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Fluidmechanik Peter Hakenesch

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Fluidmechanik
Peter Hakenesch
Version 3.0
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis ....................................................................................... 6
1 Einleitung ........................................................................................................ 11
1.1 Historische Entwicklung ........................................................................... 11
1.2 Arbeitsweise in der Strömungsmechanik ................................................. 12
1.3 Begriffsdefinitionen und physikalische Eigenschaften von Fluiden ........ 13
1.3.1 . Bahnkurve, Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre ................... 14
1.3.2 . Stationäre- und instationäre Strömung ......................................... 18
1.3.3 . Reale und ideale Fluide ................................................................ 19
1.3.4 . Kompressible- und inkompressible Fluide ................................... 20
1.3.5 . Ein-, zwei- und drei-dimensionale Strömungen ........................... 22
1.3.6 . Zustandsgrößen und Aggregatszustände ...................................... 22
1.3.7 . Teilchenkräfte, Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ....... 24
2 Hydrostatik ..................................................................................................... 31
2.1 Druck ........................................................................................................ 31
2.1.1 . Hydrostatischer Druck .................................................................. 33
2.1.2 . Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen .......................... 34
2.1.3 . Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße ................... 35
2.1.4 . Hydraulische Presse ..................................................................... 36
2.1.5 . Förderhöhe einer Saugpumpe ....................................................... 38
2.1.6 . Kavitation ..................................................................................... 39
2.2 Druckmessung .......................................................................................... 40
2.2.1 . Statische Größen und Totalgrößen ............................................... 40
2.2.2 . Einbau von Drucksonden ............................................................. 41
2.2.3 . U-Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer ............................ 42
2.2.4 . Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung 44
2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ....................................................... 45
2.3.1 . Kräfte auf ebene Flächen .............................................................. 46
2.3.2 . Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen ...................... 50
2.3.3 . Druckkraft auf nicht-abwickelbare Flächen ................................. 51
2.4 Statischer Auftrieb .................................................................................... 55
2.4.1 . Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs ....................... 58
2.5 Stabilität schwimmender Körper .............................................................. 59
2.6 Fluide unter Beschleunigung .................................................................... 60
2.6.1 . Fluide unter translatorischer Beschleunigung .............................. 61
2.6.2 . Fluide unter rotatorischer Beschleunigung ................................... 62
3 Aerostatik ........................................................................................................ 67
3.1 Aufbau der Erdatmosphäre ....................................................................... 67
3.1.1 . Dynamisches System Erdatmosphäre........................................... 67
3.1.2 . Höhenschichten der Atmosphäre .................................................. 69
3.1.3 . Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre ........................... 70
3.1.4 . Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ................................. 71
3.2 Internationale Normatmosphäre (ISA) ..................................................... 75
3.3 Höhendefinitionen .................................................................................... 80
3.3.1 . Geometrische Höhe und absolute Höhe ....................................... 80
3.3.2 . Geopotentielle Höhe ..................................................................... 81
3.3.3 . Druckhöhe .................................................................................... 82
3.3.4 . Dichtehöhe.................................................................................... 85
3
Inhaltsverzeichnis
4 Strömung von Fluiden ....................................................................................87
4.1 Beschreibung des Strömungsfeldes ...........................................................87
4.2 Kontinuitätsgleichung................................................................................88
4.2.1 . Volumenstrom .............................................................................. 88
4.2.2 . Massestrom .................................................................................. 89
4.2.3 . Masseerhaltungssatz ..................................................................... 89
4.3 Bernoulli-Gleichung ..................................................................................90
4.3.1 . Thermodynamische Grundlagen .................................................. 90
4.3.2 . Voraussetzungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung ........ 95
4.4 Strömungen mit Energietransport ..............................................................98
4.4.1 . Arbeitsmaschinen zur Energiezufuhr ........................................... 98
4.4.2 . Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr ........................................... 99
4.5 Grenzschichtströmungen ...........................................................................101
4.5.1 . Strömungsgrenzschicht ................................................................ 102
4.5.2 . Temperaturgrenzschicht ............................................................... 103
4.5.3 . Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie ...................... 106
4.5.4 . Ablösung der Grenzschicht .......................................................... 114
4.5.5 . Transition ..................................................................................... 116
4.6 Widerstand.................................................................................................120
4.6.1 . Reibungswiderstand ..................................................................... 121
4.6.2 . Druckwiderstand .......................................................................... 121
4.6.3 . Induzierter Widerstand ................................................................. 125
4.6.4 . Interferenzwiderstand ................................................................... 130
4.6.5 . Wellenwiderstand ......................................................................... 131
4.6.6 . Gesamtwiderstand und Widerstandsbeiwert ................................ 131
4.7 Rohrströmungen ........................................................................................133
4.7.1 . Laminare Rohrströmung .............................................................. 133
4.7.2 . Turbulente Rohrströmung ............................................................ 134
4.7.3 . Druckverlust bei Rohrströmungen ............................................... 135
4.7.4 . Rohrreibungswiderstand............................................................... 136
4.7.5 . Widerstand infolge von Einbauten ............................................... 141
4.7.6 . Druckverlust im Gesamtsystem ................................................... 149
4.7.7 . Hydraulischer Ersatzdurchmesser ................................................ 149
5 Umströmung von Körpern .............................................................................152
5.1 Umströmung stumpfer Körper...................................................................152
5.1.1 . Kugelumströmung ........................................................................ 152
5.1.2 . Zylinderumströmung .................................................................... 156
6 Impulssatz ........................................................................................................158
6.1 Newtonsche Axiome .................................................................................158
6.2 Impuls ........................................................................................................159
6.3 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum........................................................160
6.4 Anwendungsprinzip des Impulssatzes .......................................................163
7 Drallsatz ...........................................................................................................167
7.1 Drallerhaltung ............................................................................................167
7.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen .............................174
7.2.1 . Drall am Beispiel einer axialen Strömungsmaschine ................... 174
7.2.2 . Drall am Beispiel einer radialen Strömungsmaschine.................. 175
Literaturverzeichnis .............................................................................................177
Stichwortverzeichnis ............................................................................................178
Anhang ..................................................................................................................181
4
Inhaltsverzeichnis
A. Tabellen ........................................................................................................... 182
5
Abkürzungsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis
Lateinische Abkürzungen
6
A
[m²]
Fläche
A
[N]
Auftrieb
a
[m/s]
Schallgeschwindigkeit
a
[m²/s]
Beschleunigung
a
[m²/s]
Temperaturleitfähigkeit
b
[m]
Spannweite
C
[-]
Durchflusskoeffizient
C
[-]
Dimensionsloser Beiwert
c
[m/s]
Geschwindigkeit
c
[kJ/kgK]
spezifische Wärme
d
[m]
Durchmesser
e
[J/kg]
spezifische Energie
e
[-]
Abminderungsfaktor
F
[N]
Kraft
g
[m²/s]
Erdbeschleunigung
f
[-]
Anzahl der Freiheitsgrade
g
[m²/s]
Erdbeschleunigung
H
[-]
Höhe
H
[J]
Enthalpie
h
[m]
Höhe
h
[m]
Höhe, kapillare Steighöhe
h
[m]
Höhe des Metazentrums
h
[J/kg]
spezifische Enthalpie
I
[Ns]
Impuls
J
[kgm2]
Massenträgheitsmoment
K
[-]
Anzahl der Komponenten
K
[-]
Kontrollraum
k
[m]
Rautiefe
L
[m]
Länge
L
[Nms]
Drall, Drehimpuls
l
[m]
Länge
M
[- ]
Metazentrum
M
[Nm]
Moment
Abkürzungsverzeichnis
m
[kg]
Masse
N
[-]
Flächenschwerpunkt
Nu
[-]
Nußelt
n
[-]
Polytropenexponent
O
[m²]
benetzte Oberfläche
P
[-]
Anzahl der Phasen
P
[W]
Leistung
Pr
[-]
Prandtl
p
[Pa]
Druck
Q
[J]
Wärme
q
[J/kg]
spezifische Wärme
R
[J/kgK]
Spezifische Gaskonstante
R
[m]
Radius
R
[N]
Kraft, resultierende
Re
[-]
Reynolds
r
[m]
Radius
r
[-]
recovery-Faktor
r
[-]
Ortsvektor
S
[-]
Stromlinie
S
[J/K]
Entropie
S
[m²]
Fläche
s
[m]
Strecke
s
[J/kgK]
spezifische Entropie
T
[s]
Umlaufzeit
T
[K, °C]
Temperatur
t
[s]
Zeit
U
[m]
Umfang
u, v, w
[m/s]
Geschwindigkeiten in x-, y-, z-Richtung
V
[m³]
Volumen
v
[m³/kg]
spezifisches Volumen
W
[N]
Widerstand
W
[J]
Arbeit
w
[J/kg]
spezifische Arbeit
Y
[J/kg]
spezifische Arbeit
x, y, z
[m]
Koordinaten
7
Abkürzungsverzeichnis
Griechische Abkürzungen
8

[°], [rad]
Winkel

[-]
Durchflussziffer

[W/m²K]
Wärmeübergangskoeffizient

[°], [rad]
Anstellwinkel
K
[-]
Kontraktionszahl

[°], [rad]
Winkel

[-]
Durchmesserverhältnis

[°], [rad]
Schiebewinkel

[m2/s]
Zirkulation

[m³/kgs²]
Gravitationskonstante

[K/m]
Temperaturgradient

[m]
Dicke

[-]
Verlustziffer

[-]
Wirkungsgrad

[°C]
Temperatur

[-]
Isentropenexponent

[-]
Streckung

[W/mK]
Wärmeleitfähigkeit

[-]
Rohrreibungszahl

[Pas]
dynamische Viskosität

[m]
Bezugslänge

[m²/s]
kinematische Viskosität

[-]
Kreiszahl

[kg/m³]
Dichte

[N/m]
Oberflächenspannung

[kJ/kg]
Schmelzwärme

[ms²/kg]
Kompressibilität

[N/m²]
Schubspannung

[%]
relative Luftfeuchte

[°], [rad]
Winkel

[W/m²]
Wärmestromdichte

[s-1]
Winkelgeschwindigkeit
Abkürzungsverzeichnis
Indizes
0
Totalgröße
1
Verdrängungsdicke
2
Impulsverlustdicke
∞
freie, ungestörte Außenströmung
A
Auftrieb
a
außen
a
absolut
a
adiabat
a
Grenzschichtrand
a
axial
a
aerodynamisch
D
Druckwiderstand
diss
dissipiert
e
eigen (= adiabat)
g
geometrisch
ges
Totalgröße
hydr
hydraulisch
i
innen
i
induziert
ind
induzierter Widerstand
int
Interferenzwiderstand
krit
kritisch
lam
laminar
M
Moment
N
Nase
N
normal
p
Druck
p
konstanter Druck
Rest
Restwiderstand
ref
Bezugsgröße
S
Strömungsgrenzschicht
Sys
Systemenergien
T
Temperaturgrenzschicht
Trans
Transportenergien
T
tangential
9
Abkürzungsverzeichnis
10
t
Totalgröße
turb
turbulent
U
laminare Unterschicht
u
Umfang
V
Verlustdruck
v
konstantes Volumen
W
Wand
W
Wellenwiderstand
W
Widerstand
1 Einleitung
1 Einleitung
Strömungsmechanik oder auch Fluidmechanik bezeichnet die Wissenschaft von
den Gesetzen der Bewegung und des Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten und Gase. Sie ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik
und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieser Wissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper oder Fluidmechanik, wobei unter dem Begriff "flüssige Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen
sind. Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt,
hat man dafür nach DIN 5492, inzwischen ersetzt durch DIN 1304, den Begriff
"Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen: „Unter einem Fluid wird eine Flüssigkeit,
ein Gas oder ein Dampf , also ein nichtfestes Kontinuum verstanden, auf welches
die Gesetze der Strömungsmechanik anwendbar sind.“
Im Englischen wird die Bezeichnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und
Gase, also ein nichtfestes Kontinuum in Abgrenzung zum Festkörper („solid“),
verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik" wird aus historischen Gründen immer noch verwendet, umfasst jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft von
den Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, das heißt der Hydrostatik
beziehungsweise Aerostatik.
1.1
Historische Entwicklung
Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlich
experimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Angesichts der bereits in der Antike
erreichten Leistungen auf dem Gebiet der Strömungsmechanik erwies sich dieses
Vorgehen im Rahmen von Versuch und Irrtum als pragmatisch. Bereits um 3250 v.
Chr. wurden im alten Ägypten künstliche Bewässerungssysteme eingeführt, die
neben der Bewässerungsfunktion noch weitreichende gesellschaftliche Konsequenzen nach sich zogen. Wittvogel (1931) vertritt die Theorie, dass erst durch die Regulierung und Verteilung von knappen Wasserressourcen die Basis zur Entstehung
von autokratischen Gesellschaftssystemen geschaffen wurde, wie beispielsweise in
Ägypten oder später in China. Auf ihn geht der Begriff der hydraulischen Gesellschaft zurück. Ähnlich erfolgreich waren auch Erfindungen, wie beispielsweise die
archimedische Schraube oder Schneckenpumpe zur Wasserförderung. Dieses
Pumpprinzip wurde in Holland zur Entwässerung der Polder bis ins 19. Jahrhundert
eingesetzt. Auch wenn sie im Wesentlichen dem Unterhaltungssektor zugeordnet
werden können, so stellen die ab dem 11. Jahrhundert in China gefertigten Raketen
das Ergebnis strömungsmechanischer Entwicklungen dar. Kleinigkeiten wie Formgebung der Düse, Ausströmgeschwindigkeit, Brennkammerdruck und –temperatur
wurden auch hier rein experimentell ermittelt.
Im 17.- 18. Jahrhundert setzte zeitgleich mit der Entwicklung der Differential- und
Integralrechnung die Entwicklung der theoretischen Strömungsmechanik ein. Nun
standen zwar die mathematischen Werkzeuge und Methoden zur Beschreibung
komplexer strömungsmechanischer Fragestellungen zur Verfügung, was noch lange nicht bedeutete, dass dadurch auch deren Beantwortung in allen Fällen möglich
war.
Erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit der ersten leistungsfähigen elektronischen
Rechner, als bisher einzig bekanntem sinnvolles Abfallprodukt der bemannten
11
1 Einleitung
Raumfahrt1, begann die Entwicklung der numerischen Strömungsmechanik (computational fluid dynamics, kurz CFD). Die drei Elemente Experiment, Theorie und
CFD sind nicht als isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitig ergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren
unterschiedliche Stärken und Schwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied
zwischen theoretischen und experimentellen Verfahren eingestuft werden.
1.2
Arbeitsweise in der Strömungsmechanik
Wodurch zeichnet sich nun die Arbeit eines Strömungsmechanikers aus? Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die häufig sehr gute Einblicke in reale Vorgänge gibt, ist die Strömungslehre wesentlich komplexer.
Mithilfe der Massenpunktdynamik lässt sich beispielsweise eine Planetenbewegung vergleichsweise einfach darstellen, sofern die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w und Beschleunigung a bekannt sind. Dazu fällt
Ihnen sicher das 3. Gesetz von Kepler zur Berechnung der Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ein:
∙
4∙
.
3,36 ∙ 10
⁄
mit

Gravitationskonstante
6,6710-11 m³/kgs²
mS
Masse der Sonne, ca.
1,991030 kg
ergibt sich bei einer mittleren Umlaufzeit der Erde um die Sonne von T = 365 Tagen = 3,1536107 s der mittlere Abstand der Erde zur Sonne von r = 1,4951011 m.
Da die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ca. c = 3108 m/s beträgt, benötigt das
Licht für die Strecke von der Sonne zur Erde somit t = 498 s = 8,3 min.
Den Ansatz der Massenpunktdynamik, der bei der Bahnberechnung von Planeten
sehr gute Ergebnisse liefert, ließe sich theoretisch auch auf die Umströmung eines
Körpers anwenden. Im Falle von Luft sind die Molekül- bzw. Atommassen der
einzelnen Komponenten bekannt. Analog zur Bahnberechnung eines Planeten
könnte man nun für jedes einzelne Teilchen eine Bahnberechnung erstellen. Diese
Betrachtung hat jedoch einen kleinen Schönheitsfehler. Da die Bahnberechnung für
alle im Kontrollvolumen enthaltenen Teilchen zu erstellen ist, stößt man sehr
schnell an die Grenzen des Möglichen. Unter Normbedingungen (p = 1 bar, T =
0°C) entspricht dies bei Luft einem Volumen von V = 0,022414 m³. Darin sind NA
= 6,0221023 Teilchen enthalten. Das ergibt eine stattliche Anzahl von Gleichungen,
die hier zu lösen wären.
Daher nimmt das Versuchswesen in der Strömungsmechanik eine wichtigere Rolle
ein als in der Massenpunktdynamik. In der Strömungsmechanik stehen häufig nicht
die bewegten Teilchen als vielmehr die Rückwirkung der Strömung auf ruhende
oder gleichförmig bewegte Körper im Mittelpunkt des Interesses, beispielsweise
––––––––––
1
Raumfahrt, bemannte: In diesem Zusammenhang wird gerne auf die Teflon-Pfanne verwiesen.
Angesichts der Unsummen, die die bemannte Raumfahrt bis heute verschlungen hat, wäre eine Bratpfanne ohnehin ein sehr ärmliches Ergebnis. Die Wahrheit ist aber noch viel trauriger. Das Patent zur
Teflon-Beschichtung geht bereits auf das Jahr 1938 zurück.
12
1 Einleitung
Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, also computergestützte Verfahren zunehmend an Bedeutung. Simulation im Windkanal wird
mehr und mehr durch Computer-Simulationen ergänzt.
1.3
Begriffsdefinitionen und physikalische Eigenschaften von Fluiden
Die in Abb. 1-1 skizierte Unterteilung der einzelnen Gebiete der Strömungsmechanik folgt keiner stringenten Logik, hat sich aber im Lauf der Geschichte als praktikabel erwiesen.
Im Gegensatz zum Festkörper, bei dem eine Streckgrenze (Beginn der plastischen
Verformung), gefolgt von einer Bruchgrenze (Materialversagen) vorliegen, verformt sich ein Fluid unter dem Einfluss einer Schubspannung bis zum Erreichen
einer monomolekularen Schicht beständig weiter. Zusätzlich wird die Annahme der
Kontinuumshypothese erfüllt, das heißt die Masse ist stetig über das Kontrollvolumen verteilt. Die Mehrzahl der Fluide weisen, ähnlich wie Festkörper, ein nahezu
lineares Dehnverhalten auf und werden als Newton‘sche Fluide bezeichnet. Fluide,
die in ihrem Dehnverhalten markant von dieser linearen Näherung abweichen werden dem Gebiet der Rheologie zugeordnet. Darunter fallen beispielsweise Honig,
flüssiger Beton, Zahnpasta, Farbdispersionen oder flüssiger Kuchenteig.
Die Unterteilung in Hydromechanik (Flüssigkeiten) und Mechanik der Gase ist
nicht so trennscharf, wie man glauben möchte. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich Flüssigkeiten und Gase erfreulicherweise sehr
ähnlich. In beiden Fällen lassen sich ruhende und bewegte Systeme unterscheiden.
Aufgrund seiner besonderen Bedeutung wird die Hydraulik, eigentlich ein Teilgebiet der Hydrodynamik, als eigenständiges Gebiet betrachtet. Zu Problemen, die
innerhalb der Hydrostatik betrachtet werden gehört beispielsweise die Berechnung
der Belastung auf eine Staumauer, während bei der Hydrodynamik die Strömungsverhältnisse im Fallrohr, das vom Stausee zur Turbine führt, betrachtet werden. Eine Fragestellung aus dem Bereich der Aerostatik wäre beispielsweise die Nutzlastberechnung eines Gasballons wohingegen die Berechnung des Ausströmvorgangs
aus dem Ventil in den Bereich der Aerodynamik beziehungsweise der Gasdynamik
fällt. Die Aerodynamik lässt sich in kompressible und inkompressible Strömungen
unterteilen. Bei niedrigen Geschwindigkeiten, die Grenze liegt hier bei einer Geschwindigkeit, die 30% der Schallgeschwindigkeit entspricht, verhalten sich Gase
ähnlich wie eine Flüssigkeit und lassen sich dadurch recht einfach berechnen. Bei
höheren Geschwindigkeiten lässt sich diese schöne Vereinfachung leider nicht
mehr anwenden und Sie befinden sich im Bereich der kompressiblen Strömungen,
die auch als Gasdynamik bezeichnet wird. Die nächste magische Grenze, die Sie
bei einer weiteren Erhöhung der Geschwindigkeit passieren ist die sogenannte
Schallmauer, die den Unterschallbereich von dem Überschallbereich trennt. Die
Unterscheidung Unter- zu Überschallströmung ergibt sich ganz einfach aus dem
Vergleich ob die Flug- beziehungsweise Strömungsgeschwindigkeit kleiner oder
größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, also der Schallgeschwindigkeit ist. Insbesondere für die Flugzeugaerodynamik ist der Übergangsbereich
von Unterschall zu Überschall, dem sogenannten Transschall (0,8 < Mach < 1,2)
von besonderem Interesse, da sich hier die Strömungsparameter besonders stark in
Abhängigkeit von der Mach-Zahl, also dem Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit, ändern. Handelt es sich bei der Grenze zwischen
Unterschall und Überschall noch um eine scharf definierte Grenze, so ist die Abgrenzung zum nächst höheren Geschwindigkeitsbereich, dem Hyperschall, nicht
13
1 Einleitung
mehr so präzise definiert. In Abhängigkeit von dem jeweils betrachteten physikalischen Phänomen liegt die Grenze zum Hyperschall bei der 4,5- bis 6-fachen
Schallgeschwindigkeit, also bei Mach = 4,5 bis 6. Infolge der immer geringer werdenden Luftdichte in der oberen Atmosphäre wird die Kontinuumsannahme nicht
mehr erfüllt und man spricht in diesem Bereich von Strömungen verdünnter Gase.
Die Berechnung gestaltet sich hier wieder etwas einfacher, da die Berechnung von
Druck und Temperatur über eine Impulsbetrachtung am einzelnen Gasteilchen erfolgen kann.
Strömungsmechanik
Rheologie
Hydromechanik
Hydrostatik
Hydrodynamik
Mechanik der Gase
Hydraulik
Aerostatik
Aerodynamik
Gasdynamik
inkompressibel
kompressibel
Unterschall
Transschall
Überschall
Hyperschall
verdünnte Gase
Abb. 1-1: Gliederung der Strömungsmechanik
1.3.1 Bahnkurve, Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre
Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, das heißt die Kurve auf der sich ein einziges Fluidteilchen bewegt. Optisch lässt sich die Bahnkurve zum Beispiel durch die
farbliche Markierung des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t-2 < t < t2 bestimmen. Die Markierung kann durch die Zugabe von Farbtropfen in einer Wasserströmung oder durch Rauch in einer Luftströmung erfolgen. Werden nur wenige oder auch nur ein einziges Teilchen
markiert und Sie stellen Ihre Kamera auf eine längere Belichtungszeit ein, so wird
die Bahnlinie des markierten Teilchens als durchgehende Kurve auf der photographischen Aufnahme erscheinen.
14
1 Einleitung
Stromlinie
t = t0 = const.
t0
t0
t1
t0
t0
Bahnlinie
t-2 < t < t2
t2
t0
t-1
t-2
Abb. 1-2: Bahnlinie und Stromlinie
Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar.
Optisch lässt sich die Stromlinie durch die farbliche Markierung mehrerer Teilchen
und die Beobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, zum Beispiel
durch die photographische Aufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Foto, jedoch mit einer Belichtungszeit, die so gewählt wird, dass alle Teilchen einen
sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurücklegen. Dieser zurückgelegte Weg
erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strich auf der Aufnahme, der
wiederum dem Geschwindigkeitsvektor des markierten Teilchens entspricht.
Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt,
das heißt die Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden die Tangenten an die Stromlinie.
Im Falle einer stationären Strömung, also einer Strömung in der sich über den betrachteten Zeitraum die Parameter Druck, Dichte, Temperatur und Geschwindigkeit
nicht ändern, sind Stromlinien mit Bahnlinien identisch.
Stromlinien, sofern sie erstmal experimentell oder rechnerisch erzeugt wurden, liefern sehr viele Informationen über ein Strömungsfeld. Die Stromliniendichte in einem Strömungsfeld hängt ausschließlich von Ihnen, also dem Betrachter selbst ab.
Versetzen Sie sich in die Lage eines Kartographen, der die Höhenlinien in eine
Karte einzeichnet. In Abhängigkeit von dem Maßstab werden Sie sich für eine engere oder weitere Staffelung der Höhenlinien entscheiden. Bei einer topgraphischen Karte des Deutschen Alpenvereins im Maßstab von 1:25000 werden Sie die
Höhenlinien in einer Staffelung von 10m eintragen, wohingegen Sie bei einer
Weltkarte sehr wahrscheinlich eine Höhenstaffelung von 100m oder noch größer
wählen werden. Die Topographie des Geländes ist jedoch völlig unabhängig von
der Dichte der eingezeichneten Höhenlinien.
15
1 Einleitung
Analog verhält sich die Situation in einem Strömungsfeld, welches völlig unbeeinflusst ist, von der Dichte der markierten Stromlinien, da diese das Strömungsfeld
lediglich beschreiben.
Abb. 1-3: Stromlinien an einem Flügelprofil im Rauchkanal (Hochschule München)
Stromlinien haben einige interessante Eigenschaften. Aufgrund der Bedingung,
dass die Geschwindigkeitsvektoren immer eine Tangente an die Stromlinie bilden,
können sich Stromlinien nicht überschneiden und auch keine Unstetigkeitsstellen
(Knicke) aufweisen. In diesem Fall würde sich an dem Schnittpunkt ein Teilchen
zur gleichen Zeit am gleichen Ort mit zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten
bewegen. Das Krankheitsbild der multiplen Persönlichkeiten kommt zwar gelegentlich bei Menschen vor, doch auch dort tritt diese Erscheinung eher sequentiell
als zeitgleich auf. Entweder der Patient glaubt Einstein zu sein oder etwas später
Napoleon, aber nur selten beides zur gleichen Zeit.
S1
P
S2
Abb. 1-4: Unvereinbarkeit sich überschneidender Stromlinien
Da sich Stromlinien nicht überschneiden können, kann im Fall einer zweidimensionalen Strömung auch kein Massestrom über eine Stromlinie erfolgen; sie können
also als starre Wände betrachtet werden. Das führt dazu, dass auf der Basis von
Stromlinienbildern ohne weitere Berechnung Aussagen darüber getroffen werden
können ob die Strömung beschleunig oder verzögert wird und ob der statische
16
1 Einleitung
Druck steigt oder sinkt. Dazu benötigen Sie lediglich zwei sehr einfache Basisgleichungen der Strömungsmechanik, die Kontinuitätsgleichung und die BernoulliGleichung. Diese beiden Gleichungen werden Sie in Kapitel 4 (Strömung von Fluiden) noch näher kennenlernen.
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei einer stationären Strömung der Massestrom
konstant ist, das heißt der Massestrom der am Querschnitt (1) in das
System eintritt ist identisch mit dem Massestrom, der am Querschnitt (2) wieder
aus dem System austritt. Einfacher gesagt: Das was am linken Ende in ein Rohr
einströmt, muss auch am rechten Ende wieder herauskommen. Der Massestrom
ist definiert als das Produkt aus Dichte , Geschwindigkeit c und Strömungsquerschnitt A, also
∙ ∙
const. Betrachten Sie die in Abb. 1-5 skizzierten
Stromlinien um ein Tragflügelprofil. An der Flügeloberseite liegen die Linien enger zusammen als im Querschnitt (1) oder (2), das bedeutet, dass der Strömungsquerschnitt zwischen zwei Stromlinien an der Flügeloberseite kleiner ist als in (1)
oder (2). Unter der Annahme, dass es sich hier um eine inkompressible Strömung
handelt, muss sich infolge des verkleinerten Querschnitts an der Oberseite die Geschwindigkeit ebenfalls ändern. Zur Erfüllung der Forderung nach einem konstanten Massestrom muss die Geschwindigkeit an dieser Stelle also größer werden. Sie
können somit ohne jegliche Berechnung die Aussage treffen, dass an der Flügeloberseite die Strömung beschleunigt wird.
(1)
(2)
F
Abb. 1-5: Stromlinien um ein Tragflügelprofil
Nun zur zweiten Basisgleichung, der Bernoulli-Gleichung. Die Kernaussage dieser
Gleichung lautet, dass wenn Sie sich entlang einer Stromlinie bewegen, die Gesamtenergie oder auch der Gesamtdruck konstant bleiben. Im einfachsten Fall, bei
Vernachlässigung der potentiellen Energie, setzt sich der Gesamtdruck pges zusammen aus dem statischen Druck p und dem Staudruck ⁄2 ∙ .
2
∙
const.
Im Fall unseres Tragflügels hatten Sie schon aus der Anordnung der Stromlinien
erkannt, dass die Strömung auf der Oberseite des Flügels beschleunigt. Die einzige
Möglichkeit um die Forderung nach einem konstanten Gesamtdruck bei einer Geschwindigkeitserhöhung zu erfüllen, besteht in einer Absenkung des statischen
Drucks p, das heißt, dass im Strömungsfeld mit einer Geschwindigkeitserhöhung
immer eine Verringerung des statischen Drucks einhergeht. Sie erhalten also auf
der Flügeloberseite einen geringeren statischen Druck als auf der Flügelunterseite.
Diese Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite resultiert in einer nach oben
gerichteten Kraft, dem Auftrieb.
In Abb. 1-6 verlaufen eine endliche Zahl von Stromlinien durch die Eintrittsfläche
A1, die durch die Hüllkurve K1 gebildet wird. Die gleiche Anzahl von Stromlinien
17
1 Einleitung
tritt durch die Austrittsfläche A2, die durch die Hüllkurve K2 gebildet wird wieder
aus. Die Gesamtheit all dieser Stromlinien wird als Stromfaden bezeichnet. In vielen Anwendungsfällen genügt jedoch bereits eine einzige Stromlinie, die die Mittelwerte aller Stromlinien auf sich vereinigt. Das entspricht dem eindimensionalen
Stromfaden. Insbesondere bei der Betrachtung von Rohrströmungen ist solch eine
Abbildung der Mittelwerte auf einem eindimensionalen Stromfaden völlig ausreichend um beispielsweise den Massestrom in einer Leitung zu berechnen. Die einhüllende Fläche eines Stromfadens wird als Stromröhre bezeichnet.
Stromfadenachse
Austrittsfläche A 2
Hüllkurve K2
Stromröhre
Hüllkurve K1
Eintrittsfläche A 1
Abb. 1-6: Stromfaden und Stromröhre
1.3.2 Stationäre- und instationäre Strömung
Zur Beschreibung eines Strömungsfeldes ist auch die Betrachtung des Zeitverhaltens der Zustandsgrößen im Strömungsfeld, das heißt Geschwindigkeit, Druck,
Dichte und, Temperatur, erforderlich. Bleiben alle diese Zustandsgrößen über den
betrachteten Zeitraum konstant, so spricht man von einer stationären Strömung.
Die zeitlichen Derivativa verschwinden also:
∂
0
Ändert sich auch nur eine einzige Zustandsgröße über den betrachteten Zeitraum,
so spricht man von einer instationären Strömung. Die Berechnung instationärer
Strömung erfordert in aller Regel das Aufstellen und Lösen von partiellen Differentialgleichungen.
Sehr langsam ablaufende oder auch sehr kleine Veränderungen werden als quasistationär bezeichnet und die betrachtete Strömung kann wieder wie eine stationäre
Strömung behandelt werden.
18
1 Einleitung
1.3.3 Reale und ideale Fluide
Bei realen oder reibungsbehafteten Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen  in Strömungsrichtung auf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer
Energie in Wärme, das heißt es wird Reibungsarbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sogenannten Grenzschicht in Wandnähe und kann zur Ablösungen
der Grenzschicht von der Wand des umströmten Körpers führen. Bei idealen oder
reibungsfreien Fluiden werden zwei wesentliche Vereinfachungen getroffen. Zum
einen wird die Reibung innerhalb des Fluides als auch, und das ist wesentlich bedeutsamer, die Reibung zwischen dem Fluid und der Wand des umströmten Körpers vernachlässigt. Es treten also keine Schubspannungen in Strömungsrichtung
auf, wodurch sich auch keine Grenzschicht im wandnahen Bereich ausbilden kann.
Mangels Grenzschicht kann natürlich auch keine Ablösung selbiger von der Wand
erfolgen. Zum anderen wird die Dichte im gesamten Strömungsfeld als konstant
angenommen. Solche Strömungen werden als Potentialströmungen bezeichnet.
Selbstverständlich existieren solche Potentialströmungen in der realen Welt nicht.
Allerdings haben sie den großen Vorteil, dass sie in vielen Fällen eine sehr gute
Näherung der realen Geschehnisse liefern und im Gegensatz zu realen, reibungsbehafteten Strömungen vergleichsweise einfach zu berechnen sind. Die Grenzen der
Anwendbarkeit dieser schönen Vereinfachung liegen immer dort, wo die reale
Strömung nicht mehr der Kontur des umströmten Körpers folgen möchte und sich
Ablösegebiete einstellen.
Ein wesentliches Unterscheidungskriterium zwischen diesen beiden Arten von
Strömungen ergibt sich aus der Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe eines
umströmten Körpers. Bei einer reibungsfreien Strömung weiß ein Teilchen, das
sich in der Nähe des Körpers bewegt mangels Reibung nichts von Teilchen, die
sich auf benachbarten Bahnen bewegen. Das führt aber dazu, dass das Teilchen,
das sich direkt an der Körperoberfläche entlang bewegt von diesem Körper gar
nichts mitbekommt. Die Geschwindigkeit dieses Teilchens entspricht der Geschwindigkeit der freien Außenströmung (Abb. 1-7a). Völlig anders liegen die
Verhältnisse bei einer reibungsbehafteten Strömung. Aufgrund der Reibung wird
die Strömung direkt an der Wand auf die Geschwindigkeit Null abgebremst. man
spricht hier von der sogenannten Haftungsbedingung. Ausgehend von der Körperoberfläche muss die Geschwindigkeit nun quer zur Körperoberfläche stetig zunehmen. es bildet sich eine Geschwindigkeitsgrenzschicht aus (Abb. 1-7b).
y
c
c(y=0) = c
y
c
c(y=0) = 0
x
Abb. 1-7: Geschwindigkeitsprofile in Wandnähe, a) Reibungsfreie b) Reibungsbehaftete Strömung
x
19
1 Einleitung
Da die Berechnung von reibungsfreien Strömungen sehr viel einfacher ist als die
Berechnung von reibungsbehafteten Strömungen lässt sich für praktische Anwendungen in vielen Fällen das Strömungsfeld in einen reibungsbehafteten Anteil in
der Nähe der Körperoberfläche und in einen reibungsfreien Anteil etwas außerhalb
der Grenzschicht aufteilen.
Ein weiteres charakteristisches Unterscheidungsmerkmal zwischen diesen beiden
Strömungsarten besteht in dem Phänomen der Ablösung. Eine Potentialströmung
(reibungsfrei) kennt keine Ablösung und folgt treuherzig der vorliegenden Körperkontur (Abb. 1-8a). Es bildet sich an der Vorder- als auch auf der Rückseite jeweils
ein Staupunkt. Das bedeutet, die Strömungsgeschwindigkeit wird auf null abgebremst. Im reibungsbehafteten Fall (Abb. 1-8b) sehen die Verhältnisse auf der
Luvseite (= Zuströmseite) ähnlich aus, wie im reibungsfreien Fall. Lediglich auf
der Leeseite (= Abströmseite) sieht das Bild völlig anders aus. Die Strömung vermag der Kontur nicht mehr zu folgen und löst von der Körperoberfläche ab und
bildet auf der Leeseite keinen zweiten Staupunkt sondern ein Totwassergebiet.
Man spricht übrigens auch bei Gasen von einem „Totwassergebiet“. Dem Umstand, dass die Stromlinienverteilung auf der Luvseite sich zwischen reibungsfreier
und reibungsbehafteter Strömung kaum unterscheiden, ist es zu verdanken, das reibungsfreie Rechenverfahren trotz ihrer Vereinfachungen vergleichsweise gute Ergebnisse liefern, sofern die Strömung noch an der Körperoberfläche anliegt. Das ist
in der Regel immer dann gegeben, wenn es sich um schlanke Körper (zum Beispiel
einem Tragflügelprofil) bei einem kleinen Anströmwinkel handelt.
Ablösegebiet oder
Totwassergebiet
1. Staupunkt
2. Staupunkt
1. Staupunkt
Abb. 1-8: Umströmung einer ebenen Platte. a) Reibungsfreie b) Reibungesbehaftete Strömung
1.3.4 Kompressible- und inkompressible Fluide
Auch hier ist wieder eine Klarstellung erforderlich. Inkompressible Fluide, also
Fluide, deren Dichte bei jedem beliebigen Druck konstant bleibt, existieren in unserer Welt nicht. Ähnlich wie bei der Vereinfachung in Form der Reibungsfreiheit
stellt jedoch die Annahme einer inkompressiblen Strömung eine sehr schöne rechentechnische Vereinfachung bei Strömungsvorgängen dar. Die Kompressibilität
ist eine Stoffgröße, wie beispielsweise die elektrische Leitfähigkeit oder die Wärmekapazität eines Stoffes. Betrachten Sie ein Fluid mit dem Volumen V und dem
Druck p. Wird der Druck um den Betrag dp erhöht, so zieht dies eine Volumenverringerung um den Betrag dV nach sich. Die Kompressibilität  lässt sich nun beschreiben durch
1 d
∙
d
20
1 Einleitung
Mit dem spezifischen Volumen v oder dem Kehrwert der Dichte 
1
gilt
1 d
∙
d
oder
d
∙ ∙d
Das bedeutet, dass eine Änderung des Drucks dp in Abhängigkeit von der Kompressibilität  eine Änderung der Dichte um den Betrag d bewirkt. Üblicherweise
spricht man ab einer Dichteänderung von d/ > 0,05 von einer kompressiblen
Strömung. Sie denken vielleicht gerade an ein Hydrauliköl und stellen sich die
Frage, warum es in der Realität keine inkompressiblen Stoffe geben kann. Das lässt
sich leicht über die Schallgeschwindigkeit erläutern. Die Schallgeschwindigkeit a
bei idealen Gasen lässt sich entweder als Funktion der Temperatur als
√ ∙
∙
schreiben, wobei

R
T
Isentropenexponent ( = 1,4 für Luft)
Spezifische Gaskonstante (R = 287,05 J/kgK für Luft)
Gastemperatur in K
gilt oder in Abhängigkeit von Druck und Dichte (Laplace-Gleichung)
d
d
Eingesetzt in die Gleichung für die Kompressibilität folgt
1 1
∙
also
1 1
∙
Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass wenn für einen Stoff die Kompressibilität
auf den Wert null zurückginge, würde die Schallgeschwindigkeit den Wert unendlich annehmen. Nun sind in unserer Welt unendlich große Parameter eher unbekannt, das heißt, dass ein inkompressibler Stoff ( = 0) nicht existieren kann. Wie
die Schallgeschwindigkeit von der Kompressibilität oder dem Aggregatszustand
abhängt, sehen Sie an folgenden Beispielen für die Schallgeschwindigkeit für Stoffe in unterschiedlichen Aggregatszuständen:
-
Luft unter Normbedingungen (gasförmig)
Wasser bei 20°C (flüssig):
Aluminium (fest):
a = 343 m/s
a = 1483 m/s
a = 5110 m/s
Rechnerisch liegt der große Vorteil der vereinfachenden Annahme einer inkompressiblen Strömung darin, dass in diesem Fall die einfache Bernoulli-Gleichung
Anwendung findet. Die Grenze von d/ > 0,05 entspricht einer Strömungsge21
1 Einleitung
schwindigkeit von ungefähr c = 100 m/s also 360 km/h auf Meeresniveau. Bis zu
dieser Grenze verhalten sich Gase ähnlich wie Flüssigkeiten. Damit lässt sich die
Umströmung von bereits sehr vielen Landfahrzeugen als auch von kleineren Luftfahrzeugen berechnen.
1.3.5 Ein-, zwei- und drei-dimensionale Strömungen
Ebenso wie die Vernachlässigung von Reibung und Kompressibilität eine erhebliche Vereinfachung des Berechnungsaufwands darstellt, kann die Reduzierung der
zu berücksichtigten Dimensionen auf eine ein- oder zweidimensionale Betrachtung
eine deutliche Erleichterung bei der Berechnung eines Strömungsfeldes bedeuten.
Auch wenn die Strömung, beispielsweise in einer Rohrleitung einen großen Geschwindigkeitsgradienten quer zur Hauptströmungsrichtung aufweist, so kann in
vielen Fällen dieses Geschwindigkeitsprofil durch den Mittelwert der Geschwindigkeit ersetzt werden. Denken Sie zum Beispiel an die Kraftstoffleitung in Ihrem
Fahrzeug, wo Sie den Kraftstoffdurchfluss bestimmen möchten. Hier könnte man
natürlich die räumliche Geschwindigkeitsverteilung in der Leitung berechnen. Für
die Aufgabe der Durchflussbestimmung ist die Kenntnis der mittleren Geschwindigkeit in der Leitung jedoch völlig ausreichend. Dieses Vorgehen entspricht der
Reduzierung einer dreidimensionalen Strömung auf eine eindimensionale Strömung. Das heißt, die Zustandsgrößen der Strömung ändern sich nur entlang einer
einzigen Koordinatenrichtung.
Eine zweidimensionale Strömung würde beispielsweise bei der Umströmung eines
Profils in einem Windkanal vorliegen, sofern das Profil über die gesamte Messstrecke führt und sich keine Ausgleichsströmung an den Enden einstellen kann. Die
Zustandsgrößen können sich in Strömungsrichtung und infolge der Ablenkung
durch das Profil nach oben und unten ändern.
Eine ausgeprägte dreidimensionale Strömung liegt zum Beispiel am Tragflächenende vor. Infolge des Überdrucks an der Flügelunterseite und des Unterdrucks an
der Flügeloberseite stellt sich eine Ausgleichsströmung am Tragflächenende ein.
Dadurch wird die Strömung auf der Oberseite nach innen und auf der Unterseite
nach außen abgelenkt. Am Tragflächenende bildet sich ein Wirbel, der für den sogenannten induzierten Widerstand verantwortlich ist.
1.3.6 Zustandsgrößen und Aggregatszustände
Zur Beschreibung des Zustands eines Stoffes werden sogenannte Zustandsgrößen
verwendet. Dabei handelt es sich um den Druck p, die Temperatur T und die Dichte
 beziehungsweise das spezifische Volumen v = V/m = 1/. Thermodynamische
Zustandsgrößen für Reinstoffe, (zum Beispiel H2O) können in Abhängigkeit von
zwei Zustandsgrößen beschrieben werden, also durch v = v(p,T), T = T(p,v) und p =
p(v,T). Zustandsgrößen können nicht beliebig variiert werden sondern sind über
sogenannte Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt. Gase lassen sich in vielen
Fällen durch die Zustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung) beschreiben
p  v  R T
wobei R [J/kgK] die spezifische Gaskonstante beschreibt. Aus dieser Beziehung ist
sofort ersichtlich, dass bei Gasen zwei Zustandsgrößen immer frei wählbar sind
und dadurch die dritte Zustandsgröße festgelegt wird. Im thermodynamischen
22
1 Einleitung
Gleichgewicht können nicht beliebig viele Aggregatszustände (Phasen) gleichzeitig
vorliegen. Der Zusammenhang zwischen frei veränderlichen Zustandsgrößen, Anzahl der gleichzeitig vorliegenden Phasen und Anzahl der Komponenten eines
Stoffes wird durch die Gibbs'sche Phasenregel beschrieben.
f K 2 P
mit
f
Anzahl der Freiheitsgrade (veränderliche Zustandsgrößen)
K
Anzahl der Systemkomponenten
P
Anzahl der Phasen
Betrachten Sie zum Beispiel siedendes Wasser, in dem bereits die ersten Dampfblasen aufsteigen. Hier liegt Wasser gleichzeitig in der flüssigen als auch in der
gasförmigen Phase vor; P ist demnach gleich zwei. Da Wasser nur aus einer Komponente besteht ist K also gleich eins. Entsprechend der Gibbs’schen Phasenregel
gilt
f  K  2  P  1 2  2  1
Das bedeutet, dass Sie nur noch eine Zustandsgröße zur Verfügung haben, an der
Sie etwas verändern können. In diesem Fall also entweder den Druck p oder die
Temperatur T. Druck und Temperatur sind über eine einfache Funktion miteinander gekoppelt. Zu jedem Siededruck gehört genau eine Siedetemperatur. Dieser
Zusammenhang wird über die sogenannte Dampfdruckkurve beschrieben. Tabellarische Werte für die Dampfdruckkurve von Wasser finden Sie im Anhang des
Skripts (A4 – A7) oder aber auch eines jeden Thermodynamik-Buchs.
Bei der Kühlwasseranzeige Ihres Fahrzeugs ist Ihnen vielleicht einmal aufgefallen,
dass die Temperaturanzeige gelegentlich deutlich über 100°C ansteigt und das
Kühlwasser trotzdem noch flüssig bleibt. Das liegt einfach daran, dass die Siedetemperatur bei einem höheren Druck ansteigt. Dieser Effekt wird beispielsweise
bei einer Espressomaschine ausgenutzt. Gute Geräte haben einen Betriebsdruck
von bis zu 30 bar, was einer Siedetemperatur von 233,8°C entspricht. Die Brühtemperatur für den Kaffee beträgt in diesem Fall nicht 100°C sondern 233,8°C, was
sich deutlich auf das Geschmacksresultat auswirkt. Umgekehrt sinkt die die Siedetemperatur, wenn der Druck sinkt. So beträgt der Luftdruck entsprechend der Normatmosphäre auf dem Gipfel des Mount Everest in 8848 m Höhe nur noch 0,315
bar. Bei diesem Druck siedet Wasser bereits bei 70°C.
Übung 1-1
Schlank werden durch den massiven Konsum von Speiseeis!
Zur Bestätigung dieser Theorie gehen Sie von folgenden Stoffwerten aus: Sie entnehmen einen Becher mit VEis = 200ml bei TEis = -18°C aus der Gefriertruhe und
erwärmen diese Eismenge durch den Verzehr auf Ihre Körpertemperatur von TK =
37,5°C. Auf dem Eisbecher findet sich die Nährwertangabe EEis = 150 kcal/100 ml.
Als Ingenieur wissen Sie natürlich, dass Sie die spezifische Wärme und Schmelzenthalpie von Milchspeiseeis näherungsweise durch die Werte von Wasser ersetzen können, also
Dichte von Eis:
Eis = 920 kg/m³
23
1 Einleitung
spezifische Wärme von Eis:
cEis = 1,930 kJ/kgK
Schmelzwärme von Eis:
Eis = 333,5 kJ/kg
spezifische Wärme von Wasser:
cWasser = 4,183 kJ/kgK
Aufgrund der hohen Energieanteile, die bei Erwärmung, Schmelzen und Verdampfen erforderlich sind, steht die Wirksamkeit dieser Methode völlig außer Frage.
1.3.7 Teilchenkräfte, Oberflächenspannung und Kapillarwirkung
Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf,
wodurch die Molekularkräfte deutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt
zu einer leichteren Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche
eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskräften, das sind Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhäsionskräften. Hierbei
handelt es sich um Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen. Unter Adsorption versteht man die Wirkung zwischen fester und gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper. Absorption beschreibt die Aufnahme von Gasen oder
Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen. Mit dem Begriff der Absorption eng
verbunden ist das Henry-Gesetz2 , welches die Fähigkeit einer Flüssigkeit zur Aufnahme von Gasen oder Dämpfen beschreibt. Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu. Dieser Zusammenhang lässt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden im
Sommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur der Sauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird. Bei Tauchern ist dieser Zusammenhang als Taucherkrankheit bekannt.
Mit zunehmender Tauchtiefe wird durch den erhöhten Gasdruck in der Atemluft
mehr Stickstoff im Blut gelöst als bei Umgebungsdruck an der Oberfläche. Das mit
Stickstoff angereicherte Blut wird in das Körpergewebe transportiert und erhöht
dort die Stickstoffkonzentration. Bei einem zu schnellen Aufstieg an die Oberfläche sinkt der Außendruck schneller ab, als der Stickstoff wieder über die Lunge
abgeatmet werden kann, wodurch Blut und Gewebe mit Stickstoff übersättigt sind.
Das Gas kann jedoch aufgrund des gesunkenen Drucks nicht mehr in gelöster Form
bleiben sondern bildet Gasblasen und dies kann zu einer Gasemboli, das heißt einer
Unterbrechung der Blutversorgung führen.
Grenzflächenspannung
Die Entstehung der Grenzflächenspannung oder auch Oberflächenspannung bei
Flüssigkeiten lässt sich am Beispiel von Wassermolekülen verdeutlichen. Wassermoleküle bilden Wasserstoffbrückenbindungen wodurch gegenseitige Anziehungskräfte entstehen. Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich im Inneren des
––––––––––
2
24
Henry, William (12.12.1774 – 02.09.1836), engl. Mediziner und Chemiker
1 Einleitung
Fluids auf, da sie von allen Seiten gleichmäßig auf das Molekül einwirken. Befindet sich jedoch Teilchen an der Wasseroberfläche, so sind die von der Luft ausgeübten Anziehungskräfte deutlich kleiner, als die Anziehungskräfte zwischen den
Wassermolekülen.
Daraus resultiert ein Spannungszustand an der Oberfläche und die freie Oberfläche
versucht einen Minimalwert anzunehmen um den Spannungszustand zu minimieren. Dieser Zustand entspricht einer vorgespannten Membran (Abb. 1-9). Werden
die dafür erforderlichen Kräfte auf die Kantenlänge des Oberflächenelements bezogen, so ergibt sich die Grenzflächenspannung . Die Grenzflächenspannung ist
jedoch keine mechanische Spannung im klassischen Sinn mit der Einheit
Kraft/Fläche, wie eine Schub- oder Normalspannung, sondern hat die physikalische
Einheit Kraft pro Länge, also N/m.
dF
dy
dx
dy
dx
rK1
dA
rK2
dy
dx
dx
dy
Abb. 1-9: Spannungen an einem Oberflächenelement
Infolge der an den Rändern angreifenden Spannungen ergibt sich eine resultierende
Kraft dF, die senkrecht auf das Flächenelement dA wirkt. Es ergibt sich ein Druck,
der als Krümmungsdruck pK bezeichnet wird.
d
d
∙
1
1
Der Krümmungsdruck pK wird von der Form der freien Oberfläche bestimmt.
-
Ebene Oberfläche:
Kugelkalottenförmige Oberfläche:
Zylinderförmige Oberfläche:
∞
.,


∞
0.
2∙ ⁄
⁄
Die Grenzflächenspannung bewirkt, dass Fluide immer einen spannungsminimalen
Zustand einnehmen. Beim Regentropfen ist dies die Kugelform. Allerdings gelingt
dem Tropfen das nur im Zustand der Schwerelosigkeit. Fällt der Regentropfen aus
25
1 Einleitung
der Wolke gen Erde, so wirken noch zusätzlich die Schwerkraft als auch Reibungskräfte auf ihn. Aber auch hier können wir von der Natur lernen. Die charakteristische Tropfenform stellt in der Strömungsmechanik die widerstandsminimale
Körperform dar.
Der sich an der Oberfläche einstellende Spannungszustand ist von der Stoffpaarung
sowie von der Temperatur abhängig. Als reines Gedankenexperiment - Sie selbst
würden so etwas natürlich nie tun - betrachten Sie einen Wasserläufer (lat.: Gerris
lacustris), der aufgrund seines geringen Eigengewichts unter Ausnutzung der
Grenzflächenspannung über die Oberfläche eines Gewässers läuft. Verringern Sie
die Oberflächenspannung durch die Zugabe von Tensiden (enthalten beispielsweise
in Waschpulver, Spülmittel oder Flüssigseife) oder durch Erhöhung der Wassertemperatur, so geht der Wasserläufer im wahrsten Sinne des Wortes baden. Das erklärt auch, warum Sie mit warmem Wasser eine deutlich bessere Reinigungswirkung erzielen als mit kaltem Wasser. Tab. 1-1 gibt eine Übersicht über die mit
zunehmender Temperatur abnehmende Oberflächenspannung von Wasser gegen
Luft.
Oberflächenspannung  N/m
Temperatur T °C
0
0,07560
10
0,07422
20
0,07275
30
0,07118
40
0,06956
50
0,06791
60
0,06618
70
0,06440
80
0,06260
90
0,06082
100
0,05890
Tab. 1-1: Oberflächenspannung von Wasser gegen Luft
Sehr wahrscheinlich haben Sie einen Effekt der Oberflächenspannung bereits sehr
häufig angewendet ohne es zu bemerken. Die Oberflächenspannung ist eine stoffspezifische Größe und hängt zusätzlich von der Temperatur ab. Damit lässt sich
sehr einfach mittels einer Kalibrierung das Volumen beziehungsweise die Masse
eines Tröpfchens bestimmen. Das ist insbesondere für pharmazeutische Anwendungen, also der Dosierung von flüssigen Medikamenten interessant. Nur die wenigsten wären in der Lage eine Mengenangabe in der Größenordnung von wenigen
Milligramm mit hinreichender Genauigkeit im Alltag zu bestimmen. Wird die
Mengenangabe jedoch mit einer bestimmten Anzahl von Tröpfchen angegeben, so
steigt die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Dosierung des Hustensafts deutlich
26
1 Einleitung
an. Unter der Annahme, dass das Medikament bei Raumtemperatur verabreicht
wird, hängt die Größe des Tröpfchens nur noch von der Oberflächenspannung und
der Dichte ab.
Eine sehr gute Quelle für chemische und physikalische Stoffwerte, und zwar nicht
nur für die Oberflächenspannung, finden Sie in
Weast R.C., Astle M.J.: Handbook of Chemistry and Physics, CRC-Press, 60th edition
oder
Landold-Börnstein Database, Springer-Verlag. Berlin 2013
Benetzungsformen
Aus dem Verhältnis der beiden Kräfte Adhäsionskraft und Kohäsionskraft und dem
daraus resultierenden Randwinkel, ergeben sich unterschiedliche Benetzungsformen einer Oberfläche (Abb. 1-10). Überwiegen die Kohäsionskräfte gegenüber den Adhäsionskräften, so bildet sich ein Randwinkel  > 90°. Dieser Zustand entspricht einer hydrophoben Benetzung (griechisch: hydro: „Wasser“,
phóbos: „Furcht“). Der Flüssigkeitstropfen versucht die Kontaktfläche mit dem
Körper zu minimieren. Sind die Adhäsionskräfte gegenüber den Kohäsionskräften
dominant, so bildet sich nur ein sehr kleiner Randwinkel; im Extremfall gilt  = 0°.
Das entspricht einer hydrophilen Benetzung (griechisch: phílos: „Freund“). Der
Flüssigkeitstropfen versucht die Kontaktfläche mit dem Körper zu maximieren.


a) Kohäsion > Adhäsion, Randwinkel  > 90°
b) Adhäsion > Kohäsion , Randwinkel  < 90°
Abb. 1-10: Benetzungsformen a) hydrophob b) hydrophil
Für beide Benetzungsformen gibt es eine Vielzahl von sinnvollen technischen Anwendungen. Hydrophobe Beschichtungen sind geeignet verschmutzungsresistente
Oberflächenbeschichtungen, zum Beispiel bei Badkeramik zu ermöglichen. Interessant, allerdings noch nicht unter Einsatzbedingen erfolgreich getestet, wären
solche Beschichtungen auch für Anwendungen an Tragflügeln um Verschmutzung
(Segelflugzeuge) oder Vereisung (Verkehrsflugzeuge) zu vermeiden.
Kapillarwirkung
In Abhängigkeit von der Stoffpaarung, das heißt welche Flüssigkeit trifft auf welchen Festkörper tritt infolge der Oberflächenspannung entweder eine Kapillaraszension (Aufstieg) oder eine Kapillardepression (Absenkung) der Flüssigkeit
in einem Röhrchen auf. Dieses Phänomen hängt davon ab, welche der beiden Kräfte, also Kohäsionskraft oder Adhäsionskraft dominiert. In Abb. 1-11 ist das Verhalten von Wasser und von Quecksilber in einem Glasröhrchen dargestellt. In beiden
Fällen stellt sich ein Gleichgewichtszustand zwischen der Gewichtskraft der aufge27
1 Einleitung
stiegenen beziehungsweise nach unten gedrückten Flüssigkeitssäule und der am
Innenumfang des Röhrchens anliegenden Grenzflächenspannung ein.
d
d
r
 W= K
Glasrohr
rK
W
hH2O
hHg
H2O
Hg
Wasser
Quecksilber
Abb. 1-11: Kapillarwirkung a) Kapillaraszension b) Kapillardepression c)
Randwinkel W
Im Fall einer Flüssigkeit, die sich in einem Röhrchen befindet bildet sich eine kugelkalottenförmige Oberfläche mit
und damit den Krümmungsdruck
2∙
π∙
Die Kapillarkraft FK ergibt sich aus dem Krümmungsdruck zu
2∙
∙π∙
Der Zusammenhang zwischen Randwinkel W, Innenradius des Röhrchens r und
Krümmungsradius rK ergibt sich aus Abb. 1-11c zu
cos
Daraus folgt für die Kapillarkraft
2∙
∙π∙
∙ cos
Für die Gewichtskraft FG der um h aufgestiegenen oder abgesenkten Flüssigkeitssäule gilt
π
∙ ∙ ∙
∙
4
Aus der Gleichgewichtsbedingung dieser beiden Kräfte folgt für die kapillare
Steighöhe
2∙
∙ cos
∙ ∙
Bei Röhrchen mit sehr kleinem Innendurchmesser nähert sich die Flüssigkeitsoberfläche der Form einer Halbkugel und der Randwinkel W wird zu Null und damit
gilt für die kapillare Steighöhe
28
1 Einleitung
2∙
 
Steighöhe [mm]
In Abb. 1-12 ist die Steighöhe von Wasser bei TW = 20°C in einem Glasröhrchen
skizziert. Bemerkenswert sind die relativ großen Steighöhen, die beispielsweise bei
Pflanzen erreicht werden, indem Adern mit kleinen Innendurchmessern ausgebildet
werden und somit die Versorgung auch in Höhe des Baumwipfels ermöglichen.
Innenradius [mm]
Abb. 1-12: Kapillare Steighöhe von Wasser in einem Glasröhrchen bei einer
Wassertemperatur von 20°C
Zur Bestimmung der Oberflächenspannung stehen mehrere, sehr einfache Methoden zur Verfügung.
Kapillarmethode
Alles was Sie hierbei benötigen ist ein einfaches Kapillarröhrchen mit dem Innendurchmesser d, das Sie im Fachhandel erwerben können.
Das Röhrchen wird in die Flüssigkeit eingetaucht und Sie messen die Höhe h der
sich einstellende Kapillaraszension beziehungsweise –depression. Die Oberflächenspannung x ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft
FG der aufgestiegenen oder abgesenkten Flüssigkeitssäule und der am Innenumfang
des Röhrchens angreifenden Kapillarkraft
∙
∙π∙
π
∙ ∙
∙
4
1
∙
∙ ∙
4
∙π∙
∙
29
1 Einleitung
Tropfen- oder Stalagmometermethode
Für diese Methode benötigen Sie ein einfaches Röhrchen oder besser, ein Röhrchen
mit einem Vorratsbehälter, ein sogenanntes Stalagmometer. Zusätzlich ist ein Fluid
erforderlich, von dem Sie die Dichte und die Oberflächenspannung bereits kennen.
Hier bietet sich destilliertes Wasser an. Dafür sind die chemischen und physikalischen Eigenschaften hervorragend dokumentiert.
Alles was Sie nun tun müssen, ist über ein Zeitintervall t das Vergleichsfluid, also
der TropWasser, in einen Auffangbehälter tropfen zu lassen und die Anzahl
fen zu zählen. Die Genauigkeit des Verfahrens steigt natürlich mit zunehmender
Länge des Zeitintervalls. Hier könnten Sie auch einer einfachen Photozelle das
Zählen überlassen.
Im zweiten Schritt bestimmen Sie die Dichte x des zu analysierenden Fluids und
lassen über das gleiche Zeitintervall t das Fluid in den Auffangbehälter tropfen
wobei Sie ebenfalls die Anzahl der nx der Tröpfchen bestimmen. Die Oberflächenspannung x erhalten Sie aus einer einfachen Verhältnisrechnung
∙
∙
∙
Ringmethode
Diese Methode ist nur bedingt für das heimische Kellerlabor geeignet, da hierzu
eine Präzisionswaage zur Messung der sehr geringen Kräfte erforderlich ist. Das
Messprinzip besteht darin, dass Sie eine ringförmige Schneide in ein Fluid tauchen,
diese vorsichtig wieder herausziehen und im Moment des Abreißens des Flüssigkeitsfilms die Kraft Fges. messen. Von dieser Kraft ist noch die Gewichtskraft FG
der Aufhängung und der Schneide abzuziehen und Sie erhalten die Kraft infolge
der Oberflächenspannung. Diese Kraft greift an der Schneide als auch an der Flüssigkeitsoberfläche an, daher ist die Länge L der Schneide mit dem Faktor zwei zu
gewichten. Die Oberflächenspannung ergibt sich dann zu
.
2∙
30
Hydrostatik 2
2 Hydrostatik
Die Hydrostatik beschreibt die Verhältnisse in einem ruhenden (=statischen) System. Damit lassen sich die Kräfte, die auf die Begrenzungsflächen von Körpern
wirken, bestimmen. Daraus resultieren beispielsweise die Auftriebskräfte, die an
getauchten, schwimmenden oder schwebenden Körpern wirken. Wie Sie die
Druckverteilung in dem Fluid, also die physikalische Ursache für diese Kräfte bestimmen können, werden Sie in den folgenden Abschnitten kennenlernen.
2.1
Druck
Druck im physikalischen Sinn stellt eine Zustandsgröße zur Beschreibung eines
thermodynamischen Zustands innerhalb eines Systems dar. Weitere Zustandsgrößen sind beispielsweise die Dichte und die Temperatur. Zur Beschreibung des
Drucks ist immer ein Referenzniveau erforderlich. Sofern Sie das Vakuum als Referenz festlegen, entspricht der Druck dem Absolutdruck. Das ist zwar prinzipiell
möglich und wird auch im Fall des Luftdrucks in der Atmosphäre so gehandhabt,
stellt sich in der Messtechnik jedoch häufig als nicht sehr praktikabel heraus. Häufig möchten Sie Differenzdrücke oder Druckschwankungen bestimmen, die nur einen kleinen Bruchteils des Absolutdrucks ausmachen. Solche kleinen Druckänderungen sind mit Absolutdruckaufnehmern nur sehr ungenau zu erfassen. Um den
Messbereich ihres Sensors besser auszunützen werden Sie also eine Referenz wählen, die in der Nähe des zu erwartenden Druckbereichs liegt.
Sehr häufig wird beispielsweise der äußere Umgebungsdruck als Referenz gewählt.
denken Sie an die Messung des Reifendrucks an der Tankstelle. Der angezeigte
Messwert entspricht hierbei nicht dem Absolutdruck in Ihrem Reifen, sondern dem
Überdruck gegenüber der freien Atmosphäre.
Übung 2-1
Vor dem Antritt ihrer Fahrt in den Winterurlaub prüfen Sie an einer Tankstelle in
München (H = 500 m) den Reifendruck an ihrem Fahrzeug. Das Manometer zeigt
einen Druck von pR = 2,3 bar an. Das Fahrzeug war über Nacht am Straßenrand
geparkt und die Reifentemperatur entspricht der Umgebungstemperatur von
T = -2°C. An diesem Tag herrscht in München ein Luftdruck von pM = 954 hPa
(nicht umgerechnet auf Meeresniveau). Bei einem Tankstopp am Brennerpass (H =
1370 m) prüfen Sie erneut den Reifendruck. An der Tankstelle lesen Sie am dort
angebrachten Barometer einen Luftdruck von pH = 856 Pa ab. Die Reifen wurden
infolge der Fahrt auf der Autobahn bereits warm gefahren und haben eine Temperatur von TH = 30°C.
Welchen Druck zeigt das Manometer an der Tankstelle am Brennerpass an?
Um mit physikalischen Größen arbeiten zu können, ist es erforderlich diesen geeignete Einheiten und Dimensionen zuzuordnen. Diese Zuordnung ist im Prinzip
willkürlich, jedoch ist es von Vorteil sich auf gemeinsame Bezugsgrößen zu einigen. Wichtig ist vor allem, dass alle am Prozess Beteiligten wissen, auf welche Basis man sich geeinigt hat. Im Laufe der Zeit hat sich eine Reihe von Bezugssyste31
2 Hydrostatik
men etabliert, die regional sehr unterschiedlich sind und historisch interessante
Wurzeln haben können, wie beispielsweise die Längeneinheit „yard“, das 1101 in
England von König Heinrich I. als Abstand von seiner Nasenspitze bis zu seinem
Daumenende eingeführt wurde.
In den technischen Naturwissenschaften wird seit einigen Jahrzehnten das international vereinbarte „Système International d’Unité“ oder auch kurz SI-System, verwendet. Der Begriff „international“ ist jedoch mit gewissen Einschränkungen zu
sehen, da insbesondere im angelsächsischen Raum und in der Luftfahrt das englische und amerikanische Maßsystem beziehungsweise eine Mischung aus beiden
noch üblich sind. Obwohl in Deutschland mit der Verabschiedung des Gesetzes
über die Einheiten im Messwesen vom 02.07.1969 die Verwendung des SISystems im geschäftlichen und amtlichen Verkehr vorgeschrieben ist, hat sich diese Erkenntnis im Luftfahrtbereich noch nicht durchgesetzt.
Das im weiteren Verlauf zu verwendende SI-System hat den Vorteil, dass ausgehend von sieben Basiseinheiten, sich alle weiteren physikalischen Größen durch
eine Kombination dieser Basiseinheiten darstellen, beziehungsweise ineinander
überführen lassen.
Größe
Einheit
Zeichen
Definition
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
„
Zeit
Sekunde
s
„
Elektrische Stromstärke
Ampère
A
„
Temperatur
Kelvin
K
„
Lichtstärke
Candela
cd
„
Stoffmenge
Mol
mol
„
siehe Tab. A-2
Tab. 2-1: Basiseinheiten des SI-Systems
Größe
Einheit
Zeichen
Definition
Kraft
Newton
N
N = kgm/s²
Leistung
Watt
W
W = Nm/s
Energie, Arbeit
Joule
J
J = Nm
Druck
Pascal
Pa
Pa = N/m²
Tab. 2-2: Abgeleitete Größen des SI-Systems
Obwohl für den Druck generell die SI-Einheit Pascal [Pa] zu verwenden ist, werden Ihnen gelegentlich auch andere Bezeichnungen begegnen.
32
Hydrostatik 2
Einheit
Pa = N/m²
hPa = mbar
MPa
bar
atm
mm WS = mm Wassersäule
mm Hg = mm Quecksilbersäule = Torr
760 mm Hg = 1 atm
psi = lb/in²
lb = engl. pound force, 1 lb = 4,448 N
in = engl. inch = Zoll = 25,4 mm
psf = lb/ft²
f = engl. foot = 12 inch = 0,3048 m
Multiplikationsfaktor
1
10²
106
105
1,01325105
9,80665
133,32
6894,757
47,88
Tab. 2-3: Druckeinheiten
2.1.1 Hydrostatischer Druck
Druck, ähnlich wie Temperatur oder Dichte, ist eine ungerichtete, also skalare
Größe. Im Gegensatz dazu ist die Geschwindigkeit eine gerichtete, also vektorielle
Größe. Wirkt Druck auf eine Fläche so ergibt sich eine Druckkraft, die immer
senkrecht auf dem belasteten Flächenelement steht. Zur Bestimmung des Drucks,
der in einer bestimmten Tiefe h einer Flüssigkeit vorliegt, betrachten Sie die Kräfteverhältnisse der in Abb. 2-1 skizzierten freigeschnitten Flüssigkeitssäule. Der
Behälter ist an der Oberseite zur Umgebung hin offen, somit liegt am Flüssigkeitsspiegel der Umgebungsluftdruck p0 an. Zusätzlich wirken auf die Flüssigkeitssäule
die Gewichtskraft FG und der Druck p(h) in der Tiefe h. Da sich das System in einem statischen Gleichgewicht befindet, muss folgendes Kräftegleichgewicht gelten
∙d
∙d
0
mit
∙d ∙
∙
folgt für den Druck in der Tiefe h
∙
p0  dA
z
z0
h
FG
p0
∙
z
p0

p0    g  h
p( h ) dA
p0    g  z0
p( z )
Abb. 2-1: Hydrostatischer Druck
33
2 Hydrostatik
Unter der Annahme, dass die Kompressibilität der Flüssigkeit vernachlässigt werden kann, beschreibt diese Gleichung den sogenannten hydrostatischen Druck. Aus
dieser Gleichung ist ersichtlich, dass die Druckzunahme in einer Flüssigkeit einem
linearen Verlauf folgt. Bei Wasser gilt der einfache Zusammenhang, dass pro 10 m
Tauchtiefe der Wasserdruck um ein bar zunimmt.
Ein weiterer interessanter Aspekt liegt in der Eigenschaft des Drucks, dass er eine
ungerichtete Größe ist und lediglich von der Tiefe aber nicht von der lateralen
Ausdehnung des Gefäßes abhängt. Das würde auch zu höchst unerfreulichen Konsequenzen führen, da Sie dann nicht mehr in der Lage wären in einem See oder
Schwimmbad, geschweige denn im offenen Meer zu baden.
2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen
Der nach dem Franzosen Blaise Pascal3 benannte und auf den ersten Blick wirklich
kuriose Effekt beruht ebenfalls auf dem hydrostatischen Druck. Betrachten Sie die
vier unterschiedlich geformten Behälter in Abb. 2-2, die alle bis zum gleichen Pegelstand h mit einer Flüssigkeit befüllt sind. Zusätzlich haben alle Behälter die
gleich große Bodenplatte mit der Fläche A. Gesucht ist die Kraft F, die die jeweilige Bodenplatte belastet. Diese ist nicht zu verwechseln mit der Reaktionskraft, also
der Lagerkraft, die den Behälter abstützt.
p0
h
A
F
F
F
A
A
p0
F
A
Abb. 2-2: Pascalsches Paradoxon
Nun, das Ergebnis ist verblüffend. Alle vier Bodenplatten werden mit der gleichen
Kraft F belastet, obwohl sich in jedem der Behälter unterschiedliche Flüssigkeitsmengen befinden. Die Kraft auf den Behälterboden ergibt sich aus der Druckdifferenz von dem inneren Druck
∙
∙
und dem äußeren Druck auf die Bodenplatte
Beide Drücke wirken auf die Fläche A, also gilt
––––––––––
3
Pascal, Blaise (19. 06 1623 -19.08.1662) französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, Erfinder der ersten Rechenmaschine. Ihm zu Ehren wurden unter anderem die Programmiersprachen
Pascal und Turbo Pascal benannt
34
Hydrostatik 2
∙
∙
∙
∙
Da in allen vier Fällen der Pegelstand und damit der Druck p(h) in der Tiefe h sowie die Größe der Bodenplatte identisch sind, ist auch in allen Fällen die Kraft F
gleich groß. Interessant ist, dass aufgrund der Eigenschaft des Drucks eine ungerichtete Größe zu sein, gar nicht die Höhe der Wassersäule, die über der belasteten
Fläche steht relevant ist, sondern die Höhe des Pegelstandes mit der die belastete
Fläche in Verbindung steht. Das bringt uns zu dem sogenannten virtuellen Volumen, Vvirtuell, welches für die Kraft F verantwortlich ist. Dieses virtuelle Volumen
entspricht der Größe der belasteten Bodenfläche mal der Höhe des Pegelstands mit
dem diese Fläche in Verbindung steht. Die Menge des vorhandenen Wassers ist
völlig unerheblich.
∙
Vvirtuell
p0
∙
∙
∙
∙
Vvirtuell
Vvirtuell
Vvirtuell
h
A
F
F
F
A
A
p0
F
A
Abb. 2-3: Virtuelles Volumen
2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße
In Abb. 2-4 sehen Sie zwei über eine Verbindungsleitung miteinander verbundene
Behälter, die mit zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte befüllt sind, die sich
nicht vermischen. Also beispielsweise Öl im Behälter (1) und Wasser im Behälter
(2). An der Stelle z0 entsteht eine Trennebene zwischen den beiden Flüssigkeiten.
Die Frage, die sich nun stellt, lautet: An welcher Stelle herrscht der größere Druck?
Am Boden des linken oder am Boden des rechten Behälters? In diesem Beispiel
handelt es sich um ein ruhendes statisches System. Die Drücke am Boden der beiden Behälter müssen identisch sein, da sich andernfalls eine Ausgleichsströmung in
Richtung des niedrigeren Drucks einstellen würde. Das ist gleichzeitig eine weitere
wichtige Eigenschaft des hydrostatischen Drucks: Solange Sie sich auf dem gleichen Niveau befinden, herrscht dort auch der gleiche Druck. Aus den unterschiedlichen Pegelständen könnten Sie aber auch die Dichte einer Flüssigkeit bestimmen,
sofern Sie die Dichte der zweiten Flüssigkeit kennen.
Linke Seite: Bilanz (1 - 1)
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
Rechte Seite: Bilanz (2 - 2)
35
2 Hydrostatik
Wegen p1 = p2 folgt
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
also
∙
z
p0
(1)
z1
z2
z0
p0
h1
(2)
1
2
h2
h0
h0
0
(2)
(1)
Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße mit Öl (1) und Wasser (2) befüllt
2.1.4 Hydraulische Presse
Dem Prinzip der kommunizierenden Röhren liegt der Wirkungsweise einer hydraulischen Presse oder einem hydraulischen Bremssystem zugrunde. Dieses Prinzip
der Kraftverstärkung durch die Verwendung zweier unterschiedlich großen Zylinder können Sie aus Abb. 2-5 ersehen.
F1
A1
p0
F2 A
2
(1)
p1
z1
(2)
p2

z2
Abb. 2-5: Hydraulische Presse
Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt
∙
∙
Die Kräftebilanz am Kolben (2) lautet
∙
∙
Da die Unterseiten der beiden Kolben nicht auf der gleichen Höhe liegen, herrscht
zwischen den beiden Drücken p1 und p2 der Druckunterschied
∙
beziehungsweise
36
∙
∙
∙∆
Hydrostatik 2
∙
∙∆
damit ergibt sich für das Kraftverstärkungsverhältnis
∙
∙∆ ∙
Bei Systemen mit sehr hohen Drücken kann der hydrostatische Druckanteil infolge
des Höhenunterschieds z der beiden Kolbenunterseiten vernachlässigt werden und
das Verstärkungsverhältnis vereinfacht sich zu
Die Größe des dadurch resultierenden Fehlers können Sie an folgendem Beispiel
abschätzen
Übung 2-2
Für die in Abb. 2-6 skizzierte hydraulische Presse sind folgende Fragen zu klären:
-
Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) erforderlich um die Masse m = 10 t auf
dem Kolben (2) zu halten
Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)?
Wie groß ist der Fehler bei Vernachlässigung des Höhenunterschieds zwischen den Unterseiten der beiden Kolben?
p0 = 1 bar
0,5 m
D1 = 50 mm
m = 10 t
F1
(2)
(1)
p1
 = 900 kg/m 3
p2
3m
D2 = 500 mm
Abb. 2-6: Hydraulische Presse
37
2 Hydrostatik
2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe
Sofern Sie in einer ländlichen Umgebung aufgewachsen sind, kennen Sie vielleicht
noch das Prinzip einer von Hand betriebenen Saugpumpe zur Förderung von Wasser aus einem Brunnenschacht, wie sie früher auf jedem Hof oder Schrebergarten
zu finden waren. Anzumerken ist in diesem Zusammenhang, dass der Begriff
„Saugkraft“ physikalisch nicht zu vertreten ist, da Fluide, also Gase und Flüssigkeiten keine Zugkräfte sondern lediglich Druckkräfte übertragen können. Ansaugen bedeutet immer, dass an einem Körper ein Druckunterschied vorliegt, der zu
einer resultierenden Kraft führt. Die Frage, die es nun zu beantworten gilt lautet:
Welchen Höhenunterschied können Sie maximal mit einer Saugpumpe überbrücken? Dazu betrachten Sie die in Abb. 2-7 skizzierte Pumpe.
pi
pu
(1)
H
p0
(2)
h
W
(2)
(1)
Abb. 2-7: Saugpumpe an einem Brunnen
Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1) – (1)
∙
∙
∙
∙
und der Druckbilanz in dem zur Atmosphäre offenen Brunnenschacht (2) – (2)
∙
∙
Da sich die Messpunkte für p1 und p2 auf dem gleichen Niveau befinden, muss dort
auch der gleiche Druck herrschen. Es gilt also
und somit
∙
∙
∙
∙
∙
∙
38
∙
Hydrostatik 2
Die maximale Förderhöhe Hmax ergibt sich also bei dem kleinstmöglichen Druck pi
im Pumpengehäuse. Der niedrigste Druck, den Sie erzeugen können, wäre ein Vakuum. Auf der Erde ein recht kostspieliges Unterfangen, da Sie dazu eine Molekularpumpe benötigen. In diesem Fall würde die maximale Förderhöhe
∙
10
10 ∙ 9,81
10m
betragen.
Allerdings können Sie sich die Investition in die teure Molekularpumpe sparen, da
die Saugpumpe den Dienst quittieren wird, lange bevor Sie im Pumpengehäuse ein
Vakuum erzeugt hätten. Sobald der Druck im Pumpengehäuse unter den Dampfdruck sinkt, wird das Wasser von der flüssigen Phase in die Gasphase übergehen.
Es beginnt also zu sieden und die Pumpe funktioniert nicht mehr. Da der Dampfdruck von der Temperatur abhängt (siehe Tab. A-4 bis Tab. A-7) nimmt die maximale Förderhöhe mit steigender Wassertemperatur ab. Die maximale Förderhöhe
ergibt sich also zu
∙
Bei einer Wassertemperatur von 100°C beträgt der Dampfdruck ein bar. Das bedeutet, dass bei einem bar Umgebungsdruck die Förderhöhe auf null zurückgeht.
Sofern Sie beispielsweise auf Island aus einer heißen, siedenden Quelle mit einer
Saugpumpe Wasser fördern möchten, wird das nicht funktionieren.
Sofern Sie größere Förderhöhen erreichen möchten, ist es erforderlich den Brunnenschacht gegenüber der freien Atmosphäre abzudichten, so dass nicht mehr der
Umgebungsdruck p0 an der Wasseroberfläche anliegt, sondern ein höherer Luftdruck, den Sie durch einen Kompresser im Brunnenschacht erzeugen könnten.
2.1.6 Kavitation
Sinkt in einer Flüssigkeit der Druck unter den Dampfdruck, so wechselt das Fluid
von der flüssigen Phase in die Dampfphase. Der Zusammenhang zwischen Siededruck und Siedetemperatur wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben. In den
Dampftafeln4 in Tab. A-4 bis Tab. A-7 finden Sie die Werte für Wasser. Das klingt
zunächst harmlos, hat aber gravierende Auswirkungen auf den Betrieb von
Schiffspropellern oder Wasserturbinen. Sinkt der Druck an dem Schaufelblatt unter
den Dampfdruck, so bildet sich eine Dampfblase, die jedoch sehr schnell wieder
zerfällt, sobald der Druck wieder steigt. Dies kann zu einem sehr schnellen Lastwechsel und zu sogenannten Kavitationsschäden an dem entsprechenden Bauteil
führen. Eine weitere Auswirkung der Kavitation liegt in der Begrenzung der maximalen Förderhöhe einer Saugpumpe beziehungsweise der Tatsache, dass eine
Flüssigkeit nicht beliebig große Steighöhen von alleine überwinden kann.
––––––––––
Dampftafel: Siededruck pD, Siedetemperatur , spezifisches Volumen v = V/m = 1/, wobei v‘ das
spez. Volumen in der flüssigen Phase und v‘‘ das spez. Volumen in der Gasphase beschreibt. Gleiches
gilt für die spez. Enthalpie und spez. Entropie: h‘ und s‘ beschreiben die Werte der flüssigen Phase
und h‘‘ und s‘‘ beschreiben die Werte der flüssigen Phase.
4
39
2 Hydrostatik
Abb. 2-8: Kavitationsschäden an einem Schiffspropeller
2.2
Druckmessung
2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen
Bei der Bestimmung der Zustandsgrößen Druck, Dichte und Temperatur ist es
wichtig zwischen den statischen Größen und den Totalgrößen zu unterscheiden.
Würden Sie den Luftdruck in einem ruhenden System, also beispielsweise in dem
Raum, in dem Sie sich gerade befinden, mit einem Barometer messen, so wäre dies
der statische Druck. Zwischen dem Sensor und dem Fluid, also der Luft, liegt keine
Relativgeschwindigkeit vor. Da sich das System in Ruhe befindet, wäre in diesem
Fall der statische Druck identisch mit dem Totaldruck.
Ebenso würden Sie in einem bewegten System den statischen Druck messen, wenn
Sie den Sensor in Strömungsrichtung mitbewegen und zwar mit der gleichen Geschwindigkeit, wie die Strömung fließt. Auch hier liegt keine Relativgeschwindigkeit zwischen Sensor und Fluid vor.
Würden Sie in einem bewegten System den Sensor jedoch fixieren, so würde die
Strömung an dem Sensor auf die Geschwindigkeit null abgebremst. Der statische
Druck ist eine ungerichtete Größe, dem Sie einfach nicht entgehen können. Daher
liegt auf jeden Fall bereits der statische Druck an ihrem ortsfesten Sensor an. Zusätzlich wird dieser statische Druck noch um einen weiteren Anteil erhöht. Die kinetische Energie, die in der Strömung enthalten ist kann sich im Staupunkt, wo sie
auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird, nicht einfach ins Nichts auflösen5
sondern führt zu einer Druckerhöhung im Staupunkt. Der Druck, den der Sensor
nun im Staupunkt misst, setzt sich also zusammen aus dem statischen Druck ps und
dem sogenannten Staudruck /2v2, also dem kinetischen Anteil.
Zur Bestimmung der Totalgrößen ist es nicht erforderlich die Strömung wirklich
auf die Geschwindigkeit null abzubremsen. Das können Sie auch virtuell, also rein
rechnerisch tun. Sofern Sie die Kompressibilität vernachlässigen, ergibt sich bei
einer Strömungsgeschwindigkeit c der recht einfache Zusammenhang zwischen
dem statischen Druck ps und dem Totaldruck pt:
2
∙
––––––––––
5
Das Prinzip der Energieerhaltung ist ein fundamentales Prinzip der Physik und wird durch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben.
40
Hydrostatik 2
Wenn Sie sich in einer Strömung entlang einer Stromlinie bewegen, so bleibt bei
Vernachlässigung der Reibung und der potentiellen Energie die Gesamtenergie
oder der auch der Gesamtdruck konstant. Die beiden Anteile statischer Druck und
dynamischer Druck beziehungsweise Staudruck können sich zwar beliebig verändern, die Summe aus den beiden Anteilen bleibt jedoch konstant. Das ist die
Grundidee der Bernoulli-Gleichung, die Sie in Kapitel 4 noch näher kennenlernen
werden.
In der Literatur werden Sie für den Totaldruck pt auch die Bezeichnung pges für Gesamtdruck oder p0 finden, wobei der Index null auf die Geschwindigkeit c = 0 im
Staupunkt verweist.
2.2.2 Einbau von Drucksonden
Die Differenzierung zwischen statischem Druck und Totaldruck bringt uns direkt
zu den beiden einzigen Möglichkeiten, wie Sie in einem Bauteil oder in einer
Strömung Drucksensoren installieren können. Die in Abb. 2-9 skizzierten Einbauvarianten sind natürlich unabhängig von dem verwendeten Sensor, wichtig ist lediglich die Installation der Druckbohrung.
90°
c
pstatisch
c
pstatisch
c
pstatisch
pstatisch
pstatisch
c
p0
h
M
pt
pstatisch
pstatisch
c
c
pt
p0
pstatisch
h
M
h
M
Abb. 2-9: Einbau von Drucksonden a) statische Wanddruckbohrung, b) statische
Drucksonde, c) Prandtl-Rohr
In Abb. 2-9a ist der Einbau für eine statische Druckmessung dargestellt. Die
Druckbohrung wird senkrecht zur Gehäuse- oder Rohrwand ausgeführt und die
Strömung verläuft tangential zur Wand. Da der statische Druck eine ungerichtete
Größe ist, wirkt er natürlich auch auf die Öffnung der Druckbohrung. Von der
Strömungsgeschwindigkeit c ist die Messung unbeeinflusst, da keine Geschwindigkeitskomponente in die Bohrung vorliegt. Möchten Sie eine Sonde zur Messung
des statischen Drucks in einer Strömung konstruieren, so wenden Sie ebenfalls das
Prinzip der statischen Wanddruckmessung an. Problematisch gestaltet sich der
Umstand, dass es nicht immer möglich ist, die korrekte Strömungsrichtung zu bestimmen und die Sonde tangential zur Strömung auszurichten. In diesem Fall würden Sie zusätzlich zum statischen Druck noch eine unbekannte Geschwindigkeitskomponente c an der Druckbohrung messen. Der Sensor kann jedoch nicht
zwischen diesen beiden unterschiedlichen Anteilen differenzieren und misst einfach einen etwas erhöhten Druck. Abhilfe schaffen in diesem Fall mehrere, über
den Umfang der Sonde verteilte Druckbohrungen, die alle in das gleiche Volumen
führen, Abb. 2-9b. Bei einer Schräganströmung wird eine Bohrung auf der An41
2 Hydrostatik
strömseite mit einem etwas höheren Druck belastet, während die gegenüberliegende Bohrung auf der Abströmseite mit einem etwas geringeren Druck beaufschlagt
wird.
An der Spitze der Sonde wird die Strömung auf die Geschwindigkeit null abgebremst und es entsteht ein Staupunkt (c = 0). Wenn Sie an dieser Stelle eine
Druckbohrung anbringen, werden Sie den Totaldruck der Strömung messen, Abb.
2-9c. Diese Anordnung wird auch als Pitot-Rohr6 bezeichnet, wobei mit PitotGrößen immer die Strömungsgrößen im Staupunkt bezeichnet werden. Durch die
Kombination eines Pitot-Rohrs mit einer statischen Drucksonde erhält man das sogenannte Prandtl-Rohr7 . Durch die gleichzeitige Messung des Totaldrucks und des
statischen Drucks erhält man durch eine einfache Differenzbildung den Staudruck,
woraus sich wiederum die Geschwindigkeit ableiten lässt. Nach diesem Prinzip arbeiten auch bei heutigen modernen Flugzeugen die Fahrtmesser. Bei niedrigen Geschwindigkeiten im inkompressiblen Bereich ergibt sich aus den beiden Drücken ps
und pt die Geschwindigkeit zu
2
∙
2
∙
2.2.3 U-Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer
Eine sehr einfache und effiziente Möglichkeit zur Druckmessung, die Sie auch
problemlos in Ihrer Garagenwerkstatt anwenden können, ist die Verwendung eines
U-Rohrmanometers. Betrachten Sie den in Abb. 2-10 skizzierten Druckkessel, an
das ein Manometer angeschlossen wurde. In dem Kessel befindet sich eine Flüssigkeit der Dichte K und auf dem Flüssigkeitsspiegel lastet der Druck pi, beziehungsweise der Überdruck gegenüber der Atmosphäre pü. Der linke Schenkel des
mit Quecksilber (definitiv nicht für den Hausgebrauch geeignet) gefüllten Manometers ist an dem Kessel angeschlossen, der rechte Schenkel ist zur Atmosphäre
hin offen.
––––––––––
6
Pitot, Henri de (03.05.1695 – 27.12.1771), französischer Mathematiker, Astronom und Wasserbauingenieur. Entwickelte zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Gewässern das nach ihm benannte Pitot-Rohr.
7
Prandtl, Ludwig (04.08.1875 – 15.08.1953), deutscher (bayrischer) Ingenieur und führender Strömungsmechaniker in Göttingen, Begründer der Grenzschichttheorie.
42
Hydrostatik 2
pü
pi
K
p0
x
h
y
(1)
(2)
Hg
Abb. 2-10: Druckbehälter mit U-Rohrmanometer
Die Frage lautet: Welchen Überdruck pü wird in Abhängigkeit von der Steighöhe h
im Manometer angezeigt?
Ausgehend von dem Grundprinzip der Hydrostatik, dass auf dem gleichen Niveau
auch der gleich Druck herrscht, muss bei einem ruhenden, statischen System in
diesem Fall an den Stellen (1) und (2) im Manometer der gleiche Druck herrschen.
Die Druckbilanz im linken Schenkel ergibt für die Stelle (1)
∙
∙
und im rechten Schenkel an der Stelle (2)
∙
∙
Wegen p1 = p2 gilt
∙
∙
∙
∙
also
∙
ü
∙
∙
∙
Sofern sich in dem Kessel keine Flüssigkeit sondern ein Gas befindet, macht es im
Rahmen der Messgenauigkeit keinen Unterschied, an welcher Stelle des Kessels
Sie die Druckleitung anschließen. Aufgrund der geringen Dichte werden Sie kaum
einen Druckunterschied in Abhängigkeit von der Höhe messen. Zur Verdeutlichung ein kleiner Vergleich der Größenordnungen: Um in Wasser eine Druckänderung von 0,5 bar zu erreichen müssen Sie die Tauchtiefe lediglich um fünf Meter
ändern. Möchten Sie in der Atmosphäre eine Druckänderung von 0,5 bar erreichen,
so müssten Sie beispielsweise von Meeresniveau bis auf eine Höhe von 5500 m
aufsteigen. Der Luftdruck in der freien Atmosphäre halbiert sich ungefähr alle
5500 m, das heißt in 11 km Höhe herrscht noch ein Luftdruck von 0,25 bar. Somit
spielt die Höhenänderung bei Druckbehältern in Form von Pressluftflaschen oder
Gasometern eine eher untergeordnete Rolle. Die Berechnung des Kesseldrucks
vereinfacht sich bei Gasen dadurch zu
ü
∙
∙
43
2 Hydrostatik
Schrägrohrmanometer
Die Genauigkeit eines U-Rohrmanometers lässt sich sehr einfach erhöhen, wenn
Sie den Schenkel, auf dem sich die Messskala befindet um einen Winkel  neigen,
Abb. 2-11. Maßgebend für die Messung ist immer noch die Steighöhe h, jedoch
wird die Steighöhe entsprechend dem Neigungswinkel auf die Länge L gespreizt.
∙
∙
∙
∙ ∙ sin
p1
p0
L

M
h
Abb. 2-11: Schrägrohrmanometer
2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung
Ein wesentlicher Aspekt bei experimentellem Arbeiten, und nicht nur dort, ist die
möglichst genaue Erfassung und Dokumentation der Randbedingungen unter denen
das Experiment durchgeführt wird. Dazu gehören unter anderem Luftdruck, Lufttemperatur und relative Luftfeuchte. Zur Messung des Drucks werden in Laboren
häufig Quecksilber-Barometer verwendet. Diese wirken zwar etwas antiquiert, sind
jedoch recht präzise. Allerdings treffen Sie hier auf ein klassisches Problem der
Messtechnik. Die Messgröße, die Sie erfassen möchten hängt zusätzlich noch von
einem oder mehreren anderen Parametern ab. Im Fall des Quecksilber-Barometers
möchten Sie den Luftdruck messen. Dazu lesen Sie die druckabhängige Längenänderung an einer Skala ab. Zusätzlich dehnt sich das Quecksilber in Abhängigkeit
von der Temperatur aus. Daher sind alle Barometer auf eine bestimmte Referenztemperatur kalibriert, häufig bei 0°C oder 20°C. Diese Information findet sich in
der Regel auf einem kleinen Schild an dem Barometer. Führen Sie das Experiment
bei einer anderen Temperatur als der Referenztemperatur durch, so ist diese Wärmedehnung mittels dieser einfachen Korrektur zu berücksichtigen:
∙ 1
1,81 ∙ 10
∙
mit
L0
mmHg
Länge der Quecksilbersäule, umgerechnet auf T = 0°C
LT
mmHg
Länge der Quecksilbersäule, abgelesen bei Umgebungstemperatur
T
°C
Umgebungstemperatur
Alternativ würde auch folgende, etwas einfacher zu merkende Korrektur funktionieren:
8
44
Hydrostatik 2
Wobei in beiden Korrekturformeln die Temperatur T wieder in °C einzusetzen ist.
Die Umrechnung der Druckeinheit mmHg, also Torr in die SI-Einheit Pascal erfolgt einfach durch Multiplikation mit dem Faktor 133,32 (siehe Tab. 2-3). Die Bestimmung der Luftdichte im Labor erfolgt über die Zustandsgleichung des idealen
Gases
∙
Als Ingenieur haben Sie sicher den Wert für die spezifische Gaskonstante von Luft
R = 287,05 J/kgK im Kopf. Das ist soweit korrekt, allerdings gilt dieser Wert nur
für Luft mit einer relativen Feuchte von  = 0%. Absolut trockene Luft werden Sie
jedoch selbst in der Sahara nie finden. Das ist auch gut so, denn sonst würde das
Auffangen von Kondensfeuchte mittels einer Plane während der Nacht in der Wüste nicht funktionieren. Die Korrektur für die Luftfeuchte erfolgt mittels
1
1
∙
∙
1
0,3773 ∙
∙
mit
R
J/kgK
spezifische Gaskonstante von Luft bei  = 0%
RD
J/kgK
spezifische Gaskonstante von Wasserdampf

%
relative Luftfeuchte
p
Pa
Luftdruck
pD
Pa
Sättigungsdampfdruck von Wasser bei der vorliegenden
Raumtemperatur
Den Sättigungsdampfdruck pD können Sie Tab. A-4 bis Tab. A-7 entnehmen. Sollten Sie wider Erwarten einmal keine Dampftafel zur Verfügung haben, hilft auch
die Näherungsformel nach Magnus8 weiter:
611,213 ∙ e
,
,
∙
Beachten Sie, dass in der Magnus-Formel die Temperatur T in °C eingegeben wird.
2.3
Druckkräfte auf Begrenzungsflächen
Insbesondere zur Auslegung der Struktur von Behältern benötigen Sie die auftretenden Lasten auf die Außenwände infolge des Fluids, das sich im Inneren des Behälters befindet. Auch für komplexe Strukturen mit nicht-abwickelbaren Oberflächen lassen sich diese Lasten vergleichsweise einfach berechnen, da sich jede
gewölbte Oberfläche durch Projektion in eine Ebene auf ein ebenes Problem reduzieren lässt.
––––––––––
8
Magnus, Heinrich Gustav (02.05.1802 – 04.04.1870), deutscher Physiker und Chemiker, unter anderem bekannt für den Magnus-Effekt, welcher die Querkraft bezeichnet, die ein rotierender Körper
(Zylinder oder Kugel) in einer Strömung erfährt.
45
2 Hydrostatik
2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen
Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche
Bei dem in Abb. 2-12 skizzierten Behälter soll die Kraft auf die Bodenplatte bestimmt werden. Die Belastung ergibt sich aus der Differenz zwischen der inneren
Kraft Fi infolge des hydrostatischen Drucks und der äußeren Kraft Fa infolge des
äußeren Luftdrucks p0.
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
p0

H
Fi
A
p0
Fa
Abb. 2-12: Belastung einer ebenen, horizontalen Fläche
Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche
Auch die Belastung der senkrechten Fläche ergibt sich aus der Druckdifferenz zwischen Innen- und Außenseite. Betrachtet man das infinitesimale Flächenelement dA
in der Tiefe z (Abb. 2-13), so wird dieses durch die Kraft dF belastet.
d
d
d
∙
∙
∙d
∙d
∙
∙ ∙d
Die Belastung der gesamten linken Seitenfläche ergibt sich aus dem Flächenintegral
∙
d
∙
∙
∙ ∙d
∙d
mit der Flächenschwerpunktskoordinate zS
1
∙
∙d
folgt für die Kraft F
∙
∙
∙
∙
Das heißt, die Kraft F auf eine beliebig geformte ebene Fläche hängt nur von dem
Druck p(zS) am Ort des Flächenschwerpunkts S ab.
46
Hydrostatik 2
p0
x
y
A
z
zS zD z
S
D

F
dA
H
dF
p0
Abb. 2-13: Belastung einer ebenen, senkrechten Fläche
Druckpunkt oder Kraftangriffspunkt
Die nächste Frage, die es zu klären gilt, lautet, wo greift diese Gesamtkraft F an?
Hier macht es einen großen Unterschied, ob der Behälter mit einer Flüssigkeit oder
einem Gas gefüllt ist. Bei Flüssigkeiten nimmt der Druck linear mit der Tiefe zu,
wohingegen bei Gasen aufgrund der vergleichsweise geringen Dichte der Druck im
Rahmen der Messgenauigkeit näherungsweise über die Höhe konstant bleibt. Die
daraus resultierenden unterschiedlichen Druckverteilungen und die davon abhängige Lage des Druckpunkts D im Verhältnis zum Flächenschwerpunkt S sehen Sie in
Abb. 2-14a und Abb. 2-14b.
p0
y
x
Flüssigkeit
zS
S
z
Gas
zS = zD
zD
F
H
F
pi
S=D
D
p = p(z)
p = const.
p0
p0
Abb. 2-14: Lage des Druckpunkts bei a) Flüssigkeiten und b) Gasen
Den Versatz des Druckpunkts gegenüber dem Schwerpunkt (Abb. 2-14a) erhalten
Sie aus dem Momentgleichgewicht um die x-Achse:
∙
∙d
∙
∙
Wobei das Flächenintegral
∙
∙ ∙d
∙
∙
∙d
das Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche A
um die x-Achse beschreibt. Die Kraft F ergibt sich in Abhängigkeit von der Lage
des Flächenschwerpunkts zS zu
∙
∙
∙
also
∙
∙
∙
∙
∙
∙
47
2 Hydrostatik
beziehungsweise
∙
∙
Das Flächenträgheitsmoment ISx der Fläche A um eine Achse durch den Schwerpunkt S, parallel zur x-Achse ergibt sich über den Steiner-Anteil entsprechend zu
∙
Eingesetzt in das Momentengleichgewicht folgt
∙
∙
∙
also
∙
∙
∙
Von Interesse ist der Versatz d des Druckpunkts unterhalb des Schwerpunkts
∙
Sofern Sie eine symmetrische Fläche betrachten wird der Druckpunkt immer senkrecht unterhalb des Flächenschwerpunkts liegen. Sofern Sie jedoch eine unsymmetrische Fläche betrachten, wird der Druckpunkt sehr wahrscheinlich auch noch eine
laterale Verschiebung aufweisen.
Diese laterale Verschiebung xD erhalten Sie aus dem Momentengleichgewicht um
die z-Achse:
∙
∙
∙
∙d
∙
∙
∙
∙
∙
∙ ∙d
∙
∙ ∙d
Mit dem Flächen-Deviationsmoment Ixz
∙ ∙d
folgt
∙
Übung 2-3
Gesucht ist die Belastung auf die kreisförmige Klappe des in Abb. 2-15 skizzierten
Behälters. Auf die Wasseroberfläche als auch auf die Seitenwände des Behälters
wirkt der äußere Umgebungsdruck p0. Berechnen Sie das Moment Mx der Klappe
um die Drehachse a-a, die Kraft Fges auf die linke Seitenwand bei geschlossener
Klappe und die Lage des Kraftangriffspunktes zD,Wand für folgende Werte:
48
Hydrostatik 2
p0 = 1 bar,  = 10³ kg/m³, zS = 2 m, Klappenfläche A = 0,19635 m², Pegelstand im
Behälter H = 6 m, Breite des Behälters B = 10 m
p0
x
y
b
z
p0
A
zS zD
S
a
a
b

F
H
D
Abb. 2-15: Behälter mit Klappe
Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche
Die Belastung einer ebenen, geneigten Fläche (Abb. 2-16) bestimmen Sie fast analog zum Verfahren, das Sie bei einer senkrechten Fläche angewendet haben. Maßgebend für die Kraft ist der hydrostatische Druck im Flächenschwerpunkt S.
∙
∙
∙
∙
Bei der Bestimmung des Druckpunkts ist darauf zu achten, dass die Berechnung
des Versatzes von Druckpunkt D zum Flächenschwerpunkt S in der Ebene der geneigten Fläche durchgeführt wird. Entsprechend dem Neigungswinkel  der Ebene
gegenüber der z-Achse ergibt sich für der Versatz mit zD = tDcos und zS = tScos
wieder aus dem Momentengleichgewicht
∙
Für den Sonderfall der ebenen, senkrechten Fläche mit  = 0, also cos = 1 gilt
zD = tD und zS = tS , also
∙
y
∙
p0
x
b
z
A
S
a
a
b
D
tD
tS
t
S
zS zD
F
p0
D


Abb. 2-16: Belastung einer ebenen geneigten Fläche
49
2 Hydrostatik
2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen
Gesucht ist in diesem Fall die Belastung auf die Teilfläche eines ebenen Behälters
(Abb. 2-17). Die Teilfläche wird beschrieben durch die Kurve (1) – (2) – (3) – (4).
y
x
(4')
(4)
z
V
Fz

A1
A1,x
zS1,x
zD1,x
S1,x
F1,x
zS2,x
zD2,x
D1,x
F1,x
Fz
S3,x
D3,x
A3,x
(1'')
(1)
F3,x
(2'')
F
A2
A3
(3')
(3)
F2,x
(2')
(2)
S2,x
D2,x
A2,x
Abb. 2-17: Belastung einer gekrümmten, abwickelbaren Fläche
Die Berechnung der resultierenden Gesamtkraft F auf diese Teilfläche erfolgt
ebenfalls analog zu dem Verfahren, das sie bereits bei einer ebenen senkrechten
Fläche angewendet haben. Sie müssen lediglich einen Arbeitsschritt zuvor bemühen. Dabei zerlegen Sie die Gesamtkraft F in die beiden Komponenten Fx und Fz.
Horizontale Kraftkomponente Fx
Zur Berechnung der horizontalen Komponente Fx projizieren Sie zunächst die Teilfläche A1 in die y –z Ebene, (4)  (4‘) und (3)  (3‘). Damit erhalten Sie die Fläche A1,x. Unabhängig davon, welche Form die Fläche A1 hat, nimmt A1,x immer die
Form eines Rechtecks an. Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts S1,x, der
Kraft F1,x sowie der Lage des Druckpunkts D1,x erfolgt analog dem Verfahren bei
einer ebenen senkrechten Wand.
∙
,
∙
∙
,
,
,
,
,
,
∙
,
,
Ebenso verfahren Sie mit der Teilfläche A2 und erhalten
∙
,
∙
∙
,
,
,
,
,
,
∙
,
,
Die Teilfläche A3 projizieren Sie nach links und erhalten
∙
,
∙
∙
,
,
,
50
,
,
,
,
∙
,
Hydrostatik 2
Die Teilflächen A2 und A3 haben den Punkt (2) gemeinsam und die Punkte (1) und
(3) liegen auf der gleichen Höhe. Dadurch sind die projizierten Flächen A2,x und
A3,x, sowie die z-Koordinaten der Flächenschwerpunkte S2,x, S3,x und der Druckpunkte D2,x, D3,x ebenfalls identisch. Daher sind die beiden horizontalen Kräfte F2,x,
und F3,x zwar entgegengerichtet aber betragsmäßig ebenfalls identisch und heben
sich gegenseitig auf. Es verbleibt für die horizontale Komponente lediglich die
Kraft, die in x-Richtung auf die Teilfläche A1,x wirkt, also
,
∙
∙
,
∙
,
Vertikale Kraftkomponente Fz
Die vertikale Komponente Fz ergibt sich aus dem Gewicht des virtuellen Volumens
V, das über der Gesamtfläche A = A1 + A2 + A3 lastet.
∙
∙
Durch einfache vektorielle Addition der beiden Komponenten Fx und Fz erhalten
Sie die Gesamtkraft F auf die Fläche A.
Mathematisch etwas anspruchsvoll könnte sich die Bestimmung des Volumenschwerpunkts des virtuellen Volumens gestalten, da in diesem Punkt die Wirkungslinie der vertikalen Kraftkomponente Fz angreift. Hier wird Ihnen aber Ihr CADSystem das Leben sicher etwas erleichtern.
Hinweis
Für den Fall, dass Sie die Belastung einer von der Außenseite mit Druck beaufschlagten Fläche berechnen möchten, also beispielsweise bei einem Schiffsrumpf,
so können Sie völlig analog zu dem hier vorgestellten Verfahren vorgehen. Lediglich die Wirkungsrichtung der vertikalen und der horizontalen Kraftkomponente
sind umzudrehen.
2.3.3 Druckkraft auf nicht-abwickelbare Flächen
Bei ausgeführten Konstruktionen werden Sie nur in Ausnahmefällen auf abwickelbare Flächen stoßen. Denken Sie nur an die Oberflächen von Straßen- oder Luftfahrzeugen. Aber auch hier ist die Vorgehensweise denkbar einfach. Entsprechend
Abb. 2-18 projizieren Sie die nicht-abwickelbare Fläche A, beschrieben durch die
Randkurve (1) – (2) – (3) – (4) zuerst in die y-z-Ebene und erhalten die ebene Fläche A‘, beschrieben durch die Randkurve (1‘) – (2‘) – (3‘) – (4‘). Nun bestimmen
Sie den Flächenschwerpunkt S‘ und berechnen den dort anliegenden hydrostatischen Druck p(zS‘). Der Angriffspunkt der Kraft Fx ergibt sich wieder aus den
Trägheitsmomenten der Fläche A‘. Im nächsten Schritt wird die Fläche A in die x-zEbene projiziert und Sie erhalten die ebene Fläche A‘‘, beschrieben durch die
Randkurve (1‘‘) – (2‘‘) – (3‘‘) – (4‘‘). Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts,
des hydrostatischen Drucks, der davon abhängigen Kraft Fy erfolgt wieder analog
zum Vorgehen bei der senkrechten Wand. Zu beachten ist, dass die ebenen Flächen
A‘ und A‘‘ sehr wahrscheinlich keine symmetrischen Flächen sein werden, das
heißt, dass bei der Bestimmung der Druckpunktlagen nicht nur der vertikale Versatz sondern auch der laterale Versatz gegenüber dem Flächenschwerpunkt zu be51
2 Hydrostatik
stimmen ist. Die vertikale Kraftkomponente Fz ergibt sich aus dem Gewicht des
virtuellen Volumens V, das über der Fläche A liegt. Die Wirkungsrichtung dieser
Kraft führt durch den Volumenschwerpunkt S des virtuellen Volumens V. Sofern
Sie korrekt gearbeitet haben, sollten sich die Wirkungslinien der drei Teilkräfte Fx,
Fy und Fz in einem Punkt schneiden. Die resultierende Gesamtkraft F ergibt sich
wieder durch eine einfache vektorielle Addition.
Auch hier haben Sie natürlich das ein oder andere mathematisch etwas knifflige
Problem in Form von der Bestimmung der Flächen, Flächenschwerpunkte, Trägheitsmomente, Volumen und Volumenschwerpunkte zu lösen. Allerdings haben
Sie den großen Vorteil, dass Ihnen heutige CAD-Systeme diese Informationen auf
Knopfdruck liefern.
x
A''
(2'')
(1'')
V
(2')
A'
(1)
y
A
Fx
D'
dz''
(2)
(1')
S'
S''
Fz
Fy
S
(3'')
Fy
Fx
(4'')
dx''
F
(3')
Fz
d z'
(4')
D''
(3)
(4)
d y'
z
Abb. 2-18: Belastung einer nicht-abwickelbaren Fläche
52
Hydrostatik 2
Übung 2-4
Gesucht ist Kraft auf einen Staudamm, der die Form eines Kugelsegments hat,
Abb. 2-19. Pegelstand H des Stausees und Radius R des Staudamms betragen R =
H = 100 m.
x
y
H

x
z
g
R
z
y
R
Abb. 2-19: Belastung eines Staudamms
Hinweis
Die Flächenschwerpunkte ergeben sich entsprechend Abb. 2-20 zu
Halbkreis:
4∙
3∙π
0, y
Viertelkreis:
0,576 ∙
Flächenträgheitsmoment eines Halbkreises
72 ∙ π
∙ 9∙π
64
y
yS
y
S
x
S
R
yS
R
xS
x
Abb. 2-20: Schwerpunktskoordinaten von Halb- und Viertelkreis
53
2 Hydrostatik
Übung 2-5
Zwei Behälter sind durch eine Zwischenwand getrennt. Im Punkt M ist eine drehbare halbkreisförmige Klappe K gelagert, die sich zwischen den Endpositionen 1
und 2 bewegen kann und in den Endpositionen abdichtet. Behälter A ist mit Luft,
Behälter B ist mit Luft und Wasser befüllt. An der Oberseite der Behälter befindet
sich je ein Ventil VA und VB. Außen herrscht der Umgebungsdruck p0. Die Gewichtskräfte der Klappe und der Luft sind zu vernachlässigen.
p0
VA
Tiefe der Behälter in z-Richtung: t
Luft
pB
TB
A
pA
TA
g
Luft
B
W
y
z
VB
Wasser
h
H
x
M
2
K
Position 2
1
a
2r
Position 1
b
1. Ventil VA ist geschlossen, Ventil VB ist geöffnet. Der Druck pA ist so groß, dass
die Klappe in Position 1 gehalten wird.
Geben Sie die Kräfte Fx und Fy auf die Klappe K als Funktion der in der Zeichnung
gegebenen Größen an.
2. Ventil VA und Ventil VB sind geschlossen.
Bestimmen Sie den erforderlichen Luftdruck pA im Behälter A, so dass die Klappe
K gerade noch in Position 2 gehalten wird als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen.
54
Hydrostatik 2
2.4
Statischer Auftrieb
Die physikalische Ursache für Auftrieb liegt immer in einer Druckdifferenz zwischen der Ober- und Unterseite eines Körpers. Entsteht dieser Druckunterschied
infolge der Umströmung eines Körpers, beispielsweise an einem Tragflügel, so
spricht man von dynamischem Auftrieb. Stellt sich dieser Druckunterschied an einem Körper in einem ruhenden System ein, so handelt es sich um den statischen
Aufrieb. Dieser Frage ging bereits Archimedes9 nach und kam für die damaligen
Verhältnisse zu recht interessanten Ergebnissen, die insbesondere zu dem ersten
historisch belegten, zerstörungsfreien Materialprüfverfahren führten. Archimedes
der in Syrakus auf Sizilien lebte, das im dritten Jahrhundert vor Christus noch eine
griechische Kolonie war, beschäftigte sich während der römischen Belagerung von
Syrakus auch mit der Entwicklung von Kriegsmaschinen, wie Katapulten und
Brennspiegeln zur Abwehr der römischen Flotte. Im Gegensatz zu seinen sonstigen
Erfindungen jedoch nicht mit durchschlagendem Erfolg, was in letzter Konsequenz
zu dem Verlust der griechischen Kolonien auf Sizilien als auch zu seinem jähen
Ende durch das Schwert eines eher bildungsfernen römischen Legionärs führte
„Störe meine Kreise nicht“ (Letzter Satz von Archimedes, 212 v.Chr.).
Die Materialprüfung wurde von dem damaligen Herrscher von Syrakus, König
Hieron II initiiert, der seinem Goldschmied eine bestimmte Menge Gold zur Anfertigung einer Krone überlassen hatte und diesem unterstellte, er hab einen Teil des
wertvollen Materials für sich abgezweigt und durch Blei ersetzt. Zur Klärung dieser Frage wurde nun Archimedes mit einem werkstoffkundlichen Gutachten beauftragt. Einschmelzen der Krone hätte zwar ein eindeutiges Ergebnis geliefert, jedoch
gleichzeitig die handwerkliche Leistung zunichte gemacht. Aufbauend auf seinen
im Bade gewonnenen Erkenntnissen führte Archimedes folgendes Experiment
durch (Abb. 2-21).
Abb. 2-21: Dichteprüfung mittels einer Balkenwaage
Im ersten Schritt wurde mittels einer Balkenwaage ein Massevergleich durch Vergleich der gleichen Menge Gold, das in der Krone enthalten sein sollte, mit der
Krone selbst durchgeführt. Dieser Test verlief zur Zufriedenheit aller Beteiligten.
Im zweiten Schritt wurde der Versuchsaufbau in ein Wasserbecken gesetzt worauf
sich die Krone anhob. Angesichts der damaligen Rechtsprechung dürfte dieses Ergebnis dem Golfschmied sehr wahrscheinlich den gesamten restlichen Tag verdorben haben. Die Frage ist nur warum? Nun, die Antwort ist recht einfach. Alles was
––––––––––
9
Archimedes (287 v. Chr. - 212 v. Chr.), Syrakus: Griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Erfinder des Prinzips des archimedischen Auftriebs, Hebelgesetze, archimedischer Schraube,
Waffentechnik (Hohlspiegel, Katapulte)
55
2 Hydrostatik
hier von Archimedes demonstriert wurde war ein Vergleich der unterschiedlichen
Materialdichten. Gold war zu diesem Zeitpunkt das Material mit der höchsten bekannten Dichte. Jegliche Form einer Zulegierung, also sehr wahrscheinlich Blei,
würde zu einer geringeren Dichte führen. Archimedes wusste, dass die Auftriebskraft eines getauchten Körpers der Masse der verdrängten Flüssigkeit entspricht. Je
größer das Volumen, also je geringer die Dichte bei gleicher Masse, desto größer
der Auftrieb. Kurz: Zwei Körper gleicher Masse, aber unterschiedlicher Dichte haben auch unterschiedliche Verdrängungsvolumina, also unterschiedliche Auftriebskräfte.
Das Prinzip des statischen Auftriebs lässt sich an dem in Abb. 2-22 skizzierten getauchten Körper nachvollziehen. Der zylindrische Körper mit der Dichte K hat den
Querschnitt A und die Dicke z = z2 – z1. Auf der Flüssigkeit mit der Dichte F lastet der Umgebungsdruck p0.
p0
F1
A
A
K
FG
F
F2
z1
z2
Abb. 2-22: Statischer Auftrieb als Ergebnis einer Druckdifferenz
Welche Kräfte greifen nun an dem getauchten Körper an? An der Oberseite des
Körpers lastet die Druckkraft F1
∙
∙
∙
∙
∙
∙
An der Unterseite greift die Druckkraft F2 an
∙
∙
Auftriebskraft
Die Auftriebskraft FA ergibt sich aus der Differenz dieser beiden Druckkräfte
∙
∙
∙
∙
∙∆ ∙
∙
∙
∙
∙
Hier werden zwei markante Eigenschaften des Auftriebs deutlich. Der Auftrieb ist
unabhängig von der Tauchtiefe und unabhängig von der Dichte des getauchten
Körpers. Relevant ist lediglich das Verdrängungsvolumen des Körpers VK beziehungsweise das Volumen des verdrängten Fluids VF.
Ein Betonklotz erzeugt also den gleichen Auftrieb wie ein Styroporklotz mit dem
gleichen Volumen und zwar unabhängig davon ob er sich in einem Meter Tiefe im
Badesee oder am Boden des Marianengrabens10 befindet.
Dieses Prinzip trifft natürlich nicht nur auf Körper zu, die in einer Flüssigkeit untergetaucht sind, sondern auch für Körper, die Gase verdrängen. Also beispielswei––––––––––
10
Marianengraben: Tiefseerinne im pazifischen Ozean, 2000 Kilometer östlich der Philippinen,
nördlich und südlich der marianischen Insel Guam und tiefst gelegene Region der Erde mit einer maximalen Tiefe von ungefähr 11.000 m unter dem Meeresspiegel.
56
Hydrostatik 2
se auf einen Zeppelin, Heißluft- oder Gasballon. Die Frage, ob der Körper in dem
Fluid schwebt, steigt oder sinkt, lässt sich aus dem Vergleich mit der zweiten an
dem Körper angreifenden Kraft beantworten.
Gewichtskraft
In dem Fall des in Abb. 2-22 skizzierten Körpers gilt für die Gewichtskraft FG
∙
∙∆ ∙
∙
∙
Gesamtkraft
Die resultierende Gesamtkraft Fges. ergibt sich mit VF = VK zu
∙
.
∙
∙
∙
∙
∙
Übung 2-6
Bei einem Ausflug ins Elsass kommen Sie an dem Schiffshebewerk in Saint-LouisArzviller vorbei und bestaunen die Ingenieursleistung aus dem 20. Jahrhundert.
Hierbei werden Schiffe in einer großen Wanne mit einem Schrägaufzug über einen
Höhenunterschied von 44,55 m befördert. Da zwei Wannen im Gegenbetrieb, ähnlich den Gondeln einer Seilbahn arbeiten, muss bei der Bewegung der beiden 900t
schweren Wannen lediglich die Reibung ausgeglichen werden. Dazu sind zwei
Elektromotoren mit gerade einmal je 88kW ausreichend.
Eine der am häufigsten gestellten Fragen lautet: Ist die Wanne mit dem Schiff
schwerer als die Wanne ohne Schiff?
Waage
Waage
Abb. 2-23: Schiffshebewerk a) Mit Schiff b) Ohne Schiff
57
2 Hydrostatik
Übung 2-7
Angesichts der Diskussion um den Klimawandel gilt es die Frage zu klären, um
wieviel der Meeresspiegel ansteigen wird, wenn das gesamte arktische Eis abtaut.
Diese Frage berührt Sie besonders, da Sie vor der schwierigen Entscheidung stehen, sich für eine Berghütte in den Alpen, ein Ferienhaus an der französischen Atlantikküste oder für ein Hotel mit Tauchbasis auf den Malediven zu entscheiden.
Gehen Sie bei der rechnerischen Abschätzung von folgenden Werten aus:
Eis = 920 kg/m³
Mittlere Dichte von Eis:
Meerwasser = 1025 kg/m³
Mittlere Dichte von Meerwasser:
2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs
Die Berechnung des Auftriebs nach dem archimedischen Prinzip, also Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids erfordert, dass der Körper
vollständig benetzt ist. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, so muss die Auftriebskraft über die Druckdifferenz von der Ober- zur Unterseite des Körpers bestimmt werden. Das wäre beispielsweise der Fall, wenn Sie den in Abb. 2-24 skizzierten Saugnapf betrachten.
A
F1
p1 = 0
p2 = p 0
F2
F = mg
Abb. 2-24: Saugnapf
Angenommen Sie möchten in den Tresorraum einer Bank einsteigen und sich dazu
mithilfe von Saugnäpfen an der Decke entlanghangeln. Zusammen mit Ihrer Ausrüstung würden Sie den Saugnapf mit ungefähr 100 kg belasten. Durch sein Volumen verdrängt der Saugnapf etwas Luft, was auch zu einer kleinen Auftriebskraft
führt, allerdings würde diese niemals ausreichen um die erforderliche Gegenkraft
aufzubringen. Betrachten Sie hingegen die Druckdifferenz an Ober- und Unterseite, das heißt an der Oberseite herrscht ein Vakuum, also p1 = 0 und an der Unterseite der Umgebungsdruck von ungefähr p2 = 1 bar, so können Sie leicht ausrechnen,
welchen Durchmesser der Saugnapf mindestens haben muss um die erforderliche
Haltekraft aufzubringen. In diesem Beispiel wäre das
∙
∙
also
58
Hydrostatik 2
4∙ ∙
π∙
4 ∙ 100 ∙ 9,81
π ∙ 10
0,112 m
Das ist übrigens auch der Grund, warum Ihre Badezimmerwaage ein geringeres
Gewicht anzeigt als Sie wirklich auf die Waage bringen. Die Waage kann nur die
resultierende Belastung aus Gewicht und Auftrieb messen. Den Auftrieb selbst
kennt sie aber nicht. Welchen Fehler Ihre Waage in diesem Fall aufweist können
Sie in der folgenden Übung berechnen.
Übung 2-8
Berechnen Sie den Messfehler auf einer konventionellen Badezimmerwaage für
einen leicht untergewichtigen Menschen mit einer Gesamtmasse von mK = 100 kg.
Die Messung findet auf Meeresniveau statt, das heißt die Luftdichte beträgt Luft =
1,225 kg/m3
2.5
Stabilität schwimmender Körper
Betrachtet wird im Folgenden die statische Stabilität eines Körpers, das heißt, es
wird untersucht, wie sich ein Körper verhält, der aus seiner Ruhelage ausgelenkt
wird. Das ist nicht zu verwechseln mit der dynamischen Stabilität, da hier keine
Aussage über das Zeitverhalten gemacht wird. Statisch stabil ist ein Körper oder
ein System, das nach einer Störung wieder von alleine in seine Ausgangslage zurückkehrt. Statisch instabil bedeutet, dass infolge der Störung zusätzliche Kräfte
oder Momente erzeugt werden, die diese Störung weiter verstärken und der Körper
nicht mehr in seine Ausgangslage zurückkehrt.
Schwimmachse
Schwimmfläche
0
x
y
g
z
Metazentrum
d
SA
SK
h
FA
FG
d
0
SA
SK
FG
FA
SA '
a
Abb. 2-25: Schiffsrumpf a)Ruhelage b)Auslenkung infolge einer Störung
59
2 Hydrostatik
Wird ein schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt der Körperschwerpunkt SK auf seiner Position, sofern Sie keine rutschende
Ladung haben. Das Volumen des verdrängten Fluids VF bleibt gleich, ändert aber
seine Form von einem rechteckförmigen zu einem trapezförmigen Querschnitt
(Abb. 2-25). Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumens
von SA auf SA'. Die Auftriebskraft FA greift in dem neuen Volumenschwerpunkt SA'
des verdrängten Fluids an. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte
FA und FG liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb.
2-25 skizzierten Beispiel bildet sich ein linksdrehendes, also aufrichtendes Moment.
Die Wirkungslinie der Auftriebs- und der Gewichtskraft in der Ruhelage wird auch
als Schwimmachse bezeichnet. Die Verschneidung des Schiffsrumpfes mit der
Wasseroberfläche wird als Schwimmfläche bezeichnet. Zur Bestimmung des Stabilitätsmaßes ist die sogenannte metazentrische Höhe zu berechnen. Das Metazentrum ergibt sich aus dem Schnittpunkt von der Schwimmachse mit der Wirkungslinie der Auftriebskraft FA.
Die metazentrische Höhe h beschreibt den Abstand des Metazentrums von dem
Körperschwerpunkt SK in der Ruhelage.
Wobei I0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt und d den Abstand
von Masseschwerpunkt SK und Volumenschwerpunkt SA beschreibt. Aus der metazentrischen Höhe lässt sich direkt eine Aussage über das Stabilitätsverhalten des
Körpers treffen:
2.6
-
Liegt das Metazentrum oberhalb des Masseschwerpunkts, das heißt h > 0,
liegt stabiles Verhalten vor. Der Körper kehrt nach einer Auslenkung von
alleine wieder in die Ausgangslage zurück.
-
Liegt das Metazentrum im Masseschwerpunkt, das heißt h = 0, liegt indifferentes Verhalten vor. Der Körper schwimmt zwar aufrecht, ist aber intolerant gegenüber der kleinsten Störung und kentert.
-
Liegt das Metazentrum unterhalb des Masseschwerpunkts, das heißt h < 0,
liegt instabiles Verhalten vor und der Körper kehrt nach einer Auslenkung
nicht mehr in seine Ausgangslage zurück.
Fluide unter Beschleunigung
Betrachten Sie für einen starren Körper die Änderung der Geschwindigkeitsvektoren zwischen den Zeitpunkten t1 und t2. Dabei kann sich für die beiden Vektoren
und
nicht nur der Betrag der Geschwindigkeit, sondern auch die Richtung ändern. Dabei sind mehrere Varianten möglich.
Der erste Fall entspricht der sogenannten translatorischen Beschleunigung. Das bedeutet, die Richtung bleibt konstant, wohingegen sich der Betrag der Geschwindigkeit ändert. Der zweite Fall wäre eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibender Geschwindigkeit, also eine rotatorische Beschleunigung. Als dritte Möglichkeit
ist auch eine Kombination der ersten beiden Fälle möglich, also eine Änderung von
Geschwindigkeit und Richtung. Das entspricht dem allgemeinen Fall der Beschleunigung.
60
Hydrostatik 2
Die Momentanbeschleunigung
zu
zum Zeitpunkt t1 ergibt sich mit dem Ortsvektor
d
d
lim
→
d
d
Die mittlere Beschleunigung innerhalb des Zeitintervalls t = t2 – t1 ergibt sich aus
,
2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung
Niveauflächen
Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als
Niveaufläche (Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden Massekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen
von Flüssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, das heißt an der freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer
ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberfläche des Fluids und
dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitation auf das Fluid, so
stellt sich als Niveaufläche eine (fast) horizontale Ebene, genaugenommen ein Kugelflächensegment (Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung dieser Niveaufläche. Dass die Wasseroberfläche eines Sees eben keine
ebene, sondern eine gewölbte Fläche darstellt, können Sie an folgendem Beispiel
überprüfen. Darüber hinaus können Sie an diesem Beispiel Ihr Gefühl für ingenieurmäßiges Abschätzen von Größenordnungen überprüfen.
Übung 2-9
Sie schwimmen bei Bregenz, am Südostufer des Bodensees in Ufernähe und blicken über den See in nordwestlicher Richtung. Wie hoch müsste in Konstanz, das
in ungefähr 44 km Entfernung liegt, ein Turm sein, so dass Sie die Turmspitze
noch sehen könnten?
Die Form einer Niveaufläche ergibt sich immer aus der Summe der angreifenden
Kräfte. Im Fall des in Abb. 2-26 skizzierte Behälters ist das im Ruhezustand lediglich die Gewichtskraft dFG, die an einem Fluidelement mit der Masse dm angreift.
Unterliegt das Fluid noch einer translatorischen Beschleunigung a, so wirkt zusätzlich die Trägheitskraft dFT.
61
2 Hydrostatik
y
dm
x
g
dm
dFT = dm .a
a
z

dFG = dm.g = dR
dR
dFG = dm .g
Abb. 2-26: Fluid unter translatorischer Beschleunigung
Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Kraftvektor dR. Der Neigungswinkel  des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalen ergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskraft dFT zur Gewichtskraft dFG.
ä
tan
d
d
d
d
∙
∙
2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung
Ähnlich liegen die Verhältnisse, wenn ein mit Flüssigkeit gefüllter Behälter mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit  um seine Symmetrieachse rotiert, das heißt
der z-Achse in Abb. 2-27.
z

g
dm
zmax
dFT = dm 2 r
z0

zmin
dFG = dm.g dR
R
R
r
Abb. 2-27: Fluid unter rotatorischer Beschleunigung
Auch hier greifen an einem Masseelement dm die Gewichtskraft dFG und die Trägheitskraft dFT an. Die resultierende Gesamtkraft dR steht wieder senkrecht auf der
Tangente an die freie Oberfläche. Der lokale Neigungswinkel entspricht dem Verhältnis der beiden Kräfte, also dem Verhältnis von Trägheitskraft zu Gewichtskraft
tan
62
ä
d
d
d
∙ ∙
d ∙
∙
Hydrostatik 2
Form der freien Oberfläche
Die Form der freien Oberfläche z = z(r, , R, z0) ergibt sich aus der Abhängigkeit
der Zentrifugalbeschleunigung vom Rotationsradius r. Die Größe z0 beschreibt die
Höhe des Pegelstands wenn sich das System in Ruhe befindet, also bei  =0. Im
Folgenden soll eine Funktion zur Beschreibung dieser Abhängigkeit erstellt werden.
Ausgehend von der Beziehung für den lokalen Neigungswinkel folgt entsprechend
Abb. 2-27
d
d
tan
d
d
∙
also
d
∙ ∙d
Die Integration über den minimalen und maximalen Pegelstand ergibt
∙
d
∙d
Erfolgt die Rotation um die Symmetrieachse des Behälters, so gilt r(zmin) = 0 und
r(zmax) = R, das heißt
2∙
∙
Für den Rand des Behälters, hier stellt sich die maximale Steighöhe ein, gilt r = R
und z(r) = zmax, somit
2∙
∙
Für das weitere Geschehen ist ein kleiner Exkurs in die Geometrie erforderlich. Betrachten Sie die in Abb. 2-28 dargestellte Kurve K, die um die z-Achse rotiert. der
dadurch entstehende Körper wird als Rotationsparaboloid bezeichnet.
z

K
Vrot
zmax
z0
zmin
R
R
r
Abb. 2-28: Entstehung eines Rotationsparaboloiden
63
2 Hydrostatik
Das Volumen Vrot dieses Körpers lässt sich sehr einfach über folgendes Integral bestimmen:
π∙
∙d
Einfacher geht die Berechnung allerdings, wenn man sich den Sachverhalt zunutze
macht, dass das Volumen des Rotationsparaboloids der Hälfte des einhüllenden
Zylinders entspricht:
1
∙
2
1
∙π∙
2
∙
Das Volumen der in dem Behälter enthaltenen Flüssigkeit ergibt sich aus dem Pegelstand z0 bei  =0 zu
π∙
∙
1
∙π∙
2
π∙
∙
2∙
2∙
4∙
4∙
∙
∙
∙
∙
Einsetzen von zmin in
2∙
∙
ergibt die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Form der freien Oberfläche
z = z(r, , R, z0)
2∙
∙
2
Übung 2-10
Während Sie beim Frühstück den Zucker in Ihrer Kaffeetasse verrühren, überlegen
Sie sich, mit welcher Maximalgeschwindigkeit Sie den Kaffee umrühren können,
bevor dieser über den Tassenrand schwappt und wie tief das Minimum der freien
Oberfläche unterhalb des Tassenrands liegt.
Ihre Kaffeetasse hat einen Innendurchmesser von d = 76 mm und eine Höhe H = 80
mm. Im Ruhezustand liegt der Pegelstand des Kaffees bei z0 = 65 mm.
64
Hydrostatik 2
Druckverteilung bei rotierenden Fluiden
Von weiterem Interesse ist die Frage, wie es denn mit den Druckverhältnissen im
Inneren eines rotierenden Fluids aussieht. Nun, aufmerksame Teetrinker können
diese Frage sofort beantworten. Die Teekrümmel sammeln sich immer am Boden
in der Tassenmitte. Also muss am Boden der Tasse ein zum Mittelpunkt hin gerichteter Druckgradient vorliegen, aber warum?
Auch hier gilt prinzipiell das hydrostatische Grundprinzip, dass der hydrostatische
Druck von dem darüber liegenden Pegelstand abhängt. Da dieser Pegelstand, also
die freie Oberfläche nicht eben ist, sondern in radialer Richtung nach außen hin zunimmt, erhöht sich der Druck im rotierenden System von innen nach außen. Entsprechend Abb. 2-29 hat im rotierenden System eine Isobarenfläche nicht die Form
eine Ebene, sondern die einer rotierenden Parabel.
z

g
p0
zmax
t
z(r)
Isobarenfläche
h
r
Abb. 2-29: Isobarenfläche in einem rotierenden Fluid
Der Druck im Inneren der Flüssigkeit auf der Isobarenfläche ergibt sich zu
,
∙
∙
∙
∙
2∙
∙
2
Kraft auf einen Deckel bei einem rotierenden Fluid
Auf Ihrem Weg zur Arbeit erstehen Sie noch einen Kaffee zum Mitnehmen. Einerseits plagt sie nun Ihr schlechtes Gewissen angesichts dieses unter Umweltgesichtspunkten nicht zu vertretenden Verhaltens, andererseits ärgern Sie sich über
die Verunstaltung der deutschen Sprache, da dieses Kaffee natürlich nicht „zum
Mitnehmen“ sondern „to-go“ ist. Zur Beruhigung Ihres schlechten Gewissens beschließen Sie die Frage zu klären, welche Kräfte auf dem Kunststoff(!)-Deckel lasten, sofern sich der Kaffee in einer Rotation befindet.
Auch diese Frage lässt sich ganz einfach anhand des in Abb. 2-30 skizzierten Behälters klären. Infolge der Rotation wirkt auf die Innenseite des Deckels eine
Druckkraft. Die Druckkraft in dieser Höhe z ist genauso groß, als wenn gar kein
Deckel vorhanden wäre und die Flüssigkeit stattdessen das Rotationsvolumen VA in
die Höhe stemmen würde. Es herrscht also ein Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Fluids mit dem Volumen VA und der von unten wirkenden Druck65
2 Hydrostatik
kraft. Dieselbe Druckkraft wirkt also bei Vorhandensein eines Deckels von der Innenseite von unten nach oben auf den Deckel.
Es genügt also das Gewicht des virtuell über dem Deckel liegenden Volumens VA
zu bestimmen.
π∙
π∙
∙
∙d
Die Kraft auf die Unterseite beträgt somit
∙
∙
z
p0

r(z)
zmax
VR
VA
p0
h

R
R
r
Abb. 2-30: Rotierendes Fluid mit Deckel
Im Gedenken an die abgeholzten Regenwälder infolge der Millionen achtlos weggeworfener „to-go“-Kaffeebecher und die Millionen Tonnen Mikroplastik (Kunststoff(!)deckel), die dadurch in den Ozeanen landen, entschließen Sie sich folgende
Frage zu klären:
Übung 2-11
Sie betrachten wieder eine Kaffeetasse mit einem Innendurchmesser von d = 78
mm und einer Höhe von h = 80 mm. Der Pegelstand im Ruhezustand beträgt z0 =
80 mm. Auf Ihrer kleinen Drehbank in Ihrem Keller fertigen Sie sich einen Deckel,
der sich passgenau in das Innere der Tasse einfügt und diese zur Wandseite hin abdichtet.
Welche Masse hat der Deckel, wenn bei einer Rotationsgeschwindigkeit von
n = 3,21 s-1 der Deckel von dem rotierenden Fluid mit seiner Unterseite in eine Höhe von h = 65 mm getragen wird?
66
Aerostatik 3
3 Aerostatik
Im vorherigen Kapitel wurden die Zustände in einem ruhenden (= statischen) Fluid
betrachtet, für das eine wesentliche Vereinfachung getroffen wurde. Die Kompressibilität, also eine mögliche Veränderung der Dichte wurde vernachlässigt. Die
Annahme einer konstanten Dichte bringt rechentechnisch erhebliche Vereinfachungen mit sich und bei Flüssigkeiten hält sich der dadurch auftretende Fehler in
sehr engen Grenzen. Bei Gasen lässt sich diese vereinfachende Annahme leider
nicht mehr so ohne weiteres treffen. Im Fall der Aerostatik, also ebenfalls einem
ruhenden, jedoch gasförmigen System betrifft dieser Unterschied im Wesentlichen
die Berechnung der Druckverteilung in Abhängigkeit von der Höhe.
3.1
Aufbau der Erdatmosphäre
In den folgenden Abschnitten werden wir die physikalischen Ursachen für das
Wettergeschehen und den Aufbau und die Struktur der Erdatmosphäre betrachten.
Aufgrund seiner besonderen Bedeutung, insbesondere für die Luftfahrt, lernen Sie
die sogenannte Internationale Standardatmosphäre, eine normierte Vereinfachung
der realen Atmosphäre kennen.
3.1.1 Dynamisches System Erdatmosphäre
Die Atmosphäre der Erde ist ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamisches System, eine Art Wärmekraftmaschine, der auf der sonnenzugewandten Seite
durch Absorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten Seite Wärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation
ändern sich die Strahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine
weitere Komplikation der Verhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischen Sinn, ergibt sich aus der asymmetrischen
Verteilung von Meer und Landmassen auf der Erdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaften aufweisen, [Liljequist, 1974].
Auch hier zeigt sich wieder die Eleganz des thermodynamischen Systembegriffs.
Ein beliebig komplexes System, in diesem Fall die Erde, lässt sich durch eine
Strichpunktlinie, die sogenannte Systemgrenze, auf das Wesentliche reduzieren.
Alles was nun noch erforderlich ist, ist die Bilanz der Energie- und Masseströme,
die diese Systemgrenze überschreiten. Nähere Kenntnisse der Zusammensetzung
oder der Funktion von allem, was sich innerhalb der Systemgrenze befindet, sind
nicht erforderlich. In diesem Fall ist die Massestrombilanz denkbar einfach. Die
besteht aus dem permanenten Eintreffen von kleineren und gröMassezufuhr
ßeren Meteoriten, die erfreulicherweise in der Regel einen zu steilen Eintrittswinkel wählen und dadurch in den oberen Schichten der Atmosphäre zu schnell abgebremst werden und verglühen. Es rieselt letztendlich nur noch etwas Asche vom
Himmel. Vergleichsweise ungünstig erweist es sich, wenn ein Meteorit den passenden Eintrittswinkel wählt und sich im weiteren Verlauf seiner Reise zwar etwas
aufheizt aber ansonsten fast unbeschadet bis zur Erdoberfläche vordringt. Hier reichen bereits relativ kleine Brocken um einen gewaltigen Schaden anzurichten. Eine
bittere Erkenntnis, wie sie beispielsweise die Saurierpopulation vor ungefähr 65
Millionen Jahren machen musste.
67
3 Aerostatik
Der austretende Massestrom
besteht lediglich aus den wenigen interplanetarischen Raumsonden, die die Erde verlassen. Sofern die Systemgrenze in einer Höhe
von mehr als 35786 km gezogen wird, das entspricht der Bahnhöhe eines geostationären Satelliten, fällt alles, was an Satelliten und Raumstationen die Erde umkreist, innerhalb dieser Systemgrenze und braucht somit in der Bilanz nicht weiter
berücksichtigt zu werden.
qzu
qab
mab
mzu
qab
mab
qab
qzu
qzu
mzu
Systemgrenze
Systemgrenze
mzu
mab
Abb. 3-1: Die Erde als Wärmekraftmaschine (NASA Astronaut Photograph AS0816-2593, 22.12.1968, Apollo 8 crew)
entspricht der solaren Einstrahlung auf der TagDer zugeführte Wärmestrom
der abgestrahlten Wärme auf
seite der Erde und der abgeführte Wärmestrom
der Nachtseite. Diese beiden Terme sind betragsmäßig gleich groß und können
nicht vernachlässigt werden. Problematisch wird die Situation, wenn beispielsweise
infolge eines Anstiegs des CO2-Gehalts im unteren Bereich der Atmosphäre die
Fähigkeit zur Wärmerückstrahlung herabgesetzt wird (Treibhauseffekt) und
dadurch die mittlere Temperatur in der Atmosphäre ansteigt. Die Zu- und Abfuhr
von Wärme in die Atmosphäre führt zu einer inhomogenen Temperaturverteilung,
was zu einer Ausbildung von unterschiedlichen Druckbereichen führt. Das, was Sie
im täglichen Geschehen als Wetter wahrnehmen, ist nichts anderes als das Ergebnis
von Druckausgleichsbewegungen in der Atmosphäre. Infolge der Corioliskraft11
drehen auf der Nordhalbkugel Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn und Tiefdruckgebiete in entgegengesetzter Richtung. Befinden Sie sich auf der Südhalbkugel
verhalten sich die Drehrichtungen genau umgekehrt. Würden Sie in einer fernen
Galaxis auf einen Planeten treffen, in dessen Atmosphäre keinerlei Druck- und
Temperaturunterschiede herrschen, so wäre das Wetter dort mehr als langweilig
oder genauer, es würde schlicht entfallen.
––––––––––
11
68
Coriolis, Gaspard Gustave de (21. 05.1792 - 19. 09.1843), französischer Mathematiker und Physiker. Die nach ihm benannte Corioliskraft ist eine Trägheitskraft, die einen bewegten Körper quer
zu seiner Bewegungsrichtung ablenkt, wenn die Bewegung relativ zu einem rotierenden Bezugssystem beschrieben wird.
Aerostatik 3
3.1.2 Höhenschichten der Atmosphäre
Eine feste Grenze der Atmosphäre existiert in der Höhe nicht. Stattdessen erfolgt
ein kontinuierlicher Übergang in den Weltraum. Die untersten und im Sinne der
Flugzeugaerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und
Stratosphäre. Der Übergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich und die Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren
Breiten bei ca. 10 km Höhe und in den Tropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen
in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen, spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäre selbst spielt der Bereich in
Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m über dem Boden
eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen an der Erdoberfläche beeinflusst wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion
des geographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen
Schwankungen.
Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich
zum Erddurchmesser nur eine hauchdünne Schicht, das heißt die Hauptströmungen
der Luft erfolgen horizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine
vergleichsweise geringe Geschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere
Relevanz bei Vorgängen, wie Wolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen.
Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximaler Windgeschwindigkeiten (jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet
sich bis zu einer Höhe von ca. 50 km die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen
der Tropopause die Lufttemperatur noch mit ca. 6,5 K/1000 m ab, so stellt sich in
der Stratosphäre anfangs eine isotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen. Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen
Stratosphäre ist auf die starke Absorption des UV-Anteils im Sonnenlicht durch
Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in der Stratosphäre in einer Höhe
zwischen 20 – 25 km sein Maximum.
Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgende Höhenband von 50 – 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradienten mit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat
sich auf 1 – 0,01 hPa reduziert. Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder
Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die infolge von ionisierten Schichten (ESchichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellen reflektieren. Die Ausbildung der
E-Schichten hängt von der Stärke der solaren Einstrahlung ab. Dadurch bilden sie
sich tagsüber auch in tieferen Schichten aus, während sie bei Nacht in der Höhe ansteigen und dadurch Überreichweiten erzeugt werden können. Sofern Sie noch über
einen Radioempfänger mit terrestrischer Antenne verfügen, können Sie das leicht
überprüfen. Nachts werden Sie Sender empfangen, die Sie tagsüber nicht empfangen können. Das gilt natürlich nicht für den UKW (= FM) – Bereich, da UKWSignale sich auf optischen, geraden Bahnen ausbreiten und durch Bodenhindernisse
ausgeblockt werden.
Der starke Temperaturanstieg ab einer Höhe von 100 km ist auf den ersten Blick
etwas überraschend. Infolge der extrem geringen Luftdichte nimmt die mittlere
freie Weglänge, also die Distanz, die ein Teilchen bis zur nächsten Kollision zu-
69
3 Aerostatik
rücklegt sehr große Werte an, da diese nicht mehr abgebremst werden12. Bei verdünnten Gasen korreliert die Temperatur T mit der Teilchengeschwindigkeit c entsprechend
√3 ∙ ∙ , wobei R die spezifische Gaskonstante beschreibt. Sollten
Sie sich auf einem Außeneinsatz an der internationalen Raumstation ISS befinden,
können sie hinsichtlich dieser scheinbar bedrohlich hohen Temperaturen völlig unbesorgt sein. Die wenigen Teilchen, die auf Ihren Raumanzug treffen haben zwar
diese hohe Temperatur, jedoch verfügen Sie über keine nennenswerte thermische
Masse. Die Teilchen nehmen nach dem Aufprall die Temperatur Ihres Anzugs an.
250
Höhe
km
200
Ionosphäre
ratur
Tempe
150
Thermosphäre
100
Mesopause
Mesosphäre
Stratopause
50
Stratosphäre
0
100
200
300
400
500
600
Tropopause
Troposphäre
700
800
900
1000 °C
Abb. 3-2: Aufbau und Temperaturverlauf im unteren Bereich der Atmosphäre
Oberhalb von 800 km erreicht man die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum Weltraum bildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der
so genannte Van-Allen-Strahlengürtel, der den Hauptteil der kosmischen Strahlung
abschirmt. Durch das Magnetfeld der Erde werden hochenergetische, von der Sonne stammende Gamma-Teilchen abgefangen und zu den Polen umgelenkt. Der innere Ring des Van-Allen-Belts befindet sich in einer Höhe von 2000 bis 6000 km
über der Erde, der im Wesentlichen Elektronen umlenkt. Der zweite Ring befindet
sich in einer Höhe von 12.000 bis 25.000 km Höhe und schirmt uns vor der
Gamma-Strahlung ab. Befinden Sie sich auf einer Mission auf der ISS, die in ungefähr 400 km Höhe die Erde umkreist, so können Sie aufatmen, da Sie durch den
Van-Allen-Gürtel vor der Strahlung geschützt sind.
3.1.3 Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre
Die Atmosphäre besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, deren Zusammensetzung über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mit
ca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bilden
Wasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie
beispielsweise Argon und Neon, (Tab. 3-1). Die chemische Zusammensetzung von
––––––––––
12
70
Mittlere freie Weglänge: Auf Meeresniveau unter ISA Bedingungen ( p = 1 bar, T = 288.15K),
beträgt die mittlere freie Weglänge  = 6,63210-8 m. In einer Höhe von 100 km hat sich die Dichte
auf  = 3,310-7 kg/m³ verringert und die mittlere freie Weglänge beträgt  = 0,3 m
Aerostatik 3
Luft ist bis in sehr große Höhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur
eine Höhenabhängigkeit aufweisen. Ebenfalls starken Schwankungen unterworfen
ist der Feuchtegehalt. Die Fähigkeit der Luft Wasser in der gasförmigen Phase aufzunehmen ist eine Funktion der Temperatur. Diesen Effekt können Sie insbesondere in der kalten Jahreszeit beobachten, wenn am Fenster Ihres Badezimmers die
von der heißen Dusche aufgeheizten Luft am kalten Fenster vorbeistreicht, dabei
abkühlt und die darin enthaltene Feuchte auskondensiert. Es bildet sich das sogenannte Schwitzwasser. Warme Luft kann deutlich mehr Feuchte aufnehmen als
kalte Luft.
Gas
Volumenprozent
Temperatur
[°C]
Wasserdampf
[g/m³]
Stickstoff
N2
78,09
-20
1,0
Sauerstoff
O2
20,95
-10
2,3
Argon
Ar
0,93
0
4,9
Kohlendioxid
CO2
0,03 (schwankt)
10
9,3
Neon
Ne
0,0018
20
17,2
Helium
He
0,0005
30
30
Krypton
Kr
0,0001
Wasserstoff
H2
0,00005
Xenon
Xe
0,000008
Ozon
O3
0,00001 (schwankt)
Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre
3.1.4 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe
Im Kapitel Hydrostatik wurde bei Flüssigkeiten die Kompressibilität vernachlässigt. Der Fehler der dadurch entsteht ist sehr gering. Allerdings wird durch diese
Vereinfachung unter anderem die Berechnung des Drucks in Abhängigkeit von der
Höhe sehr einfach. Analog zu einem Stapel Steine, erhöht sich der Druck auf eine
Bodenplatte linear mit zunehmender Höhe des Pegelstands oder eben der Anzahl
der Steine, die übereinander gestapelt werden.
Bei Gasen wird der Fehler infolge einer solchen linearen Betrachtung dagegen sehr
groß. Die Zusammenhänge lassen sich mithilfe einer Druckbilanz an einem Volumenelement (Abb. 3-3) erläutern.
71
3 Aerostatik
p+dp
dA
g

FG
dz
dm
z
p
Abb. 3-3: Kräfte und Drücke an einem Volumenelement
An der Unterseite wirkt die Druckkraft pdA, an der Oberseite die Druckkraft
(p+dp)dA und im Inneren die Gewichtskraft FG = gdzdA. das ergibt in der Bilanz in z-Richtung
d
∙d
∙
∙d ∙d
∙d
0
also
d
∙
∙d
Das ist die sogenannte hydrostatische Grundgleichung, die Sie im weiteren Geschehen noch benötigen werden.
Als weitere Basisgleichung ist noch die polytrope Zustandsgleichung erforderlich.
Thermodynamiker arbeiten immer gerne mit sogenannten Zustandsgleichungen,
die Zustandsänderungen beschreiben. Eine Zustandsänderung wäre beispielsweise
wenn Sie einen Topf mit Wasser auf den Herd stellen und das Wasser zum Sieden
bringen. Der Ausgangszustand des Wassers kann durch den Druck (ungefähr ein
bar) und die Temperatur (beispielsweise 20°C) beschrieben werden. Zur Beschreibung des Endzustands können jetzt wieder die Zustandsgrößen Druck und Temperatur herangezogen werden. Der Druck beträgt immer noch ungefähr ein bar und
die Temperatur ungefähr 100°C. Da der Druck gleich geblieben ist entspricht dieser Vorgang einer isobaren Zustandsänderung. In Abhängigkeit von dem Parameter, der konstant bleibt spricht man in der Thermodynamik von speziellen Zustandsänderungen, Tab. 3-2.
Zustandsgröße Bezeichnung Zustandsänderung
Druck
p
isobar
Temperatur
T
isotherm
Volumen
V
isochor
Entropie
S
isentrop
Enthalpie
H
isenthalp
Tab. 3-2: Zustandsänderungen
Mit der polytropen Zustandsänderung (griechisch: Die Vielgestaltige) lassen sich
in Abhängigkeit von dem verwendeten Polytropenexponent n die unterschiedlichen
.
Zustandsänderungen darstellen: ∙
72
Aerostatik 3
Ein Exponent von n = 0 entspricht einer isobaren Zustandsänderung, n =1 einer
isothermen Zustandsänderung und n =  einer isentropen Zustandsänderung. Im
weiteren Verlauf soll der Ausgangszustand mit dem Index 0 und der Endzustand
ohne Index gekennzeichnet werden. Damit lässt sich die Polytropengleichung umformen zu
beziehungsweise
1
1
Für die Zustandsgleichung idealer Gase
∙
∙
lässt sich auch schreiben
∙
1
Einsetzen in die Polytropengleichung ergibt
1
1
∙
∙
∙
∙
⁄
∙
⁄
Aus der hydrostatischen Grundgleichung folgt für die Dichte
d
∙
1
∙d
∙
d
d
Gleichsetzen der beiden Terme liefert
∙
∙
d
d
⁄
⁄
∙
und liefert damit eine schöne kleine Differentialgleichung,
d
∙
∙
⁄
∙
⁄
∙
1
⁄
∙d
die sich direkt integrieren lässt
d
∙
∙
1
⁄
∙d
also etwas verkürzt
73
3 Aerostatik
1
∙
d
∙d
⁄
Die Ausführung der Integration hängt von der vorliegenden Temperaturverteilung
in dem entsprechenden Höhenband ab. Prinzipiell werden Sie in der Atmosphäre
zwei unterschiedliche Bereiche finden. Entweder Sie haben eine lineare Temperaturänderung, beispielsweise im Höhenbereich von 0 bis ungefähr 11 km Höhe oder
einen Bereich mit einer näherungsweisen konstanten Temperatur. Das trifft beispielsweise auf den Bereich von 11 bis 20 km Höhe zu. Liegt eine lineare Temperaturänderung vor, so spricht man von einer nicht-isothermen Temperaturschichtung. Damit wird der Polytropenexponent n  1. Ein konstanter Temperaturverlauf
über die Höhe wäre eine isotherme Schichtung mit einem Polytropenexponent von
n = 1.
Nicht -isotherme Temperaturschichtung (n  1)
d
1
∙
∙d
⁄
ergibt
∙
1
⁄
∙
∙
1
⁄
∙
mit
∙
∙
⁄
∙
⁄
folgt die Höhe
∙
∙
⁄
∙
1
⁄
beziehungsweise
∙
∙
1
⁄
∙
1
daraus folgt für den Luftdruck
1
∙ 1
⁄
∙
∙
∙
für die Temperatur
∙ 1
1
∙
∙
und für die Dichte
∙ 1
74
d
∙
d
⁄
⁄
Aerostatik 3
Isotherme Temperaturschichtung (n = 1)
d
1
∙
∙d
⁄
ergibt
∙ ln
mit
∙
⁄
∙
folgt für die Höhe
∙
⁄
∙
∙ ln
daraus folgt für den Luftdruck
∙e
∙
∙e
∙
∙
und für die Dichte
3.2
∙
Internationale Normatmosphäre (ISA)
Bei dem Begriff Normatmosphäre werden sich dem ein oder anderen sicher die
Nackenhaare sträuben. Wie soll sich ein System normieren lassen, das permanenten Änderungen unterworfen ist? Nun, die Frage ist sicher berechtigt. Sofern Sie
sich jedoch mit dem Thema Flugleistungen, also beispielsweise der Bestimmung
von Geschwindigkeiten, Startstrecken oder Steigleistungen eines Flugzeugs beschäftigen, benötigen Sie eine normierte Bezugsgröße, auf die Sie Ihre Berechnungen beziehen. Das Gleiche gilt übrigens auch für Fahrleistungen eines Landfahrzeugs. Auch hier macht es einen sehr großen Unterschied, ob Sie Ihr Fahrzeug auf
Sylt, auf Meeresniveau bei einer Außentemperatur von -2°C oder am Brennerpass
bei +25°C erproben.
Die Normatmosphäre (DIN 5450 beziehungsweise seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich und geographisch gemittelten Messwerten für Druck, Dichte
und Temperatur und dient als Normierungssystem zur Auslegung und Vergleich
von Leistungen. Diesem Modell liegt eine Reihe von vereinfachenden Annahmen
zugrunde:
-
Es existieren keine jahreszeitlichen oder geographischen Abhängigkeiten
Es liegen keine wetterbedingten Einflüsse vor
Die relative Luftfeuchtigkeit beträgt  = 0%
Das bedeutet also, dass entsprechend diesem Modell, sofern Sie sich auf der gleichen Höhe befinden, am Waikiki-Beach auf Hawaii als auch am Nordpol die identischen Bedingungen vorliegen. Druck, Dichte und Temperatur sind an beiden Or75
3 Aerostatik
ten gleich und das unabhängig davon ob Sie die Betrachtung für den 1. Juli oder
den 31. Dezember durchführen13.
Der dem Modell zugrundeliegende Temperaturverlauf ist in Abb. 3-4 skizziert. Das
Modell unterscheidet acht Höhenintervalle. Die jeweiligen Anfangswerte (Index A)
der Höhe als auch die Temperaturgradienten in dieser Höhe sind in Tab. 3-3 aufgelistet.
90
180,65
88
80
180,65
79
70
252,65
61
60
270,65
52
270,65
47
H [km]
50
40
228,65
32
30
20
216,65
20
10
216,65
11
0
170
190
210
230
250
270
288,15
0
290
310
T [K]
Abb. 3-4: Temperaturverteilung in der internationalen Standardatmosphäre (ISA)
––––––––––
13
76
Atmosphärendaten: Sollten Sie sich für reale Wetterdaten interessieren, finden Sie auf der Internetseite der University of Wyoming bei den Meteorologen unter dem link
http://weather.uwyo.edu/upperair/sounding.html eine Übersicht über Wetterstationen auf der gesamten Welt. Klicken Sie dabei beispielsweise in Europa auf die Station 10868 (MünchenOberschleißheim), so erhalten Sie für das gewünschte Datum das Höhenprofil (Druck, Temperatur,
Taupunkt, Wind, relative Feuchte) bis in eine Höhe von 34 km. Mit soundig data werden im Englischen Daten bezeichnet, die mit Aufstiegssystemen, wie beispielsweise Wetterballons oder Wetterraketen gemessen wurden.
Aerostatik 3
A [kg/m³]
 [K/m]
101325
1,225
-6,510-3
216,65
22632
0,3639
0,0
20103
216,65
5475
0,0880
+1,010-3
32103 - 47103
32103
228,65
868
0,0132
+2,810-3
47103 - 52103
47103
270,65
111
0,0014
0,0
52103 - 61103
52103
270,65
59
0,0008
-2,010-3
61103 - 79103
61103
252,65
18
0,0002
-4,010-3
79103 - 88103
79103
180,65
1
1,910-5
0,0
h [m]
hA [m]
TA [K]
-5103 - 11103
0
288,15
11103 - 20103
11103
20103 - 32103
pA [Pa]
Tab. 3-3: Anfangswerte und Temperaturgradienten der ISA Standardatmosphäre
Die Berechnung der drei Parameter Druck, Dichte und Temperatur des Atmosphärenmodells als Funktion der Höhe ist denkbar einfach. Es empfiehlt sich diese Gelegenheit für eine kleine Programmierübung zu nutzen und diese sechs einfachen
Gleichungen, die die Normatmosphäre beschreiben, Ihrem Rechner beizubringen.
In Abhängigkeit davon ob Sie sich in einem Höhenintervall mit veränderlicher
Temperatur befinden oder in einem Intervall mit konstanter Temperaturschichtung,
verwenden Sie die jeweiligen drei Gleichungen.
Höhenintervalle mit linear veränderlicher Temperatur
∙
⁄ ∙
∙
⁄ ∙
∙
beziehungsweise
∙
Höhenintervalle mit konstanter Temperatur
const.
∙e
∙
∙e
∙
∙
∙
beziehungsweise
∙
77
3 Aerostatik
Hierbei bezeichnet R = 287,05 J/kgK die spezifische Ganskonstante von trockener
Luft und g0 = 9,81 m/s² die Gravitationskonstante auf der Erdoberfläche. Der Index
h steht für die Höhe in der die Berechnung durchgeführt wird. Der Index A beschreibt den jeweiligen Anfangswert am unteren Ende des Intervalls in dem sich
die gewünschte Höhe befindet. Für alle Parameter sind SI-Einheiten zu verwenden,
also Höhe in Meter, Druck in Pascal, Dichte in kg/m³ und Temperatur in Kelvin.
Damit wäre das Modell schon programmiert. Bei dieser Gelegenheit lohnt es sich
immer Ihr Programm noch um einige wenige, aber sehr nützliche, Parameter für
Luft zu erweitern.
Schallgeschwindigkeit
√ ∙
∙
m
s
mit Luft = 1,4
Wärmeleitfähigkeit
,
2,648151 ∙ 10
245,4 ∙
∙ 10
⁄
W
m∙K
Dynamische Viskosität
Die dynamische Viskosität  von Luft lässt sich näherungsweise nach der Sutherlandformel als Funktion der Temperatur berechnen.
,
1,458 ∙ 10
∙
110,4
Pa ∙ s
Kinematische Viskosität
m
s
Eine Tabelle mit Werten der Normatmosphäre finden Sie im Anhang, Tab. A-8a
bis Tab. A-g.
78
Aerostatik 3
Übung 3-1: Gasballon mit Heliumfüllung
Sie betrachten im Folgenden einen Gasballon, der mit
Helium gefüllt ist. Für den Ballon, dessen Hülle vollständig flexibel ist, also keine Druckkräfte aufnehmen
kann, gelten folgende Daten:
DBallon
=
6 m (bei h = 0)
RHe
=
2078 J/kgK
mHülle
=
20 kg
mKorb
=
10 kg
1. Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon bei einem Start auf der Höhe h = 0
unter ISA-Bedingungen heben kann
2. Welchen Durchmesser hat der Ballon in einer Höhe h = 12 km unter ISABedingungen?
Übung 3-2
Vom 16. August 1960 bis zum 14. Oktober 2012 hielt der US-Amerikaner Joseph
Kittinger den Weltrekord für einen Fallschirmabsprung aus der größten Höhe, in
diesem Fall 31333m. Kittingers Sprünge aus einer offenen Ballongondel dienten
der Erforschung und Entwicklung von Rettungssystemen für Piloten bei Absprüngen aus großen Höhen. Etwas profaner waren die Gründe für die Einstellung der
Rekorde von Joseph Kittinger, darunter die größte im freien Fall erreichte Geschwindigkeit und der höchste Absprung, durch einen Sprung des Österreichers Felix Baumgartner am 14. Oktober 2012 mit einem Sprung aus einer Druckkapsel aus
39045 m. Hierbei ging es lediglich um eine überteuerte Werbeaktion für eine etwas
seltsam schmeckende Limonade. Fast unbemerkt von der Weltöffentlichkeit und
ohne jeglichen Medienrummel wurde dieser Rekord jedoch kurz darauf, am 24.
Oktober 2014, durch den US-Amerikaner Alan Eustace, durch einen Sprung aus
41419 m Höhe überboten.
Baumgartner erreichte nach relativ kurzer Zeit seine Maximalgeschwindigkeit von
1342 km/h. Die Frage, die es zu klären gilt lautet: Wie sehen die körperlichen Belastungen bei solchen Geschwindigkeiten in großer Höhe aus?
1. Berechnen Sie den Staudruck, dem diese Geschwindigkeit entspricht und vergleichen Sie diesen mit den Belastungen eines Motorradfahrers auf einer Autobahn
auf Meereshöhe.
2. Hatte Baumgartner bei seinem Sprung die Schallmauer durchbrochen?
79
3 Aerostatik
3.3
Höhendefinitionen
Bei dem Wort Höhe werden Sie sicher vermuten, dass dieser Begriff eindeutig definiert ist. Je nach Anwendungsfall sind jedoch eine ganze Reihe von unterschiedlichen Definitionen möglich, beispielsweise:
- geometrische Höhe
- absolute Höhe
- geopotentielle Höhe
- Druckhöhe
- Dichtehöhe
3.3.1 Geometrische Höhe und absolute Höhe
Diese Definition kennen Sie alle aus Ihrer Schulzeit. Die geometrische Höhe hg beschreibt den Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel. Solche Angaben finden Sei beispielsweise als Höhenangaben in Landkarten. Doch so eindeutig, wie
man es vermuten könnte liegen die Dinge nicht. Die einfache Frage lautet: Wo genau liegt der Meeresspiegel? Dieser ist alles andere als konstant. Denken Sie an die
Gezeiten, Wellengang und gravitationsbedingte Änderungen des Pegelstandes14. Es
ist also ein eindeutig definierter Bezugspunkt erforderlich.
In der Zeit von 1683 bis 1684 wurde der mittlere Hochwasserstand in Amsterdam
in den Niederlanden als Nullpunkt festgelegt und von den meisten, aber nicht allen,
europäischen Staaten als Referenz übernommen. Der österreichische Referenzpunkt bezieht sich auf den mittleren Pegelstand der Adria bei Triest. Dort können
Sie heute noch in einem Seitenarm des Hafens einen Granitquader bestaunen, der
diesen Punkt markiert und übrigens 34 cm unter dem Amsterdamer Pegel liegt.
In der Schweiz dient ein Granitfelsen im Genfer See, der sogenannte Repère
(=Bezugspunkt) Pierre du Niton als Referenz. Dieser Punkt liegt seit 1902 um
373,6 m über dem Pegelstand des Mittelmeers in Marseille. Vorher waren es infolge der etwas ungenaueren Vermessungstechnik 376,86 m.
Damit liegt die schweizer Referenz um 32 cm unter dem deutschen Normalnull.
Nun ist es sicher völlig unerheblich ob ein Berggipfel in den Westalpen in einer
deutschen Karte um 32 cm höher ist als in einer schweizer Karte. In der Regel finden Sie dort ohnehin in Abhängigkeit von der Jahreszeit eine mehrere Meter dicke
Schneedecke vor. Interessant wird es jedoch, wenn Sie ein länderübergreifendes
Bauwerk, wie beispielsweise im Jahre 2003 die Hochrheinbrücke bei Laufenburg
planen. Dem deutschen als auch dem schweizer Planungsbüro war dieser Höhen––––––––––
14
Meeresspiegel: Vor der vor der Küste Indiens liegt der Meeresspiegel bis zu 120 Meter tiefer als
normal. Die inhomogene Verteilung des Gravitationsfeldes der Erde verursacht eine weiträumige Delle im Wasser. Außerhalb dieser Region ist die Anziehung stärker, was zu einer Verschiebung der
Wassermassen und somit zu eine höheren Meeresspiegel führt. Diese Unebenheiten im Meer sind mit
bloßem Auge nicht zu erkennen sondern wurden mittels des ESA-Erderkundungssatelliten "Goce" im
Rahmen der Mission zur Messung der Gravitation und des stationären Zustandes der Ozeanzirkulation in der Zeit von 2009 bis 2013 vermessen.
80
Aerostatik 3
versatz selbstverständlich bekannt. Aufgrund eines Vorzeichenfehlers wurde das
Widerlager auf der schweizer Seite jedoch um den doppelten Höhenversatz zu
niedrig gebaut anstatt selbigen auszugleichen. Alles im Sinne von Herrn Murphy…15
Aber keine Sorge, seit einigen Jahrzehnten hat, zumindest für das Vermessungswesen, Normalnull ausgedient. Verwendung findet ein sogenannter Geoid. Die Oberflächen des Geoids sind definiert als die Flächen gleichen Schwerepotentials.
Prinzipiell könnte man auch den Erdmittelpunkt als Referenz verwenden. Das wäre
dann die absolute Höhe ha. Der Zusammenhang zwischen absoluter und geometrischer Höhe ergibt sich einfach durch den mittleren Erdradius am Äquator mit r =
6378 km.
Einen praktischen Nutzen hat diese absolute Höhenangabe jedoch nicht.
3.3.2 Geopotentielle Höhe
Für Zwecke der Bahnberechnung von Trägersystemen, Satelliten und Raumstationen benötigen Sie die geopotentielle Höhe h. Dabei berücksichtigen Sie die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt.
Für die Massekräfte auf der Erdoberfläche (Index 0) gilt
∙
∙
∙
in einem beliebigen Abstand r vom Erdmittelpunkt gilt
∙
∙
∙
mit
mK
Masse des Körpers
mE
Erdmasse, mE = 5,971024 kg
g0
Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche, g0 = 9,81 m/s²
g(r)
Erdbeschleunigung im Abstand r zum Masseschwerpunkt
rE
(mittlerer) Erdradius, = 6378,169103 m
r
Abstand des Körpers zum Masseschwerpunkt der Erde

Gravitationskonstante,  = 6,6710-11 m³/kgs²
somit
beziehungsweise
––––––––––
15
Murphy, Edward R. (11.01.1918 – 17.07.1990), US-amerikanischer Luft- und Raumfahrtingenieur: If there’s more than one possible outcome of a job or task, and one of those outcomes will
result in disaster or an undesirable consequence, then somebody will do it that way
81
3 Aerostatik
∙
r
h
∙
Daraus ergibt sich die geopotentiellen Höhe h zu
∙
Auf der Erdoberfläche fallen die geometrische und die geopotentielle Höhe zusammen. Mit zunehmender Höhe sinkt die geopotentielle Höhe jedoch immer weiter unter die geometrische Höhe.
3.3.3 Druckhöhe
Bei fliegenden Systemen benötigen Sie ein autonomes System zur Höhenbestimmung. Das ist einerseits zur Staffelung des Flugverkehrs als auch zur Lärmvermeidung erforderlich. Also der Lärm, der dadurch erzeugt wird, wenn ein Flugzeug
aufgrund falscher Höheninformationen mit einem anderen Flugzeug kollidiert oder
am Boden zerschellt. Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrische Höhenmesser, das heißt es wird der statische Luftdruck außerhalb des
Flugzeugs gemessen und daraus eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt
somit die Zuordnung eines Luftdrucks p(h) zu einer Höhe h.
Würden permanent die Werte der Normatmosphäre vorliegen, so wäre diese Zuordnung eindeutig, da zu jedem Luftdruck genau eine Höhe gehört. Insbesondere in
der Troposphäre ist dies jedoch nur sehr selten der Fall. Diese Abweichung können
Sie durch das manuelle Anpassen der mechanischen Kalibrierkurve in dem Höhenmesser ausgleichen. Im Fall des in Abb. 3-5 dargestellten Flugzeughöhenmessers geschieht dies mittels des Einstellknopfes am linken unteren Rand. In der inneren Skala wird der Bezugsluftdruck angezeigt, in diesem Fall 1035 hPa.
Dieser Bezugsluftdruck, das sogenannte QNH16 entspricht dem aktuellen Luftdruck
in der momentanen Höhe, dem QFE, der auf Meeresniveau heruntergerechnet wurde. Die Messgröße ist also das QFE.
––––––––––
16
82
QNH, QFE: Die Bezeichnungen QNH und QFE stammen noch aus der Morsezeit, wobei allen
wetterrelevanten Informationen ein Q vorangestellt wurde. NH steht im Englischen für normal
height, also Meeresniveau und FE für field elevation, also Platzhöhe.
Aerostatik 3
Abb. 3-5: Barometrischer Höhenmesser 4FGH10 (Gebr. Winter GmbH & Co
KG, Jungingen)
Die Umrechnung des aktuellen Luftdrucks (QFE) in der Höhe h auf den Luftdruck
bezogen auf Meeresniveau (QNH) erfolgt mittels
∙
mit
∙
∙
,
,
287,05 ∙
0,0065 ∙
0,0065
9,80665
1013,25 ,
288,15
0,1902612
8,417168 ∙ 10
QNH
[hPa]
statischer Luftdruck bezogen auf Meeresniveau
QFE
[hPa]
statischer Luftdruck in der aktuellen Höhe
h
[m]
aktuelle Höhe
R
[J/kg]
spez. Gaskonstante von Luft, relativen Feuchte  = 0

[K/m]
Temperaturgradient in der Troposphäre nach ISA
g
[m/s2]
Erdbeschleunigung auf der Höhe h = 0
pISA, h=0
[hPa]
Luftdruck entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0
TISA, h=0
[K]
Temperatur entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0
83
3 Aerostatik
Bedeutung für die Luftfahrt
Wichtig bei dieser Betrachtungsweise ist der Umstand, dass der Höhenmesser nicht
die Höhe, sondern den Luftdruck misst. Angenommen Sie planen einen Flug in einem Kleinflugzeug von München nach Turin, das heißt Sie überqueren die Alpen
in Nord-Süd-Richtung. Beim Start in München stellen Sie Ihren Höhenmesser auf
das aktuelle QNH, in diesem Fall 1021 hPa ein. Dadurch zeigt Ihnen der Höhenmesser vor dem Start die Flugplatzhöhe an. Entsprechend Abb. 3-6 wären das
h = 500m. Die Routenplanung haben Sie so gelegt, dass Sie in einer Flughöhe von
h = 3000m den höchsten Punkt auf der Route (h = 2900m) mit einer Sicherheitshöhe von h = 100m überfliegen. Südlich des Alpenhauptkamms liegt allerdings ein
Tiefdruckgebiet (QNH = 1002 hPa). Würden Sie nichts weiter unternehmen und
mit Ihrer Höhenmessereinstellung von München (QNH = 1021 hPa) weiterfliegen,
so würde das sicher böse enden, da Sie ja nicht auf einer konstanten geometrischen
Höhe, sondern auf einer konstanten Druckhöhe (=Isobarenfläche) fliegen. Obwohl
Ihr Höhenmesser immer noch eine Flughöhe von h = 3000m anzeigt, haben Sie
aufgrund des gesunkenen Luftdrucks in Wirklichkeit nur noch eine Flughöhe von h
= 2840 m. Dies führt unweigerlich zu einem Lärmproblem, wenn die Luftfahrt 60m
unterhalb des Gipfels oder der Passhöhe zu einem abrupten Ende kommt.
h= 3500 m: QFE = 663 hPa
h= 3000 m: QFE = 707 hPa
p = 663 hPa
p = 707 hPa
H = 2900 m
h = 3342 m: QFE = 663 hPa
h = 2840 m: QFE = 707 hPa
h= 500m:
h= 0:
QFE = 962 hPa
QNH = 1021 hPa
Hochdruck
Tiefdruck
NN
h = 0: QNH = 1002 hPa
Abb. 3-6: Isobarenflächen bei Hoch- und Tiefdruckwetterlagen
Die alte Pilotenweisheit „Vom Hoch ins Tief, das geht schief“ hat hier sehr wohl
ihre Berechtigung. Allerdings haben Sie die Möglichkeit dies zu verhindern. Als
Pilot sind Sie verpflichtet bei Überlandflügen sich das jeweilige QNH einzuholen.
Das ist beispielsweise durch die Abfrage der sogenannten ATIS17 über Funk möglich.
Obwohl die Druckhöhe in der Regel nicht der geometrischen Höhe entspricht, wird
diese zur Staffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (engl.:
flight levels) verwendet. Der Zusammenhang zwischen Flugfläche und Druckhöhe
in Fuß (1 foot = 12 inch = 0,3048 m) ergibt sich ganz einfach aus
∙ 100
Flugfläche FL120 entspricht also einer Höhe von 12000 ft = 3658 m, sofern der reale Luftdruck auf bezogen Meeresniveau p0 = 1013,25 hPa beträgt. Flugflächen
werden immer auf den Standarddruck der Normatmosphäre auf Meeresniveau bezogen, also QNH = 1013,25 hPa. Da häufig der Luftdruck jedoch nicht dem Standarddruck entspricht, gibt diese Höhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe an. Die Flugzeuge bewegen sich dadurch auf
––––––––––
17
84
ATIS: Automatic terminal information service, automatische Ansage der aktuellen Wetterbedingungen, unter anderem auch das QNH, sowie Start- und Landerichtung an einem Flugplatz
Aerostatik 3
Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer konstanten geometrischen Höhe. Dies
hat jedoch den Vorteil, dass immer eine konstante Höhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird.
3.3.4 Dichtehöhe
Die Dichthöhe hDichte ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus
den gemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe wird zur Berechnung der Flugleistungen, insbesondere der Start- und Landestrecken verwendet. In der Luftfahrt findet diese einfache Näherungsformel Verwendung:
1013,25
∙ 10
,
∙ 40
mit
h
[m]
Platzhöhe
QNH
[hPa]
Luftdruck bezogen auf MSL
Th
[K, °C]
aktuelle Temperatur am Platz
Th, ISA
[K, °C]
Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen
85
3 Aerostatik
Übung 3-3
Sie planen einen Flug vom dem Flugplatz München-Oberschleißheim mit einem
einmotorigen Sportflugzeug, einer Piper PA28-R200. Die Platzhöhe von München-Oberschleißheim beträgt h = 485 m, die Bahnlänge beträgt L = 808 m.
Berechnen Sie die erforderliche Startstrecke s218 für die beiden folgenden Tage:
-
Tag 1: QNH = 1020 hPa, T = +2°C.
Tag 2: QNH = 1020 hPa, T = +32°C
An welchem der beiden Tage sollten Sie von einem Start absehen?
Abb. 3-7: Startstrecken für PA28-R200
––––––––––
18
86
Startstecke s1: Erforderliche Strecke bis zum Abheben,
Startstrecke s2: Erforderliche Strecke bis zum Überfliegen eines (fiktiven) 15 m - Hindernisses
4. Strömung von Fluiden
4 Strömung von Fluiden
Im zweiten und dritten Kapitel haben Sie bereits statische, also ruhende Systeme
kennengelernt. Das können Behältnisse sein, die mit einer Flüssigkeit oder einem
Gas befüllt sind, aus denen jedoch nichts herausströmt. Also beispielsweise ein
Bierfass mit geschlossenem Zapfhahn oder eine Pressluftflasche mit geschlossenem Ventil. In diesem Kapitel werden wir uns mit dynamischen, das heißt bewegten Systemen beschäftigen. Das wäre beispielsweise der Fall, wenn an dem Fass
endlich der Zapfhahn geöffnet wird und das Bier in den Maßkrug fließt oder der
lang ersehnte Tauchgang am Korallenriff beginnt und Sauerstoff aus der Flasche in
Ihr Atemgerät strömt.
4.1
Beschreibung des Strömungsfeldes
Ein Strömungsfeld lässt sich allgemein beschreiben durch die thermodynamischen
Zustandsgrößen Druck p=p(x,y,z,t), Dichte =(x,y,z,t) und Temperatur
T=T(x,y,z,t). Hierbei handelt es sich um skalare, also ungerichtete Größen. Zusätzlich haben wir noch die Geschwindigkeit. Das ist eine gerichtete Größe, somit stellt
 
das Geschwindigkeitsfeld c  c  x , y , z ,t  ein Vektorfeld dar.
Zur Lösung des Gleichungssystems stehen Ihnen sechs Gleichungen zur Verfügung:
-
Drei Bewegungsgleichungen
Kontinuitätsgleichung
Energiesatz
Thermische Zustandsgleichung
Bei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Für ideale Gase müssen aus dem Wertetripel p ,  , T lediglich immer nur
zwei bekannt sein. Dieser Zusammenhang wird durch die Zustandsgleichung für
ideale Gase beschrieben.
∙
∙
∙
beziehungsweise mit dem spezifischen Volumen
∙
⁄
1⁄
∙
oder
∙
∙
Einatomige Gase erfüllen immer diese Zustandsgleichung. Bei mehratomigen Gasen tritt bei höheren Drücken und Temperaturen infolge der Anregung der inneren
Freiheitsgrade und durch Dissoziation eine Abweichung auf. Erfreulicherweise
können Sie aber auch bei Luft, das ein Gemisch aus ein- und mehratomigen Gasen
darstellt, bis zu einer Temperatur von ca. 1500K und Drücken bis ca. 200 bar näherungsweise von einem idealen Gas ausgehen. Der Fehler liegt in der Größenordnung von weniger als 2%. Lediglich bei sehr tiefen Temperaturen und/oder sehr
hohen Drücken steigt der Fehler stärker an.
87
4 Strömung von Fluiden
4.2
Kontinuitätsgleichung
Die Kontinuitätsgleichung stellt eine der Basisgleichungen in der Strömungsmechanik dar. Mit ihrer Hilfe können Sie den Volumen- oder den Massestrom durch
eine Stromröhre beschreiben. Bei stationären Strömungen lautet die Aussage der
Kontinuitätsgleichung, dass der Massestrom, der in ein Kontrollvolumen eintritt, an
einer anderen Stelle wieder austreten muss. Auf eine einfache Rohrleitung bezogen
bedeutet dies, dass was auf der rechten Seite in das Rohr einströmt muss auf der
linken Seite wieder ausströmen.
4.2.1 Volumenstrom
Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einer mittleren Geschwindigkeit c im
Querschnitt A durchströmt, so bildet das Volumenelement dV, welches um die
Strecke ds bewegt wird, den Volumenstrom V mit der Einheit [m³/s].
(2)
s
dV
c
A
(1)
ds
Abb. 4-1: Volumenelement in einer Stromröhre
Bei kleinen Querschnittsänderungen in Strömungsrichtung kann die Querschnittsänderung dA im Vergleich zur Verschiebung ds in Strömungsrichtung vernachlässigt werden, das heißt sdA ≈ 0.
∙
∙
∙
∙
Daraus ergibt sich für den Volumenstrom
∙
88
∙
4. Strömung von Fluiden
4.2.2 Massestrom
Für die zeitliche Änderung der Masse in einem durchströmten System gilt
∙
∙
∙
∙
∙
Im Fall einer stationären Strömung verschwindet die zeitliche Änderung der Dichte, es gilt also
0 und somit für den Massestrom mit der Einheit [kg/s]
∙
∙
∙
4.2.3 Masseerhaltungssatz
Wird ein System stationär durchströmt, wobei eintretende Energie- und Masseströme positiv und austretende Ströme negativ angesetzt werden, so muss die zeitliche Änderung der Masse innerhalb des Systems verschwinden. Für ein System
mit einem eintretenden und einem austretenden Massestrom, beispielsweise ein
Rohrstück oder Wasserhahn gilt
0
also
∙
∙
∙
∙
.
Das ist der sogenannte Masseerhaltungssatz oder auch Kontinuitätsgleichung.
Hierbei kennzeichnet Index 1 die Situation in der Eintrittsebene und Index 2 die
Austrittsebene.
Analog verhält es sich, wenn Sie ein System mit m Eintritts- und n Austrittsströmen betrachten. Also beispielsweise einem Verbrennungsmotor mit mehreren Einund Auslassventilen:
,
.
,
Etwas einfacher sind die Verhältnisse, wenn Sie Fluide betrachten bei denen die
Kompressibilität vernachlässigt werden kann. Also Flüssigkeiten oder aber auch
Gase, sofern Sie die magische Strömungsgeschwindigkeit von 30% der Schallgeschwindigkeit nicht überschreiten. Das wären bei Luft auf Meeresniveau unter den
Bedingungen der Normatmosphäre immerhin sportliche 100 m/s oder 360 km/h.
Eine Vernachlässigung der Kompressibilität bedeutet, dass sich die Dichte nicht
ändert und diese sich aus der Bilanz herauskürzt. Der Massestrom vereinfacht sich
also zum Volumenstrom
∙
∙
.
beziehungsweise
,
,
.
89
4 Strömung von Fluiden
4.3
Bernoulli-Gleichung
Die Bernoulli-Gleichung können Sie auf unterschiedlichen Wegen herleiten. Eine
Möglichkeit besteht in der Aufstellung einer Kräftebilanz an einem Fluidelement in
einer Stromröhre. Eine weitere Möglichkeit und diese wollen wir im weiteren Verlauf verfolgen, besteht in der Erstellung einer Energiebilanz an den Grenzen eines
Kontrollraums. Für diesen thermodynamischen Ansatz sind aber vorher noch kurz
einige wenige thermodynamische Grundlagen zu betrachten.
4.3.1 Thermodynamische Grundlagen
System und Systemgrenze
Diese beiden Begriffe kennen Sie bereits aus dem Kapitel Aerostatik. Aufgrund ihrer Bedeutung noch mal eine kurze Auffrischung. Wenn Sie sich für alte schwarzweiß-Filme interessieren, kennen Sie vielleicht den Klassiker „Die Feuerzangenbowle“ mit Heinz Rühmann aus dem Jahr 1944. Exemplarisch die Szene aus dem
Physikunterricht zum Arbeitsprinzip einer Dampfmaschine: „Was ist eine Dampfmaschine? Das ist ein großer schwarzer Raum mit zwei Löchern. Durch das eine
kommt der Dampf rein und durch das andere geht er wieder raus. Das dazwischen
kriegen wir später.“ Das mag zwar lustig klingen, beschreibt aber genau das Wesensprinzip eines thermodynamischen Systems. Relevant sind nicht die technischen
Abläufe innerhalb der Maschine, sondern lediglich die Energie- und Masseströme,
die die Systemgrenze überschreiten. Werden diese erfasst, lässt sich daraus das
Leistungsvermögen der Maschine berechnen ohne irgendwelche Details der Maschine zu kennen. Das bringt uns zum nächsten Punkt, dem Energieerhaltungssatz.
Energieerhaltungssatz
Der Energieerhaltungssatz lässt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines
offenen, durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von Wärme und Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die
Energie- und Massenströme, die die Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im Inneren des Systems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen ist nicht erforderlich.
Wie Sie aus Abb. 4-2 erkennen können, ermöglicht der thermodynamische Systembegriff die Reduzierung eines beliebig komplexen Systems, in diesem Fall ein
Flugzeugtriebwerk, auf eine einfache Strichpunktlinie. Ohne die geringsten Kenntnisse hinsichtlich der Funktionsweise des Triebwerks ist es möglich eine Aussage
über der Schub zu treffen, sofern Sie eine Bilanz der ein- und austretenden Energie- und Masseströme an der Systemgrenze erstellen.
90
4. Strömung von Fluiden
Zapfluft
Kabineninnendruck
Zapfluft
Enteisung Kerosin
angesaugte
Luft
Abgasstrahl
Systemgrenze
Elektrische Leistung
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Systemgrenze
Abb. 4-2: Energie- und Masseströme an einem Flugzeugtriebwerk (V2500 – MTU
Aero Engines AG)
Bei den eintretenden Masseströmen handelt es sich um die angesaugte Luft (
, )
und den zugeführten Brennstoff (
).
Für
den
austretenden
Massestrom
(
,
, )
gilt
,
,
, . Im Abgasstrahl finden Sie wieder die angesaugte Luft
zusammen mit dem verbrannten Kerosin. Zusätzlich kann noch für die Enteisung
(
, ) und für die Aufrechterhaltung des Kabineninnendrucks (
, ) Luft abgeführt werden.
Die Wärmeströme sind ebenfalls übersichtlich. Zugeführt wird der Brennwert des
Treibstoffs durch das Kerosin ( , ), abgeführt wird die Wärme im Wesentlichen
durch den heißen Abgasstrahl ( , ). In Abhängigkeit von dem Enteisungssystem
91
4 Strömung von Fluiden
kann noch zusätzliche Wärme vom Triebwerk für die Enteisung abgeführt werden
( , ) 19.
Ähnlich wie ein Automobil benötigt auch ein Flugzeug elektrische Energie (=
technische Arbeit, , ) für die Bordstromversorgung. Diese wird über einen an
das Treibwerk angeschlossenen Generator erzeugt.
Transportenergie
Die Energieanteile, die über die Systemgrenze transportiert werden, bezeichnet
man als Transportenergien. Das sind die spezifische Wärme q12, die spezifische
technische Arbeit wt,12 und die spezifische dissipierte, also die Verlustenergie ediss20.
In der noch zu entdeckenden reibungsfreien Welt würde dieser Term verschwinden.
,
Systemenergie
Die Energieanteile, die sich innerhalb der Systemgrenze verändern können, werden
als Systemenergien bezeichnet. Das wären die spezifische kinetische Energie
1/2(c22-c12), die spezifische potentielle Energie g(z2-z1), die spezifische innere
Energie u2-u1 und die spezifische Druckenergie p2v2- p1v1. Unter der spezifischen
inneren Energie u versteht man den Energieanteil, der sich infolge der Temperatur
ergibt:
∙
Wobei cv die spezifische Wärme bei konstantem Volumen beschreibt. Damit erhalten Sie für die spezifischen Systemenergien
1
∙
2
∙
∙
∙
Es gilt
also
,
1
∙
2
∙
∙
∙
In dieser Bilanz steckt nun alles, was an unterschiedlichen Energien die Systemgrenze überschreitet, beziehungsweise was sich an den Grenzen ändert kann. Diese
Energiebilanz oder auch Energieerhaltungssatz ist nichts anderes als der sagenumwobene erste Hauptsatz der Thermodynamik.
––––––––––
19
Es empfiehlt sich aus mehreren Gründen die Temperatur des Abgasstrahls möglichst weit abzusenken. Ersten erhöhen Sie den Wirkungsgrad des Triebwerks, wenn möglichst wenig thermische
Energie wieder das System verlässt und zweitens erhöhen Sie bei militärischen Treibwerken Ihre
Überlebenswahrscheinlichkeit, da sich der Infrarotsuchkopf einer Luft/Luft- oder Boden/LuftRakete immer an dem heißen Abgasstrahl orientiert.
20
Thermodynamiker arbeiten gerne mit sogenannten spezifischen Größen, das heißt die entsprechende Größe, also beispielsweise die Wärme Q12 wird auf die Masse m oder den Massestrom
im
⁄ .
System bezogen. Diese spezifischen Größen erkennen Sie an der Kleinschreibung:
92
4. Strömung von Fluiden
Bei einer Wärmekraftmaschine wären Sie sehr wahrscheinlich an der Leistung P
der Maschine interessiert. Die Leistung erhalten Sie aus der Bilanz indem Sie diese
nach der spezifischen Arbeit , auflösen und mit dem Massestrom multiplizieren.
∙
,
Enthalpie
Die beiden Energieanteile innere Energie und Druckenergie lassen sich zu einem
neuen Anteil zusammenfassen, der sogenannten Enthalpie. Unter Verwendung der
spezifischen Größen ergibt sich für die spezifische Enthalpie h
∙
Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmekapazität
Die spezifische innere Energie u und die spezifische Enthalpie h lassen sich durch
die sogenannten kalorischen Zustandsgleichungen beschreiben.
∙
∙
Die spezifische isobare Wärmekapazität cp [J/kgK] entspricht dem ersten Differentialquotienten der spezifischen Enthalpie h.
,
∙
Für die spezifische innere Energie u gilt
∙
∙
Die spezifische isochore Wärmekapazität cv [J/kgK] entspricht dem ersten Differentialquotienten der spezifischen inneren Energie u.
,
∙
Wobei v = V/m = 1/ das spezifische Volumen mit der Einheit [m³/kg] bezeichnet.
Enthalpie und innere Energie fester und flüssiger Phasen
Sofern Sie die Kompressibilität vernachlässigen können, fallen die spezifische isobare und die spezifische isochore Wärmekapizität zusammen.
Bei einer Zustandsänderung von einem Ausgangspunkt (1) zu einem Endpunkt (2)
ändert sich die spezifische innere Energie u entsprechend
∙
Analog ändert sich die spezifische Enthalpie h
,
,
∙
∙
93
4 Strömung von Fluiden
Enthalpie und innere Energie idealer Gase
Bei idealen Gasen entfällt die Druckabhängigkeit der spezifischen Wärmen. Es gilt
für die isochore Wärmekapazität cv
also
∙
und somit für die Änderung der spezifischen inneren Energie u
∙
Entsprechend gilt für die isobare Wärmekapazität cp
also
∙
und somit für die Änderung der spezifischen Enthalpie h
∙
Da die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmen identisch ist, entfällt diese Abhängigkeit für die spezifische Gaskonstante R.
.
Bei Zustandsänderungen, die über einen großen Temperaturbereich verlaufen, ist
die Kenntnis der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten unabdingbar. Sind diese Temperaturänderungen vergleichsweise klein, können cp und
cv als konstant angenommen werden. Die Berechnung der spezifischen inneren
Energie und der spezifischen Enthalpie vereinfacht sich dadurch entsprechend
∙
beziehungsweise
∙
Damit haben Sie den kurzen Ausflug in die Thermodynamik erstmal überstanden.
Wenn Sie mithilfe dieser Bilanz, also dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik,
ein durchströmtes System betrachten, dann erhalten Sie ein vollständiges Bild des
Geschehens, zumindest was die Energie- und Masseströme betrifft. Die meisten
dieser Anteile können Sie in aller Regel messtechnisch sehr gut erfassen. Bei den
Transportenergien wären das die technische Arbeit wt,12 und die Wärme q12. Die
Arbeit können Sie bei einer Maschine über eine einfache Drehmomentmessung bestimmen. Die zugeführte Wärme entspricht dem Brennwert des Kraftstoffs und die
abgeführte Wärme lässt sich aus der Abgastemperatur ermitteln. Bei den Systemenergien, also kinetische, potentielle, Druck- und innere Energie handelt es sich
ebenfalls um leicht messbare Parameter. Messgrößen sind die Temperatur, der
Druck, die Geometrie und die Strömungsgeschwindigkeiten zur Bestimmung der
94
4. Strömung von Fluiden
Masseströme. Etwas schwieriger verhält es sich mit der dissipierten Energie ediss.
Bei Rohrströmungen lässt sich auch dieser Term mit hinreichender Genauigkeit berechnen, ansonsten ist eine Bestimmung erst nachträglich über eine Messung des
Wirkungsgrades 21 möglich. Also einem Vergleich zwischen zugeführter Energie
und abgeführter Arbeit.
|
|
|
,
|
1
,
Für sehr viele Anwendungsfälle ist es aber gar nicht erforderlich solch eine allumfassende Bilanz im Sinne des ersten Hauptsatzes zu erstellen. Dazu betrachten Sie
folgendes Beispiel.
Übung 4-1
Nach erfolgreichem Abschluss Ihres Studiums haben Sie von Ihrem ersten Gehalt
als Ingenieur eine schöne Berghütte in den Alpen erworben. Relativ schnell bemerken Sie den Grund für den günstigen Kaufpreis. Es findet sich zwar fließendes
Wasser in Form eines Bachlaufs vor der Hütte, jedoch kein elektrischer Strom.
Leicht irritiert von den permanenten Auseinandersetzungen mit Ihrer besseren
Hälfte über den Geschirrabwasch, beschließen Sie die Installation eines kleinen
Wasserkraftwerks. Immerhin sind Sie ja Ingenieur und möchten einen positiven
Beitrag zu Ihrer Beziehung liefern.
Welche Überlegungen sollten Sie anstellen, bevor Sie die Spülmaschine im Tragegestell auf den Berg schleppen?
4.3.2 Voraussetzungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung
Ausgehend von dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhalten Sie die
Bernoulli-Gleichung22, sofern Sie eine Reihe von Vereinfachungen treffen. Diese
bestehen im Wesentlichen darin, dass Sie die Transportenergien vernachlässigen.
Es gilt also
,
0
Für diese Annahmen werden Sie in der Realität sehr viele Beispiele finden. Denken
Sie beispielsweise an ein durchströmtes Rohrleitungssystem. Es enthält keine
Brennkammer oder Wärmetauscher, also gilt q12 = 0. Sofern Sie keine Arbeitsmaschine, also einen Kompressor, eine Pumpe oder eine Turbine vorfinden, wird keine technische Arbeit verrichtet. Es gilt also wt,12 = 0. Die dissipierte Energie kann
bei realen Prozessen natürlich nie verschwinden, da jeder reale Prozess verlustbehaftet ist. Aber trotzdem ist die Annahme ediss = 0 sehr praktisch, da sie die theore––––––––––
21
Gelegentlich wird auch heute noch der Versuch unternommen Maschinen zum Patent anzumelden,
deren thermodynamischer Wirkungsgrad größer eins beträgt. Das wäre ein sogenanntes Perpetuum Mobile, also eine Maschine, die mehr Arbeit erzeugt, als man Energie hineinsteckt. Dies steht
in einem gravierenden Widerspruch zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Die Pariser Akademie der Wissenschaften beschloss bereits im Jahr 1775 keine Patentanmeldungen mehr für solche Maschinen anzunehmen.
22
Der Name Bernoulli steht für eine schweizer Familie mit Ursprüngen in den Niederlanden und
Verzweigungen nach Deutschland, die über mehrere Generationen sehr erfolgreiche Mathematiker,
Architekten und Künstler hervorbrachte. Die hier angesprochene Gleichung geht auf Daniel
Bernoulli (08.02.1700 – 17.03.1782) zurück.
95
4 Strömung von Fluiden
tische, maximale Obergrenze festlegt, die auch durch die geschickteste Prozessführung nicht erreicht und auch nie überschritten werden kann.
Bei den Systemenergien gehen Sie von einer konstanten inneren Energie aus. Das
heißt nichts anderes, als dass die Temperatur konstant bleibt. Betrachten Sie beispielsweise einen durchströmten Gartenschlauch. Ohne größeren Fehler können Sie
davon ausgehen, dass die Wassertemperatur sich auf dem Weg vom Wasserhahn
bis zum Schlauchende kaum verändert.
Also was bleibt dann noch von dem ersten Hauptsatz? Aus
,
1
∙
2
∙
∙
∙
wird die Bernoulli-Gleichung
0
1
∙
2
∙
∙
∙
Diese schöne Gleichung lässt sich auf mehrere Arten umformen. Der Grundgedanke ist immer der Gleiche. Die Bernoulli-Gleichung entspricht einer Bilanz entlang
einer Stromlinie, die von einem Startpunkt zu einem Endpunkt verläuft. Aufgrund
der Annahme der Reibungsfreiheit ist die Gesamtenergie eges, der Gesamtdruck pges
oder auch die Gesamthöhe hges entlang der Stromlinie immer konstant.
dynamischer
potentieller
statischer
Anteil
Anteil
Anteil
Gesamtgröße
spezifische Energiegleichung
∙
+
∙
∙
+
=
eges [J/kg]
=
pges [Pa]
=
hges [m]
Druckgleichung
∙
+
∙
∙
+
Höhengleichung
∙
∙
+
+
∙
Tab. 4-1 Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
Die konstante Gesamtgröße, also in Abhängigkeit von der gewählten Formulierung
für die Bernoulli-Gleichung wahlweise die spezifische Gesamtenergie eges, der Gesamtdruck pges oder die Gesamthöhe hges, setzt sich diese immer aus drei Anteilen
zusammen. Im Fall des Gesamtdrucks wären das der dynamische Druck /2c2, der
potentielle Druck gh und der statische Druck p. Diese drei Anteile können sich
auf dem Weg entlang einer Stromlinie beliebig verändern, die Summe bleibt jedoch
96
4. Strömung von Fluiden
immer konstant. In Abb. 4-3 ist dies am Beispiel einer durchströmten Rohrleitung
mit veränderlichem Querschnitt und veränderlicher Höhe skizziert.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
z
g
pges
p
2 c2
gz
x
Abb. 4-3: Aufteilung von statischem, dynamischen und potentiellem Druck
Im weiteren Verlauf werden der Startpunkt der Bilanz immer mit (1) und der Endpunkt mit (2) gekennzeichnet. Sie werden später aber auch wesentlich komplexere
Beispiele mit unterschiedlich vielen Kontrollpunkten bearbeiten.
Die Anwendung der Bernoulli-Gleichung soll im folgenden Beispiel verdeutlicht
werden.
Übung 4-2
In Abb. 4-4 ist eine Kraftstoffleitung mit einer Messblende zur Durchflussmessung
skizziert. Vor der Blende (1) und in der Blende (2) befinden sich je eine Druckbohrung zur Messung des statischen Drucks. Der Innendurchmesser der Leitung beträgt d1 = 10 mm. Der engste Querschnitt der Blende beträgt d2 = 5 mm.
Die gemessenen statischen Drücke betragen p1 = 10.000 Pa und p2 = 9.800 Pa. Die
Dichte des Kraftstoffs beträgt  = 720 kg/m³.
Gesucht ist der Kraftstoffdurchfluss
l⁄h .
97
4 Strömung von Fluiden
z
(1)
(2)
g
p1
p2
Abb. 4-4: Kraftstoffleitung mit Messblende
4.4
Strömungen mit Energietransport
In Abb. 4-3 sind die drei Druckanteile, die in der Bernoulli-Gleichung enthalten
sind für eine einfache Rohrleitung skizziert. Infolge der Änderung von Höhe und
Querschnitt verändern sich der potentielle, der kinetische und damit auch der statische Anteil. Die Summe aus allen drei Anteilen bleibt jedoch über die gesamte
Laufstrecke konstant. Das ist ein System ohne Energietransport, also ohne eine Arbeitsmaschine wie beispielsweise eine Turbine oder eine Pumpe.
4.4.1 Arbeitsmaschinen zur Energiezufuhr
Eine Arbeitsmaschine zur Energiezufuhr bedeutet, dass durch diese Maschine mechanische Arbeit in Strömungsenergie umgewandelt wird. Das wäre die Aufgabe
einer Pumpe oder eines Kompressors. In diesem Fall wäre die Bernoulli-Gleichung
nicht mehr anwendbar, da die Annahme einer konstanten Gesamtenergie oder eines
konstanten Gesamtdrucks nicht mehr zutrifft. An der Stelle, an der sich die Pumpe
befindet, wird der Gesamtdruck oder auch die Gesamtenergie in der Strömung erhöht. Die Bernoulli-Gleichung muss also um einen Arbeitsterm erweitert werden.
Im Fall der spezifischen Energiegleichung wäre das die spezifische technische Arbeit wt,12, die Sie bereits aus der Formulierung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik kennen.
1
∙
2
∙
,
1
∙
2
∙
Bei der Druckgleichung erscheint die Druckerhöhung durch die Pumpe pPumpe
2
∙
∙
∙
∆
2
∙
∙
∙
und in der Höhengleichung die sogenannte Nutzhöhe Hnutz
1
∙
2∙
98
∙
1
∙
2∙
∙
4. Strömung von Fluiden
4.4.2 Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr
Bei Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr liegen die Verhältnisse völlig analog zu
der Situation bei Maschinen mit Energiezufuhr. Solch eine Maschine wäre beispielsweise eine Turbine. Der einzige Unterschied besteht darin, dass diese Maschinen Strömungsenergie in mechanische Arbeit umwandeln. Die Gesamtenergie
oder auch der Gesamtdruck in der Strömung wird verringert. Die Formulierungen
der spezifischen Energiegleichung, der Druckgleichung und auch der Höhengleichungen sind identisch mit den Formulierungen für die Energiezufuhr von Kapitel
4.4.1. Das bedeutet, dass der Arbeitsterm infolge der Maschine auch hier positiv
auf der linken Seite der Bilanz gesetzt wird. Das mag etwas verwundern, da ja
Energie aus dem System abgeführt wird, aber damit bleiben Sie bei der thermodynamischen Notation, dass zugeführte Ströme positiv und abgeführte Ströme negativ
sind. Wenn Sie die Bilanz nach dem Arbeitsterm, also beispielsweise der Druckänderung pMaschine auflösen, dann erhalten Sie im Fall einer Pumpe (= Energiezufuhr) einen positiven Wert für die Druckänderung. Im Fall einer Turbine (= Energieabfuhr) erhalten Sie einen negativen Wert für die Druckänderung.
Wie sich die einzelnen Druckanteile durch den Einbau einer Turbine an der Stelle
(4‘) in das Rohrleitungssystem von Abb. 4-3 verändern, ist in Abb. 4-5 skizziert.
(1)
(2)
(3)
(4)
(4')(5)
(6)
z
g
pges
pTurbine
p
2 c2
gz
x
Abb. 4-5: Einfluss einer Turbine auf die Aufteilung der Druckanteile
99
4 Strömung von Fluiden
Übung 4-3
In einem Teich liegt in der Tiefe h4 unter dem konstanten Wasserspiegel eine
Tauchpumpe zum Betrieb eines Springbrunnens. An der Stelle (1) saugt die Pumpe
das Wasser an und erzeugt mit der Düse an der Stelle (4) eine Fontäne, die die Höhe h6 über der Wasseroberfläche erreicht.
6
h6
p0
g
4
0
d4
W
d2
h4
d1
1
2
3
Abb. 4-6: Tauchpumpe zum Betrieb eines Springbrunnens
Bei allen folgenden Betrachtungen können Sie von einer reibungsfreien Strömung
ausgehen.
1. Geben Sie die Geschwindigkeiten im Ansaugrohr vor der Pumpe c1, im Austrittsrohr hinter der Pumpe c2 und an der Düse c4 als Funktion der in der Zeichnung
gegebenen Größen an.
2. Geben Sie die Leistung P der Pumpe als Funktion der gegebenen Größen an
3. Berechnen Sie die Leistung P der Pumpe für folgende Werte
d1 = 0,08 m, d2 = 0,058 m, d4 = 0,04 m, h4 = 3,0 m, h6 = 20,387 m, W = 1000
kg/m³, p0 = 1 bar
100
4. Strömung von Fluiden
4.5
Grenzschichtströmungen
Ende des 19. Jahrhunderts waren die vollständigen Bewegungsgleichungen für inkompressible, reibungsbehaftete Fluide in Form der Navier23-Stokes24-Gleichungen
zwar bekannt, jedoch aufgrund der mathematischen Komplexität nur für wenige
Ausnahmefälle lösbar. Unter der Annahme, dass aufgrund der vergleichsweise geringen Zähigkeitswerten von Luft oder Wasser, die Reibung vernachlässigbar sei,
entwickelte sich ausgehend von den Euler25schen (= reibungsfreien) Bewegungsgleichungen die sogenannte theoretische Hydrodynamik. Bedauerlicherweise
herrschte jedoch eine beträchtliche Diskrepanz zwischen den Ergebnissen der theoretischen Hydrodynamik und den Ergebnissen experimenteller Untersuchungen.
Insbesondere was die Vorhersage von Druckverlusten in Rohrleitungen oder dem
Widerstand von umströmten Schiffsrümpfen betraf.
Die entscheidende Wende kam mit den Arbeiten von Ludwig Prandtl26, der seine
Ergebnisse erstmals auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongress im Jahr 1904
unter dem Titel “Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung“ vorstellte.
Darin wurde das Konzept formuliert, dass sich die Strömung um einen Körper in
zwei Bereiche unterteilen lässt. Eine sehr dünne Schicht im wandnahen Bereich, in
der die Reibung eine signifikante Rolle spielt, der sogenannten Grenzschicht und
dem äußeren Strömungsbereich, in dem die Reibung nur noch eine untergeordnete
Rolle spielt.
Entstehung einer Grenzschicht
Im ersten Kapitel haben Sie bereits das Konzept einer idealen, reibungsfreien
Strömung kennengelernt. Dieses Bild entspricht dem Ansatz der bis zu Beginn des
20. Jahrhunderts von der theoretischen Hydrodynamik durch die Berechnung von
Potentialströmungen verfolgt wurde. Aufgrund der Vernachlässigung der Reibung
ergibt sich aber für einen symmetrischen Körper das Ergebnis, dass dieser nicht nur
keine Kraft quer zur Strömungsrichtung erzeugt, was für eine Anströmung entlang
der Symmetrieachse mit der Realität übereinstimmt, sondern auch keinen Widerstand in Strömungsrichtung aufweist. Ein asymmetrischer Körper oder ein symmetrischer Körper, der unter einem Anstellwinkel ungleich null angeströmt wird, würde zwar eine Querkraft (=Auftrieb) senkrecht zur Anströmrichtung aber immer
noch keinen Winderstand in der Anströmrichtung erzeugen. Sofern Sie einmal in
einer fernen Galaxis den reibungsfreien Planeten gefunden haben, könnten Sie beispielsweise ein Flugzeug in der gewünschten Flughöhe auf Reisefluggeschwindigkeit beschleunigen und anschließend die Treibwerke abschalten. Der Tragflügel
würde den erforderlichen Auftrieb erzeugen, aber da kein Widerstand auftritt, benötigen Sie auch keine Triebwerke um diesen zu kompensieren. Soweit die reibungsfreie, ideale Betrachtung.
––––––––––
23
Navier, Claude Louis Marie Henri (10.02.1785 – 21.08.1836), französischer Mathematiker und
Physiker, formulierte 1822 die nach ihm benannte Navier-Stokes Gleichung für viskose Flüssigkeiten
24
Stokes, George Gabriel (13.08-1819 – 01.02.1903), irischer Mathematiker und Physiker
25
Euler, Leonhard (15.04.1707 – 18.09.1783), schweizer Mathematiker und Physiker
26
Prandtl, Ludwig (04.02.1875 – 15.08.1952), bayrischer Physiker, ab 1909 Leiter der Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen (AVA), heute DLR. Neben der Grenzschichttheorie waren wesentliche Ergebnisse seiner Arbeit die Traglinien- und die Tragflächentheorie zur Auftriebsberechnung am Tragflügel. Ebenso die Berechnung von Kompressionseffekten im hohen Unterschall
(Prandtl-Glauert-Transformation) und Untersuchungen im Bereich von Überschallströmungen zusammen mit Adolf Busemann.
101
4 Strömung von Fluiden
Reale Strömungen sind natürlich reibungsbehaftet und dadurch gekennzeichnet,
dass infolge der Reibung die Strömung an der Körperoberfläche auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird. Dieser Umstand wird als sogenannte Haftungsbedingung bezeichnet. Eine wesentliche Rolle spielt hierbei die Zähigkeit oder auch
Viskosität des Fluids. Die Viskosität stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit der
Teilchen innerhalb des Fluid dar. Unterschieden wird zwischen der dynamischen
und der kinematischen Viskosität. Die dynamische Viskosität  [Pas] lässt sich
beispielsweise durch einen Plattenzugversuch ermitteln. Hierbei wird mit konstanter Geschwindigkeit c eine Platte mit der Oberfläche A über einen dünnen Flüssigkeitsfilm der Dicke dy gezogen. Dabei wird die erforderliche Zugkraft F mittels einer Federwaage bestimmt. Die resultierende Schubspannung  ist proportional dem
Geschwindigkeitsgradienten in dem Fluid senkrecht zur Oberfläche.
∙
Die kinematische Viskosität  [m²/s] ergibt sich aus der dynamischen Viskosität
entsprechend
Der wandnahe Bereich, in dem die Strömung von der Geschwindigkeit null auf der
Körperoberfläche bis zur Geschwindigkeit der Außenströmung beschleunig wird,
wird als Grenzschicht bezeichnet. Die Dicke  dieser Schicht wird dadurch festgelegt, dass an dieser Stelle der Geschwindigkeitsgradient dc/dy fast verschwindet.
Das heißt, dass die Geschwindigkeit ca am Grenzschichtrand mit der Geschwindigkeit der freien Außenströmung c∞ näherungsweise übereinstimmt. Auf Prandtl geht
folgende Festlegung zurück
0,99 ∙
4.5.1 Strömungsgrenzschicht
Bei Strömungen in Körpernähe liegen die Zähigkeitskräfte in der gleichen Größenordnung wie die Trägheitskräfte. Dieses Kräfteverhältnis in der Grenzschicht wird
durch die sogenannte Reynolds27-Zahl Re beschrieben.
∙
mit
c∞
Strömungsgeschwindigkeit
lref
Bezugslänge, beispielsweise die Länge einer angeströmten Platte

kinematische Viskosität
Mit zunehmendem Abstand von der Körperoberfläche nehmen die Zähigkeitskräfte
aufgrund des kleiner werdenden Geschwindigkeitsgradienten immer mehr ab.
Dadurch nähert sich die Außenströmung dem Verhalten einer idealen, reibungsfreien Strömung an.
––––––––––
27
102
Reynolds, Osborne (23.08.1842 – 21.02.1912, britischer Physiker, bekannt durch grundlegende
Arbeiten zur Strömungsmechanik und Turbulenz in Rohrströmungen
4. Strömung von Fluiden
In Abb. 4-7 ist der Aufbau einer Strömungsgrenzschicht an der Oberfläche einer
längs angeströmten Platte dargestellt. Im Falle einer laminaren (= gleichmäßig geschichteten) Anströmung baut sich ab der Plattenvorderkante mit zunehmender
Lauflänge x eine zunächst laminare Strömungsgrenzschicht der Dicke S(x) auf. Im
weiteren Verlauf sind zwei Varianten möglich. Entweder die Strömungsgrenzschicht behält bis zum Plattenende ihre laminare Struktur bei oder ab einem bestimmten Punkt, dem Umschlag- oder Transitionspunkt, nimmt die Strömungsgrenzschicht eine turbulente (= verwirbelte) Struktur an. Ob dieser Umschlag
stattfindet oder nicht hängt von dem Turbulenzgrad der Anströmung und der Rauheit der Körperoberfläche ab. Stromabwärts von dem Umschlagpunkt bildet sich
zwischen der Körperoberfläche und der turbulenten Grenzschicht noch eine laminare Unterschicht mit der Dicke U(x‘) aus. Dabei wird mit x‘ die Lauflänge der
turbulenten Grenzschicht ab dem Umschlagpunkt bezeichnet.
y
c(x,y)
turbulent
laminar
S(x)
cW = 0
x
c(x,y)
xU = xkritisch
cW = 0
U(x)
Umschlagpunkt laminare Unterschicht
x'
Abb. 4-7: Strömungsgrenzschicht an einer ebenen Platte
4.5.2 Temperaturgrenzschicht
Bei der Strömungsgrenzschicht wurden die unterschiedlichen Geschwindigkeitsprofile im körpernahen Bereich betrachtet. Insbesondere bei kompressiblen Fluiden
spielen aber auch die Temperaturabhängigkeiten der Dichte und der Viskosität eine
besondere Rolle. Temperaturunterschiede zwischen der Grenzschicht und der Körperoberfläche sind verantwortlich für Wärmeaustauschvorgänge zwischen der Außenströmung und dem umströmten Körper. Die Dicke T der sich dadurch ausbildende Temperaturgrenzschicht ist in der Regel nicht identisch mit der Dicke S der
Strömungsgrenzschicht. Entsprechend Abb. 4-8 können in Abhängigkeit von dem
Temperaturgradienten an der Wand (T/y)W drei unterschiedliche Fälle auftreten:
-
Die Körperoberfläche ist wärmedurchlässig (= diabate Wand) und der
Temperaturgradient (T/y)W ist positiv. Dadurch erfolgt eine Wärmeübertragung vom Fluid an den Körper, Abb. 4-8a.
-
Die Körperoberfläche ist wärmeundurchlässig (= adiabate Wand) und der
Temperaturgradient (T/y)W ist null. Dadurch erfolgt keine Wärmeübertragung vom Fluid an den Körper, Abb. 4-8b.
-
Die Körperoberfläche ist wärmedurchlässig (= diabate Wand) und der
Temperaturgradient (T/y)W ist negativ. Dadurch erfolgt eine Wärmeübertragung vom Körper an das Fluid, Abb. 4-8c.
103
4 Strömung von Fluiden
y
y
T(x,y)
(dT/dy) W > 0  (x)

x
.
qW < 0
TW(x)
y
T(x,y)
(dT/dy) W = 0
x
T(x,y)
(dT/dy) W < 0
(x)
.
qW = 0
TW(x)
x
(x)
.
qW > 0
TW(x)
Abb. 4-8: Temperaturgrenzschicht an einer ebenen Platte a) diabate Wand
0, b) adiabate Wand
0, c) diabate Wand
0
Ähnlichkeitskennzahlen der Wärmeübertragung
Zur Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen in der Grenzschicht können
sogenannte Ähnlichkeitskennzahlen eingeführt werden.
Lokale Nußelt-Zahl
Die lokale Nußelt28-Zahl beschreibt den Wärmeübergang von der Oberfläche eines
Körpers an ein Fluid, wobei mit x die entsprechende Stelle, beispielsweise die
Lauflänge an einer ebenen Platte bezeichnet wird.
∙
mit


[W/m²K]
[W/mK]
Wärmeübergangskoeffizient
Wärmeleitfähigkeit
Der lokale Wärmeübergang [W/m²] ergibt sich entsprechend der Temperaturdifferenz zwischen Körperwand TW und am äußeren Rand der Temperaturgrenzschicht Ta mit der lokalen Nußelt-Zahl zu
∙
∙
Péclet-Zahl
Die Péclet29-Zahl ist die für die Wärmeleitung charakteristische Kennzahl und entspricht dem Produkt von Nußelt- und Prandtl-Zahl.
∙
∙
mit
c
[m/s]
Strömungsgeschwindigkeit
l
[m]
Lauflänge
[m²/s]
Temperaturleitfähigkeit
[J/kgK]
spezifische Wärme bei konstantem Druck
∙
cp
––––––––––
28
Nußelt, Wilhelm (25.11.1882 – 01.09.1957), deutscher Physiker und Begründer der Ähnlichkeitstheorie der Wärmeübertragung
29
Péclet, Jean Claude Eugène (10.02.1793 – 06.12.1857), französischer Physiker
104
4. Strömung von Fluiden
Prandtl-Zahl
Die Prandtl-Zahl Pr beschreibt das Verhältnis der Transporteigenschaften in einem
Fluid in Bezug auf Impuls infolge von Reibung und Wärme infolge von Leitung.
Dadurch lässt sich das Dickenverhältnis von Strömungsgrenzschicht und Temperaturgrenzschicht S/T charakterisieren. Diese Kennzahl ist eine reine Stoffgröße
und lässt sich für Gase näherungsweise als Funktion des Isentropenexponenten  =
cp/cv bestimmen.
4∙
9∙
5
Prinzipiell lassen sich für die Prandtl-Zahl vier Fälle unterscheiden:
-
Pr << 1: Die Dicke S der Strömungsgrenzschicht ist sehr klein im Verhältnis zur Dicke T der Temperaturgrenzschicht und kann somit vernachlässigt werden, also S ≈ 0. Für die Temperaturgrenzschicht gilt
⁄
~
⁄
∙
beziehungsweise
⁄
~
und
→0
-
Pr = 1: Die Dicke S der Strömungsgrenzschicht entspricht der Dicke der
Temperaturgrenzschicht T. Es gilt also S = T. Dieses Verhalten gilt für
die meisten Gase.
-
Pr >> 1: Die Dicke T der Temperaturgrenzschicht ist sehr klein im Verhältnis zur Dicke S der Strömungsgrenzschicht. Für die Temperaturgrenzschicht gilt
⁄
~
⁄
∙
beziehungsweise
⁄
~
und
→∞
-
0 < Pr < ∞: Für mittlere Prandtl-Zahlen mit 1/3 < n < 1/2 gilt
~
Eine brauchbare Näherung für Gase ergibt sich für Pr ≈ 1. Damit liegen die Dicken
der Temperatur- und der Strömungsgrenzschicht in der gleichen Größenordnung.
105
4 Strömung von Fluiden
4.5.3 Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie
Die Grundprinzipien der Prandtlschen Grenzschichttheorie sollen im Folgenden
am Beispiel einer ebenen, längs angeströmten Platte erläutert werden. Hierbei werden folgende Annahmen getroffen:
-
Die Platte wird mit einer konstanten Geschwindigkeit c∞ angeströmt
Die Oberfläche der Platte ist hydraulisch glatt
Das Fluid ist homogen
Laminare Strömungsgrenzschicht
Im zweidimensionalen Fall wird zur Vereinfachung der Schreibweise die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung (x-Richtung) cx = u und für die Geschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche (y-Richtung) cy = v gesetzt. Mit dem Index „a“ wird
der Zustand am äußeren Rand der Grenzschicht bezeichnet. Der Übergang der Geschwindigkeitsverteilung am Grenzschichtrand zur freien Außenströmung (Index
„∞“) verläuft stetig. Es gilt dort also (u/y)a = 0. Die Kontinuitätsgleichung lautet
in differentieller Schreibweise
0
und die Impulsgleichung
∙
∙
∙
∙
Im stationären Fall vereinfacht sich die Impulsgleichung zu
∙
∙
∙
∙
Mit
1
∙
∙
ergibt sich die Prandtlsche Grenzschichtgleichung
∙
∙
1
∙
∙
Eine Beschreibung zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung finden Sie
beispielsweise in Truckenbrodt30 (1999).
Als Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ergeben sich affine Geschwindigkeitsprofile, das bedeutet, sie unterscheiden sich lediglich durch einen
Maßstabsfaktor senkrecht zur Wand. Aus diesen Geschwindigkeitsprofilen lassen
sich nach Schlichting31 (1982) folgende einfache Lösungen für die laminare Plattengrenzschicht ermitteln.
––––––––––
30
Truckenbrodt, Erich (01.02.2017 – 21.12.2009), deutscher Strömungsmechaniker, entwickelte das
Tragflächenverfahren zur Auftriebsberechnung und das Grenzschichtquadraturverfahren
31
Schlichtung, Hermann (22.09.1907 – 15.06.1982) deutscher Strömungsmechaniker, nach ihm wurden die beim laminar/turbulenten Umschlag entstehenden Tolmien-Schlichting-Wellen benannt
106
4. Strömung von Fluiden
-
Dicke der Strömungsgrenzschicht S:
∙
5∙
~√
mit
 = /
kinematische Viskosität
x
Lauflänge
c∞
Geschwindigkeit der freien Außenströmung
-
Verdrängungsdicke 1:
Die Außenströmung wird durch die Strömungsgrenzschicht um die Verdrängungsdicke nach außen abgedrängt. Der umströmte Körper hat aus der Perspektive der
Strömung einen etwas größeren Querschnitt als im reibungsfreien Fall.
1
-
1,721 ∙
1
∙
3
∙
Impulsverlustdicke 2:
Die Impulsverlustdicke 2 beschreibt den reibungsbedingten Impulsverlust in der
Grenzschicht.
∙ 1
-
0,664 ∙
∙
Wandschubspannung W:
Infolge der Reibung des Fluids an der Wand entsteht eine Wandschubspannung.
0,332 ∙
∙
∙
0,332 ∙
∙
Die lokale Reynolds-Zahl Rex wird mit der Lauflänge gebildet.
-
Reibungsbeiwert cR der ebenen Platte:
1,328
2
∙
∙
Die Reynolds-Zahl Rel wird mit der Länge der angeströmten Platte gebildet.
-
Druckverteilung:
Bei einer laminaren Strömungsgrenzschicht kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass sich der Druck der Außenströmung auf die Grenzschicht aufprägt. Es gilt ⁄
0.
107
4 Strömung von Fluiden
Es kann lediglich in Strömungsrichtung ein Druckgradient vorliegen. Das hat
messtechnisch den großen Vorteil, dass sich der statische Druck in einer Strömung
durch Messung des Wanddrucks bestimmen lässt und kein Drucksensor in das
Strömungsfeld eingebracht werden muss.
Laminare Temperaturgrenzschicht
Ausgehend von der Wärmetransportgleichung
∙
∙
∙
∙
∙
∙
ergibt sich für Gase mit Pr = 1 die Temperatur in der Grenzschicht aus der Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit von den Randbedingungen für den
:
Wärmeübergang an der Wand
-
Adiabate Wand (
Für die wärmeundurchlässige Wand gilt
∙ 1
2∙
beziehungsweise
1
1
2
∙
1
Die Temperatur der Wand TW, die sogenannte adiabate Wandtemperatur oder auch
Eigentemperatur Te ergibt sich für Pr = 1 zu
2∙
∙ 1
∙ 1
1
2
∙
In diesem Fall entspricht die Wandtemperatur der Staupunkttemperatur, also der
Temperatur, auf die sich das Gas aufheizt, wenn es adiabat auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird.
Für Prandtl-Zahlen Pr  0 ergibt sich für die Wandtemperatur
∙
2∙
∙ 1
∙ 1
∙
1
2
∙
Der Faktor r = r(Pr) wird als Recovery-Faktor bezeichnet. Für ideale Gase gilt
r = Pr1/2 (laminar) und r = Pr1/3 (turbulent). Für Luft mit einer Prandtl-Zahl von
Pr = 0,71 nimmt der Recovery-Faktor den Wert r = 0,843 (laminar) beziehungsweise r = 0,892 (turbulent) an. Der Recovery-Faktor beschreibt das Verhältnis der
Aufheizung infolge Reibung zur Aufheizung infolge der Kompression, also
2∙
108
4. Strömung von Fluiden
-
Diabate Wand (
Für die wärmedurchlässige Wand gilt
∙ 1
∙
∙ 1
∙
2∙
beziehungsweise
1
1
Die Wandwärmestromdichte
2
∙
∙
ergibt sich für die Prandtl-Zahl Pr = 1 zu
∙
∙
∙
Die lokale Nußelt-Zahl ergibt sich zu
∙
∙
⁄
0,332 ∙
Für sehr kleine Prandtl-Zahlen Pr  0 gilt
∙
1
∙
∙
√
Für sehr große Prandtl-Zahlen Pr  ∞ gilt
∙
0,399 ∙
∙
⁄
∙
∙
⁄
Turbulente Strömungsgrenzschicht
Die Berechnung einer turbulenten Grenzschicht gestaltet sich deutlich schwieriger
als die Berechnung einer laminaren Grenzschicht. Entsprechend Abb. 4-7 besteht
das Strömungsfeld an einer ebenen Platte aus einer laminaren Anlaufstrecke bis
zum Transitionspunkt und ab dieser Stelle aus einer turbulenten Grenzschicht, die
jedoch durch eine dünne laminare Unterschicht von der Körperoberfläche separiert
ist. Die Länge dieser laminaren Anlaufstrecke hängt von der Reynolds-Zahl, dem
Turbulenzgrad der Strömung und der Rauigkeit der Körperoberfläche ab. Bei großen Reynolds-Zahlen oder durch das Aufbringen einer künstlichen Rauigkeit kann
die laminare Anlaufstrecke verkürzt werden oder ganz verschwinden.
Für die weitere Analyse werden die zeitlich gemittelten Werte für Geschwindigkeiten u und v , Temperatur T und Druck p sowie die Geschwindigkeitsänderungen u  und v  betrachtet. Die Kontinuitäts- und Impulsgleichung in differentieller
Form lauten somit
u v
 0
x y
 u 2 u   v  
  2u  2u 
 u
u 
p

   u   v         2  2     


x
y
x
x
y
x
y














   u 

 u   v  v 2 
  2v  2v 
v
v 
p

 v    
    2  2     


x
y
x
y
x
y 
x








109
4 Strömung von Fluiden
Aufgrund der Turbulenz sind die Beträge der Geschwindigkeitsänderungen in xals auch in y-Richtung näherungsweise von gleicher Größenordnung, das heißt es
gilt u   v  . Diese Geschwindigkeitsänderungen sind verantwortlich für das Auftreten von zusätzlichen Trägheitskräften (= Turbulenzkraft). Im Gegensatz zur laminaren Grenzschicht entspricht der Druck im Inneren der turbulenten Grenzschicht nicht dem Wert der freien Außenströmung.
̅
,
,
̅
∙ ̅
Eingesetzt in die Impulsgleichung in x-Richtung folgt

   u 


u
u 
p
  u

 v     a    
   u   v     
u 2  v 2
x
y 
x y  y
y



Der letzte Term kann wegen u   v  vernachlässigt werden. Der vorletzte Term in
Klammern beschreibt die durch die Turbulenz erzeugte Schubspannung  .
  
u
   u  v.
y
Von besonderem Interesse ist natürlich die Schubspannung direkt an der Körperoberfläche bei y = 0
∙
̅
Die Berechnung der gemittelten Werte kann nun aus der Kontinuitäts- und Impulsgleichung erfolgen
u v

0
x y

   u 

u
u 
p

 v     a 
x
y 
x y
Für die turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte ergeben sich nach Truckenbrodt (1999) folgende einfache Lösungen:
-
Dicke der turbulenten Grenzschicht S
0,37 ∙
∙
1
0,37 ∙
,
∙
Wobei x' die Lauflänge der turbulenten Grenzschicht ab dem Umschlagpunkt bezeichnet (Abb. 4-7).
-
Verdrängungsdicke der turbulenten Grenzschicht 1
0,01738 ∙
110
,
∙
1
∙
8
4. Strömung von Fluiden
-
Dicke der laminaren Unterschicht U
In direkter Wandnähe bildet sich auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund der
geringen Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare Unterschicht mit einer Stärke von 0,02 - 0,05turb aus. Die Strömungsverhältnisse im Inneren der laminaren Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke der Unterschicht U beträgt
,
∙ 77 ∙
mit Rex' = Reynolds-Zahl gebildet mit der Lauflänge x' der turbulenten Grenzschicht.
-
Reibungsbeiwert cR der ebenen, hydraulisch glatten Platte
Die Bedingung für eine hydraulisch glatte Oberfläche wird durch die Rauigkeit k 
kzulässig = 100l/Rel = 100/c beschrieben.
Bei turbulenter Grenzschicht ist zu unterscheiden, ob die Grenzschicht von Anfang
an turbulent ist oder erst nach einer laminaren Anlaufstrecke ab dem Transitionspunkt turbulent wird. In Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl lassen sich mehrere
Fälle unterscheiden. Mit der Definition des dimensionslosen Reibungsbeiwertes cR.
2
∙
∙
mit
W
[N]
Reibungswiderstand
S
[m²]
Fläche der Platte
Rel = cl/
auf die Plattenlänge l bezogenen Reynolds-Zahl
ergeben sich in Abhängigkeit von dem Zustand der Grenzschicht folgende Reibungsbeiwerte:
Reibungsbeiwert cR der ebenen Platte Strömungszustand
Kurve in Abb. 4-9
1,328
vollständig laminar
(1)
0,074
turbulent, Rel < 107
(2a)
turbulent, Rel > 107
(Prandtl–Schlichting)
(2b)
0,074
laminare Anlaufstrecke, gefolgt
von turbulenter Grenzschicht,
Rel < 107
(3)
0,455
,
log
laminare Anlaufstrecke, gefolgt
von turbulenter Grenzschicht,
Rel > 107
(Prandtl–Schlichting)
0,455
,
log
Tab. 4-2: Reibungsbeiwerte der ebenen, hydraulisch glatten Platte
111
4 Strömung von Fluiden
Bei Vorliegen einer laminaren Anlaufstrecke ist der Reibungsbeiwert um den
Prandtl-Korrekturfaktor A/Rel zu entsprechend Tab. 4-3 zu verringern.
Rekrit
3105
5105
106
3106
A
1050
1700
3300
8700
Tab. 4-3: Prandtl-Korrektur für eine laminare Anlaufstrecke
Dabei bezeichnet Rekrit = cxkrit/ die Reynolds-Zahl, die mit der Länge xkrit der
laminaren Anlaufstrecke bis zum Transitionspunkt gebildet wird.
In Abb. 4-9 ist der Verlauf des Reibungsbeiwertes in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl dargestellt. Die Berechnungen entsprechen den Gleichungen in Tab.
4-2: Reibungsbeiwerte der ebenen, hydraulisch glatten Platte.
Abb. 4-9: Reibungsbeiwert einer ebenen, hydraulisch glatten Platte
-
Reibungsbeiwert cR der ebenen, rauen Platte.
Der Reibungsbeiwert ergibt sich als Funktion von Reynolds-Zahl und relativer
Rauigkeit k/d.
Reibungsbeiwert cR der ebenen
Platte
1,328
0,455
,
log
0,074
,
1,89
1,62 ∙
Strömungszustand
Kurve Abb. 4-10
laminar
(1)
turbulent, glatt
Rel > 107
(Prandtl–Schlichting)
(2)
laminare Anlaufstrecke, gefolgt von turbulenter Grenzschicht,
Rel < 107
(3)
turbulent, rau
mit 10-6 < k/l < 10-2
(4)
Tab. 4-4: Reibungsbeiwerte der ebenen, rauen Platte
112
4. Strömung von Fluiden
Abb. 4-10: Reibungsbeiwert einer ebenen, rauen Platte
Turbulente Temperaturgrenzschicht
Die Wärmetransportgleichung für die laminare Grenzschicht lässt sich auch auf die
zeitlich gemittelten Parameter für die turbulente Grenzschicht anwenden. Die gemittelte Schubspannung
∙
̅
mit der Impulsaustauschgröße der turbulenten Bewegung
∙
∙ ̅
und die gemittelte Wärmestromdichte
∙
∙
mit der Wärmeaustauschgröße der turbulenten Bewegung Aq vereinfachen sich an
der Wand (y = 0) wegen A = Aq = 0 zu
  
T
u
und     
.
y
y
Wobei das Verhältnis der Austauschgrößen der turbulenten Bewegung als turbulente Prandtl-Zahl Pr' = A/Aq bezeichnet wird.
Die gemittelte stationäre Temperaturgrenzschicht an der ebenen Platte kann somit
beschrieben werden durch
113
4 Strömung von Fluiden
∙
∙
∙
̅∙
̅∙
beziehungsweise
∙
∙
∙
̅∙
∙
∙
Die lokale Nusselt-Zahl Nux = xx/ ergibt sich in Abhängigkeit von Prandtl- und
Reynolds-Zahl zu
,
0,0296 ∙
∙
(0,6 < Pr < 15 und Rekrit < Rex < 107)
,
(0,6 < Pr < 15 und 107 < Rex < 109)
beziehungsweise
∙
0,185 ∙
Für die mittlere Nusselt-Zahl Nul = l/, gebildet mit der Plattenlänge l mit einem
laminaren Anlaufbereich gilt
0,037 ∙
,
23100 ∙
(0,6 < Pr < 1000 und 5105 < Re < 107)
4.5.4 Ablösung der Grenzschicht
Prinzip der Strömungsablösung
Die Begeisterung einer Grenzschicht der Körperkontur zu folgen hängt im Wesentlichen von dem Druckgradienten in Strömungsrichtung dp/dx ab. Reibungsbedingt
wird die Grenzschicht in Wandnähe permanent verzögert, wodurch die kinetische
Energie verringert und in Wärme umgesetzt wird. Infolge der reduzierten Geschwindigkeit muss die Dicke der Grenzschicht in Strömungsrichtung zunehmen
um den konstanten Massestrom zu gewährleisten. Bei einem Druckabfall in Strömungsrichtung wird die Grenzschicht von der Außenströmung mitgezogen und
wird sich tendenziell eher für ein Verbleiben an der Körperwand entscheiden.
Anders verhält es sich, wenn ein Druckanstieg in Strömungsrichtung vorliegt. Die
bereits verzögerte Grenzschicht wird sich recht menschlich verhalten und den Weg
des geringsten Widerstandes wählen. Sie kommt erst zum Stillstand und es bildet
sich anschließend eine Rückströmung, welche die Außenströmung von der Körperwand abdrängt.
Das zwischen der abgelösten Strömung und der Körperwand entstehende Ablösegebiet wird auch als Totwassergebiet bezeichnet. Dieses Totwassergebiet ist jedoch
kein stabiles System, sondern es rollt sich zu einer Reihe von einzelnen Wirbeln
auf. Diese Wirbelballen werden teilweise von der Außenströmung mitgerissen und
im Fall einer laminaren Außenströmung sogar wieder teilweise laminarisiert.
Die unterschiedlichen Geschwindigkeitsverteilungen in der Grenzschicht für den
Fall der Ablösung sind in Abb. 4-11 skizziert. Im Übergangsbereich der Grenzschicht zur Außenströmung verschwindet in allen Fällen der Geschwindigkeitsgradient, (dc/dy)a = 0. Solange ein Druckabfall in Strömungsrichtung vorliegt nimmt
der Geschwindigkeitsgradient an der Wand einen positiven Wert an, (dc/dy)W > 0
114
4. Strömung von Fluiden
(Abb. 4-11a). Bei Vorliegen eines Druckanstiegs in Strömungsrichtung bildet sich
in der Geschwindigkeitsverteilung zuerst ein Wendepunkt W und der Gradient an
der Wand nimmt den Wert Null an, (dc/dy)W = 0 (Abb. 4-11b). Weiter stromabwärts wird der Gradient an der Wand negativ (dc/dy)W < 0, es bildet sich eine
Rückströmung und die Grenzschicht löst sich von der Körperwand ab (Abb.
4-11c).
y
y
ca(x)
ca(x)
y
(dc/dy)a = 0
(dc/dy)a = 0
(dc/dy)a = 0
c(x,y)
c(x,y)
c(x,y)
S(x)
ca(x)
S(x)
S(x)
W
(dc/dy) W > 0
Druckabfall dp/dx < 0
(dc/dy)W = 0
W
(dc/dy) W < 0
Druckanstieg dp/dx > 0
x
Abb. 4-11: Geschwindigkeitsprofile in der Strömungsgrenzschicht a) anliegende
Strömung, b) Stillstand c) Ablösung und Rückströmung
Kármánsche32 Wirbelstraße
Sollten Sie Ihr nächster Spaziergang über eine Brücke führen, bei der ein oder
mehrere Pfeiler im Wasser stehen, so können Sie mit etwas Glück folgenden Effekt
beobachten. In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie, können bei quer angeströmten Körpern der Breite b alternierend links- und
rechtsdrehende Wirbel an der Rückseite ablösen. Sofern der Abstand in Strömungsrichtung zwischen zwei Wirbeln d beträgt und sich das Verhältnis b/d = 0,28
bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil. Das sieht bei einem Flusslauf noch
sehr schön aus, kann aber bei quer angeströmten Antennen oder Drähten zur Bildung eines unangenehmen Pfeiftons führen. Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden. Bei Kaminen kommen gelegentlich
Metallwendeln zum Einsatz um die Bildung von Resonanzfrequenzen zu vermeiden.
––––––––––
32
Kármán, Theodore von (11.05.1881 – 07.05.1963), österreichisch-ungarische Physiker und Luftfahrttechniker, studierte an der Technischen Hochschule in Budapest Ingenieurwissenschaften und
arbeitete ab 1906 als Mitstreiter von Ludwig Prandtl in Göttingen. Neben seinen Arbeiten zur Plastizitätstheorie wurde von Kármán berühmt für die von ihm untersuchten Wirbelstrukturen, den sogenannten Kármánschen Wirbelstraßen. Im Jahr 1913 wurde er an die heutige RWTH-Aachen berufen
und im Jahr 1934 aufgrund seiner jüdischen Herkunft, wie viele seiner nicht-arischen Kollegen, aus
dem Staatsdienst entlassen. Da er bereits seit Mitte der 20er-Jahre auch in den USA, am California
Institute of Technology (Caltec) tätig war, verlegte er seine Tätigkeit vollständig in die USA und baute in Pasadena, Kalifornien das Jet Propulsion Laboratory auf. Zusammen mit Ludwig Prandtl gilt er
als einer der bedeutenden Begründer der modernen Aerodynamik.
115
4 Strömung von Fluiden
d
Nachlaufdelle
b
d
Abb. 4-12: Kármánsche Wirbelstraße mit Nachlaufdelle
Nachlaufdelle
Die Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, beispielsweise zur Erzeugung einer Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sich in einem Geschwindigkeits- beziehungsweise Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird als Nachlaufdelle (Abb. 4-12)
bezeichnet. Aus der Vermessung der translatorischen Geschwindigkeit, also der
Geschwindigkeit in Strömungsrichtung stromabwärts eines Körpers, kann aus dem
Impulsverlust in Strömungsrichtung der Widerstand des Körpers brechnet werden.
4.5.5 Transition
Der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömungsform wird als Transition bezeichnet. Unterschieden wird zwischen natürlicher Transition und erzwungener Transition.
Natürliche Transition
Analytisch lässt sich der Umschlagpunkt oder Transitionspunkt an einem angeströmten Körper nicht so ohne weiteres bestimmen. Einflussfaktoren sind
-
Reynolds-Zahl
-
Druckverlauf in der Außenströmung
-
Rauigkeit der Oberfläche des angeströmten Körpers
-
Turbulenzgrad der Anströmung
-
Körperform
Am Beispiel der längs angeströmten ebenen Platte (Abb. 4-7) wird deutlich, dass
der Umschlag erst nach einer bestimmten Anlaufstrecke xkrit erfolgt. Die mit dieser
Länge gebildete Reynolds-Zahl, wird als kritische Reynolds-Zahl bezeichnet und
liegt bei der ebenen Platte ungefähr bei
∙
3,2 ∙ 10
Bei sehr großen Reynolds-Zahlen beziehungsweise sehr turbulenter Anströmung
kann die laminare Anlaufstrecke allerdings vollständig entfallen und die Strömung
ist über die gesamte Körperoberfläche turbulent.
116
4. Strömung von Fluiden
Erzwungene Transition
Bei sehr geringen Geschwindigkeiten beziehungsweise sehr kleinen Bauteilabmessungen und damit sehr kleinen Reynolds-Zahlen, besteht die Möglichkeit, dass die
kritische Reynolds-Zahl erst gar nicht erreicht wird und die Grenzschicht bewahrt
ihren laminaren Charakter über die gesamte Länge des angeströmten Körpers. Um
nun trotzdem die Grenzschicht in einen turbulenten Strömungszustand zu versetzen
ist es erforderlich der Strömung, im wahrsten Sinn des Wortes „ein Bein zu stellen“. Mit Hilfe einer künstlich aufgebrachten Rauigkeit (Stolperdraht) lässt sich der
Umschlag vom laminaren in den turbulenten Zustand erzwingen. Aber warum sollte man so etwas tun? Wie Sie aus Abb. 4-9 und Abb. 4-10 sehen können, hat eine
laminare Grenzschicht immer einen kleineren Reibungsbeiwert als eine turbulente
Grenzschicht und der angeströmte Körper hat dadurch bei laminarer Anströmung
einen geringeren Reibungswiderstand als mit einer turbulenten Grenzschicht. Das
klingt doch erstmal sehr schön. Doch welches Interesse sollte jemand an einem erhöhten Reibungswiderstand haben?
Nun die Sache hat mehrere Gründe. Im nächsten Kapitel (Widerstand von Körpern)
werden Sie sehen, dass der Gesamtwiderstand von angeströmten Körpern sich
nicht nur aus dem Reibungswiderstand sondern noch aus einer ganzen Reihe von
weiteren Anteilen zusammensetzt. Ein wesentlicher Beitrag liefert beispielsweise
der Druck- oder Formwiderstand, der sich infolge der Grenzschichtablösung
ergibt. In Abhängigkeit von der Körperform kann dieser Druckwiderstand um einige Größenordnungen größer sein als der Reibungswiderstand. Die Größe des
Druckwiderstands hängt direkt von der Größe des Ablösegebiets im Nachlauf des
angeströmten Körpers ab. Das heißt je kleiner das Ablösegebiet ist, desto geringer
fällt der Druckwiderstand aus.
Eine laminare Grenzschicht mit vergleichsweise geringer kinetischer Energie, reagiert im Vergleich zu einer turbulenten Grenzschicht wesentlich anfälliger auf Störungen und löst daher viel schneller von der Körperoberfläche ab als eine turbulente Grenzschicht. Durch frühes Ablösen entsteht aber ein größeres Totwassergebiet
als durch eine weiter stromabwärts entstehende Ablösung. Das ist beispielsweise
der Grund, warum Golfbälle mit Dellen versehen sind. Diese wirken als „Stolperdraht“ und erzwingen eine turbulente Grenzschicht, die erst sehr spät ablöst und
dadurch nur ein kleines Totwassergebiet und damit einen sehr kleinen Druckwiderstand erzeugt.
In der Flugzeugtechnik finden sich einige weitere Anwendungen der erzwungenen
Transition. Wie Sie am Beispiel des Golfballes gesehen haben, folgt eine turbulente Grenzschicht wesentlich länger der Körperkontur als eine laminare Grenzschicht. Gerade bei Segelflugzeugen versucht man zur Widerstandsminimierung
eine möglichst laminare Strömung zu gewährleisten. Die Tragflügel sind aus diesem Grund mit sogenannten Laminarprofilen versehen. Solange Sie nur gerade aus
fliegen ist die Welt, zumindest was diesen Punkt angeht, noch in Ordnung. Wie Sie
aus Abb. 4-13 ersehen können, treten die Probleme erst dann auf, wenn Sie eine
Steuerfläche, beispielsweise ein Seitenruder, Höhenruder oder ein Querruder betätigen. Bei vollständig laminarer Umströmung, kann die Grenzschicht dem ausgeschlagenen Ruder nicht mehr folgen und löst ab (Abb. 4-13b). Damit haben Sie
gleichzeitig zwei Probleme erzeugt. Das erste besteht in der starken Widerstandserhöhung infolge des großen Ablösegebietes, das sich an dem Ruder bildet. Das ist
zwar unschön, aber noch nicht wirklich gefährlich. Wirklich problematisch gestaltet sich der zweite Effekt. Dadurch, dass sich die Strömung an der Steuerfläche ab117
4 Strömung von Fluiden
gelöst hat, bewegt sich das Ruder in einem Totwassergebiet. Wie der Name bereits
erahnen lässt, wird dadurch die Ruderwirksamkeit stark reduziert beziehungsweise
verschwindet vollständig.
Totwassergebiet
laminare Grenzschicht
laminare Grenzschicht
Zackenband
laminare Grenzschicht
turbulente Grenzschicht
Abb. 4-13: Umströmung eines Ruders a) ohne Zackenband b) mit Ausschlag, ohne Zackenband c) mit Ausschlag, mit Zackenband
Eine deutliche Verbesserung ergibt sich, wenn Sie die Grenzschicht kurz vor Erreichen des Ruders durch eine Stolperstelle in einen turbulenten Zustand zwingen. Bei
Segelflugzeugen geschieht das mittels Zackenbändern, die kurz vor der Ruderachse
aufgeklebt werden (Abb. 4-14). Die turbulente Grenzschicht hat zwar einen etwas
höheren Reibungswiderstand als die laminare Grenzschicht, aber dafür folgt die
Strömung deutlich besser der Kontur des Ruders und löst nicht ab (Abb. 4-13c).
Damit haben Sie zwei Vorteile erreicht. Es erfolgt kein starker Anstieg des Druckwiderstands und, was wesentlich wichtiger ist, Sie erhalten die Ruderwirksamkeit
aufrecht und damit die Fähigkeit das Flugzeug zu steuern.
Zackenband
Abb. 4-14: Zackenband am Seitenleitwerk eines Segelflugzeugs (DG303)
Einen weiteren Anwendungsbereich der erzwungenen Transition finden Sie bei der
Windkanalsimulation. Sofern Sie bei Ihrem Experiment lediglich das Modell maßstäblich verkleinern, wird aus der Definition der Reynolds-Zahl Re = clref/ sofort
ersichtlich, dass die Reynolds-Zahl mit dem Modellmaßstab sinkt, da die verwendete Bezugslänge lref mit dem Modellmaßstab linear verkleinert wird. Wird das Ex118
4. Strömung von Fluiden
periment bei gleicher Geschwindigkeit in dem gleichen Medium und bei der gleichen Temperatur durchgeführt wie am Original, so liegt am Model eine um den
Modellmaßstab zu kleine Reynolds-Zahl an.
Übung 4-4
Während Sie noch voller Besitzerstolz Ihr neues Fahrzeug betrachten, überlegen
Sie sich angesichts Ihrer durch den Neuerwerb entstandenen knappen Kassenlage,
ob sich der Kraftstoffverbrauch durch eine polierte Lackoberfläche senken lässt.
Sie erinnern sich daran, dass ein Körper mit einer laminaren Grenzschicht einen
deutlich geringeren Reibungswiderstand aufweist als mit einer turbulenten Grenzschicht und untersuchen die Verhältnisse auf der Kühlerhaube.
Dabei treffen Sie folgende Annahmen:
Über den gesamten Fahrzyklus sind Sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit
von c = 60 km/h unterwegs. Dabei bewegen Sie sich durch eine vollständig ruhende Luftmasse, in der die Standardbedingungen auf Meeresniveau herrschen. Also T = 15°C,  = 1,225 kg/m3 und  = 1,46210-5 m2/s. Die kritische Reynolds-Zahl
für den Umschlag von laminar zu turbulent schätzen Sie mit Rekrit = 3,2105 ab. Die
Oberfläche kann über die gesamte Lauflänge als hydraulisch glatt betrachtet werden.
1. Berechnen Sie die laminare Anlaufstrecke der Strömung auf der Kühlerhaube.
2. Berechnen Sie die Dicke S der laminaren Grenzschicht und den lokalen Reibungsbeiwert cR am Transitionspunkt, also bei xkrit.
3. Berechnen Sie die Dicke S der turbulenten Grenzschicht und den lokalen Reibungsbeiwert cR an einer Stelle, die einen Meter stromabwärts von der Vorderkante
der Motorhaube, also kurz vor der Windschutzscheibe liegt.
4. Berechnen Sie den gesamten Reibungsbeiwert der Motorhaube, wenn deren Gesamtlänge l = 1 m beträgt.
119
4 Strömung von Fluiden
4.6
Widerstand
Zum besseren Verständnis der physikalischen Prinzipien, die zum Widerstand umströmter Körper führen, lohnt sich wieder ein Ausflug in die Welt der Potentialströmungen auf dem noch zu entdeckenden reibungsfreien Planeten. In Abb. 4-15
ist ein zylindrischer Körper skizziert, der von der Seite angeströmt wird. Im reibungsfreien Fall folgt die Strömung jeder beliebigen Kontur ohne sich von der
Körperoberfläche abzulösen. Dadurch ergibt sich eine Stromlinienverteilung um
den Zylinder, die in Strömungsrichtung als auch quer zur Strömungsrichtung vollkommen symmetrisch ist. Es bildet sich sowohl auf der Zuströmseite als auch auf
der Abströmseite jeweils ein Staupunkt. Aufgrund der Symmetrie der Stromlinien
an der Ober- und Unterseite, als auch an der Zu- und Abströmseite sind die Druckverhältnisse ebenfalls symmetrisch. Das bedeutet, dass sich die Druckkräfte in
Strömungsrichtung als auch senkrecht zur Strömungsrichtung gegenseitig kompensieren. Der in Abb. 4-15a dargestellte Zylinder würde keinerlei Kräfte, also auch
keinen Widerstand erfahren. Würden Sie bei dem Zylinder die untere Hälfte wegschneiden, dann hätte dieser immer noch keinen Widerstand in Strömungsrichtung.
Jedoch würde auf der Unterseite die Querkraft F2 entfallen, da dort die Stromlinien
parallel verlaufen und keinerlei Druck- oder Geschwindigkeitsunterschiede auftreten. Auf den Zylinder wirkt somit nur noch die Querkraft F1. Der Umstand, dass in
einer zweidimensionalen, reibungsfreien Strömung ein asymmetrischer Körper
oder ein symmetrischer Körper, beispielsweise eine ebene Platte, der unter einem
Anströmwinkel ungleich null angeströmt wird, eine Querkraft senkrecht zur Anströmrichtung aber keinen Widerstand erfährt, wird als d’Alembert33sches Paradoxon bezeichnet.
F1
F1
Totwassergebiet
Staupunkt 1
Staupunkt 2
Staupunkt 1
W
F2
F2
Abb. 4-15: Umströmung eines zylindrischen Körpers a) reibungsfrei b) reibungsbehaftet
Da das Leben weitgehend in der realen, reibungsbehafteten Welt stattfindet, werden die Strömungsverhältnisse um den quer angeströmten Zylinder durch Abb.
4-15b etwas realistischer beschrieben. Der Zylinder erfährt zwar immer noch keine
Querkraft, jedoch eine Kraft in Strömungsrichtung. Das bedeutet, die physikalische
Ursache für diese Widerstandskraft liegt in der Reibung zwischen Fluid und Körperoberfläche. Diesen Widerstand können Sie beispielsweise in einem Strömungskanal, das kann ein Wasserkanal oder auch ein Windkanal sein, über eine Waage
messen. Das wäre dann der sogenannte Gesamtwiderstand des angeströmten Körpers. Im Folgenden werden wir untersuchen, in welche unterschiedlichen Anteile
sich der Gesamtwiderstand aufteilen lässt.
––––––––––
33
120
d’Alembert, Jean-Baptiste le Rond (16.11.1717 – 29.10.1783), französischer Philosoph, Mathematiker und Physiker
4. Strömung von Fluiden
4.6.1 Reibungswiderstand
Dieser Widerstandskomponente können Sie einfach nicht entrinnen. Alle weiteren
Widerstandsanteile können, müssen aber nicht auftreten. Wie Sie im letzten Kapitel
(Grenzschichttheorie) gesehen haben, wird die Strömung an der Körperoberfläche
auf die Geschwindigkeit null abgebremst, wodurch eine Wandschubspannung entsteht. Die Integration dieser Wandschubspannung über die Oberfläche ergibt den
Reibungswiderstand WR.
∙
2
∙
∙
mit
cR
[-]
dimensionsloser Beiwert des Reibungswiderstands

[kg/m³]
Dichte
c∞
[m/s]
Anströmgeschwindigkeit
O
[m²]
benetzte Oberfläche
Bei schlanken, zweidimensionalen Körpern, die unter einem moderaten Anströmwinkel angeströmt werden, wird die Strömung an der Körperoberfläche über den
gesamten Verlauf anliegen und es treten keine Ablösungseffekte auf. Damit besteht
der Gesamtwiderstand Wges ausschließlich aus dem Reibungswiderstand WR. Es gilt
also
Zur Berechnung des Reibungswiderstands können Sie in erster Näherung immer
die Reibungsbeiwerte der ebenen Platte verwenden, die Sie bereits im Kapitel 4.5.3
Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie kennengelernt haben.
4.6.2 Druckwiderstand
Wird die Strömung genötigt größere Richtungsänderungen zu vollziehen, so wird
diese eine eher geringe Neigung zeigen der Körperkontur zu folgen, löst von der
Körperoberfläche ab und bildet auf der Abströmseite ein Totwassergebiet. Auch
wenn es etwas befremdlich klingen mag, selbst wenn es sich um gasförmige Fluide
handelt, spricht man bei diesem Strömungsbereich von Totwasser Damit tritt zusätzlich zum Reibungswiderstand eine weitere Widerstandskomponente auf, der
sogenannte Druckwiderstand oder auch Formwiderstand WD. Die Ursache für die
Entstehung dieser Widerstandskomponente können Sie aus Abb. 4-15 ersehen.
Während im reibungsfreien Fall die Strömung der Kontur des Zylinders klaglos
folgt und auf der Zuström- als auch auf der Abströmseite jeweils einen Staupunkt
bildet (Abb. 4-15a), liegen die Verhältnisse im reibungsbehafteten Fall (Abb.
4-15b) auf der Abströmseite völlig anders. Um wie im reibungsfreien Fall der Kontur vollständig folgen zu können, müsste die Strömung auf der Abströmseite gegen
einen Druckanstieg, der sich durch die Geschwindigkeitsreduzierung ergibt, ankämpfen. Den Zusammenhang zwischen statischem Druck und Geschwindigkeit
können Sie ohne jegliche Berechnung direkt aus der Lage der Stromlinien erkennen. Rücken die Stromlinien enger zusammen (= kleinerer Strömungsquerschnitt)
muss die Geschwindigkeit ansteigen. Steigt die Geschwindigkeit, muss der statische Druck sinken. Vergrößert sich der Abstand der Stromlinien, wie beispielswei121
4 Strömung von Fluiden
se im Abströmbereich des Zylinders, so sinkt die Geschwindigkeit und der statische Druck nimmt wieder zu. Diesen Zusammenhang können Sie mit den beiden
Basisgleichungen der Strömungsmechanik, der Kontinuitäts- und der BernoulliGleichung (Kapitel 4.2 und 4.3) sehr einfach nachvollziehen.
So gesehen verhält sich die Strömung völlig menschlich, wählt den Weg des geringsten Widerstands und weicht in Richtung des niedrigeren Drucks nach außen
aus. Nun bildet sich an der Ablösestelle jedoch kein Vakuum, sondern ein Rückströmgebiet (siehe Abb. 4-11), das sich dann zu dem stark verwirbelten Totwassergebiet entwickelt. Der statische Druck in diesem Bereich ist jedoch deutlich geringer, als der statische Druck auf der Zuströmseite. Diese Druckdifferenz zwischen
Zuström- und Abströmseite ergibt den Druckwiderstand WD. Die Stärke des
Druckwiderstands hängt direkt von der Größe des Totwassergebiets ab, welches
wiederum von der Form des angeströmten Körpers abhängt. Daher werden Sie in
der Literatur für diesen Widerstandsanteil auch den Begriff Formwiderstand finden.
∙
2
∙
∙
mit
cD
[-]
dimensionsloser Beiwert des Druckwiderstands

[kg/m³]
Dichte
c∞
[m/s]
Anströmgeschwindigkeit
Sref
[m²]
Referenzfläche34
Bei einer Fahrt auf der Autobahn können Sie diesen Zusammenhang, zumindest bei
leichtem Schneetreiben oder Nieselregen, sehr schön nachvollziehen. Sofern Sie
mit einem aerodynamisch günstig geformten Sportwagen unterwegs sind, sind die
Wirbelschleppen, die Sie hinter sich her ziehen deutlich geringer, als wenn Sie mit
einem Familien-Van oder einem Transporter, beides Fahrzeuge mit einer großen,
flachen Rückseite, fahren. Die Stärke dieser Wirbelschleppen erkennen Sie direkt
an der Menge des Regenwassers, das Ihnen, beispielsweise beim Überholen eines
LKWs (mit einer flachen Rückseite) auf Ihrer Windschutzscheibe aufschlägt.
Dass diese Wirbelschleppen zum Widerstand beitragen können Sie sich an einer
einfachen Energiebilanz verdeutlichen. Bevor Sie mit Ihrem Fahrzeug ein beliebiges Kontrollvolumen auf der Autobahn durchquert haben, befand sich (idealerweise) die darin befindliche Luft in vollkommener Ruhe. Nachdem Sie durchgefahren sind, befinden sich in diesem Kontrollvolumen Ihre Nachlaufwirbel. Luft
wurde also durch Ihr Fahrzeug aus der Ruhelage in eine rotatorische Bewegung (=
Wirbel) beschleunigt. Entsprechend dem Energieerhaltungssatz, den Sie auch umgangssprachlich durch die prägnante amerikanische Formulierung „there is no free
lunch“ ersetzen können, muss diese Energie, die in den Wirbeln steckt von irgendwoher bereitgestellt werden. Nun, Sie werden es vermuten: Sie setzen einen beträchtlichen Anteil Ihres teuer erworbenen Kraftstoffs nicht für die Vortriebsleistung Ihres Fahrzeugs ein, sondern Sie verwirbeln damit die Luft stromabwärts Ihres
––––––––––
34
122
Referenzfläche: Diese Fläche ist für (fast) alle Komponenten des Widerstands beliebig wählbar, da
zur Berechnung des Widerstands immer das Produkt aus der Referenzfläche und dem dimensionslosen Beiwert verwendet wird. Üblich ist jedoch die Verwendung der in Strömungsrichtung projizierten Querschnittsfläche. Einzige Ausnahme bildet der Reibungswiderstand. Hier muss als Referenzfläche immer die benetzte Oberfläche verwendet werden.
4. Strömung von Fluiden
Autos. Da Sie als Ingenieur einen stark ausgeprägten Sinn für optimiertes Handeln
haben, werden Sie aufbauend auf Ihren strömungsmechanischen Kenntnissen beim
nächsten Autokauf natürlich einen Fahrzeugtyp wählen, der aufgrund seiner äußeren Formgebung nur ein Minimum an Wirbelschleppen erzeugt. Aus diesen, natürlich rein ökologischen Gründen, wird die Kaufentscheidung selbstverständlich eher
zugunsten eines Porsches, als für einen Familien-Van fallen.
Da die Wirbelstärke und damit die Größe des Druck- oder Formwiderstands direkt
von der Größe des Ablösegebiets abhängt, empfiehlt es sich dieses Ablösegebiet
möglichst zu minimieren. Konstruktiv bieten sich hier mehrere Möglichkeiten an.
Formgebung
In welcher Weise die Formgebung den Druckwiderstand und damit auch den Gesamtwiderstand beeinflusst ist anhand der in Tab. 4-5 dargestellten rotationssymmetrischer Grundkörper ersichtlich. Alle Körper haben die gleich große Basisfläche.
Rotationssymmetrische
Körper
Beiwert des
Gesamtwiderstands
Ebene Kreisscheibe
1,11
Kegel mit geschlossenem Boden,
0,51
60°-Öffnungswinkel
Kegel mit geschlossenem Boden,
0,34
30°-Öffnungswinkel
Halbkugel mit offenem Boden
1,33
(Anemometer)
Halbkugel mit offenem Boden
0,34
(Anemometer)
Stromlinienkörper, Tropfenform
0,06
Tab. 4-5: Widerstandsbeiwerte rotationssymmetrischer Körper, (Truckenbrodt
1983)
Bei der Umströmung der Kreisscheibe wird die Strömung zur maximalen Umlenkung gezwungen. Auf der gesamten Rückseite (= Abströmseite) bildet sich ein Ablösegebiet. Der Gesamtwiderstand setzt sich zusammen aus dem Reibungswiderstand der angeströmten Vorderseite und dem Druckwiderstand infolge des
Ablösegebiets auf der Rückseite. Völlig anders liegen die Verhältnisse bei der Um123
4 Strömung von Fluiden
strömung des sehr günstig geformten Stromlinienkörpers. Hier gelingt es der Strömung vollständig der Kontur zu folgen und es bildet sich überhaupt kein Ablösegebiet. In diesem Fall besteht der Gesamtwiderstand lediglich aus dem Reibungswiderstand. Die Größenverhältnisse dieser beiden Widerstandsanteile können Sie
direkt anhand der Beiwerte des Gesamtwiderstands erkennen. Bei gleich großer
projizierter Stirnfläche weist der Stromlinienkörper lediglich 5,4% des Widerstands
der quer angeströmten Platte auf. Sie sehen, es lohnt sich also immer solche Ablösegebiete zu vermeiden oder zumindest möglichst klein zu halten.
Grenzschichtbeeinflussung
Neben der Formgebung besteht die Möglichkeit ein Ablösen der Strömung zu vermeiden auch in einer aktiven Grenzschichtbeeinflussung. Aufgrund der höheren
kinetischen Energie wird eine turbulente Grenzschicht immer wesentlich länger einer gekrümmten Kontur folgen als dies eine laminare Grenzschicht vermag. Da der
Druckwiderstand infolge Ablösung in der Regel den größten Beitrag zum Gesamtwiderstand liefert, kann die größere Reibung der turbulenten Grenzschicht leicht
kompensiert werden. Beispiele dafür finden Sie unter anderem in der Luftfahrt bei
Segelflugzeugen. Zur Minimierung des Reibungswiderstands werden Laminarprofile verwendet. Um ein Ablösen der Strömung an den Ruderflächen zu vermeiden
wird die Strömung durch eine Erhöhung der Rauigkeit (Zackenband) absichtlich
vor der Scharnierachse in einen turbulenten Zustand gezwungen (Abb. 4-13 und
Abb. 4-14). Einen ähnlichen Effekt erreichen Sie auch durch Ausblasen kurz vor
der Scharnierlinie, wie in Abb. 4-16 zu sehen ist.
Ansaughutze
Ausblasbohrungen
Abb. 4-16: Ansaughutze und Ausblasbohrungen vor dem Querruder eines Segelflugzeugs (DG 303)
Weitere Möglichkeiten zur Grenzschichtbeeinflussung bestehen darin die Grenzschicht abzusaugen oder zusätzliche kinetische Energie zuzuführen. Wenn Sie bei
Ihrem nächsten Flug in den Urlaub einen Fensterplatz haben, sollten Sie im Landeanflug die Flügelhinterkante beobachten. Zur Auftriebserhöhung bei reduzierter
Geschwindigkeit werden bei Verkehrsflugzeugen mehrteilige Landeklappen ausge124
4. Strömung von Fluiden
fahren. Die Spalte quer zur Strömungsrichtung, die sich zwischen den einzelnen
Klappen auftun sind nicht das Ergebnis schlampiger Fertigung sondern dienen dazu
einen Teil der Strömung von der Flügelunterseite mit relativ hoher kinetischer
Energie auf die Klappenoberseite zu leiten. Dadurch wird die Strömungsablösung
auf der Klappenoberseite verhindert oder zumindest stark verzögert. Die Klappe
trägt dadurch erheblich zur Auftriebserhöhung bei und der Druckwiderstand wird
verringert.
Eine einfache, analytische Berechnung des Druckwiderstands ist eher schwierig.
Messtechnisch können Sie diesen Widerstandsanteil jedoch sehr einfach über eine
Druckinstrumentierung im Ablösebereich des Fahrzeugs ermitteln. Aus der Integration der Druckverteilung lässt sich der Druckwiderstand direkt bestimmen.
4.6.3 Induzierter Widerstand
Dieser Widerstandskomponente werden Sie auch in der idealen, reibungsfreien
Welt begegnen. Auch wenn dort ein asymmetrischer Körper oder ein symmetrischer Körper, der asymmetrisch angeströmt wird, zwar eine Querkraft senkrecht
zur Anströmrichtung aber keinen Widerstand parallel zur Anströmrichtung erzeugt,
so gilt diese schöne Betrachtung lediglich für zweidimensionale Körper
(d’Alembertsches Paradoxon). Zweidimensional bedeutet, dass sich der Körper
quer zur Strömungsrichtung unendlich lange ausdehnt. Ein Tragflügel wäre beispielsweise unendlich lang und die Strömungsverhältnisse würden sich quer zur
Anströmrichtung nicht ändern. Völlig anders sehen die Verhältnisse bei einem
dreidimensionalen Körper aus. Aufgrund der endlichen Spannweite eines Tragflügels, man spricht hier von der Streckung  eines Flügels, mit
mit
b
[m]
Spannweite
S
[m²]
Flügelfläche
wird sich der Überdruck an der Unterseite und der Unterdruck an der Oberseite am
Tragflächenende ausgleichen. Es stellt sich also eine Ausgleichsströmung ein, die
an der Unterseite nach außen und an der Oberseite nach innen gerichtet ist. Wird
diese Ausgleichströmung der freien Anströmung überlagert, so werden die Stromlinien an der Unterseite nach außen und die Stromlinien an der Oberseite nach innen abgelenkt. Dies führt dazu, dass sich an den Tragflächenenden Wirbel ausbilden, Abb. 4-17. Diese Randwirbel sind die Ursache für den sogenannten
induzierten Widerstand Wind.
,
∙
2
∙
∙
mit
CW,ind
[-]
Beiwert des induzierten Widerstands

[kg/m³]
Dichte
c∞
[m/s]
Anströmgeschwindigkeit
125
4 Strömung von Fluiden
Sref
[m²]
Referenzfläche35
-----------------------
-----------------------
++++++++++++++++
++++++++++++++++
b
S
Abb. 4-17: Entstehung der Randwirbel am Tragflügel
Der dimensionslose Beiwert des induzierten Widerstands CW,ind lässt sich sehr
leicht berechnen über
∙
,
∙
mit
e
[-]
Abminderungsfaktor bei nicht-elliptischer
Auftriebsverteilung36 (e > 1)
∙
∙
[-]
dimensionsloser Beiwert des Auftriebs A
[-]
Streckung
––––––––––
35
Referenzfläche: Der Induzierte Widerstand ist insbesondere in der Flugzeugaerodynamik relevant.
Hier gilt ausnahmsweise eine gegenüber der Strömungsmechanik andere Definition der Referenzfläche. In der Flugzeugaerodynamik entspricht die Referenzfläche Sref der Fläche des von oben projizierten Tragflügels, wobei die Fläche, die den Rumpf durchdringt ebenfalls berücksichtigt wird.
36
Elliptische Auftriebsverteilung: In der Flugzeugaerodynamik stellt die elliptische Auftriebsverteilung (e = 1) die optimale und zugleich widerstandsminimale Verteilung dar. Der induzierte Widerstand nimmt in diesem Fall ein Minimum ein. Für eine erste Abschätzung setzen Sie einfach e = 1.
126
4. Strömung von Fluiden
Aus der Bestimmungsgleichung für den dimensionslosen Beiwert des induzierten
Widerstands und damit auch für die Stärke der erzeugten Wirbelschleppen wird
deutlich, dass dieser von zwei Parametern abhängt. Dem Auftrieb A beziehungsweise dem dimensionslosen Beiwert des Auftrieb CA und der Streckung .
Dieser Umstand hat gravierende Folgen auf die Staffelung des Flugverkehrs, insbesondere in Bereichen mit einer hohen Verkehrsdichte, also beispielsweise an Flughäfen. Die Stärke der Wirbelschleppen ist eine direkte Funktion des erforderlichen
Auftriebs, den ein Flugzeug erzeugt. Dieser wiederum entspricht genau dem Gewicht des Flugzeugs. Je schwerer das Flugzeug, desto stärker die Wirbelschleppen.
Nun möchten Sie nicht unbedingt mit Ihrem Kleinflugzeug durch die Wirbelschleppen hindurchfliegen, die ein gerade gelandeter oder startender Airbus A380
erzeugt. In Abhängigkeit von der Flugzeuggröße wurden daher Mindestabstände
definiert, die bei An- und Abflug einzuhalten sind.
vorausfliegendes
Flugzeug
räumlicher
Abstand
[NM]
zeitlicher
Abstand
[min]
light
3
n/a
Cessna 152  Cessna 152
medium
3
n/a
Airbus A320  Cessna 152
heavy
3
n/a
Boeing 747  Cessna 152
M medium
light
5
3
Cessna 152  Airbus A320
(7 – 136t MTOW)
medium
3
n/a
Airbus A320  Airbus A320
heavy
3
2
Boeing 747  Airbus A320
light
6
3
Cessna 152  Boeing 747
(über 136t
MTOW)
medium
5
2
Airbus A320  Boeing 747
heavy
4
n/a
Boeing 747  Boeing 747
J
light
8
3
Cessna 152  Airbus A380
medium
5
3
Airbus A320  Airbus A380
heavy
4
2
Boeing 747  Airbus A380
super
4
n/a
Airbus A380  Airbus A380
L
light
(bis 7t MTOW)
H
heavy
super
(nur Airbus A380)
folgendes
Flugzeug
Beispiel
Tab. 4-6: Abstände bei An- und Abflug für unterschiedliche Wirbelkategorien
(NM: nautische Meile, 1 NM = 1,852 km = 1 Bogenminute am Äquator,
MTOW: Maximales Abfluggewicht, engl.: maximum take-off weight, n/a: nicht
anwendbar, engl.: not applicable) (ICAO DOC 8168 OPS/611)
Diese Randwirbel können Sie bei regnerischem Wetter an einem Flugplatz sehr
schön beobachten. Mit einer kleinen Hilfestellung, wie beispielsweise etwas Farbpulver am Boden gelingt das natürlich noch besser, Abb. 4-18.
127
4 Strömung von Fluiden
Abb. 4-18: Randwirbel eines Flugzeugs (NASA Photo ID: EL-1996-00130)
Sollten Sie einmal eine Flugshow besuchen, bei der auch Kampflugzeuge vertreten
sind, so werden Sie die Randwirbel ebenfalls gut beobachten können. Bei engen
Kurven ergibt sich für das Flugzeug in Abhängigkeit vom Kurvenradius ein deutlich höheres Lastvielfaches als bei horizontalen Geradeausflug. Dieses Lastvielfache muss durch einen entsprechend höheren Auftrieb kompensiert werden. Entsprechend der Bestimmungsgleichung für den Beiwert des induzierten Widerstands
steigt dadurch auch der induzierte Widerstand. Die Stärke der Wirbelschleppen erhöht sich also quadratisch mit dem Auftrieb. Mit zunehmender Stärke des Wirbels
sinkt aber der Druck im Wirbelkern und infolge des absinkenden Drucks kondensiert die in der Luft enthaltende Feuchte aus. Diese auskondensierte Luftfeuchte ist
sehr gut mit bloßem Auge als Nebel-Faden, der an den Tragflächenenden hängt
wahrzunehmen.
Das alles ist in erster Linie erstmal recht unerfreulich, da die Wirbelschleppen zum
einen ein Gefährdungspotential darstellen und zum anderen einen erheblichen Beitrag zum Gesamtwiderstand liefern. Widerstand entspricht immer, und zwar nicht
nur in der Luftfahrt, einen Energiebetrag, den Sie durch zusätzlichen Schub, also
Kerosin (= Kosten) kompensieren müssen. Soviel zum negativen Aspekt dieser
Widerstandskomponente. Wie so häufig im Leben lässt sich aber auch hier keine
einfache schwarz-weiß-Betrachtung durchführen sondern es gibt auch positive Aspekte. Im Rahmen eines NASA-Projekts zur Untersuchung von autonomen Flugführungssystemen konnte gezeigt werden, dass Flugzeuge, die in einem engen
Verband fliegen einen deutlich geringeren Gesamtwiderstand aufweisen, als Flugzeuge, die weiter versetzt auseinander fliegen. Die Ursache der Widerstandsreduzierung liegt darin, dass der Tragflügel der nachfolgenden Maschine durch den
Randwirbel der vorausfliegenden Führungsmaschine eine zusätzliche Anströmgeschwindigkeit an der Flügelunterseite erfährt. Dadurch erhöht sich der effektive
128
4. Strömung von Fluiden
Anströmwinkel am Flügel und der Widerstand sinkt. Die nachfolgende Maschine
kann also mit einem kleineren Anstellwinkel (= kleinerer Widerstand) fliegen und
erhöht dadurch seine Reichweite.
Abb. 4-19: Formationsflug zweier F-18 mit Rauchdarstellung der Randwirbel
(NASA Photo ID: EC01-0328-4)
Das alles war zwar bereits weitgehend bekannt, doch das wirklich Verblüffende an
diesen Flugversuchen war die Auswirkung auf die Tierwelt, insbesondere auf das
Verhalten von Zugvögeln. Flogen Zugvögel bis zur Veröffentlich dieser Ergebnisse
mehr oder weniger unkoordiniert durch den Luftraum, so herrscht seit dem 9. No129
4 Strömung von Fluiden
vember 2001 endlich Ordnung am Himmel. Seit diesem Zeitpunkt können Sie
Zugvögel beobachten, die sich in einer schönen, geordneten V-Formation bewegen
um genau diesen Effekt auszunutzen. Notorische Nörgler und Besserwisser behaupten allerdings, dass Vögel diese Methode zur Widerstandsreduzierung und
damit zur Reichweitenerhöhung schon lange vor dem Menschen gekannt hätten.
4.6.4 Interferenzwiderstand
Diese Widerstandskomponente lässt sich nicht eindeutig positiv oder negativ bewerten. Die Kombination der einzelnen Segmente zu einem Gesamtkunstwerk, also
beispielsweise das Zusammenfügen von Rumpf, Tragflächen, Leitwerken und
Triebwerken zu einem Flugzeug bedeutet immer, dass der Widerstand des Gesamtflugzeugs nicht identisch ist mit der Summe der Teilwiderstände, die Sie für die
einzelnen Komponenten ermittelt haben. Dieser kann größer aber auch deutlich
kleiner sein als bei der Summe der Komponenten. Die Differenz wird als Interferenzwiderstand Wint bezeichnet.
Die Ursache für diese Widerstandskomponente liegt einfach darin, dass sich die
Strömungsverhältnisse durch die Kombination der Baugruppen gegenseitig beeinflussen. Betrachten Sie einfach die Verhältnisse an einem einzelnen, quer angeströmten Rohr und einem Rohrbündel, Abb. 4-20.
Abb. 4-20: Umströmung eines Rohres a) einzelnes Rohr b) Rohrbündel
Links (Abb. 4-20a) ist die Umströmung eines einzelnen Rohres dargestellt. Rechts
(Abb. 4-20b) sehen Sie Umströmung eines Rohrbündels, beispielsweise in einem
quer angeströmten Wärmetauscher. Die Verhältnisse auf der Zuströmseite der
obersten Reihe entsprechen noch näherungsweise den Verhältnissen des einzelnen
Rohres. Zwischen den Rohren bildet sich jedoch bereits eine Düsenströmung aus.
Völlig anders liegen die Verhältnisse bereits bei der zweiten Rohrreihe. Erfährt das
einzelne Rohr noch eine ungestörte Zuströmung, so liegen die nachfolgenden Rohre bereits vollständig im abgelösten Totwasserbereich der darüber liegenden Reihe.
Das bedeutet, dass die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung bei dem Rohrbündel nur sehr wenig mit dem einzelnen Rohr gemein hat. Dadurch wird sich der Widerstand eines Rohres im Rohrbündel deutlich von dem Widerstand eines frei angeströmten einzelnen Rohres unterscheiden.
130
4. Strömung von Fluiden
Die gegenseitige Beeinflussung muss sich jedoch nicht zwangsläufig widerstandserhöhend auswirken. Beispiele für die geschickte Ausnutzung des induzierten Widerstands finden Sie im Rennsport (Windschattenfahren) oder auch im täglichen
Straßenverkehr bei Kolonnenfahrten von LKWs. Da im Totwassergebiet hinter der
flachen Rückseite eines LKWs der Druck stark sinkt, steigt zwar für das vorausfahrende Fahrzeug der Widerstand an, das nachfolgende Fahrzeug profitiert jedoch
durch den Unterdruck, da dieser den Widerstand des Folgefahrzeugs reduziert.
In geringem Maße erfährt sogar das erste Fahrzeug in der Kolonne eine Widerstandsreduzierung, sofern das folgende Fahrzeug dicht genug auffährt. Dadurch reduziert sich die Größe des Totwassergebiets im Nachlauf des ersten Fahrzeugs und
dessen Widerstand sinkt ebenfalls.
4.6.5 Wellenwiderstand
Dieser Komponente des Widerstands werden Sie ausschließlich bei Geschwindigkeiten im Überschallbereich begegnen. Da es sich dabei um kompressible Strömungen handelt, werden wir dieses Thema in der Vorlesung Aerodynamik behandeln.
4.6.6 Gesamtwiderstand und Widerstandsbeiwert
Der Gesamtwiderstand Wges eines angeströmten Körpers lässt sich also aus der
Summe der Einzelwiderstände zusammensetzen:
Der Reibungswiderstand wird immer auftreten, die restlichen Teilwiderstände können, müssen aber nicht auftreten. Analytisch lassen sich Reibungswiderstand WR,
induzierter Widerstand Wind und Wellenwiderstand WWelle sehr leicht bestimmen.
Messtechnisch können Sie Druckwiderstand WD und Interferenzwiderstand Wint gut
erfassen. Bei dem Restwiderstand WRest ist Ihr kalibrierter Ingenieursdaumen gefragt. Mit etwas Übung können Sie zumindest die Größenordnung des Zusatzwiderstands von Bauteilen, wie beispielsweise Antennen, schlecht versenkten Nieten
oder nicht fluchtende Oberflächenpanels in der Verkleidung abschätzen.
Aus diesem Gesamtwiderstand Wges, den Sie beispielsweise über eine Windkanalwaage messen können, lässt sich wieder ein dimensionsloser Beiwert des Gesamtwiderstands CW bestimmen.
2
∙
∙
mit
Wges
[N]
Gesamtwiderstand

[kg/m³]
Dichte
c∞
[m/s]
Geschwindigkeit
Sref
[m²]
Referenzfläche
Auch hier ist die Referenzfläche Sref beliebig frei wählbar, da zur Berechnung des
Widerstands immer das Produkt aus dem dimensionslosen Beiwert und der Referenzfläche verwendet wird. Allerdings hat es sich insbesondere in der Fahrzeugae131
4 Strömung von Fluiden
rodynamik eingebürgert die in Strömungsrichtung projizierte Fläche zu verwenden.
Die alleinige Angabe eines CW-Wertes ohne die zugrunde gelegte Referenzfläche
zu benennen, wie beispielsweise in der KFZ-Werbung, ist also völlig sinnlos.
Übung 4-5
Sie kommandieren das in Abb. 4-21 skizzierte U-Boot. Das Boot besteht aus einem
zylindrischen Rumpf mit jeweils einem Halbkugelsegment an Bug und Heck. Der
Turm hat den Querschnitt einer Ellipse und wird an der Oberseite durch eine ebene
Fläche abgeschlossen. Dabei werden folgende Annahmen getroffen:
L = 100m, R = 5m, a = 5m, b = 2m, h = 4m, H = 200m,
 = 1030 kg/m³,  = 1,410-6 m²/s
In einer Tauchtiefe von H = 200m macht das Boot eine Fahrt von c = 10Knoten
y
h
H
x
2b
2a
R
L
R
Abb. 4-21: U-Boot auf Tauchfahrt
132
1.
Berechnen Sie die Masse m des Bootes bei stationärer Tauchfahrt.
2.
Berechnen Sie die Lauflänge lkrit der laminaren Grenzschicht bis zur Transition sowie die Dicke der laminaren Grenzschicht lam an der Transitionsstelle, wenn die kritische Reynolds-Zahl Rekrit = 3,5105 beträgt.
3.
Beurteilen Sie die Bedeutung der laminaren Anlaufstrecke am Rumpf für
den Gesamtwiderstand.
4.
Berechnen Sie den Reibungswiderstand WR,Turm des Turms unter der Annahme, dass die Strömung am Turm nicht ablöst.
4. Strömung von Fluiden
5.
Berechnen Sie den Reibungswiderstand WR,ges des gesamten Bootes unter der
Annahme, dass der gesamte Rumpf turbulent angeströmt wird.
6.
Berechnen Sie den dimensionslosen Beiwert des Druckwiderstand CD des
Bootes, wenn der Gesamtwiderstand sich ausschließlich aus dem Reibungswiderstand und dem Druckwiderstand zusammensetzt und bei einer Geschwindigkeit von c = 10 Knoten die erforderliche Antriebsleistung P =
514,4 kW beträgt.
7.
Berechnen Sie die horizontale Kraftkomponente Fx und die vertikale Kraftkomponente Fy auf das vordere halbkugelförmige Rumpfsegment infolge des
hydrostatischen Drucks.
8.
Wie alt ist der Kapitän?
4.7
Rohrströmungen
Im folgenden Kapitel werden Sie einige Anwendungsfälle kennenlernen, die es
Ihnen ermöglichen mit einem vergleichsweise geringen Aufwand die Strömungsverhältnisse, insbesondere die auftretenden Druckverluste in Rohrleitungen zu berechnen. Dies könnte hilfreich sein beispielsweise bei der Auslegung von Belüftungs- oder Klimaanlagen, Schmiersystemen und Be- oder Entwässerungssystemen.
4.7.1 Laminare Rohrströmung
Beim Ausströmen eines Fluids aus einem vergleichsweise großen Behältnis in ein
Rohr wird sich im Einlaufbereich zunächst ein kolbenförmiges Geschwindigkeitsprofil einstellen (Abb. 4-22). Reibungsbedingt wird die Strömung an der Rohrwand
auf die Geschwindigkeit null abgebremst und es bildet sich eine parabelförmige
Geschwindigkeitsverteilung c(r) quer zur Strömungsrichtung aus. In Abhängigkeit
von der Reynolds-Zahl können sich, ähnlich wie bei einer längs angeströmten Platte, entweder eine laminare oder eine turbulente Rohrströmung einstellen. Zu beachten ist, dass bei Rohrströmungen die Bezugslänge lref zur Berechnung der Reynolds-Zahl nicht mit der Rohrlänge, sondern mit dem Rohrinnendurchmesser d
gebildet wird.
∙
Sofern sich dabei eine Reynolds-Zahl von Red < 2320 ergibt, wird sich nach Durchlaufen einer Anlaufstrecke llam das laminare Geschwindigkeitsprofil c(r) einstellen.
Sofern Sie eine stationäre, inkompressible und horizontal verlaufende Strömung
betrachten, können Sie das Geschwindigkeitsprofil berechnen mittels
∙ 1
mit cmittel = 1/2cmax und R = d/2.
Die Länge llam der laminaren Anlaufstrecke ergibt sich näherungsweise zu
0,06 ∙
∙
133
4 Strömung von Fluiden
c(r)
cEintritt
cmittel
r
d
laminare Anlaufstrecke
Abb. 4-22: Laminare Rohrströmung
In der Regel ist die Geschwindigkeitsverteilung quer zur Strömungsrichtung eher
von untergeordnetem Interesse. Wesentlich häufiger benötigen Sie die mittlere Geschwindigkeit cmittel zur Berechnung des Volumen- oder Massestroms. Denken Sie
beispielsweise an eine Kraftstoffleitung. Hier wird Sie vor allem der Volumenstrom des Treibstoffs interessieren. Im weiteren Verlauf werden wir daher auf den
Index „mittel“ bei der Geschwindigkeitsbezeichnung verzichten.
In technischen Anwendungen werden Sie einer laminaren Rohrströmung eher selten begegnen. Betrachten Sie beispielsweise einen Gartenschlauch mit einem Innendurchmesser von ½-Zoll, also d = 12,7 mm. Um gerade noch eine laminare
Strömung zu erreichen, dürfte die maximale Strömungsgeschwindigkeit nicht mehr
als
∙
2320 ∙ 10
0,0127
0,18 m⁄s
betragen. Das wäre bestenfalls ein sanfter Nieselregen für den Gartenzwerg.
4.7.2 Turbulente Rohrströmung
Liegt die Reynolds-Zahl über dem magischen Wert von 2320, so wird sich nach
einer turbulenten Anlaufstrecke lturb ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil ausbilden (Abb. 4-23). Die Länge dieser turbulenten Anlaufstrecke können Sie näherungsweise über lturb = 10d berechnen.
cEintritt
c(r)
cmittel
r
d
turbulente Anlaufstrecke
Abb. 4-23: Turbulente Rohrströmung
Bei einer turbulenten Strömung werden der Hauptströmung in x-Richtung zusätzlich noch Schwankungsbewegungen in x-, y- und z-Richtung überlagert. Dies führt
134
4. Strömung von Fluiden
einerseits zu einer Erhöhung des Reibungswiderstands, andererseits zu einem etwas
„fülligeren“ Geschwindigkeitsprofil, das sich näherungsweise durch
∙ 1
beschreiben lässt. Die Exponenten k und n hängen von der Rauigkeit der Rohrinnenwand und der Reynolds-Zahl ab und müssen empirisch bestimmt werden. Aber
auch hier gilt, dass die Beschreibung des Geschwindigkeitsprofils quer zur Hauptströmungsrichtung eher von akademischem Interesse ist. In der Regel wird die
mittlere Geschwindigkeit cmittel zur Berechnung des Volumen- oder Massestroms
benötigt.
4.7.3 Druckverlust bei Rohrströmungen
Zur Vereinfachung der folgenden Überlegungen gehen Sie davon aus, dass eine
eindimensionale Strömung vorliegt. Das heißt, alle Parameter können sich nur in
Strömungsrichtung ändern.
An dem horizontal verlaufenden Rohrsegment mit dem Innendurchmesser d wurden an den Stellen (1) und (2) im Abstand L jeweils eine statische Wanddruckmessstelle angebracht (Abb. 4-24). Das Rohr wird mit der Geschwindigkeit c
durchströmt37. Die Druckbilanz in Strömungsrichtung von (1) nach (2) lautet somit
2
∙
∙
∙
2
∙
∙
∙
∆
,
Da die Querschnitte an den beiden Messstellen (1) und (2) gleich sind, müssen
auch die Geschwindigkeiten an diesen beiden Stellen identisch sein. Es gilt c1 = c2.
Das Rohr befindet sich in einer horizontalen Lage, somit sind auch die beiden Höhenkoordinaten identisch, also gilt z1 = z2. damit vereinfacht sich die Bilanz zu
∆
,
beziehungsweise für den in Strömungsrichtung auftretenden Druckverlust pV,1-2:
∆
,
Dieser Druckverlust lässt sich in zwei Gruppen unterteilen:
-
Druckverlust infolge der der Reibung des Fluid an der Rohrinnenwand
Druckverlust infolge von Einbauten
Einbauten ist ein Sammelbegriff für alle Maßnahmen, die die Strömung aus Ihrer
Bahn ablenken, also beispielsweise Rohrkrümmer, Querschnittsänderungen, Düsen, Diffusoren aber auch für Verluste infolge von Eintritt und Austritt aus dem
Rohrsystem.
––––––––––
37
Strömungsgeschwindigkeit: Bei einer inkompressiblen Strömung hängt die Geschwindigkeit ausschließlich von dem Rohrquerschnitt ab. Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aufgrund
∙ ∙
∙ ∙
., dass bei konstanter Dichte und konstantem Querschnitt die
Geschwindigkeiten ebenfalls gleich bleiben müssen und zwar unabhängig davon, ob sich eine Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine) in der Leitung befindet oder der Widerstand berücksichtigt wird.
135
4 Strömung von Fluiden
p1
d
c
p2
(1)
WR
(2)
F1
WR
F2
x
L
Abb. 4-24: Druckverlust infolge Rohrreibung
4.7.4 Rohrreibungswiderstand
Infolge der unvermeidlichen Reibung zwischen dem strömenden Fluid und der
Rohrinnwand tritt eine Wandschubspannung  auf, die in der Folge zu einem
Druckverlust in Strömungsrichtung führt. Natürlich tritt auch ein Reibungseffekt
innerhalb des Fluids auf, dieser kann jedoch im Vergleich zur Reibung an der
Wand vernachlässigt werden.
Betrachten Sie die an dem in Abb. 4-24 skizzierten Rohrsegment in Strömungsrichtung auftretenden Kräfte.
Aus dem der Strömungsrichtung entgegengesetzt wirkenden Widerstand WR lässt
sich ein dimensionsloser Reibungsbeiwert cR definieren.
2
∙
∙
mit
Sref = O = dL
[m²]
benetzte Oberfläche (Rohrinnenfläche)
/2c²
[Pa]
Staudruck
Für den Widerstand infolge der Wandschubspannung können Sie auch schreiben
∙
∙
2
∙
∙
∙
∙
Mit
∙
∙
und
4
∙
gilt
∙
136
∙
2
∙
∙
∙
∙
4. Strömung von Fluiden
also
∆
∙
2
∙
∙
4
∙
∙
4∙
∙
∙
2
∙
∙
Mit der Rohrreibungszahl  = 4cR gilt für den Druckverlust in Strömungsrichtung
∆
∙
2
∙
∙
Aus dieser Beziehung erkennen Sie sofort, dass der reibungsbedingte Druckverlust
in einer Rohrleitung linear von der Rohrlänge L und dem Rohrinnendurchmesser d
sowie quadratisch von der Strömungsgeschwindigkeit c abhängt.
Rohrreibungszahl
Alles was Sie zur Berechnung des Druckverlusts infolge der Rohrreibung benötigen ist also neben der Geometrie und der Strömungsgeschwindigkeit noch die
Rohrreibungszahl . Diese hängt von der Reynolds-Zahl und der Rauigkeit k der
Rohrinnenwand38 ab. In Abhängigkeit dieser beiden Parameter lassen sich drei Bereiche unterscheiden:
-
hydraulisch glatt
Übergangsbereich zwischen glatt und rau
vollständig rau
Die Berechnung der Rohrreibungszahl erfolgt in Abhängigkeit des jeweils vorliegenden Bereichs. Etwas unerfreulich dabei ist jedoch die Tatsache, dass sich erst
nach der Berechnung der Rohrreibungszahl feststellen lässt, in welchem Bereich
man liegt. Sie treffen also einfach eine Annahme, also beispielsweise, dass ein hydraulisch glatter Bereich vorliegt, berechnen die Rohrreibungszahl und führen die
dazugehörige Überprüfung durch. Mit etwas Glück lagen Sie mit Ihrer Annahme
richtig und Sie können den Druckverlust für dieses Rohrsegment berechnen. Falls
nicht bleiben Ihnen ja noch zwei weitere Möglichkeiten, die Sie durchprobieren
können. Sollte auch die dritte Variante nicht zum Ziel führen, dann war das leider
nicht Ihr Tag und Sie können davon ausgehen, dass Sie sich an irgendeiner Stelle
verrechnet haben. Also zurück zur ersten Annahme.
Hydraulisch glatter Bereich
Sofern noch eine laminare Rohrströmung vorliegt, also Red < 2320 ist die Berechnung der Rohrreibungszahl besonders einfach. Entsprechend der linearen Beziehung nach Hagen39-Poiseuille40 gilt
––––––––––
38
Für experimentelle Untersuchungen des Einflusses der Rauigkeit auf Rohrströmungen wurde die
äquivalente Sandrauigkeit kS eingeführt. Die Sandrauigkeit wird durch das Aufbringen einer
künstlichen Rauheit in Form von Sand mit der Körnung kS erzeugt. Hierbei entspricht kS der mittleren Rautiefe nach DIN 4768. Zur Berechnung des Druckverlusts kann in der Regel kS der Rauigkeit
k gleichgesetzt werden.
39
Hagen, Gotthilf Heinrich Ludwig (03.03.1797 – 03.02.1884), deutscher Ingenieur
40
Poiseuille, Jean Léonard Marie (23.04.1797 – 26.12.1869), französischer Physiker
137
4 Strömung von Fluiden
64
Eine Überprüfung kann in diesem Reynolds-Zahl-Bereich entfallen. Für turbulente
Rohrströmungen (Red > 2320) gestaltet sich die Berechnung etwas aufwendiger.
Entsprechend der empirischen Beziehung nach Nikuradse41 gilt
1
√
2∙
∙√
2∙
∙
0,8
oder
1
√
2,51
Die Auswertung dieser beiden impliziten Gleichungen stellt für Sie als Ingenieur
sicher keine Herausforderung dar, etwas schneller geht es jedoch mit folgenden
Näherungslösungen, die ebenfalls brauchbare Resultate liefern.
Blasius42:
2320 < Red < 105
0,3164
Nikuradse: 2320 < Red < 106
0,221
0,0032
,
Wenn Sie die Gleichungen zur Berechnung der Rohrreibungszahl im hydraulisch
glatten Bereich betrachten, fällt Ihnen sicher auf, dass in diesem Fall die Rohrreibungszahl lediglich von der Reynolds-Zahl und nicht von der Rauigkeit abhängt.
Nachdem Sie die Rohrreibungszahl berechnet haben sollten Sie nun überprüfen, ob
die Annahme, dass es sich um einen hydraulisch glatten Bereich handelt überhaupt
zutrifft. Dazu gilt es lediglich folgende Bedingung zu verifizieren.
8
∙√
mit
k/d
[-]
relative Rauigkeit
Sofern diese Bedingung erfüllt wird, kann die unter der Annahme eines hydraulisch
glatten Bereichs ermittelte Rohrreibungszahl zur Berechnung des Druckverlusts
verwendet werden. Wird diese Bedingung nicht erfüllt müssen Sie im folgenden
Iterationsschritt sich für eine der beiden verbliebenen Annahmen entscheiden.
Übergangsgebiet zwischen glatt und rau
In diesem Fall haben Sie die Qual der Wahl zwischen diesen beiden Gleichungen
nach Colebrook43, die erfreulicherweise fast identische Ergebnisse liefern.
––––––––––
41
Nikuradse, Johann (20.11.1894 – 18.07.1979), deutscher Ingenieur und Physiker
Blasius, Heinrich (09.08.1883 – 24.04.1970), deutscher Physiker
43
Colebrook, Cyril Frank (26.07.1910 – 12.01.1997), britischer Physiker
42
138
4. Strömung von Fluiden
1
2,51
2∙
√
3,71 ∙
∙√
oder in der einfacheren expliziten Schreibweise
0,0055 ∙ 1
20.000 ∙
10
Zu beachten ist, dass im Übergangsbereich die Rohrreibungszahl von der relativen
Rauigkeit als auch von der Reynolds-Zahl abhängt.
Die Überprüfung, ob Sie mit Ihrer Annahme, dass es sich um den Übergangsbereich handelt richtig lagen, ist wieder recht einfach.
8
∙
∙√
200
Nun, sollte auch dieser Versuch nicht erfolgreich gewesen sein, verbleibt noch eine
dritte Möglichkeit.
Vollständig rauer Bereich
Auch hier haben Sie wieder die Wahl zwischen zwei Gleichungen.
Kármán-Nikuradse:
1
2∙
1,14
oder Nikuradse
1
2∙
3,71 ∙
Im vollständig rauen Bereich ist die Rohrreibungszahl lediglich eine Funktion der
relativen Rauigkeit. Die Reynolds-Zahl spielt keine Rolle mehr. Die Überprüfung
der Korrektheit Ihrer Annahme verläuft wieder gewohnt unspektakulär mittels
200
∙√
Eine Zusammenfassung der möglichen Bereiche und Berechnungsmethoden finden
Sie in Tab. 4-7. Sofern Sie zur Berechnung der Rohrreibungszahl ein kleines Programm erstellen, ist es natürlich unerheblich ob Sie bereits mit der ersten Annahme
richtig liegen oder alle drei Möglichkeiten durchprobieren.
139
4 Strömung von Fluiden
Annahme
Reynolds-Zahl
glatt
Red < 2320
Berechnung
Überprüfung
64
entfällt
laminar
glatt
2320 < Red < 106
0,221
0,0032
8
,
∙√
turbulent
Übergang
Red > 2320
turbulent
rau
0,0055 ∙ 1
10
8
∙
∙√
200
1
Red > 2320
turbulent
20.000 ∙
2∙
3,71 ∙
200
∙√
Tab. 4-7: Berechnung der Rohrreibungszahl
Eine Möglichkeit das Verfahren etwas abzukürzen besteht in der Verwendung des
Moody44- oder auch Colebrook-Diagramms (Abb. 4-25). In Abhängigkeit von der
Reynolds-Zahl und der relativen Rauigkeit können Sie die Rohrreibungszahl näherungsweise direkt aus dem Diagramm ablesen.
Abb. 4-25: Moody- oder Colebrook-Diagramm (Moody, 1944)
––––––––––
44
140
Moody, Lewis Ferry (05.01.1880 – 21.02.1953) US-amerikanischer Ingenieur
4. Strömung von Fluiden
4.7.5 Widerstand infolge von Einbauten
Sofern Ihr System nur aus einem einzigen geraden Rohrstück mit konstantem
Durchmesser besteht, ergibt sich der Druckverlust ausschließlich aus dem Reibungsverlust. Sobald Sie jedoch die Strömung zu einer Richtungsänderung nötigen
erzeugen Sie fast immer Verwirbelungen und Ablösegebiete. Das bedeutet, dass
Sie Teilchen aus einer translatorischen in eine rotatorische Bewegung beschleunigen. Die Beschleunigung einer Masse ist immer mit der Verrichtung von Arbeit
verbunden. Das heißt genau um diesen Betrag der Arbeit (= Energie) verringern
Sie die Gesamtenergie oder auch den Gesamtdruck in der Strömung. Denken Sie
immer an das Prinzip der Energieerhaltung in ihrer prägnanten Formulierung „there is no free lunch“. Richtungsänderungen können durch eine Vielzahl von Elementen erzwungen werden. Beispielsweise durch Rohrkrümmer, Düsen, Diffusoren, Blenden, Verzweigungen, Einlauf- oder auch Austrittsströmungen. Diese
Elemente werden in der Rohrhydraulik unter dem Sammelbegriff Einbauten zusammengefasst.
Richtungsänderung
Sie kennen das Prinzip aus der Leichtathletik. Wenn Sie sich auf der Außenbahn
befinden müssen Sie etwas beschleunigen um auf der Geraden wieder mit dem
Läufer auf der Innenbahn gleichzuziehen. Zusätzlich wirkt infolge der Umlenkung
noch eine Fliehkraft in radialer Richtung nach außen (Abb. 4-26). Dadurch steigt
im Bereich der Außenströmung ab der Stelle (A) der Druck an. Mit Erreichen von
Punkt (C) verschwinden die Fliehkräfte und der Druck sinkt wieder. Infolge des
Prinzips der Energieerhaltung geht bei inkompressiblen Fluiden eine Druckerhöhung immer mit einer Geschwindigkeitsreduzierung einher. Das bringt insbesondere die Teilchen, die sich auf der ungünstigen Außenbahn bewegen in deutliche
Schwierigkeiten. Eigentlich möchten Sie beschleunigen um mit Ihren Kollegen auf
der Innenbahn ab der Stelle (C) wieder auf gleicher Höhe zu sein, werden jedoch
durch den Druckanstieg gebremst. Insbesondere die Grenzschicht an der Rohraußenwand zeigt wenig Begeisterung gegen diesen Druckanstieg anzukämpfen und
löst sich im Bereich (B) von der Rohrwand ab. Ähnlich geht es den Teilchen auf
der Innenbahn. Durch die Verzögerung erfolgt hier ebenfalls ein Druckanstieg, der
zu einem Ablösegebiet führen kann.
Die Druckbilanz an dem horizontal liegenden Rohrkrümmer in Abb. 4-26 zwischen
den beiden Stellen (1) und (2) lautet somit
∆
,
Eine analytische Bestimmung des Druckverlusts pV,1-2 ist nicht ohne weiteres
möglich. Sehr viel einfacher ist die experimentelle Bestimmung durch Messung der
beiden statischen Drücke p1 und p2. Damit lässt sich ein dimensionsloser Verlustbeiwert für Einbauten  definieren.
∆
2
,
∙
141
4 Strömung von Fluiden
(1)
r
c
A
B
R
C
p1
p2
(2)
d
Abb. 4-26: Rohrkrümmer mit Ablösungen
Der Verlustbeiwert  hängt ab von dem Verhältnis des Krümmungsradius R zum
Rohrinnendurchmesser d und der Rauheit der Oberfläche. Nach Richter (1971) gilt
für einen 90°-Rohrkrümmer mit glatter Oberfläche näherungsweise
°
6 ∙ 10
∙
0,0022 ∙
0,7549 ∙
0,0306 ∙
1,3597 ∙
0,2096 ∙
1,0768
Für eine raue Oberfläche gilt näherungsweise
°
7 ∙ 10
∙
0,0024 ∙
0,8356 ∙
0,0328 ∙
1,5489 ∙
0,2285 ∙
0,9965
Von 90° abweichende Krümmungswinkel  können mithilfe folgender Korrektur
berechnet werden.
°
∙
,
90
Empirische Werte beziehungsweise Näherungsverfahren zur Berechnung von Verlustbeiwerten für unterschiedliche Einbauten werden Sie in (fast) jedem Lehrbuch
für Strömungsmechanik finden. Näherungslösungen für die am häufigsten auftretenden Einbauten werden Sie in den folgenden Abschnitten kennenlernen.
Eintrittsverluste
Bei einem Einströmvorgang aus einem großen Behältnis in ein Rohr ergeben sich
infolge der starken Umlenkung Ablösegebiete. Maßgebend für die Größe des Ablösegebiets und damit für die Größe des Druckverlusts ist die Ausformung der
Übergangsstelle zwischen Behälter und Rohr. Am ungünstigsten erweist sich ein
scharfkantiger Übergang mit einem Verlustbeiwert von  = 0,5. Eine Anschrägung
142
4. Strömung von Fluiden
reduziert den Verlustbeiwert auf  = 0,25 und mit zunehmender Ausrundung der
Übergangsstelle kann sich der Verlustbeiwert bis auf  = 0,2 reduzieren.
dE
c
d

c
Abb. 4-27: Eintrittsverluste, gerades und schräges Rohr
Näherungswerte zur Abschätzung der Verlustbeiwerte für Eintrittsverluste bei
scharfkantigen Übergängen können Tab. 4-8 entnommen werden.
senkrechter
Eintritt
Abb. 4-27a
1
1,25
2
5
100
0,5
1,2
5,5
55
250
 [°]
0
15
30
45
60

0,5
0,59
0,7
0,81
0,9

schräger
Eintritt
Abb. 4-27b
Tab. 4-8: Verlustbeiwerte für Eintrittsverluste (Siegloch, 1996)
Austrittsverluste
Mithilfe der Kontraktionszahl K des austretenden Strahls lässt sich näherungsweise die Verlustziffer bestimmen.
1
1
ä
1
ä
1
Mit der Kontraktionszahl K wird die Strahleinschnürung beim scharfkantigen
Austritt aus einem Behältnis beschrieben. Würde die Strömung der scharfkantigen
Kontur folgen, so müsste die Stromlinie an der Wand einen Knick, also eine Unste143
4 Strömung von Fluiden
tigkeitsstelle aufweisen. Entsprechend der Definition der Stromlinie (Kapitel 1) ergeben sich an dem Knick jedoch zwei unterschiedliche Geschwindigkeiten, da der
lokale Geschwindigkeitsvektor immer tangential an der Stromlinie anliegt. Das
Fluidteilchen wäre als an dieser Stelle mit zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs. Die Natur umgeht dieses Problem dadurch, dass sie die Stromlinie
ausrundet und der Strahl sich entsprechend einschnürt. Der austretende Strahl hat
dadurch immer einen kleineren Durchmesser als die Austrittsöffnung.
Stufendiffusor
Bei einer stufenartige Querschnittserweiterungen (Carnot45-Stoß) benötigt der eintretende Strahl eine gewisse Laufstrecke bis sich der Strahl wieder vollständig dem
neuen, größeren Durchmesser angepasst hat. Die Länge dieser Mischstrecke kann
mit LM ≈ 10d2 abgeschätzt werden. Bei Vorliegen einer turbulenten Rohrströmung,
also bei einer Reynolds-Zahl von Red > 2320 kann der Verlustbeiwert über das Flächenverhältnis abgeschätzt werden (Kümmel, 2007).
1
1
c2
c1
d1
d2
Abb. 4-28: Stufendiffusor
Solche stufenförmigen Querschnittsänderungen gehen immer mit einem erheblichen Druckverlust einher, lassen sich aber häufig nicht oder nur mit erheblichem
Fertigungsaufwand vermeiden.
Konischer Diffusor
Konische Diffusoren (Abb. 4-29) werden in der Strömungsmechanik eingesetzt um
kinetische Energie in Druckenergie umzuwandeln. Man spricht hier von einem sogenannten Druckrückgewinn.
d1
c1

c2
d2
Abb. 4-29: Konischer Diffusor
––––––––––
45
144
Carnot, Nicolas Léonard Sadi (01.06.1796 – 24.08.1832), französischer Ingenieur und Physiker,
insbesondere bekannt für seine Arbeiten auf dem Gebiet der Thermodynamik und den CarnotProzess beziehungsweise den Carnot-Wirkungsgrad, der den theoretischen maximalen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine beschreibt.
4. Strömung von Fluiden
Aus den beiden Basisgleichungen der Strömungsmechanik, der Kontinuitätsgleichung und der Bernoulli-Gleichung erkennen Sie sofort das Wirkprinzip eines Diffusors. In diesem Fall das Wirkprinzip eines Unterschall-Diffusors. Im Überschall
liegen die Dinge genau umgekehrt, aber das werden Sie in der Vorlesung Aerodynamik noch näher kennenlernen.
Den Zusammenhang zwischen Strömungsgeschwindigkeit und durchströmten
Querschnitt liefert Ihnen die Kontinuitätsgleichung.
∙
∙
∙
∙
.
Aus A1 < A2 folgt also c1 > c2.
Die Abhängigkeit von statischem Druck und Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich
aus der Bernoulli-Gleichung.
2
∙
∙
∙
2
∙
∙
∙
Bei einer horizontalen Anordnung gilt z1 = z246 und für c1 > c2 folgt p1 < p2. Das
heißt also, dass sich im Unterschall bei einer Querschnittsvergrößerung die Strömungsgeschwindigkeit verzögert und der statische Druck ansteigt. Erfolgt die
Querschnittserweiterung jedoch zu abrupt, so wird es auch hier zu Strömungsablösung und zur Ausbildung von Totwassergebieten kommen. In Abb. 4-30 sind die
daraus resultierenden Verlustbeiwerte als Funktion des Öffnungswinkels  nach
Richter (1971) dargestellt.
Abb. 4-30: Widerstandsbeiwerte für konische Diffusoren (Richter, 1971)
Der optimale Öffnungswinkel  beträgt für Diffusoren mit einem Kreisquerschnitt
opt ≈ 8° und für Diffusoren mit einem Rechteckquerschnitt opt ≈ 10°. Das führt
bei optimal ausgelegten Diffusoren zur sehr großen Baulängen, was insbesondere
––––––––––
46
Die Vernachlässigung des potentiellen Anteils gz ist bei Gasen auch für nicht-horizontale Anordnungen in der Regel zulässig. Bei Flüssigkeiten sollten Sie aufgrund der wesentlich größeren
Dichte diesen Term jedoch stets berücksichtigen.
145
4 Strömung von Fluiden
bei Windkanälen unter beengten Platzverhältnissen problematisch sein kann. Sofern der optimale Öffnungswinkel nicht realisiert werden kann, empfiehlt es sich
gegebenenfalls vollständig auf einen konischen Diffusor zu verzichten. Ab einem
Flächenverhältnis von A2/A1 < 1,5 ist es sogar günstiger einen einfachen Stufendiffusor vorzusehen.
Stufendüse
Wird bei einem Diffusor kinetische Energie in Druckenergie umgewandelt, so verhalten sich bei einer Düse die Verhältnisse genau umgekehrt. Infolge der Querschnittsverringerung wird bei einer Strömung mit Unterschallgeschwindigkeit die
Geschwindigkeit erhöht und der statische Druck abgesenkt. Infolge der unstetigen
Querschnittsverkleinerung in Strömungsrichtung erfolgt an der Übergangsstelle eine Strahleinschnürung auf den Durchmesser d2* und etwas weiter stromabwärts
wieder eine Aufweitung auf den Rohrinnendurchmesser d2 (Abb. 4-31).
d1
c2
c1
d2 *
d2
Abb. 4-31: Stufendüse
Die Kontraktionszahl K des Strahls
∗
∗
lässt sich näherungsweise über folgende Regressionsformel bestimmen
0,614
0,133 ∙
0,261 ∙
0,511 ∙
Aus der Kontraktionszahl lässt sich dann die Verlustzahl  bestimmen
1,5 ∙
1
Konische Düse
Solche Stufendüsen sind im Hinblick auf die auftretenden Druckverluste recht ungünstig, lassen sich jedoch ähnlich wie Stufendiffusoren häufig nur mit einem erheblichen zusätzlichen Fertigungsaufwand vermeiden. Wesentlich günstiger gestaltet sich die Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie bei der
Verwendung einer konischen Düse. Der absinkende Druck in Strömungsrichtung
bewirkt eine Stabilisierung der Grenzschicht und reduziert somit das Risiko einer
Ablösung. Dadurch ergeben sich bei Düsen im Vergleich zu Diffusoren bei gleichen Flächenverhältnissen geringere Druckverluste.
146
4. Strömung von Fluiden

c1
d1
c2
d2
Abb. 4-32: Konische Düse
Für konische Düsen mit einem Öffnungswinkel zwischen 20° und 30° kann die
Verlustzahl mit  = 0,01 bis  = 0,02 abgeschätzt werden.
Eine sehr gute Übersicht über Verlustbeiwerte in Rohrsystemen findet sich in Richter (1971)
Normblenden
Blenden können in Rohrleitungssystemen mindestens zwei unterschiedliche Aufgaben erfüllen:
-
Druckminderung
Durchflussmessung
Zur Durchflussmessung können Sie genormte Blenden nach DIN EN ISO 5167
verwenden. Bei der konstruktiven Ausführung werden drei Grundformen unterschieden (Abb. 4-33a, b und c). Unabhängig von der Bauform werden immer die
beiden statischen Drücke p1 und p2 beziehungsweise die Druckdifferenz p2 - p1 an
der Drosselstelle, der sogenannte Wirkdruck pW gemessen.
d1
d1/2
p2
p1
c1
d1
d2
c1
d1
d2
c1
d1
d2
p2
p1
p2
p1
p1
p2
Abb. 4-33: Normblenden: Blende, Düse und Venturi-Düse
Der Volumenstrom
ergibt sich aus dem Wirkdruck pW zu
∙ ∙
und der Massestrom
4
∙
∙
zu
∙
Die Durchflusszahl  beschreibt den Reibungseinfluss und muss empirisch bestimmt werden. Allgemein gilt
,
1
147
4 Strömung von Fluiden
Der Durchflusskoeffizient C = C(, Red1) ist eine Funktion des Durchmesserverhältnisses  = d2/d1 und der Reynolds-Zahl bezogen auf den Rohrdurchmesser d1.
Die Expansionszahl  berücksichtigt die Kompressibilität von Gasen. Bei inkompressiblen Strömungen kann  = 1 gesetzt werden. Zur Bestimmung der Expansionszahl ist noch das Druckverhältnis  = p2/p1 erforderlich.
Mit dem Faktor
,
19000 ∙
lassen sich der Durchflusskoeffizient C sowie die Expansionszahl  anhand Tab.
4-9 bestimmen. Der Isentropenexponent  = cp/cv beträgt für Luft, als ideales Gas,
 = 1,4.
Drosselgerät
Durchflusskoeffizient C
Blende mit
Enddruckabnahme (Abb.
4-33a)
0,5961
0,216 ∙
0,000521
,
10 ∙
0,0261 ∙
∙
0,0188
0,0063 ∙
10 ∙
∙
Düse (Abb.
4-33b)
0,99
0,9858
,
1
0,351
0,256 ∙
0,93 ∙
∙ 1
∙
,
,
0,2262 ∙
∙
Venturi-Düse
(Abb. 4-33c)
Expansionszahl 
0,00175 ∙
0,0033 ∙ ,
,
10
0,196 ∙
,
∙
1
1
∙
1
∙
∙
1
1
analog zur Düse
Tab. 4-9: Berechnung von Durchflusskoeffizient und Expansionszahl (DIN EN
ISO 5167 Teil 1-4)
148
4. Strömung von Fluiden
4.7.6 Druckverlust im Gesamtsystem
Für ein Rohrleitungssystem, das aus m Rohrsegmenten mit n Einbauten besteht
ergibt sich der Gesamtdruckverlust zu
∆
,
∙
∙
2
∙
∙
2
∙
Sobald sich in einem Rohrsegment der Durchmesser d ändert, ändert sich automatisch auch die Geschwindigkeit c. Die Rohrreibungszahl  ist eine Funktion der
Reynolds-Zahl Red, die mit dem Rohrinnendurchmesser und der Geschwindigkeit
gebildet wird, sowie der relativen Rauigkeit k/d. Also ändert sich damit auch die
Rohrreibungszahl. Ebenso ändert sich mit dem veränderlichen Querschnitt auch der
jeweilige Staudruck /2c2 mit dem die Verlustziffern j multipliziert werden.
Das bedeutet, dass Sie bei einem Rohrleitungssystem, das sich aus unterschiedlichen Segmenten mit unterschiedlichen Durchmessern zusammensetzt, den Druckverlust für jedes Segment separat berechnen müssen. Beachten Sie auch, dass bei
Rohrströmungen die Reynolds-Zahl nicht mit der Rohrlänge, sondern mit dem
Rohrinnendurchmesser gebildet wird.
4.7.7 Hydraulischer Ersatzdurchmesser
Bis jetzt hatten wir immer stillschweigend vorausgesetzt, dass es sich bei den
durchströmten Rohren um Rohre mit einem kreisförmigen Querschnitt handelt, der
auch vollständig ausgefüllt wird. Das mag für eine Vielzahl von technischen Anwendungen sicher zutreffen, muss aber nicht zwingendermaßen der Fall sein. Insbesondere bei Abflussrohren oder Abwasserkanälen führt eine vollständige Befüllung zu sehr unschönen Ergebnissen. Sofern Sie Systeme betrachten, die keinen
kreisförmigen oder quadratischen Querschnitt aufweisen oder die nicht zu 100%
befüllt sind lässt sich entsprechend Abb. 4-34 ein sogenannter hydraulischer Ersatzdurchmesser dhydr. definieren.
4∙
.
mit
A
[m²]
durchströmter Querschnitt
U
[m]
benetzter Umfang
A
U
Abb. 4-34: Hydraulischer Ersatzdurchmesser
149
4 Strömung von Fluiden
Bei alle Berechnungen bei denen der Rohrdurchmesser d verwendet wurde, also
beispielsweise bei der Reynolds-Zahl oder der relativen Rauigkeit k/d, ersetzen Sie
den Rohrdurchmesser d durch den hydraulischen Ersatzdurchmesser dhydr., also
∙
.
oder k/ dhydr beziehungsweise  = (Red,hydr, k/ dhydr). Damit ergibt sich für den Gesamtdruckverlust im System
∆
150
,
∙
∙
2
∙
∙
2
∙
4. Strömung von Fluiden
Übung 4-6
Der Springbrunnen in einem Park (Abb. 4-35) wird durch einen Druckbehälter gespeist, der durch eine Pumpe P in der Rücklaufleitung befüllt wird. Der hydraulische Wirkungsgrad der Pumpe beträgt hydr = 0,8.
Die Fontäne erreicht dabei eine Höhe von H = 20 m. Die Länge der Zuleitung vom
Druckbehälter bis zur Düse (2) beträgt L1 = 15 m. Der Austrittsdurchmesser der
Düse beträgt d2 = 15 mm. Der Innendurchmesser der Zuleitung beträgt d1 = 20 mm.
Die Länge der Rückleitung vom Teich zum Druckbehälter beträgt L2 = 10 m und
deren Innendurchmesser d2 = 25 mm. Alle Leitungen haben eine absolute Rauheit
von k = 0,1 mm und konstante Querschnitte. Alle Übergänge bei Ein- und Austritt
sind scharfkantig. Die Krümmerradien in den Leitungen betragen R = 50 mm. Es
herrscht ein Umgebungsdruck von p0 = 1 bar. Die Pumpe in der Rückleitung sorgt
dafür, dass der Pegelstand im Teich sowie der Pegelstand im Druckbehälter mit h =
1 m konstant bleiben. Bei Eintritt in den Druckbehälter beträgt die Strahlkontraktion K = 0,62. Das Manometer am Druckbehälter zeigt einen Überdruck von pÜ =
1,5 bar. Die kinematische Viskosität von Wasser beträgt  = 10-6 m²/s.
Berechnen Sie die die Austrittsgeschwindigkeit cD des Wasserstrahls an der Düse
und die elektrische Leistungsaufnahme der Pumpe Pel.
(3)
(1)
pÜ
h
(4)
E
A
P
H
p0
D
(2)
E
K
K
K
Abb. 4-35: Springbrunnen
151
5. Umströmung von Körpern
5 Umströmung von Körpern
In diesem Kapitel werden Sie die unterschiedlichen Strömungsverhältnisse um
zwei Grundkörper kennenlernen. Die Umströmung einer Kugel und eines Zylinders
stehen stellvertretend für die Anströmung von sogenannten stumpfen Körpern, die
im Wesentlichen dadurch gekennzeichnet ist, dass im Nachlaufbereich sehr große
Ablösegebiete entstehen. Dadurch bildet der Druckwiderstand den maßgeblichen
Anteil am Gesamtwiderstand. Der zweite Grundkörper steht für einen strömungsgünstig geformten Körper. Dessen Umströmung ist dadurch gekennzeichnet, dass
bei moderaten Anströmwinkeln die Strömung vollständig anliegt, sich also keine
Ablösegebiete bilden und der Gesamtwiderstand sich im Wesentlichen aus dem
Reibungswiderstand und dem induzierten Widerstand zusammensetzt. Ein Beispiel
für die Umströmung schlanker Körper wäre beispielsweise die zweidimensionale
Umströmung eines Profils beziehungsweise die dreidimensionale Umströmung eines Tragflügels. Diese Thematik wird jedoch nicht hier sondern im Rahmen der
Vorlesung Aerodynamik ausführlich behandelt.
5.1
Umströmung stumpfer Körper
Bei der Umströmung stumpfer Körper, wie beispielsweise einer Kugel oder eines
Zylinders, taucht neben dem leider unvermeidbaren Reibungswiderstand zum ersten Mal eine weitere Widerstandskomponente auf. Der Druck- oder auch Formwiderstand. Überraschen ist das Größenverhältnis dieser beiden Widerstandsanteile,
da der Druckwiderstand im Vergleich zum Reibungswiderstand hier die dominierende Rolle spielt. Betrachten Sie zuerst die Strömungsverhältnisse an einer Kugel.
5.1.1
Kugelumströmung
Bei der Umströmung einer Kugel lohnt sich wieder der Vergleich der realen Strömung mit den Verhältnissen der idealen, reibungsfreien Welt. In letzterem Fall
liegt eine sogenannte Potentialströmung vor, die unter anderem dadurch gekennzeichnet ist, dass die Strömung der Kontur des Körpers klaglos folgt. Es bilden sich
an der Zuström- als auch an der Abströmseite jeweils ein Staupunkt (Abb. 5-1a).
F1
F1
Totwassergebiet
Staupunkt 1
Staupunkt 2
Staupunkt 1
c∞
W
F2
F2
Abb. 5-1: Umströmung einer Kugel a) reibungsfrei b) reibungsbehaftet
Ausgehend von den Ergebnissen der reibungsfreien Strömung ergeben sich sehr
einfache Lösungen für die Tangentialgeschwindigkeit an der Oberfläche cW(), den
statischen Druck pW() und den dimensionslosen Beiwert des Drucks an der Wand
cp(), (Abb. 5-2).
152
5. Umströmung von Körpern
cW
pW
c∞

Abb. 5-2: Drücke und Geschwindigkeiten bei reibungsfreier Anströmung
Geschwindigkeit:
∙
∙
∙
statischer Druck:
Druckbeiwert:
∙ 1
1
∙
Da sich die Strömungsverhältnisse auf der Zuströmseite für die reibungsbehaftete
Strömung nur unwesentlich von denen der reibungsfreien Strömung unterscheiden,
können Sie für diesen Bereich die Ergebnisse der reibungsfreien Strömung auch im
reibungsbehafteten Fall verwenden.
Völlig anders liegen die Verhältnisse auf der Abströmseite der Kugel. Aufgrund
der großen Krümmung kann die reale Strömung der Kontur nicht mehr folgen und
es bildet sich ein ausgedehntes Ablösegebiet im Nachlaufbereich der Kugel (Abb.
5-1b). Dieses Ablösegebiet oder auch Totwassergebiet ist verantwortlich für den
hohen Druckwiderstand der Kugel. Daher lassen sich die einfachen Lösungen der
Potentialtheorie nicht mehr auf diesen Bereich anwenden.
In Abb. 5-3 ist der dimensionslose Beiwert des Gesamtwiderstands einer Kugel
nach Schlichting (1982) dargestellt. Markant sind in diesem Diagramm zwei Bereiche. Bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen liegt der CW-Wert in einer Größenordnung
von über 100. Dabei handelt es sich um den Bereich der sogenannten kriechenden
Strömung. das heißt, es liegen nur sehr geringe Strömungsgeschwindigkeiten
und/oder sehr kleine Kugeldurchmesser vor. Dadurch liegen die Massekräfte in der
gleichen Größenordnung wie die Reibungskräfte. Für den Bereich dieser sehr kleinen Reynolds-Zahlen kann der CW-Wert durch die einfache Näherungslösung nach
Stokes bestimmt werden.
24
In dem Bereich von 103 < Red < 105 bewegt sich der CW-Wert auf einem nahezu
konstanten Niveau von ungefähr CW = 0,5 um anschließend recht schnell auf einen
153
5. Umströmung von Körpern
Wert von ungefähr CW = 0,1 abzusinken. Mit zunehmender Reynolds-Zahl steigt
der Widerstandsbeiwert dann wieder etwas an.
Die starke Verringerung des Widerstandbeiwerts und damit des Gesamtwiderstands
in diesem Reynolds-Zahl-Bereich ergibt sich aus dem Umschlag der laminaren
Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht. Eine laminare Grenzschicht erzeugt
zwar einen deutlich geringeren Reibungswiderstand als eine turbulente Grenzschicht, vermag jedoch bei weitem nicht so gut einer gekrümmten Kontur zu folgen, wie eine turbulente Grenzschicht. Infolgedessen bildet sich bei einer laminaren Grenzschicht ein deutlich größeres Ablösegebiet aus als bei einer turbulenten
Grenzschicht. Da die Größe des Ablösegebiets den Druckwiderstand bestimmt,
sinkt bei einer turbulenten Grenzschicht der Druckwiderstand und damit der Gesamtwiderstand. Der leicht erhöhte Reibungswiderstand schlägt in diesem Fall
kaum zu Buche, da sich bei einer Kugel der Gesamtwiderstand zu ungefähr 95%
aus dem Druckwiderstand und nur zu 5% aus dem Reibungswiderstand zusammensetzt.
Im Fall einer laminaren Grenzschicht liegt der Ablösepunkt der Strömung bei ungefähr  = 70° – 80° und im Fall einer turbulenten Grenzschicht bei ungefähr  =
110° - 120°. Für den laminaren Bereich lässt sich der CW-Wert näherungsweise
nach Kaskas (1970) berechnen.
24
4
0,4
Abb. 5-3: Widerstandsbeiwert einer Kugel (Schlichting, 1982)
Bei welcher Reynolds-Zahl (= Rekrit) der Umschlag von einer laminaren Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht erfolgt hängt stark von der Qualität der Zuströmung ab. Bei einer sehr turbulenten Anströmung kann der Umschlag bereits bei
einer Reynolds-Zahl von Red = 1,7105 erfolgen, während bei einer sehr laminaren
Anströmung der Umschlag erst bei Red = 4105 erfolgen kann. Um eine eindeutige
Definition der kritischen Reynolds-Zahl bei einer Kugelströmung zu erhalten, wird
Rekrit für die Reynolds-Zahl festgelegt, bei der dimensionslose Beiwert des Gesamtwiderstands den Wert CW = 0,3 erreicht.
154
5. Umströmung von Körpern
Bei Reynolds-Zahlen, die deutlich unter einem Wert von Red = 1,7105 liegen, würde auf jeden Fall eine laminare Grenzschicht vorliegen. Aufgrund des damit einhergehenden großen Druckwiderstands, ist dieser Zustand nicht immer wünschenswert. Abhilfe schafft hier die Erhöhung der Rauigkeit, die auch als
Stolperdraht bezeichnet wird. Das heißt, sie stellen der Strömung im wahrsten Sinne des Wortes ein Bein um den Umschlag zu einer turbulenten Grenzschicht zu erzwingen.
Übung 5-1
Bei Ihrem letzten Ferienjob auf dem Golfplatz haben Sie sich ständig die Frage gestellt, warum Golfbälle offensichtlich unter Cellulitis leiden und nicht über eine
glatt polierte Oberfläche verfügen. Als angehender Ingenieur nun eine für Sie leicht
zu beantwortende Frage.
Im ersten Schritt betrachten Sie den Fall einer glatt polierten Kugel, die den gleichen Durchmesser hat, wie ein Golfball. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Sie
gehen von einer mittleren Fluggeschwindigkeit von c∞ = 288 km/h = 80 m/s aus.
Der Durchmesser der Kugel beträgt d = 43 mm und die kinematische Zähigkeit von
Luft beträgt ungefähr  = 1510-6 m²/s. Es liegen die Bedingungen der Normatmosphäre auf Meeresniveau vor, das heißt p = 1013,25 hPa,  = 1,225 kg/m³, T =
15 °C.
1. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der glatt polierten Kugel
2. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des Golfballs.
Dabei können Sie aufgrund der Dellen auf der Oberfläche davon ausgehen, dass
eine vollständig turbulente Grenzschicht vorliegt.
3. Welchen Anteil hat der Reibungswiderstand im Verhältnis zum Gesamtwiderstand in beiden Fällen?
Warum fällt uns der Himmel nicht auf den Kopf?
Diese Frage, die bereits die alten Gallier bewegte, können Sie heute sehr leicht beantworten. Bei einem Blick zum Himmel fällt Ihnen auf, dass Wolken zwar durch
den Wind horizontal verschoben werden, sich in der Höhe aber scheinbar nicht
verändern. Solange die Luftfeuchte sich in einem gasförmigen Aggregatszustand
befindet, können Sie diese auch nicht sehen. Erst wenn die Feuchte auskondensiert,
das heißt, wenn ein Phasenwechsel zum flüssigen Aggregatszustand stattfindet,
sich also kleine Flüssigkeitströpfchen bilden, können Sie diese mit bloßem Auge
als Wolke erkennen. Nun hat flüssiges Wasser aber eine Dichte, die um den Faktor
103 über der Dichte von Luft liegt. Das Prinzip des archimedischen Auftriebs
scheidet also aus. Während man bei einer starken thermischen vertikalen Luftbewegung (tagsüber) noch argumentieren könnte, dass die nach oben strömende Luft
die Wolke nach oben drückt, so kann diese Argumentation für Nachtwolken, mangels Thermik nicht mehr aufrecht erhalten werden. Daher die berechtigte Frage,
was hält die Wolke nur am Himmel?
155
5. Umströmung von Körpern
Übung 5-2
Sie betrachten am Nachthimmel eine Wolke, die in einer geschätzten Höhe von
h = 5 km schwebt. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Die auskondensierten
Wassertropfen haben näherungsweise eine Kugelform mit einem Durchmesser von
d = 10 m. Die Dichte des Wassers beträgt  = 103 kg/m³, die kinematische Viskosität von Luft beträgt  = 1510-6 m²/s.
Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich die Wolke absenkt.
5.1.2
Zylinderumströmung
Kugel als auch Zylinder stehen stellvertretend für quer angeströmte stumpfe Körper. Die Strömungsverhältnisse für solche Körper gleichen sich und der Verlauf
des dimensionslosen Beiwerts des Gesamtwiderstands als Funktion der ReynoldsZahl sieht in beiden Fällen recht ähnlich aus. Im Bereich der kriechenden Strömung, also bei extrem kleinen Reynolds-Zahlen erreicht der CW-Wert sehr große
Werte und sinkt bis zu einer Reynolds-Zahl von ungefähr Red = 103 auf ein Plateau
ab. Im Fall des quer angeströmten unendlich langen Zylinders auf ungefähr CW =
1,0. Ab einer Reynolds-Zahl von ungefähr 2,5105 erfolgt die Transition der laminaren Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht. Dieser Umschlag ist durch eine signifikante Reduzierung des Widerstands gekennzeichnet und der CW-Wert
sinkt auf ein Minimum, um anschließend mit zunehmender Reynolds-Zahl wieder
leicht anzusteigen.
Abb. 5-4: Widerstandsbeiwert eines unendlich langen Zylinders (Schlichting,
1982)
156
5. Umströmung von Körpern
Der in Abb. 5-4 skizzierte Verlauf des dimensionslosen Beiwerts des Gesamtwiderstands eines Zylinders gilt für eine zweidimensionale Strömung um einen unendlich langen Zylinder. Zur Berechnung des Widerstandsbeiwerts eines Zylinders
mit einer endlichen Länge ist noch die Bestimmung eines Korrekturfaktors K als
Funktion des Verhältnisses von Höhe h zu Durchmesser d erforderlich.
Höhe/Durchmesser h/d
Korrekturfaktor K
0 < h/d  4
0,6
4  h/d  8
0,7
8  h/d  40
0,8
40  h/d < ∞
1,0
Tab. 5-1: Korrekturfaktoren zur Umrechnung des Widerstandsbeiwerts eines
quer angeströmten endlich langen Zylinders (Kümmel, 2007)
∙
∞
Übung 5-3
Während eines Herbststurms unternehmen Sie einen Spaziergang an der frischen
Luft um die Spätfolgen der letzten Feier zu neutralisieren. Dabei fällt Ihnen ein
kleiner Kamin auf dem Dach einer Bäckerei auf, der sich infolge der Windbelastung bedenklich zur Seite neigt. Sie fragen sich, welche Kraft auf den Kamin infolge des Sturms wohl wirkt. Dabei treffen Sie folgende Annahmen:
Windgeschwindigkeit:
c∞ = 65 km/h
Kamindurchmesser:
d = 0,25 m
Kaminhöhe:
h=8m
Lufttemperatur:
T = 20 °C
Luftdruck:
p = 1020 hPa
157
6. Impulssatz
6 Impulssatz
Im den ersten beiden Kapiteln wurden in der Hydrostatik und Aerostatik die Kräfte
auf Begrenzungsflächen bei ruhenden Systemen betrachtet. Im Folgenden soll die
Frage geklärt werden, welche Kräfte in bewegten Systemen auftreten. Die folgenden Betrachtungen lassen sich aus dem zweiten Axiom von Newton47 ableiten, dem
sogenannten Grundgesetz der Dynamik.
6.1
Newtonsche Axiome
Der englische Naturforscher Isaac Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in
der „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Mathematische Grundlagen
der Naturphilosophie). Interessant ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung
„Naturphilosophie“, das heißt, die strikte Trennung zwischen Naturwissenschaften
und Philosophie, wie Sie sie heute kennen, war zu diesem Zeitpunkt noch nicht
vollzogen. Auch wenn sich das Idealbild des Universalgelehrten heute nicht mehr
realisieren lässt, so nehmen erfahrungsgemäß auch (angehende) Ingenieure keinen
nachweisbaren Schaden, wenn sie sich gelegentlich mit philosophischen Fragestellungen beschäftigen. Das wäre zumindest der zaghafte Versuch eines kleinen
Schritts zurück in Richtung des humboldtschen Bildungsideals.
Das erste Newtonsche Axiom gilt nur in Inertialsystemen und wurde bereits 1638
von dem italienischen Naturforscher Galileo Galilei48 aufgestellt. Das zweite Axiom beschreibt das Grundgesetz der Dynamik, und das dritte Axiom das Prinzip der
mechanischen Wechselwirkung.
-
Erstes Newtonsches Axiom „Trägheitsprinzip“: Ein Körper verharrt im
Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die Summe
aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist.
-
Zweites Newtonsches Axiom „Aktionsprinzip“ oder auch „dynamisches
Grundgesetz“: Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in die Richtung, in
die die Kraft wirkt.
-
Drittes Newtonsches Axiom „Reaktionsprinzip“: Kräfte treten immer
paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus
(actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio).
––––––––––
47
Newton, Isaac (25.12.1642 – 20.03.1726 (jul.) bzw. 04.01.1643 – 31.03.1727 (greg.)), englischer
Naturforscher und Philosoph. Aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche von Rom durch
Heinrich den VIII, bekannt durch seine nach heutigen Maßstäben eher ruppigen Scheidungspolitik,
galt in England noch der julianische Kalender, während in den zivilisierten Teilen Europas bereits
der gregorianische Kalender eingeführt war. Nur für den Fall, dass Sie sich über die beiden unterschiedlichen Geburts- und Sterbedaten etwas wundern.
48
Galilei, Galileo (15.02.1564 – 08.01.1642), italienischer Universalgelehrter. Begründer der modernen wissenschaftlichen Arbeitsweise durch die Kombination von Experiment, Messung und mathematischer Analyse. Durch seine astronomischen Beobachtungen konnte er das heliozentrische
Weltbild von Kopernikus bestätigen wodurch er sich im Widerspruch zur katholischen Kirche befand, die noch wacker am ptolemäischen Weltbild festhielt. Welches besagt, dass die Sonne, ebenso wie alle anderen Planeten, die Erde umkreist. Dieser Konflikt führte im Jahr 1633 zu seiner Verurteilung wegen Ketzerei. Aber auch hier nahm die Gerechtigkeit mit schier unglaublicher
Geschwindigkeit ihren Lauf. Bereits im Jahre 1992(!) wurde Galilei von der katholischen Kirche
rehabilitiert.
158
6. Impulssatz
6.2
Impuls
Aus dem zweiten Newtonschen Axiom, dem dynamischen Grundgesetz folgt die
Beziehung
∙
Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die zeitliche Ableitung der Änderung
der Bewegungsgröße
∙ . Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit wird
auch als Impuls bezeichnet. Auf der linken Seite steht eine Kraft , die entsprechend dem zweiten Newtonschen Axiom der Änderung der Bewegungsgröße entsprechen muss. Bleibt die Masse konstant, so folgt daraus die Beziehung
∙
∙
also Kraft entspricht Masse mal Beschleunigung. Die Integration dieser Kraft über
die Zeit ergibt den Impuls .
∙
Das Integral
∙
∙
wird auch als Kraftstoß bezeichnet und die zeitliche Ände-
rung des Impulses entspricht dem sogenannten Impulsstrom .
∙
∙
∙
Bei stationären Strömungen verschwindet wegen
Beziehung für den Impulsstrom vereinfacht sich zu
∙
∙
0 der Term
∙
und die
∙
Damit kommen wir wieder zurück zum Ausgangspunkt der Betrachtung, dem dynamischen Grundgesetz also
∙
Damit haben Sie den berühmten Impulssatz. Allgemein lässt sich dieser auch
schreiben in der Form
Das bedeutet, dass die Summe aller Kräfte, die auf das Fluid im Kontrollraum wirken, der Summe der Impulsströme entspricht, die die Systemgrenze überschreiten.
Betrachtet wird hierbei jedoch nicht der Gesamtimpulsstrom, sondern lediglich die
Differenz zwischen eintretenden und austretenden Impulsströmen.
Bei einem Flugzeugtriebwerk hätten Sie beispielsweise die angesaugte Luft und
den zugeführten Kraftstoffstrom als Eingangsimpulsstrom und den Abgasstrahl als
Ausgangsimpulsstrom. Noch einfacher liegen die Dinge bei einem Raketentriebwerk. Hier liegt kein Eingangsimpulsstrom sondern lediglich ein einziger Ausgangsimpulsstrom in Form des Abgasstrahls vor.
159
6. Impulssatz
6.3
Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum
Zur Aufbesserung Ihres kargen studentischen Budgets haben Sie eine Aushilfstätigkeit bei einer Heizungsfirma angenommen. Während der Montage eines Rohres
an der Kellerwand überlegen Sie sich, welche Lasten dieses Bauteil wohl später im
laufenden Betrieb aufnehmen wird.
Definition eines Kontrollraums
In Gedanken schneiden Sie aus dem Rohr ein kurzes Stück heraus und definieren
eine virtuelle Grenze (= Systemgrenze) um diesen Bereich. Anschließend überlegen Sie sich welche Masseströme ein- und austreten, welche Drücke an den
Schnittflächen auftreten und welche Kräfte auf das System wirken. Diese Vorgehensweise kennen Sie bereits aus Ihrem zweiten Lieblingsfach, der Thermodynamik.
Erfreulicherweise ist die Situation für solch ein gerades Rohrstück, wie in Abb. 6-1
skizziert, sehr übersichtlich.
(1)
(2)
K
A1
A1

g

y

x
Abb. 6-1: Stationär durchströmtes Rohr mit konstantem Querschnitt
∙ ∙
in den KonAn dem Eintrittsquerschnitt (1) tritt der Massestrom
∙
trollraum ein. An dem Austrittsquerschnitt (2) verlässt der Massestrom
∙
den Kontrollraum. Das Fluid ist inkompressibel (
) und der Rohr). Da es nur einen Eintrittsquerschnitt und nur eiquerschnitt ist konstant (
nen Austrittsquerschnitt gibt, müssen auch die beiden Masseströme gleich sein.
folgt daraus auch
.
Wegen
Analyse der Kräfte
An der Ein- und Austrittsfläche wird also die Impulskraft
∙ auftreten.
Zusätzlich wird eine Druckkraft ∆ an diesen Flächen in Erscheinung treten:
160
6. Impulssatz
∙
∆
mit
pa
äußerer Umgebungsruck
pi
statischer Druck in der Strömung
A
Strömungsquerschnitt
Tritt der Strahl in die freie Umgebung, beispielsweise bei der Fontäne eines
Springbrunnens, so gilt die sogenannte Freistrahlbedingung, das bedeutet, dass der
äußere Umgebungsdruck dem austretenden Strahl aufgeprägt wird. Damit verschwindet diese Druckkraft.
Die Masse des Fluids, das sich innerhalb des Kontrollraums befindet ergibt eine
Gewichtskraft . Bei Gasen kann dieser Beitrag zur Kräftebilanz in der Regel
vernachlässigt werden.
infolge des Fluids.
Die Kontrollfläche K erfährt eine sogenannte Körperkraft
Dem entgegen gerichtet wirkt die Haltekraft
. Bei einem Flugzeugtriebwerk
würde die Körperkraft der Schubkraft des Triebwerks entsprechen und die Haltekraft würde der Last entsprechen, die der Pylon an dem das Triebwerk befestigt ist,
aufnehmen muss.
Im Falle unseres horizontalen, geraden Rohrstücks mit konstantem Querschnitt lautet die Kräftebilanz allgemein
oder
∆
∆
Die Reibung infolge der an der Wand auftretenden Schubspannung wurde der Einfachheit halber in dieser Bilanz vernachlässigt. In der Regel ist die Bestimmung der
Körperkraft
oder der Haltekraft
von Interesse, also
∆
∆
beziehungsweise
∙
∆
∆
Im zweidimensionalen Fall lässt sich diese Gleichung für die Komponenten in xund y-Richtung schreiben als
∙
∆
∆
∙
∆
∆
beziehungsweise
∙
∙
∙
∆
∙
∆
∆
∙
∆
∆
∙
∆
∆
∙
∆
∙
∙
∙
∙
∙
161
6. Impulssatz
Für die Winkel ergibt sich entsprechend dem Koordinatensystem in Abb. 6-1:
0,
0,
∆
0,
,
∆
3/2
Damit vereinfachen sich die beiden Gleichungen zu
∙
∆
∆
Infolge des konstanten Querschnitts ergibt sich für die Geschwindigkeiten
und für die Drücke ∆
∆ . Damit ergibt sich für die Körperkraft
0
beziehungsweise
0
und
0
Das bedeutet, dass das betrachtete Rohrsegment bei reibungsfreier Betrachtung lediglich das Eigengewicht des im Rohr befindlichen Fluids aufnehmen muss. Eine
Belastung infolge der Durchströmung, also eine Impulskraft, erfolgt nicht.
Dieses Ergebnis erscheint auf den ersten Blick natürlich trivial. Allerdings können
Sie sofort erkennen, in welchen Fällen bei durchströmten Rohren eine Impulskraft
auftritt und wann nicht. Die physikalische Ursache für das Auftreten von Kräften in
durchströmten Systemen ist die Differenz zwischen ein- und austretenden Impulsströmen. Erst wenn diese Differenz in der betrachteten Koordinatenrichtung ungleich null ist, kann eine Kraft in Erscheinung treten. Das ist immer dann der Fall,
wenn eine Querschnittsänderung (Düse oder Diffusor) oder eine Richtungsänderung (Rohrkrümmer) vorliegt.
Allgemeiner Fall
Betrachten Sie ein System bei dem mehr als ein Eintritts- und mehr als eine Austrittsfläche vorliegen, also beispielsweise bei einem Verbrennungsmotor mit mehreren Ein- und Auslassventilen, so sind die Impulsströme und Druckkräfte an jeder
einzelnen Ein- und Austrittsfläche zu berücksichtigen.
∆
beziehungsweise
162
∆
6. Impulssatz
∙
∙
∆
∆
6.4
Anwendungsprinzip des Impulssatzes
Generell lassen sich Impulsaufgaben nach einem recht einfachen Schema berechnen. Mit etwas Übung werden Sie später solche Aufgabe auch bereits durch einfache Betrachtung lösen können.
-
Definieren Sie einen Kontrollraum für das Problem. Dabei ist es sehr häufig günstig, sich an den physikalischen Grenzen des Systems, also beispielsweise der Rohrwand zu orientieren.
-
Identifizieren Sie alle Ein- und Austrittsebenen. Sofern Sie selbst der Konstrukteur sind, wird es ein Leichtes sein zu erkennen, wo etwas ein- und
ausströmt.
-
Tragen Sie an allen Ein- und Austrittsflächen die Vektoren für die Geschwindigkeit und die Druckkraft ein. Insbesondere bei der Druckkraft ist
die Wirkungsrichtung im Voraus nicht immer eindeutig zu erkennen. Das
ist aber völlig unproblematisch. Tragen Sie eine beliebige Richtung senkrecht zur Ein- beziehungsweise Austrittsfläche ein und rechnen Sie das
Problem damit durch. Sollten Sie am Ende ein negatives Vorzeichen für
die Druckkraft erhalten, wissen Sie, dass in der Realität die Kraft in der
umgekehrten Richtung wirkt. Was Sie auf keinen Fall tun sollten, ist den
Vektor während der Berechnung zu drehen.
-
Tragen Sie den Vektor für die Gewichtskraft des Fluids ein. Das kann bei
Gasen entfallen. Ebenso liefert die Gewichtskraft des Fluids keinen Beitrag
zur Impulskraft wenn diese senkrecht zur Strömungsrichtung orientiert ist.
-
Bestimmen Sie die Winkel zu den Geschwindigkeitsvektoren, den Vektoren der Druckkraft und der Gewichtskraft. Dabei ist die Wahl des Koordinatensystems beliebig. Es empfiehlt sich jedoch eine Achse parallel oder
senkrecht zu einer Ein- oder Austrittsebene zu legen. Der Winkel alpha
wird links drehend positiv gegenüber der x-Achse angetragen.
-
Bestimmen Sie zur Berechnung des Massestroms und der Druckkräfte für
alle Ein- und Austrittsebenen den statischen Druck p und die Geschwindigkeit c. Sollten diese Werte nicht gegeben sein, so hilft in (fast) allen
Fällen die Bernoulli-Gleichung und die Kontinuitätsgleichung. Bei Gasen
könnte unter Umständen noch die Zustandsgleichung des idealen Gases
hilfreich sein. Mehr werden Sie an Formeln sicher nicht benötigen.
-
Setzen Sie die Impulsgleichung für die Körperkraft in x- und y-Richtung
entsprechend dem vorherigen Kapitel an.
163
6. Impulssatz
Übung 6-1
Betrachten Sie den in Abb. 6-2 skizzierten 90°-Rohrkrümmer mit konstantem
Querschnitt. Dieser wird stationär mit der Geschwindigkeit c1 = c2 = c durchströmt.
Der Krümmer liegt horizontal. Ein- und Austrittsfläche sind gleich groß. Sie können die Annahme treffen, dass die Halterung die Gewichtskraft des Rohrkrümmer
mit Fluid im statischen Fall aufnehmen kann.
Berechnen Sie die zusätzliche Haltekraft , die der Halter an der Wand aufnehmen muss, wenn folgende Größen gegeben sind:
-
Umgebungsdruck
statischer Druck im Eintrittsquerschnitt
Strömungsgeschwindigkeit
Dichte
Rohrinnendurchmesser
pa = 1 bar
p1 = 2,3 bar
c = 10 m/s
 = 10³ kg/m³
d = 30 mm
c
A
c
A
d
Abb. 6-2: Stationär durchströmter Rohrkrümmer
Übung 6-2
Aus einem horizontalen Rohr tritt ein Wasserstrahl aus, trifft auf eine Platte und
teilt sich dort in zwei gleich große Teilstrahlen auf. Gesucht ist die Körperkraft auf
die Platte und die erforderliche Haltekraft.
Wie ändern sich diese Kräfte, wenn die Platte um einen Winkel  gegenüber der
Ausströmrichtung aus dem Rohr gedreht wird?
Gegeben sind folgende Größen:
164
Umgebungsdruck
Strömungsgeschwindigkeit
Dichte
Rohrinnendurchmesser
Neigungswinkel der Platte
pa = 1 bar
c = 10 m/s
 = 10³ kg/m³
d = 30 mm
 = 0°, 10°
6. Impulssatz
Abb. 6-3: Strahl auf eine ebene Platte
Übung 6-3
Ein Tischtennisball kann durch einen ihn umströmenden Luftfreistrahl so in der
Schwebe gehalten werden, dass er sich nicht zu bewegen scheint. Dazu muss eine
Kraft aufgebracht werden, die bei richtiger Abstimmung aller Größen in der Lage
ist, das Gewicht des Balls zu kompensieren. Das Eigengewicht des Luftstrahls
kann vernachlässigt und die Strömung kann als stationär und inkompressibel betrachtet werden.
Setzen Sie den Eintrittsquerschnitt A1, die Geschwindigkeit c1 und den Winkel 1
sowie das Gewicht G des Balls als bekannt voraus.
c2
2
A1
G
c1
1
g
y
x
Abb. 6-4: Schwebender Tischtennisball in einer Luftströmung
165
6. Impulssatz
1. Berechnen Sie die Reaktionskraft Rx auf den Tischtennisball in x-Richtung!
2. Berechnen Sie die Reaktionskraft Ry auf den Tischtennisball in y-Richtung!
3. Berechnen Sie den Austrittswinkel 2 des Luftstrahls aus den gegebenen Größen.
4. Bestimmen Sie die Abströmgeschwindigkeit c2 in Abhängigkeit der gegebenen
beziehungsweise berechneten Größen.
Übung 6-4
Zur Stromversorgung Ihrer auf h = 2000m Höhe gelegenen Berghütte beschließen
Sie eine Windkraftanlage zu installieren. Im Vorfeld führen Sie über einen gesamten Jahreszyklus eine Messung der Windgeschwindigkeit am vorgesehenen Ort für
das Minikraftwerk durch. Dabei ermitteln Sie eine mittlere Windgeschwindigkeit
von c = 5 m/s.
Die maximale Bauteilgröße, die Sie im Tragegestell auf den Berg transportieren
können beträgt lmax = 2 m.
1. Berechnen Sie die maximale Leistung, die Sie im Idealfall aus der Windkraftanlage entziehen können.
2. Berechnen Sie die Kraft auf die Achse des Rotors.
166
7. Drallsatz
7 Drallsatz
Im letzten Kapitel hatten Sie die Auswirkungen von Geschwindigkeitsänderungen
beziehungsweise von Richtungsänderungen in einem translatorisch durchströmten
System kennengelernt. Die zeitliche Änderung des Impulses ergibt den Impulsstrom, also eine Kraft. Im folgenden Kapitel werden Sie die Auswirkung von rotatorisch durchströmten Systemen betrachten. Solchen Systemen begegnen Sie relativ häufig, sei es bei technischen Anwendungen, wie beispielsweise einer
Kreiselpumpe oder einem Turboluftstrahltriebwerk oder in der Natur bei einem
Wasserstrudel. Des Weiteren werden wir die Frage klären, warum wir (fast) alle im
Schulsport beim Reckturnen so häufig einen eher traurigen Anblick boten.
7.1
Drallerhaltung
In Analogie zum Impuls lässt sich bei rotierenden Strömungen der sogenannte
Drehimpuls oder auch Drall definieren. Dessen zeitliche Änderung entspricht dem
Drallstrom, also einem Moment. Der lineare Impuls eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine Geschwindigkeit als
∙
Für eine punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor
Drehimpuls zu
der Drall oder
∙
Da der Drehimpuls eine Funktion des Ortvektors ist, besteht immer eine Abhängigkeit des Dralls von seinem Bezugspunkt. Analog zur zeitlichen Änderung
des Impulses bei der sich eine Kraft
ergibt, folgt für die zeitliche Änderung des Dralls ein Moment
Das heißt die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls.
Starrer Körper in Rotation
Rotiert ein Massepunkt m mit der Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse
(Abb. 7-1), so gilt für die Geschwindigkeit des Massepunkts
Für den Drehimpuls des Massepunkts gilt
∙
∙
167
7. Drallsatz
z
m
(O)
y
x
Abb. 7-1: Rotation eines starren Körpers
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
Liegt bei einem starren Körper eine homogene Masseverteilung vor, so gilt für alle
Teilmassen mi
∙
∙
Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung
0
0
und damit
∙
∙
0
0
0
∙
∙
∙
∙
0
∙
∙
∙
Mit dem Abstand , des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den Drehimpuls
des gesamten Körpers
∙
168
,
∙
7. Drallsatz
Die Summe in der Klammer in dieser Gleichung beschreibt das Massenträgheitsmoment des starren Körpers, nämlich
∙
,
Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J
∙
∙
,
∙
Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment
∙
∙
∙
Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls
Aus der Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit
folgt wegen
∙
∙
also
∥
dass Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, somit ergibt das
Kreuzprodukt
0
und es gilt
Mit
ment
ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmo-
In der anderen Richtung betrachtet bedeutet dies aber, dass ein Drehmoment eine
zeitliche Änderung des Drehimpulses bewirkt, ebenso wie eine Kraft eine zeitliche
Änderung des Impulses bewirkt, also
also Impulsstrom = Kraft und
169
7. Drallsatz
also Drallstrom = Moment. Der Drallstrom entspricht somit der Drehenergie der
Fluidmasse um einen Bezugspunkt.
Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum
entspricht der Summe aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente
∙
oder
∙
beziehungsweise
und
beinhalteten die Momente an den Ein- und AustrittsDie Momente
flächen des Kontrollraums infolge von Druck- und Reibungskräften. Das Moment
wird durch Reibungskräfte an der Innenseite des Kontrollraums, das Moment
wird durch Stützkräfte auf Einbauten und das Moment
wird durch die Gewichtskraft hervorgerufen.
Relevant ist das Drehmoment um die Bezugsachse. Beiträge können in diesem Fall
nur diejenigen Geschwindigkeitskomponenten liefern, die senkrecht auf einen Radius zur Drehachse vorliegen.
∙
∙
∙
Im reibungsfreien Fall verschwindet das Moment und es gilt M = 0, also
∙
∙
oder
∙
Drehimpulserhaltung
Solange keine äußeren Momente auf das System wirken, bleibt auch der Drehimpuls des Systems konstant. Aus der Bedingung
0
folgt
0
beziehungsweise
.
Da sich der Drehimpuls auch als Produkt aus Masseträgheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit schreiben lässt, führt uns dies wieder zurück zu der ursprünglichen Frage, warum wir fast alle beim Reckturnen im Schulsport solch einen traurigen Anblick boten. Die Übung wäre sehr einfach gewesen, hätte der Sportlehrer
den Drallsatz erklären können.
170
7. Drallsatz
Drehimpulserhaltung bedeutet, es gilt
.
Bei der Rotation um eine einzige Achse, in diesem Fall um die Reckstange, vereinfacht sich die Gleichung zu
∙
.
Das Masseträgheitsmoment ergibt sich aus der Masseverteilung des Körpers zur
Drehachse. Je näher der Schwerpunkt zur Drehachse wandert, umso kleiner wird
das Trägheitsmoment, beziehungsweise es wird umso größer, je weiter der
Schwerpunkt sich von der Drehachse entfernt (Abb. 7-2).
Reckstange
(1)
Körperschwerpunkt

Kreisbahn
Schwerpunktbahn
(2)
Abb. 7-2: Schüler beim Feldaufschwung an der Reckstange
Bei Vernachlässigung der Reibungskräfte muss der Gesamtdrehimpuls konstant
bleiben. Eine Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung
der Winkelgeschwindigkeit . Um Schwung aufzunehmen befindet sich der Turner
in gestreckter Haltung, Position (1). Somit befindet sich sein Körperschwerpunkt in
maximaler Entfernung von der Drehachse. Beim Durchgang durch den unteren
Totpunkt, Position (2), werden die Beine angewinkelt, wodurch sich der Körperschwerpunkt näher zur Drehachse verschiebt und das Trägheitsmoment in Bezug
auf die Reckstange kleiner wird. Aus der Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls folgt entsprechend
∙
∙
.
beziehungsweise
⇒
171
7. Drallsatz
dass die Winkelgeschwindigkeit bei verkleinertem Trägheitsmoment jetzt ansteigen muss und der Turner eine nach oben beschleunigte Bewegung um die Reckstange ausführt.
Dieser Effekt lässt sich in den unterschiedlichsten Anwendungen beobachten, beispielsweise beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhochachse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um die Drehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls
führt zu einer Erhöhung der Drehrate, infolgedessen die Eiskunstläuferin mit stark
erhöhter Drehgeschwindigkeit um ihre Hochachse rotiert.
Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) lässt sich auch leicht mit
Hilfe eines drehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten, beispielsweise zwei Büchern49 nachvollziehen. Mit seitlich ausgestreckten Armen halten Sie in jeder Hand
ein jeweils gleich schweres Buch und versetzten den Bürostuhl in eine Drehung.
Ziehen Sie die beiden Bücher zu sich heran, so nimmt die Drehgeschwindigkeit automatisch zu. Bevor Ihnen vollständig übel wird, strecken Sie die beiden Bücher
einfach wieder so weit als möglich seitlich von sich weg und die Drehung verlangsamt sich wieder. Dabei sollten Sie darauf achten, dass die Gewichtsverteilung
symmetrisch zur Drehachse verläuft, da andernfalls die Gefahr besteht, dass der
Stuhl bei der Drehung kippt.
Diesen Versuch haben Sie sicher in der einen oder anderen Form schon einmal
durchgeführt. Aber den nächsten Versuch kennen Sie vielleicht noch nicht. Alles
was Sie dazu benötigen sind wieder ein Drehstuhl und ein Rad, beispielsweise das
Vorderrad Ihres alten Drahtesels. Es empfiehlt sich die Radachse mit zwei Griffen
zu versehen, da die eventuell auftretenden Kippmomente recht groß werden können und Gefahr besteht, dass die teuren Radspeichen Schaden nehmen, falls Sie Ihre Finger in das rotierende Rad bringen.
Zu Beginn des Versuches halten Sie die Radachse senkrecht zur Drehachse des
Stuhls (Abb. 7-3a). Sie versetzen das Rad in eine Rotation und harren der Dinge,
die kommen mögen. Der Drehimpulsvektor des Rades zeigt in z-Richtung und leistet keinen Beitrag in y-Richtung, also die Drehachse Ihres Bürostuhls. Somit verbleiben Sie auf Ihrem Stuhl in Ruhe. Interessant wird der Versuch, wenn Sie das
rotierende Rad um 90 Grad drehen, so dass die Radachse jetzt parallel zur Drehachse des Stuhls liegt, also in y-Richtung zeigt (Abb. 7-3b). Da zu Beginn der Gesamtdrehimpuls gleich Null war, darf sich an dieser Bedingung nichts ändern. Um
die Forderung nach einem unveränderten Drehimpuls zu erfüllen, muss der Drall
des Rades durch einen betragsmäßig gleich großen, aber mit einem entgegengesetzten Vorzeichen versehenen Drallvektor kompensiert werden. Als Folge begin––––––––––
49
172
Bücher: Dicke, bedruckte Papierstapel, die an einer Seite, dem Buchrücken zusammengeleimt sind.
Sie finden diese sogenannten Bücher in gehäufter Form an einem heute meist verwaisten, geheimnisvollen Ort, der auch Bibliothek genannt wird. In der Regel wird dieser Ort von Studenten eher
gemieden. Bis ins 21. Jahrhundert bildeten gedruckte Bücher die Grundlage zur Aneignung von
Wissen, verloren jedoch mit der zunehmenden Verbreitung von internetfähigen Mobiltelefonen fast
gänzlich an Bedeutung und sind bei heutigen Studenten nahezu unbekannt. Trotz der nach gegenwärtigen Maßstäben sehr begrenzten Speicherkapazität, hatten Bücher einen unschlagbaren Vorteil:
Auch bei vollständigem Ausfall der Stromversorgung blieb die Speicherfähigkeit erhalten. Ebenso
waren Sie vergleichsweise robust, nur wenig anfällig gegenüber mechanischer Belastung und ertrugen auch Stürze aus größeren Höhen völlig unbeschadet. Gefahr drohte ihnen allenfalls von ideologischer Seite, als es beispielsweise in der finsteren Phase der neueren deutschen Geschichte bedauerlicherweise üblich wurde das Trägermaterial unliebsamen Gedankengutes zu verbrennen, anstatt
zu lesen.
7. Drallsatz
nen Sie sich auf dem Drehstuhl in entgegen gesetzter Drehrichtung um die y-Achse
zu drehen.
Achten Sie bei diesem Versuch unbedingt auf eine feste Haltemöglichkeit der Radachse!
y
y
y


x

z
z
Abb. 7-3: Versuch zur Drehimpulserhaltung a) Rad rotiert parallel zur z-Achse,
b) Rad rotiert parallel zur y-Achse
Einfluss der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen – Tornado
Voraussetzung für die Entstehung eines Tornados ist das Zusammentreffen einer
trocken-kalten Luftmasse mit einer feucht-warmen Luftmasse. Sobald sich die kalte Luft trotz ihrer größeren Dichte über die warme Luftmasse schiebt, bildet sich
eine instabile Schichtung mit großem vertikalem Temperaturunterschied. Kalte
Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeit aufzunehmen als warme
Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes,
was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch die Kondensation wird zusätzliche Wärme freigesetzt, wodurch es zur Ausbildung einer nach
oben gerichteten Luftbewegung kommt. Die dabei frei werdende Energie entspricht
genau der Energie, die zuvor in Form von solarer Einstrahlung aufgewendet wurde,
um das Wasser von der flüssigen in die gasförmige Phase umzuwandeln (Verdampfungsenthalpie). Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft auf der Nordhalbkugel einen linksdrehenden Wirbel mit einem Durchmesser von wenigen Metern. Auf der Südhalbkugel bildet sich
entsprechend ein rechtsdrehender Wirbel. Die große Rotationsgeschwindigkeit im
Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung. Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten bewirken Zentrifugalkräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des
Wirbels. Die oben liegende Kaltluft wird jetzt, infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die der unten liegenden Warmluft, nach unten
gesaugt. Die kondensierte Feuchte aus der feucht-warmen Luft bewirkt das Erscheinungsbild des dunklen „Rüssels“ des Tornados, der von der Gewitterwolke
auf den Erdboden herabhängt. Das wäre alles sehr schön anzuschauen, wären da
nicht die destruktiven Begleiterscheinungen, infolge des starken Druckgefälles und
der hohen Windgeschwindigkeiten im Wirbelkern des Tornados.
173
7. Drallsatz
7.2
Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen
Drall kann in einer Strömung durch die Umlenkung an einem Leitblech oder einer
Schaufel entstehen. Dadurch wird dem Fluid zusätzlich zur translatorischen Bewegung noch eine rotatorische Bewegung aufgeprägt. Ein schönes Anwendungsbeispiel für diesen Prozess sind Strömungsmaschinen. Das sind Maschinen, die entweder einer Strömung Energie zuführen (Verdichter, Kompressoren oder Pumpen)
oder der Strömung Energie entziehen (Turbine). In Abhängigkeit von der Bauform
unterscheidet man zwischen Axial- und Radialmaschinen. Axial durchströmte Maschinen sind im Wesentlichen dadurch gekennzeichnet, dass sie sehr hohe Strömungsgeschwindigkeiten und damit hohe Masseströme erlauben, jedoch vergleichsweise geringe Druckänderungen bewirken. Radial durchströmte Maschinen
hingegen zeichnen sich durch hohe Druckänderungen bei relativ geringen Geschwindigkeiten aus.
7.2.1
Drall am Beispiel einer axialen Strömungsmaschine
Radial als auch axial durchströmte Maschinen bestehen immer aus einer paarweisen Anordnung von einem Laufrad, das sich auf der Achse dreht und einem
Leitrad, das mit dem Gehäuse verbunden ist und still steht. Diese Kombination aus
Lauf- und Leitrad wird auch als Stufe bezeichnet. Die infolge der radialen Umlenkung der Strömung entstehende Geschwindigkeitsverteilung soll am Beispiel der in
Abb. 7-4 skizzierten axial durchströmten Verdichterstufe erläutert werden. Die
Strömung bewegt sich mit der axialen Geschwindigkeit c1 in der Ebene (1) auf das
Laufrad zu, das sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u1 dreht. Damit ergibt sich
für die Strömung die Relativgeschwindigkeit w1 zum Laufrad, das unter dem Winkel 1 angeströmt wird. Die Strömung hat nun zusätzlich zur translatorischen Geschwindigkeit eine rotatorische Komponente, also einen Drall. Stromabwärts des
Laufrads, in der Ebene (2), wird die Strömung um den Winkel 2 umgelenkt und
hat nun zum Laufrad die Relativgeschwindigkeit w2. Das feststehende Leitrad hat
die Aufgabe die Strömung wieder in axialer Richtung umzulenken. Die axiale Geschwindigkeitskomponente ca bleibt in allen drei Ebenen konstant. Der Druckanstieg ergibt sich im Wesentlichen durch das Laufrad, da hier die Relativgeschwindigkeit von w1 auf w2 verzögert. Die anschließende Umlenkung in radialer
Richtung durch das Leitrad bewirkt eine weitere Verzögerung der Relativgeschwindigkeit und damit einen zusätzlichen Druckanstieg in Strömungsrichtung.
Gehäuse (1)
(2)
(3)
(2)
(1)
(3)
A
A

Laufrad
Leitrad

Laufrad
Leitrad
Abb. 7-4: Axial durchströmte Verdichterstufe a) Schnitt durch eine Stufe einer
axial durchströmten Strömungsmaschine, b) Abwicklung des koaxialen Schnitts
A–A
174
7. Drallsatz
7.2.2
Drall am Beispiel einer radialen Strömungsmaschine
Eine andere sehr weit verbreitete Bauform von Strömungsmaschinen sind Radialmaschinen. Hier erfolgt eine Beschleunigung der Strömung hauptsächlich in radialer Richtung. Die Geschwindigkeitsverhältnisse an einem Laufrad eines Radialverdichters sind in Abb. 7-5 skizziert. Den wesentlichen Beitrag zum Druckanstieg
liefert die Erhöhung der Umfangsgeschwindigkeit zwischen Eintrittsebene (1) und
Austrittsebene (2) von u1 auf u2.
(1)
(2)
Gehäuse
(2)
r2
(1)
rm1
(1)

(2)
rm2
r1



Laufrad
Abb. 7-5: Geschwindigkeitsverhältnisse am Laufrad eines Radialverdichters
Die vom Laufrad auf das Fluid übertragene Leistung P12 ergibt sich aus dem mittleren Radius rm beziehungsweise dem mittleren Durchmesser dm der Stromfläche.
Die Stromfläche A berechnet sich aus den Radien r1 und r2 entsprechend
∙
∙
∙
mit
∙ ergibt sich für die auf das mit  rotie-
Mit der Umfangsgeschwindigkeit
rende Laufrad übertragene Leistung
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙
 bezogen, so ergibt sich die spezifische
Wird die Leistung auf den Massestrom m
technische Arbeit wt,12 oder auch Y
∙
∙
175
7. Drallsatz
Übung 7-1
Für das in Abb. 7-5 skizzierte Laufrad einer einstufigen Pumpe gilt
-
Zu- und Abströmgeschwindigkeit:
c1 = 20 m/s, c2 = 40 m/s
-
Strömungswinkel:
1 = 75°, 2 = 25°
-
Laufradabmessungen:
rm,1 = 0,07 m, rm,2 = 0,1 m
-
Massenstrom:
-
Drehzahl:
n = 1200 min-1
-
Gesamtwirkungsgrad:
P = 65%
= 50 kg/s
1. Berechnen Sie das Moment M, das das Laufrad auf die Strömung ausübt.
2. Berechnen Sie die aufgenommene Leistung Pges der Pumpe.
3. Berechnen Sie die spezifische technische Arbeit wt,12, die die Pumpe an die
Strömung abgibt.
176
Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
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Anderson J. D. (1985): Introduction to Flight, McGraw-Hill Book Company
Böswirth, L. (2007): Technische Strömungslehre, 7. Auflage, F. Vieweg und SohnVerlag/ GWV Fachverlag GmbH, Wiesbaden
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Kaskas, A. A. (1970): Schwarmgeschwindigkeiten in Mehrkornsuspensionen am
Beispiel der Sedimentation, Diss. TU Berlin
Kümmel, W. (2007): Technische Strömungsmechanik, 3. Auflage, Teubner-Verlag/
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3. Auflage
Moody, F.(1944): Friction Factors for Pipe Flow, Transactions of the A.S.M.E.,
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Schlichting H, Truckenbrodt E. (1967): Aerodynamik des Flugzeugs, Erster Band,
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Siegloch, H. (1996): Technische Fluidmechanik, 3. Auflage, VDI-Verlag Düsseldorf
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Weast R.C., Astle M.J. (1979): Handbook of Chemistry and Physics, 60th Edition,
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Wittfogel, K.A. (1931): Wirtschaft und Gesellschaft Chinas. Versuch der wissenschaftlichen Analyse einer großen asiatischen Agrargesellschaft. 1. Teil: Produktivkräfte, Produktions- und Zirkulationsprozess. C.L. Hirschfeld, Leipzig
177
Anhang
Stichwortverzeichnis
Ablösegebiet 115
Ablösung 20
Absorption 24
Adhäsionskräfte 23
adiabat 104
Adsorption 24
Aerodynamik 13
Aerostatik 13
Aggregatszustände 23
Ähnlichkeitskennzahlen 105
Aktionsprinzip 159
Alembertsches
Paradoxon 121
Anziehungskräfte
intermolekulare 24
Atmosphäre 68
Auftrieb
dynamischer 54
statischer 54
Auftriebskraft 55
Austrittsverluste 144
Bahnkurve 14
Barometer
Quecksilber 44
Benetzung
form 27
hydrophil 27
hydrophob 27
Bernoulli-Gleichung 17, 96
Bruchgrenze 13
Carnot-Stoß 145
Dampfdruck 39
Dampfdruckkurve 23, 39
Dampftafel 39
diabat 104
Diffusor 145
Drall 168
Drallstrom 168
Drallvektor 173
Drehimpuls 168
Drehimpulserhaltung 171
Druck 17, 31
Absolut- 31
bohrung 41
gesamt 41
messung 41
Rückgewinn 145
178
sensor 41
sonde 41
statischer 40
total 40
verlust 136
Wirk- 148
Durchfluss
Koeffizient 149
Zahl 148
Einbauten 142
Eintrittsverlust 143
Energie
erhaltungssatz 91
innere 93
System- 93
Transport- 93
Enthalpie 94
Ersatzdurchmesser
hydraulischer 150
Exosphäre 71
Expansionszahl 149
Flächen-Deviationsmoment 48
Flächenschwerpunktskoordinate 46
Flächenträgheitsmoment 47
Fluide 11, 19, 20
ideale 19
inkompressible 20
kompressible 20
Newton‘sche 13
reale 19
reibungsbehaftete 19
reibungsfreie 19
Fluidmechanik 11
Freiheitsgrade 23
Freistrahlbedingung 162
Gasdynamik 13
Gasgleichung 22
Gaskonstante
spezifische 23, 95
Geoid 82
Gibbs'sche Phasenregel 23
Grenzflächenspannung 24
Grenzschicht 19, 102
Strömungs- 103
Temperatur- 104
Grenzschichttheorie
Prandtlsche 107
Haftungsbedingung 19, 103
Anhang
Haltekraft 162
Hauptsatz
erster 93
Heaviside-Schichten 70
Höhe 81
absolute 82
Dichte- 86
Druck- 83
geometrische 81
geopotentielle 82
metazentrische 60
Hydraulik 13
Hydromechanik 13
Hydrostatik 13, 31
Hyperschall 13
Impuls 160
Impulssatz 160
Impulsstrom 160
Ionosphäre 70
Isobarenfläche 61, 65, 85
Kapillar
aszension 27
depression 27
kraft 28
methode 29
wirkung 27
Kármánsche
Wirbelstraße 116
Kavitation 39
Kohäsionskräfte 23
Kompressibilität 20
Kontinuitätsgleichung 17, 90
Kontinuumsannahme 14
Kontinuumshypothese 13
Kontraktionszahl 144
Körperkraft 162
Kraftstoß 160
Krümmungsdruck 25
laminar 104
Mach-Zahl 13
Manometer
Schrägrohr 42
U-Rohr 42
Masseerhaltungssatz 90
Massenpunktdynamik 12
Massenträgheitsmoment 170
Massestrom 17
Mesosphäre 70
Metazentrum 60
Molekularkräfte 23
Nachlaufdelle 117
Niveaufläche 61
Normatmosphäre 76
Nußelt-Zahl 105
Oberflächenspannung 24
Pascalsches Paradoxon 34
Péclet-Zahl 105
Perpetuum Mobile 96
Phasen 23
Pitot-Rohr 42
Potentialströmungen 19
Prandtl
Grenzschichtgleichung 107
Korrekturfaktor 113
Zahl 106, 114
Prandtl-Rohr 42
Randwinkel 27
Reaktionsprinzip 159
Recovery-Faktor 109
Reynolds-Zahl
kritische 117
Rheologie 13
Ringmethode 30
Rohrreibungszahl 138
Rohrströmung
laminare 134
turbulente 135
Rotationsparaboloid 64
Saugpumpe 38
Schallgeschwindigkeit 13
Schallmauer 13
Schrägrohrmanometer 44
Schwimmachse 60
Schwimmfläche 60
Siededruck 23, 39
Siedetemperatur 23, 39
SI-System 32
Spannung
Normal- 24
Schub- 24
Stabilität
statische 60
Stalagmometer 29
Staudruck 17
Staupunkt 20, 40
Steighöhe
kapillare 28
Stolperdraht 118, 156
Stratopause 70
179
Anhang
Stratosphäre 70
Streckgrenze 13
Stromfaden 18
Stromlinie 15
Stromröhre 18
Strömung 13, 18
inkompressibel 13
instationär 18
kompressibel 13
kriechende 154
stationär 18
Strömungen
verdünnter Gase 14
Strömungsmaschine
axiale 175
radiale 176
Strömungsmechanik 11
Stufe
Verdichter 175
Sutherlandformel 79
System 91
grenze 91
Taucherkrankheit 24
Teilchenkräfte 23
Temperaturgrenzschicht 104
Thermosphäre 70
Totwassergebiet 20, 115, 122
Trägheitsprinzip 159
Transition
erzwungene 117
natürliche 117
Transitionspunkt 104, 117
Transschall 13
180
Treibhauseffekt 69
Tropopause 70
Troposphäre 70
turbulent 104
Überschall 13
Umlaufbahn 12
Umlaufzeit 12
Umschlagpunkt 104, 117
Unterschall 13
Van-Allen-Strahlengürtel 71
Verlustbeiwert
für Einbauten 142
Versuchswesen 12
Viskosität 103
dynamische 103
kinematische 103
Volumen
virtuelles 35
Wärmekapazität
isobare 94
isochore 94
Weglänge
mittlere freie 70
Widerstand
Druck 122
Form 122
Gesamt 121
induzierter 126, 131
Reibungs 122
Zähigkeit 103
Zustandsgleichungen 22
kalorische 94
Zustandsgrößen 22
Anhang
Anhang
Tab. A-1
Stoffdaten von Gasen bei 0°C
[Stephan K., Mayinger, 2013] .............................................. 182
Tab. A-2:
Definitionen der SI-Basiseinheiten [Geller, 2015] ............... 183
Tab. A-3:
Physikalische Konstante [Weast, Astle, 1979] ..................... 183
Tab. A-4,5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel),
[Stephan, Mayinger, 2013] ................................................... 184
Tab. A-6,7: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel)
[Stephan, Mayinger, 2013] ................................................... 186
Tab. A-8a-g: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 ......................... 188
181
Anhang
A. Tabellen
Gas
cp
M
R

[kJ/kgK]
[kg/mol]
[kJ/kgK
]
[-]
Helium
He
5,2380
4,003
2,0770
1,660
Argon
Ar
0,5203
39,950
0,2081
1,660
Wasserstoff
H2
14,2000
2,016
4,1250
1,409
Stickstoff
N2
1,0390
28,010
0,2968
1,400
Sauerstoff
02
0,9150
32,000
0,2598
1,397
1,0040
28,950
0,2872
1,400
Luft
Kohlenmonoxid
CO
1,0400
28,010
0,2968
1,400
Stickstoffmonoxid
NO
0,9983
30,010
0,2771
1,384
Chlorwasserstoff
HCl
0,7997
36,460
0,2280
1,400
Wasser
H 20
1,8580
18,020
0,4615
1,330
Kohlendioxid
CO2
0,8169
44,010
0,1889
1,301
Distickstofftmonoxid
N 20
0,8507
44,010
0,1889
1,285
Schwefeldioxid
S02
0,6092
64,060
0,1298
1,271
Ammoniak (R717)
NH3
2,0560
17,030
0,4882
1,312
Azetylen
C2H2
1,5130
26,040
0,3193
1,268
Methan
CH4
2,1560
16,040
0,5183
1,317
CH3Cl
0,7369
50,490
0,1647
1,288
Ethylen
C2H4
1,6120
28,050
0,2964
1,225
Ethan (R170)
C2H6
1,7290
30,070
0,2765
1,200
Ethylchlorid
C2H5Cl
1,3400
64,510
0,1289
1,106
C2H8
1,6670
44,100
0,1896
1,128
Methylchlorid
Propan (R290)
Tab. A-1Stoffdaten von Gasen bei 0°C [Stephan K., Mayinger, 2013]
182
Anhang
Größe
Einheit
Zeichen Definition
Länge
Meter
[m]
Länge, die das Licht im Vakuum in 1/299792458
Sekunden durchläuft
Masse
Kilogramm
[kg]
Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps
Zeit
Sekunde
[s]
9192631770fache Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung.
Elektrische Ampère
Stromstärke
[A]
Die Stärke eines zeitlich konstanten elektrischen
Stroms, der durch zwei im Vakuum parallel, im
Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete,
geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen pro 1 Meter Leiterlänge eine elektrodynamische Kraft von 210-7 N erzeugen
würde.
Temperatur
Kelvin
[K]
Der 273,16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser
Lichtstärke
Candela
[cd]
Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer
Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung
von 5401012 Hz aussendet und deren Strahlstärke
in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt.
Stoffmenge
Mol
[mol]
Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des
Nuklids 12C enthalten sind.
Tab. A-2: Definitionen der SI-Basiseinheiten [Geller, 2015]
Boltzmann-Konstante
k
1,3805410-23
J/K
Planck-Konstante
h
6,625610-34
Js
Stefan-Boltzmann-Konstante

5,669710-8
W/(K4m2)
Avogadro-Konstante
N
6,022521023
1/mol
Molare Gaskonstante
Rm
8,3143
J/(molK)
5
Normdruck
pN
1,0132510
Pa
Normtemperatur
TN
273,15
K
Normvolumen
VN
22,4136
m3/kmol
Erdbeschleunigung
g
9,80665
m/s2
Tab. A-3: Physikalische Konstante [Weast, Astle, 1979]
183
Anhang
p
[bar]
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
13,00

[°C]
6,983
17,513
24,10
28,98
32,90
36,18
41,53
45,83
60,09
69,12
75,88
81,35
85,96
89,95
93,51
96,71
99,63
102,32
104,81
107,13
109,32
111,4
113,3
116,9
120,2
123,3
126,1
128,7
131,2
133,5
135,8
137,9
139,9
141,8
143,6
147,9
151,8
158,8
165,0
170,4
175,4
179,9
184,1
188,0
191,6
spezifisches Volumen
v'
v''
[m³/kg]
[m³/kg]
0,001000
129,2
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28,19
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18,10
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2,732
0,001036
2,365
0,001039
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1,869
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1,549
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1,428
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1,325
0,001051
1,236
0,001053
1,159
0,001055
1,091
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0,001133
0,1774
0,001139
0,1632
0,001144
0,1511
spez, Enthalpie
spez, Entropie
h'
h''
s'
s''
[kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)]
29,3
2514
0,106
8,977
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2534 0,2607
8,725
101,0
2546 0,3544
8,579
121,4
2554 0,4225
8,476
137,8
2562 0,4763
8,396
151,5
2568 0,5209
8,331
173,9
2577 0,5925
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191,8
2585 0,6493
8,151
251,5
2610 0,8321
7,909
289,3
2625 0,9441
7,770
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2637 1,0261
7,671
340,6
2646 1,0912
7,595
359,9
2654
1,145
7,533
376,8
2660
1,192
7,480
391,7
2666
1,233
7,435
405,2
2671
1,270
7,395
417,5
2675
1,303
7,36
428,8
2680
1,333
7,328
439,4
2683
1,361
7,298
449,2
2687
1,387
7,272
458,4
2690
1,411
7,247
467,1
2693
1,434
7,223
475,4
2696
1,455
7,202
490,7
2702
1,494
7,162
504,7
2706
1,530
7,127
517,6
2711
1,563
7,095
529,6
2715
1,593
7,066
540,9
2718
1,621
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551,4
2722
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7,014
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2725
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6,991
570,9
2728
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2730
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2733
1,738
6,93
596,8
2735
1,757
6,912
604,7
2738
1,776
6,894
623,2
2743
1,82
6,855
640,1
2748
1,86
6,819
670,4
2756
1,931
6,759
697,1
2762
1,992
6,705
720,9
2768
2,046
6,659
742,6
2772
2,094
6,62
762,6
2776
2,138
6,583
781,1
2780
2,179
6,550
798,4
2783
2,216
6,519
814,7
2785
2,251
6,491
Tab. A-4: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [Stephan, Mayinger,
2013]
184
Anhang
p
[bar]
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
110
120
130
140
150
160
180
200
220
221,2

[°C]
195,0
198,3
201,4
204,3
207,1
209,8
212,4
217,2
221,8
226,0
230,1
233,8
237,5
240,9
244,2
247,3
250,3
253,2
256,1
258,8
261,4
263,9
269,9
275,6
280,8
285,8
290,5
295
299,2
303,3
307,2
311
318,1
324,7
330,8
336,6
342,1
347,3
357
365,7
373,7
374,2
spezifisches Volumen
v'
v''
[m³/kg]
[m³/kg]
0,001149
0,1407
0,001154
0,1317
0,001159
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0,001164
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0,001168
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spez, Enthalpie
spez, Entropie
h'
h''
s'
s''
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2788
2,284
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2790
2,315
6,441
858,6
2792
2,344
6,418
871,8
2793
2,371
6,396
884,6
2795
2,398
6,375
896,8
2796
2,423
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2797
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2799
2,492
6,302
951,9
2800
2,534
6,269
971,7
2801
2,574
6,239
990,5
2802
2,611
6,210
1008,4
2802
2,646
6,184
1025,4
2802
2,679
6,159
1041,8
2802
2,71
6,134
1057,6
2802
2,74
6,112
1072,7
2801
2,769
6,090
1087,4
2800
2,797
6,069
1102
2799
2,823
6,048
1115
2798
2,849
6,029
1129
2797
2,874
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1142
2796
2,897
5,991
1155
2794
2,921
5,974
1185
2790
2,976
5,931
1214
2785
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5,891
1241
2780
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2774
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1317
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2753
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2745
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1386
2736
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1408
2728
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2709
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5,560
1492
2689
3,497
5,500
1532
2667
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5,441
1572
2642
3,624
5,380
1611
2615
3,686
5,318
1651
2585
3,747
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1735
2514
3,877
5,113
1827
2418
4,015
4,941
2011
2196
4,295
4,580
2107
2107
4,443
4,443
Tab. A-5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [Stephan, Mayinger,
2013]
185
Anhang

[°C]
0,0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
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150
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165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
p
[bar]
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0,7011
0,8453
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1,433
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1,985
2,321
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15,55
17,24
19,08
21,06
23,2
spez. Volumen
v'
v''
[dm³/kg] [m³/kg]
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206,3
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147,2
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25,24
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1,0099
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1,0199
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4,134
1,0292
3,409
1,0326
2,829
1,0361
2,361
1,0399
1,982
1,0437
1,673
1,0477
1,419
1,0519
1,21
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1,036
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1,0700 0,6681
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1,0801 0,5085
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1,1082 0,2724
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1,1275 0,1938
1,1344 0,1739
1,1415 0,1563
1,1489 0,1408
1,1565 0,1272
1,1644
0,115
1,1726 0,1042
1,1811 0,09463
1,1900 0,08604
spez. Enthalpie
spez. Entropie
h'
h''
s'
s''
[kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)]
-0,04
2502 -0,0002
9,158
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2511
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2520
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2556
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146,6
2565
0,5049
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167,5
2574
0,5721
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188,4
2583
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2592
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2601
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251,1
2610
0,831
7,911
272,0
2618
0,8933
7,832
293,0
2627
0,9548
7,757
313,9
2635
1,0154
7,684
334,9
2644
1,0753
7,613
355,9
2652
1,134
7,545
376,9
2660
1,193
7,48
398,0
2668
1,25
7,417
419,1
2676
1,307
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2684
1,363
7,296
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2691
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2706
1,528
7,129
525,0
2713
1,581
7,077
546,3
2720
1,634
7,026
567,7
2727
1,687
6,977
589,1
2733
1,739
6,928
610,6
2739
1,791
6,882
632,2
2745
1,842
6,836
653,8
2751
1,892
6,791
675,5
2757
1,943
6,748
697,3
2762
1,992
6,705
719,1
2767
2,042
6,663
741,1
2772
2,091
6,622
763,1
2776
2,139
6,582
785,3
2780
2,188
6,542
807,5
2784
2,236
6,504
829,9
2788
2,283
6,465
852,4
2791
2,331
6,428
875,0
2794
2,378
6,391
897,7
2796
2,425
6,354
920,6
2798
2,471
6,318
943,7
2800
2,518
6,282
Tab. A-6: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) [Stephan, Mayinger,
2013]
186
Anhang

[°C]
225
230
235
240
245
250
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
371
372
373
374
374,15
p
[bar]
25,5
27,98
30,63
33,48
36,52
39,78
43,25
46,94
50,88
55,06
59,5
64,2
69,19
74,46
80,04
85,93
92,14
98,7
105,61
112,9
120,6
128,6
137,1
146,1
155,5
165,4
175,8
186,8
198,3
210,5
213,1
215,6
218,2
220,8
221,2
spez. Volumen
v'
v''
[dm³/kg] [m³/kg]
1,1992 0,07835
1,2087 0,07145
1,2187 0,06525
1,2291 0,05965
1,2399 0,05461
1,2513 0,05004
1,2632
0,0459
1,2756 0,04213
1,2887 0,03871
1,3025 0,03559
1,3170 0,03274
1,3324 0,03013
1,3487 0,02773
1,3659 0,02554
1,3844 0,02351
1,4041 0,02165
1,4252 0,01993
1,4480 0,01833
1,4726 0,01686
1,4995 0,01548
1,5289 0,01419
1,5615 0,01299
1,5978 0,01185
1,6387 0,01078
1,6858 0,00976
1,7411 0,00879
1,8085 0,00785
1,8959 0,00694
2,016 0,00601
2,2136 0,00497
2,2778 0,00472
2,3636 0,00443
2,4963 0,00408
2,8407 0,00345
3,17 0,00317
spez. Enthalpie
spez. Entropie
h'
h''
s'
s''
[kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)]
966,9
2801
2,564
6,246
990,3
2802
2,610
6,211
1013,8
2802
2,656
6,176
1037,6
2802
2,702
6,141
1061,6
2802
2,748
6,106
1085
2800
2,794
6,071
1110
2799
2,839
6,036
1135
2796
2,885
6,001
1160
2794
2,931
5,966
1185
2790
2,976
5,93
1211
2786
3,022
5,895
1237
2780
3,068
5,859
1263
2775
3,115
5,822
1290
2768
3,161
5,785
1317
2760
3,208
5,747
1345
2751
3,255
5,708
1373
2741
3,303
5,669
1402
2730
3,351
5,628
1432
2718
3,400
5,586
1463
2704
3,450
5,542
11494
2688
3,501
5,497
1527
2670
3,553
5,449
1560
2650
3,606
5,398
1596
2626
3,662
5,343
1633
2599
3,719
5,283
1672
2568
3,780
5,218
1717
2530
3,849
5,144
1764
2485
3,921
5,06
1818
2428
4,002
4,958
1890
2343
4,111
4,814
1911
2318
4,141
4,774
1936
2287
4,179
4,724
1971
2244
4,233
4,656
2046
2155
4,349
4,517
2107
2107
4,443
4,443
Tab. A-7: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) [Stephan, Mayinger, 2013]
187
Anhang
H
T
p

c
 104
p/pH=0
/H=0
T/TH=0
H
[km]
[K]
[Pa]
[kg/m³
[m/s]
[m²/s]
[-]
[-]
[-]
[km]
0,0
288,150
101325,000
1,224287
340,393
0,14620
1,000000
0,999418
1,000000
0,0
0,1
287,500
100129,727
1,212580
340,009
0,14736
0,988204
0,989861
0,997744
0,1
0,2
286,850
98945,891
1,200959
339,624
0,14852
0,976520
0,980375
0,995489
0,2
0,3
286,200
97773,414
1,189423
339,239
0,14970
0,964949
0,970958
0,993233
0,3
0,4
285,550
96612,211
1,177973
338,854
0,15088
0,953488
0,961610
0,990977
0,4
0,5
284,900
95462,203
1,166606
338,468
0,15208
0,942139
0,952332
0,988721
0,5
0,6
284,250
94323,305
1,155324
338,082
0,15330
0,930899
0,943122
0,986465
0,6
0,7
283,600
93195,430
1,144126
337,695
0,15452
0,919767
0,933980
0,984210
0,7
0,8
282,950
92078,500
1,133010
337,308
0,15576
0,908744
0,924906
0,981954
0,8
0,9
282,300
90972,438
1,121978
336,920
0,15701
0,897828
0,915900
0,979698
0,9
1,0
281,650
89877,156
1,111028
336,532
0,15827
0,887019
0,906961
0,977442
1,0
1,1
281,000
88792,570
1,100160
336,143
0,15954
0,876315
0,898089
0,975187
1,1
1,2
280,350
87718,617
1,089373
335,754
0,16083
0,865715
0,889284
0,972931
1,2
1,3
279,700
86655,195
1,078667
335,365
0,16213
0,855220
0,880545
0,970675
1,3
1,4
279,050
85602,242
1,068042
334,975
0,16345
0,844828
0,871871
0,968419
1,4
1,5
278,400
84559,672
1,057498
334,585
0,16478
0,834539
0,863263
0,966163
1,5
1,6
277,750
83527,406
1,047033
334,194
0,16612
0,824351
0,854721
0,963908
1,6
1,7
277,100
82505,367
1,036647
333,803
0,16747
0,814265
0,846243
0,961652
1,7
1,8
276,450
81493,477
1,026341
333,411
0,16884
0,804278
0,837829
0,959396
1,8
1,9
275,800
80491,664
1,016113
333,019
0,17023
0,794391
0,829480
0,957140
1,9
2,0
275,150
79499,836
1,005963
332,626
0,17163
0,784602
0,821194
0,954885
2,0
2,1
274,500
78517,938
0,995891
332,233
0,17304
0,774912
0,812972
0,952629
2,1
2,2
273,850
77545,875
0,985896
331,839
0,17447
0,765318
0,804813
0,950373
2,2
2,3
273,200
76583,586
0,975979
331,445
0,17591
0,755821
0,796717
0,948117
2,3
2,4
272,550
75630,984
0,966137
331,051
0,17737
0,746420
0,788684
0,945862
2,4
2,5
271,900
74687,992
0,956372
330,656
0,17885
0,737113
0,780712
0,943606
2,5
2,6
271,250
73754,555
0,946683
330,260
0,18034
0,727901
0,772802
0,941350
2,6
2,7
270,600
72830,578
0,937068
329,864
0,18184
0,718782
0,764954
0,939094
2,7
Tab. A-8a: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
188
Anhang
H
T
p

c
 104
p/pH=0
/H=0
T/TH=0
H
[km]
[K]
[Pa]
[kg/m³
[m/s]
[m²/s]
[-]
[-]
[-]
[km]
2,8
269,950
71916,000
0,927529
329,468
0,18336
0,709756
0,757167
0,936838
2,8
2,9
269,300
71010,742
0,918064
329,071
0,18490
0,700822
0,749440
0,934583
2,9
3,0
268,650
70114,734
0,908673
328,674
0,18645
0,691979
0,741774
0,932327
3,0
3,1
268,000
69227,898
0,899356
328,276
0,18803
0,683226
0,734168
0,930071
3,1
3,2
267,350
68350,172
0,890112
327,877
0,18961
0,674564
0,726622
0,927815
3,2
3,3
266,700
67481,477
0,880941
327,479
0,19122
0,665990
0,719136
0,925560
3,3
3,4
266,050
66621,742
0,871843
327,079
0,19284
0,657505
0,711708
0,923304
3,4
3,5
265,400
65770,898
0,862816
326,679
0,19448
0,649108
0,704340
0,921048
3,5
3,6
264,750
64928,875
0,853861
326,279
0,19614
0,640798
0,697029
0,918792
3,6
3,7
264,100
64095,602
0,844977
325,878
0,19781
0,632574
0,689778
0,916537
3,7
3,8
263,450
63271,004
0,836165
325,477
0,19951
0,624436
0,682583
0,914281
3,8
3,9
262,800
62455,023
0,827422
325,075
0,20122
0,616383
0,675447
0,912025
3,9
4,0
262,150
61647,578
0,818750
324,673
0,20295
0,608414
0,668368
0,909769
4,0
4,1
261,500
60848,609
0,810148
324,270
0,20470
0,600529
0,661345
0,907513
4,1
4,2
260,850
60058,047
0,801615
323,867
0,20647
0,592727
0,654379
0,905258
4,2
4,3
260,200
59275,820
0,793151
323,463
0,20826
0,585007
0,647470
0,903002
4,3
4,4
259,550
58501,863
0,784755
323,059
0,21007
0,577368
0,640616
0,900746
4,4
4,5
258,900
57736,109
0,776427
322,654
0,21189
0,569811
0,633818
0,898490
4,5
4,6
258,250
56978,492
0,768167
322,249
0,21374
0,562334
0,627075
0,896235
4,6
4,7
257,600
56228,941
0,759975
321,843
0,21561
0,554937
0,620388
0,893979
4,7
4,8
256,950
55487,398
0,751850
321,437
0,21750
0,547618
0,613755
0,891723
4,8
4,9
256,300
54753,789
0,743791
321,030
0,21941
0,540378
0,607176
0,889467
4,9
5,0
255,650
54028,059
0,735798
320,623
0,22134
0,533215
0,600652
0,887212
5,0
5,1
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0,873677
5,6
Tab. A-8b: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
189
Anhang
H
T
p

c
 104
p/pH=0
/H=0
T/TH=0
H
[km]
[K]
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[-]
[-]
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0,808260
8,5
Tab. A-8c: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
190
Anhang
H
T
p

c
 104
p/pH=0
/H=0
T/TH=0
H
[km]
[K]
[Pa]
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[m/s]
[m²/s]
[-]
[-]
[-]
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0,751865
13,0
Tab. A-8d: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
191
Anhang
H
T

p
c
 104
p/pH=0
/H=0
H
[km]
[K]
[Pa]
[kg/m³
[m/s]
[m²/s]
[-]
[-]
[-]
[km]
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Tab. A-8e: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
192
T/TH=0
Anhang
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T
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p
c
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H
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62,0
Tab. A-8f: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
193
Anhang
H
T

p
c
 104
p/pH=0
/H=0
H
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[K]
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[-]
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0,624675
89,0
Tab. A-8g: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533
194
T/TH=0
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