Eine Frau hat Blutgruppe 0 (Genotyp 00), ihre Tochter Blutgruppe A

W. Timischl: Angewandte Statistik
KORRELATION UND REFRESSION
1
1. An bestimmten von sechs verschiedenen Grasarten stammenden Chromosomen wurden die
Gesamtlänge L sowie die Teillänge H des Caus H.M. Thomas, Heredity, 46: 263-267, 1981). Man berechne und interpretiere die
Produktmomentkorrelation rlh. Ist die Produktmomentkorrelation signifikant von null verschieden?
( = 5%)
L
H
77,00
6,00
79,00
5,00
72,50
5,00
65,50
3,00
56,50
2,75
57,25
4,25
Lösung mit EXCEL:
L
H
77
6
n=
MW_L=
MW_H=
r_LH=
79
5
6
67,958 STD_L=
4,333 STD_H=
0,7759
72,5
5
65,5
3
56,5
2,75
57,25
4,25
9,760
1,262
H0: Produktmomentkorrelation = 0
H1: Produktmomentkorrelation <> 0
alpha =
5%
TGs =
2,460
P-Wert = P(|TG < -|TGs| oder TG > |TGs|) =
0,0697 >> H0 nicht ablehnen!
Lösung mit R:
> l <- c(77, 79, 72.5, 65.5, 56.5, 57.25)
> h <- c(6, 5, 5, 3, 2.75, 4.25)
> summary(l)
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
56.50
59.31
69.00
67.96
75.88
79.00
> std_l <- sd(l)
> std_l
[1] 9.760144
> summary(h)
Min. 1st Qu. Median
Mean 3rd Qu.
Max.
2.750
3.312
4.625
4.333
5.000
6.000
> std_h <- sd(h)
> cor.test(l, h, method="pearson", alternative="two.sided")
Pearson's product-moment correlation
data: l and h
t = 2.4599, df = 4, p-value = 0.0697
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.09628007 0.97408874
sample estimates:
cor
0.7759085
75890053
15.05.2016
W. Timischl: Angewandte Statistik
KORRELATION UND REFRESSION
2
2. Die nachfolgende Tabelle enthält die über das Jahr gemittelten Wassertemperaturen (in oC) der
Donau. Man prüfe im Rahmen einer linearen Regression, ob sich im Beobachtungszeitraum die
Temperatur signifikant verändert hat (=5%).
Jahr Temp. Jahr Temp. Jahr Temp.
80
9,4
86
10,7
92
11,5
81
10,6
87
9,6
93
10,6
82
10,5
88
10,6
94
11,5
83
10,0
89
10,4
95
9,9
84
9,9
90
10,9
85
10,1
91
10,2
Lösung mit EXCEL:
Überprüfung der Adäquatheit des lineren Modells:
Temp.
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
9,4
10,6
10,5
10
9,9
10,1
10,7
9,6
10,6
10,4
10,9
10,2
11,5
10,6
11,5
9,9
n=
MW_jahr=
MW-temp=
STD_jahr=
STD_temp=
r(temp, jahr)=
R2=
16
87,5
10,4
4,761
0,596
0,4703
0,2211
12
Temperatur
Jahr
11
10
y = 0,0588x + 5,2529
R2 = 0,2211
9
8
75
80
85
90
95
100
Jahr
Abhängigkeitsprüfung:
H0: Produktmomentkorrelation (Temp, Jahr)= 0
H1: Produktmomentkorrelation (Temp, Jahr)<> 0
alpha=
5%
TGs=
P-Wert=
1,994
0,06604 >> H0 nicht ablehnen!
Lösung mit R:
> jahr <- seq(from=80, to=95, by=1)
> temp <- c(9.4, 10.6, 10.5, 10, 9.9, 10.1, 10.7, 9.6, 10.6,
+
10.4, 10.9, 10.2, 11.5, 10.6, 11.5, 9.9)
>
># Deskriptive Statistiken
> length(jahr)
[1] 16
> length(temp)
[1] 16
> mw_jahr <- mean(jahr)
> std_jahr <- sd(jahr)
> print(cbind(mw_jahr, std_jahr))
mw_jahr std_jahr
[1,] 87.5 4.760952
> mw_temp <- mean(temp)
> std_temp <- sd(temp)
> print(cbind(mw_temp, std_temp))
75890053
15.05.2016
W. Timischl: Angewandte Statistik
KORRELATION UND REFRESSION
11.0
10.5
temp
mw_temp std_temp
[1,] 10.4 0.595539
> r_jahr.temp <- cor(jahr, temp, method="pearson")
> r_jahr.temp
[1] 0.4702564
>
> # Überprüfung der Modelladäquatheit
> plot(jahr, temp)
> abline(lm(temp~jahr))
>
> # Abhängigkeitsprüfung
> daten <- data.frame(jahr, temp)
> lm.temp <- lm(formula=temp~jahr, data=daten)
> summary(lm.temp)
11.5
3
10.0
Call:
lm(formula = temp ~ jahr, data = daten)
9.5
Residuals:
Min
1Q Median
3Q Max
-0.9412 -0.3221 -0.1059 0.3971 0.8353
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 5.25294 2.58519 2.032 0.0616 .
jahr
0.05882 0.02950 1.994 0.0660 .
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
80
85
90
95
jahr
Residual standard error: 0.544 on 14 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.2211, Adjusted R-squared: 0.1655
F-statistic: 3.975 on 1 and 14 DF, p-value: 0.06604
3. Der Energieumsatz E (in kJ pro kg Körpergewicht und Stunde) wurde in Abhängigkeit von der
Laufgeschwindigkeit v (in m/s) gemessen. Man stelle die Abhängigkeit des Energieumsatzes von
der Laufgeschwindigkeit durch ein geeignetes Regressionsmodell dar und prüfe, ob im Rahmen
des Modells überhaupt ein signifikanter Einfluss der Geschwindigkeit auf den Energieumsatz
besteht (=5%).
v
E
3,1
27,6
4,2
50,6
5,0
5,4
6,6
62,7 147,1 356,3
Lösung mit EXCEL:
75890053
Überprüfung der Adäquatheit des lineren Modells:
Temp.
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
9,4
10,6
10,5
10
9,9
10,1
10,7
9,6
10,6
10,4
10,9
10,2
11,5
10,6
11,5
9,9
12
Temperatur
Jahr
11
10
y = 0,0588x + 5,2529
R2 = 0,2211
9
8
75
80
85
90
95
100
Jahr
15.05.2016
W. Timischl: Angewandte Statistik
KORRELATION UND REFRESSION
n=
MW_jahr=
MW-temp=
STD_jahr=
STD_temp=
r(temp, jahr)=
R2=
v
Abhängigkeitsprüfung:
H0: Produktmomentkorrelation (Temp, Jahr)= 0
H1: Produktmomentkorrelation (Temp, Jahr)<> 0
alpha=
5%
16
87,5
10,4
4,761
0,596
0,4703
0,2211
TGs=
P-Wert=
1,994
0,06604 >> H0 nicht ablehnen!
Festlegung des Modells: Potenzfunktion (allometrische Funktion)
E
3,1
4,2
5
5,4
6,6
4
27,6
50,6
62,7
147,1
356,3
400
300
E
200
100
0
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
-100
v
E = a* v^b
Linearisierung durch log/log-Tarnsformation:
lnE = ln a + b lnv
y = ln E
1,1314
3,3178
1,4351
3,9240
1,6094
4,1384
1,6864
4,9911
1,8871
5,8758
6,0000
5,5000
5,0000
y = ln E
x=ln v
y = 3,3014x - 0,6673
R2 = 0,8875
4,5000
4,0000
3,5000
3,0000
1,0000
1,2000
1,4000
1,6000
1,8000
2,0000
x = ln v
Abhängigkeitsprüfung:
H0: Produktmomentkorrelation (x,y)= 0
H1: Produktmomentkorrelation (x,y)<> 0
alpha=
5%
n=
r_xy =
R2=
75890053
5
0,9421
0,8875
TGs=
P-Wert=
4,8641
0,0166 < 5%
>> H1
15.05.2016
W. Timischl: Angewandte Statistik
KORRELATION UND REFRESSION
5
300
250
200
100
50
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
4.0
4.5
5.0
5.5
v
3.5
Residuals:
1
2
3
4
5
0.2500 -0.1465 -0.5077 0.0910 0.3132
150
E
Call:
lm(formula = lnE ~ lnv, data = daten)
3.0
lnE
> v <- c(3.1, 4.2, 5, 5.4, 6.6)
> E <- c(27.6, 50.6, 62.7, 147.1, 356.3)
> print(cbind(v, E))
v E
[1,] 3.1 27.6
[2,] 4.2 50.6
[3,] 5.0 62.7
[4,] 5.4 147.1
[5,] 6.6 356.3
>
> # Modellfindung
> plot(v, E)
> abline(lm(E ~ v))
>
> # log/log-Transformation
> lnv <- log(v)
> lnE <- log(E)
> plot(lnv, lnE)
> abline(lm(lnE ~ lnv))
>
> # Abhängigkeitsprüfung &
> # Parameterschätzung
> daten <- data.frame(lnv, lnE)
> daten
lnv
lnE
1 1.131402 3.317816
2 1.435085 3.923952
3 1.609438 4.138361
4 1.686399 4.991113
5 1.887070 5.875773
> lm.energie <- lm(formula= lnE ~ lnv, data=daten)
> summary(lm.energie)
350
Lösung mit R:
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -0.6673 1.0660 -0.626 0.5757
lnv
3.3014 0.6787 4.864 0.0166 *
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
1.2
1.4
1.6
1.8
lnv
Residual standard error: 0.3864 on 3 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.8875, Adjusted R-squared: 0.85
F-statistic: 23.66 on 1 and 3 DF, p-value: 0.01660
75890053
15.05.2016