gesendet wird: 1 0 0 0 0 1 1
Empfangen wird: 1 0 0 0 0 0 1
Am Empfangsort wird berechnet:
empfangene Prüfbits: 1 0 0
berechnete Prüfbits: 1 1 1
Daraus ergibt sich:
1 0 0
1 1 1
------(Antivalenz): 0 1 1
LSB
MSB
"von rückwärts" gelesen: 1 1 0 --> Stelle 6 ist zu korrigieren.

Blockprüfung mittels zyklischer Codes (CRC = cyclic redundancy check). Der
gesamte Datenblock wird als ein sehr langes Codewort aufgefaßt und durch ein
Generatorpolynom dividiert. Die technische Realisierung kann durch Schieberegister
erfolgen.
o Vorteil: geringe Prüfmatrixgröße
o Sehr "sichere" Fehlererkennung
o In der Datenübertragung weit verbreitet
4.11 Fehlererkennung mittels CRC
An dieser Stelle soll in wenigen Worten ein Verfahren mit CRC (Cyclic Redundancy Check)
besprochen werden. CRC basiert auf der Division vom Polynomen. Bei diesem Verfahren
werden die n Bits eines Datenblocks als Koeffizienten eines Polynoms U(x) vom Grad n-1
interpretiert. Dann wird noch ein erzeugendes Polynom G(x) vom Grad k benötigt. Ein
gängiges Gerneratorpolynom ist:
CRC-CCITT: X16 + X12 + X5 + 1 (k = 16)
Die Vorgehensweise ist folgende:



An die Nutzinformation werden k Nullbits angehängt (oder bei Datex-P 1D0Fh). Die
Nachricht einschließlich CRC-Feld ist dann n+k Bits lang und entspricht dem
Polynom Xk * U(x).
Dieses Polynom wird nun durch das Generatorpolynom G(x) unter Verwendung der
Dualarithmetik dividiert. Es entsteht ein Restpolynom R(x) vom Grad k-1 (also eine
Folge von k Bits).
Die Koeffizienten von R(x) werden in das CRC-Feld eingetragen. Da bei der
Dualarithmetik 1-Bit-Addition/Subtraktion durch Exklusives Oder realisiert werden
können, enthält die gesendete Nachricht einschließlich Prüfsumme das Polynom
B(x) = Xk * U(x) + R(x)
B(x) ist durch G(x) ohne Rest teilbar. Auf Empfängerseite wird B(x) wieder durch G(x)
geteilt. Das CRC-Feld muß dann lauter Nullen enthalten.
Bei einem 16-Bit-CRC werden Burst-Fehler von nicht mehr als 16 Bit erkannt. Bei längeren
Burst ist die Wahrscheinlichkeit der Erkennung 99,997%. Bei einem 32-Bit-CRC werden
99,99999995% aller längeren Fehler-Bursts erkannt.
Die technische Realisierung kann durch ein rückgekoppeltes Schieberegister der Länge k
erfolgen. Das folgende Beispiel wird aus Gründen der Übersichtlichkeit nur mit einem 5-BitSchieberegister realisiert. Wir wõhlen dazu das Generator-Polynom:
G(x) = X5 + X4 + X2 + 1
Die Nutzdaten werden um 5 Nullbits verlängert und dann seriell in das Schieberegister
gespeist. nach n Schiebeoperationen sind die Nutzdaten gesendet, nach weiteren k
Schiebeoperationen auch das CRC-Feld. Dazu ein Beispiel. Es soll der Datenblock
1010001101 (n = 10) gesendet werden. Der Inhalt des Schieberegisters kann anhand der
folgenden Tabelle verfolgt werden:
Urzustand
1.Schritt
2.Schritt
3.Schritt
4.Schritt
5.Schritt
6.Schritt
7.Schritt
8.Schritt
9.Schritt
10.Schritt
11.Schritt
Flipflops des
Schieberegisters
A
B
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
Nutzdaten
C
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
D
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
E
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
Im Schieberegister steht nun R(x), das CRC-Feld. Da nun 5 Nullbits folgen, wird dieses
unverändert an die Daten angefügt.
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