Fluidmechanik Peter Hakenesch Version 3.0 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis ....................................................................................... 6 1 Einleitung ........................................................................................................ 11 1.1 Historische Entwicklung ........................................................................... 11 1.2 Arbeitsweise in der Strömungsmechanik ................................................. 12 1.3 Begriffsdefinitionen und physikalische Eigenschaften von Fluiden ........ 13 1.3.1 . Bahnkurve, Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre ................... 14 1.3.2 . Stationäre- und instationäre Strömung ......................................... 18 1.3.3 . Reale und ideale Fluide ................................................................ 19 1.3.4 . Kompressible- und inkompressible Fluide ................................... 20 1.3.5 . Ein-, zwei- und drei-dimensionale Strömungen ........................... 22 1.3.6 . Zustandsgrößen und Aggregatszustände ...................................... 22 1.3.7 . Teilchenkräfte, Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ....... 24 2 Hydrostatik ..................................................................................................... 31 2.1 Druck ........................................................................................................ 31 2.1.1 . Hydrostatischer Druck .................................................................. 33 2.1.2 . Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen .......................... 34 2.1.3 . Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße ................... 35 2.1.4 . Hydraulische Presse ..................................................................... 36 2.1.5 . Förderhöhe einer Saugpumpe ....................................................... 38 2.1.6 . Kavitation ..................................................................................... 39 2.2 Druckmessung .......................................................................................... 40 2.2.1 . Statische Größen und Totalgrößen ............................................... 40 2.2.2 . Einbau von Drucksonden ............................................................. 41 2.2.3 . U-Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer ............................ 42 2.2.4 . Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung 44 2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ....................................................... 45 2.3.1 . Kräfte auf ebene Flächen .............................................................. 46 2.3.2 . Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen ...................... 50 2.3.3 . Druckkraft auf nicht-abwickelbare Flächen ................................. 51 2.4 Statischer Auftrieb .................................................................................... 55 2.4.1 . Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs ....................... 58 2.5 Stabilität schwimmender Körper .............................................................. 59 2.6 Fluide unter Beschleunigung .................................................................... 60 2.6.1 . Fluide unter translatorischer Beschleunigung .............................. 61 2.6.2 . Fluide unter rotatorischer Beschleunigung ................................... 62 3 Aerostatik ........................................................................................................ 67 3.1 Aufbau der Erdatmosphäre ....................................................................... 67 3.1.1 . Dynamisches System Erdatmosphäre........................................... 67 3.1.2 . Höhenschichten der Atmosphäre .................................................. 69 3.1.3 . Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre ........................... 70 3.1.4 . Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ................................. 71 3.2 Internationale Normatmosphäre (ISA) ..................................................... 75 3.3 Höhendefinitionen .................................................................................... 80 3.3.1 . Geometrische Höhe und absolute Höhe ....................................... 80 3.3.2 . Geopotentielle Höhe ..................................................................... 81 3.3.3 . Druckhöhe .................................................................................... 82 3.3.4 . Dichtehöhe.................................................................................... 85 3 Inhaltsverzeichnis 4 Strömung von Fluiden ....................................................................................87 4.1 Beschreibung des Strömungsfeldes ...........................................................87 4.2 Kontinuitätsgleichung................................................................................88 4.2.1 . Volumenstrom .............................................................................. 88 4.2.2 . Massestrom .................................................................................. 89 4.2.3 . Masseerhaltungssatz ..................................................................... 89 4.3 Bernoulli-Gleichung ..................................................................................90 4.3.1 . Thermodynamische Grundlagen .................................................. 90 4.3.2 . Voraussetzungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung ........ 95 4.4 Strömungen mit Energietransport ..............................................................98 4.4.1 . Arbeitsmaschinen zur Energiezufuhr ........................................... 98 4.4.2 . Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr ........................................... 99 4.5 Grenzschichtströmungen ...........................................................................101 4.5.1 . Strömungsgrenzschicht ................................................................ 102 4.5.2 . Temperaturgrenzschicht ............................................................... 103 4.5.3 . Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie ...................... 106 4.5.4 . Ablösung der Grenzschicht .......................................................... 114 4.5.5 . Transition ..................................................................................... 116 4.6 Widerstand.................................................................................................120 4.6.1 . Reibungswiderstand ..................................................................... 121 4.6.2 . Druckwiderstand .......................................................................... 121 4.6.3 . Induzierter Widerstand ................................................................. 125 4.6.4 . Interferenzwiderstand ................................................................... 130 4.6.5 . Wellenwiderstand ......................................................................... 131 4.6.6 . Gesamtwiderstand und Widerstandsbeiwert ................................ 131 4.7 Rohrströmungen ........................................................................................133 4.7.1 . Laminare Rohrströmung .............................................................. 133 4.7.2 . Turbulente Rohrströmung ............................................................ 134 4.7.3 . Druckverlust bei Rohrströmungen ............................................... 135 4.7.4 . Rohrreibungswiderstand............................................................... 136 4.7.5 . Widerstand infolge von Einbauten ............................................... 141 4.7.6 . Druckverlust im Gesamtsystem ................................................... 149 4.7.7 . Hydraulischer Ersatzdurchmesser ................................................ 149 5 Umströmung von Körpern .............................................................................152 5.1 Umströmung stumpfer Körper...................................................................152 5.1.1 . Kugelumströmung ........................................................................ 152 5.1.2 . Zylinderumströmung .................................................................... 156 6 Impulssatz ........................................................................................................158 6.1 Newtonsche Axiome .................................................................................158 6.2 Impuls ........................................................................................................159 6.3 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum........................................................160 6.4 Anwendungsprinzip des Impulssatzes .......................................................163 7 Drallsatz ...........................................................................................................167 7.1 Drallerhaltung ............................................................................................167 7.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen .............................174 7.2.1 . Drall am Beispiel einer axialen Strömungsmaschine ................... 174 7.2.2 . Drall am Beispiel einer radialen Strömungsmaschine.................. 175 Literaturverzeichnis .............................................................................................177 Stichwortverzeichnis ............................................................................................178 Anhang ..................................................................................................................181 4 Inhaltsverzeichnis A. Tabellen ........................................................................................................... 182 5 Abkürzungsverzeichnis Abkürzungsverzeichnis Lateinische Abkürzungen 6 A [m²] Fläche A [N] Auftrieb a [m/s] Schallgeschwindigkeit a [m²/s] Beschleunigung a [m²/s] Temperaturleitfähigkeit b [m] Spannweite C [-] Durchflusskoeffizient C [-] Dimensionsloser Beiwert c [m/s] Geschwindigkeit c [kJ/kgK] spezifische Wärme d [m] Durchmesser e [J/kg] spezifische Energie e [-] Abminderungsfaktor F [N] Kraft g [m²/s] Erdbeschleunigung f [-] Anzahl der Freiheitsgrade g [m²/s] Erdbeschleunigung H [-] Höhe H [J] Enthalpie h [m] Höhe h [m] Höhe, kapillare Steighöhe h [m] Höhe des Metazentrums h [J/kg] spezifische Enthalpie I [Ns] Impuls J [kgm2] Massenträgheitsmoment K [-] Anzahl der Komponenten K [-] Kontrollraum k [m] Rautiefe L [m] Länge L [Nms] Drall, Drehimpuls l [m] Länge M [- ] Metazentrum M [Nm] Moment Abkürzungsverzeichnis m [kg] Masse N [-] Flächenschwerpunkt Nu [-] Nußelt n [-] Polytropenexponent O [m²] benetzte Oberfläche P [-] Anzahl der Phasen P [W] Leistung Pr [-] Prandtl p [Pa] Druck Q [J] Wärme q [J/kg] spezifische Wärme R [J/kgK] Spezifische Gaskonstante R [m] Radius R [N] Kraft, resultierende Re [-] Reynolds r [m] Radius r [-] recovery-Faktor r [-] Ortsvektor S [-] Stromlinie S [J/K] Entropie S [m²] Fläche s [m] Strecke s [J/kgK] spezifische Entropie T [s] Umlaufzeit T [K, °C] Temperatur t [s] Zeit U [m] Umfang u, v, w [m/s] Geschwindigkeiten in x-, y-, z-Richtung V [m³] Volumen v [m³/kg] spezifisches Volumen W [N] Widerstand W [J] Arbeit w [J/kg] spezifische Arbeit Y [J/kg] spezifische Arbeit x, y, z [m] Koordinaten 7 Abkürzungsverzeichnis Griechische Abkürzungen 8 [°], [rad] Winkel [-] Durchflussziffer [W/m²K] Wärmeübergangskoeffizient [°], [rad] Anstellwinkel K [-] Kontraktionszahl [°], [rad] Winkel [-] Durchmesserverhältnis [°], [rad] Schiebewinkel [m2/s] Zirkulation [m³/kgs²] Gravitationskonstante [K/m] Temperaturgradient [m] Dicke [-] Verlustziffer [-] Wirkungsgrad [°C] Temperatur [-] Isentropenexponent [-] Streckung [W/mK] Wärmeleitfähigkeit [-] Rohrreibungszahl [Pas] dynamische Viskosität [m] Bezugslänge [m²/s] kinematische Viskosität [-] Kreiszahl [kg/m³] Dichte [N/m] Oberflächenspannung [kJ/kg] Schmelzwärme [ms²/kg] Kompressibilität [N/m²] Schubspannung [%] relative Luftfeuchte [°], [rad] Winkel [W/m²] Wärmestromdichte [s-1] Winkelgeschwindigkeit Abkürzungsverzeichnis Indizes 0 Totalgröße 1 Verdrängungsdicke 2 Impulsverlustdicke ∞ freie, ungestörte Außenströmung A Auftrieb a außen a absolut a adiabat a Grenzschichtrand a axial a aerodynamisch D Druckwiderstand diss dissipiert e eigen (= adiabat) g geometrisch ges Totalgröße hydr hydraulisch i innen i induziert ind induzierter Widerstand int Interferenzwiderstand krit kritisch lam laminar M Moment N Nase N normal p Druck p konstanter Druck Rest Restwiderstand ref Bezugsgröße S Strömungsgrenzschicht Sys Systemenergien T Temperaturgrenzschicht Trans Transportenergien T tangential 9 Abkürzungsverzeichnis 10 t Totalgröße turb turbulent U laminare Unterschicht u Umfang V Verlustdruck v konstantes Volumen W Wand W Wellenwiderstand W Widerstand 1 Einleitung 1 Einleitung Strömungsmechanik oder auch Fluidmechanik bezeichnet die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten und Gase. Sie ist ein Teilgebiet der Technischen Mechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieser Wissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper oder Fluidmechanik, wobei unter dem Begriff "flüssige Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind. Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafür nach DIN 5492, inzwischen ersetzt durch DIN 1304, den Begriff "Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen: „Unter einem Fluid wird eine Flüssigkeit, ein Gas oder ein Dampf , also ein nichtfestes Kontinuum verstanden, auf welches die Gesetze der Strömungsmechanik anwendbar sind.“ Im Englischen wird die Bezeichnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nichtfestes Kontinuum in Abgrenzung zum Festkörper („solid“), verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik" wird aus historischen Gründen immer noch verwendet, umfasst jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft von den Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, das heißt der Hydrostatik beziehungsweise Aerostatik. 1.1 Historische Entwicklung Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlich experimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Angesichts der bereits in der Antike erreichten Leistungen auf dem Gebiet der Strömungsmechanik erwies sich dieses Vorgehen im Rahmen von Versuch und Irrtum als pragmatisch. Bereits um 3250 v. Chr. wurden im alten Ägypten künstliche Bewässerungssysteme eingeführt, die neben der Bewässerungsfunktion noch weitreichende gesellschaftliche Konsequenzen nach sich zogen. Wittvogel (1931) vertritt die Theorie, dass erst durch die Regulierung und Verteilung von knappen Wasserressourcen die Basis zur Entstehung von autokratischen Gesellschaftssystemen geschaffen wurde, wie beispielsweise in Ägypten oder später in China. Auf ihn geht der Begriff der hydraulischen Gesellschaft zurück. Ähnlich erfolgreich waren auch Erfindungen, wie beispielsweise die archimedische Schraube oder Schneckenpumpe zur Wasserförderung. Dieses Pumpprinzip wurde in Holland zur Entwässerung der Polder bis ins 19. Jahrhundert eingesetzt. Auch wenn sie im Wesentlichen dem Unterhaltungssektor zugeordnet werden können, so stellen die ab dem 11. Jahrhundert in China gefertigten Raketen das Ergebnis strömungsmechanischer Entwicklungen dar. Kleinigkeiten wie Formgebung der Düse, Ausströmgeschwindigkeit, Brennkammerdruck und –temperatur wurden auch hier rein experimentell ermittelt. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte zeitgleich mit der Entwicklung der Differential- und Integralrechnung die Entwicklung der theoretischen Strömungsmechanik ein. Nun standen zwar die mathematischen Werkzeuge und Methoden zur Beschreibung komplexer strömungsmechanischer Fragestellungen zur Verfügung, was noch lange nicht bedeutete, dass dadurch auch deren Beantwortung in allen Fällen möglich war. Erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit der ersten leistungsfähigen elektronischen Rechner, als bisher einzig bekanntem sinnvolles Abfallprodukt der bemannten 11 1 Einleitung Raumfahrt1, begann die Entwicklung der numerischen Strömungsmechanik (computational fluid dynamics, kurz CFD). Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind nicht als isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitig ergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Stärken und Schwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen und experimentellen Verfahren eingestuft werden. 1.2 Arbeitsweise in der Strömungsmechanik Wodurch zeichnet sich nun die Arbeit eines Strömungsmechanikers aus? Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die häufig sehr gute Einblicke in reale Vorgänge gibt, ist die Strömungslehre wesentlich komplexer. Mithilfe der Massenpunktdynamik lässt sich beispielsweise eine Planetenbewegung vergleichsweise einfach darstellen, sofern die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w und Beschleunigung a bekannt sind. Dazu fällt Ihnen sicher das 3. Gesetz von Kepler zur Berechnung der Umlaufbahn eines Planeten um die Sonne ein: ∙ 4∙ . 3,36 ∙ 10 ⁄ mit Gravitationskonstante 6,6710-11 m³/kgs² mS Masse der Sonne, ca. 1,991030 kg ergibt sich bei einer mittleren Umlaufzeit der Erde um die Sonne von T = 365 Tagen = 3,1536107 s der mittlere Abstand der Erde zur Sonne von r = 1,4951011 m. Da die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ca. c = 3108 m/s beträgt, benötigt das Licht für die Strecke von der Sonne zur Erde somit t = 498 s = 8,3 min. Den Ansatz der Massenpunktdynamik, der bei der Bahnberechnung von Planeten sehr gute Ergebnisse liefert, ließe sich theoretisch auch auf die Umströmung eines Körpers anwenden. Im Falle von Luft sind die Molekül- bzw. Atommassen der einzelnen Komponenten bekannt. Analog zur Bahnberechnung eines Planeten könnte man nun für jedes einzelne Teilchen eine Bahnberechnung erstellen. Diese Betrachtung hat jedoch einen kleinen Schönheitsfehler. Da die Bahnberechnung für alle im Kontrollvolumen enthaltenen Teilchen zu erstellen ist, stößt man sehr schnell an die Grenzen des Möglichen. Unter Normbedingungen (p = 1 bar, T = 0°C) entspricht dies bei Luft einem Volumen von V = 0,022414 m³. Darin sind NA = 6,0221023 Teilchen enthalten. Das ergibt eine stattliche Anzahl von Gleichungen, die hier zu lösen wären. Daher nimmt das Versuchswesen in der Strömungsmechanik eine wichtigere Rolle ein als in der Massenpunktdynamik. In der Strömungsmechanik stehen häufig nicht die bewegten Teilchen als vielmehr die Rückwirkung der Strömung auf ruhende oder gleichförmig bewegte Körper im Mittelpunkt des Interesses, beispielsweise –––––––––– 1 Raumfahrt, bemannte: In diesem Zusammenhang wird gerne auf die Teflon-Pfanne verwiesen. Angesichts der Unsummen, die die bemannte Raumfahrt bis heute verschlungen hat, wäre eine Bratpfanne ohnehin ein sehr ärmliches Ergebnis. Die Wahrheit ist aber noch viel trauriger. Das Patent zur Teflon-Beschichtung geht bereits auf das Jahr 1938 zurück. 12 1 Einleitung Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, also computergestützte Verfahren zunehmend an Bedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationen ergänzt. 1.3 Begriffsdefinitionen und physikalische Eigenschaften von Fluiden Die in Abb. 1-1 skizierte Unterteilung der einzelnen Gebiete der Strömungsmechanik folgt keiner stringenten Logik, hat sich aber im Lauf der Geschichte als praktikabel erwiesen. Im Gegensatz zum Festkörper, bei dem eine Streckgrenze (Beginn der plastischen Verformung), gefolgt von einer Bruchgrenze (Materialversagen) vorliegen, verformt sich ein Fluid unter dem Einfluss einer Schubspannung bis zum Erreichen einer monomolekularen Schicht beständig weiter. Zusätzlich wird die Annahme der Kontinuumshypothese erfüllt, das heißt die Masse ist stetig über das Kontrollvolumen verteilt. Die Mehrzahl der Fluide weisen, ähnlich wie Festkörper, ein nahezu lineares Dehnverhalten auf und werden als Newton‘sche Fluide bezeichnet. Fluide, die in ihrem Dehnverhalten markant von dieser linearen Näherung abweichen werden dem Gebiet der Rheologie zugeordnet. Darunter fallen beispielsweise Honig, flüssiger Beton, Zahnpasta, Farbdispersionen oder flüssiger Kuchenteig. Die Unterteilung in Hydromechanik (Flüssigkeiten) und Mechanik der Gase ist nicht so trennscharf, wie man glauben möchte. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten verhalten sich Flüssigkeiten und Gase erfreulicherweise sehr ähnlich. In beiden Fällen lassen sich ruhende und bewegte Systeme unterscheiden. Aufgrund seiner besonderen Bedeutung wird die Hydraulik, eigentlich ein Teilgebiet der Hydrodynamik, als eigenständiges Gebiet betrachtet. Zu Problemen, die innerhalb der Hydrostatik betrachtet werden gehört beispielsweise die Berechnung der Belastung auf eine Staumauer, während bei der Hydrodynamik die Strömungsverhältnisse im Fallrohr, das vom Stausee zur Turbine führt, betrachtet werden. Eine Fragestellung aus dem Bereich der Aerostatik wäre beispielsweise die Nutzlastberechnung eines Gasballons wohingegen die Berechnung des Ausströmvorgangs aus dem Ventil in den Bereich der Aerodynamik beziehungsweise der Gasdynamik fällt. Die Aerodynamik lässt sich in kompressible und inkompressible Strömungen unterteilen. Bei niedrigen Geschwindigkeiten, die Grenze liegt hier bei einer Geschwindigkeit, die 30% der Schallgeschwindigkeit entspricht, verhalten sich Gase ähnlich wie eine Flüssigkeit und lassen sich dadurch recht einfach berechnen. Bei höheren Geschwindigkeiten lässt sich diese schöne Vereinfachung leider nicht mehr anwenden und Sie befinden sich im Bereich der kompressiblen Strömungen, die auch als Gasdynamik bezeichnet wird. Die nächste magische Grenze, die Sie bei einer weiteren Erhöhung der Geschwindigkeit passieren ist die sogenannte Schallmauer, die den Unterschallbereich von dem Überschallbereich trennt. Die Unterscheidung Unter- zu Überschallströmung ergibt sich ganz einfach aus dem Vergleich ob die Flug- beziehungsweise Strömungsgeschwindigkeit kleiner oder größer als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, also der Schallgeschwindigkeit ist. Insbesondere für die Flugzeugaerodynamik ist der Übergangsbereich von Unterschall zu Überschall, dem sogenannten Transschall (0,8 < Mach < 1,2) von besonderem Interesse, da sich hier die Strömungsparameter besonders stark in Abhängigkeit von der Mach-Zahl, also dem Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zu Schallgeschwindigkeit, ändern. Handelt es sich bei der Grenze zwischen Unterschall und Überschall noch um eine scharf definierte Grenze, so ist die Abgrenzung zum nächst höheren Geschwindigkeitsbereich, dem Hyperschall, nicht 13 1 Einleitung mehr so präzise definiert. In Abhängigkeit von dem jeweils betrachteten physikalischen Phänomen liegt die Grenze zum Hyperschall bei der 4,5- bis 6-fachen Schallgeschwindigkeit, also bei Mach = 4,5 bis 6. Infolge der immer geringer werdenden Luftdichte in der oberen Atmosphäre wird die Kontinuumsannahme nicht mehr erfüllt und man spricht in diesem Bereich von Strömungen verdünnter Gase. Die Berechnung gestaltet sich hier wieder etwas einfacher, da die Berechnung von Druck und Temperatur über eine Impulsbetrachtung am einzelnen Gasteilchen erfolgen kann. Strömungsmechanik Rheologie Hydromechanik Hydrostatik Hydrodynamik Mechanik der Gase Hydraulik Aerostatik Aerodynamik Gasdynamik inkompressibel kompressibel Unterschall Transschall Überschall Hyperschall verdünnte Gase Abb. 1-1: Gliederung der Strömungsmechanik 1.3.1 Bahnkurve, Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, das heißt die Kurve auf der sich ein einziges Fluidteilchen bewegt. Optisch lässt sich die Bahnkurve zum Beispiel durch die farbliche Markierung des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t-2 < t < t2 bestimmen. Die Markierung kann durch die Zugabe von Farbtropfen in einer Wasserströmung oder durch Rauch in einer Luftströmung erfolgen. Werden nur wenige oder auch nur ein einziges Teilchen markiert und Sie stellen Ihre Kamera auf eine längere Belichtungszeit ein, so wird die Bahnlinie des markierten Teilchens als durchgehende Kurve auf der photographischen Aufnahme erscheinen. 14 1 Einleitung Stromlinie t = t0 = const. t0 t0 t1 t0 t0 Bahnlinie t-2 < t < t2 t2 t0 t-1 t-2 Abb. 1-2: Bahnlinie und Stromlinie Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Optisch lässt sich die Stromlinie durch die farbliche Markierung mehrerer Teilchen und die Beobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, zum Beispiel durch die photographische Aufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Foto, jedoch mit einer Belichtungszeit, die so gewählt wird, dass alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurücklegen. Dieser zurückgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strich auf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor des markierten Teilchens entspricht. Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, das heißt die Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden die Tangenten an die Stromlinie. Im Falle einer stationären Strömung, also einer Strömung in der sich über den betrachteten Zeitraum die Parameter Druck, Dichte, Temperatur und Geschwindigkeit nicht ändern, sind Stromlinien mit Bahnlinien identisch. Stromlinien, sofern sie erstmal experimentell oder rechnerisch erzeugt wurden, liefern sehr viele Informationen über ein Strömungsfeld. Die Stromliniendichte in einem Strömungsfeld hängt ausschließlich von Ihnen, also dem Betrachter selbst ab. Versetzen Sie sich in die Lage eines Kartographen, der die Höhenlinien in eine Karte einzeichnet. In Abhängigkeit von dem Maßstab werden Sie sich für eine engere oder weitere Staffelung der Höhenlinien entscheiden. Bei einer topgraphischen Karte des Deutschen Alpenvereins im Maßstab von 1:25000 werden Sie die Höhenlinien in einer Staffelung von 10m eintragen, wohingegen Sie bei einer Weltkarte sehr wahrscheinlich eine Höhenstaffelung von 100m oder noch größer wählen werden. Die Topographie des Geländes ist jedoch völlig unabhängig von der Dichte der eingezeichneten Höhenlinien. 15 1 Einleitung Analog verhält sich die Situation in einem Strömungsfeld, welches völlig unbeeinflusst ist, von der Dichte der markierten Stromlinien, da diese das Strömungsfeld lediglich beschreiben. Abb. 1-3: Stromlinien an einem Flügelprofil im Rauchkanal (Hochschule München) Stromlinien haben einige interessante Eigenschaften. Aufgrund der Bedingung, dass die Geschwindigkeitsvektoren immer eine Tangente an die Stromlinie bilden, können sich Stromlinien nicht überschneiden und auch keine Unstetigkeitsstellen (Knicke) aufweisen. In diesem Fall würde sich an dem Schnittpunkt ein Teilchen zur gleichen Zeit am gleichen Ort mit zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen. Das Krankheitsbild der multiplen Persönlichkeiten kommt zwar gelegentlich bei Menschen vor, doch auch dort tritt diese Erscheinung eher sequentiell als zeitgleich auf. Entweder der Patient glaubt Einstein zu sein oder etwas später Napoleon, aber nur selten beides zur gleichen Zeit. S1 P S2 Abb. 1-4: Unvereinbarkeit sich überschneidender Stromlinien Da sich Stromlinien nicht überschneiden können, kann im Fall einer zweidimensionalen Strömung auch kein Massestrom über eine Stromlinie erfolgen; sie können also als starre Wände betrachtet werden. Das führt dazu, dass auf der Basis von Stromlinienbildern ohne weitere Berechnung Aussagen darüber getroffen werden können ob die Strömung beschleunig oder verzögert wird und ob der statische 16 1 Einleitung Druck steigt oder sinkt. Dazu benötigen Sie lediglich zwei sehr einfache Basisgleichungen der Strömungsmechanik, die Kontinuitätsgleichung und die BernoulliGleichung. Diese beiden Gleichungen werden Sie in Kapitel 4 (Strömung von Fluiden) noch näher kennenlernen. Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass bei einer stationären Strömung der Massestrom konstant ist, das heißt der Massestrom der am Querschnitt (1) in das System eintritt ist identisch mit dem Massestrom, der am Querschnitt (2) wieder aus dem System austritt. Einfacher gesagt: Das was am linken Ende in ein Rohr einströmt, muss auch am rechten Ende wieder herauskommen. Der Massestrom ist definiert als das Produkt aus Dichte , Geschwindigkeit c und Strömungsquerschnitt A, also ∙ ∙ const. Betrachten Sie die in Abb. 1-5 skizzierten Stromlinien um ein Tragflügelprofil. An der Flügeloberseite liegen die Linien enger zusammen als im Querschnitt (1) oder (2), das bedeutet, dass der Strömungsquerschnitt zwischen zwei Stromlinien an der Flügeloberseite kleiner ist als in (1) oder (2). Unter der Annahme, dass es sich hier um eine inkompressible Strömung handelt, muss sich infolge des verkleinerten Querschnitts an der Oberseite die Geschwindigkeit ebenfalls ändern. Zur Erfüllung der Forderung nach einem konstanten Massestrom muss die Geschwindigkeit an dieser Stelle also größer werden. Sie können somit ohne jegliche Berechnung die Aussage treffen, dass an der Flügeloberseite die Strömung beschleunigt wird. (1) (2) F Abb. 1-5: Stromlinien um ein Tragflügelprofil Nun zur zweiten Basisgleichung, der Bernoulli-Gleichung. Die Kernaussage dieser Gleichung lautet, dass wenn Sie sich entlang einer Stromlinie bewegen, die Gesamtenergie oder auch der Gesamtdruck konstant bleiben. Im einfachsten Fall, bei Vernachlässigung der potentiellen Energie, setzt sich der Gesamtdruck pges zusammen aus dem statischen Druck p und dem Staudruck ⁄2 ∙ . 2 ∙ const. Im Fall unseres Tragflügels hatten Sie schon aus der Anordnung der Stromlinien erkannt, dass die Strömung auf der Oberseite des Flügels beschleunigt. Die einzige Möglichkeit um die Forderung nach einem konstanten Gesamtdruck bei einer Geschwindigkeitserhöhung zu erfüllen, besteht in einer Absenkung des statischen Drucks p, das heißt, dass im Strömungsfeld mit einer Geschwindigkeitserhöhung immer eine Verringerung des statischen Drucks einhergeht. Sie erhalten also auf der Flügeloberseite einen geringeren statischen Druck als auf der Flügelunterseite. Diese Druckdifferenz zwischen Ober- und Unterseite resultiert in einer nach oben gerichteten Kraft, dem Auftrieb. In Abb. 1-6 verlaufen eine endliche Zahl von Stromlinien durch die Eintrittsfläche A1, die durch die Hüllkurve K1 gebildet wird. Die gleiche Anzahl von Stromlinien 17 1 Einleitung tritt durch die Austrittsfläche A2, die durch die Hüllkurve K2 gebildet wird wieder aus. Die Gesamtheit all dieser Stromlinien wird als Stromfaden bezeichnet. In vielen Anwendungsfällen genügt jedoch bereits eine einzige Stromlinie, die die Mittelwerte aller Stromlinien auf sich vereinigt. Das entspricht dem eindimensionalen Stromfaden. Insbesondere bei der Betrachtung von Rohrströmungen ist solch eine Abbildung der Mittelwerte auf einem eindimensionalen Stromfaden völlig ausreichend um beispielsweise den Massestrom in einer Leitung zu berechnen. Die einhüllende Fläche eines Stromfadens wird als Stromröhre bezeichnet. Stromfadenachse Austrittsfläche A 2 Hüllkurve K2 Stromröhre Hüllkurve K1 Eintrittsfläche A 1 Abb. 1-6: Stromfaden und Stromröhre 1.3.2 Stationäre- und instationäre Strömung Zur Beschreibung eines Strömungsfeldes ist auch die Betrachtung des Zeitverhaltens der Zustandsgrößen im Strömungsfeld, das heißt Geschwindigkeit, Druck, Dichte und, Temperatur, erforderlich. Bleiben alle diese Zustandsgrößen über den betrachteten Zeitraum konstant, so spricht man von einer stationären Strömung. Die zeitlichen Derivativa verschwinden also: ∂ 0 Ändert sich auch nur eine einzige Zustandsgröße über den betrachteten Zeitraum, so spricht man von einer instationären Strömung. Die Berechnung instationärer Strömung erfordert in aller Regel das Aufstellen und Lösen von partiellen Differentialgleichungen. Sehr langsam ablaufende oder auch sehr kleine Veränderungen werden als quasistationär bezeichnet und die betrachtete Strömung kann wieder wie eine stationäre Strömung behandelt werden. 18 1 Einleitung 1.3.3 Reale und ideale Fluide Bei realen oder reibungsbehafteten Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen in Strömungsrichtung auf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wärme, das heißt es wird Reibungsarbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sogenannten Grenzschicht in Wandnähe und kann zur Ablösungen der Grenzschicht von der Wand des umströmten Körpers führen. Bei idealen oder reibungsfreien Fluiden werden zwei wesentliche Vereinfachungen getroffen. Zum einen wird die Reibung innerhalb des Fluides als auch, und das ist wesentlich bedeutsamer, die Reibung zwischen dem Fluid und der Wand des umströmten Körpers vernachlässigt. Es treten also keine Schubspannungen in Strömungsrichtung auf, wodurch sich auch keine Grenzschicht im wandnahen Bereich ausbilden kann. Mangels Grenzschicht kann natürlich auch keine Ablösung selbiger von der Wand erfolgen. Zum anderen wird die Dichte im gesamten Strömungsfeld als konstant angenommen. Solche Strömungen werden als Potentialströmungen bezeichnet. Selbstverständlich existieren solche Potentialströmungen in der realen Welt nicht. Allerdings haben sie den großen Vorteil, dass sie in vielen Fällen eine sehr gute Näherung der realen Geschehnisse liefern und im Gegensatz zu realen, reibungsbehafteten Strömungen vergleichsweise einfach zu berechnen sind. Die Grenzen der Anwendbarkeit dieser schönen Vereinfachung liegen immer dort, wo die reale Strömung nicht mehr der Kontur des umströmten Körpers folgen möchte und sich Ablösegebiete einstellen. Ein wesentliches Unterscheidungskriterium zwischen diesen beiden Arten von Strömungen ergibt sich aus der Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe eines umströmten Körpers. Bei einer reibungsfreien Strömung weiß ein Teilchen, das sich in der Nähe des Körpers bewegt mangels Reibung nichts von Teilchen, die sich auf benachbarten Bahnen bewegen. Das führt aber dazu, dass das Teilchen, das sich direkt an der Körperoberfläche entlang bewegt von diesem Körper gar nichts mitbekommt. Die Geschwindigkeit dieses Teilchens entspricht der Geschwindigkeit der freien Außenströmung (Abb. 1-7a). Völlig anders liegen die Verhältnisse bei einer reibungsbehafteten Strömung. Aufgrund der Reibung wird die Strömung direkt an der Wand auf die Geschwindigkeit Null abgebremst. man spricht hier von der sogenannten Haftungsbedingung. Ausgehend von der Körperoberfläche muss die Geschwindigkeit nun quer zur Körperoberfläche stetig zunehmen. es bildet sich eine Geschwindigkeitsgrenzschicht aus (Abb. 1-7b). y c c(y=0) = c y c c(y=0) = 0 x Abb. 1-7: Geschwindigkeitsprofile in Wandnähe, a) Reibungsfreie b) Reibungsbehaftete Strömung x 19 1 Einleitung Da die Berechnung von reibungsfreien Strömungen sehr viel einfacher ist als die Berechnung von reibungsbehafteten Strömungen lässt sich für praktische Anwendungen in vielen Fällen das Strömungsfeld in einen reibungsbehafteten Anteil in der Nähe der Körperoberfläche und in einen reibungsfreien Anteil etwas außerhalb der Grenzschicht aufteilen. Ein weiteres charakteristisches Unterscheidungsmerkmal zwischen diesen beiden Strömungsarten besteht in dem Phänomen der Ablösung. Eine Potentialströmung (reibungsfrei) kennt keine Ablösung und folgt treuherzig der vorliegenden Körperkontur (Abb. 1-8a). Es bildet sich an der Vorder- als auch auf der Rückseite jeweils ein Staupunkt. Das bedeutet, die Strömungsgeschwindigkeit wird auf null abgebremst. Im reibungsbehafteten Fall (Abb. 1-8b) sehen die Verhältnisse auf der Luvseite (= Zuströmseite) ähnlich aus, wie im reibungsfreien Fall. Lediglich auf der Leeseite (= Abströmseite) sieht das Bild völlig anders aus. Die Strömung vermag der Kontur nicht mehr zu folgen und löst von der Körperoberfläche ab und bildet auf der Leeseite keinen zweiten Staupunkt sondern ein Totwassergebiet. Man spricht übrigens auch bei Gasen von einem „Totwassergebiet“. Dem Umstand, dass die Stromlinienverteilung auf der Luvseite sich zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung kaum unterscheiden, ist es zu verdanken, das reibungsfreie Rechenverfahren trotz ihrer Vereinfachungen vergleichsweise gute Ergebnisse liefern, sofern die Strömung noch an der Körperoberfläche anliegt. Das ist in der Regel immer dann gegeben, wenn es sich um schlanke Körper (zum Beispiel einem Tragflügelprofil) bei einem kleinen Anströmwinkel handelt. Ablösegebiet oder Totwassergebiet 1. Staupunkt 2. Staupunkt 1. Staupunkt Abb. 1-8: Umströmung einer ebenen Platte. a) Reibungsfreie b) Reibungesbehaftete Strömung 1.3.4 Kompressible- und inkompressible Fluide Auch hier ist wieder eine Klarstellung erforderlich. Inkompressible Fluide, also Fluide, deren Dichte bei jedem beliebigen Druck konstant bleibt, existieren in unserer Welt nicht. Ähnlich wie bei der Vereinfachung in Form der Reibungsfreiheit stellt jedoch die Annahme einer inkompressiblen Strömung eine sehr schöne rechentechnische Vereinfachung bei Strömungsvorgängen dar. Die Kompressibilität ist eine Stoffgröße, wie beispielsweise die elektrische Leitfähigkeit oder die Wärmekapazität eines Stoffes. Betrachten Sie ein Fluid mit dem Volumen V und dem Druck p. Wird der Druck um den Betrag dp erhöht, so zieht dies eine Volumenverringerung um den Betrag dV nach sich. Die Kompressibilität lässt sich nun beschreiben durch 1 d ∙ d 20 1 Einleitung Mit dem spezifischen Volumen v oder dem Kehrwert der Dichte 1 gilt 1 d ∙ d oder d ∙ ∙d Das bedeutet, dass eine Änderung des Drucks dp in Abhängigkeit von der Kompressibilität eine Änderung der Dichte um den Betrag d bewirkt. Üblicherweise spricht man ab einer Dichteänderung von d/ > 0,05 von einer kompressiblen Strömung. Sie denken vielleicht gerade an ein Hydrauliköl und stellen sich die Frage, warum es in der Realität keine inkompressiblen Stoffe geben kann. Das lässt sich leicht über die Schallgeschwindigkeit erläutern. Die Schallgeschwindigkeit a bei idealen Gasen lässt sich entweder als Funktion der Temperatur als √ ∙ ∙ schreiben, wobei R T Isentropenexponent ( = 1,4 für Luft) Spezifische Gaskonstante (R = 287,05 J/kgK für Luft) Gastemperatur in K gilt oder in Abhängigkeit von Druck und Dichte (Laplace-Gleichung) d d Eingesetzt in die Gleichung für die Kompressibilität folgt 1 1 ∙ also 1 1 ∙ Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass wenn für einen Stoff die Kompressibilität auf den Wert null zurückginge, würde die Schallgeschwindigkeit den Wert unendlich annehmen. Nun sind in unserer Welt unendlich große Parameter eher unbekannt, das heißt, dass ein inkompressibler Stoff ( = 0) nicht existieren kann. Wie die Schallgeschwindigkeit von der Kompressibilität oder dem Aggregatszustand abhängt, sehen Sie an folgenden Beispielen für die Schallgeschwindigkeit für Stoffe in unterschiedlichen Aggregatszuständen: - Luft unter Normbedingungen (gasförmig) Wasser bei 20°C (flüssig): Aluminium (fest): a = 343 m/s a = 1483 m/s a = 5110 m/s Rechnerisch liegt der große Vorteil der vereinfachenden Annahme einer inkompressiblen Strömung darin, dass in diesem Fall die einfache Bernoulli-Gleichung Anwendung findet. Die Grenze von d/ > 0,05 entspricht einer Strömungsge21 1 Einleitung schwindigkeit von ungefähr c = 100 m/s also 360 km/h auf Meeresniveau. Bis zu dieser Grenze verhalten sich Gase ähnlich wie Flüssigkeiten. Damit lässt sich die Umströmung von bereits sehr vielen Landfahrzeugen als auch von kleineren Luftfahrzeugen berechnen. 1.3.5 Ein-, zwei- und drei-dimensionale Strömungen Ebenso wie die Vernachlässigung von Reibung und Kompressibilität eine erhebliche Vereinfachung des Berechnungsaufwands darstellt, kann die Reduzierung der zu berücksichtigten Dimensionen auf eine ein- oder zweidimensionale Betrachtung eine deutliche Erleichterung bei der Berechnung eines Strömungsfeldes bedeuten. Auch wenn die Strömung, beispielsweise in einer Rohrleitung einen großen Geschwindigkeitsgradienten quer zur Hauptströmungsrichtung aufweist, so kann in vielen Fällen dieses Geschwindigkeitsprofil durch den Mittelwert der Geschwindigkeit ersetzt werden. Denken Sie zum Beispiel an die Kraftstoffleitung in Ihrem Fahrzeug, wo Sie den Kraftstoffdurchfluss bestimmen möchten. Hier könnte man natürlich die räumliche Geschwindigkeitsverteilung in der Leitung berechnen. Für die Aufgabe der Durchflussbestimmung ist die Kenntnis der mittleren Geschwindigkeit in der Leitung jedoch völlig ausreichend. Dieses Vorgehen entspricht der Reduzierung einer dreidimensionalen Strömung auf eine eindimensionale Strömung. Das heißt, die Zustandsgrößen der Strömung ändern sich nur entlang einer einzigen Koordinatenrichtung. Eine zweidimensionale Strömung würde beispielsweise bei der Umströmung eines Profils in einem Windkanal vorliegen, sofern das Profil über die gesamte Messstrecke führt und sich keine Ausgleichsströmung an den Enden einstellen kann. Die Zustandsgrößen können sich in Strömungsrichtung und infolge der Ablenkung durch das Profil nach oben und unten ändern. Eine ausgeprägte dreidimensionale Strömung liegt zum Beispiel am Tragflächenende vor. Infolge des Überdrucks an der Flügelunterseite und des Unterdrucks an der Flügeloberseite stellt sich eine Ausgleichsströmung am Tragflächenende ein. Dadurch wird die Strömung auf der Oberseite nach innen und auf der Unterseite nach außen abgelenkt. Am Tragflächenende bildet sich ein Wirbel, der für den sogenannten induzierten Widerstand verantwortlich ist. 1.3.6 Zustandsgrößen und Aggregatszustände Zur Beschreibung des Zustands eines Stoffes werden sogenannte Zustandsgrößen verwendet. Dabei handelt es sich um den Druck p, die Temperatur T und die Dichte beziehungsweise das spezifische Volumen v = V/m = 1/. Thermodynamische Zustandsgrößen für Reinstoffe, (zum Beispiel H2O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößen beschrieben werden, also durch v = v(p,T), T = T(p,v) und p = p(v,T). Zustandsgrößen können nicht beliebig variiert werden sondern sind über sogenannte Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt. Gase lassen sich in vielen Fällen durch die Zustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung) beschreiben p v R T wobei R [J/kgK] die spezifische Gaskonstante beschreibt. Aus dieser Beziehung ist sofort ersichtlich, dass bei Gasen zwei Zustandsgrößen immer frei wählbar sind und dadurch die dritte Zustandsgröße festgelegt wird. Im thermodynamischen 22 1 Einleitung Gleichgewicht können nicht beliebig viele Aggregatszustände (Phasen) gleichzeitig vorliegen. Der Zusammenhang zwischen frei veränderlichen Zustandsgrößen, Anzahl der gleichzeitig vorliegenden Phasen und Anzahl der Komponenten eines Stoffes wird durch die Gibbs'sche Phasenregel beschrieben. f K 2 P mit f Anzahl der Freiheitsgrade (veränderliche Zustandsgrößen) K Anzahl der Systemkomponenten P Anzahl der Phasen Betrachten Sie zum Beispiel siedendes Wasser, in dem bereits die ersten Dampfblasen aufsteigen. Hier liegt Wasser gleichzeitig in der flüssigen als auch in der gasförmigen Phase vor; P ist demnach gleich zwei. Da Wasser nur aus einer Komponente besteht ist K also gleich eins. Entsprechend der Gibbs’schen Phasenregel gilt f K 2 P 1 2 2 1 Das bedeutet, dass Sie nur noch eine Zustandsgröße zur Verfügung haben, an der Sie etwas verändern können. In diesem Fall also entweder den Druck p oder die Temperatur T. Druck und Temperatur sind über eine einfache Funktion miteinander gekoppelt. Zu jedem Siededruck gehört genau eine Siedetemperatur. Dieser Zusammenhang wird über die sogenannte Dampfdruckkurve beschrieben. Tabellarische Werte für die Dampfdruckkurve von Wasser finden Sie im Anhang des Skripts (A4 – A7) oder aber auch eines jeden Thermodynamik-Buchs. Bei der Kühlwasseranzeige Ihres Fahrzeugs ist Ihnen vielleicht einmal aufgefallen, dass die Temperaturanzeige gelegentlich deutlich über 100°C ansteigt und das Kühlwasser trotzdem noch flüssig bleibt. Das liegt einfach daran, dass die Siedetemperatur bei einem höheren Druck ansteigt. Dieser Effekt wird beispielsweise bei einer Espressomaschine ausgenutzt. Gute Geräte haben einen Betriebsdruck von bis zu 30 bar, was einer Siedetemperatur von 233,8°C entspricht. Die Brühtemperatur für den Kaffee beträgt in diesem Fall nicht 100°C sondern 233,8°C, was sich deutlich auf das Geschmacksresultat auswirkt. Umgekehrt sinkt die die Siedetemperatur, wenn der Druck sinkt. So beträgt der Luftdruck entsprechend der Normatmosphäre auf dem Gipfel des Mount Everest in 8848 m Höhe nur noch 0,315 bar. Bei diesem Druck siedet Wasser bereits bei 70°C. Übung 1-1 Schlank werden durch den massiven Konsum von Speiseeis! Zur Bestätigung dieser Theorie gehen Sie von folgenden Stoffwerten aus: Sie entnehmen einen Becher mit VEis = 200ml bei TEis = -18°C aus der Gefriertruhe und erwärmen diese Eismenge durch den Verzehr auf Ihre Körpertemperatur von TK = 37,5°C. Auf dem Eisbecher findet sich die Nährwertangabe EEis = 150 kcal/100 ml. Als Ingenieur wissen Sie natürlich, dass Sie die spezifische Wärme und Schmelzenthalpie von Milchspeiseeis näherungsweise durch die Werte von Wasser ersetzen können, also Dichte von Eis: Eis = 920 kg/m³ 23 1 Einleitung spezifische Wärme von Eis: cEis = 1,930 kJ/kgK Schmelzwärme von Eis: Eis = 333,5 kJ/kg spezifische Wärme von Wasser: cWasser = 4,183 kJ/kgK Aufgrund der hohen Energieanteile, die bei Erwärmung, Schmelzen und Verdampfen erforderlich sind, steht die Wirksamkeit dieser Methode völlig außer Frage. 1.3.7 Teilchenkräfte, Oberflächenspannung und Kapillarwirkung Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und Atomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluide weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkräfte deutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt zu einer leichteren Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen die Form der freien Oberfläche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskräften, das sind Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhäsionskräften. Hierbei handelt es sich um Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen. Unter Adsorption versteht man die Wirkung zwischen fester und gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper. Absorption beschreibt die Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen. Mit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz2 , welches die Fähigkeit einer Flüssigkeit zur Aufnahme von Gasen oder Dämpfen beschreibt. Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender Temperatur zu. Dieser Zusammenhang lässt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden im Sommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur der Sauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird. Bei Tauchern ist dieser Zusammenhang als Taucherkrankheit bekannt. Mit zunehmender Tauchtiefe wird durch den erhöhten Gasdruck in der Atemluft mehr Stickstoff im Blut gelöst als bei Umgebungsdruck an der Oberfläche. Das mit Stickstoff angereicherte Blut wird in das Körpergewebe transportiert und erhöht dort die Stickstoffkonzentration. Bei einem zu schnellen Aufstieg an die Oberfläche sinkt der Außendruck schneller ab, als der Stickstoff wieder über die Lunge abgeatmet werden kann, wodurch Blut und Gewebe mit Stickstoff übersättigt sind. Das Gas kann jedoch aufgrund des gesunkenen Drucks nicht mehr in gelöster Form bleiben sondern bildet Gasblasen und dies kann zu einer Gasemboli, das heißt einer Unterbrechung der Blutversorgung führen. Grenzflächenspannung Die Entstehung der Grenzflächenspannung oder auch Oberflächenspannung bei Flüssigkeiten lässt sich am Beispiel von Wassermolekülen verdeutlichen. Wassermoleküle bilden Wasserstoffbrückenbindungen wodurch gegenseitige Anziehungskräfte entstehen. Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich im Inneren des –––––––––– 2 24 Henry, William (12.12.1774 – 02.09.1836), engl. Mediziner und Chemiker 1 Einleitung Fluids auf, da sie von allen Seiten gleichmäßig auf das Molekül einwirken. Befindet sich jedoch Teilchen an der Wasseroberfläche, so sind die von der Luft ausgeübten Anziehungskräfte deutlich kleiner, als die Anziehungskräfte zwischen den Wassermolekülen. Daraus resultiert ein Spannungszustand an der Oberfläche und die freie Oberfläche versucht einen Minimalwert anzunehmen um den Spannungszustand zu minimieren. Dieser Zustand entspricht einer vorgespannten Membran (Abb. 1-9). Werden die dafür erforderlichen Kräfte auf die Kantenlänge des Oberflächenelements bezogen, so ergibt sich die Grenzflächenspannung . Die Grenzflächenspannung ist jedoch keine mechanische Spannung im klassischen Sinn mit der Einheit Kraft/Fläche, wie eine Schub- oder Normalspannung, sondern hat die physikalische Einheit Kraft pro Länge, also N/m. dF dy dx dy dx rK1 dA rK2 dy dx dx dy Abb. 1-9: Spannungen an einem Oberflächenelement Infolge der an den Rändern angreifenden Spannungen ergibt sich eine resultierende Kraft dF, die senkrecht auf das Flächenelement dA wirkt. Es ergibt sich ein Druck, der als Krümmungsdruck pK bezeichnet wird. d d ∙ 1 1 Der Krümmungsdruck pK wird von der Form der freien Oberfläche bestimmt. - Ebene Oberfläche: Kugelkalottenförmige Oberfläche: Zylinderförmige Oberfläche: ∞ ., ∞ 0. 2∙ ⁄ ⁄ Die Grenzflächenspannung bewirkt, dass Fluide immer einen spannungsminimalen Zustand einnehmen. Beim Regentropfen ist dies die Kugelform. Allerdings gelingt dem Tropfen das nur im Zustand der Schwerelosigkeit. Fällt der Regentropfen aus 25 1 Einleitung der Wolke gen Erde, so wirken noch zusätzlich die Schwerkraft als auch Reibungskräfte auf ihn. Aber auch hier können wir von der Natur lernen. Die charakteristische Tropfenform stellt in der Strömungsmechanik die widerstandsminimale Körperform dar. Der sich an der Oberfläche einstellende Spannungszustand ist von der Stoffpaarung sowie von der Temperatur abhängig. Als reines Gedankenexperiment - Sie selbst würden so etwas natürlich nie tun - betrachten Sie einen Wasserläufer (lat.: Gerris lacustris), der aufgrund seines geringen Eigengewichts unter Ausnutzung der Grenzflächenspannung über die Oberfläche eines Gewässers läuft. Verringern Sie die Oberflächenspannung durch die Zugabe von Tensiden (enthalten beispielsweise in Waschpulver, Spülmittel oder Flüssigseife) oder durch Erhöhung der Wassertemperatur, so geht der Wasserläufer im wahrsten Sinne des Wortes baden. Das erklärt auch, warum Sie mit warmem Wasser eine deutlich bessere Reinigungswirkung erzielen als mit kaltem Wasser. Tab. 1-1 gibt eine Übersicht über die mit zunehmender Temperatur abnehmende Oberflächenspannung von Wasser gegen Luft. Oberflächenspannung N/m Temperatur T °C 0 0,07560 10 0,07422 20 0,07275 30 0,07118 40 0,06956 50 0,06791 60 0,06618 70 0,06440 80 0,06260 90 0,06082 100 0,05890 Tab. 1-1: Oberflächenspannung von Wasser gegen Luft Sehr wahrscheinlich haben Sie einen Effekt der Oberflächenspannung bereits sehr häufig angewendet ohne es zu bemerken. Die Oberflächenspannung ist eine stoffspezifische Größe und hängt zusätzlich von der Temperatur ab. Damit lässt sich sehr einfach mittels einer Kalibrierung das Volumen beziehungsweise die Masse eines Tröpfchens bestimmen. Das ist insbesondere für pharmazeutische Anwendungen, also der Dosierung von flüssigen Medikamenten interessant. Nur die wenigsten wären in der Lage eine Mengenangabe in der Größenordnung von wenigen Milligramm mit hinreichender Genauigkeit im Alltag zu bestimmen. Wird die Mengenangabe jedoch mit einer bestimmten Anzahl von Tröpfchen angegeben, so steigt die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Dosierung des Hustensafts deutlich 26 1 Einleitung an. Unter der Annahme, dass das Medikament bei Raumtemperatur verabreicht wird, hängt die Größe des Tröpfchens nur noch von der Oberflächenspannung und der Dichte ab. Eine sehr gute Quelle für chemische und physikalische Stoffwerte, und zwar nicht nur für die Oberflächenspannung, finden Sie in Weast R.C., Astle M.J.: Handbook of Chemistry and Physics, CRC-Press, 60th edition oder Landold-Börnstein Database, Springer-Verlag. Berlin 2013 Benetzungsformen Aus dem Verhältnis der beiden Kräfte Adhäsionskraft und Kohäsionskraft und dem daraus resultierenden Randwinkel, ergeben sich unterschiedliche Benetzungsformen einer Oberfläche (Abb. 1-10). Überwiegen die Kohäsionskräfte gegenüber den Adhäsionskräften, so bildet sich ein Randwinkel > 90°. Dieser Zustand entspricht einer hydrophoben Benetzung (griechisch: hydro: „Wasser“, phóbos: „Furcht“). Der Flüssigkeitstropfen versucht die Kontaktfläche mit dem Körper zu minimieren. Sind die Adhäsionskräfte gegenüber den Kohäsionskräften dominant, so bildet sich nur ein sehr kleiner Randwinkel; im Extremfall gilt = 0°. Das entspricht einer hydrophilen Benetzung (griechisch: phílos: „Freund“). Der Flüssigkeitstropfen versucht die Kontaktfläche mit dem Körper zu maximieren. a) Kohäsion > Adhäsion, Randwinkel > 90° b) Adhäsion > Kohäsion , Randwinkel < 90° Abb. 1-10: Benetzungsformen a) hydrophob b) hydrophil Für beide Benetzungsformen gibt es eine Vielzahl von sinnvollen technischen Anwendungen. Hydrophobe Beschichtungen sind geeignet verschmutzungsresistente Oberflächenbeschichtungen, zum Beispiel bei Badkeramik zu ermöglichen. Interessant, allerdings noch nicht unter Einsatzbedingen erfolgreich getestet, wären solche Beschichtungen auch für Anwendungen an Tragflügeln um Verschmutzung (Segelflugzeuge) oder Vereisung (Verkehrsflugzeuge) zu vermeiden. Kapillarwirkung In Abhängigkeit von der Stoffpaarung, das heißt welche Flüssigkeit trifft auf welchen Festkörper tritt infolge der Oberflächenspannung entweder eine Kapillaraszension (Aufstieg) oder eine Kapillardepression (Absenkung) der Flüssigkeit in einem Röhrchen auf. Dieses Phänomen hängt davon ab, welche der beiden Kräfte, also Kohäsionskraft oder Adhäsionskraft dominiert. In Abb. 1-11 ist das Verhalten von Wasser und von Quecksilber in einem Glasröhrchen dargestellt. In beiden Fällen stellt sich ein Gleichgewichtszustand zwischen der Gewichtskraft der aufge27 1 Einleitung stiegenen beziehungsweise nach unten gedrückten Flüssigkeitssäule und der am Innenumfang des Röhrchens anliegenden Grenzflächenspannung ein. d d r W= K Glasrohr rK W hH2O hHg H2O Hg Wasser Quecksilber Abb. 1-11: Kapillarwirkung a) Kapillaraszension b) Kapillardepression c) Randwinkel W Im Fall einer Flüssigkeit, die sich in einem Röhrchen befindet bildet sich eine kugelkalottenförmige Oberfläche mit und damit den Krümmungsdruck 2∙ π∙ Die Kapillarkraft FK ergibt sich aus dem Krümmungsdruck zu 2∙ ∙π∙ Der Zusammenhang zwischen Randwinkel W, Innenradius des Röhrchens r und Krümmungsradius rK ergibt sich aus Abb. 1-11c zu cos Daraus folgt für die Kapillarkraft 2∙ ∙π∙ ∙ cos Für die Gewichtskraft FG der um h aufgestiegenen oder abgesenkten Flüssigkeitssäule gilt π ∙ ∙ ∙ ∙ 4 Aus der Gleichgewichtsbedingung dieser beiden Kräfte folgt für die kapillare Steighöhe 2∙ ∙ cos ∙ ∙ Bei Röhrchen mit sehr kleinem Innendurchmesser nähert sich die Flüssigkeitsoberfläche der Form einer Halbkugel und der Randwinkel W wird zu Null und damit gilt für die kapillare Steighöhe 28 1 Einleitung 2∙ Steighöhe [mm] In Abb. 1-12 ist die Steighöhe von Wasser bei TW = 20°C in einem Glasröhrchen skizziert. Bemerkenswert sind die relativ großen Steighöhen, die beispielsweise bei Pflanzen erreicht werden, indem Adern mit kleinen Innendurchmessern ausgebildet werden und somit die Versorgung auch in Höhe des Baumwipfels ermöglichen. Innenradius [mm] Abb. 1-12: Kapillare Steighöhe von Wasser in einem Glasröhrchen bei einer Wassertemperatur von 20°C Zur Bestimmung der Oberflächenspannung stehen mehrere, sehr einfache Methoden zur Verfügung. Kapillarmethode Alles was Sie hierbei benötigen ist ein einfaches Kapillarröhrchen mit dem Innendurchmesser d, das Sie im Fachhandel erwerben können. Das Röhrchen wird in die Flüssigkeit eingetaucht und Sie messen die Höhe h der sich einstellende Kapillaraszension beziehungsweise –depression. Die Oberflächenspannung x ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft FG der aufgestiegenen oder abgesenkten Flüssigkeitssäule und der am Innenumfang des Röhrchens angreifenden Kapillarkraft ∙ ∙π∙ π ∙ ∙ ∙ 4 1 ∙ ∙ ∙ 4 ∙π∙ ∙ 29 1 Einleitung Tropfen- oder Stalagmometermethode Für diese Methode benötigen Sie ein einfaches Röhrchen oder besser, ein Röhrchen mit einem Vorratsbehälter, ein sogenanntes Stalagmometer. Zusätzlich ist ein Fluid erforderlich, von dem Sie die Dichte und die Oberflächenspannung bereits kennen. Hier bietet sich destilliertes Wasser an. Dafür sind die chemischen und physikalischen Eigenschaften hervorragend dokumentiert. Alles was Sie nun tun müssen, ist über ein Zeitintervall t das Vergleichsfluid, also der TropWasser, in einen Auffangbehälter tropfen zu lassen und die Anzahl fen zu zählen. Die Genauigkeit des Verfahrens steigt natürlich mit zunehmender Länge des Zeitintervalls. Hier könnten Sie auch einer einfachen Photozelle das Zählen überlassen. Im zweiten Schritt bestimmen Sie die Dichte x des zu analysierenden Fluids und lassen über das gleiche Zeitintervall t das Fluid in den Auffangbehälter tropfen wobei Sie ebenfalls die Anzahl der nx der Tröpfchen bestimmen. Die Oberflächenspannung x erhalten Sie aus einer einfachen Verhältnisrechnung ∙ ∙ ∙ Ringmethode Diese Methode ist nur bedingt für das heimische Kellerlabor geeignet, da hierzu eine Präzisionswaage zur Messung der sehr geringen Kräfte erforderlich ist. Das Messprinzip besteht darin, dass Sie eine ringförmige Schneide in ein Fluid tauchen, diese vorsichtig wieder herausziehen und im Moment des Abreißens des Flüssigkeitsfilms die Kraft Fges. messen. Von dieser Kraft ist noch die Gewichtskraft FG der Aufhängung und der Schneide abzuziehen und Sie erhalten die Kraft infolge der Oberflächenspannung. Diese Kraft greift an der Schneide als auch an der Flüssigkeitsoberfläche an, daher ist die Länge L der Schneide mit dem Faktor zwei zu gewichten. Die Oberflächenspannung ergibt sich dann zu . 2∙ 30 Hydrostatik 2 2 Hydrostatik Die Hydrostatik beschreibt die Verhältnisse in einem ruhenden (=statischen) System. Damit lassen sich die Kräfte, die auf die Begrenzungsflächen von Körpern wirken, bestimmen. Daraus resultieren beispielsweise die Auftriebskräfte, die an getauchten, schwimmenden oder schwebenden Körpern wirken. Wie Sie die Druckverteilung in dem Fluid, also die physikalische Ursache für diese Kräfte bestimmen können, werden Sie in den folgenden Abschnitten kennenlernen. 2.1 Druck Druck im physikalischen Sinn stellt eine Zustandsgröße zur Beschreibung eines thermodynamischen Zustands innerhalb eines Systems dar. Weitere Zustandsgrößen sind beispielsweise die Dichte und die Temperatur. Zur Beschreibung des Drucks ist immer ein Referenzniveau erforderlich. Sofern Sie das Vakuum als Referenz festlegen, entspricht der Druck dem Absolutdruck. Das ist zwar prinzipiell möglich und wird auch im Fall des Luftdrucks in der Atmosphäre so gehandhabt, stellt sich in der Messtechnik jedoch häufig als nicht sehr praktikabel heraus. Häufig möchten Sie Differenzdrücke oder Druckschwankungen bestimmen, die nur einen kleinen Bruchteils des Absolutdrucks ausmachen. Solche kleinen Druckänderungen sind mit Absolutdruckaufnehmern nur sehr ungenau zu erfassen. Um den Messbereich ihres Sensors besser auszunützen werden Sie also eine Referenz wählen, die in der Nähe des zu erwartenden Druckbereichs liegt. Sehr häufig wird beispielsweise der äußere Umgebungsdruck als Referenz gewählt. denken Sie an die Messung des Reifendrucks an der Tankstelle. Der angezeigte Messwert entspricht hierbei nicht dem Absolutdruck in Ihrem Reifen, sondern dem Überdruck gegenüber der freien Atmosphäre. Übung 2-1 Vor dem Antritt ihrer Fahrt in den Winterurlaub prüfen Sie an einer Tankstelle in München (H = 500 m) den Reifendruck an ihrem Fahrzeug. Das Manometer zeigt einen Druck von pR = 2,3 bar an. Das Fahrzeug war über Nacht am Straßenrand geparkt und die Reifentemperatur entspricht der Umgebungstemperatur von T = -2°C. An diesem Tag herrscht in München ein Luftdruck von pM = 954 hPa (nicht umgerechnet auf Meeresniveau). Bei einem Tankstopp am Brennerpass (H = 1370 m) prüfen Sie erneut den Reifendruck. An der Tankstelle lesen Sie am dort angebrachten Barometer einen Luftdruck von pH = 856 Pa ab. Die Reifen wurden infolge der Fahrt auf der Autobahn bereits warm gefahren und haben eine Temperatur von TH = 30°C. Welchen Druck zeigt das Manometer an der Tankstelle am Brennerpass an? Um mit physikalischen Größen arbeiten zu können, ist es erforderlich diesen geeignete Einheiten und Dimensionen zuzuordnen. Diese Zuordnung ist im Prinzip willkürlich, jedoch ist es von Vorteil sich auf gemeinsame Bezugsgrößen zu einigen. Wichtig ist vor allem, dass alle am Prozess Beteiligten wissen, auf welche Basis man sich geeinigt hat. Im Laufe der Zeit hat sich eine Reihe von Bezugssyste31 2 Hydrostatik men etabliert, die regional sehr unterschiedlich sind und historisch interessante Wurzeln haben können, wie beispielsweise die Längeneinheit „yard“, das 1101 in England von König Heinrich I. als Abstand von seiner Nasenspitze bis zu seinem Daumenende eingeführt wurde. In den technischen Naturwissenschaften wird seit einigen Jahrzehnten das international vereinbarte „Système International d’Unité“ oder auch kurz SI-System, verwendet. Der Begriff „international“ ist jedoch mit gewissen Einschränkungen zu sehen, da insbesondere im angelsächsischen Raum und in der Luftfahrt das englische und amerikanische Maßsystem beziehungsweise eine Mischung aus beiden noch üblich sind. Obwohl in Deutschland mit der Verabschiedung des Gesetzes über die Einheiten im Messwesen vom 02.07.1969 die Verwendung des SISystems im geschäftlichen und amtlichen Verkehr vorgeschrieben ist, hat sich diese Erkenntnis im Luftfahrtbereich noch nicht durchgesetzt. Das im weiteren Verlauf zu verwendende SI-System hat den Vorteil, dass ausgehend von sieben Basiseinheiten, sich alle weiteren physikalischen Größen durch eine Kombination dieser Basiseinheiten darstellen, beziehungsweise ineinander überführen lassen. Größe Einheit Zeichen Definition Länge Meter m Masse Kilogramm kg „ Zeit Sekunde s „ Elektrische Stromstärke Ampère A „ Temperatur Kelvin K „ Lichtstärke Candela cd „ Stoffmenge Mol mol „ siehe Tab. A-2 Tab. 2-1: Basiseinheiten des SI-Systems Größe Einheit Zeichen Definition Kraft Newton N N = kgm/s² Leistung Watt W W = Nm/s Energie, Arbeit Joule J J = Nm Druck Pascal Pa Pa = N/m² Tab. 2-2: Abgeleitete Größen des SI-Systems Obwohl für den Druck generell die SI-Einheit Pascal [Pa] zu verwenden ist, werden Ihnen gelegentlich auch andere Bezeichnungen begegnen. 32 Hydrostatik 2 Einheit Pa = N/m² hPa = mbar MPa bar atm mm WS = mm Wassersäule mm Hg = mm Quecksilbersäule = Torr 760 mm Hg = 1 atm psi = lb/in² lb = engl. pound force, 1 lb = 4,448 N in = engl. inch = Zoll = 25,4 mm psf = lb/ft² f = engl. foot = 12 inch = 0,3048 m Multiplikationsfaktor 1 10² 106 105 1,01325105 9,80665 133,32 6894,757 47,88 Tab. 2-3: Druckeinheiten 2.1.1 Hydrostatischer Druck Druck, ähnlich wie Temperatur oder Dichte, ist eine ungerichtete, also skalare Größe. Im Gegensatz dazu ist die Geschwindigkeit eine gerichtete, also vektorielle Größe. Wirkt Druck auf eine Fläche so ergibt sich eine Druckkraft, die immer senkrecht auf dem belasteten Flächenelement steht. Zur Bestimmung des Drucks, der in einer bestimmten Tiefe h einer Flüssigkeit vorliegt, betrachten Sie die Kräfteverhältnisse der in Abb. 2-1 skizzierten freigeschnitten Flüssigkeitssäule. Der Behälter ist an der Oberseite zur Umgebung hin offen, somit liegt am Flüssigkeitsspiegel der Umgebungsluftdruck p0 an. Zusätzlich wirken auf die Flüssigkeitssäule die Gewichtskraft FG und der Druck p(h) in der Tiefe h. Da sich das System in einem statischen Gleichgewicht befindet, muss folgendes Kräftegleichgewicht gelten ∙d ∙d 0 mit ∙d ∙ ∙ folgt für den Druck in der Tiefe h ∙ p0 dA z z0 h FG p0 ∙ z p0 p0 g h p( h ) dA p0 g z0 p( z ) Abb. 2-1: Hydrostatischer Druck 33 2 Hydrostatik Unter der Annahme, dass die Kompressibilität der Flüssigkeit vernachlässigt werden kann, beschreibt diese Gleichung den sogenannten hydrostatischen Druck. Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass die Druckzunahme in einer Flüssigkeit einem linearen Verlauf folgt. Bei Wasser gilt der einfache Zusammenhang, dass pro 10 m Tauchtiefe der Wasserdruck um ein bar zunimmt. Ein weiterer interessanter Aspekt liegt in der Eigenschaft des Drucks, dass er eine ungerichtete Größe ist und lediglich von der Tiefe aber nicht von der lateralen Ausdehnung des Gefäßes abhängt. Das würde auch zu höchst unerfreulichen Konsequenzen führen, da Sie dann nicht mehr in der Lage wären in einem See oder Schwimmbad, geschweige denn im offenen Meer zu baden. 2.1.2 Pascalsches Paradoxon und virtuelles Volumen Der nach dem Franzosen Blaise Pascal3 benannte und auf den ersten Blick wirklich kuriose Effekt beruht ebenfalls auf dem hydrostatischen Druck. Betrachten Sie die vier unterschiedlich geformten Behälter in Abb. 2-2, die alle bis zum gleichen Pegelstand h mit einer Flüssigkeit befüllt sind. Zusätzlich haben alle Behälter die gleich große Bodenplatte mit der Fläche A. Gesucht ist die Kraft F, die die jeweilige Bodenplatte belastet. Diese ist nicht zu verwechseln mit der Reaktionskraft, also der Lagerkraft, die den Behälter abstützt. p0 h A F F F A A p0 F A Abb. 2-2: Pascalsches Paradoxon Nun, das Ergebnis ist verblüffend. Alle vier Bodenplatten werden mit der gleichen Kraft F belastet, obwohl sich in jedem der Behälter unterschiedliche Flüssigkeitsmengen befinden. Die Kraft auf den Behälterboden ergibt sich aus der Druckdifferenz von dem inneren Druck ∙ ∙ und dem äußeren Druck auf die Bodenplatte Beide Drücke wirken auf die Fläche A, also gilt –––––––––– 3 Pascal, Blaise (19. 06 1623 -19.08.1662) französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph, Erfinder der ersten Rechenmaschine. Ihm zu Ehren wurden unter anderem die Programmiersprachen Pascal und Turbo Pascal benannt 34 Hydrostatik 2 ∙ ∙ ∙ ∙ Da in allen vier Fällen der Pegelstand und damit der Druck p(h) in der Tiefe h sowie die Größe der Bodenplatte identisch sind, ist auch in allen Fällen die Kraft F gleich groß. Interessant ist, dass aufgrund der Eigenschaft des Drucks eine ungerichtete Größe zu sein, gar nicht die Höhe der Wassersäule, die über der belasteten Fläche steht relevant ist, sondern die Höhe des Pegelstandes mit der die belastete Fläche in Verbindung steht. Das bringt uns zu dem sogenannten virtuellen Volumen, Vvirtuell, welches für die Kraft F verantwortlich ist. Dieses virtuelle Volumen entspricht der Größe der belasteten Bodenfläche mal der Höhe des Pegelstands mit dem diese Fläche in Verbindung steht. Die Menge des vorhandenen Wassers ist völlig unerheblich. ∙ Vvirtuell p0 ∙ ∙ ∙ ∙ Vvirtuell Vvirtuell Vvirtuell h A F F F A A p0 F A Abb. 2-3: Virtuelles Volumen 2.1.3 Kommunizierende Röhren oder verbundene Gefäße In Abb. 2-4 sehen Sie zwei über eine Verbindungsleitung miteinander verbundene Behälter, die mit zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte befüllt sind, die sich nicht vermischen. Also beispielsweise Öl im Behälter (1) und Wasser im Behälter (2). An der Stelle z0 entsteht eine Trennebene zwischen den beiden Flüssigkeiten. Die Frage, die sich nun stellt, lautet: An welcher Stelle herrscht der größere Druck? Am Boden des linken oder am Boden des rechten Behälters? In diesem Beispiel handelt es sich um ein ruhendes statisches System. Die Drücke am Boden der beiden Behälter müssen identisch sein, da sich andernfalls eine Ausgleichsströmung in Richtung des niedrigeren Drucks einstellen würde. Das ist gleichzeitig eine weitere wichtige Eigenschaft des hydrostatischen Drucks: Solange Sie sich auf dem gleichen Niveau befinden, herrscht dort auch der gleiche Druck. Aus den unterschiedlichen Pegelständen könnten Sie aber auch die Dichte einer Flüssigkeit bestimmen, sofern Sie die Dichte der zweiten Flüssigkeit kennen. Linke Seite: Bilanz (1 - 1) ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Rechte Seite: Bilanz (2 - 2) 35 2 Hydrostatik Wegen p1 = p2 folgt ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ also ∙ z p0 (1) z1 z2 z0 p0 h1 (2) 1 2 h2 h0 h0 0 (2) (1) Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße mit Öl (1) und Wasser (2) befüllt 2.1.4 Hydraulische Presse Dem Prinzip der kommunizierenden Röhren liegt der Wirkungsweise einer hydraulischen Presse oder einem hydraulischen Bremssystem zugrunde. Dieses Prinzip der Kraftverstärkung durch die Verwendung zweier unterschiedlich großen Zylinder können Sie aus Abb. 2-5 ersehen. F1 A1 p0 F2 A 2 (1) p1 z1 (2) p2 z2 Abb. 2-5: Hydraulische Presse Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt ∙ ∙ Die Kräftebilanz am Kolben (2) lautet ∙ ∙ Da die Unterseiten der beiden Kolben nicht auf der gleichen Höhe liegen, herrscht zwischen den beiden Drücken p1 und p2 der Druckunterschied ∙ beziehungsweise 36 ∙ ∙ ∙∆ Hydrostatik 2 ∙ ∙∆ damit ergibt sich für das Kraftverstärkungsverhältnis ∙ ∙∆ ∙ Bei Systemen mit sehr hohen Drücken kann der hydrostatische Druckanteil infolge des Höhenunterschieds z der beiden Kolbenunterseiten vernachlässigt werden und das Verstärkungsverhältnis vereinfacht sich zu Die Größe des dadurch resultierenden Fehlers können Sie an folgendem Beispiel abschätzen Übung 2-2 Für die in Abb. 2-6 skizzierte hydraulische Presse sind folgende Fragen zu klären: - Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) erforderlich um die Masse m = 10 t auf dem Kolben (2) zu halten Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolbens (2)? Wie groß ist der Fehler bei Vernachlässigung des Höhenunterschieds zwischen den Unterseiten der beiden Kolben? p0 = 1 bar 0,5 m D1 = 50 mm m = 10 t F1 (2) (1) p1 = 900 kg/m 3 p2 3m D2 = 500 mm Abb. 2-6: Hydraulische Presse 37 2 Hydrostatik 2.1.5 Förderhöhe einer Saugpumpe Sofern Sie in einer ländlichen Umgebung aufgewachsen sind, kennen Sie vielleicht noch das Prinzip einer von Hand betriebenen Saugpumpe zur Förderung von Wasser aus einem Brunnenschacht, wie sie früher auf jedem Hof oder Schrebergarten zu finden waren. Anzumerken ist in diesem Zusammenhang, dass der Begriff „Saugkraft“ physikalisch nicht zu vertreten ist, da Fluide, also Gase und Flüssigkeiten keine Zugkräfte sondern lediglich Druckkräfte übertragen können. Ansaugen bedeutet immer, dass an einem Körper ein Druckunterschied vorliegt, der zu einer resultierenden Kraft führt. Die Frage, die es nun zu beantworten gilt lautet: Welchen Höhenunterschied können Sie maximal mit einer Saugpumpe überbrücken? Dazu betrachten Sie die in Abb. 2-7 skizzierte Pumpe. pi pu (1) H p0 (2) h W (2) (1) Abb. 2-7: Saugpumpe an einem Brunnen Die Förderhöhe H ergibt sich aus der Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1) – (1) ∙ ∙ ∙ ∙ und der Druckbilanz in dem zur Atmosphäre offenen Brunnenschacht (2) – (2) ∙ ∙ Da sich die Messpunkte für p1 und p2 auf dem gleichen Niveau befinden, muss dort auch der gleiche Druck herrschen. Es gilt also und somit ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 38 ∙ Hydrostatik 2 Die maximale Förderhöhe Hmax ergibt sich also bei dem kleinstmöglichen Druck pi im Pumpengehäuse. Der niedrigste Druck, den Sie erzeugen können, wäre ein Vakuum. Auf der Erde ein recht kostspieliges Unterfangen, da Sie dazu eine Molekularpumpe benötigen. In diesem Fall würde die maximale Förderhöhe ∙ 10 10 ∙ 9,81 10m betragen. Allerdings können Sie sich die Investition in die teure Molekularpumpe sparen, da die Saugpumpe den Dienst quittieren wird, lange bevor Sie im Pumpengehäuse ein Vakuum erzeugt hätten. Sobald der Druck im Pumpengehäuse unter den Dampfdruck sinkt, wird das Wasser von der flüssigen Phase in die Gasphase übergehen. Es beginnt also zu sieden und die Pumpe funktioniert nicht mehr. Da der Dampfdruck von der Temperatur abhängt (siehe Tab. A-4 bis Tab. A-7) nimmt die maximale Förderhöhe mit steigender Wassertemperatur ab. Die maximale Förderhöhe ergibt sich also zu ∙ Bei einer Wassertemperatur von 100°C beträgt der Dampfdruck ein bar. Das bedeutet, dass bei einem bar Umgebungsdruck die Förderhöhe auf null zurückgeht. Sofern Sie beispielsweise auf Island aus einer heißen, siedenden Quelle mit einer Saugpumpe Wasser fördern möchten, wird das nicht funktionieren. Sofern Sie größere Förderhöhen erreichen möchten, ist es erforderlich den Brunnenschacht gegenüber der freien Atmosphäre abzudichten, so dass nicht mehr der Umgebungsdruck p0 an der Wasseroberfläche anliegt, sondern ein höherer Luftdruck, den Sie durch einen Kompresser im Brunnenschacht erzeugen könnten. 2.1.6 Kavitation Sinkt in einer Flüssigkeit der Druck unter den Dampfdruck, so wechselt das Fluid von der flüssigen Phase in die Dampfphase. Der Zusammenhang zwischen Siededruck und Siedetemperatur wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben. In den Dampftafeln4 in Tab. A-4 bis Tab. A-7 finden Sie die Werte für Wasser. Das klingt zunächst harmlos, hat aber gravierende Auswirkungen auf den Betrieb von Schiffspropellern oder Wasserturbinen. Sinkt der Druck an dem Schaufelblatt unter den Dampfdruck, so bildet sich eine Dampfblase, die jedoch sehr schnell wieder zerfällt, sobald der Druck wieder steigt. Dies kann zu einem sehr schnellen Lastwechsel und zu sogenannten Kavitationsschäden an dem entsprechenden Bauteil führen. Eine weitere Auswirkung der Kavitation liegt in der Begrenzung der maximalen Förderhöhe einer Saugpumpe beziehungsweise der Tatsache, dass eine Flüssigkeit nicht beliebig große Steighöhen von alleine überwinden kann. –––––––––– Dampftafel: Siededruck pD, Siedetemperatur , spezifisches Volumen v = V/m = 1/, wobei v‘ das spez. Volumen in der flüssigen Phase und v‘‘ das spez. Volumen in der Gasphase beschreibt. Gleiches gilt für die spez. Enthalpie und spez. Entropie: h‘ und s‘ beschreiben die Werte der flüssigen Phase und h‘‘ und s‘‘ beschreiben die Werte der flüssigen Phase. 4 39 2 Hydrostatik Abb. 2-8: Kavitationsschäden an einem Schiffspropeller 2.2 Druckmessung 2.2.1 Statische Größen und Totalgrößen Bei der Bestimmung der Zustandsgrößen Druck, Dichte und Temperatur ist es wichtig zwischen den statischen Größen und den Totalgrößen zu unterscheiden. Würden Sie den Luftdruck in einem ruhenden System, also beispielsweise in dem Raum, in dem Sie sich gerade befinden, mit einem Barometer messen, so wäre dies der statische Druck. Zwischen dem Sensor und dem Fluid, also der Luft, liegt keine Relativgeschwindigkeit vor. Da sich das System in Ruhe befindet, wäre in diesem Fall der statische Druck identisch mit dem Totaldruck. Ebenso würden Sie in einem bewegten System den statischen Druck messen, wenn Sie den Sensor in Strömungsrichtung mitbewegen und zwar mit der gleichen Geschwindigkeit, wie die Strömung fließt. Auch hier liegt keine Relativgeschwindigkeit zwischen Sensor und Fluid vor. Würden Sie in einem bewegten System den Sensor jedoch fixieren, so würde die Strömung an dem Sensor auf die Geschwindigkeit null abgebremst. Der statische Druck ist eine ungerichtete Größe, dem Sie einfach nicht entgehen können. Daher liegt auf jeden Fall bereits der statische Druck an ihrem ortsfesten Sensor an. Zusätzlich wird dieser statische Druck noch um einen weiteren Anteil erhöht. Die kinetische Energie, die in der Strömung enthalten ist kann sich im Staupunkt, wo sie auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird, nicht einfach ins Nichts auflösen5 sondern führt zu einer Druckerhöhung im Staupunkt. Der Druck, den der Sensor nun im Staupunkt misst, setzt sich also zusammen aus dem statischen Druck ps und dem sogenannten Staudruck /2v2, also dem kinetischen Anteil. Zur Bestimmung der Totalgrößen ist es nicht erforderlich die Strömung wirklich auf die Geschwindigkeit null abzubremsen. Das können Sie auch virtuell, also rein rechnerisch tun. Sofern Sie die Kompressibilität vernachlässigen, ergibt sich bei einer Strömungsgeschwindigkeit c der recht einfache Zusammenhang zwischen dem statischen Druck ps und dem Totaldruck pt: 2 ∙ –––––––––– 5 Das Prinzip der Energieerhaltung ist ein fundamentales Prinzip der Physik und wird durch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben. 40 Hydrostatik 2 Wenn Sie sich in einer Strömung entlang einer Stromlinie bewegen, so bleibt bei Vernachlässigung der Reibung und der potentiellen Energie die Gesamtenergie oder der auch der Gesamtdruck konstant. Die beiden Anteile statischer Druck und dynamischer Druck beziehungsweise Staudruck können sich zwar beliebig verändern, die Summe aus den beiden Anteilen bleibt jedoch konstant. Das ist die Grundidee der Bernoulli-Gleichung, die Sie in Kapitel 4 noch näher kennenlernen werden. In der Literatur werden Sie für den Totaldruck pt auch die Bezeichnung pges für Gesamtdruck oder p0 finden, wobei der Index null auf die Geschwindigkeit c = 0 im Staupunkt verweist. 2.2.2 Einbau von Drucksonden Die Differenzierung zwischen statischem Druck und Totaldruck bringt uns direkt zu den beiden einzigen Möglichkeiten, wie Sie in einem Bauteil oder in einer Strömung Drucksensoren installieren können. Die in Abb. 2-9 skizzierten Einbauvarianten sind natürlich unabhängig von dem verwendeten Sensor, wichtig ist lediglich die Installation der Druckbohrung. 90° c pstatisch c pstatisch c pstatisch pstatisch pstatisch c p0 h M pt pstatisch pstatisch c c pt p0 pstatisch h M h M Abb. 2-9: Einbau von Drucksonden a) statische Wanddruckbohrung, b) statische Drucksonde, c) Prandtl-Rohr In Abb. 2-9a ist der Einbau für eine statische Druckmessung dargestellt. Die Druckbohrung wird senkrecht zur Gehäuse- oder Rohrwand ausgeführt und die Strömung verläuft tangential zur Wand. Da der statische Druck eine ungerichtete Größe ist, wirkt er natürlich auch auf die Öffnung der Druckbohrung. Von der Strömungsgeschwindigkeit c ist die Messung unbeeinflusst, da keine Geschwindigkeitskomponente in die Bohrung vorliegt. Möchten Sie eine Sonde zur Messung des statischen Drucks in einer Strömung konstruieren, so wenden Sie ebenfalls das Prinzip der statischen Wanddruckmessung an. Problematisch gestaltet sich der Umstand, dass es nicht immer möglich ist, die korrekte Strömungsrichtung zu bestimmen und die Sonde tangential zur Strömung auszurichten. In diesem Fall würden Sie zusätzlich zum statischen Druck noch eine unbekannte Geschwindigkeitskomponente c an der Druckbohrung messen. Der Sensor kann jedoch nicht zwischen diesen beiden unterschiedlichen Anteilen differenzieren und misst einfach einen etwas erhöhten Druck. Abhilfe schaffen in diesem Fall mehrere, über den Umfang der Sonde verteilte Druckbohrungen, die alle in das gleiche Volumen führen, Abb. 2-9b. Bei einer Schräganströmung wird eine Bohrung auf der An41 2 Hydrostatik strömseite mit einem etwas höheren Druck belastet, während die gegenüberliegende Bohrung auf der Abströmseite mit einem etwas geringeren Druck beaufschlagt wird. An der Spitze der Sonde wird die Strömung auf die Geschwindigkeit null abgebremst und es entsteht ein Staupunkt (c = 0). Wenn Sie an dieser Stelle eine Druckbohrung anbringen, werden Sie den Totaldruck der Strömung messen, Abb. 2-9c. Diese Anordnung wird auch als Pitot-Rohr6 bezeichnet, wobei mit PitotGrößen immer die Strömungsgrößen im Staupunkt bezeichnet werden. Durch die Kombination eines Pitot-Rohrs mit einer statischen Drucksonde erhält man das sogenannte Prandtl-Rohr7 . Durch die gleichzeitige Messung des Totaldrucks und des statischen Drucks erhält man durch eine einfache Differenzbildung den Staudruck, woraus sich wiederum die Geschwindigkeit ableiten lässt. Nach diesem Prinzip arbeiten auch bei heutigen modernen Flugzeugen die Fahrtmesser. Bei niedrigen Geschwindigkeiten im inkompressiblen Bereich ergibt sich aus den beiden Drücken ps und pt die Geschwindigkeit zu 2 ∙ 2 ∙ 2.2.3 U-Rohrmanometer und Schrägrohrmanometer Eine sehr einfache und effiziente Möglichkeit zur Druckmessung, die Sie auch problemlos in Ihrer Garagenwerkstatt anwenden können, ist die Verwendung eines U-Rohrmanometers. Betrachten Sie den in Abb. 2-10 skizzierten Druckkessel, an das ein Manometer angeschlossen wurde. In dem Kessel befindet sich eine Flüssigkeit der Dichte K und auf dem Flüssigkeitsspiegel lastet der Druck pi, beziehungsweise der Überdruck gegenüber der Atmosphäre pü. Der linke Schenkel des mit Quecksilber (definitiv nicht für den Hausgebrauch geeignet) gefüllten Manometers ist an dem Kessel angeschlossen, der rechte Schenkel ist zur Atmosphäre hin offen. –––––––––– 6 Pitot, Henri de (03.05.1695 – 27.12.1771), französischer Mathematiker, Astronom und Wasserbauingenieur. Entwickelte zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit von Gewässern das nach ihm benannte Pitot-Rohr. 7 Prandtl, Ludwig (04.08.1875 – 15.08.1953), deutscher (bayrischer) Ingenieur und führender Strömungsmechaniker in Göttingen, Begründer der Grenzschichttheorie. 42 Hydrostatik 2 pü pi K p0 x h y (1) (2) Hg Abb. 2-10: Druckbehälter mit U-Rohrmanometer Die Frage lautet: Welchen Überdruck pü wird in Abhängigkeit von der Steighöhe h im Manometer angezeigt? Ausgehend von dem Grundprinzip der Hydrostatik, dass auf dem gleichen Niveau auch der gleich Druck herrscht, muss bei einem ruhenden, statischen System in diesem Fall an den Stellen (1) und (2) im Manometer der gleiche Druck herrschen. Die Druckbilanz im linken Schenkel ergibt für die Stelle (1) ∙ ∙ und im rechten Schenkel an der Stelle (2) ∙ ∙ Wegen p1 = p2 gilt ∙ ∙ ∙ ∙ also ∙ ü ∙ ∙ ∙ Sofern sich in dem Kessel keine Flüssigkeit sondern ein Gas befindet, macht es im Rahmen der Messgenauigkeit keinen Unterschied, an welcher Stelle des Kessels Sie die Druckleitung anschließen. Aufgrund der geringen Dichte werden Sie kaum einen Druckunterschied in Abhängigkeit von der Höhe messen. Zur Verdeutlichung ein kleiner Vergleich der Größenordnungen: Um in Wasser eine Druckänderung von 0,5 bar zu erreichen müssen Sie die Tauchtiefe lediglich um fünf Meter ändern. Möchten Sie in der Atmosphäre eine Druckänderung von 0,5 bar erreichen, so müssten Sie beispielsweise von Meeresniveau bis auf eine Höhe von 5500 m aufsteigen. Der Luftdruck in der freien Atmosphäre halbiert sich ungefähr alle 5500 m, das heißt in 11 km Höhe herrscht noch ein Luftdruck von 0,25 bar. Somit spielt die Höhenänderung bei Druckbehältern in Form von Pressluftflaschen oder Gasometern eine eher untergeordnete Rolle. Die Berechnung des Kesseldrucks vereinfacht sich bei Gasen dadurch zu ü ∙ ∙ 43 2 Hydrostatik Schrägrohrmanometer Die Genauigkeit eines U-Rohrmanometers lässt sich sehr einfach erhöhen, wenn Sie den Schenkel, auf dem sich die Messskala befindet um einen Winkel neigen, Abb. 2-11. Maßgebend für die Messung ist immer noch die Steighöhe h, jedoch wird die Steighöhe entsprechend dem Neigungswinkel auf die Länge L gespreizt. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ sin p1 p0 L M h Abb. 2-11: Schrägrohrmanometer 2.2.4 Einfluss von Temperatur und Luftfeuchte auf die Druckmessung Ein wesentlicher Aspekt bei experimentellem Arbeiten, und nicht nur dort, ist die möglichst genaue Erfassung und Dokumentation der Randbedingungen unter denen das Experiment durchgeführt wird. Dazu gehören unter anderem Luftdruck, Lufttemperatur und relative Luftfeuchte. Zur Messung des Drucks werden in Laboren häufig Quecksilber-Barometer verwendet. Diese wirken zwar etwas antiquiert, sind jedoch recht präzise. Allerdings treffen Sie hier auf ein klassisches Problem der Messtechnik. Die Messgröße, die Sie erfassen möchten hängt zusätzlich noch von einem oder mehreren anderen Parametern ab. Im Fall des Quecksilber-Barometers möchten Sie den Luftdruck messen. Dazu lesen Sie die druckabhängige Längenänderung an einer Skala ab. Zusätzlich dehnt sich das Quecksilber in Abhängigkeit von der Temperatur aus. Daher sind alle Barometer auf eine bestimmte Referenztemperatur kalibriert, häufig bei 0°C oder 20°C. Diese Information findet sich in der Regel auf einem kleinen Schild an dem Barometer. Führen Sie das Experiment bei einer anderen Temperatur als der Referenztemperatur durch, so ist diese Wärmedehnung mittels dieser einfachen Korrektur zu berücksichtigen: ∙ 1 1,81 ∙ 10 ∙ mit L0 mmHg Länge der Quecksilbersäule, umgerechnet auf T = 0°C LT mmHg Länge der Quecksilbersäule, abgelesen bei Umgebungstemperatur T °C Umgebungstemperatur Alternativ würde auch folgende, etwas einfacher zu merkende Korrektur funktionieren: 8 44 Hydrostatik 2 Wobei in beiden Korrekturformeln die Temperatur T wieder in °C einzusetzen ist. Die Umrechnung der Druckeinheit mmHg, also Torr in die SI-Einheit Pascal erfolgt einfach durch Multiplikation mit dem Faktor 133,32 (siehe Tab. 2-3). Die Bestimmung der Luftdichte im Labor erfolgt über die Zustandsgleichung des idealen Gases ∙ Als Ingenieur haben Sie sicher den Wert für die spezifische Gaskonstante von Luft R = 287,05 J/kgK im Kopf. Das ist soweit korrekt, allerdings gilt dieser Wert nur für Luft mit einer relativen Feuchte von = 0%. Absolut trockene Luft werden Sie jedoch selbst in der Sahara nie finden. Das ist auch gut so, denn sonst würde das Auffangen von Kondensfeuchte mittels einer Plane während der Nacht in der Wüste nicht funktionieren. Die Korrektur für die Luftfeuchte erfolgt mittels 1 1 ∙ ∙ 1 0,3773 ∙ ∙ mit R J/kgK spezifische Gaskonstante von Luft bei = 0% RD J/kgK spezifische Gaskonstante von Wasserdampf % relative Luftfeuchte p Pa Luftdruck pD Pa Sättigungsdampfdruck von Wasser bei der vorliegenden Raumtemperatur Den Sättigungsdampfdruck pD können Sie Tab. A-4 bis Tab. A-7 entnehmen. Sollten Sie wider Erwarten einmal keine Dampftafel zur Verfügung haben, hilft auch die Näherungsformel nach Magnus8 weiter: 611,213 ∙ e , , ∙ Beachten Sie, dass in der Magnus-Formel die Temperatur T in °C eingegeben wird. 2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen Insbesondere zur Auslegung der Struktur von Behältern benötigen Sie die auftretenden Lasten auf die Außenwände infolge des Fluids, das sich im Inneren des Behälters befindet. Auch für komplexe Strukturen mit nicht-abwickelbaren Oberflächen lassen sich diese Lasten vergleichsweise einfach berechnen, da sich jede gewölbte Oberfläche durch Projektion in eine Ebene auf ein ebenes Problem reduzieren lässt. –––––––––– 8 Magnus, Heinrich Gustav (02.05.1802 – 04.04.1870), deutscher Physiker und Chemiker, unter anderem bekannt für den Magnus-Effekt, welcher die Querkraft bezeichnet, die ein rotierender Körper (Zylinder oder Kugel) in einer Strömung erfährt. 45 2 Hydrostatik 2.3.1 Kräfte auf ebene Flächen Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche Bei dem in Abb. 2-12 skizzierten Behälter soll die Kraft auf die Bodenplatte bestimmt werden. Die Belastung ergibt sich aus der Differenz zwischen der inneren Kraft Fi infolge des hydrostatischen Drucks und der äußeren Kraft Fa infolge des äußeren Luftdrucks p0. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ p0 H Fi A p0 Fa Abb. 2-12: Belastung einer ebenen, horizontalen Fläche Druckkraft auf eine ebene, senkrechte Fläche Auch die Belastung der senkrechten Fläche ergibt sich aus der Druckdifferenz zwischen Innen- und Außenseite. Betrachtet man das infinitesimale Flächenelement dA in der Tiefe z (Abb. 2-13), so wird dieses durch die Kraft dF belastet. d d d ∙ ∙ ∙d ∙d ∙ ∙ ∙d Die Belastung der gesamten linken Seitenfläche ergibt sich aus dem Flächenintegral ∙ d ∙ ∙ ∙ ∙d ∙d mit der Flächenschwerpunktskoordinate zS 1 ∙ ∙d folgt für die Kraft F ∙ ∙ ∙ ∙ Das heißt, die Kraft F auf eine beliebig geformte ebene Fläche hängt nur von dem Druck p(zS) am Ort des Flächenschwerpunkts S ab. 46 Hydrostatik 2 p0 x y A z zS zD z S D F dA H dF p0 Abb. 2-13: Belastung einer ebenen, senkrechten Fläche Druckpunkt oder Kraftangriffspunkt Die nächste Frage, die es zu klären gilt, lautet, wo greift diese Gesamtkraft F an? Hier macht es einen großen Unterschied, ob der Behälter mit einer Flüssigkeit oder einem Gas gefüllt ist. Bei Flüssigkeiten nimmt der Druck linear mit der Tiefe zu, wohingegen bei Gasen aufgrund der vergleichsweise geringen Dichte der Druck im Rahmen der Messgenauigkeit näherungsweise über die Höhe konstant bleibt. Die daraus resultierenden unterschiedlichen Druckverteilungen und die davon abhängige Lage des Druckpunkts D im Verhältnis zum Flächenschwerpunkt S sehen Sie in Abb. 2-14a und Abb. 2-14b. p0 y x Flüssigkeit zS S z Gas zS = zD zD F H F pi S=D D p = p(z) p = const. p0 p0 Abb. 2-14: Lage des Druckpunkts bei a) Flüssigkeiten und b) Gasen Den Versatz des Druckpunkts gegenüber dem Schwerpunkt (Abb. 2-14a) erhalten Sie aus dem Momentgleichgewicht um die x-Achse: ∙ ∙d ∙ ∙ Wobei das Flächenintegral ∙ ∙ ∙d ∙ ∙ ∙d das Flächenträgheitsmoment Ix der Fläche A um die x-Achse beschreibt. Die Kraft F ergibt sich in Abhängigkeit von der Lage des Flächenschwerpunkts zS zu ∙ ∙ ∙ also ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 47 2 Hydrostatik beziehungsweise ∙ ∙ Das Flächenträgheitsmoment ISx der Fläche A um eine Achse durch den Schwerpunkt S, parallel zur x-Achse ergibt sich über den Steiner-Anteil entsprechend zu ∙ Eingesetzt in das Momentengleichgewicht folgt ∙ ∙ ∙ also ∙ ∙ ∙ Von Interesse ist der Versatz d des Druckpunkts unterhalb des Schwerpunkts ∙ Sofern Sie eine symmetrische Fläche betrachten wird der Druckpunkt immer senkrecht unterhalb des Flächenschwerpunkts liegen. Sofern Sie jedoch eine unsymmetrische Fläche betrachten, wird der Druckpunkt sehr wahrscheinlich auch noch eine laterale Verschiebung aufweisen. Diese laterale Verschiebung xD erhalten Sie aus dem Momentengleichgewicht um die z-Achse: ∙ ∙ ∙ ∙d ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙d ∙ ∙ ∙d Mit dem Flächen-Deviationsmoment Ixz ∙ ∙d folgt ∙ Übung 2-3 Gesucht ist die Belastung auf die kreisförmige Klappe des in Abb. 2-15 skizzierten Behälters. Auf die Wasseroberfläche als auch auf die Seitenwände des Behälters wirkt der äußere Umgebungsdruck p0. Berechnen Sie das Moment Mx der Klappe um die Drehachse a-a, die Kraft Fges auf die linke Seitenwand bei geschlossener Klappe und die Lage des Kraftangriffspunktes zD,Wand für folgende Werte: 48 Hydrostatik 2 p0 = 1 bar, = 10³ kg/m³, zS = 2 m, Klappenfläche A = 0,19635 m², Pegelstand im Behälter H = 6 m, Breite des Behälters B = 10 m p0 x y b z p0 A zS zD S a a b F H D Abb. 2-15: Behälter mit Klappe Druckkraft auf eine ebene, geneigte Fläche Die Belastung einer ebenen, geneigten Fläche (Abb. 2-16) bestimmen Sie fast analog zum Verfahren, das Sie bei einer senkrechten Fläche angewendet haben. Maßgebend für die Kraft ist der hydrostatische Druck im Flächenschwerpunkt S. ∙ ∙ ∙ ∙ Bei der Bestimmung des Druckpunkts ist darauf zu achten, dass die Berechnung des Versatzes von Druckpunkt D zum Flächenschwerpunkt S in der Ebene der geneigten Fläche durchgeführt wird. Entsprechend dem Neigungswinkel der Ebene gegenüber der z-Achse ergibt sich für der Versatz mit zD = tDcos und zS = tScos wieder aus dem Momentengleichgewicht ∙ Für den Sonderfall der ebenen, senkrechten Fläche mit = 0, also cos = 1 gilt zD = tD und zS = tS , also ∙ y ∙ p0 x b z A S a a b D tD tS t S zS zD F p0 D Abb. 2-16: Belastung einer ebenen geneigten Fläche 49 2 Hydrostatik 2.3.2 Druckkraft auf gekrümmte, abwickelbare Flächen Gesucht ist in diesem Fall die Belastung auf die Teilfläche eines ebenen Behälters (Abb. 2-17). Die Teilfläche wird beschrieben durch die Kurve (1) – (2) – (3) – (4). y x (4') (4) z V Fz A1 A1,x zS1,x zD1,x S1,x F1,x zS2,x zD2,x D1,x F1,x Fz S3,x D3,x A3,x (1'') (1) F3,x (2'') F A2 A3 (3') (3) F2,x (2') (2) S2,x D2,x A2,x Abb. 2-17: Belastung einer gekrümmten, abwickelbaren Fläche Die Berechnung der resultierenden Gesamtkraft F auf diese Teilfläche erfolgt ebenfalls analog zu dem Verfahren, das sie bereits bei einer ebenen senkrechten Fläche angewendet haben. Sie müssen lediglich einen Arbeitsschritt zuvor bemühen. Dabei zerlegen Sie die Gesamtkraft F in die beiden Komponenten Fx und Fz. Horizontale Kraftkomponente Fx Zur Berechnung der horizontalen Komponente Fx projizieren Sie zunächst die Teilfläche A1 in die y –z Ebene, (4) (4‘) und (3) (3‘). Damit erhalten Sie die Fläche A1,x. Unabhängig davon, welche Form die Fläche A1 hat, nimmt A1,x immer die Form eines Rechtecks an. Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts S1,x, der Kraft F1,x sowie der Lage des Druckpunkts D1,x erfolgt analog dem Verfahren bei einer ebenen senkrechten Wand. ∙ , ∙ ∙ , , , , , , ∙ , , Ebenso verfahren Sie mit der Teilfläche A2 und erhalten ∙ , ∙ ∙ , , , , , , ∙ , , Die Teilfläche A3 projizieren Sie nach links und erhalten ∙ , ∙ ∙ , , , 50 , , , , ∙ , Hydrostatik 2 Die Teilflächen A2 und A3 haben den Punkt (2) gemeinsam und die Punkte (1) und (3) liegen auf der gleichen Höhe. Dadurch sind die projizierten Flächen A2,x und A3,x, sowie die z-Koordinaten der Flächenschwerpunkte S2,x, S3,x und der Druckpunkte D2,x, D3,x ebenfalls identisch. Daher sind die beiden horizontalen Kräfte F2,x, und F3,x zwar entgegengerichtet aber betragsmäßig ebenfalls identisch und heben sich gegenseitig auf. Es verbleibt für die horizontale Komponente lediglich die Kraft, die in x-Richtung auf die Teilfläche A1,x wirkt, also , ∙ ∙ , ∙ , Vertikale Kraftkomponente Fz Die vertikale Komponente Fz ergibt sich aus dem Gewicht des virtuellen Volumens V, das über der Gesamtfläche A = A1 + A2 + A3 lastet. ∙ ∙ Durch einfache vektorielle Addition der beiden Komponenten Fx und Fz erhalten Sie die Gesamtkraft F auf die Fläche A. Mathematisch etwas anspruchsvoll könnte sich die Bestimmung des Volumenschwerpunkts des virtuellen Volumens gestalten, da in diesem Punkt die Wirkungslinie der vertikalen Kraftkomponente Fz angreift. Hier wird Ihnen aber Ihr CADSystem das Leben sicher etwas erleichtern. Hinweis Für den Fall, dass Sie die Belastung einer von der Außenseite mit Druck beaufschlagten Fläche berechnen möchten, also beispielsweise bei einem Schiffsrumpf, so können Sie völlig analog zu dem hier vorgestellten Verfahren vorgehen. Lediglich die Wirkungsrichtung der vertikalen und der horizontalen Kraftkomponente sind umzudrehen. 2.3.3 Druckkraft auf nicht-abwickelbare Flächen Bei ausgeführten Konstruktionen werden Sie nur in Ausnahmefällen auf abwickelbare Flächen stoßen. Denken Sie nur an die Oberflächen von Straßen- oder Luftfahrzeugen. Aber auch hier ist die Vorgehensweise denkbar einfach. Entsprechend Abb. 2-18 projizieren Sie die nicht-abwickelbare Fläche A, beschrieben durch die Randkurve (1) – (2) – (3) – (4) zuerst in die y-z-Ebene und erhalten die ebene Fläche A‘, beschrieben durch die Randkurve (1‘) – (2‘) – (3‘) – (4‘). Nun bestimmen Sie den Flächenschwerpunkt S‘ und berechnen den dort anliegenden hydrostatischen Druck p(zS‘). Der Angriffspunkt der Kraft Fx ergibt sich wieder aus den Trägheitsmomenten der Fläche A‘. Im nächsten Schritt wird die Fläche A in die x-zEbene projiziert und Sie erhalten die ebene Fläche A‘‘, beschrieben durch die Randkurve (1‘‘) – (2‘‘) – (3‘‘) – (4‘‘). Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts, des hydrostatischen Drucks, der davon abhängigen Kraft Fy erfolgt wieder analog zum Vorgehen bei der senkrechten Wand. Zu beachten ist, dass die ebenen Flächen A‘ und A‘‘ sehr wahrscheinlich keine symmetrischen Flächen sein werden, das heißt, dass bei der Bestimmung der Druckpunktlagen nicht nur der vertikale Versatz sondern auch der laterale Versatz gegenüber dem Flächenschwerpunkt zu be51 2 Hydrostatik stimmen ist. Die vertikale Kraftkomponente Fz ergibt sich aus dem Gewicht des virtuellen Volumens V, das über der Fläche A liegt. Die Wirkungsrichtung dieser Kraft führt durch den Volumenschwerpunkt S des virtuellen Volumens V. Sofern Sie korrekt gearbeitet haben, sollten sich die Wirkungslinien der drei Teilkräfte Fx, Fy und Fz in einem Punkt schneiden. Die resultierende Gesamtkraft F ergibt sich wieder durch eine einfache vektorielle Addition. Auch hier haben Sie natürlich das ein oder andere mathematisch etwas knifflige Problem in Form von der Bestimmung der Flächen, Flächenschwerpunkte, Trägheitsmomente, Volumen und Volumenschwerpunkte zu lösen. Allerdings haben Sie den großen Vorteil, dass Ihnen heutige CAD-Systeme diese Informationen auf Knopfdruck liefern. x A'' (2'') (1'') V (2') A' (1) y A Fx D' dz'' (2) (1') S' S'' Fz Fy S (3'') Fy Fx (4'') dx'' F (3') Fz d z' (4') D'' (3) (4) d y' z Abb. 2-18: Belastung einer nicht-abwickelbaren Fläche 52 Hydrostatik 2 Übung 2-4 Gesucht ist Kraft auf einen Staudamm, der die Form eines Kugelsegments hat, Abb. 2-19. Pegelstand H des Stausees und Radius R des Staudamms betragen R = H = 100 m. x y H x z g R z y R Abb. 2-19: Belastung eines Staudamms Hinweis Die Flächenschwerpunkte ergeben sich entsprechend Abb. 2-20 zu Halbkreis: 4∙ 3∙π 0, y Viertelkreis: 0,576 ∙ Flächenträgheitsmoment eines Halbkreises 72 ∙ π ∙ 9∙π 64 y yS y S x S R yS R xS x Abb. 2-20: Schwerpunktskoordinaten von Halb- und Viertelkreis 53 2 Hydrostatik Übung 2-5 Zwei Behälter sind durch eine Zwischenwand getrennt. Im Punkt M ist eine drehbare halbkreisförmige Klappe K gelagert, die sich zwischen den Endpositionen 1 und 2 bewegen kann und in den Endpositionen abdichtet. Behälter A ist mit Luft, Behälter B ist mit Luft und Wasser befüllt. An der Oberseite der Behälter befindet sich je ein Ventil VA und VB. Außen herrscht der Umgebungsdruck p0. Die Gewichtskräfte der Klappe und der Luft sind zu vernachlässigen. p0 VA Tiefe der Behälter in z-Richtung: t Luft pB TB A pA TA g Luft B W y z VB Wasser h H x M 2 K Position 2 1 a 2r Position 1 b 1. Ventil VA ist geschlossen, Ventil VB ist geöffnet. Der Druck pA ist so groß, dass die Klappe in Position 1 gehalten wird. Geben Sie die Kräfte Fx und Fy auf die Klappe K als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen an. 2. Ventil VA und Ventil VB sind geschlossen. Bestimmen Sie den erforderlichen Luftdruck pA im Behälter A, so dass die Klappe K gerade noch in Position 2 gehalten wird als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen. 54 Hydrostatik 2 2.4 Statischer Auftrieb Die physikalische Ursache für Auftrieb liegt immer in einer Druckdifferenz zwischen der Ober- und Unterseite eines Körpers. Entsteht dieser Druckunterschied infolge der Umströmung eines Körpers, beispielsweise an einem Tragflügel, so spricht man von dynamischem Auftrieb. Stellt sich dieser Druckunterschied an einem Körper in einem ruhenden System ein, so handelt es sich um den statischen Aufrieb. Dieser Frage ging bereits Archimedes9 nach und kam für die damaligen Verhältnisse zu recht interessanten Ergebnissen, die insbesondere zu dem ersten historisch belegten, zerstörungsfreien Materialprüfverfahren führten. Archimedes der in Syrakus auf Sizilien lebte, das im dritten Jahrhundert vor Christus noch eine griechische Kolonie war, beschäftigte sich während der römischen Belagerung von Syrakus auch mit der Entwicklung von Kriegsmaschinen, wie Katapulten und Brennspiegeln zur Abwehr der römischen Flotte. Im Gegensatz zu seinen sonstigen Erfindungen jedoch nicht mit durchschlagendem Erfolg, was in letzter Konsequenz zu dem Verlust der griechischen Kolonien auf Sizilien als auch zu seinem jähen Ende durch das Schwert eines eher bildungsfernen römischen Legionärs führte „Störe meine Kreise nicht“ (Letzter Satz von Archimedes, 212 v.Chr.). Die Materialprüfung wurde von dem damaligen Herrscher von Syrakus, König Hieron II initiiert, der seinem Goldschmied eine bestimmte Menge Gold zur Anfertigung einer Krone überlassen hatte und diesem unterstellte, er hab einen Teil des wertvollen Materials für sich abgezweigt und durch Blei ersetzt. Zur Klärung dieser Frage wurde nun Archimedes mit einem werkstoffkundlichen Gutachten beauftragt. Einschmelzen der Krone hätte zwar ein eindeutiges Ergebnis geliefert, jedoch gleichzeitig die handwerkliche Leistung zunichte gemacht. Aufbauend auf seinen im Bade gewonnenen Erkenntnissen führte Archimedes folgendes Experiment durch (Abb. 2-21). Abb. 2-21: Dichteprüfung mittels einer Balkenwaage Im ersten Schritt wurde mittels einer Balkenwaage ein Massevergleich durch Vergleich der gleichen Menge Gold, das in der Krone enthalten sein sollte, mit der Krone selbst durchgeführt. Dieser Test verlief zur Zufriedenheit aller Beteiligten. Im zweiten Schritt wurde der Versuchsaufbau in ein Wasserbecken gesetzt worauf sich die Krone anhob. Angesichts der damaligen Rechtsprechung dürfte dieses Ergebnis dem Golfschmied sehr wahrscheinlich den gesamten restlichen Tag verdorben haben. Die Frage ist nur warum? Nun, die Antwort ist recht einfach. Alles was –––––––––– 9 Archimedes (287 v. Chr. - 212 v. Chr.), Syrakus: Griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Erfinder des Prinzips des archimedischen Auftriebs, Hebelgesetze, archimedischer Schraube, Waffentechnik (Hohlspiegel, Katapulte) 55 2 Hydrostatik hier von Archimedes demonstriert wurde war ein Vergleich der unterschiedlichen Materialdichten. Gold war zu diesem Zeitpunkt das Material mit der höchsten bekannten Dichte. Jegliche Form einer Zulegierung, also sehr wahrscheinlich Blei, würde zu einer geringeren Dichte führen. Archimedes wusste, dass die Auftriebskraft eines getauchten Körpers der Masse der verdrängten Flüssigkeit entspricht. Je größer das Volumen, also je geringer die Dichte bei gleicher Masse, desto größer der Auftrieb. Kurz: Zwei Körper gleicher Masse, aber unterschiedlicher Dichte haben auch unterschiedliche Verdrängungsvolumina, also unterschiedliche Auftriebskräfte. Das Prinzip des statischen Auftriebs lässt sich an dem in Abb. 2-22 skizzierten getauchten Körper nachvollziehen. Der zylindrische Körper mit der Dichte K hat den Querschnitt A und die Dicke z = z2 – z1. Auf der Flüssigkeit mit der Dichte F lastet der Umgebungsdruck p0. p0 F1 A A K FG F F2 z1 z2 Abb. 2-22: Statischer Auftrieb als Ergebnis einer Druckdifferenz Welche Kräfte greifen nun an dem getauchten Körper an? An der Oberseite des Körpers lastet die Druckkraft F1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ An der Unterseite greift die Druckkraft F2 an ∙ ∙ Auftriebskraft Die Auftriebskraft FA ergibt sich aus der Differenz dieser beiden Druckkräfte ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∆ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Hier werden zwei markante Eigenschaften des Auftriebs deutlich. Der Auftrieb ist unabhängig von der Tauchtiefe und unabhängig von der Dichte des getauchten Körpers. Relevant ist lediglich das Verdrängungsvolumen des Körpers VK beziehungsweise das Volumen des verdrängten Fluids VF. Ein Betonklotz erzeugt also den gleichen Auftrieb wie ein Styroporklotz mit dem gleichen Volumen und zwar unabhängig davon ob er sich in einem Meter Tiefe im Badesee oder am Boden des Marianengrabens10 befindet. Dieses Prinzip trifft natürlich nicht nur auf Körper zu, die in einer Flüssigkeit untergetaucht sind, sondern auch für Körper, die Gase verdrängen. Also beispielswei–––––––––– 10 Marianengraben: Tiefseerinne im pazifischen Ozean, 2000 Kilometer östlich der Philippinen, nördlich und südlich der marianischen Insel Guam und tiefst gelegene Region der Erde mit einer maximalen Tiefe von ungefähr 11.000 m unter dem Meeresspiegel. 56 Hydrostatik 2 se auf einen Zeppelin, Heißluft- oder Gasballon. Die Frage, ob der Körper in dem Fluid schwebt, steigt oder sinkt, lässt sich aus dem Vergleich mit der zweiten an dem Körper angreifenden Kraft beantworten. Gewichtskraft In dem Fall des in Abb. 2-22 skizzierten Körpers gilt für die Gewichtskraft FG ∙ ∙∆ ∙ ∙ ∙ Gesamtkraft Die resultierende Gesamtkraft Fges. ergibt sich mit VF = VK zu ∙ . ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Übung 2-6 Bei einem Ausflug ins Elsass kommen Sie an dem Schiffshebewerk in Saint-LouisArzviller vorbei und bestaunen die Ingenieursleistung aus dem 20. Jahrhundert. Hierbei werden Schiffe in einer großen Wanne mit einem Schrägaufzug über einen Höhenunterschied von 44,55 m befördert. Da zwei Wannen im Gegenbetrieb, ähnlich den Gondeln einer Seilbahn arbeiten, muss bei der Bewegung der beiden 900t schweren Wannen lediglich die Reibung ausgeglichen werden. Dazu sind zwei Elektromotoren mit gerade einmal je 88kW ausreichend. Eine der am häufigsten gestellten Fragen lautet: Ist die Wanne mit dem Schiff schwerer als die Wanne ohne Schiff? Waage Waage Abb. 2-23: Schiffshebewerk a) Mit Schiff b) Ohne Schiff 57 2 Hydrostatik Übung 2-7 Angesichts der Diskussion um den Klimawandel gilt es die Frage zu klären, um wieviel der Meeresspiegel ansteigen wird, wenn das gesamte arktische Eis abtaut. Diese Frage berührt Sie besonders, da Sie vor der schwierigen Entscheidung stehen, sich für eine Berghütte in den Alpen, ein Ferienhaus an der französischen Atlantikküste oder für ein Hotel mit Tauchbasis auf den Malediven zu entscheiden. Gehen Sie bei der rechnerischen Abschätzung von folgenden Werten aus: Eis = 920 kg/m³ Mittlere Dichte von Eis: Meerwasser = 1025 kg/m³ Mittlere Dichte von Meerwasser: 2.4.1 Grenzen des archimedischen/statischen Auftriebs Die Berechnung des Auftriebs nach dem archimedischen Prinzip, also Auftriebskraft entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids erfordert, dass der Körper vollständig benetzt ist. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, so muss die Auftriebskraft über die Druckdifferenz von der Ober- zur Unterseite des Körpers bestimmt werden. Das wäre beispielsweise der Fall, wenn Sie den in Abb. 2-24 skizzierten Saugnapf betrachten. A F1 p1 = 0 p2 = p 0 F2 F = mg Abb. 2-24: Saugnapf Angenommen Sie möchten in den Tresorraum einer Bank einsteigen und sich dazu mithilfe von Saugnäpfen an der Decke entlanghangeln. Zusammen mit Ihrer Ausrüstung würden Sie den Saugnapf mit ungefähr 100 kg belasten. Durch sein Volumen verdrängt der Saugnapf etwas Luft, was auch zu einer kleinen Auftriebskraft führt, allerdings würde diese niemals ausreichen um die erforderliche Gegenkraft aufzubringen. Betrachten Sie hingegen die Druckdifferenz an Ober- und Unterseite, das heißt an der Oberseite herrscht ein Vakuum, also p1 = 0 und an der Unterseite der Umgebungsdruck von ungefähr p2 = 1 bar, so können Sie leicht ausrechnen, welchen Durchmesser der Saugnapf mindestens haben muss um die erforderliche Haltekraft aufzubringen. In diesem Beispiel wäre das ∙ ∙ also 58 Hydrostatik 2 4∙ ∙ π∙ 4 ∙ 100 ∙ 9,81 π ∙ 10 0,112 m Das ist übrigens auch der Grund, warum Ihre Badezimmerwaage ein geringeres Gewicht anzeigt als Sie wirklich auf die Waage bringen. Die Waage kann nur die resultierende Belastung aus Gewicht und Auftrieb messen. Den Auftrieb selbst kennt sie aber nicht. Welchen Fehler Ihre Waage in diesem Fall aufweist können Sie in der folgenden Übung berechnen. Übung 2-8 Berechnen Sie den Messfehler auf einer konventionellen Badezimmerwaage für einen leicht untergewichtigen Menschen mit einer Gesamtmasse von mK = 100 kg. Die Messung findet auf Meeresniveau statt, das heißt die Luftdichte beträgt Luft = 1,225 kg/m3 2.5 Stabilität schwimmender Körper Betrachtet wird im Folgenden die statische Stabilität eines Körpers, das heißt, es wird untersucht, wie sich ein Körper verhält, der aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird. Das ist nicht zu verwechseln mit der dynamischen Stabilität, da hier keine Aussage über das Zeitverhalten gemacht wird. Statisch stabil ist ein Körper oder ein System, das nach einer Störung wieder von alleine in seine Ausgangslage zurückkehrt. Statisch instabil bedeutet, dass infolge der Störung zusätzliche Kräfte oder Momente erzeugt werden, die diese Störung weiter verstärken und der Körper nicht mehr in seine Ausgangslage zurückkehrt. Schwimmachse Schwimmfläche 0 x y g z Metazentrum d SA SK h FA FG d 0 SA SK FG FA SA ' a Abb. 2-25: Schiffsrumpf a)Ruhelage b)Auslenkung infolge einer Störung 59 2 Hydrostatik Wird ein schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt der Körperschwerpunkt SK auf seiner Position, sofern Sie keine rutschende Ladung haben. Das Volumen des verdrängten Fluids VF bleibt gleich, ändert aber seine Form von einem rechteckförmigen zu einem trapezförmigen Querschnitt (Abb. 2-25). Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumens von SA auf SA'. Die Auftriebskraft FA greift in dem neuen Volumenschwerpunkt SA' des verdrängten Fluids an. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte FA und FG liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-25 skizzierten Beispiel bildet sich ein linksdrehendes, also aufrichtendes Moment. Die Wirkungslinie der Auftriebs- und der Gewichtskraft in der Ruhelage wird auch als Schwimmachse bezeichnet. Die Verschneidung des Schiffsrumpfes mit der Wasseroberfläche wird als Schwimmfläche bezeichnet. Zur Bestimmung des Stabilitätsmaßes ist die sogenannte metazentrische Höhe zu berechnen. Das Metazentrum ergibt sich aus dem Schnittpunkt von der Schwimmachse mit der Wirkungslinie der Auftriebskraft FA. Die metazentrische Höhe h beschreibt den Abstand des Metazentrums von dem Körperschwerpunkt SK in der Ruhelage. Wobei I0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt und d den Abstand von Masseschwerpunkt SK und Volumenschwerpunkt SA beschreibt. Aus der metazentrischen Höhe lässt sich direkt eine Aussage über das Stabilitätsverhalten des Körpers treffen: 2.6 - Liegt das Metazentrum oberhalb des Masseschwerpunkts, das heißt h > 0, liegt stabiles Verhalten vor. Der Körper kehrt nach einer Auslenkung von alleine wieder in die Ausgangslage zurück. - Liegt das Metazentrum im Masseschwerpunkt, das heißt h = 0, liegt indifferentes Verhalten vor. Der Körper schwimmt zwar aufrecht, ist aber intolerant gegenüber der kleinsten Störung und kentert. - Liegt das Metazentrum unterhalb des Masseschwerpunkts, das heißt h < 0, liegt instabiles Verhalten vor und der Körper kehrt nach einer Auslenkung nicht mehr in seine Ausgangslage zurück. Fluide unter Beschleunigung Betrachten Sie für einen starren Körper die Änderung der Geschwindigkeitsvektoren zwischen den Zeitpunkten t1 und t2. Dabei kann sich für die beiden Vektoren und nicht nur der Betrag der Geschwindigkeit, sondern auch die Richtung ändern. Dabei sind mehrere Varianten möglich. Der erste Fall entspricht der sogenannten translatorischen Beschleunigung. Das bedeutet, die Richtung bleibt konstant, wohingegen sich der Betrag der Geschwindigkeit ändert. Der zweite Fall wäre eine reine Richtungsänderung bei gleichbleibender Geschwindigkeit, also eine rotatorische Beschleunigung. Als dritte Möglichkeit ist auch eine Kombination der ersten beiden Fälle möglich, also eine Änderung von Geschwindigkeit und Richtung. Das entspricht dem allgemeinen Fall der Beschleunigung. 60 Hydrostatik 2 Die Momentanbeschleunigung zu zum Zeitpunkt t1 ergibt sich mit dem Ortsvektor d d lim → d d Die mittlere Beschleunigung innerhalb des Zeitintervalls t = t2 – t1 ergibt sich aus , 2.6.1 Fluide unter translatorischer Beschleunigung Niveauflächen Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveaufläche (Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden Massekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch den Umgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, das heißt an der freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der Oberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitation auf das Fluid, so stellt sich als Niveaufläche eine (fast) horizontale Ebene, genaugenommen ein Kugelflächensegment (Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung dieser Niveaufläche. Dass die Wasseroberfläche eines Sees eben keine ebene, sondern eine gewölbte Fläche darstellt, können Sie an folgendem Beispiel überprüfen. Darüber hinaus können Sie an diesem Beispiel Ihr Gefühl für ingenieurmäßiges Abschätzen von Größenordnungen überprüfen. Übung 2-9 Sie schwimmen bei Bregenz, am Südostufer des Bodensees in Ufernähe und blicken über den See in nordwestlicher Richtung. Wie hoch müsste in Konstanz, das in ungefähr 44 km Entfernung liegt, ein Turm sein, so dass Sie die Turmspitze noch sehen könnten? Die Form einer Niveaufläche ergibt sich immer aus der Summe der angreifenden Kräfte. Im Fall des in Abb. 2-26 skizzierte Behälters ist das im Ruhezustand lediglich die Gewichtskraft dFG, die an einem Fluidelement mit der Masse dm angreift. Unterliegt das Fluid noch einer translatorischen Beschleunigung a, so wirkt zusätzlich die Trägheitskraft dFT. 61 2 Hydrostatik y dm x g dm dFT = dm .a a z dFG = dm.g = dR dR dFG = dm .g Abb. 2-26: Fluid unter translatorischer Beschleunigung Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Kraftvektor dR. Der Neigungswinkel des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalen ergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskraft dFT zur Gewichtskraft dFG. ä tan d d d d ∙ ∙ 2.6.2 Fluide unter rotatorischer Beschleunigung Ähnlich liegen die Verhältnisse, wenn ein mit Flüssigkeit gefüllter Behälter mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse rotiert, das heißt der z-Achse in Abb. 2-27. z g dm zmax dFT = dm 2 r z0 zmin dFG = dm.g dR R R r Abb. 2-27: Fluid unter rotatorischer Beschleunigung Auch hier greifen an einem Masseelement dm die Gewichtskraft dFG und die Trägheitskraft dFT an. Die resultierende Gesamtkraft dR steht wieder senkrecht auf der Tangente an die freie Oberfläche. Der lokale Neigungswinkel entspricht dem Verhältnis der beiden Kräfte, also dem Verhältnis von Trägheitskraft zu Gewichtskraft tan 62 ä d d d ∙ ∙ d ∙ ∙ Hydrostatik 2 Form der freien Oberfläche Die Form der freien Oberfläche z = z(r, , R, z0) ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunigung vom Rotationsradius r. Die Größe z0 beschreibt die Höhe des Pegelstands wenn sich das System in Ruhe befindet, also bei =0. Im Folgenden soll eine Funktion zur Beschreibung dieser Abhängigkeit erstellt werden. Ausgehend von der Beziehung für den lokalen Neigungswinkel folgt entsprechend Abb. 2-27 d d tan d d ∙ also d ∙ ∙d Die Integration über den minimalen und maximalen Pegelstand ergibt ∙ d ∙d Erfolgt die Rotation um die Symmetrieachse des Behälters, so gilt r(zmin) = 0 und r(zmax) = R, das heißt 2∙ ∙ Für den Rand des Behälters, hier stellt sich die maximale Steighöhe ein, gilt r = R und z(r) = zmax, somit 2∙ ∙ Für das weitere Geschehen ist ein kleiner Exkurs in die Geometrie erforderlich. Betrachten Sie die in Abb. 2-28 dargestellte Kurve K, die um die z-Achse rotiert. der dadurch entstehende Körper wird als Rotationsparaboloid bezeichnet. z K Vrot zmax z0 zmin R R r Abb. 2-28: Entstehung eines Rotationsparaboloiden 63 2 Hydrostatik Das Volumen Vrot dieses Körpers lässt sich sehr einfach über folgendes Integral bestimmen: π∙ ∙d Einfacher geht die Berechnung allerdings, wenn man sich den Sachverhalt zunutze macht, dass das Volumen des Rotationsparaboloids der Hälfte des einhüllenden Zylinders entspricht: 1 ∙ 2 1 ∙π∙ 2 ∙ Das Volumen der in dem Behälter enthaltenen Flüssigkeit ergibt sich aus dem Pegelstand z0 bei =0 zu π∙ ∙ 1 ∙π∙ 2 π∙ ∙ 2∙ 2∙ 4∙ 4∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Einsetzen von zmin in 2∙ ∙ ergibt die gesuchte Bestimmungsgleichung für die Form der freien Oberfläche z = z(r, , R, z0) 2∙ ∙ 2 Übung 2-10 Während Sie beim Frühstück den Zucker in Ihrer Kaffeetasse verrühren, überlegen Sie sich, mit welcher Maximalgeschwindigkeit Sie den Kaffee umrühren können, bevor dieser über den Tassenrand schwappt und wie tief das Minimum der freien Oberfläche unterhalb des Tassenrands liegt. Ihre Kaffeetasse hat einen Innendurchmesser von d = 76 mm und eine Höhe H = 80 mm. Im Ruhezustand liegt der Pegelstand des Kaffees bei z0 = 65 mm. 64 Hydrostatik 2 Druckverteilung bei rotierenden Fluiden Von weiterem Interesse ist die Frage, wie es denn mit den Druckverhältnissen im Inneren eines rotierenden Fluids aussieht. Nun, aufmerksame Teetrinker können diese Frage sofort beantworten. Die Teekrümmel sammeln sich immer am Boden in der Tassenmitte. Also muss am Boden der Tasse ein zum Mittelpunkt hin gerichteter Druckgradient vorliegen, aber warum? Auch hier gilt prinzipiell das hydrostatische Grundprinzip, dass der hydrostatische Druck von dem darüber liegenden Pegelstand abhängt. Da dieser Pegelstand, also die freie Oberfläche nicht eben ist, sondern in radialer Richtung nach außen hin zunimmt, erhöht sich der Druck im rotierenden System von innen nach außen. Entsprechend Abb. 2-29 hat im rotierenden System eine Isobarenfläche nicht die Form eine Ebene, sondern die einer rotierenden Parabel. z g p0 zmax t z(r) Isobarenfläche h r Abb. 2-29: Isobarenfläche in einem rotierenden Fluid Der Druck im Inneren der Flüssigkeit auf der Isobarenfläche ergibt sich zu , ∙ ∙ ∙ ∙ 2∙ ∙ 2 Kraft auf einen Deckel bei einem rotierenden Fluid Auf Ihrem Weg zur Arbeit erstehen Sie noch einen Kaffee zum Mitnehmen. Einerseits plagt sie nun Ihr schlechtes Gewissen angesichts dieses unter Umweltgesichtspunkten nicht zu vertretenden Verhaltens, andererseits ärgern Sie sich über die Verunstaltung der deutschen Sprache, da dieses Kaffee natürlich nicht „zum Mitnehmen“ sondern „to-go“ ist. Zur Beruhigung Ihres schlechten Gewissens beschließen Sie die Frage zu klären, welche Kräfte auf dem Kunststoff(!)-Deckel lasten, sofern sich der Kaffee in einer Rotation befindet. Auch diese Frage lässt sich ganz einfach anhand des in Abb. 2-30 skizzierten Behälters klären. Infolge der Rotation wirkt auf die Innenseite des Deckels eine Druckkraft. Die Druckkraft in dieser Höhe z ist genauso groß, als wenn gar kein Deckel vorhanden wäre und die Flüssigkeit stattdessen das Rotationsvolumen VA in die Höhe stemmen würde. Es herrscht also ein Gleichgewicht zwischen der Gewichtskraft des Fluids mit dem Volumen VA und der von unten wirkenden Druck65 2 Hydrostatik kraft. Dieselbe Druckkraft wirkt also bei Vorhandensein eines Deckels von der Innenseite von unten nach oben auf den Deckel. Es genügt also das Gewicht des virtuell über dem Deckel liegenden Volumens VA zu bestimmen. π∙ π∙ ∙ ∙d Die Kraft auf die Unterseite beträgt somit ∙ ∙ z p0 r(z) zmax VR VA p0 h R R r Abb. 2-30: Rotierendes Fluid mit Deckel Im Gedenken an die abgeholzten Regenwälder infolge der Millionen achtlos weggeworfener „to-go“-Kaffeebecher und die Millionen Tonnen Mikroplastik (Kunststoff(!)deckel), die dadurch in den Ozeanen landen, entschließen Sie sich folgende Frage zu klären: Übung 2-11 Sie betrachten wieder eine Kaffeetasse mit einem Innendurchmesser von d = 78 mm und einer Höhe von h = 80 mm. Der Pegelstand im Ruhezustand beträgt z0 = 80 mm. Auf Ihrer kleinen Drehbank in Ihrem Keller fertigen Sie sich einen Deckel, der sich passgenau in das Innere der Tasse einfügt und diese zur Wandseite hin abdichtet. Welche Masse hat der Deckel, wenn bei einer Rotationsgeschwindigkeit von n = 3,21 s-1 der Deckel von dem rotierenden Fluid mit seiner Unterseite in eine Höhe von h = 65 mm getragen wird? 66 Aerostatik 3 3 Aerostatik Im vorherigen Kapitel wurden die Zustände in einem ruhenden (= statischen) Fluid betrachtet, für das eine wesentliche Vereinfachung getroffen wurde. Die Kompressibilität, also eine mögliche Veränderung der Dichte wurde vernachlässigt. Die Annahme einer konstanten Dichte bringt rechentechnisch erhebliche Vereinfachungen mit sich und bei Flüssigkeiten hält sich der dadurch auftretende Fehler in sehr engen Grenzen. Bei Gasen lässt sich diese vereinfachende Annahme leider nicht mehr so ohne weiteres treffen. Im Fall der Aerostatik, also ebenfalls einem ruhenden, jedoch gasförmigen System betrifft dieser Unterschied im Wesentlichen die Berechnung der Druckverteilung in Abhängigkeit von der Höhe. 3.1 Aufbau der Erdatmosphäre In den folgenden Abschnitten werden wir die physikalischen Ursachen für das Wettergeschehen und den Aufbau und die Struktur der Erdatmosphäre betrachten. Aufgrund seiner besonderen Bedeutung, insbesondere für die Luftfahrt, lernen Sie die sogenannte Internationale Standardatmosphäre, eine normierte Vereinfachung der realen Atmosphäre kennen. 3.1.1 Dynamisches System Erdatmosphäre Die Atmosphäre der Erde ist ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamisches System, eine Art Wärmekraftmaschine, der auf der sonnenzugewandten Seite durch Absorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten Seite Wärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation ändern sich die Strahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine weitere Komplikation der Verhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischen Sinn, ergibt sich aus der asymmetrischen Verteilung von Meer und Landmassen auf der Erdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaften aufweisen, [Liljequist, 1974]. Auch hier zeigt sich wieder die Eleganz des thermodynamischen Systembegriffs. Ein beliebig komplexes System, in diesem Fall die Erde, lässt sich durch eine Strichpunktlinie, die sogenannte Systemgrenze, auf das Wesentliche reduzieren. Alles was nun noch erforderlich ist, ist die Bilanz der Energie- und Masseströme, die diese Systemgrenze überschreiten. Nähere Kenntnisse der Zusammensetzung oder der Funktion von allem, was sich innerhalb der Systemgrenze befindet, sind nicht erforderlich. In diesem Fall ist die Massestrombilanz denkbar einfach. Die besteht aus dem permanenten Eintreffen von kleineren und gröMassezufuhr ßeren Meteoriten, die erfreulicherweise in der Regel einen zu steilen Eintrittswinkel wählen und dadurch in den oberen Schichten der Atmosphäre zu schnell abgebremst werden und verglühen. Es rieselt letztendlich nur noch etwas Asche vom Himmel. Vergleichsweise ungünstig erweist es sich, wenn ein Meteorit den passenden Eintrittswinkel wählt und sich im weiteren Verlauf seiner Reise zwar etwas aufheizt aber ansonsten fast unbeschadet bis zur Erdoberfläche vordringt. Hier reichen bereits relativ kleine Brocken um einen gewaltigen Schaden anzurichten. Eine bittere Erkenntnis, wie sie beispielsweise die Saurierpopulation vor ungefähr 65 Millionen Jahren machen musste. 67 3 Aerostatik Der austretende Massestrom besteht lediglich aus den wenigen interplanetarischen Raumsonden, die die Erde verlassen. Sofern die Systemgrenze in einer Höhe von mehr als 35786 km gezogen wird, das entspricht der Bahnhöhe eines geostationären Satelliten, fällt alles, was an Satelliten und Raumstationen die Erde umkreist, innerhalb dieser Systemgrenze und braucht somit in der Bilanz nicht weiter berücksichtigt zu werden. qzu qab mab mzu qab mab qab qzu qzu mzu Systemgrenze Systemgrenze mzu mab Abb. 3-1: Die Erde als Wärmekraftmaschine (NASA Astronaut Photograph AS0816-2593, 22.12.1968, Apollo 8 crew) entspricht der solaren Einstrahlung auf der TagDer zugeführte Wärmestrom der abgestrahlten Wärme auf seite der Erde und der abgeführte Wärmestrom der Nachtseite. Diese beiden Terme sind betragsmäßig gleich groß und können nicht vernachlässigt werden. Problematisch wird die Situation, wenn beispielsweise infolge eines Anstiegs des CO2-Gehalts im unteren Bereich der Atmosphäre die Fähigkeit zur Wärmerückstrahlung herabgesetzt wird (Treibhauseffekt) und dadurch die mittlere Temperatur in der Atmosphäre ansteigt. Die Zu- und Abfuhr von Wärme in die Atmosphäre führt zu einer inhomogenen Temperaturverteilung, was zu einer Ausbildung von unterschiedlichen Druckbereichen führt. Das, was Sie im täglichen Geschehen als Wetter wahrnehmen, ist nichts anderes als das Ergebnis von Druckausgleichsbewegungen in der Atmosphäre. Infolge der Corioliskraft11 drehen auf der Nordhalbkugel Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn und Tiefdruckgebiete in entgegengesetzter Richtung. Befinden Sie sich auf der Südhalbkugel verhalten sich die Drehrichtungen genau umgekehrt. Würden Sie in einer fernen Galaxis auf einen Planeten treffen, in dessen Atmosphäre keinerlei Druck- und Temperaturunterschiede herrschen, so wäre das Wetter dort mehr als langweilig oder genauer, es würde schlicht entfallen. –––––––––– 11 68 Coriolis, Gaspard Gustave de (21. 05.1792 - 19. 09.1843), französischer Mathematiker und Physiker. Die nach ihm benannte Corioliskraft ist eine Trägheitskraft, die einen bewegten Körper quer zu seiner Bewegungsrichtung ablenkt, wenn die Bewegung relativ zu einem rotierenden Bezugssystem beschrieben wird. Aerostatik 3 3.1.2 Höhenschichten der Atmosphäre Eine feste Grenze der Atmosphäre existiert in der Höhe nicht. Stattdessen erfolgt ein kontinuierlicher Übergang in den Weltraum. Die untersten und im Sinne der Flugzeugaerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und Stratosphäre. Der Übergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich und die Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren Breiten bei ca. 10 km Höhe und in den Tropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen, spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäre selbst spielt der Bereich in Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m über dem Boden eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen an der Erdoberfläche beeinflusst wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion des geographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen Schwankungen. Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich zum Erddurchmesser nur eine hauchdünne Schicht, das heißt die Hauptströmungen der Luft erfolgen horizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine vergleichsweise geringe Geschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere Relevanz bei Vorgängen, wie Wolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen. Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximaler Windgeschwindigkeiten (jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet sich bis zu einer Höhe von ca. 50 km die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen der Tropopause die Lufttemperatur noch mit ca. 6,5 K/1000 m ab, so stellt sich in der Stratosphäre anfangs eine isotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen. Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen Stratosphäre ist auf die starke Absorption des UV-Anteils im Sonnenlicht durch Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in der Stratosphäre in einer Höhe zwischen 20 – 25 km sein Maximum. Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgende Höhenband von 50 – 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradienten mit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat sich auf 1 – 0,01 hPa reduziert. Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die infolge von ionisierten Schichten (ESchichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellen reflektieren. Die Ausbildung der E-Schichten hängt von der Stärke der solaren Einstrahlung ab. Dadurch bilden sie sich tagsüber auch in tieferen Schichten aus, während sie bei Nacht in der Höhe ansteigen und dadurch Überreichweiten erzeugt werden können. Sofern Sie noch über einen Radioempfänger mit terrestrischer Antenne verfügen, können Sie das leicht überprüfen. Nachts werden Sie Sender empfangen, die Sie tagsüber nicht empfangen können. Das gilt natürlich nicht für den UKW (= FM) – Bereich, da UKWSignale sich auf optischen, geraden Bahnen ausbreiten und durch Bodenhindernisse ausgeblockt werden. Der starke Temperaturanstieg ab einer Höhe von 100 km ist auf den ersten Blick etwas überraschend. Infolge der extrem geringen Luftdichte nimmt die mittlere freie Weglänge, also die Distanz, die ein Teilchen bis zur nächsten Kollision zu- 69 3 Aerostatik rücklegt sehr große Werte an, da diese nicht mehr abgebremst werden12. Bei verdünnten Gasen korreliert die Temperatur T mit der Teilchengeschwindigkeit c entsprechend √3 ∙ ∙ , wobei R die spezifische Gaskonstante beschreibt. Sollten Sie sich auf einem Außeneinsatz an der internationalen Raumstation ISS befinden, können sie hinsichtlich dieser scheinbar bedrohlich hohen Temperaturen völlig unbesorgt sein. Die wenigen Teilchen, die auf Ihren Raumanzug treffen haben zwar diese hohe Temperatur, jedoch verfügen Sie über keine nennenswerte thermische Masse. Die Teilchen nehmen nach dem Aufprall die Temperatur Ihres Anzugs an. 250 Höhe km 200 Ionosphäre ratur Tempe 150 Thermosphäre 100 Mesopause Mesosphäre Stratopause 50 Stratosphäre 0 100 200 300 400 500 600 Tropopause Troposphäre 700 800 900 1000 °C Abb. 3-2: Aufbau und Temperaturverlauf im unteren Bereich der Atmosphäre Oberhalb von 800 km erreicht man die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum Weltraum bildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der so genannte Van-Allen-Strahlengürtel, der den Hauptteil der kosmischen Strahlung abschirmt. Durch das Magnetfeld der Erde werden hochenergetische, von der Sonne stammende Gamma-Teilchen abgefangen und zu den Polen umgelenkt. Der innere Ring des Van-Allen-Belts befindet sich in einer Höhe von 2000 bis 6000 km über der Erde, der im Wesentlichen Elektronen umlenkt. Der zweite Ring befindet sich in einer Höhe von 12.000 bis 25.000 km Höhe und schirmt uns vor der Gamma-Strahlung ab. Befinden Sie sich auf einer Mission auf der ISS, die in ungefähr 400 km Höhe die Erde umkreist, so können Sie aufatmen, da Sie durch den Van-Allen-Gürtel vor der Strahlung geschützt sind. 3.1.3 Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre Die Atmosphäre besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, deren Zusammensetzung über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mit ca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bilden Wasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie beispielsweise Argon und Neon, (Tab. 3-1). Die chemische Zusammensetzung von –––––––––– 12 70 Mittlere freie Weglänge: Auf Meeresniveau unter ISA Bedingungen ( p = 1 bar, T = 288.15K), beträgt die mittlere freie Weglänge = 6,63210-8 m. In einer Höhe von 100 km hat sich die Dichte auf = 3,310-7 kg/m³ verringert und die mittlere freie Weglänge beträgt = 0,3 m Aerostatik 3 Luft ist bis in sehr große Höhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur eine Höhenabhängigkeit aufweisen. Ebenfalls starken Schwankungen unterworfen ist der Feuchtegehalt. Die Fähigkeit der Luft Wasser in der gasförmigen Phase aufzunehmen ist eine Funktion der Temperatur. Diesen Effekt können Sie insbesondere in der kalten Jahreszeit beobachten, wenn am Fenster Ihres Badezimmers die von der heißen Dusche aufgeheizten Luft am kalten Fenster vorbeistreicht, dabei abkühlt und die darin enthaltene Feuchte auskondensiert. Es bildet sich das sogenannte Schwitzwasser. Warme Luft kann deutlich mehr Feuchte aufnehmen als kalte Luft. Gas Volumenprozent Temperatur [°C] Wasserdampf [g/m³] Stickstoff N2 78,09 -20 1,0 Sauerstoff O2 20,95 -10 2,3 Argon Ar 0,93 0 4,9 Kohlendioxid CO2 0,03 (schwankt) 10 9,3 Neon Ne 0,0018 20 17,2 Helium He 0,0005 30 30 Krypton Kr 0,0001 Wasserstoff H2 0,00005 Xenon Xe 0,000008 Ozon O3 0,00001 (schwankt) Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Atmosphäre 3.1.4 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe Im Kapitel Hydrostatik wurde bei Flüssigkeiten die Kompressibilität vernachlässigt. Der Fehler der dadurch entsteht ist sehr gering. Allerdings wird durch diese Vereinfachung unter anderem die Berechnung des Drucks in Abhängigkeit von der Höhe sehr einfach. Analog zu einem Stapel Steine, erhöht sich der Druck auf eine Bodenplatte linear mit zunehmender Höhe des Pegelstands oder eben der Anzahl der Steine, die übereinander gestapelt werden. Bei Gasen wird der Fehler infolge einer solchen linearen Betrachtung dagegen sehr groß. Die Zusammenhänge lassen sich mithilfe einer Druckbilanz an einem Volumenelement (Abb. 3-3) erläutern. 71 3 Aerostatik p+dp dA g FG dz dm z p Abb. 3-3: Kräfte und Drücke an einem Volumenelement An der Unterseite wirkt die Druckkraft pdA, an der Oberseite die Druckkraft (p+dp)dA und im Inneren die Gewichtskraft FG = gdzdA. das ergibt in der Bilanz in z-Richtung d ∙d ∙ ∙d ∙d ∙d 0 also d ∙ ∙d Das ist die sogenannte hydrostatische Grundgleichung, die Sie im weiteren Geschehen noch benötigen werden. Als weitere Basisgleichung ist noch die polytrope Zustandsgleichung erforderlich. Thermodynamiker arbeiten immer gerne mit sogenannten Zustandsgleichungen, die Zustandsänderungen beschreiben. Eine Zustandsänderung wäre beispielsweise wenn Sie einen Topf mit Wasser auf den Herd stellen und das Wasser zum Sieden bringen. Der Ausgangszustand des Wassers kann durch den Druck (ungefähr ein bar) und die Temperatur (beispielsweise 20°C) beschrieben werden. Zur Beschreibung des Endzustands können jetzt wieder die Zustandsgrößen Druck und Temperatur herangezogen werden. Der Druck beträgt immer noch ungefähr ein bar und die Temperatur ungefähr 100°C. Da der Druck gleich geblieben ist entspricht dieser Vorgang einer isobaren Zustandsänderung. In Abhängigkeit von dem Parameter, der konstant bleibt spricht man in der Thermodynamik von speziellen Zustandsänderungen, Tab. 3-2. Zustandsgröße Bezeichnung Zustandsänderung Druck p isobar Temperatur T isotherm Volumen V isochor Entropie S isentrop Enthalpie H isenthalp Tab. 3-2: Zustandsänderungen Mit der polytropen Zustandsänderung (griechisch: Die Vielgestaltige) lassen sich in Abhängigkeit von dem verwendeten Polytropenexponent n die unterschiedlichen . Zustandsänderungen darstellen: ∙ 72 Aerostatik 3 Ein Exponent von n = 0 entspricht einer isobaren Zustandsänderung, n =1 einer isothermen Zustandsänderung und n = einer isentropen Zustandsänderung. Im weiteren Verlauf soll der Ausgangszustand mit dem Index 0 und der Endzustand ohne Index gekennzeichnet werden. Damit lässt sich die Polytropengleichung umformen zu beziehungsweise 1 1 Für die Zustandsgleichung idealer Gase ∙ ∙ lässt sich auch schreiben ∙ 1 Einsetzen in die Polytropengleichung ergibt 1 1 ∙ ∙ ∙ ∙ ⁄ ∙ ⁄ Aus der hydrostatischen Grundgleichung folgt für die Dichte d ∙ 1 ∙d ∙ d d Gleichsetzen der beiden Terme liefert ∙ ∙ d d ⁄ ⁄ ∙ und liefert damit eine schöne kleine Differentialgleichung, d ∙ ∙ ⁄ ∙ ⁄ ∙ 1 ⁄ ∙d die sich direkt integrieren lässt d ∙ ∙ 1 ⁄ ∙d also etwas verkürzt 73 3 Aerostatik 1 ∙ d ∙d ⁄ Die Ausführung der Integration hängt von der vorliegenden Temperaturverteilung in dem entsprechenden Höhenband ab. Prinzipiell werden Sie in der Atmosphäre zwei unterschiedliche Bereiche finden. Entweder Sie haben eine lineare Temperaturänderung, beispielsweise im Höhenbereich von 0 bis ungefähr 11 km Höhe oder einen Bereich mit einer näherungsweisen konstanten Temperatur. Das trifft beispielsweise auf den Bereich von 11 bis 20 km Höhe zu. Liegt eine lineare Temperaturänderung vor, so spricht man von einer nicht-isothermen Temperaturschichtung. Damit wird der Polytropenexponent n 1. Ein konstanter Temperaturverlauf über die Höhe wäre eine isotherme Schichtung mit einem Polytropenexponent von n = 1. Nicht -isotherme Temperaturschichtung (n 1) d 1 ∙ ∙d ⁄ ergibt ∙ 1 ⁄ ∙ ∙ 1 ⁄ ∙ mit ∙ ∙ ⁄ ∙ ⁄ folgt die Höhe ∙ ∙ ⁄ ∙ 1 ⁄ beziehungsweise ∙ ∙ 1 ⁄ ∙ 1 daraus folgt für den Luftdruck 1 ∙ 1 ⁄ ∙ ∙ ∙ für die Temperatur ∙ 1 1 ∙ ∙ und für die Dichte ∙ 1 74 d ∙ d ⁄ ⁄ Aerostatik 3 Isotherme Temperaturschichtung (n = 1) d 1 ∙ ∙d ⁄ ergibt ∙ ln mit ∙ ⁄ ∙ folgt für die Höhe ∙ ⁄ ∙ ∙ ln daraus folgt für den Luftdruck ∙e ∙ ∙e ∙ ∙ und für die Dichte 3.2 ∙ Internationale Normatmosphäre (ISA) Bei dem Begriff Normatmosphäre werden sich dem ein oder anderen sicher die Nackenhaare sträuben. Wie soll sich ein System normieren lassen, das permanenten Änderungen unterworfen ist? Nun, die Frage ist sicher berechtigt. Sofern Sie sich jedoch mit dem Thema Flugleistungen, also beispielsweise der Bestimmung von Geschwindigkeiten, Startstrecken oder Steigleistungen eines Flugzeugs beschäftigen, benötigen Sie eine normierte Bezugsgröße, auf die Sie Ihre Berechnungen beziehen. Das Gleiche gilt übrigens auch für Fahrleistungen eines Landfahrzeugs. Auch hier macht es einen sehr großen Unterschied, ob Sie Ihr Fahrzeug auf Sylt, auf Meeresniveau bei einer Außentemperatur von -2°C oder am Brennerpass bei +25°C erproben. Die Normatmosphäre (DIN 5450 beziehungsweise seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich und geographisch gemittelten Messwerten für Druck, Dichte und Temperatur und dient als Normierungssystem zur Auslegung und Vergleich von Leistungen. Diesem Modell liegt eine Reihe von vereinfachenden Annahmen zugrunde: - Es existieren keine jahreszeitlichen oder geographischen Abhängigkeiten Es liegen keine wetterbedingten Einflüsse vor Die relative Luftfeuchtigkeit beträgt = 0% Das bedeutet also, dass entsprechend diesem Modell, sofern Sie sich auf der gleichen Höhe befinden, am Waikiki-Beach auf Hawaii als auch am Nordpol die identischen Bedingungen vorliegen. Druck, Dichte und Temperatur sind an beiden Or75 3 Aerostatik ten gleich und das unabhängig davon ob Sie die Betrachtung für den 1. Juli oder den 31. Dezember durchführen13. Der dem Modell zugrundeliegende Temperaturverlauf ist in Abb. 3-4 skizziert. Das Modell unterscheidet acht Höhenintervalle. Die jeweiligen Anfangswerte (Index A) der Höhe als auch die Temperaturgradienten in dieser Höhe sind in Tab. 3-3 aufgelistet. 90 180,65 88 80 180,65 79 70 252,65 61 60 270,65 52 270,65 47 H [km] 50 40 228,65 32 30 20 216,65 20 10 216,65 11 0 170 190 210 230 250 270 288,15 0 290 310 T [K] Abb. 3-4: Temperaturverteilung in der internationalen Standardatmosphäre (ISA) –––––––––– 13 76 Atmosphärendaten: Sollten Sie sich für reale Wetterdaten interessieren, finden Sie auf der Internetseite der University of Wyoming bei den Meteorologen unter dem link http://weather.uwyo.edu/upperair/sounding.html eine Übersicht über Wetterstationen auf der gesamten Welt. Klicken Sie dabei beispielsweise in Europa auf die Station 10868 (MünchenOberschleißheim), so erhalten Sie für das gewünschte Datum das Höhenprofil (Druck, Temperatur, Taupunkt, Wind, relative Feuchte) bis in eine Höhe von 34 km. Mit soundig data werden im Englischen Daten bezeichnet, die mit Aufstiegssystemen, wie beispielsweise Wetterballons oder Wetterraketen gemessen wurden. Aerostatik 3 A [kg/m³] [K/m] 101325 1,225 -6,510-3 216,65 22632 0,3639 0,0 20103 216,65 5475 0,0880 +1,010-3 32103 - 47103 32103 228,65 868 0,0132 +2,810-3 47103 - 52103 47103 270,65 111 0,0014 0,0 52103 - 61103 52103 270,65 59 0,0008 -2,010-3 61103 - 79103 61103 252,65 18 0,0002 -4,010-3 79103 - 88103 79103 180,65 1 1,910-5 0,0 h [m] hA [m] TA [K] -5103 - 11103 0 288,15 11103 - 20103 11103 20103 - 32103 pA [Pa] Tab. 3-3: Anfangswerte und Temperaturgradienten der ISA Standardatmosphäre Die Berechnung der drei Parameter Druck, Dichte und Temperatur des Atmosphärenmodells als Funktion der Höhe ist denkbar einfach. Es empfiehlt sich diese Gelegenheit für eine kleine Programmierübung zu nutzen und diese sechs einfachen Gleichungen, die die Normatmosphäre beschreiben, Ihrem Rechner beizubringen. In Abhängigkeit davon ob Sie sich in einem Höhenintervall mit veränderlicher Temperatur befinden oder in einem Intervall mit konstanter Temperaturschichtung, verwenden Sie die jeweiligen drei Gleichungen. Höhenintervalle mit linear veränderlicher Temperatur ∙ ⁄ ∙ ∙ ⁄ ∙ ∙ beziehungsweise ∙ Höhenintervalle mit konstanter Temperatur const. ∙e ∙ ∙e ∙ ∙ ∙ beziehungsweise ∙ 77 3 Aerostatik Hierbei bezeichnet R = 287,05 J/kgK die spezifische Ganskonstante von trockener Luft und g0 = 9,81 m/s² die Gravitationskonstante auf der Erdoberfläche. Der Index h steht für die Höhe in der die Berechnung durchgeführt wird. Der Index A beschreibt den jeweiligen Anfangswert am unteren Ende des Intervalls in dem sich die gewünschte Höhe befindet. Für alle Parameter sind SI-Einheiten zu verwenden, also Höhe in Meter, Druck in Pascal, Dichte in kg/m³ und Temperatur in Kelvin. Damit wäre das Modell schon programmiert. Bei dieser Gelegenheit lohnt es sich immer Ihr Programm noch um einige wenige, aber sehr nützliche, Parameter für Luft zu erweitern. Schallgeschwindigkeit √ ∙ ∙ m s mit Luft = 1,4 Wärmeleitfähigkeit , 2,648151 ∙ 10 245,4 ∙ ∙ 10 ⁄ W m∙K Dynamische Viskosität Die dynamische Viskosität von Luft lässt sich näherungsweise nach der Sutherlandformel als Funktion der Temperatur berechnen. , 1,458 ∙ 10 ∙ 110,4 Pa ∙ s Kinematische Viskosität m s Eine Tabelle mit Werten der Normatmosphäre finden Sie im Anhang, Tab. A-8a bis Tab. A-g. 78 Aerostatik 3 Übung 3-1: Gasballon mit Heliumfüllung Sie betrachten im Folgenden einen Gasballon, der mit Helium gefüllt ist. Für den Ballon, dessen Hülle vollständig flexibel ist, also keine Druckkräfte aufnehmen kann, gelten folgende Daten: DBallon = 6 m (bei h = 0) RHe = 2078 J/kgK mHülle = 20 kg mKorb = 10 kg 1. Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon bei einem Start auf der Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungen heben kann 2. Welchen Durchmesser hat der Ballon in einer Höhe h = 12 km unter ISABedingungen? Übung 3-2 Vom 16. August 1960 bis zum 14. Oktober 2012 hielt der US-Amerikaner Joseph Kittinger den Weltrekord für einen Fallschirmabsprung aus der größten Höhe, in diesem Fall 31333m. Kittingers Sprünge aus einer offenen Ballongondel dienten der Erforschung und Entwicklung von Rettungssystemen für Piloten bei Absprüngen aus großen Höhen. Etwas profaner waren die Gründe für die Einstellung der Rekorde von Joseph Kittinger, darunter die größte im freien Fall erreichte Geschwindigkeit und der höchste Absprung, durch einen Sprung des Österreichers Felix Baumgartner am 14. Oktober 2012 mit einem Sprung aus einer Druckkapsel aus 39045 m. Hierbei ging es lediglich um eine überteuerte Werbeaktion für eine etwas seltsam schmeckende Limonade. Fast unbemerkt von der Weltöffentlichkeit und ohne jeglichen Medienrummel wurde dieser Rekord jedoch kurz darauf, am 24. Oktober 2014, durch den US-Amerikaner Alan Eustace, durch einen Sprung aus 41419 m Höhe überboten. Baumgartner erreichte nach relativ kurzer Zeit seine Maximalgeschwindigkeit von 1342 km/h. Die Frage, die es zu klären gilt lautet: Wie sehen die körperlichen Belastungen bei solchen Geschwindigkeiten in großer Höhe aus? 1. Berechnen Sie den Staudruck, dem diese Geschwindigkeit entspricht und vergleichen Sie diesen mit den Belastungen eines Motorradfahrers auf einer Autobahn auf Meereshöhe. 2. Hatte Baumgartner bei seinem Sprung die Schallmauer durchbrochen? 79 3 Aerostatik 3.3 Höhendefinitionen Bei dem Wort Höhe werden Sie sicher vermuten, dass dieser Begriff eindeutig definiert ist. Je nach Anwendungsfall sind jedoch eine ganze Reihe von unterschiedlichen Definitionen möglich, beispielsweise: - geometrische Höhe - absolute Höhe - geopotentielle Höhe - Druckhöhe - Dichtehöhe 3.3.1 Geometrische Höhe und absolute Höhe Diese Definition kennen Sie alle aus Ihrer Schulzeit. Die geometrische Höhe hg beschreibt den Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel. Solche Angaben finden Sei beispielsweise als Höhenangaben in Landkarten. Doch so eindeutig, wie man es vermuten könnte liegen die Dinge nicht. Die einfache Frage lautet: Wo genau liegt der Meeresspiegel? Dieser ist alles andere als konstant. Denken Sie an die Gezeiten, Wellengang und gravitationsbedingte Änderungen des Pegelstandes14. Es ist also ein eindeutig definierter Bezugspunkt erforderlich. In der Zeit von 1683 bis 1684 wurde der mittlere Hochwasserstand in Amsterdam in den Niederlanden als Nullpunkt festgelegt und von den meisten, aber nicht allen, europäischen Staaten als Referenz übernommen. Der österreichische Referenzpunkt bezieht sich auf den mittleren Pegelstand der Adria bei Triest. Dort können Sie heute noch in einem Seitenarm des Hafens einen Granitquader bestaunen, der diesen Punkt markiert und übrigens 34 cm unter dem Amsterdamer Pegel liegt. In der Schweiz dient ein Granitfelsen im Genfer See, der sogenannte Repère (=Bezugspunkt) Pierre du Niton als Referenz. Dieser Punkt liegt seit 1902 um 373,6 m über dem Pegelstand des Mittelmeers in Marseille. Vorher waren es infolge der etwas ungenaueren Vermessungstechnik 376,86 m. Damit liegt die schweizer Referenz um 32 cm unter dem deutschen Normalnull. Nun ist es sicher völlig unerheblich ob ein Berggipfel in den Westalpen in einer deutschen Karte um 32 cm höher ist als in einer schweizer Karte. In der Regel finden Sie dort ohnehin in Abhängigkeit von der Jahreszeit eine mehrere Meter dicke Schneedecke vor. Interessant wird es jedoch, wenn Sie ein länderübergreifendes Bauwerk, wie beispielsweise im Jahre 2003 die Hochrheinbrücke bei Laufenburg planen. Dem deutschen als auch dem schweizer Planungsbüro war dieser Höhen–––––––––– 14 Meeresspiegel: Vor der vor der Küste Indiens liegt der Meeresspiegel bis zu 120 Meter tiefer als normal. Die inhomogene Verteilung des Gravitationsfeldes der Erde verursacht eine weiträumige Delle im Wasser. Außerhalb dieser Region ist die Anziehung stärker, was zu einer Verschiebung der Wassermassen und somit zu eine höheren Meeresspiegel führt. Diese Unebenheiten im Meer sind mit bloßem Auge nicht zu erkennen sondern wurden mittels des ESA-Erderkundungssatelliten "Goce" im Rahmen der Mission zur Messung der Gravitation und des stationären Zustandes der Ozeanzirkulation in der Zeit von 2009 bis 2013 vermessen. 80 Aerostatik 3 versatz selbstverständlich bekannt. Aufgrund eines Vorzeichenfehlers wurde das Widerlager auf der schweizer Seite jedoch um den doppelten Höhenversatz zu niedrig gebaut anstatt selbigen auszugleichen. Alles im Sinne von Herrn Murphy…15 Aber keine Sorge, seit einigen Jahrzehnten hat, zumindest für das Vermessungswesen, Normalnull ausgedient. Verwendung findet ein sogenannter Geoid. Die Oberflächen des Geoids sind definiert als die Flächen gleichen Schwerepotentials. Prinzipiell könnte man auch den Erdmittelpunkt als Referenz verwenden. Das wäre dann die absolute Höhe ha. Der Zusammenhang zwischen absoluter und geometrischer Höhe ergibt sich einfach durch den mittleren Erdradius am Äquator mit r = 6378 km. Einen praktischen Nutzen hat diese absolute Höhenangabe jedoch nicht. 3.3.2 Geopotentielle Höhe Für Zwecke der Bahnberechnung von Trägersystemen, Satelliten und Raumstationen benötigen Sie die geopotentielle Höhe h. Dabei berücksichtigen Sie die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt. Für die Massekräfte auf der Erdoberfläche (Index 0) gilt ∙ ∙ ∙ in einem beliebigen Abstand r vom Erdmittelpunkt gilt ∙ ∙ ∙ mit mK Masse des Körpers mE Erdmasse, mE = 5,971024 kg g0 Erdbeschleunigung auf der Erdoberfläche, g0 = 9,81 m/s² g(r) Erdbeschleunigung im Abstand r zum Masseschwerpunkt rE (mittlerer) Erdradius, = 6378,169103 m r Abstand des Körpers zum Masseschwerpunkt der Erde Gravitationskonstante, = 6,6710-11 m³/kgs² somit beziehungsweise –––––––––– 15 Murphy, Edward R. (11.01.1918 – 17.07.1990), US-amerikanischer Luft- und Raumfahrtingenieur: If there’s more than one possible outcome of a job or task, and one of those outcomes will result in disaster or an undesirable consequence, then somebody will do it that way 81 3 Aerostatik ∙ r h ∙ Daraus ergibt sich die geopotentiellen Höhe h zu ∙ Auf der Erdoberfläche fallen die geometrische und die geopotentielle Höhe zusammen. Mit zunehmender Höhe sinkt die geopotentielle Höhe jedoch immer weiter unter die geometrische Höhe. 3.3.3 Druckhöhe Bei fliegenden Systemen benötigen Sie ein autonomes System zur Höhenbestimmung. Das ist einerseits zur Staffelung des Flugverkehrs als auch zur Lärmvermeidung erforderlich. Also der Lärm, der dadurch erzeugt wird, wenn ein Flugzeug aufgrund falscher Höheninformationen mit einem anderen Flugzeug kollidiert oder am Boden zerschellt. Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrische Höhenmesser, das heißt es wird der statische Luftdruck außerhalb des Flugzeugs gemessen und daraus eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt somit die Zuordnung eines Luftdrucks p(h) zu einer Höhe h. Würden permanent die Werte der Normatmosphäre vorliegen, so wäre diese Zuordnung eindeutig, da zu jedem Luftdruck genau eine Höhe gehört. Insbesondere in der Troposphäre ist dies jedoch nur sehr selten der Fall. Diese Abweichung können Sie durch das manuelle Anpassen der mechanischen Kalibrierkurve in dem Höhenmesser ausgleichen. Im Fall des in Abb. 3-5 dargestellten Flugzeughöhenmessers geschieht dies mittels des Einstellknopfes am linken unteren Rand. In der inneren Skala wird der Bezugsluftdruck angezeigt, in diesem Fall 1035 hPa. Dieser Bezugsluftdruck, das sogenannte QNH16 entspricht dem aktuellen Luftdruck in der momentanen Höhe, dem QFE, der auf Meeresniveau heruntergerechnet wurde. Die Messgröße ist also das QFE. –––––––––– 16 82 QNH, QFE: Die Bezeichnungen QNH und QFE stammen noch aus der Morsezeit, wobei allen wetterrelevanten Informationen ein Q vorangestellt wurde. NH steht im Englischen für normal height, also Meeresniveau und FE für field elevation, also Platzhöhe. Aerostatik 3 Abb. 3-5: Barometrischer Höhenmesser 4FGH10 (Gebr. Winter GmbH & Co KG, Jungingen) Die Umrechnung des aktuellen Luftdrucks (QFE) in der Höhe h auf den Luftdruck bezogen auf Meeresniveau (QNH) erfolgt mittels ∙ mit ∙ ∙ , , 287,05 ∙ 0,0065 ∙ 0,0065 9,80665 1013,25 , 288,15 0,1902612 8,417168 ∙ 10 QNH [hPa] statischer Luftdruck bezogen auf Meeresniveau QFE [hPa] statischer Luftdruck in der aktuellen Höhe h [m] aktuelle Höhe R [J/kg] spez. Gaskonstante von Luft, relativen Feuchte = 0 [K/m] Temperaturgradient in der Troposphäre nach ISA g [m/s2] Erdbeschleunigung auf der Höhe h = 0 pISA, h=0 [hPa] Luftdruck entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0 TISA, h=0 [K] Temperatur entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0 83 3 Aerostatik Bedeutung für die Luftfahrt Wichtig bei dieser Betrachtungsweise ist der Umstand, dass der Höhenmesser nicht die Höhe, sondern den Luftdruck misst. Angenommen Sie planen einen Flug in einem Kleinflugzeug von München nach Turin, das heißt Sie überqueren die Alpen in Nord-Süd-Richtung. Beim Start in München stellen Sie Ihren Höhenmesser auf das aktuelle QNH, in diesem Fall 1021 hPa ein. Dadurch zeigt Ihnen der Höhenmesser vor dem Start die Flugplatzhöhe an. Entsprechend Abb. 3-6 wären das h = 500m. Die Routenplanung haben Sie so gelegt, dass Sie in einer Flughöhe von h = 3000m den höchsten Punkt auf der Route (h = 2900m) mit einer Sicherheitshöhe von h = 100m überfliegen. Südlich des Alpenhauptkamms liegt allerdings ein Tiefdruckgebiet (QNH = 1002 hPa). Würden Sie nichts weiter unternehmen und mit Ihrer Höhenmessereinstellung von München (QNH = 1021 hPa) weiterfliegen, so würde das sicher böse enden, da Sie ja nicht auf einer konstanten geometrischen Höhe, sondern auf einer konstanten Druckhöhe (=Isobarenfläche) fliegen. Obwohl Ihr Höhenmesser immer noch eine Flughöhe von h = 3000m anzeigt, haben Sie aufgrund des gesunkenen Luftdrucks in Wirklichkeit nur noch eine Flughöhe von h = 2840 m. Dies führt unweigerlich zu einem Lärmproblem, wenn die Luftfahrt 60m unterhalb des Gipfels oder der Passhöhe zu einem abrupten Ende kommt. h= 3500 m: QFE = 663 hPa h= 3000 m: QFE = 707 hPa p = 663 hPa p = 707 hPa H = 2900 m h = 3342 m: QFE = 663 hPa h = 2840 m: QFE = 707 hPa h= 500m: h= 0: QFE = 962 hPa QNH = 1021 hPa Hochdruck Tiefdruck NN h = 0: QNH = 1002 hPa Abb. 3-6: Isobarenflächen bei Hoch- und Tiefdruckwetterlagen Die alte Pilotenweisheit „Vom Hoch ins Tief, das geht schief“ hat hier sehr wohl ihre Berechtigung. Allerdings haben Sie die Möglichkeit dies zu verhindern. Als Pilot sind Sie verpflichtet bei Überlandflügen sich das jeweilige QNH einzuholen. Das ist beispielsweise durch die Abfrage der sogenannten ATIS17 über Funk möglich. Obwohl die Druckhöhe in der Regel nicht der geometrischen Höhe entspricht, wird diese zur Staffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (engl.: flight levels) verwendet. Der Zusammenhang zwischen Flugfläche und Druckhöhe in Fuß (1 foot = 12 inch = 0,3048 m) ergibt sich ganz einfach aus ∙ 100 Flugfläche FL120 entspricht also einer Höhe von 12000 ft = 3658 m, sofern der reale Luftdruck auf bezogen Meeresniveau p0 = 1013,25 hPa beträgt. Flugflächen werden immer auf den Standarddruck der Normatmosphäre auf Meeresniveau bezogen, also QNH = 1013,25 hPa. Da häufig der Luftdruck jedoch nicht dem Standarddruck entspricht, gibt diese Höhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe an. Die Flugzeuge bewegen sich dadurch auf –––––––––– 17 84 ATIS: Automatic terminal information service, automatische Ansage der aktuellen Wetterbedingungen, unter anderem auch das QNH, sowie Start- und Landerichtung an einem Flugplatz Aerostatik 3 Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer konstanten geometrischen Höhe. Dies hat jedoch den Vorteil, dass immer eine konstante Höhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird. 3.3.4 Dichtehöhe Die Dichthöhe hDichte ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus den gemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe wird zur Berechnung der Flugleistungen, insbesondere der Start- und Landestrecken verwendet. In der Luftfahrt findet diese einfache Näherungsformel Verwendung: 1013,25 ∙ 10 , ∙ 40 mit h [m] Platzhöhe QNH [hPa] Luftdruck bezogen auf MSL Th [K, °C] aktuelle Temperatur am Platz Th, ISA [K, °C] Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen 85 3 Aerostatik Übung 3-3 Sie planen einen Flug vom dem Flugplatz München-Oberschleißheim mit einem einmotorigen Sportflugzeug, einer Piper PA28-R200. Die Platzhöhe von München-Oberschleißheim beträgt h = 485 m, die Bahnlänge beträgt L = 808 m. Berechnen Sie die erforderliche Startstrecke s218 für die beiden folgenden Tage: - Tag 1: QNH = 1020 hPa, T = +2°C. Tag 2: QNH = 1020 hPa, T = +32°C An welchem der beiden Tage sollten Sie von einem Start absehen? Abb. 3-7: Startstrecken für PA28-R200 –––––––––– 18 86 Startstecke s1: Erforderliche Strecke bis zum Abheben, Startstrecke s2: Erforderliche Strecke bis zum Überfliegen eines (fiktiven) 15 m - Hindernisses 4. Strömung von Fluiden 4 Strömung von Fluiden Im zweiten und dritten Kapitel haben Sie bereits statische, also ruhende Systeme kennengelernt. Das können Behältnisse sein, die mit einer Flüssigkeit oder einem Gas befüllt sind, aus denen jedoch nichts herausströmt. Also beispielsweise ein Bierfass mit geschlossenem Zapfhahn oder eine Pressluftflasche mit geschlossenem Ventil. In diesem Kapitel werden wir uns mit dynamischen, das heißt bewegten Systemen beschäftigen. Das wäre beispielsweise der Fall, wenn an dem Fass endlich der Zapfhahn geöffnet wird und das Bier in den Maßkrug fließt oder der lang ersehnte Tauchgang am Korallenriff beginnt und Sauerstoff aus der Flasche in Ihr Atemgerät strömt. 4.1 Beschreibung des Strömungsfeldes Ein Strömungsfeld lässt sich allgemein beschreiben durch die thermodynamischen Zustandsgrößen Druck p=p(x,y,z,t), Dichte =(x,y,z,t) und Temperatur T=T(x,y,z,t). Hierbei handelt es sich um skalare, also ungerichtete Größen. Zusätzlich haben wir noch die Geschwindigkeit. Das ist eine gerichtete Größe, somit stellt das Geschwindigkeitsfeld c c x , y , z ,t ein Vektorfeld dar. Zur Lösung des Gleichungssystems stehen Ihnen sechs Gleichungen zur Verfügung: - Drei Bewegungsgleichungen Kontinuitätsgleichung Energiesatz Thermische Zustandsgleichung Bei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Für ideale Gase müssen aus dem Wertetripel p , , T lediglich immer nur zwei bekannt sein. Dieser Zusammenhang wird durch die Zustandsgleichung für ideale Gase beschrieben. ∙ ∙ ∙ beziehungsweise mit dem spezifischen Volumen ∙ ⁄ 1⁄ ∙ oder ∙ ∙ Einatomige Gase erfüllen immer diese Zustandsgleichung. Bei mehratomigen Gasen tritt bei höheren Drücken und Temperaturen infolge der Anregung der inneren Freiheitsgrade und durch Dissoziation eine Abweichung auf. Erfreulicherweise können Sie aber auch bei Luft, das ein Gemisch aus ein- und mehratomigen Gasen darstellt, bis zu einer Temperatur von ca. 1500K und Drücken bis ca. 200 bar näherungsweise von einem idealen Gas ausgehen. Der Fehler liegt in der Größenordnung von weniger als 2%. Lediglich bei sehr tiefen Temperaturen und/oder sehr hohen Drücken steigt der Fehler stärker an. 87 4 Strömung von Fluiden 4.2 Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung stellt eine der Basisgleichungen in der Strömungsmechanik dar. Mit ihrer Hilfe können Sie den Volumen- oder den Massestrom durch eine Stromröhre beschreiben. Bei stationären Strömungen lautet die Aussage der Kontinuitätsgleichung, dass der Massestrom, der in ein Kontrollvolumen eintritt, an einer anderen Stelle wieder austreten muss. Auf eine einfache Rohrleitung bezogen bedeutet dies, dass was auf der rechten Seite in das Rohr einströmt muss auf der linken Seite wieder ausströmen. 4.2.1 Volumenstrom Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einer mittleren Geschwindigkeit c im Querschnitt A durchströmt, so bildet das Volumenelement dV, welches um die Strecke ds bewegt wird, den Volumenstrom V mit der Einheit [m³/s]. (2) s dV c A (1) ds Abb. 4-1: Volumenelement in einer Stromröhre Bei kleinen Querschnittsänderungen in Strömungsrichtung kann die Querschnittsänderung dA im Vergleich zur Verschiebung ds in Strömungsrichtung vernachlässigt werden, das heißt sdA ≈ 0. ∙ ∙ ∙ ∙ Daraus ergibt sich für den Volumenstrom ∙ 88 ∙ 4. Strömung von Fluiden 4.2.2 Massestrom Für die zeitliche Änderung der Masse in einem durchströmten System gilt ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ Im Fall einer stationären Strömung verschwindet die zeitliche Änderung der Dichte, es gilt also 0 und somit für den Massestrom mit der Einheit [kg/s] ∙ ∙ ∙ 4.2.3 Masseerhaltungssatz Wird ein System stationär durchströmt, wobei eintretende Energie- und Masseströme positiv und austretende Ströme negativ angesetzt werden, so muss die zeitliche Änderung der Masse innerhalb des Systems verschwinden. Für ein System mit einem eintretenden und einem austretenden Massestrom, beispielsweise ein Rohrstück oder Wasserhahn gilt 0 also ∙ ∙ ∙ ∙ . Das ist der sogenannte Masseerhaltungssatz oder auch Kontinuitätsgleichung. Hierbei kennzeichnet Index 1 die Situation in der Eintrittsebene und Index 2 die Austrittsebene. Analog verhält es sich, wenn Sie ein System mit m Eintritts- und n Austrittsströmen betrachten. Also beispielsweise einem Verbrennungsmotor mit mehreren Einund Auslassventilen: , . , Etwas einfacher sind die Verhältnisse, wenn Sie Fluide betrachten bei denen die Kompressibilität vernachlässigt werden kann. Also Flüssigkeiten oder aber auch Gase, sofern Sie die magische Strömungsgeschwindigkeit von 30% der Schallgeschwindigkeit nicht überschreiten. Das wären bei Luft auf Meeresniveau unter den Bedingungen der Normatmosphäre immerhin sportliche 100 m/s oder 360 km/h. Eine Vernachlässigung der Kompressibilität bedeutet, dass sich die Dichte nicht ändert und diese sich aus der Bilanz herauskürzt. Der Massestrom vereinfacht sich also zum Volumenstrom ∙ ∙ . beziehungsweise , , . 89 4 Strömung von Fluiden 4.3 Bernoulli-Gleichung Die Bernoulli-Gleichung können Sie auf unterschiedlichen Wegen herleiten. Eine Möglichkeit besteht in der Aufstellung einer Kräftebilanz an einem Fluidelement in einer Stromröhre. Eine weitere Möglichkeit und diese wollen wir im weiteren Verlauf verfolgen, besteht in der Erstellung einer Energiebilanz an den Grenzen eines Kontrollraums. Für diesen thermodynamischen Ansatz sind aber vorher noch kurz einige wenige thermodynamische Grundlagen zu betrachten. 4.3.1 Thermodynamische Grundlagen System und Systemgrenze Diese beiden Begriffe kennen Sie bereits aus dem Kapitel Aerostatik. Aufgrund ihrer Bedeutung noch mal eine kurze Auffrischung. Wenn Sie sich für alte schwarzweiß-Filme interessieren, kennen Sie vielleicht den Klassiker „Die Feuerzangenbowle“ mit Heinz Rühmann aus dem Jahr 1944. Exemplarisch die Szene aus dem Physikunterricht zum Arbeitsprinzip einer Dampfmaschine: „Was ist eine Dampfmaschine? Das ist ein großer schwarzer Raum mit zwei Löchern. Durch das eine kommt der Dampf rein und durch das andere geht er wieder raus. Das dazwischen kriegen wir später.“ Das mag zwar lustig klingen, beschreibt aber genau das Wesensprinzip eines thermodynamischen Systems. Relevant sind nicht die technischen Abläufe innerhalb der Maschine, sondern lediglich die Energie- und Masseströme, die die Systemgrenze überschreiten. Werden diese erfasst, lässt sich daraus das Leistungsvermögen der Maschine berechnen ohne irgendwelche Details der Maschine zu kennen. Das bringt uns zum nächsten Punkt, dem Energieerhaltungssatz. Energieerhaltungssatz Der Energieerhaltungssatz lässt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines offenen, durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von Wärme und Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die Energie- und Massenströme, die die Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im Inneren des Systems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen ist nicht erforderlich. Wie Sie aus Abb. 4-2 erkennen können, ermöglicht der thermodynamische Systembegriff die Reduzierung eines beliebig komplexen Systems, in diesem Fall ein Flugzeugtriebwerk, auf eine einfache Strichpunktlinie. Ohne die geringsten Kenntnisse hinsichtlich der Funktionsweise des Triebwerks ist es möglich eine Aussage über der Schub zu treffen, sofern Sie eine Bilanz der ein- und austretenden Energie- und Masseströme an der Systemgrenze erstellen. 90 4. Strömung von Fluiden Zapfluft Kabineninnendruck Zapfluft Enteisung Kerosin angesaugte Luft Abgasstrahl Systemgrenze Elektrische Leistung , , , , , , , , , Systemgrenze Abb. 4-2: Energie- und Masseströme an einem Flugzeugtriebwerk (V2500 – MTU Aero Engines AG) Bei den eintretenden Masseströmen handelt es sich um die angesaugte Luft ( , ) und den zugeführten Brennstoff ( ). Für den austretenden Massestrom ( , , ) gilt , , , . Im Abgasstrahl finden Sie wieder die angesaugte Luft zusammen mit dem verbrannten Kerosin. Zusätzlich kann noch für die Enteisung ( , ) und für die Aufrechterhaltung des Kabineninnendrucks ( , ) Luft abgeführt werden. Die Wärmeströme sind ebenfalls übersichtlich. Zugeführt wird der Brennwert des Treibstoffs durch das Kerosin ( , ), abgeführt wird die Wärme im Wesentlichen durch den heißen Abgasstrahl ( , ). In Abhängigkeit von dem Enteisungssystem 91 4 Strömung von Fluiden kann noch zusätzliche Wärme vom Triebwerk für die Enteisung abgeführt werden ( , ) 19. Ähnlich wie ein Automobil benötigt auch ein Flugzeug elektrische Energie (= technische Arbeit, , ) für die Bordstromversorgung. Diese wird über einen an das Treibwerk angeschlossenen Generator erzeugt. Transportenergie Die Energieanteile, die über die Systemgrenze transportiert werden, bezeichnet man als Transportenergien. Das sind die spezifische Wärme q12, die spezifische technische Arbeit wt,12 und die spezifische dissipierte, also die Verlustenergie ediss20. In der noch zu entdeckenden reibungsfreien Welt würde dieser Term verschwinden. , Systemenergie Die Energieanteile, die sich innerhalb der Systemgrenze verändern können, werden als Systemenergien bezeichnet. Das wären die spezifische kinetische Energie 1/2(c22-c12), die spezifische potentielle Energie g(z2-z1), die spezifische innere Energie u2-u1 und die spezifische Druckenergie p2v2- p1v1. Unter der spezifischen inneren Energie u versteht man den Energieanteil, der sich infolge der Temperatur ergibt: ∙ Wobei cv die spezifische Wärme bei konstantem Volumen beschreibt. Damit erhalten Sie für die spezifischen Systemenergien 1 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ Es gilt also , 1 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ In dieser Bilanz steckt nun alles, was an unterschiedlichen Energien die Systemgrenze überschreitet, beziehungsweise was sich an den Grenzen ändert kann. Diese Energiebilanz oder auch Energieerhaltungssatz ist nichts anderes als der sagenumwobene erste Hauptsatz der Thermodynamik. –––––––––– 19 Es empfiehlt sich aus mehreren Gründen die Temperatur des Abgasstrahls möglichst weit abzusenken. Ersten erhöhen Sie den Wirkungsgrad des Triebwerks, wenn möglichst wenig thermische Energie wieder das System verlässt und zweitens erhöhen Sie bei militärischen Treibwerken Ihre Überlebenswahrscheinlichkeit, da sich der Infrarotsuchkopf einer Luft/Luft- oder Boden/LuftRakete immer an dem heißen Abgasstrahl orientiert. 20 Thermodynamiker arbeiten gerne mit sogenannten spezifischen Größen, das heißt die entsprechende Größe, also beispielsweise die Wärme Q12 wird auf die Masse m oder den Massestrom im ⁄ . System bezogen. Diese spezifischen Größen erkennen Sie an der Kleinschreibung: 92 4. Strömung von Fluiden Bei einer Wärmekraftmaschine wären Sie sehr wahrscheinlich an der Leistung P der Maschine interessiert. Die Leistung erhalten Sie aus der Bilanz indem Sie diese nach der spezifischen Arbeit , auflösen und mit dem Massestrom multiplizieren. ∙ , Enthalpie Die beiden Energieanteile innere Energie und Druckenergie lassen sich zu einem neuen Anteil zusammenfassen, der sogenannten Enthalpie. Unter Verwendung der spezifischen Größen ergibt sich für die spezifische Enthalpie h ∙ Kalorische Zustandsgleichungen und spezifische Wärmekapazität Die spezifische innere Energie u und die spezifische Enthalpie h lassen sich durch die sogenannten kalorischen Zustandsgleichungen beschreiben. ∙ ∙ Die spezifische isobare Wärmekapazität cp [J/kgK] entspricht dem ersten Differentialquotienten der spezifischen Enthalpie h. , ∙ Für die spezifische innere Energie u gilt ∙ ∙ Die spezifische isochore Wärmekapazität cv [J/kgK] entspricht dem ersten Differentialquotienten der spezifischen inneren Energie u. , ∙ Wobei v = V/m = 1/ das spezifische Volumen mit der Einheit [m³/kg] bezeichnet. Enthalpie und innere Energie fester und flüssiger Phasen Sofern Sie die Kompressibilität vernachlässigen können, fallen die spezifische isobare und die spezifische isochore Wärmekapizität zusammen. Bei einer Zustandsänderung von einem Ausgangspunkt (1) zu einem Endpunkt (2) ändert sich die spezifische innere Energie u entsprechend ∙ Analog ändert sich die spezifische Enthalpie h , , ∙ ∙ 93 4 Strömung von Fluiden Enthalpie und innere Energie idealer Gase Bei idealen Gasen entfällt die Druckabhängigkeit der spezifischen Wärmen. Es gilt für die isochore Wärmekapazität cv also ∙ und somit für die Änderung der spezifischen inneren Energie u ∙ Entsprechend gilt für die isobare Wärmekapazität cp also ∙ und somit für die Änderung der spezifischen Enthalpie h ∙ Da die Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmen identisch ist, entfällt diese Abhängigkeit für die spezifische Gaskonstante R. . Bei Zustandsänderungen, die über einen großen Temperaturbereich verlaufen, ist die Kenntnis der Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärmekapazitäten unabdingbar. Sind diese Temperaturänderungen vergleichsweise klein, können cp und cv als konstant angenommen werden. Die Berechnung der spezifischen inneren Energie und der spezifischen Enthalpie vereinfacht sich dadurch entsprechend ∙ beziehungsweise ∙ Damit haben Sie den kurzen Ausflug in die Thermodynamik erstmal überstanden. Wenn Sie mithilfe dieser Bilanz, also dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, ein durchströmtes System betrachten, dann erhalten Sie ein vollständiges Bild des Geschehens, zumindest was die Energie- und Masseströme betrifft. Die meisten dieser Anteile können Sie in aller Regel messtechnisch sehr gut erfassen. Bei den Transportenergien wären das die technische Arbeit wt,12 und die Wärme q12. Die Arbeit können Sie bei einer Maschine über eine einfache Drehmomentmessung bestimmen. Die zugeführte Wärme entspricht dem Brennwert des Kraftstoffs und die abgeführte Wärme lässt sich aus der Abgastemperatur ermitteln. Bei den Systemenergien, also kinetische, potentielle, Druck- und innere Energie handelt es sich ebenfalls um leicht messbare Parameter. Messgrößen sind die Temperatur, der Druck, die Geometrie und die Strömungsgeschwindigkeiten zur Bestimmung der 94 4. Strömung von Fluiden Masseströme. Etwas schwieriger verhält es sich mit der dissipierten Energie ediss. Bei Rohrströmungen lässt sich auch dieser Term mit hinreichender Genauigkeit berechnen, ansonsten ist eine Bestimmung erst nachträglich über eine Messung des Wirkungsgrades 21 möglich. Also einem Vergleich zwischen zugeführter Energie und abgeführter Arbeit. | | | , | 1 , Für sehr viele Anwendungsfälle ist es aber gar nicht erforderlich solch eine allumfassende Bilanz im Sinne des ersten Hauptsatzes zu erstellen. Dazu betrachten Sie folgendes Beispiel. Übung 4-1 Nach erfolgreichem Abschluss Ihres Studiums haben Sie von Ihrem ersten Gehalt als Ingenieur eine schöne Berghütte in den Alpen erworben. Relativ schnell bemerken Sie den Grund für den günstigen Kaufpreis. Es findet sich zwar fließendes Wasser in Form eines Bachlaufs vor der Hütte, jedoch kein elektrischer Strom. Leicht irritiert von den permanenten Auseinandersetzungen mit Ihrer besseren Hälfte über den Geschirrabwasch, beschließen Sie die Installation eines kleinen Wasserkraftwerks. Immerhin sind Sie ja Ingenieur und möchten einen positiven Beitrag zu Ihrer Beziehung liefern. Welche Überlegungen sollten Sie anstellen, bevor Sie die Spülmaschine im Tragegestell auf den Berg schleppen? 4.3.2 Voraussetzungen zur Anwendung der Bernoulli-Gleichung Ausgehend von dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhalten Sie die Bernoulli-Gleichung22, sofern Sie eine Reihe von Vereinfachungen treffen. Diese bestehen im Wesentlichen darin, dass Sie die Transportenergien vernachlässigen. Es gilt also , 0 Für diese Annahmen werden Sie in der Realität sehr viele Beispiele finden. Denken Sie beispielsweise an ein durchströmtes Rohrleitungssystem. Es enthält keine Brennkammer oder Wärmetauscher, also gilt q12 = 0. Sofern Sie keine Arbeitsmaschine, also einen Kompressor, eine Pumpe oder eine Turbine vorfinden, wird keine technische Arbeit verrichtet. Es gilt also wt,12 = 0. Die dissipierte Energie kann bei realen Prozessen natürlich nie verschwinden, da jeder reale Prozess verlustbehaftet ist. Aber trotzdem ist die Annahme ediss = 0 sehr praktisch, da sie die theore–––––––––– 21 Gelegentlich wird auch heute noch der Versuch unternommen Maschinen zum Patent anzumelden, deren thermodynamischer Wirkungsgrad größer eins beträgt. Das wäre ein sogenanntes Perpetuum Mobile, also eine Maschine, die mehr Arbeit erzeugt, als man Energie hineinsteckt. Dies steht in einem gravierenden Widerspruch zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Die Pariser Akademie der Wissenschaften beschloss bereits im Jahr 1775 keine Patentanmeldungen mehr für solche Maschinen anzunehmen. 22 Der Name Bernoulli steht für eine schweizer Familie mit Ursprüngen in den Niederlanden und Verzweigungen nach Deutschland, die über mehrere Generationen sehr erfolgreiche Mathematiker, Architekten und Künstler hervorbrachte. Die hier angesprochene Gleichung geht auf Daniel Bernoulli (08.02.1700 – 17.03.1782) zurück. 95 4 Strömung von Fluiden tische, maximale Obergrenze festlegt, die auch durch die geschickteste Prozessführung nicht erreicht und auch nie überschritten werden kann. Bei den Systemenergien gehen Sie von einer konstanten inneren Energie aus. Das heißt nichts anderes, als dass die Temperatur konstant bleibt. Betrachten Sie beispielsweise einen durchströmten Gartenschlauch. Ohne größeren Fehler können Sie davon ausgehen, dass die Wassertemperatur sich auf dem Weg vom Wasserhahn bis zum Schlauchende kaum verändert. Also was bleibt dann noch von dem ersten Hauptsatz? Aus , 1 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ wird die Bernoulli-Gleichung 0 1 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ Diese schöne Gleichung lässt sich auf mehrere Arten umformen. Der Grundgedanke ist immer der Gleiche. Die Bernoulli-Gleichung entspricht einer Bilanz entlang einer Stromlinie, die von einem Startpunkt zu einem Endpunkt verläuft. Aufgrund der Annahme der Reibungsfreiheit ist die Gesamtenergie eges, der Gesamtdruck pges oder auch die Gesamthöhe hges entlang der Stromlinie immer konstant. dynamischer potentieller statischer Anteil Anteil Anteil Gesamtgröße spezifische Energiegleichung ∙ + ∙ ∙ + = eges [J/kg] = pges [Pa] = hges [m] Druckgleichung ∙ + ∙ ∙ + Höhengleichung ∙ ∙ + + ∙ Tab. 4-1 Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung Die konstante Gesamtgröße, also in Abhängigkeit von der gewählten Formulierung für die Bernoulli-Gleichung wahlweise die spezifische Gesamtenergie eges, der Gesamtdruck pges oder die Gesamthöhe hges, setzt sich diese immer aus drei Anteilen zusammen. Im Fall des Gesamtdrucks wären das der dynamische Druck /2c2, der potentielle Druck gh und der statische Druck p. Diese drei Anteile können sich auf dem Weg entlang einer Stromlinie beliebig verändern, die Summe bleibt jedoch 96 4. Strömung von Fluiden immer konstant. In Abb. 4-3 ist dies am Beispiel einer durchströmten Rohrleitung mit veränderlichem Querschnitt und veränderlicher Höhe skizziert. (1) (2) (3) (4) (5) (6) z g pges p 2 c2 gz x Abb. 4-3: Aufteilung von statischem, dynamischen und potentiellem Druck Im weiteren Verlauf werden der Startpunkt der Bilanz immer mit (1) und der Endpunkt mit (2) gekennzeichnet. Sie werden später aber auch wesentlich komplexere Beispiele mit unterschiedlich vielen Kontrollpunkten bearbeiten. Die Anwendung der Bernoulli-Gleichung soll im folgenden Beispiel verdeutlicht werden. Übung 4-2 In Abb. 4-4 ist eine Kraftstoffleitung mit einer Messblende zur Durchflussmessung skizziert. Vor der Blende (1) und in der Blende (2) befinden sich je eine Druckbohrung zur Messung des statischen Drucks. Der Innendurchmesser der Leitung beträgt d1 = 10 mm. Der engste Querschnitt der Blende beträgt d2 = 5 mm. Die gemessenen statischen Drücke betragen p1 = 10.000 Pa und p2 = 9.800 Pa. Die Dichte des Kraftstoffs beträgt = 720 kg/m³. Gesucht ist der Kraftstoffdurchfluss l⁄h . 97 4 Strömung von Fluiden z (1) (2) g p1 p2 Abb. 4-4: Kraftstoffleitung mit Messblende 4.4 Strömungen mit Energietransport In Abb. 4-3 sind die drei Druckanteile, die in der Bernoulli-Gleichung enthalten sind für eine einfache Rohrleitung skizziert. Infolge der Änderung von Höhe und Querschnitt verändern sich der potentielle, der kinetische und damit auch der statische Anteil. Die Summe aus allen drei Anteilen bleibt jedoch über die gesamte Laufstrecke konstant. Das ist ein System ohne Energietransport, also ohne eine Arbeitsmaschine wie beispielsweise eine Turbine oder eine Pumpe. 4.4.1 Arbeitsmaschinen zur Energiezufuhr Eine Arbeitsmaschine zur Energiezufuhr bedeutet, dass durch diese Maschine mechanische Arbeit in Strömungsenergie umgewandelt wird. Das wäre die Aufgabe einer Pumpe oder eines Kompressors. In diesem Fall wäre die Bernoulli-Gleichung nicht mehr anwendbar, da die Annahme einer konstanten Gesamtenergie oder eines konstanten Gesamtdrucks nicht mehr zutrifft. An der Stelle, an der sich die Pumpe befindet, wird der Gesamtdruck oder auch die Gesamtenergie in der Strömung erhöht. Die Bernoulli-Gleichung muss also um einen Arbeitsterm erweitert werden. Im Fall der spezifischen Energiegleichung wäre das die spezifische technische Arbeit wt,12, die Sie bereits aus der Formulierung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik kennen. 1 ∙ 2 ∙ , 1 ∙ 2 ∙ Bei der Druckgleichung erscheint die Druckerhöhung durch die Pumpe pPumpe 2 ∙ ∙ ∙ ∆ 2 ∙ ∙ ∙ und in der Höhengleichung die sogenannte Nutzhöhe Hnutz 1 ∙ 2∙ 98 ∙ 1 ∙ 2∙ ∙ 4. Strömung von Fluiden 4.4.2 Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr Bei Arbeitsmaschinen zur Energieabfuhr liegen die Verhältnisse völlig analog zu der Situation bei Maschinen mit Energiezufuhr. Solch eine Maschine wäre beispielsweise eine Turbine. Der einzige Unterschied besteht darin, dass diese Maschinen Strömungsenergie in mechanische Arbeit umwandeln. Die Gesamtenergie oder auch der Gesamtdruck in der Strömung wird verringert. Die Formulierungen der spezifischen Energiegleichung, der Druckgleichung und auch der Höhengleichungen sind identisch mit den Formulierungen für die Energiezufuhr von Kapitel 4.4.1. Das bedeutet, dass der Arbeitsterm infolge der Maschine auch hier positiv auf der linken Seite der Bilanz gesetzt wird. Das mag etwas verwundern, da ja Energie aus dem System abgeführt wird, aber damit bleiben Sie bei der thermodynamischen Notation, dass zugeführte Ströme positiv und abgeführte Ströme negativ sind. Wenn Sie die Bilanz nach dem Arbeitsterm, also beispielsweise der Druckänderung pMaschine auflösen, dann erhalten Sie im Fall einer Pumpe (= Energiezufuhr) einen positiven Wert für die Druckänderung. Im Fall einer Turbine (= Energieabfuhr) erhalten Sie einen negativen Wert für die Druckänderung. Wie sich die einzelnen Druckanteile durch den Einbau einer Turbine an der Stelle (4‘) in das Rohrleitungssystem von Abb. 4-3 verändern, ist in Abb. 4-5 skizziert. (1) (2) (3) (4) (4')(5) (6) z g pges pTurbine p 2 c2 gz x Abb. 4-5: Einfluss einer Turbine auf die Aufteilung der Druckanteile 99 4 Strömung von Fluiden Übung 4-3 In einem Teich liegt in der Tiefe h4 unter dem konstanten Wasserspiegel eine Tauchpumpe zum Betrieb eines Springbrunnens. An der Stelle (1) saugt die Pumpe das Wasser an und erzeugt mit der Düse an der Stelle (4) eine Fontäne, die die Höhe h6 über der Wasseroberfläche erreicht. 6 h6 p0 g 4 0 d4 W d2 h4 d1 1 2 3 Abb. 4-6: Tauchpumpe zum Betrieb eines Springbrunnens Bei allen folgenden Betrachtungen können Sie von einer reibungsfreien Strömung ausgehen. 1. Geben Sie die Geschwindigkeiten im Ansaugrohr vor der Pumpe c1, im Austrittsrohr hinter der Pumpe c2 und an der Düse c4 als Funktion der in der Zeichnung gegebenen Größen an. 2. Geben Sie die Leistung P der Pumpe als Funktion der gegebenen Größen an 3. Berechnen Sie die Leistung P der Pumpe für folgende Werte d1 = 0,08 m, d2 = 0,058 m, d4 = 0,04 m, h4 = 3,0 m, h6 = 20,387 m, W = 1000 kg/m³, p0 = 1 bar 100 4. Strömung von Fluiden 4.5 Grenzschichtströmungen Ende des 19. Jahrhunderts waren die vollständigen Bewegungsgleichungen für inkompressible, reibungsbehaftete Fluide in Form der Navier23-Stokes24-Gleichungen zwar bekannt, jedoch aufgrund der mathematischen Komplexität nur für wenige Ausnahmefälle lösbar. Unter der Annahme, dass aufgrund der vergleichsweise geringen Zähigkeitswerten von Luft oder Wasser, die Reibung vernachlässigbar sei, entwickelte sich ausgehend von den Euler25schen (= reibungsfreien) Bewegungsgleichungen die sogenannte theoretische Hydrodynamik. Bedauerlicherweise herrschte jedoch eine beträchtliche Diskrepanz zwischen den Ergebnissen der theoretischen Hydrodynamik und den Ergebnissen experimenteller Untersuchungen. Insbesondere was die Vorhersage von Druckverlusten in Rohrleitungen oder dem Widerstand von umströmten Schiffsrümpfen betraf. Die entscheidende Wende kam mit den Arbeiten von Ludwig Prandtl26, der seine Ergebnisse erstmals auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongress im Jahr 1904 unter dem Titel “Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung“ vorstellte. Darin wurde das Konzept formuliert, dass sich die Strömung um einen Körper in zwei Bereiche unterteilen lässt. Eine sehr dünne Schicht im wandnahen Bereich, in der die Reibung eine signifikante Rolle spielt, der sogenannten Grenzschicht und dem äußeren Strömungsbereich, in dem die Reibung nur noch eine untergeordnete Rolle spielt. Entstehung einer Grenzschicht Im ersten Kapitel haben Sie bereits das Konzept einer idealen, reibungsfreien Strömung kennengelernt. Dieses Bild entspricht dem Ansatz der bis zu Beginn des 20. Jahrhunderts von der theoretischen Hydrodynamik durch die Berechnung von Potentialströmungen verfolgt wurde. Aufgrund der Vernachlässigung der Reibung ergibt sich aber für einen symmetrischen Körper das Ergebnis, dass dieser nicht nur keine Kraft quer zur Strömungsrichtung erzeugt, was für eine Anströmung entlang der Symmetrieachse mit der Realität übereinstimmt, sondern auch keinen Widerstand in Strömungsrichtung aufweist. Ein asymmetrischer Körper oder ein symmetrischer Körper, der unter einem Anstellwinkel ungleich null angeströmt wird, würde zwar eine Querkraft (=Auftrieb) senkrecht zur Anströmrichtung aber immer noch keinen Winderstand in der Anströmrichtung erzeugen. Sofern Sie einmal in einer fernen Galaxis den reibungsfreien Planeten gefunden haben, könnten Sie beispielsweise ein Flugzeug in der gewünschten Flughöhe auf Reisefluggeschwindigkeit beschleunigen und anschließend die Treibwerke abschalten. Der Tragflügel würde den erforderlichen Auftrieb erzeugen, aber da kein Widerstand auftritt, benötigen Sie auch keine Triebwerke um diesen zu kompensieren. Soweit die reibungsfreie, ideale Betrachtung. –––––––––– 23 Navier, Claude Louis Marie Henri (10.02.1785 – 21.08.1836), französischer Mathematiker und Physiker, formulierte 1822 die nach ihm benannte Navier-Stokes Gleichung für viskose Flüssigkeiten 24 Stokes, George Gabriel (13.08-1819 – 01.02.1903), irischer Mathematiker und Physiker 25 Euler, Leonhard (15.04.1707 – 18.09.1783), schweizer Mathematiker und Physiker 26 Prandtl, Ludwig (04.02.1875 – 15.08.1952), bayrischer Physiker, ab 1909 Leiter der Aerodynamischen Versuchsanstalt Göttingen (AVA), heute DLR. Neben der Grenzschichttheorie waren wesentliche Ergebnisse seiner Arbeit die Traglinien- und die Tragflächentheorie zur Auftriebsberechnung am Tragflügel. Ebenso die Berechnung von Kompressionseffekten im hohen Unterschall (Prandtl-Glauert-Transformation) und Untersuchungen im Bereich von Überschallströmungen zusammen mit Adolf Busemann. 101 4 Strömung von Fluiden Reale Strömungen sind natürlich reibungsbehaftet und dadurch gekennzeichnet, dass infolge der Reibung die Strömung an der Körperoberfläche auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird. Dieser Umstand wird als sogenannte Haftungsbedingung bezeichnet. Eine wesentliche Rolle spielt hierbei die Zähigkeit oder auch Viskosität des Fluids. Die Viskosität stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit der Teilchen innerhalb des Fluid dar. Unterschieden wird zwischen der dynamischen und der kinematischen Viskosität. Die dynamische Viskosität [Pas] lässt sich beispielsweise durch einen Plattenzugversuch ermitteln. Hierbei wird mit konstanter Geschwindigkeit c eine Platte mit der Oberfläche A über einen dünnen Flüssigkeitsfilm der Dicke dy gezogen. Dabei wird die erforderliche Zugkraft F mittels einer Federwaage bestimmt. Die resultierende Schubspannung ist proportional dem Geschwindigkeitsgradienten in dem Fluid senkrecht zur Oberfläche. ∙ Die kinematische Viskosität [m²/s] ergibt sich aus der dynamischen Viskosität entsprechend Der wandnahe Bereich, in dem die Strömung von der Geschwindigkeit null auf der Körperoberfläche bis zur Geschwindigkeit der Außenströmung beschleunig wird, wird als Grenzschicht bezeichnet. Die Dicke dieser Schicht wird dadurch festgelegt, dass an dieser Stelle der Geschwindigkeitsgradient dc/dy fast verschwindet. Das heißt, dass die Geschwindigkeit ca am Grenzschichtrand mit der Geschwindigkeit der freien Außenströmung c∞ näherungsweise übereinstimmt. Auf Prandtl geht folgende Festlegung zurück 0,99 ∙ 4.5.1 Strömungsgrenzschicht Bei Strömungen in Körpernähe liegen die Zähigkeitskräfte in der gleichen Größenordnung wie die Trägheitskräfte. Dieses Kräfteverhältnis in der Grenzschicht wird durch die sogenannte Reynolds27-Zahl Re beschrieben. ∙ mit c∞ Strömungsgeschwindigkeit lref Bezugslänge, beispielsweise die Länge einer angeströmten Platte kinematische Viskosität Mit zunehmendem Abstand von der Körperoberfläche nehmen die Zähigkeitskräfte aufgrund des kleiner werdenden Geschwindigkeitsgradienten immer mehr ab. Dadurch nähert sich die Außenströmung dem Verhalten einer idealen, reibungsfreien Strömung an. –––––––––– 27 102 Reynolds, Osborne (23.08.1842 – 21.02.1912, britischer Physiker, bekannt durch grundlegende Arbeiten zur Strömungsmechanik und Turbulenz in Rohrströmungen 4. Strömung von Fluiden In Abb. 4-7 ist der Aufbau einer Strömungsgrenzschicht an der Oberfläche einer längs angeströmten Platte dargestellt. Im Falle einer laminaren (= gleichmäßig geschichteten) Anströmung baut sich ab der Plattenvorderkante mit zunehmender Lauflänge x eine zunächst laminare Strömungsgrenzschicht der Dicke S(x) auf. Im weiteren Verlauf sind zwei Varianten möglich. Entweder die Strömungsgrenzschicht behält bis zum Plattenende ihre laminare Struktur bei oder ab einem bestimmten Punkt, dem Umschlag- oder Transitionspunkt, nimmt die Strömungsgrenzschicht eine turbulente (= verwirbelte) Struktur an. Ob dieser Umschlag stattfindet oder nicht hängt von dem Turbulenzgrad der Anströmung und der Rauheit der Körperoberfläche ab. Stromabwärts von dem Umschlagpunkt bildet sich zwischen der Körperoberfläche und der turbulenten Grenzschicht noch eine laminare Unterschicht mit der Dicke U(x‘) aus. Dabei wird mit x‘ die Lauflänge der turbulenten Grenzschicht ab dem Umschlagpunkt bezeichnet. y c(x,y) turbulent laminar S(x) cW = 0 x c(x,y) xU = xkritisch cW = 0 U(x) Umschlagpunkt laminare Unterschicht x' Abb. 4-7: Strömungsgrenzschicht an einer ebenen Platte 4.5.2 Temperaturgrenzschicht Bei der Strömungsgrenzschicht wurden die unterschiedlichen Geschwindigkeitsprofile im körpernahen Bereich betrachtet. Insbesondere bei kompressiblen Fluiden spielen aber auch die Temperaturabhängigkeiten der Dichte und der Viskosität eine besondere Rolle. Temperaturunterschiede zwischen der Grenzschicht und der Körperoberfläche sind verantwortlich für Wärmeaustauschvorgänge zwischen der Außenströmung und dem umströmten Körper. Die Dicke T der sich dadurch ausbildende Temperaturgrenzschicht ist in der Regel nicht identisch mit der Dicke S der Strömungsgrenzschicht. Entsprechend Abb. 4-8 können in Abhängigkeit von dem Temperaturgradienten an der Wand (T/y)W drei unterschiedliche Fälle auftreten: - Die Körperoberfläche ist wärmedurchlässig (= diabate Wand) und der Temperaturgradient (T/y)W ist positiv. Dadurch erfolgt eine Wärmeübertragung vom Fluid an den Körper, Abb. 4-8a. - Die Körperoberfläche ist wärmeundurchlässig (= adiabate Wand) und der Temperaturgradient (T/y)W ist null. Dadurch erfolgt keine Wärmeübertragung vom Fluid an den Körper, Abb. 4-8b. - Die Körperoberfläche ist wärmedurchlässig (= diabate Wand) und der Temperaturgradient (T/y)W ist negativ. Dadurch erfolgt eine Wärmeübertragung vom Körper an das Fluid, Abb. 4-8c. 103 4 Strömung von Fluiden y y T(x,y) (dT/dy) W > 0 (x) x . qW < 0 TW(x) y T(x,y) (dT/dy) W = 0 x T(x,y) (dT/dy) W < 0 (x) . qW = 0 TW(x) x (x) . qW > 0 TW(x) Abb. 4-8: Temperaturgrenzschicht an einer ebenen Platte a) diabate Wand 0, b) adiabate Wand 0, c) diabate Wand 0 Ähnlichkeitskennzahlen der Wärmeübertragung Zur Beschreibung von Wärmeübertragungsvorgängen in der Grenzschicht können sogenannte Ähnlichkeitskennzahlen eingeführt werden. Lokale Nußelt-Zahl Die lokale Nußelt28-Zahl beschreibt den Wärmeübergang von der Oberfläche eines Körpers an ein Fluid, wobei mit x die entsprechende Stelle, beispielsweise die Lauflänge an einer ebenen Platte bezeichnet wird. ∙ mit [W/m²K] [W/mK] Wärmeübergangskoeffizient Wärmeleitfähigkeit Der lokale Wärmeübergang [W/m²] ergibt sich entsprechend der Temperaturdifferenz zwischen Körperwand TW und am äußeren Rand der Temperaturgrenzschicht Ta mit der lokalen Nußelt-Zahl zu ∙ ∙ Péclet-Zahl Die Péclet29-Zahl ist die für die Wärmeleitung charakteristische Kennzahl und entspricht dem Produkt von Nußelt- und Prandtl-Zahl. ∙ ∙ mit c [m/s] Strömungsgeschwindigkeit l [m] Lauflänge [m²/s] Temperaturleitfähigkeit [J/kgK] spezifische Wärme bei konstantem Druck ∙ cp –––––––––– 28 Nußelt, Wilhelm (25.11.1882 – 01.09.1957), deutscher Physiker und Begründer der Ähnlichkeitstheorie der Wärmeübertragung 29 Péclet, Jean Claude Eugène (10.02.1793 – 06.12.1857), französischer Physiker 104 4. Strömung von Fluiden Prandtl-Zahl Die Prandtl-Zahl Pr beschreibt das Verhältnis der Transporteigenschaften in einem Fluid in Bezug auf Impuls infolge von Reibung und Wärme infolge von Leitung. Dadurch lässt sich das Dickenverhältnis von Strömungsgrenzschicht und Temperaturgrenzschicht S/T charakterisieren. Diese Kennzahl ist eine reine Stoffgröße und lässt sich für Gase näherungsweise als Funktion des Isentropenexponenten = cp/cv bestimmen. 4∙ 9∙ 5 Prinzipiell lassen sich für die Prandtl-Zahl vier Fälle unterscheiden: - Pr << 1: Die Dicke S der Strömungsgrenzschicht ist sehr klein im Verhältnis zur Dicke T der Temperaturgrenzschicht und kann somit vernachlässigt werden, also S ≈ 0. Für die Temperaturgrenzschicht gilt ⁄ ~ ⁄ ∙ beziehungsweise ⁄ ~ und →0 - Pr = 1: Die Dicke S der Strömungsgrenzschicht entspricht der Dicke der Temperaturgrenzschicht T. Es gilt also S = T. Dieses Verhalten gilt für die meisten Gase. - Pr >> 1: Die Dicke T der Temperaturgrenzschicht ist sehr klein im Verhältnis zur Dicke S der Strömungsgrenzschicht. Für die Temperaturgrenzschicht gilt ⁄ ~ ⁄ ∙ beziehungsweise ⁄ ~ und →∞ - 0 < Pr < ∞: Für mittlere Prandtl-Zahlen mit 1/3 < n < 1/2 gilt ~ Eine brauchbare Näherung für Gase ergibt sich für Pr ≈ 1. Damit liegen die Dicken der Temperatur- und der Strömungsgrenzschicht in der gleichen Größenordnung. 105 4 Strömung von Fluiden 4.5.3 Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie Die Grundprinzipien der Prandtlschen Grenzschichttheorie sollen im Folgenden am Beispiel einer ebenen, längs angeströmten Platte erläutert werden. Hierbei werden folgende Annahmen getroffen: - Die Platte wird mit einer konstanten Geschwindigkeit c∞ angeströmt Die Oberfläche der Platte ist hydraulisch glatt Das Fluid ist homogen Laminare Strömungsgrenzschicht Im zweidimensionalen Fall wird zur Vereinfachung der Schreibweise die Geschwindigkeit in Strömungsrichtung (x-Richtung) cx = u und für die Geschwindigkeit senkrecht zur Oberfläche (y-Richtung) cy = v gesetzt. Mit dem Index „a“ wird der Zustand am äußeren Rand der Grenzschicht bezeichnet. Der Übergang der Geschwindigkeitsverteilung am Grenzschichtrand zur freien Außenströmung (Index „∞“) verläuft stetig. Es gilt dort also (u/y)a = 0. Die Kontinuitätsgleichung lautet in differentieller Schreibweise 0 und die Impulsgleichung ∙ ∙ ∙ ∙ Im stationären Fall vereinfacht sich die Impulsgleichung zu ∙ ∙ ∙ ∙ Mit 1 ∙ ∙ ergibt sich die Prandtlsche Grenzschichtgleichung ∙ ∙ 1 ∙ ∙ Eine Beschreibung zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung finden Sie beispielsweise in Truckenbrodt30 (1999). Als Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ergeben sich affine Geschwindigkeitsprofile, das bedeutet, sie unterscheiden sich lediglich durch einen Maßstabsfaktor senkrecht zur Wand. Aus diesen Geschwindigkeitsprofilen lassen sich nach Schlichting31 (1982) folgende einfache Lösungen für die laminare Plattengrenzschicht ermitteln. –––––––––– 30 Truckenbrodt, Erich (01.02.2017 – 21.12.2009), deutscher Strömungsmechaniker, entwickelte das Tragflächenverfahren zur Auftriebsberechnung und das Grenzschichtquadraturverfahren 31 Schlichtung, Hermann (22.09.1907 – 15.06.1982) deutscher Strömungsmechaniker, nach ihm wurden die beim laminar/turbulenten Umschlag entstehenden Tolmien-Schlichting-Wellen benannt 106 4. Strömung von Fluiden - Dicke der Strömungsgrenzschicht S: ∙ 5∙ ~√ mit = / kinematische Viskosität x Lauflänge c∞ Geschwindigkeit der freien Außenströmung - Verdrängungsdicke 1: Die Außenströmung wird durch die Strömungsgrenzschicht um die Verdrängungsdicke nach außen abgedrängt. Der umströmte Körper hat aus der Perspektive der Strömung einen etwas größeren Querschnitt als im reibungsfreien Fall. 1 - 1,721 ∙ 1 ∙ 3 ∙ Impulsverlustdicke 2: Die Impulsverlustdicke 2 beschreibt den reibungsbedingten Impulsverlust in der Grenzschicht. ∙ 1 - 0,664 ∙ ∙ Wandschubspannung W: Infolge der Reibung des Fluids an der Wand entsteht eine Wandschubspannung. 0,332 ∙ ∙ ∙ 0,332 ∙ ∙ Die lokale Reynolds-Zahl Rex wird mit der Lauflänge gebildet. - Reibungsbeiwert cR der ebenen Platte: 1,328 2 ∙ ∙ Die Reynolds-Zahl Rel wird mit der Länge der angeströmten Platte gebildet. - Druckverteilung: Bei einer laminaren Strömungsgrenzschicht kann näherungsweise davon ausgegangen werden, dass sich der Druck der Außenströmung auf die Grenzschicht aufprägt. Es gilt ⁄ 0. 107 4 Strömung von Fluiden Es kann lediglich in Strömungsrichtung ein Druckgradient vorliegen. Das hat messtechnisch den großen Vorteil, dass sich der statische Druck in einer Strömung durch Messung des Wanddrucks bestimmen lässt und kein Drucksensor in das Strömungsfeld eingebracht werden muss. Laminare Temperaturgrenzschicht Ausgehend von der Wärmetransportgleichung ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ergibt sich für Gase mit Pr = 1 die Temperatur in der Grenzschicht aus der Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit von den Randbedingungen für den : Wärmeübergang an der Wand - Adiabate Wand ( Für die wärmeundurchlässige Wand gilt ∙ 1 2∙ beziehungsweise 1 1 2 ∙ 1 Die Temperatur der Wand TW, die sogenannte adiabate Wandtemperatur oder auch Eigentemperatur Te ergibt sich für Pr = 1 zu 2∙ ∙ 1 ∙ 1 1 2 ∙ In diesem Fall entspricht die Wandtemperatur der Staupunkttemperatur, also der Temperatur, auf die sich das Gas aufheizt, wenn es adiabat auf die Geschwindigkeit null abgebremst wird. Für Prandtl-Zahlen Pr 0 ergibt sich für die Wandtemperatur ∙ 2∙ ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 2 ∙ Der Faktor r = r(Pr) wird als Recovery-Faktor bezeichnet. Für ideale Gase gilt r = Pr1/2 (laminar) und r = Pr1/3 (turbulent). Für Luft mit einer Prandtl-Zahl von Pr = 0,71 nimmt der Recovery-Faktor den Wert r = 0,843 (laminar) beziehungsweise r = 0,892 (turbulent) an. Der Recovery-Faktor beschreibt das Verhältnis der Aufheizung infolge Reibung zur Aufheizung infolge der Kompression, also 2∙ 108 4. Strömung von Fluiden - Diabate Wand ( Für die wärmedurchlässige Wand gilt ∙ 1 ∙ ∙ 1 ∙ 2∙ beziehungsweise 1 1 Die Wandwärmestromdichte 2 ∙ ∙ ergibt sich für die Prandtl-Zahl Pr = 1 zu ∙ ∙ ∙ Die lokale Nußelt-Zahl ergibt sich zu ∙ ∙ ⁄ 0,332 ∙ Für sehr kleine Prandtl-Zahlen Pr 0 gilt ∙ 1 ∙ ∙ √ Für sehr große Prandtl-Zahlen Pr ∞ gilt ∙ 0,399 ∙ ∙ ⁄ ∙ ∙ ⁄ Turbulente Strömungsgrenzschicht Die Berechnung einer turbulenten Grenzschicht gestaltet sich deutlich schwieriger als die Berechnung einer laminaren Grenzschicht. Entsprechend Abb. 4-7 besteht das Strömungsfeld an einer ebenen Platte aus einer laminaren Anlaufstrecke bis zum Transitionspunkt und ab dieser Stelle aus einer turbulenten Grenzschicht, die jedoch durch eine dünne laminare Unterschicht von der Körperoberfläche separiert ist. Die Länge dieser laminaren Anlaufstrecke hängt von der Reynolds-Zahl, dem Turbulenzgrad der Strömung und der Rauigkeit der Körperoberfläche ab. Bei großen Reynolds-Zahlen oder durch das Aufbringen einer künstlichen Rauigkeit kann die laminare Anlaufstrecke verkürzt werden oder ganz verschwinden. Für die weitere Analyse werden die zeitlich gemittelten Werte für Geschwindigkeiten u und v , Temperatur T und Druck p sowie die Geschwindigkeitsänderungen u und v betrachtet. Die Kontinuitäts- und Impulsgleichung in differentieller Form lauten somit u v 0 x y u 2 u v 2u 2u u u p u v 2 2 x y x x y x y u u v v 2 2v 2v v v p v 2 2 x y x y x y x 109 4 Strömung von Fluiden Aufgrund der Turbulenz sind die Beträge der Geschwindigkeitsänderungen in xals auch in y-Richtung näherungsweise von gleicher Größenordnung, das heißt es gilt u v . Diese Geschwindigkeitsänderungen sind verantwortlich für das Auftreten von zusätzlichen Trägheitskräften (= Turbulenzkraft). Im Gegensatz zur laminaren Grenzschicht entspricht der Druck im Inneren der turbulenten Grenzschicht nicht dem Wert der freien Außenströmung. ̅ , , ̅ ∙ ̅ Eingesetzt in die Impulsgleichung in x-Richtung folgt u u u p u v a u v u 2 v 2 x y x y y y Der letzte Term kann wegen u v vernachlässigt werden. Der vorletzte Term in Klammern beschreibt die durch die Turbulenz erzeugte Schubspannung . u u v. y Von besonderem Interesse ist natürlich die Schubspannung direkt an der Körperoberfläche bei y = 0 ∙ ̅ Die Berechnung der gemittelten Werte kann nun aus der Kontinuitäts- und Impulsgleichung erfolgen u v 0 x y u u u p v a x y x y Für die turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte ergeben sich nach Truckenbrodt (1999) folgende einfache Lösungen: - Dicke der turbulenten Grenzschicht S 0,37 ∙ ∙ 1 0,37 ∙ , ∙ Wobei x' die Lauflänge der turbulenten Grenzschicht ab dem Umschlagpunkt bezeichnet (Abb. 4-7). - Verdrängungsdicke der turbulenten Grenzschicht 1 0,01738 ∙ 110 , ∙ 1 ∙ 8 4. Strömung von Fluiden - Dicke der laminaren Unterschicht U In direkter Wandnähe bildet sich auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund der geringen Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare Unterschicht mit einer Stärke von 0,02 - 0,05turb aus. Die Strömungsverhältnisse im Inneren der laminaren Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke der Unterschicht U beträgt , ∙ 77 ∙ mit Rex' = Reynolds-Zahl gebildet mit der Lauflänge x' der turbulenten Grenzschicht. - Reibungsbeiwert cR der ebenen, hydraulisch glatten Platte Die Bedingung für eine hydraulisch glatte Oberfläche wird durch die Rauigkeit k kzulässig = 100l/Rel = 100/c beschrieben. Bei turbulenter Grenzschicht ist zu unterscheiden, ob die Grenzschicht von Anfang an turbulent ist oder erst nach einer laminaren Anlaufstrecke ab dem Transitionspunkt turbulent wird. In Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl lassen sich mehrere Fälle unterscheiden. Mit der Definition des dimensionslosen Reibungsbeiwertes cR. 2 ∙ ∙ mit W [N] Reibungswiderstand S [m²] Fläche der Platte Rel = cl/ auf die Plattenlänge l bezogenen Reynolds-Zahl ergeben sich in Abhängigkeit von dem Zustand der Grenzschicht folgende Reibungsbeiwerte: Reibungsbeiwert cR der ebenen Platte Strömungszustand Kurve in Abb. 4-9 1,328 vollständig laminar (1) 0,074 turbulent, Rel < 107 (2a) turbulent, Rel > 107 (Prandtl–Schlichting) (2b) 0,074 laminare Anlaufstrecke, gefolgt von turbulenter Grenzschicht, Rel < 107 (3) 0,455 , log laminare Anlaufstrecke, gefolgt von turbulenter Grenzschicht, Rel > 107 (Prandtl–Schlichting) 0,455 , log Tab. 4-2: Reibungsbeiwerte der ebenen, hydraulisch glatten Platte 111 4 Strömung von Fluiden Bei Vorliegen einer laminaren Anlaufstrecke ist der Reibungsbeiwert um den Prandtl-Korrekturfaktor A/Rel zu entsprechend Tab. 4-3 zu verringern. Rekrit 3105 5105 106 3106 A 1050 1700 3300 8700 Tab. 4-3: Prandtl-Korrektur für eine laminare Anlaufstrecke Dabei bezeichnet Rekrit = cxkrit/ die Reynolds-Zahl, die mit der Länge xkrit der laminaren Anlaufstrecke bis zum Transitionspunkt gebildet wird. In Abb. 4-9 ist der Verlauf des Reibungsbeiwertes in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl dargestellt. Die Berechnungen entsprechen den Gleichungen in Tab. 4-2: Reibungsbeiwerte der ebenen, hydraulisch glatten Platte. Abb. 4-9: Reibungsbeiwert einer ebenen, hydraulisch glatten Platte - Reibungsbeiwert cR der ebenen, rauen Platte. Der Reibungsbeiwert ergibt sich als Funktion von Reynolds-Zahl und relativer Rauigkeit k/d. Reibungsbeiwert cR der ebenen Platte 1,328 0,455 , log 0,074 , 1,89 1,62 ∙ Strömungszustand Kurve Abb. 4-10 laminar (1) turbulent, glatt Rel > 107 (Prandtl–Schlichting) (2) laminare Anlaufstrecke, gefolgt von turbulenter Grenzschicht, Rel < 107 (3) turbulent, rau mit 10-6 < k/l < 10-2 (4) Tab. 4-4: Reibungsbeiwerte der ebenen, rauen Platte 112 4. Strömung von Fluiden Abb. 4-10: Reibungsbeiwert einer ebenen, rauen Platte Turbulente Temperaturgrenzschicht Die Wärmetransportgleichung für die laminare Grenzschicht lässt sich auch auf die zeitlich gemittelten Parameter für die turbulente Grenzschicht anwenden. Die gemittelte Schubspannung ∙ ̅ mit der Impulsaustauschgröße der turbulenten Bewegung ∙ ∙ ̅ und die gemittelte Wärmestromdichte ∙ ∙ mit der Wärmeaustauschgröße der turbulenten Bewegung Aq vereinfachen sich an der Wand (y = 0) wegen A = Aq = 0 zu T u und . y y Wobei das Verhältnis der Austauschgrößen der turbulenten Bewegung als turbulente Prandtl-Zahl Pr' = A/Aq bezeichnet wird. Die gemittelte stationäre Temperaturgrenzschicht an der ebenen Platte kann somit beschrieben werden durch 113 4 Strömung von Fluiden ∙ ∙ ∙ ̅∙ ̅∙ beziehungsweise ∙ ∙ ∙ ̅∙ ∙ ∙ Die lokale Nusselt-Zahl Nux = xx/ ergibt sich in Abhängigkeit von Prandtl- und Reynolds-Zahl zu , 0,0296 ∙ ∙ (0,6 < Pr < 15 und Rekrit < Rex < 107) , (0,6 < Pr < 15 und 107 < Rex < 109) beziehungsweise ∙ 0,185 ∙ Für die mittlere Nusselt-Zahl Nul = l/, gebildet mit der Plattenlänge l mit einem laminaren Anlaufbereich gilt 0,037 ∙ , 23100 ∙ (0,6 < Pr < 1000 und 5105 < Re < 107) 4.5.4 Ablösung der Grenzschicht Prinzip der Strömungsablösung Die Begeisterung einer Grenzschicht der Körperkontur zu folgen hängt im Wesentlichen von dem Druckgradienten in Strömungsrichtung dp/dx ab. Reibungsbedingt wird die Grenzschicht in Wandnähe permanent verzögert, wodurch die kinetische Energie verringert und in Wärme umgesetzt wird. Infolge der reduzierten Geschwindigkeit muss die Dicke der Grenzschicht in Strömungsrichtung zunehmen um den konstanten Massestrom zu gewährleisten. Bei einem Druckabfall in Strömungsrichtung wird die Grenzschicht von der Außenströmung mitgezogen und wird sich tendenziell eher für ein Verbleiben an der Körperwand entscheiden. Anders verhält es sich, wenn ein Druckanstieg in Strömungsrichtung vorliegt. Die bereits verzögerte Grenzschicht wird sich recht menschlich verhalten und den Weg des geringsten Widerstandes wählen. Sie kommt erst zum Stillstand und es bildet sich anschließend eine Rückströmung, welche die Außenströmung von der Körperwand abdrängt. Das zwischen der abgelösten Strömung und der Körperwand entstehende Ablösegebiet wird auch als Totwassergebiet bezeichnet. Dieses Totwassergebiet ist jedoch kein stabiles System, sondern es rollt sich zu einer Reihe von einzelnen Wirbeln auf. Diese Wirbelballen werden teilweise von der Außenströmung mitgerissen und im Fall einer laminaren Außenströmung sogar wieder teilweise laminarisiert. Die unterschiedlichen Geschwindigkeitsverteilungen in der Grenzschicht für den Fall der Ablösung sind in Abb. 4-11 skizziert. Im Übergangsbereich der Grenzschicht zur Außenströmung verschwindet in allen Fällen der Geschwindigkeitsgradient, (dc/dy)a = 0. Solange ein Druckabfall in Strömungsrichtung vorliegt nimmt der Geschwindigkeitsgradient an der Wand einen positiven Wert an, (dc/dy)W > 0 114 4. Strömung von Fluiden (Abb. 4-11a). Bei Vorliegen eines Druckanstiegs in Strömungsrichtung bildet sich in der Geschwindigkeitsverteilung zuerst ein Wendepunkt W und der Gradient an der Wand nimmt den Wert Null an, (dc/dy)W = 0 (Abb. 4-11b). Weiter stromabwärts wird der Gradient an der Wand negativ (dc/dy)W < 0, es bildet sich eine Rückströmung und die Grenzschicht löst sich von der Körperwand ab (Abb. 4-11c). y y ca(x) ca(x) y (dc/dy)a = 0 (dc/dy)a = 0 (dc/dy)a = 0 c(x,y) c(x,y) c(x,y) S(x) ca(x) S(x) S(x) W (dc/dy) W > 0 Druckabfall dp/dx < 0 (dc/dy)W = 0 W (dc/dy) W < 0 Druckanstieg dp/dx > 0 x Abb. 4-11: Geschwindigkeitsprofile in der Strömungsgrenzschicht a) anliegende Strömung, b) Stillstand c) Ablösung und Rückströmung Kármánsche32 Wirbelstraße Sollten Sie Ihr nächster Spaziergang über eine Brücke führen, bei der ein oder mehrere Pfeiler im Wasser stehen, so können Sie mit etwas Glück folgenden Effekt beobachten. In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie, können bei quer angeströmten Körpern der Breite b alternierend links- und rechtsdrehende Wirbel an der Rückseite ablösen. Sofern der Abstand in Strömungsrichtung zwischen zwei Wirbeln d beträgt und sich das Verhältnis b/d = 0,28 bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil. Das sieht bei einem Flusslauf noch sehr schön aus, kann aber bei quer angeströmten Antennen oder Drähten zur Bildung eines unangenehmen Pfeiftons führen. Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden. Bei Kaminen kommen gelegentlich Metallwendeln zum Einsatz um die Bildung von Resonanzfrequenzen zu vermeiden. –––––––––– 32 Kármán, Theodore von (11.05.1881 – 07.05.1963), österreichisch-ungarische Physiker und Luftfahrttechniker, studierte an der Technischen Hochschule in Budapest Ingenieurwissenschaften und arbeitete ab 1906 als Mitstreiter von Ludwig Prandtl in Göttingen. Neben seinen Arbeiten zur Plastizitätstheorie wurde von Kármán berühmt für die von ihm untersuchten Wirbelstrukturen, den sogenannten Kármánschen Wirbelstraßen. Im Jahr 1913 wurde er an die heutige RWTH-Aachen berufen und im Jahr 1934 aufgrund seiner jüdischen Herkunft, wie viele seiner nicht-arischen Kollegen, aus dem Staatsdienst entlassen. Da er bereits seit Mitte der 20er-Jahre auch in den USA, am California Institute of Technology (Caltec) tätig war, verlegte er seine Tätigkeit vollständig in die USA und baute in Pasadena, Kalifornien das Jet Propulsion Laboratory auf. Zusammen mit Ludwig Prandtl gilt er als einer der bedeutenden Begründer der modernen Aerodynamik. 115 4 Strömung von Fluiden d Nachlaufdelle b d Abb. 4-12: Kármánsche Wirbelstraße mit Nachlaufdelle Nachlaufdelle Die Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, beispielsweise zur Erzeugung einer Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sich in einem Geschwindigkeits- beziehungsweise Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird als Nachlaufdelle (Abb. 4-12) bezeichnet. Aus der Vermessung der translatorischen Geschwindigkeit, also der Geschwindigkeit in Strömungsrichtung stromabwärts eines Körpers, kann aus dem Impulsverlust in Strömungsrichtung der Widerstand des Körpers brechnet werden. 4.5.5 Transition Der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömungsform wird als Transition bezeichnet. Unterschieden wird zwischen natürlicher Transition und erzwungener Transition. Natürliche Transition Analytisch lässt sich der Umschlagpunkt oder Transitionspunkt an einem angeströmten Körper nicht so ohne weiteres bestimmen. Einflussfaktoren sind - Reynolds-Zahl - Druckverlauf in der Außenströmung - Rauigkeit der Oberfläche des angeströmten Körpers - Turbulenzgrad der Anströmung - Körperform Am Beispiel der längs angeströmten ebenen Platte (Abb. 4-7) wird deutlich, dass der Umschlag erst nach einer bestimmten Anlaufstrecke xkrit erfolgt. Die mit dieser Länge gebildete Reynolds-Zahl, wird als kritische Reynolds-Zahl bezeichnet und liegt bei der ebenen Platte ungefähr bei ∙ 3,2 ∙ 10 Bei sehr großen Reynolds-Zahlen beziehungsweise sehr turbulenter Anströmung kann die laminare Anlaufstrecke allerdings vollständig entfallen und die Strömung ist über die gesamte Körperoberfläche turbulent. 116 4. Strömung von Fluiden Erzwungene Transition Bei sehr geringen Geschwindigkeiten beziehungsweise sehr kleinen Bauteilabmessungen und damit sehr kleinen Reynolds-Zahlen, besteht die Möglichkeit, dass die kritische Reynolds-Zahl erst gar nicht erreicht wird und die Grenzschicht bewahrt ihren laminaren Charakter über die gesamte Länge des angeströmten Körpers. Um nun trotzdem die Grenzschicht in einen turbulenten Strömungszustand zu versetzen ist es erforderlich der Strömung, im wahrsten Sinn des Wortes „ein Bein zu stellen“. Mit Hilfe einer künstlich aufgebrachten Rauigkeit (Stolperdraht) lässt sich der Umschlag vom laminaren in den turbulenten Zustand erzwingen. Aber warum sollte man so etwas tun? Wie Sie aus Abb. 4-9 und Abb. 4-10 sehen können, hat eine laminare Grenzschicht immer einen kleineren Reibungsbeiwert als eine turbulente Grenzschicht und der angeströmte Körper hat dadurch bei laminarer Anströmung einen geringeren Reibungswiderstand als mit einer turbulenten Grenzschicht. Das klingt doch erstmal sehr schön. Doch welches Interesse sollte jemand an einem erhöhten Reibungswiderstand haben? Nun die Sache hat mehrere Gründe. Im nächsten Kapitel (Widerstand von Körpern) werden Sie sehen, dass der Gesamtwiderstand von angeströmten Körpern sich nicht nur aus dem Reibungswiderstand sondern noch aus einer ganzen Reihe von weiteren Anteilen zusammensetzt. Ein wesentlicher Beitrag liefert beispielsweise der Druck- oder Formwiderstand, der sich infolge der Grenzschichtablösung ergibt. In Abhängigkeit von der Körperform kann dieser Druckwiderstand um einige Größenordnungen größer sein als der Reibungswiderstand. Die Größe des Druckwiderstands hängt direkt von der Größe des Ablösegebiets im Nachlauf des angeströmten Körpers ab. Das heißt je kleiner das Ablösegebiet ist, desto geringer fällt der Druckwiderstand aus. Eine laminare Grenzschicht mit vergleichsweise geringer kinetischer Energie, reagiert im Vergleich zu einer turbulenten Grenzschicht wesentlich anfälliger auf Störungen und löst daher viel schneller von der Körperoberfläche ab als eine turbulente Grenzschicht. Durch frühes Ablösen entsteht aber ein größeres Totwassergebiet als durch eine weiter stromabwärts entstehende Ablösung. Das ist beispielsweise der Grund, warum Golfbälle mit Dellen versehen sind. Diese wirken als „Stolperdraht“ und erzwingen eine turbulente Grenzschicht, die erst sehr spät ablöst und dadurch nur ein kleines Totwassergebiet und damit einen sehr kleinen Druckwiderstand erzeugt. In der Flugzeugtechnik finden sich einige weitere Anwendungen der erzwungenen Transition. Wie Sie am Beispiel des Golfballes gesehen haben, folgt eine turbulente Grenzschicht wesentlich länger der Körperkontur als eine laminare Grenzschicht. Gerade bei Segelflugzeugen versucht man zur Widerstandsminimierung eine möglichst laminare Strömung zu gewährleisten. Die Tragflügel sind aus diesem Grund mit sogenannten Laminarprofilen versehen. Solange Sie nur gerade aus fliegen ist die Welt, zumindest was diesen Punkt angeht, noch in Ordnung. Wie Sie aus Abb. 4-13 ersehen können, treten die Probleme erst dann auf, wenn Sie eine Steuerfläche, beispielsweise ein Seitenruder, Höhenruder oder ein Querruder betätigen. Bei vollständig laminarer Umströmung, kann die Grenzschicht dem ausgeschlagenen Ruder nicht mehr folgen und löst ab (Abb. 4-13b). Damit haben Sie gleichzeitig zwei Probleme erzeugt. Das erste besteht in der starken Widerstandserhöhung infolge des großen Ablösegebietes, das sich an dem Ruder bildet. Das ist zwar unschön, aber noch nicht wirklich gefährlich. Wirklich problematisch gestaltet sich der zweite Effekt. Dadurch, dass sich die Strömung an der Steuerfläche ab117 4 Strömung von Fluiden gelöst hat, bewegt sich das Ruder in einem Totwassergebiet. Wie der Name bereits erahnen lässt, wird dadurch die Ruderwirksamkeit stark reduziert beziehungsweise verschwindet vollständig. Totwassergebiet laminare Grenzschicht laminare Grenzschicht Zackenband laminare Grenzschicht turbulente Grenzschicht Abb. 4-13: Umströmung eines Ruders a) ohne Zackenband b) mit Ausschlag, ohne Zackenband c) mit Ausschlag, mit Zackenband Eine deutliche Verbesserung ergibt sich, wenn Sie die Grenzschicht kurz vor Erreichen des Ruders durch eine Stolperstelle in einen turbulenten Zustand zwingen. Bei Segelflugzeugen geschieht das mittels Zackenbändern, die kurz vor der Ruderachse aufgeklebt werden (Abb. 4-14). Die turbulente Grenzschicht hat zwar einen etwas höheren Reibungswiderstand als die laminare Grenzschicht, aber dafür folgt die Strömung deutlich besser der Kontur des Ruders und löst nicht ab (Abb. 4-13c). Damit haben Sie zwei Vorteile erreicht. Es erfolgt kein starker Anstieg des Druckwiderstands und, was wesentlich wichtiger ist, Sie erhalten die Ruderwirksamkeit aufrecht und damit die Fähigkeit das Flugzeug zu steuern. Zackenband Abb. 4-14: Zackenband am Seitenleitwerk eines Segelflugzeugs (DG303) Einen weiteren Anwendungsbereich der erzwungenen Transition finden Sie bei der Windkanalsimulation. Sofern Sie bei Ihrem Experiment lediglich das Modell maßstäblich verkleinern, wird aus der Definition der Reynolds-Zahl Re = clref/ sofort ersichtlich, dass die Reynolds-Zahl mit dem Modellmaßstab sinkt, da die verwendete Bezugslänge lref mit dem Modellmaßstab linear verkleinert wird. Wird das Ex118 4. Strömung von Fluiden periment bei gleicher Geschwindigkeit in dem gleichen Medium und bei der gleichen Temperatur durchgeführt wie am Original, so liegt am Model eine um den Modellmaßstab zu kleine Reynolds-Zahl an. Übung 4-4 Während Sie noch voller Besitzerstolz Ihr neues Fahrzeug betrachten, überlegen Sie sich angesichts Ihrer durch den Neuerwerb entstandenen knappen Kassenlage, ob sich der Kraftstoffverbrauch durch eine polierte Lackoberfläche senken lässt. Sie erinnern sich daran, dass ein Körper mit einer laminaren Grenzschicht einen deutlich geringeren Reibungswiderstand aufweist als mit einer turbulenten Grenzschicht und untersuchen die Verhältnisse auf der Kühlerhaube. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Über den gesamten Fahrzyklus sind Sie mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von c = 60 km/h unterwegs. Dabei bewegen Sie sich durch eine vollständig ruhende Luftmasse, in der die Standardbedingungen auf Meeresniveau herrschen. Also T = 15°C, = 1,225 kg/m3 und = 1,46210-5 m2/s. Die kritische Reynolds-Zahl für den Umschlag von laminar zu turbulent schätzen Sie mit Rekrit = 3,2105 ab. Die Oberfläche kann über die gesamte Lauflänge als hydraulisch glatt betrachtet werden. 1. Berechnen Sie die laminare Anlaufstrecke der Strömung auf der Kühlerhaube. 2. Berechnen Sie die Dicke S der laminaren Grenzschicht und den lokalen Reibungsbeiwert cR am Transitionspunkt, also bei xkrit. 3. Berechnen Sie die Dicke S der turbulenten Grenzschicht und den lokalen Reibungsbeiwert cR an einer Stelle, die einen Meter stromabwärts von der Vorderkante der Motorhaube, also kurz vor der Windschutzscheibe liegt. 4. Berechnen Sie den gesamten Reibungsbeiwert der Motorhaube, wenn deren Gesamtlänge l = 1 m beträgt. 119 4 Strömung von Fluiden 4.6 Widerstand Zum besseren Verständnis der physikalischen Prinzipien, die zum Widerstand umströmter Körper führen, lohnt sich wieder ein Ausflug in die Welt der Potentialströmungen auf dem noch zu entdeckenden reibungsfreien Planeten. In Abb. 4-15 ist ein zylindrischer Körper skizziert, der von der Seite angeströmt wird. Im reibungsfreien Fall folgt die Strömung jeder beliebigen Kontur ohne sich von der Körperoberfläche abzulösen. Dadurch ergibt sich eine Stromlinienverteilung um den Zylinder, die in Strömungsrichtung als auch quer zur Strömungsrichtung vollkommen symmetrisch ist. Es bildet sich sowohl auf der Zuströmseite als auch auf der Abströmseite jeweils ein Staupunkt. Aufgrund der Symmetrie der Stromlinien an der Ober- und Unterseite, als auch an der Zu- und Abströmseite sind die Druckverhältnisse ebenfalls symmetrisch. Das bedeutet, dass sich die Druckkräfte in Strömungsrichtung als auch senkrecht zur Strömungsrichtung gegenseitig kompensieren. Der in Abb. 4-15a dargestellte Zylinder würde keinerlei Kräfte, also auch keinen Widerstand erfahren. Würden Sie bei dem Zylinder die untere Hälfte wegschneiden, dann hätte dieser immer noch keinen Widerstand in Strömungsrichtung. Jedoch würde auf der Unterseite die Querkraft F2 entfallen, da dort die Stromlinien parallel verlaufen und keinerlei Druck- oder Geschwindigkeitsunterschiede auftreten. Auf den Zylinder wirkt somit nur noch die Querkraft F1. Der Umstand, dass in einer zweidimensionalen, reibungsfreien Strömung ein asymmetrischer Körper oder ein symmetrischer Körper, beispielsweise eine ebene Platte, der unter einem Anströmwinkel ungleich null angeströmt wird, eine Querkraft senkrecht zur Anströmrichtung aber keinen Widerstand erfährt, wird als d’Alembert33sches Paradoxon bezeichnet. F1 F1 Totwassergebiet Staupunkt 1 Staupunkt 2 Staupunkt 1 W F2 F2 Abb. 4-15: Umströmung eines zylindrischen Körpers a) reibungsfrei b) reibungsbehaftet Da das Leben weitgehend in der realen, reibungsbehafteten Welt stattfindet, werden die Strömungsverhältnisse um den quer angeströmten Zylinder durch Abb. 4-15b etwas realistischer beschrieben. Der Zylinder erfährt zwar immer noch keine Querkraft, jedoch eine Kraft in Strömungsrichtung. Das bedeutet, die physikalische Ursache für diese Widerstandskraft liegt in der Reibung zwischen Fluid und Körperoberfläche. Diesen Widerstand können Sie beispielsweise in einem Strömungskanal, das kann ein Wasserkanal oder auch ein Windkanal sein, über eine Waage messen. Das wäre dann der sogenannte Gesamtwiderstand des angeströmten Körpers. Im Folgenden werden wir untersuchen, in welche unterschiedlichen Anteile sich der Gesamtwiderstand aufteilen lässt. –––––––––– 33 120 d’Alembert, Jean-Baptiste le Rond (16.11.1717 – 29.10.1783), französischer Philosoph, Mathematiker und Physiker 4. Strömung von Fluiden 4.6.1 Reibungswiderstand Dieser Widerstandskomponente können Sie einfach nicht entrinnen. Alle weiteren Widerstandsanteile können, müssen aber nicht auftreten. Wie Sie im letzten Kapitel (Grenzschichttheorie) gesehen haben, wird die Strömung an der Körperoberfläche auf die Geschwindigkeit null abgebremst, wodurch eine Wandschubspannung entsteht. Die Integration dieser Wandschubspannung über die Oberfläche ergibt den Reibungswiderstand WR. ∙ 2 ∙ ∙ mit cR [-] dimensionsloser Beiwert des Reibungswiderstands [kg/m³] Dichte c∞ [m/s] Anströmgeschwindigkeit O [m²] benetzte Oberfläche Bei schlanken, zweidimensionalen Körpern, die unter einem moderaten Anströmwinkel angeströmt werden, wird die Strömung an der Körperoberfläche über den gesamten Verlauf anliegen und es treten keine Ablösungseffekte auf. Damit besteht der Gesamtwiderstand Wges ausschließlich aus dem Reibungswiderstand WR. Es gilt also Zur Berechnung des Reibungswiderstands können Sie in erster Näherung immer die Reibungsbeiwerte der ebenen Platte verwenden, die Sie bereits im Kapitel 4.5.3 Grundlagen der Prandtlschen Grenzschichttheorie kennengelernt haben. 4.6.2 Druckwiderstand Wird die Strömung genötigt größere Richtungsänderungen zu vollziehen, so wird diese eine eher geringe Neigung zeigen der Körperkontur zu folgen, löst von der Körperoberfläche ab und bildet auf der Abströmseite ein Totwassergebiet. Auch wenn es etwas befremdlich klingen mag, selbst wenn es sich um gasförmige Fluide handelt, spricht man bei diesem Strömungsbereich von Totwasser Damit tritt zusätzlich zum Reibungswiderstand eine weitere Widerstandskomponente auf, der sogenannte Druckwiderstand oder auch Formwiderstand WD. Die Ursache für die Entstehung dieser Widerstandskomponente können Sie aus Abb. 4-15 ersehen. Während im reibungsfreien Fall die Strömung der Kontur des Zylinders klaglos folgt und auf der Zuström- als auch auf der Abströmseite jeweils einen Staupunkt bildet (Abb. 4-15a), liegen die Verhältnisse im reibungsbehafteten Fall (Abb. 4-15b) auf der Abströmseite völlig anders. Um wie im reibungsfreien Fall der Kontur vollständig folgen zu können, müsste die Strömung auf der Abströmseite gegen einen Druckanstieg, der sich durch die Geschwindigkeitsreduzierung ergibt, ankämpfen. Den Zusammenhang zwischen statischem Druck und Geschwindigkeit können Sie ohne jegliche Berechnung direkt aus der Lage der Stromlinien erkennen. Rücken die Stromlinien enger zusammen (= kleinerer Strömungsquerschnitt) muss die Geschwindigkeit ansteigen. Steigt die Geschwindigkeit, muss der statische Druck sinken. Vergrößert sich der Abstand der Stromlinien, wie beispielswei121 4 Strömung von Fluiden se im Abströmbereich des Zylinders, so sinkt die Geschwindigkeit und der statische Druck nimmt wieder zu. Diesen Zusammenhang können Sie mit den beiden Basisgleichungen der Strömungsmechanik, der Kontinuitäts- und der BernoulliGleichung (Kapitel 4.2 und 4.3) sehr einfach nachvollziehen. So gesehen verhält sich die Strömung völlig menschlich, wählt den Weg des geringsten Widerstands und weicht in Richtung des niedrigeren Drucks nach außen aus. Nun bildet sich an der Ablösestelle jedoch kein Vakuum, sondern ein Rückströmgebiet (siehe Abb. 4-11), das sich dann zu dem stark verwirbelten Totwassergebiet entwickelt. Der statische Druck in diesem Bereich ist jedoch deutlich geringer, als der statische Druck auf der Zuströmseite. Diese Druckdifferenz zwischen Zuström- und Abströmseite ergibt den Druckwiderstand WD. Die Stärke des Druckwiderstands hängt direkt von der Größe des Totwassergebiets ab, welches wiederum von der Form des angeströmten Körpers abhängt. Daher werden Sie in der Literatur für diesen Widerstandsanteil auch den Begriff Formwiderstand finden. ∙ 2 ∙ ∙ mit cD [-] dimensionsloser Beiwert des Druckwiderstands [kg/m³] Dichte c∞ [m/s] Anströmgeschwindigkeit Sref [m²] Referenzfläche34 Bei einer Fahrt auf der Autobahn können Sie diesen Zusammenhang, zumindest bei leichtem Schneetreiben oder Nieselregen, sehr schön nachvollziehen. Sofern Sie mit einem aerodynamisch günstig geformten Sportwagen unterwegs sind, sind die Wirbelschleppen, die Sie hinter sich her ziehen deutlich geringer, als wenn Sie mit einem Familien-Van oder einem Transporter, beides Fahrzeuge mit einer großen, flachen Rückseite, fahren. Die Stärke dieser Wirbelschleppen erkennen Sie direkt an der Menge des Regenwassers, das Ihnen, beispielsweise beim Überholen eines LKWs (mit einer flachen Rückseite) auf Ihrer Windschutzscheibe aufschlägt. Dass diese Wirbelschleppen zum Widerstand beitragen können Sie sich an einer einfachen Energiebilanz verdeutlichen. Bevor Sie mit Ihrem Fahrzeug ein beliebiges Kontrollvolumen auf der Autobahn durchquert haben, befand sich (idealerweise) die darin befindliche Luft in vollkommener Ruhe. Nachdem Sie durchgefahren sind, befinden sich in diesem Kontrollvolumen Ihre Nachlaufwirbel. Luft wurde also durch Ihr Fahrzeug aus der Ruhelage in eine rotatorische Bewegung (= Wirbel) beschleunigt. Entsprechend dem Energieerhaltungssatz, den Sie auch umgangssprachlich durch die prägnante amerikanische Formulierung „there is no free lunch“ ersetzen können, muss diese Energie, die in den Wirbeln steckt von irgendwoher bereitgestellt werden. Nun, Sie werden es vermuten: Sie setzen einen beträchtlichen Anteil Ihres teuer erworbenen Kraftstoffs nicht für die Vortriebsleistung Ihres Fahrzeugs ein, sondern Sie verwirbeln damit die Luft stromabwärts Ihres –––––––––– 34 122 Referenzfläche: Diese Fläche ist für (fast) alle Komponenten des Widerstands beliebig wählbar, da zur Berechnung des Widerstands immer das Produkt aus der Referenzfläche und dem dimensionslosen Beiwert verwendet wird. Üblich ist jedoch die Verwendung der in Strömungsrichtung projizierten Querschnittsfläche. Einzige Ausnahme bildet der Reibungswiderstand. Hier muss als Referenzfläche immer die benetzte Oberfläche verwendet werden. 4. Strömung von Fluiden Autos. Da Sie als Ingenieur einen stark ausgeprägten Sinn für optimiertes Handeln haben, werden Sie aufbauend auf Ihren strömungsmechanischen Kenntnissen beim nächsten Autokauf natürlich einen Fahrzeugtyp wählen, der aufgrund seiner äußeren Formgebung nur ein Minimum an Wirbelschleppen erzeugt. Aus diesen, natürlich rein ökologischen Gründen, wird die Kaufentscheidung selbstverständlich eher zugunsten eines Porsches, als für einen Familien-Van fallen. Da die Wirbelstärke und damit die Größe des Druck- oder Formwiderstands direkt von der Größe des Ablösegebiets abhängt, empfiehlt es sich dieses Ablösegebiet möglichst zu minimieren. Konstruktiv bieten sich hier mehrere Möglichkeiten an. Formgebung In welcher Weise die Formgebung den Druckwiderstand und damit auch den Gesamtwiderstand beeinflusst ist anhand der in Tab. 4-5 dargestellten rotationssymmetrischer Grundkörper ersichtlich. Alle Körper haben die gleich große Basisfläche. Rotationssymmetrische Körper Beiwert des Gesamtwiderstands Ebene Kreisscheibe 1,11 Kegel mit geschlossenem Boden, 0,51 60°-Öffnungswinkel Kegel mit geschlossenem Boden, 0,34 30°-Öffnungswinkel Halbkugel mit offenem Boden 1,33 (Anemometer) Halbkugel mit offenem Boden 0,34 (Anemometer) Stromlinienkörper, Tropfenform 0,06 Tab. 4-5: Widerstandsbeiwerte rotationssymmetrischer Körper, (Truckenbrodt 1983) Bei der Umströmung der Kreisscheibe wird die Strömung zur maximalen Umlenkung gezwungen. Auf der gesamten Rückseite (= Abströmseite) bildet sich ein Ablösegebiet. Der Gesamtwiderstand setzt sich zusammen aus dem Reibungswiderstand der angeströmten Vorderseite und dem Druckwiderstand infolge des Ablösegebiets auf der Rückseite. Völlig anders liegen die Verhältnisse bei der Um123 4 Strömung von Fluiden strömung des sehr günstig geformten Stromlinienkörpers. Hier gelingt es der Strömung vollständig der Kontur zu folgen und es bildet sich überhaupt kein Ablösegebiet. In diesem Fall besteht der Gesamtwiderstand lediglich aus dem Reibungswiderstand. Die Größenverhältnisse dieser beiden Widerstandsanteile können Sie direkt anhand der Beiwerte des Gesamtwiderstands erkennen. Bei gleich großer projizierter Stirnfläche weist der Stromlinienkörper lediglich 5,4% des Widerstands der quer angeströmten Platte auf. Sie sehen, es lohnt sich also immer solche Ablösegebiete zu vermeiden oder zumindest möglichst klein zu halten. Grenzschichtbeeinflussung Neben der Formgebung besteht die Möglichkeit ein Ablösen der Strömung zu vermeiden auch in einer aktiven Grenzschichtbeeinflussung. Aufgrund der höheren kinetischen Energie wird eine turbulente Grenzschicht immer wesentlich länger einer gekrümmten Kontur folgen als dies eine laminare Grenzschicht vermag. Da der Druckwiderstand infolge Ablösung in der Regel den größten Beitrag zum Gesamtwiderstand liefert, kann die größere Reibung der turbulenten Grenzschicht leicht kompensiert werden. Beispiele dafür finden Sie unter anderem in der Luftfahrt bei Segelflugzeugen. Zur Minimierung des Reibungswiderstands werden Laminarprofile verwendet. Um ein Ablösen der Strömung an den Ruderflächen zu vermeiden wird die Strömung durch eine Erhöhung der Rauigkeit (Zackenband) absichtlich vor der Scharnierachse in einen turbulenten Zustand gezwungen (Abb. 4-13 und Abb. 4-14). Einen ähnlichen Effekt erreichen Sie auch durch Ausblasen kurz vor der Scharnierlinie, wie in Abb. 4-16 zu sehen ist. Ansaughutze Ausblasbohrungen Abb. 4-16: Ansaughutze und Ausblasbohrungen vor dem Querruder eines Segelflugzeugs (DG 303) Weitere Möglichkeiten zur Grenzschichtbeeinflussung bestehen darin die Grenzschicht abzusaugen oder zusätzliche kinetische Energie zuzuführen. Wenn Sie bei Ihrem nächsten Flug in den Urlaub einen Fensterplatz haben, sollten Sie im Landeanflug die Flügelhinterkante beobachten. Zur Auftriebserhöhung bei reduzierter Geschwindigkeit werden bei Verkehrsflugzeugen mehrteilige Landeklappen ausge124 4. Strömung von Fluiden fahren. Die Spalte quer zur Strömungsrichtung, die sich zwischen den einzelnen Klappen auftun sind nicht das Ergebnis schlampiger Fertigung sondern dienen dazu einen Teil der Strömung von der Flügelunterseite mit relativ hoher kinetischer Energie auf die Klappenoberseite zu leiten. Dadurch wird die Strömungsablösung auf der Klappenoberseite verhindert oder zumindest stark verzögert. Die Klappe trägt dadurch erheblich zur Auftriebserhöhung bei und der Druckwiderstand wird verringert. Eine einfache, analytische Berechnung des Druckwiderstands ist eher schwierig. Messtechnisch können Sie diesen Widerstandsanteil jedoch sehr einfach über eine Druckinstrumentierung im Ablösebereich des Fahrzeugs ermitteln. Aus der Integration der Druckverteilung lässt sich der Druckwiderstand direkt bestimmen. 4.6.3 Induzierter Widerstand Dieser Widerstandskomponente werden Sie auch in der idealen, reibungsfreien Welt begegnen. Auch wenn dort ein asymmetrischer Körper oder ein symmetrischer Körper, der asymmetrisch angeströmt wird, zwar eine Querkraft senkrecht zur Anströmrichtung aber keinen Widerstand parallel zur Anströmrichtung erzeugt, so gilt diese schöne Betrachtung lediglich für zweidimensionale Körper (d’Alembertsches Paradoxon). Zweidimensional bedeutet, dass sich der Körper quer zur Strömungsrichtung unendlich lange ausdehnt. Ein Tragflügel wäre beispielsweise unendlich lang und die Strömungsverhältnisse würden sich quer zur Anströmrichtung nicht ändern. Völlig anders sehen die Verhältnisse bei einem dreidimensionalen Körper aus. Aufgrund der endlichen Spannweite eines Tragflügels, man spricht hier von der Streckung eines Flügels, mit mit b [m] Spannweite S [m²] Flügelfläche wird sich der Überdruck an der Unterseite und der Unterdruck an der Oberseite am Tragflächenende ausgleichen. Es stellt sich also eine Ausgleichsströmung ein, die an der Unterseite nach außen und an der Oberseite nach innen gerichtet ist. Wird diese Ausgleichströmung der freien Anströmung überlagert, so werden die Stromlinien an der Unterseite nach außen und die Stromlinien an der Oberseite nach innen abgelenkt. Dies führt dazu, dass sich an den Tragflächenenden Wirbel ausbilden, Abb. 4-17. Diese Randwirbel sind die Ursache für den sogenannten induzierten Widerstand Wind. , ∙ 2 ∙ ∙ mit CW,ind [-] Beiwert des induzierten Widerstands [kg/m³] Dichte c∞ [m/s] Anströmgeschwindigkeit 125 4 Strömung von Fluiden Sref [m²] Referenzfläche35 ----------------------- ----------------------- ++++++++++++++++ ++++++++++++++++ b S Abb. 4-17: Entstehung der Randwirbel am Tragflügel Der dimensionslose Beiwert des induzierten Widerstands CW,ind lässt sich sehr leicht berechnen über ∙ , ∙ mit e [-] Abminderungsfaktor bei nicht-elliptischer Auftriebsverteilung36 (e > 1) ∙ ∙ [-] dimensionsloser Beiwert des Auftriebs A [-] Streckung –––––––––– 35 Referenzfläche: Der Induzierte Widerstand ist insbesondere in der Flugzeugaerodynamik relevant. Hier gilt ausnahmsweise eine gegenüber der Strömungsmechanik andere Definition der Referenzfläche. In der Flugzeugaerodynamik entspricht die Referenzfläche Sref der Fläche des von oben projizierten Tragflügels, wobei die Fläche, die den Rumpf durchdringt ebenfalls berücksichtigt wird. 36 Elliptische Auftriebsverteilung: In der Flugzeugaerodynamik stellt die elliptische Auftriebsverteilung (e = 1) die optimale und zugleich widerstandsminimale Verteilung dar. Der induzierte Widerstand nimmt in diesem Fall ein Minimum ein. Für eine erste Abschätzung setzen Sie einfach e = 1. 126 4. Strömung von Fluiden Aus der Bestimmungsgleichung für den dimensionslosen Beiwert des induzierten Widerstands und damit auch für die Stärke der erzeugten Wirbelschleppen wird deutlich, dass dieser von zwei Parametern abhängt. Dem Auftrieb A beziehungsweise dem dimensionslosen Beiwert des Auftrieb CA und der Streckung . Dieser Umstand hat gravierende Folgen auf die Staffelung des Flugverkehrs, insbesondere in Bereichen mit einer hohen Verkehrsdichte, also beispielsweise an Flughäfen. Die Stärke der Wirbelschleppen ist eine direkte Funktion des erforderlichen Auftriebs, den ein Flugzeug erzeugt. Dieser wiederum entspricht genau dem Gewicht des Flugzeugs. Je schwerer das Flugzeug, desto stärker die Wirbelschleppen. Nun möchten Sie nicht unbedingt mit Ihrem Kleinflugzeug durch die Wirbelschleppen hindurchfliegen, die ein gerade gelandeter oder startender Airbus A380 erzeugt. In Abhängigkeit von der Flugzeuggröße wurden daher Mindestabstände definiert, die bei An- und Abflug einzuhalten sind. vorausfliegendes Flugzeug räumlicher Abstand [NM] zeitlicher Abstand [min] light 3 n/a Cessna 152 Cessna 152 medium 3 n/a Airbus A320 Cessna 152 heavy 3 n/a Boeing 747 Cessna 152 M medium light 5 3 Cessna 152 Airbus A320 (7 – 136t MTOW) medium 3 n/a Airbus A320 Airbus A320 heavy 3 2 Boeing 747 Airbus A320 light 6 3 Cessna 152 Boeing 747 (über 136t MTOW) medium 5 2 Airbus A320 Boeing 747 heavy 4 n/a Boeing 747 Boeing 747 J light 8 3 Cessna 152 Airbus A380 medium 5 3 Airbus A320 Airbus A380 heavy 4 2 Boeing 747 Airbus A380 super 4 n/a Airbus A380 Airbus A380 L light (bis 7t MTOW) H heavy super (nur Airbus A380) folgendes Flugzeug Beispiel Tab. 4-6: Abstände bei An- und Abflug für unterschiedliche Wirbelkategorien (NM: nautische Meile, 1 NM = 1,852 km = 1 Bogenminute am Äquator, MTOW: Maximales Abfluggewicht, engl.: maximum take-off weight, n/a: nicht anwendbar, engl.: not applicable) (ICAO DOC 8168 OPS/611) Diese Randwirbel können Sie bei regnerischem Wetter an einem Flugplatz sehr schön beobachten. Mit einer kleinen Hilfestellung, wie beispielsweise etwas Farbpulver am Boden gelingt das natürlich noch besser, Abb. 4-18. 127 4 Strömung von Fluiden Abb. 4-18: Randwirbel eines Flugzeugs (NASA Photo ID: EL-1996-00130) Sollten Sie einmal eine Flugshow besuchen, bei der auch Kampflugzeuge vertreten sind, so werden Sie die Randwirbel ebenfalls gut beobachten können. Bei engen Kurven ergibt sich für das Flugzeug in Abhängigkeit vom Kurvenradius ein deutlich höheres Lastvielfaches als bei horizontalen Geradeausflug. Dieses Lastvielfache muss durch einen entsprechend höheren Auftrieb kompensiert werden. Entsprechend der Bestimmungsgleichung für den Beiwert des induzierten Widerstands steigt dadurch auch der induzierte Widerstand. Die Stärke der Wirbelschleppen erhöht sich also quadratisch mit dem Auftrieb. Mit zunehmender Stärke des Wirbels sinkt aber der Druck im Wirbelkern und infolge des absinkenden Drucks kondensiert die in der Luft enthaltende Feuchte aus. Diese auskondensierte Luftfeuchte ist sehr gut mit bloßem Auge als Nebel-Faden, der an den Tragflächenenden hängt wahrzunehmen. Das alles ist in erster Linie erstmal recht unerfreulich, da die Wirbelschleppen zum einen ein Gefährdungspotential darstellen und zum anderen einen erheblichen Beitrag zum Gesamtwiderstand liefern. Widerstand entspricht immer, und zwar nicht nur in der Luftfahrt, einen Energiebetrag, den Sie durch zusätzlichen Schub, also Kerosin (= Kosten) kompensieren müssen. Soviel zum negativen Aspekt dieser Widerstandskomponente. Wie so häufig im Leben lässt sich aber auch hier keine einfache schwarz-weiß-Betrachtung durchführen sondern es gibt auch positive Aspekte. Im Rahmen eines NASA-Projekts zur Untersuchung von autonomen Flugführungssystemen konnte gezeigt werden, dass Flugzeuge, die in einem engen Verband fliegen einen deutlich geringeren Gesamtwiderstand aufweisen, als Flugzeuge, die weiter versetzt auseinander fliegen. Die Ursache der Widerstandsreduzierung liegt darin, dass der Tragflügel der nachfolgenden Maschine durch den Randwirbel der vorausfliegenden Führungsmaschine eine zusätzliche Anströmgeschwindigkeit an der Flügelunterseite erfährt. Dadurch erhöht sich der effektive 128 4. Strömung von Fluiden Anströmwinkel am Flügel und der Widerstand sinkt. Die nachfolgende Maschine kann also mit einem kleineren Anstellwinkel (= kleinerer Widerstand) fliegen und erhöht dadurch seine Reichweite. Abb. 4-19: Formationsflug zweier F-18 mit Rauchdarstellung der Randwirbel (NASA Photo ID: EC01-0328-4) Das alles war zwar bereits weitgehend bekannt, doch das wirklich Verblüffende an diesen Flugversuchen war die Auswirkung auf die Tierwelt, insbesondere auf das Verhalten von Zugvögeln. Flogen Zugvögel bis zur Veröffentlich dieser Ergebnisse mehr oder weniger unkoordiniert durch den Luftraum, so herrscht seit dem 9. No129 4 Strömung von Fluiden vember 2001 endlich Ordnung am Himmel. Seit diesem Zeitpunkt können Sie Zugvögel beobachten, die sich in einer schönen, geordneten V-Formation bewegen um genau diesen Effekt auszunutzen. Notorische Nörgler und Besserwisser behaupten allerdings, dass Vögel diese Methode zur Widerstandsreduzierung und damit zur Reichweitenerhöhung schon lange vor dem Menschen gekannt hätten. 4.6.4 Interferenzwiderstand Diese Widerstandskomponente lässt sich nicht eindeutig positiv oder negativ bewerten. Die Kombination der einzelnen Segmente zu einem Gesamtkunstwerk, also beispielsweise das Zusammenfügen von Rumpf, Tragflächen, Leitwerken und Triebwerken zu einem Flugzeug bedeutet immer, dass der Widerstand des Gesamtflugzeugs nicht identisch ist mit der Summe der Teilwiderstände, die Sie für die einzelnen Komponenten ermittelt haben. Dieser kann größer aber auch deutlich kleiner sein als bei der Summe der Komponenten. Die Differenz wird als Interferenzwiderstand Wint bezeichnet. Die Ursache für diese Widerstandskomponente liegt einfach darin, dass sich die Strömungsverhältnisse durch die Kombination der Baugruppen gegenseitig beeinflussen. Betrachten Sie einfach die Verhältnisse an einem einzelnen, quer angeströmten Rohr und einem Rohrbündel, Abb. 4-20. Abb. 4-20: Umströmung eines Rohres a) einzelnes Rohr b) Rohrbündel Links (Abb. 4-20a) ist die Umströmung eines einzelnen Rohres dargestellt. Rechts (Abb. 4-20b) sehen Sie Umströmung eines Rohrbündels, beispielsweise in einem quer angeströmten Wärmetauscher. Die Verhältnisse auf der Zuströmseite der obersten Reihe entsprechen noch näherungsweise den Verhältnissen des einzelnen Rohres. Zwischen den Rohren bildet sich jedoch bereits eine Düsenströmung aus. Völlig anders liegen die Verhältnisse bereits bei der zweiten Rohrreihe. Erfährt das einzelne Rohr noch eine ungestörte Zuströmung, so liegen die nachfolgenden Rohre bereits vollständig im abgelösten Totwasserbereich der darüber liegenden Reihe. Das bedeutet, dass die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung bei dem Rohrbündel nur sehr wenig mit dem einzelnen Rohr gemein hat. Dadurch wird sich der Widerstand eines Rohres im Rohrbündel deutlich von dem Widerstand eines frei angeströmten einzelnen Rohres unterscheiden. 130 4. Strömung von Fluiden Die gegenseitige Beeinflussung muss sich jedoch nicht zwangsläufig widerstandserhöhend auswirken. Beispiele für die geschickte Ausnutzung des induzierten Widerstands finden Sie im Rennsport (Windschattenfahren) oder auch im täglichen Straßenverkehr bei Kolonnenfahrten von LKWs. Da im Totwassergebiet hinter der flachen Rückseite eines LKWs der Druck stark sinkt, steigt zwar für das vorausfahrende Fahrzeug der Widerstand an, das nachfolgende Fahrzeug profitiert jedoch durch den Unterdruck, da dieser den Widerstand des Folgefahrzeugs reduziert. In geringem Maße erfährt sogar das erste Fahrzeug in der Kolonne eine Widerstandsreduzierung, sofern das folgende Fahrzeug dicht genug auffährt. Dadurch reduziert sich die Größe des Totwassergebiets im Nachlauf des ersten Fahrzeugs und dessen Widerstand sinkt ebenfalls. 4.6.5 Wellenwiderstand Dieser Komponente des Widerstands werden Sie ausschließlich bei Geschwindigkeiten im Überschallbereich begegnen. Da es sich dabei um kompressible Strömungen handelt, werden wir dieses Thema in der Vorlesung Aerodynamik behandeln. 4.6.6 Gesamtwiderstand und Widerstandsbeiwert Der Gesamtwiderstand Wges eines angeströmten Körpers lässt sich also aus der Summe der Einzelwiderstände zusammensetzen: Der Reibungswiderstand wird immer auftreten, die restlichen Teilwiderstände können, müssen aber nicht auftreten. Analytisch lassen sich Reibungswiderstand WR, induzierter Widerstand Wind und Wellenwiderstand WWelle sehr leicht bestimmen. Messtechnisch können Sie Druckwiderstand WD und Interferenzwiderstand Wint gut erfassen. Bei dem Restwiderstand WRest ist Ihr kalibrierter Ingenieursdaumen gefragt. Mit etwas Übung können Sie zumindest die Größenordnung des Zusatzwiderstands von Bauteilen, wie beispielsweise Antennen, schlecht versenkten Nieten oder nicht fluchtende Oberflächenpanels in der Verkleidung abschätzen. Aus diesem Gesamtwiderstand Wges, den Sie beispielsweise über eine Windkanalwaage messen können, lässt sich wieder ein dimensionsloser Beiwert des Gesamtwiderstands CW bestimmen. 2 ∙ ∙ mit Wges [N] Gesamtwiderstand [kg/m³] Dichte c∞ [m/s] Geschwindigkeit Sref [m²] Referenzfläche Auch hier ist die Referenzfläche Sref beliebig frei wählbar, da zur Berechnung des Widerstands immer das Produkt aus dem dimensionslosen Beiwert und der Referenzfläche verwendet wird. Allerdings hat es sich insbesondere in der Fahrzeugae131 4 Strömung von Fluiden rodynamik eingebürgert die in Strömungsrichtung projizierte Fläche zu verwenden. Die alleinige Angabe eines CW-Wertes ohne die zugrunde gelegte Referenzfläche zu benennen, wie beispielsweise in der KFZ-Werbung, ist also völlig sinnlos. Übung 4-5 Sie kommandieren das in Abb. 4-21 skizzierte U-Boot. Das Boot besteht aus einem zylindrischen Rumpf mit jeweils einem Halbkugelsegment an Bug und Heck. Der Turm hat den Querschnitt einer Ellipse und wird an der Oberseite durch eine ebene Fläche abgeschlossen. Dabei werden folgende Annahmen getroffen: L = 100m, R = 5m, a = 5m, b = 2m, h = 4m, H = 200m, = 1030 kg/m³, = 1,410-6 m²/s In einer Tauchtiefe von H = 200m macht das Boot eine Fahrt von c = 10Knoten y h H x 2b 2a R L R Abb. 4-21: U-Boot auf Tauchfahrt 132 1. Berechnen Sie die Masse m des Bootes bei stationärer Tauchfahrt. 2. Berechnen Sie die Lauflänge lkrit der laminaren Grenzschicht bis zur Transition sowie die Dicke der laminaren Grenzschicht lam an der Transitionsstelle, wenn die kritische Reynolds-Zahl Rekrit = 3,5105 beträgt. 3. Beurteilen Sie die Bedeutung der laminaren Anlaufstrecke am Rumpf für den Gesamtwiderstand. 4. Berechnen Sie den Reibungswiderstand WR,Turm des Turms unter der Annahme, dass die Strömung am Turm nicht ablöst. 4. Strömung von Fluiden 5. Berechnen Sie den Reibungswiderstand WR,ges des gesamten Bootes unter der Annahme, dass der gesamte Rumpf turbulent angeströmt wird. 6. Berechnen Sie den dimensionslosen Beiwert des Druckwiderstand CD des Bootes, wenn der Gesamtwiderstand sich ausschließlich aus dem Reibungswiderstand und dem Druckwiderstand zusammensetzt und bei einer Geschwindigkeit von c = 10 Knoten die erforderliche Antriebsleistung P = 514,4 kW beträgt. 7. Berechnen Sie die horizontale Kraftkomponente Fx und die vertikale Kraftkomponente Fy auf das vordere halbkugelförmige Rumpfsegment infolge des hydrostatischen Drucks. 8. Wie alt ist der Kapitän? 4.7 Rohrströmungen Im folgenden Kapitel werden Sie einige Anwendungsfälle kennenlernen, die es Ihnen ermöglichen mit einem vergleichsweise geringen Aufwand die Strömungsverhältnisse, insbesondere die auftretenden Druckverluste in Rohrleitungen zu berechnen. Dies könnte hilfreich sein beispielsweise bei der Auslegung von Belüftungs- oder Klimaanlagen, Schmiersystemen und Be- oder Entwässerungssystemen. 4.7.1 Laminare Rohrströmung Beim Ausströmen eines Fluids aus einem vergleichsweise großen Behältnis in ein Rohr wird sich im Einlaufbereich zunächst ein kolbenförmiges Geschwindigkeitsprofil einstellen (Abb. 4-22). Reibungsbedingt wird die Strömung an der Rohrwand auf die Geschwindigkeit null abgebremst und es bildet sich eine parabelförmige Geschwindigkeitsverteilung c(r) quer zur Strömungsrichtung aus. In Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl können sich, ähnlich wie bei einer längs angeströmten Platte, entweder eine laminare oder eine turbulente Rohrströmung einstellen. Zu beachten ist, dass bei Rohrströmungen die Bezugslänge lref zur Berechnung der Reynolds-Zahl nicht mit der Rohrlänge, sondern mit dem Rohrinnendurchmesser d gebildet wird. ∙ Sofern sich dabei eine Reynolds-Zahl von Red < 2320 ergibt, wird sich nach Durchlaufen einer Anlaufstrecke llam das laminare Geschwindigkeitsprofil c(r) einstellen. Sofern Sie eine stationäre, inkompressible und horizontal verlaufende Strömung betrachten, können Sie das Geschwindigkeitsprofil berechnen mittels ∙ 1 mit cmittel = 1/2cmax und R = d/2. Die Länge llam der laminaren Anlaufstrecke ergibt sich näherungsweise zu 0,06 ∙ ∙ 133 4 Strömung von Fluiden c(r) cEintritt cmittel r d laminare Anlaufstrecke Abb. 4-22: Laminare Rohrströmung In der Regel ist die Geschwindigkeitsverteilung quer zur Strömungsrichtung eher von untergeordnetem Interesse. Wesentlich häufiger benötigen Sie die mittlere Geschwindigkeit cmittel zur Berechnung des Volumen- oder Massestroms. Denken Sie beispielsweise an eine Kraftstoffleitung. Hier wird Sie vor allem der Volumenstrom des Treibstoffs interessieren. Im weiteren Verlauf werden wir daher auf den Index „mittel“ bei der Geschwindigkeitsbezeichnung verzichten. In technischen Anwendungen werden Sie einer laminaren Rohrströmung eher selten begegnen. Betrachten Sie beispielsweise einen Gartenschlauch mit einem Innendurchmesser von ½-Zoll, also d = 12,7 mm. Um gerade noch eine laminare Strömung zu erreichen, dürfte die maximale Strömungsgeschwindigkeit nicht mehr als ∙ 2320 ∙ 10 0,0127 0,18 m⁄s betragen. Das wäre bestenfalls ein sanfter Nieselregen für den Gartenzwerg. 4.7.2 Turbulente Rohrströmung Liegt die Reynolds-Zahl über dem magischen Wert von 2320, so wird sich nach einer turbulenten Anlaufstrecke lturb ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil ausbilden (Abb. 4-23). Die Länge dieser turbulenten Anlaufstrecke können Sie näherungsweise über lturb = 10d berechnen. cEintritt c(r) cmittel r d turbulente Anlaufstrecke Abb. 4-23: Turbulente Rohrströmung Bei einer turbulenten Strömung werden der Hauptströmung in x-Richtung zusätzlich noch Schwankungsbewegungen in x-, y- und z-Richtung überlagert. Dies führt 134 4. Strömung von Fluiden einerseits zu einer Erhöhung des Reibungswiderstands, andererseits zu einem etwas „fülligeren“ Geschwindigkeitsprofil, das sich näherungsweise durch ∙ 1 beschreiben lässt. Die Exponenten k und n hängen von der Rauigkeit der Rohrinnenwand und der Reynolds-Zahl ab und müssen empirisch bestimmt werden. Aber auch hier gilt, dass die Beschreibung des Geschwindigkeitsprofils quer zur Hauptströmungsrichtung eher von akademischem Interesse ist. In der Regel wird die mittlere Geschwindigkeit cmittel zur Berechnung des Volumen- oder Massestroms benötigt. 4.7.3 Druckverlust bei Rohrströmungen Zur Vereinfachung der folgenden Überlegungen gehen Sie davon aus, dass eine eindimensionale Strömung vorliegt. Das heißt, alle Parameter können sich nur in Strömungsrichtung ändern. An dem horizontal verlaufenden Rohrsegment mit dem Innendurchmesser d wurden an den Stellen (1) und (2) im Abstand L jeweils eine statische Wanddruckmessstelle angebracht (Abb. 4-24). Das Rohr wird mit der Geschwindigkeit c durchströmt37. Die Druckbilanz in Strömungsrichtung von (1) nach (2) lautet somit 2 ∙ ∙ ∙ 2 ∙ ∙ ∙ ∆ , Da die Querschnitte an den beiden Messstellen (1) und (2) gleich sind, müssen auch die Geschwindigkeiten an diesen beiden Stellen identisch sein. Es gilt c1 = c2. Das Rohr befindet sich in einer horizontalen Lage, somit sind auch die beiden Höhenkoordinaten identisch, also gilt z1 = z2. damit vereinfacht sich die Bilanz zu ∆ , beziehungsweise für den in Strömungsrichtung auftretenden Druckverlust pV,1-2: ∆ , Dieser Druckverlust lässt sich in zwei Gruppen unterteilen: - Druckverlust infolge der der Reibung des Fluid an der Rohrinnenwand Druckverlust infolge von Einbauten Einbauten ist ein Sammelbegriff für alle Maßnahmen, die die Strömung aus Ihrer Bahn ablenken, also beispielsweise Rohrkrümmer, Querschnittsänderungen, Düsen, Diffusoren aber auch für Verluste infolge von Eintritt und Austritt aus dem Rohrsystem. –––––––––– 37 Strömungsgeschwindigkeit: Bei einer inkompressiblen Strömung hängt die Geschwindigkeit ausschließlich von dem Rohrquerschnitt ab. Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich aufgrund ∙ ∙ ∙ ∙ ., dass bei konstanter Dichte und konstantem Querschnitt die Geschwindigkeiten ebenfalls gleich bleiben müssen und zwar unabhängig davon, ob sich eine Arbeitsmaschine (Pumpe, Turbine) in der Leitung befindet oder der Widerstand berücksichtigt wird. 135 4 Strömung von Fluiden p1 d c p2 (1) WR (2) F1 WR F2 x L Abb. 4-24: Druckverlust infolge Rohrreibung 4.7.4 Rohrreibungswiderstand Infolge der unvermeidlichen Reibung zwischen dem strömenden Fluid und der Rohrinnwand tritt eine Wandschubspannung auf, die in der Folge zu einem Druckverlust in Strömungsrichtung führt. Natürlich tritt auch ein Reibungseffekt innerhalb des Fluids auf, dieser kann jedoch im Vergleich zur Reibung an der Wand vernachlässigt werden. Betrachten Sie die an dem in Abb. 4-24 skizzierten Rohrsegment in Strömungsrichtung auftretenden Kräfte. Aus dem der Strömungsrichtung entgegengesetzt wirkenden Widerstand WR lässt sich ein dimensionsloser Reibungsbeiwert cR definieren. 2 ∙ ∙ mit Sref = O = dL [m²] benetzte Oberfläche (Rohrinnenfläche) /2c² [Pa] Staudruck Für den Widerstand infolge der Wandschubspannung können Sie auch schreiben ∙ ∙ 2 ∙ ∙ ∙ ∙ Mit ∙ ∙ und 4 ∙ gilt ∙ 136 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ ∙ 4. Strömung von Fluiden also ∆ ∙ 2 ∙ ∙ 4 ∙ ∙ 4∙ ∙ ∙ 2 ∙ ∙ Mit der Rohrreibungszahl = 4cR gilt für den Druckverlust in Strömungsrichtung ∆ ∙ 2 ∙ ∙ Aus dieser Beziehung erkennen Sie sofort, dass der reibungsbedingte Druckverlust in einer Rohrleitung linear von der Rohrlänge L und dem Rohrinnendurchmesser d sowie quadratisch von der Strömungsgeschwindigkeit c abhängt. Rohrreibungszahl Alles was Sie zur Berechnung des Druckverlusts infolge der Rohrreibung benötigen ist also neben der Geometrie und der Strömungsgeschwindigkeit noch die Rohrreibungszahl . Diese hängt von der Reynolds-Zahl und der Rauigkeit k der Rohrinnenwand38 ab. In Abhängigkeit dieser beiden Parameter lassen sich drei Bereiche unterscheiden: - hydraulisch glatt Übergangsbereich zwischen glatt und rau vollständig rau Die Berechnung der Rohrreibungszahl erfolgt in Abhängigkeit des jeweils vorliegenden Bereichs. Etwas unerfreulich dabei ist jedoch die Tatsache, dass sich erst nach der Berechnung der Rohrreibungszahl feststellen lässt, in welchem Bereich man liegt. Sie treffen also einfach eine Annahme, also beispielsweise, dass ein hydraulisch glatter Bereich vorliegt, berechnen die Rohrreibungszahl und führen die dazugehörige Überprüfung durch. Mit etwas Glück lagen Sie mit Ihrer Annahme richtig und Sie können den Druckverlust für dieses Rohrsegment berechnen. Falls nicht bleiben Ihnen ja noch zwei weitere Möglichkeiten, die Sie durchprobieren können. Sollte auch die dritte Variante nicht zum Ziel führen, dann war das leider nicht Ihr Tag und Sie können davon ausgehen, dass Sie sich an irgendeiner Stelle verrechnet haben. Also zurück zur ersten Annahme. Hydraulisch glatter Bereich Sofern noch eine laminare Rohrströmung vorliegt, also Red < 2320 ist die Berechnung der Rohrreibungszahl besonders einfach. Entsprechend der linearen Beziehung nach Hagen39-Poiseuille40 gilt –––––––––– 38 Für experimentelle Untersuchungen des Einflusses der Rauigkeit auf Rohrströmungen wurde die äquivalente Sandrauigkeit kS eingeführt. Die Sandrauigkeit wird durch das Aufbringen einer künstlichen Rauheit in Form von Sand mit der Körnung kS erzeugt. Hierbei entspricht kS der mittleren Rautiefe nach DIN 4768. Zur Berechnung des Druckverlusts kann in der Regel kS der Rauigkeit k gleichgesetzt werden. 39 Hagen, Gotthilf Heinrich Ludwig (03.03.1797 – 03.02.1884), deutscher Ingenieur 40 Poiseuille, Jean Léonard Marie (23.04.1797 – 26.12.1869), französischer Physiker 137 4 Strömung von Fluiden 64 Eine Überprüfung kann in diesem Reynolds-Zahl-Bereich entfallen. Für turbulente Rohrströmungen (Red > 2320) gestaltet sich die Berechnung etwas aufwendiger. Entsprechend der empirischen Beziehung nach Nikuradse41 gilt 1 √ 2∙ ∙√ 2∙ ∙ 0,8 oder 1 √ 2,51 Die Auswertung dieser beiden impliziten Gleichungen stellt für Sie als Ingenieur sicher keine Herausforderung dar, etwas schneller geht es jedoch mit folgenden Näherungslösungen, die ebenfalls brauchbare Resultate liefern. Blasius42: 2320 < Red < 105 0,3164 Nikuradse: 2320 < Red < 106 0,221 0,0032 , Wenn Sie die Gleichungen zur Berechnung der Rohrreibungszahl im hydraulisch glatten Bereich betrachten, fällt Ihnen sicher auf, dass in diesem Fall die Rohrreibungszahl lediglich von der Reynolds-Zahl und nicht von der Rauigkeit abhängt. Nachdem Sie die Rohrreibungszahl berechnet haben sollten Sie nun überprüfen, ob die Annahme, dass es sich um einen hydraulisch glatten Bereich handelt überhaupt zutrifft. Dazu gilt es lediglich folgende Bedingung zu verifizieren. 8 ∙√ mit k/d [-] relative Rauigkeit Sofern diese Bedingung erfüllt wird, kann die unter der Annahme eines hydraulisch glatten Bereichs ermittelte Rohrreibungszahl zur Berechnung des Druckverlusts verwendet werden. Wird diese Bedingung nicht erfüllt müssen Sie im folgenden Iterationsschritt sich für eine der beiden verbliebenen Annahmen entscheiden. Übergangsgebiet zwischen glatt und rau In diesem Fall haben Sie die Qual der Wahl zwischen diesen beiden Gleichungen nach Colebrook43, die erfreulicherweise fast identische Ergebnisse liefern. –––––––––– 41 Nikuradse, Johann (20.11.1894 – 18.07.1979), deutscher Ingenieur und Physiker Blasius, Heinrich (09.08.1883 – 24.04.1970), deutscher Physiker 43 Colebrook, Cyril Frank (26.07.1910 – 12.01.1997), britischer Physiker 42 138 4. Strömung von Fluiden 1 2,51 2∙ √ 3,71 ∙ ∙√ oder in der einfacheren expliziten Schreibweise 0,0055 ∙ 1 20.000 ∙ 10 Zu beachten ist, dass im Übergangsbereich die Rohrreibungszahl von der relativen Rauigkeit als auch von der Reynolds-Zahl abhängt. Die Überprüfung, ob Sie mit Ihrer Annahme, dass es sich um den Übergangsbereich handelt richtig lagen, ist wieder recht einfach. 8 ∙ ∙√ 200 Nun, sollte auch dieser Versuch nicht erfolgreich gewesen sein, verbleibt noch eine dritte Möglichkeit. Vollständig rauer Bereich Auch hier haben Sie wieder die Wahl zwischen zwei Gleichungen. Kármán-Nikuradse: 1 2∙ 1,14 oder Nikuradse 1 2∙ 3,71 ∙ Im vollständig rauen Bereich ist die Rohrreibungszahl lediglich eine Funktion der relativen Rauigkeit. Die Reynolds-Zahl spielt keine Rolle mehr. Die Überprüfung der Korrektheit Ihrer Annahme verläuft wieder gewohnt unspektakulär mittels 200 ∙√ Eine Zusammenfassung der möglichen Bereiche und Berechnungsmethoden finden Sie in Tab. 4-7. Sofern Sie zur Berechnung der Rohrreibungszahl ein kleines Programm erstellen, ist es natürlich unerheblich ob Sie bereits mit der ersten Annahme richtig liegen oder alle drei Möglichkeiten durchprobieren. 139 4 Strömung von Fluiden Annahme Reynolds-Zahl glatt Red < 2320 Berechnung Überprüfung 64 entfällt laminar glatt 2320 < Red < 106 0,221 0,0032 8 , ∙√ turbulent Übergang Red > 2320 turbulent rau 0,0055 ∙ 1 10 8 ∙ ∙√ 200 1 Red > 2320 turbulent 20.000 ∙ 2∙ 3,71 ∙ 200 ∙√ Tab. 4-7: Berechnung der Rohrreibungszahl Eine Möglichkeit das Verfahren etwas abzukürzen besteht in der Verwendung des Moody44- oder auch Colebrook-Diagramms (Abb. 4-25). In Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl und der relativen Rauigkeit können Sie die Rohrreibungszahl näherungsweise direkt aus dem Diagramm ablesen. Abb. 4-25: Moody- oder Colebrook-Diagramm (Moody, 1944) –––––––––– 44 140 Moody, Lewis Ferry (05.01.1880 – 21.02.1953) US-amerikanischer Ingenieur 4. Strömung von Fluiden 4.7.5 Widerstand infolge von Einbauten Sofern Ihr System nur aus einem einzigen geraden Rohrstück mit konstantem Durchmesser besteht, ergibt sich der Druckverlust ausschließlich aus dem Reibungsverlust. Sobald Sie jedoch die Strömung zu einer Richtungsänderung nötigen erzeugen Sie fast immer Verwirbelungen und Ablösegebiete. Das bedeutet, dass Sie Teilchen aus einer translatorischen in eine rotatorische Bewegung beschleunigen. Die Beschleunigung einer Masse ist immer mit der Verrichtung von Arbeit verbunden. Das heißt genau um diesen Betrag der Arbeit (= Energie) verringern Sie die Gesamtenergie oder auch den Gesamtdruck in der Strömung. Denken Sie immer an das Prinzip der Energieerhaltung in ihrer prägnanten Formulierung „there is no free lunch“. Richtungsänderungen können durch eine Vielzahl von Elementen erzwungen werden. Beispielsweise durch Rohrkrümmer, Düsen, Diffusoren, Blenden, Verzweigungen, Einlauf- oder auch Austrittsströmungen. Diese Elemente werden in der Rohrhydraulik unter dem Sammelbegriff Einbauten zusammengefasst. Richtungsänderung Sie kennen das Prinzip aus der Leichtathletik. Wenn Sie sich auf der Außenbahn befinden müssen Sie etwas beschleunigen um auf der Geraden wieder mit dem Läufer auf der Innenbahn gleichzuziehen. Zusätzlich wirkt infolge der Umlenkung noch eine Fliehkraft in radialer Richtung nach außen (Abb. 4-26). Dadurch steigt im Bereich der Außenströmung ab der Stelle (A) der Druck an. Mit Erreichen von Punkt (C) verschwinden die Fliehkräfte und der Druck sinkt wieder. Infolge des Prinzips der Energieerhaltung geht bei inkompressiblen Fluiden eine Druckerhöhung immer mit einer Geschwindigkeitsreduzierung einher. Das bringt insbesondere die Teilchen, die sich auf der ungünstigen Außenbahn bewegen in deutliche Schwierigkeiten. Eigentlich möchten Sie beschleunigen um mit Ihren Kollegen auf der Innenbahn ab der Stelle (C) wieder auf gleicher Höhe zu sein, werden jedoch durch den Druckanstieg gebremst. Insbesondere die Grenzschicht an der Rohraußenwand zeigt wenig Begeisterung gegen diesen Druckanstieg anzukämpfen und löst sich im Bereich (B) von der Rohrwand ab. Ähnlich geht es den Teilchen auf der Innenbahn. Durch die Verzögerung erfolgt hier ebenfalls ein Druckanstieg, der zu einem Ablösegebiet führen kann. Die Druckbilanz an dem horizontal liegenden Rohrkrümmer in Abb. 4-26 zwischen den beiden Stellen (1) und (2) lautet somit ∆ , Eine analytische Bestimmung des Druckverlusts pV,1-2 ist nicht ohne weiteres möglich. Sehr viel einfacher ist die experimentelle Bestimmung durch Messung der beiden statischen Drücke p1 und p2. Damit lässt sich ein dimensionsloser Verlustbeiwert für Einbauten definieren. ∆ 2 , ∙ 141 4 Strömung von Fluiden (1) r c A B R C p1 p2 (2) d Abb. 4-26: Rohrkrümmer mit Ablösungen Der Verlustbeiwert hängt ab von dem Verhältnis des Krümmungsradius R zum Rohrinnendurchmesser d und der Rauheit der Oberfläche. Nach Richter (1971) gilt für einen 90°-Rohrkrümmer mit glatter Oberfläche näherungsweise ° 6 ∙ 10 ∙ 0,0022 ∙ 0,7549 ∙ 0,0306 ∙ 1,3597 ∙ 0,2096 ∙ 1,0768 Für eine raue Oberfläche gilt näherungsweise ° 7 ∙ 10 ∙ 0,0024 ∙ 0,8356 ∙ 0,0328 ∙ 1,5489 ∙ 0,2285 ∙ 0,9965 Von 90° abweichende Krümmungswinkel können mithilfe folgender Korrektur berechnet werden. ° ∙ , 90 Empirische Werte beziehungsweise Näherungsverfahren zur Berechnung von Verlustbeiwerten für unterschiedliche Einbauten werden Sie in (fast) jedem Lehrbuch für Strömungsmechanik finden. Näherungslösungen für die am häufigsten auftretenden Einbauten werden Sie in den folgenden Abschnitten kennenlernen. Eintrittsverluste Bei einem Einströmvorgang aus einem großen Behältnis in ein Rohr ergeben sich infolge der starken Umlenkung Ablösegebiete. Maßgebend für die Größe des Ablösegebiets und damit für die Größe des Druckverlusts ist die Ausformung der Übergangsstelle zwischen Behälter und Rohr. Am ungünstigsten erweist sich ein scharfkantiger Übergang mit einem Verlustbeiwert von = 0,5. Eine Anschrägung 142 4. Strömung von Fluiden reduziert den Verlustbeiwert auf = 0,25 und mit zunehmender Ausrundung der Übergangsstelle kann sich der Verlustbeiwert bis auf = 0,2 reduzieren. dE c d c Abb. 4-27: Eintrittsverluste, gerades und schräges Rohr Näherungswerte zur Abschätzung der Verlustbeiwerte für Eintrittsverluste bei scharfkantigen Übergängen können Tab. 4-8 entnommen werden. senkrechter Eintritt Abb. 4-27a 1 1,25 2 5 100 0,5 1,2 5,5 55 250 [°] 0 15 30 45 60 0,5 0,59 0,7 0,81 0,9 schräger Eintritt Abb. 4-27b Tab. 4-8: Verlustbeiwerte für Eintrittsverluste (Siegloch, 1996) Austrittsverluste Mithilfe der Kontraktionszahl K des austretenden Strahls lässt sich näherungsweise die Verlustziffer bestimmen. 1 1 ä 1 ä 1 Mit der Kontraktionszahl K wird die Strahleinschnürung beim scharfkantigen Austritt aus einem Behältnis beschrieben. Würde die Strömung der scharfkantigen Kontur folgen, so müsste die Stromlinie an der Wand einen Knick, also eine Unste143 4 Strömung von Fluiden tigkeitsstelle aufweisen. Entsprechend der Definition der Stromlinie (Kapitel 1) ergeben sich an dem Knick jedoch zwei unterschiedliche Geschwindigkeiten, da der lokale Geschwindigkeitsvektor immer tangential an der Stromlinie anliegt. Das Fluidteilchen wäre als an dieser Stelle mit zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs. Die Natur umgeht dieses Problem dadurch, dass sie die Stromlinie ausrundet und der Strahl sich entsprechend einschnürt. Der austretende Strahl hat dadurch immer einen kleineren Durchmesser als die Austrittsöffnung. Stufendiffusor Bei einer stufenartige Querschnittserweiterungen (Carnot45-Stoß) benötigt der eintretende Strahl eine gewisse Laufstrecke bis sich der Strahl wieder vollständig dem neuen, größeren Durchmesser angepasst hat. Die Länge dieser Mischstrecke kann mit LM ≈ 10d2 abgeschätzt werden. Bei Vorliegen einer turbulenten Rohrströmung, also bei einer Reynolds-Zahl von Red > 2320 kann der Verlustbeiwert über das Flächenverhältnis abgeschätzt werden (Kümmel, 2007). 1 1 c2 c1 d1 d2 Abb. 4-28: Stufendiffusor Solche stufenförmigen Querschnittsänderungen gehen immer mit einem erheblichen Druckverlust einher, lassen sich aber häufig nicht oder nur mit erheblichem Fertigungsaufwand vermeiden. Konischer Diffusor Konische Diffusoren (Abb. 4-29) werden in der Strömungsmechanik eingesetzt um kinetische Energie in Druckenergie umzuwandeln. Man spricht hier von einem sogenannten Druckrückgewinn. d1 c1 c2 d2 Abb. 4-29: Konischer Diffusor –––––––––– 45 144 Carnot, Nicolas Léonard Sadi (01.06.1796 – 24.08.1832), französischer Ingenieur und Physiker, insbesondere bekannt für seine Arbeiten auf dem Gebiet der Thermodynamik und den CarnotProzess beziehungsweise den Carnot-Wirkungsgrad, der den theoretischen maximalen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine beschreibt. 4. Strömung von Fluiden Aus den beiden Basisgleichungen der Strömungsmechanik, der Kontinuitätsgleichung und der Bernoulli-Gleichung erkennen Sie sofort das Wirkprinzip eines Diffusors. In diesem Fall das Wirkprinzip eines Unterschall-Diffusors. Im Überschall liegen die Dinge genau umgekehrt, aber das werden Sie in der Vorlesung Aerodynamik noch näher kennenlernen. Den Zusammenhang zwischen Strömungsgeschwindigkeit und durchströmten Querschnitt liefert Ihnen die Kontinuitätsgleichung. ∙ ∙ ∙ ∙ . Aus A1 < A2 folgt also c1 > c2. Die Abhängigkeit von statischem Druck und Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus der Bernoulli-Gleichung. 2 ∙ ∙ ∙ 2 ∙ ∙ ∙ Bei einer horizontalen Anordnung gilt z1 = z246 und für c1 > c2 folgt p1 < p2. Das heißt also, dass sich im Unterschall bei einer Querschnittsvergrößerung die Strömungsgeschwindigkeit verzögert und der statische Druck ansteigt. Erfolgt die Querschnittserweiterung jedoch zu abrupt, so wird es auch hier zu Strömungsablösung und zur Ausbildung von Totwassergebieten kommen. In Abb. 4-30 sind die daraus resultierenden Verlustbeiwerte als Funktion des Öffnungswinkels nach Richter (1971) dargestellt. Abb. 4-30: Widerstandsbeiwerte für konische Diffusoren (Richter, 1971) Der optimale Öffnungswinkel beträgt für Diffusoren mit einem Kreisquerschnitt opt ≈ 8° und für Diffusoren mit einem Rechteckquerschnitt opt ≈ 10°. Das führt bei optimal ausgelegten Diffusoren zur sehr großen Baulängen, was insbesondere –––––––––– 46 Die Vernachlässigung des potentiellen Anteils gz ist bei Gasen auch für nicht-horizontale Anordnungen in der Regel zulässig. Bei Flüssigkeiten sollten Sie aufgrund der wesentlich größeren Dichte diesen Term jedoch stets berücksichtigen. 145 4 Strömung von Fluiden bei Windkanälen unter beengten Platzverhältnissen problematisch sein kann. Sofern der optimale Öffnungswinkel nicht realisiert werden kann, empfiehlt es sich gegebenenfalls vollständig auf einen konischen Diffusor zu verzichten. Ab einem Flächenverhältnis von A2/A1 < 1,5 ist es sogar günstiger einen einfachen Stufendiffusor vorzusehen. Stufendüse Wird bei einem Diffusor kinetische Energie in Druckenergie umgewandelt, so verhalten sich bei einer Düse die Verhältnisse genau umgekehrt. Infolge der Querschnittsverringerung wird bei einer Strömung mit Unterschallgeschwindigkeit die Geschwindigkeit erhöht und der statische Druck abgesenkt. Infolge der unstetigen Querschnittsverkleinerung in Strömungsrichtung erfolgt an der Übergangsstelle eine Strahleinschnürung auf den Durchmesser d2* und etwas weiter stromabwärts wieder eine Aufweitung auf den Rohrinnendurchmesser d2 (Abb. 4-31). d1 c2 c1 d2 * d2 Abb. 4-31: Stufendüse Die Kontraktionszahl K des Strahls ∗ ∗ lässt sich näherungsweise über folgende Regressionsformel bestimmen 0,614 0,133 ∙ 0,261 ∙ 0,511 ∙ Aus der Kontraktionszahl lässt sich dann die Verlustzahl bestimmen 1,5 ∙ 1 Konische Düse Solche Stufendüsen sind im Hinblick auf die auftretenden Druckverluste recht ungünstig, lassen sich jedoch ähnlich wie Stufendiffusoren häufig nur mit einem erheblichen zusätzlichen Fertigungsaufwand vermeiden. Wesentlich günstiger gestaltet sich die Umwandlung von Druckenergie in kinetische Energie bei der Verwendung einer konischen Düse. Der absinkende Druck in Strömungsrichtung bewirkt eine Stabilisierung der Grenzschicht und reduziert somit das Risiko einer Ablösung. Dadurch ergeben sich bei Düsen im Vergleich zu Diffusoren bei gleichen Flächenverhältnissen geringere Druckverluste. 146 4. Strömung von Fluiden c1 d1 c2 d2 Abb. 4-32: Konische Düse Für konische Düsen mit einem Öffnungswinkel zwischen 20° und 30° kann die Verlustzahl mit = 0,01 bis = 0,02 abgeschätzt werden. Eine sehr gute Übersicht über Verlustbeiwerte in Rohrsystemen findet sich in Richter (1971) Normblenden Blenden können in Rohrleitungssystemen mindestens zwei unterschiedliche Aufgaben erfüllen: - Druckminderung Durchflussmessung Zur Durchflussmessung können Sie genormte Blenden nach DIN EN ISO 5167 verwenden. Bei der konstruktiven Ausführung werden drei Grundformen unterschieden (Abb. 4-33a, b und c). Unabhängig von der Bauform werden immer die beiden statischen Drücke p1 und p2 beziehungsweise die Druckdifferenz p2 - p1 an der Drosselstelle, der sogenannte Wirkdruck pW gemessen. d1 d1/2 p2 p1 c1 d1 d2 c1 d1 d2 c1 d1 d2 p2 p1 p2 p1 p1 p2 Abb. 4-33: Normblenden: Blende, Düse und Venturi-Düse Der Volumenstrom ergibt sich aus dem Wirkdruck pW zu ∙ ∙ und der Massestrom 4 ∙ ∙ zu ∙ Die Durchflusszahl beschreibt den Reibungseinfluss und muss empirisch bestimmt werden. Allgemein gilt , 1 147 4 Strömung von Fluiden Der Durchflusskoeffizient C = C(, Red1) ist eine Funktion des Durchmesserverhältnisses = d2/d1 und der Reynolds-Zahl bezogen auf den Rohrdurchmesser d1. Die Expansionszahl berücksichtigt die Kompressibilität von Gasen. Bei inkompressiblen Strömungen kann = 1 gesetzt werden. Zur Bestimmung der Expansionszahl ist noch das Druckverhältnis = p2/p1 erforderlich. Mit dem Faktor , 19000 ∙ lassen sich der Durchflusskoeffizient C sowie die Expansionszahl anhand Tab. 4-9 bestimmen. Der Isentropenexponent = cp/cv beträgt für Luft, als ideales Gas, = 1,4. Drosselgerät Durchflusskoeffizient C Blende mit Enddruckabnahme (Abb. 4-33a) 0,5961 0,216 ∙ 0,000521 , 10 ∙ 0,0261 ∙ ∙ 0,0188 0,0063 ∙ 10 ∙ ∙ Düse (Abb. 4-33b) 0,99 0,9858 , 1 0,351 0,256 ∙ 0,93 ∙ ∙ 1 ∙ , , 0,2262 ∙ ∙ Venturi-Düse (Abb. 4-33c) Expansionszahl 0,00175 ∙ 0,0033 ∙ , , 10 0,196 ∙ , ∙ 1 1 ∙ 1 ∙ ∙ 1 1 analog zur Düse Tab. 4-9: Berechnung von Durchflusskoeffizient und Expansionszahl (DIN EN ISO 5167 Teil 1-4) 148 4. Strömung von Fluiden 4.7.6 Druckverlust im Gesamtsystem Für ein Rohrleitungssystem, das aus m Rohrsegmenten mit n Einbauten besteht ergibt sich der Gesamtdruckverlust zu ∆ , ∙ ∙ 2 ∙ ∙ 2 ∙ Sobald sich in einem Rohrsegment der Durchmesser d ändert, ändert sich automatisch auch die Geschwindigkeit c. Die Rohrreibungszahl ist eine Funktion der Reynolds-Zahl Red, die mit dem Rohrinnendurchmesser und der Geschwindigkeit gebildet wird, sowie der relativen Rauigkeit k/d. Also ändert sich damit auch die Rohrreibungszahl. Ebenso ändert sich mit dem veränderlichen Querschnitt auch der jeweilige Staudruck /2c2 mit dem die Verlustziffern j multipliziert werden. Das bedeutet, dass Sie bei einem Rohrleitungssystem, das sich aus unterschiedlichen Segmenten mit unterschiedlichen Durchmessern zusammensetzt, den Druckverlust für jedes Segment separat berechnen müssen. Beachten Sie auch, dass bei Rohrströmungen die Reynolds-Zahl nicht mit der Rohrlänge, sondern mit dem Rohrinnendurchmesser gebildet wird. 4.7.7 Hydraulischer Ersatzdurchmesser Bis jetzt hatten wir immer stillschweigend vorausgesetzt, dass es sich bei den durchströmten Rohren um Rohre mit einem kreisförmigen Querschnitt handelt, der auch vollständig ausgefüllt wird. Das mag für eine Vielzahl von technischen Anwendungen sicher zutreffen, muss aber nicht zwingendermaßen der Fall sein. Insbesondere bei Abflussrohren oder Abwasserkanälen führt eine vollständige Befüllung zu sehr unschönen Ergebnissen. Sofern Sie Systeme betrachten, die keinen kreisförmigen oder quadratischen Querschnitt aufweisen oder die nicht zu 100% befüllt sind lässt sich entsprechend Abb. 4-34 ein sogenannter hydraulischer Ersatzdurchmesser dhydr. definieren. 4∙ . mit A [m²] durchströmter Querschnitt U [m] benetzter Umfang A U Abb. 4-34: Hydraulischer Ersatzdurchmesser 149 4 Strömung von Fluiden Bei alle Berechnungen bei denen der Rohrdurchmesser d verwendet wurde, also beispielsweise bei der Reynolds-Zahl oder der relativen Rauigkeit k/d, ersetzen Sie den Rohrdurchmesser d durch den hydraulischen Ersatzdurchmesser dhydr., also ∙ . oder k/ dhydr beziehungsweise = (Red,hydr, k/ dhydr). Damit ergibt sich für den Gesamtdruckverlust im System ∆ 150 , ∙ ∙ 2 ∙ ∙ 2 ∙ 4. Strömung von Fluiden Übung 4-6 Der Springbrunnen in einem Park (Abb. 4-35) wird durch einen Druckbehälter gespeist, der durch eine Pumpe P in der Rücklaufleitung befüllt wird. Der hydraulische Wirkungsgrad der Pumpe beträgt hydr = 0,8. Die Fontäne erreicht dabei eine Höhe von H = 20 m. Die Länge der Zuleitung vom Druckbehälter bis zur Düse (2) beträgt L1 = 15 m. Der Austrittsdurchmesser der Düse beträgt d2 = 15 mm. Der Innendurchmesser der Zuleitung beträgt d1 = 20 mm. Die Länge der Rückleitung vom Teich zum Druckbehälter beträgt L2 = 10 m und deren Innendurchmesser d2 = 25 mm. Alle Leitungen haben eine absolute Rauheit von k = 0,1 mm und konstante Querschnitte. Alle Übergänge bei Ein- und Austritt sind scharfkantig. Die Krümmerradien in den Leitungen betragen R = 50 mm. Es herrscht ein Umgebungsdruck von p0 = 1 bar. Die Pumpe in der Rückleitung sorgt dafür, dass der Pegelstand im Teich sowie der Pegelstand im Druckbehälter mit h = 1 m konstant bleiben. Bei Eintritt in den Druckbehälter beträgt die Strahlkontraktion K = 0,62. Das Manometer am Druckbehälter zeigt einen Überdruck von pÜ = 1,5 bar. Die kinematische Viskosität von Wasser beträgt = 10-6 m²/s. Berechnen Sie die die Austrittsgeschwindigkeit cD des Wasserstrahls an der Düse und die elektrische Leistungsaufnahme der Pumpe Pel. (3) (1) pÜ h (4) E A P H p0 D (2) E K K K Abb. 4-35: Springbrunnen 151 5. Umströmung von Körpern 5 Umströmung von Körpern In diesem Kapitel werden Sie die unterschiedlichen Strömungsverhältnisse um zwei Grundkörper kennenlernen. Die Umströmung einer Kugel und eines Zylinders stehen stellvertretend für die Anströmung von sogenannten stumpfen Körpern, die im Wesentlichen dadurch gekennzeichnet ist, dass im Nachlaufbereich sehr große Ablösegebiete entstehen. Dadurch bildet der Druckwiderstand den maßgeblichen Anteil am Gesamtwiderstand. Der zweite Grundkörper steht für einen strömungsgünstig geformten Körper. Dessen Umströmung ist dadurch gekennzeichnet, dass bei moderaten Anströmwinkeln die Strömung vollständig anliegt, sich also keine Ablösegebiete bilden und der Gesamtwiderstand sich im Wesentlichen aus dem Reibungswiderstand und dem induzierten Widerstand zusammensetzt. Ein Beispiel für die Umströmung schlanker Körper wäre beispielsweise die zweidimensionale Umströmung eines Profils beziehungsweise die dreidimensionale Umströmung eines Tragflügels. Diese Thematik wird jedoch nicht hier sondern im Rahmen der Vorlesung Aerodynamik ausführlich behandelt. 5.1 Umströmung stumpfer Körper Bei der Umströmung stumpfer Körper, wie beispielsweise einer Kugel oder eines Zylinders, taucht neben dem leider unvermeidbaren Reibungswiderstand zum ersten Mal eine weitere Widerstandskomponente auf. Der Druck- oder auch Formwiderstand. Überraschen ist das Größenverhältnis dieser beiden Widerstandsanteile, da der Druckwiderstand im Vergleich zum Reibungswiderstand hier die dominierende Rolle spielt. Betrachten Sie zuerst die Strömungsverhältnisse an einer Kugel. 5.1.1 Kugelumströmung Bei der Umströmung einer Kugel lohnt sich wieder der Vergleich der realen Strömung mit den Verhältnissen der idealen, reibungsfreien Welt. In letzterem Fall liegt eine sogenannte Potentialströmung vor, die unter anderem dadurch gekennzeichnet ist, dass die Strömung der Kontur des Körpers klaglos folgt. Es bilden sich an der Zuström- als auch an der Abströmseite jeweils ein Staupunkt (Abb. 5-1a). F1 F1 Totwassergebiet Staupunkt 1 Staupunkt 2 Staupunkt 1 c∞ W F2 F2 Abb. 5-1: Umströmung einer Kugel a) reibungsfrei b) reibungsbehaftet Ausgehend von den Ergebnissen der reibungsfreien Strömung ergeben sich sehr einfache Lösungen für die Tangentialgeschwindigkeit an der Oberfläche cW(), den statischen Druck pW() und den dimensionslosen Beiwert des Drucks an der Wand cp(), (Abb. 5-2). 152 5. Umströmung von Körpern cW pW c∞ Abb. 5-2: Drücke und Geschwindigkeiten bei reibungsfreier Anströmung Geschwindigkeit: ∙ ∙ ∙ statischer Druck: Druckbeiwert: ∙ 1 1 ∙ Da sich die Strömungsverhältnisse auf der Zuströmseite für die reibungsbehaftete Strömung nur unwesentlich von denen der reibungsfreien Strömung unterscheiden, können Sie für diesen Bereich die Ergebnisse der reibungsfreien Strömung auch im reibungsbehafteten Fall verwenden. Völlig anders liegen die Verhältnisse auf der Abströmseite der Kugel. Aufgrund der großen Krümmung kann die reale Strömung der Kontur nicht mehr folgen und es bildet sich ein ausgedehntes Ablösegebiet im Nachlaufbereich der Kugel (Abb. 5-1b). Dieses Ablösegebiet oder auch Totwassergebiet ist verantwortlich für den hohen Druckwiderstand der Kugel. Daher lassen sich die einfachen Lösungen der Potentialtheorie nicht mehr auf diesen Bereich anwenden. In Abb. 5-3 ist der dimensionslose Beiwert des Gesamtwiderstands einer Kugel nach Schlichting (1982) dargestellt. Markant sind in diesem Diagramm zwei Bereiche. Bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen liegt der CW-Wert in einer Größenordnung von über 100. Dabei handelt es sich um den Bereich der sogenannten kriechenden Strömung. das heißt, es liegen nur sehr geringe Strömungsgeschwindigkeiten und/oder sehr kleine Kugeldurchmesser vor. Dadurch liegen die Massekräfte in der gleichen Größenordnung wie die Reibungskräfte. Für den Bereich dieser sehr kleinen Reynolds-Zahlen kann der CW-Wert durch die einfache Näherungslösung nach Stokes bestimmt werden. 24 In dem Bereich von 103 < Red < 105 bewegt sich der CW-Wert auf einem nahezu konstanten Niveau von ungefähr CW = 0,5 um anschließend recht schnell auf einen 153 5. Umströmung von Körpern Wert von ungefähr CW = 0,1 abzusinken. Mit zunehmender Reynolds-Zahl steigt der Widerstandsbeiwert dann wieder etwas an. Die starke Verringerung des Widerstandbeiwerts und damit des Gesamtwiderstands in diesem Reynolds-Zahl-Bereich ergibt sich aus dem Umschlag der laminaren Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht. Eine laminare Grenzschicht erzeugt zwar einen deutlich geringeren Reibungswiderstand als eine turbulente Grenzschicht, vermag jedoch bei weitem nicht so gut einer gekrümmten Kontur zu folgen, wie eine turbulente Grenzschicht. Infolgedessen bildet sich bei einer laminaren Grenzschicht ein deutlich größeres Ablösegebiet aus als bei einer turbulenten Grenzschicht. Da die Größe des Ablösegebiets den Druckwiderstand bestimmt, sinkt bei einer turbulenten Grenzschicht der Druckwiderstand und damit der Gesamtwiderstand. Der leicht erhöhte Reibungswiderstand schlägt in diesem Fall kaum zu Buche, da sich bei einer Kugel der Gesamtwiderstand zu ungefähr 95% aus dem Druckwiderstand und nur zu 5% aus dem Reibungswiderstand zusammensetzt. Im Fall einer laminaren Grenzschicht liegt der Ablösepunkt der Strömung bei ungefähr = 70° – 80° und im Fall einer turbulenten Grenzschicht bei ungefähr = 110° - 120°. Für den laminaren Bereich lässt sich der CW-Wert näherungsweise nach Kaskas (1970) berechnen. 24 4 0,4 Abb. 5-3: Widerstandsbeiwert einer Kugel (Schlichting, 1982) Bei welcher Reynolds-Zahl (= Rekrit) der Umschlag von einer laminaren Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht erfolgt hängt stark von der Qualität der Zuströmung ab. Bei einer sehr turbulenten Anströmung kann der Umschlag bereits bei einer Reynolds-Zahl von Red = 1,7105 erfolgen, während bei einer sehr laminaren Anströmung der Umschlag erst bei Red = 4105 erfolgen kann. Um eine eindeutige Definition der kritischen Reynolds-Zahl bei einer Kugelströmung zu erhalten, wird Rekrit für die Reynolds-Zahl festgelegt, bei der dimensionslose Beiwert des Gesamtwiderstands den Wert CW = 0,3 erreicht. 154 5. Umströmung von Körpern Bei Reynolds-Zahlen, die deutlich unter einem Wert von Red = 1,7105 liegen, würde auf jeden Fall eine laminare Grenzschicht vorliegen. Aufgrund des damit einhergehenden großen Druckwiderstands, ist dieser Zustand nicht immer wünschenswert. Abhilfe schafft hier die Erhöhung der Rauigkeit, die auch als Stolperdraht bezeichnet wird. Das heißt, sie stellen der Strömung im wahrsten Sinne des Wortes ein Bein um den Umschlag zu einer turbulenten Grenzschicht zu erzwingen. Übung 5-1 Bei Ihrem letzten Ferienjob auf dem Golfplatz haben Sie sich ständig die Frage gestellt, warum Golfbälle offensichtlich unter Cellulitis leiden und nicht über eine glatt polierte Oberfläche verfügen. Als angehender Ingenieur nun eine für Sie leicht zu beantwortende Frage. Im ersten Schritt betrachten Sie den Fall einer glatt polierten Kugel, die den gleichen Durchmesser hat, wie ein Golfball. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Sie gehen von einer mittleren Fluggeschwindigkeit von c∞ = 288 km/h = 80 m/s aus. Der Durchmesser der Kugel beträgt d = 43 mm und die kinematische Zähigkeit von Luft beträgt ungefähr = 1510-6 m²/s. Es liegen die Bedingungen der Normatmosphäre auf Meeresniveau vor, das heißt p = 1013,25 hPa, = 1,225 kg/m³, T = 15 °C. 1. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der glatt polierten Kugel 2. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand des Golfballs. Dabei können Sie aufgrund der Dellen auf der Oberfläche davon ausgehen, dass eine vollständig turbulente Grenzschicht vorliegt. 3. Welchen Anteil hat der Reibungswiderstand im Verhältnis zum Gesamtwiderstand in beiden Fällen? Warum fällt uns der Himmel nicht auf den Kopf? Diese Frage, die bereits die alten Gallier bewegte, können Sie heute sehr leicht beantworten. Bei einem Blick zum Himmel fällt Ihnen auf, dass Wolken zwar durch den Wind horizontal verschoben werden, sich in der Höhe aber scheinbar nicht verändern. Solange die Luftfeuchte sich in einem gasförmigen Aggregatszustand befindet, können Sie diese auch nicht sehen. Erst wenn die Feuchte auskondensiert, das heißt, wenn ein Phasenwechsel zum flüssigen Aggregatszustand stattfindet, sich also kleine Flüssigkeitströpfchen bilden, können Sie diese mit bloßem Auge als Wolke erkennen. Nun hat flüssiges Wasser aber eine Dichte, die um den Faktor 103 über der Dichte von Luft liegt. Das Prinzip des archimedischen Auftriebs scheidet also aus. Während man bei einer starken thermischen vertikalen Luftbewegung (tagsüber) noch argumentieren könnte, dass die nach oben strömende Luft die Wolke nach oben drückt, so kann diese Argumentation für Nachtwolken, mangels Thermik nicht mehr aufrecht erhalten werden. Daher die berechtigte Frage, was hält die Wolke nur am Himmel? 155 5. Umströmung von Körpern Übung 5-2 Sie betrachten am Nachthimmel eine Wolke, die in einer geschätzten Höhe von h = 5 km schwebt. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Die auskondensierten Wassertropfen haben näherungsweise eine Kugelform mit einem Durchmesser von d = 10 m. Die Dichte des Wassers beträgt = 103 kg/m³, die kinematische Viskosität von Luft beträgt = 1510-6 m²/s. Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich die Wolke absenkt. 5.1.2 Zylinderumströmung Kugel als auch Zylinder stehen stellvertretend für quer angeströmte stumpfe Körper. Die Strömungsverhältnisse für solche Körper gleichen sich und der Verlauf des dimensionslosen Beiwerts des Gesamtwiderstands als Funktion der ReynoldsZahl sieht in beiden Fällen recht ähnlich aus. Im Bereich der kriechenden Strömung, also bei extrem kleinen Reynolds-Zahlen erreicht der CW-Wert sehr große Werte und sinkt bis zu einer Reynolds-Zahl von ungefähr Red = 103 auf ein Plateau ab. Im Fall des quer angeströmten unendlich langen Zylinders auf ungefähr CW = 1,0. Ab einer Reynolds-Zahl von ungefähr 2,5105 erfolgt die Transition der laminaren Grenzschicht in eine turbulente Grenzschicht. Dieser Umschlag ist durch eine signifikante Reduzierung des Widerstands gekennzeichnet und der CW-Wert sinkt auf ein Minimum, um anschließend mit zunehmender Reynolds-Zahl wieder leicht anzusteigen. Abb. 5-4: Widerstandsbeiwert eines unendlich langen Zylinders (Schlichting, 1982) 156 5. Umströmung von Körpern Der in Abb. 5-4 skizzierte Verlauf des dimensionslosen Beiwerts des Gesamtwiderstands eines Zylinders gilt für eine zweidimensionale Strömung um einen unendlich langen Zylinder. Zur Berechnung des Widerstandsbeiwerts eines Zylinders mit einer endlichen Länge ist noch die Bestimmung eines Korrekturfaktors K als Funktion des Verhältnisses von Höhe h zu Durchmesser d erforderlich. Höhe/Durchmesser h/d Korrekturfaktor K 0 < h/d 4 0,6 4 h/d 8 0,7 8 h/d 40 0,8 40 h/d < ∞ 1,0 Tab. 5-1: Korrekturfaktoren zur Umrechnung des Widerstandsbeiwerts eines quer angeströmten endlich langen Zylinders (Kümmel, 2007) ∙ ∞ Übung 5-3 Während eines Herbststurms unternehmen Sie einen Spaziergang an der frischen Luft um die Spätfolgen der letzten Feier zu neutralisieren. Dabei fällt Ihnen ein kleiner Kamin auf dem Dach einer Bäckerei auf, der sich infolge der Windbelastung bedenklich zur Seite neigt. Sie fragen sich, welche Kraft auf den Kamin infolge des Sturms wohl wirkt. Dabei treffen Sie folgende Annahmen: Windgeschwindigkeit: c∞ = 65 km/h Kamindurchmesser: d = 0,25 m Kaminhöhe: h=8m Lufttemperatur: T = 20 °C Luftdruck: p = 1020 hPa 157 6. Impulssatz 6 Impulssatz Im den ersten beiden Kapiteln wurden in der Hydrostatik und Aerostatik die Kräfte auf Begrenzungsflächen bei ruhenden Systemen betrachtet. Im Folgenden soll die Frage geklärt werden, welche Kräfte in bewegten Systemen auftreten. Die folgenden Betrachtungen lassen sich aus dem zweiten Axiom von Newton47 ableiten, dem sogenannten Grundgesetz der Dynamik. 6.1 Newtonsche Axiome Der englische Naturforscher Isaac Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in der „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“ (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie). Interessant ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung „Naturphilosophie“, das heißt, die strikte Trennung zwischen Naturwissenschaften und Philosophie, wie Sie sie heute kennen, war zu diesem Zeitpunkt noch nicht vollzogen. Auch wenn sich das Idealbild des Universalgelehrten heute nicht mehr realisieren lässt, so nehmen erfahrungsgemäß auch (angehende) Ingenieure keinen nachweisbaren Schaden, wenn sie sich gelegentlich mit philosophischen Fragestellungen beschäftigen. Das wäre zumindest der zaghafte Versuch eines kleinen Schritts zurück in Richtung des humboldtschen Bildungsideals. Das erste Newtonsche Axiom gilt nur in Inertialsystemen und wurde bereits 1638 von dem italienischen Naturforscher Galileo Galilei48 aufgestellt. Das zweite Axiom beschreibt das Grundgesetz der Dynamik, und das dritte Axiom das Prinzip der mechanischen Wechselwirkung. - Erstes Newtonsches Axiom „Trägheitsprinzip“: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist. - Zweites Newtonsches Axiom „Aktionsprinzip“ oder auch „dynamisches Grundgesetz“: Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht in die Richtung, in die die Kraft wirkt. - Drittes Newtonsches Axiom „Reaktionsprinzip“: Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). –––––––––– 47 Newton, Isaac (25.12.1642 – 20.03.1726 (jul.) bzw. 04.01.1643 – 31.03.1727 (greg.)), englischer Naturforscher und Philosoph. Aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche von Rom durch Heinrich den VIII, bekannt durch seine nach heutigen Maßstäben eher ruppigen Scheidungspolitik, galt in England noch der julianische Kalender, während in den zivilisierten Teilen Europas bereits der gregorianische Kalender eingeführt war. Nur für den Fall, dass Sie sich über die beiden unterschiedlichen Geburts- und Sterbedaten etwas wundern. 48 Galilei, Galileo (15.02.1564 – 08.01.1642), italienischer Universalgelehrter. Begründer der modernen wissenschaftlichen Arbeitsweise durch die Kombination von Experiment, Messung und mathematischer Analyse. Durch seine astronomischen Beobachtungen konnte er das heliozentrische Weltbild von Kopernikus bestätigen wodurch er sich im Widerspruch zur katholischen Kirche befand, die noch wacker am ptolemäischen Weltbild festhielt. Welches besagt, dass die Sonne, ebenso wie alle anderen Planeten, die Erde umkreist. Dieser Konflikt führte im Jahr 1633 zu seiner Verurteilung wegen Ketzerei. Aber auch hier nahm die Gerechtigkeit mit schier unglaublicher Geschwindigkeit ihren Lauf. Bereits im Jahre 1992(!) wurde Galilei von der katholischen Kirche rehabilitiert. 158 6. Impulssatz 6.2 Impuls Aus dem zweiten Newtonschen Axiom, dem dynamischen Grundgesetz folgt die Beziehung ∙ Auf der rechten Seite dieser Gleichung steht die zeitliche Ableitung der Änderung der Bewegungsgröße ∙ . Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit wird auch als Impuls bezeichnet. Auf der linken Seite steht eine Kraft , die entsprechend dem zweiten Newtonschen Axiom der Änderung der Bewegungsgröße entsprechen muss. Bleibt die Masse konstant, so folgt daraus die Beziehung ∙ ∙ also Kraft entspricht Masse mal Beschleunigung. Die Integration dieser Kraft über die Zeit ergibt den Impuls . ∙ Das Integral ∙ ∙ wird auch als Kraftstoß bezeichnet und die zeitliche Ände- rung des Impulses entspricht dem sogenannten Impulsstrom . ∙ ∙ ∙ Bei stationären Strömungen verschwindet wegen Beziehung für den Impulsstrom vereinfacht sich zu ∙ ∙ 0 der Term ∙ und die ∙ Damit kommen wir wieder zurück zum Ausgangspunkt der Betrachtung, dem dynamischen Grundgesetz also ∙ Damit haben Sie den berühmten Impulssatz. Allgemein lässt sich dieser auch schreiben in der Form Das bedeutet, dass die Summe aller Kräfte, die auf das Fluid im Kontrollraum wirken, der Summe der Impulsströme entspricht, die die Systemgrenze überschreiten. Betrachtet wird hierbei jedoch nicht der Gesamtimpulsstrom, sondern lediglich die Differenz zwischen eintretenden und austretenden Impulsströmen. Bei einem Flugzeugtriebwerk hätten Sie beispielsweise die angesaugte Luft und den zugeführten Kraftstoffstrom als Eingangsimpulsstrom und den Abgasstrahl als Ausgangsimpulsstrom. Noch einfacher liegen die Dinge bei einem Raketentriebwerk. Hier liegt kein Eingangsimpulsstrom sondern lediglich ein einziger Ausgangsimpulsstrom in Form des Abgasstrahls vor. 159 6. Impulssatz 6.3 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum Zur Aufbesserung Ihres kargen studentischen Budgets haben Sie eine Aushilfstätigkeit bei einer Heizungsfirma angenommen. Während der Montage eines Rohres an der Kellerwand überlegen Sie sich, welche Lasten dieses Bauteil wohl später im laufenden Betrieb aufnehmen wird. Definition eines Kontrollraums In Gedanken schneiden Sie aus dem Rohr ein kurzes Stück heraus und definieren eine virtuelle Grenze (= Systemgrenze) um diesen Bereich. Anschließend überlegen Sie sich welche Masseströme ein- und austreten, welche Drücke an den Schnittflächen auftreten und welche Kräfte auf das System wirken. Diese Vorgehensweise kennen Sie bereits aus Ihrem zweiten Lieblingsfach, der Thermodynamik. Erfreulicherweise ist die Situation für solch ein gerades Rohrstück, wie in Abb. 6-1 skizziert, sehr übersichtlich. (1) (2) K A1 A1 g y x Abb. 6-1: Stationär durchströmtes Rohr mit konstantem Querschnitt ∙ ∙ in den KonAn dem Eintrittsquerschnitt (1) tritt der Massestrom ∙ trollraum ein. An dem Austrittsquerschnitt (2) verlässt der Massestrom ∙ den Kontrollraum. Das Fluid ist inkompressibel ( ) und der Rohr). Da es nur einen Eintrittsquerschnitt und nur eiquerschnitt ist konstant ( nen Austrittsquerschnitt gibt, müssen auch die beiden Masseströme gleich sein. folgt daraus auch . Wegen Analyse der Kräfte An der Ein- und Austrittsfläche wird also die Impulskraft ∙ auftreten. Zusätzlich wird eine Druckkraft ∆ an diesen Flächen in Erscheinung treten: 160 6. Impulssatz ∙ ∆ mit pa äußerer Umgebungsruck pi statischer Druck in der Strömung A Strömungsquerschnitt Tritt der Strahl in die freie Umgebung, beispielsweise bei der Fontäne eines Springbrunnens, so gilt die sogenannte Freistrahlbedingung, das bedeutet, dass der äußere Umgebungsdruck dem austretenden Strahl aufgeprägt wird. Damit verschwindet diese Druckkraft. Die Masse des Fluids, das sich innerhalb des Kontrollraums befindet ergibt eine Gewichtskraft . Bei Gasen kann dieser Beitrag zur Kräftebilanz in der Regel vernachlässigt werden. infolge des Fluids. Die Kontrollfläche K erfährt eine sogenannte Körperkraft Dem entgegen gerichtet wirkt die Haltekraft . Bei einem Flugzeugtriebwerk würde die Körperkraft der Schubkraft des Triebwerks entsprechen und die Haltekraft würde der Last entsprechen, die der Pylon an dem das Triebwerk befestigt ist, aufnehmen muss. Im Falle unseres horizontalen, geraden Rohrstücks mit konstantem Querschnitt lautet die Kräftebilanz allgemein oder ∆ ∆ Die Reibung infolge der an der Wand auftretenden Schubspannung wurde der Einfachheit halber in dieser Bilanz vernachlässigt. In der Regel ist die Bestimmung der Körperkraft oder der Haltekraft von Interesse, also ∆ ∆ beziehungsweise ∙ ∆ ∆ Im zweidimensionalen Fall lässt sich diese Gleichung für die Komponenten in xund y-Richtung schreiben als ∙ ∆ ∆ ∙ ∆ ∆ beziehungsweise ∙ ∙ ∙ ∆ ∙ ∆ ∆ ∙ ∆ ∆ ∙ ∆ ∆ ∙ ∆ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 161 6. Impulssatz Für die Winkel ergibt sich entsprechend dem Koordinatensystem in Abb. 6-1: 0, 0, ∆ 0, , ∆ 3/2 Damit vereinfachen sich die beiden Gleichungen zu ∙ ∆ ∆ Infolge des konstanten Querschnitts ergibt sich für die Geschwindigkeiten und für die Drücke ∆ ∆ . Damit ergibt sich für die Körperkraft 0 beziehungsweise 0 und 0 Das bedeutet, dass das betrachtete Rohrsegment bei reibungsfreier Betrachtung lediglich das Eigengewicht des im Rohr befindlichen Fluids aufnehmen muss. Eine Belastung infolge der Durchströmung, also eine Impulskraft, erfolgt nicht. Dieses Ergebnis erscheint auf den ersten Blick natürlich trivial. Allerdings können Sie sofort erkennen, in welchen Fällen bei durchströmten Rohren eine Impulskraft auftritt und wann nicht. Die physikalische Ursache für das Auftreten von Kräften in durchströmten Systemen ist die Differenz zwischen ein- und austretenden Impulsströmen. Erst wenn diese Differenz in der betrachteten Koordinatenrichtung ungleich null ist, kann eine Kraft in Erscheinung treten. Das ist immer dann der Fall, wenn eine Querschnittsänderung (Düse oder Diffusor) oder eine Richtungsänderung (Rohrkrümmer) vorliegt. Allgemeiner Fall Betrachten Sie ein System bei dem mehr als ein Eintritts- und mehr als eine Austrittsfläche vorliegen, also beispielsweise bei einem Verbrennungsmotor mit mehreren Ein- und Auslassventilen, so sind die Impulsströme und Druckkräfte an jeder einzelnen Ein- und Austrittsfläche zu berücksichtigen. ∆ beziehungsweise 162 ∆ 6. Impulssatz ∙ ∙ ∆ ∆ 6.4 Anwendungsprinzip des Impulssatzes Generell lassen sich Impulsaufgaben nach einem recht einfachen Schema berechnen. Mit etwas Übung werden Sie später solche Aufgabe auch bereits durch einfache Betrachtung lösen können. - Definieren Sie einen Kontrollraum für das Problem. Dabei ist es sehr häufig günstig, sich an den physikalischen Grenzen des Systems, also beispielsweise der Rohrwand zu orientieren. - Identifizieren Sie alle Ein- und Austrittsebenen. Sofern Sie selbst der Konstrukteur sind, wird es ein Leichtes sein zu erkennen, wo etwas ein- und ausströmt. - Tragen Sie an allen Ein- und Austrittsflächen die Vektoren für die Geschwindigkeit und die Druckkraft ein. Insbesondere bei der Druckkraft ist die Wirkungsrichtung im Voraus nicht immer eindeutig zu erkennen. Das ist aber völlig unproblematisch. Tragen Sie eine beliebige Richtung senkrecht zur Ein- beziehungsweise Austrittsfläche ein und rechnen Sie das Problem damit durch. Sollten Sie am Ende ein negatives Vorzeichen für die Druckkraft erhalten, wissen Sie, dass in der Realität die Kraft in der umgekehrten Richtung wirkt. Was Sie auf keinen Fall tun sollten, ist den Vektor während der Berechnung zu drehen. - Tragen Sie den Vektor für die Gewichtskraft des Fluids ein. Das kann bei Gasen entfallen. Ebenso liefert die Gewichtskraft des Fluids keinen Beitrag zur Impulskraft wenn diese senkrecht zur Strömungsrichtung orientiert ist. - Bestimmen Sie die Winkel zu den Geschwindigkeitsvektoren, den Vektoren der Druckkraft und der Gewichtskraft. Dabei ist die Wahl des Koordinatensystems beliebig. Es empfiehlt sich jedoch eine Achse parallel oder senkrecht zu einer Ein- oder Austrittsebene zu legen. Der Winkel alpha wird links drehend positiv gegenüber der x-Achse angetragen. - Bestimmen Sie zur Berechnung des Massestroms und der Druckkräfte für alle Ein- und Austrittsebenen den statischen Druck p und die Geschwindigkeit c. Sollten diese Werte nicht gegeben sein, so hilft in (fast) allen Fällen die Bernoulli-Gleichung und die Kontinuitätsgleichung. Bei Gasen könnte unter Umständen noch die Zustandsgleichung des idealen Gases hilfreich sein. Mehr werden Sie an Formeln sicher nicht benötigen. - Setzen Sie die Impulsgleichung für die Körperkraft in x- und y-Richtung entsprechend dem vorherigen Kapitel an. 163 6. Impulssatz Übung 6-1 Betrachten Sie den in Abb. 6-2 skizzierten 90°-Rohrkrümmer mit konstantem Querschnitt. Dieser wird stationär mit der Geschwindigkeit c1 = c2 = c durchströmt. Der Krümmer liegt horizontal. Ein- und Austrittsfläche sind gleich groß. Sie können die Annahme treffen, dass die Halterung die Gewichtskraft des Rohrkrümmer mit Fluid im statischen Fall aufnehmen kann. Berechnen Sie die zusätzliche Haltekraft , die der Halter an der Wand aufnehmen muss, wenn folgende Größen gegeben sind: - Umgebungsdruck statischer Druck im Eintrittsquerschnitt Strömungsgeschwindigkeit Dichte Rohrinnendurchmesser pa = 1 bar p1 = 2,3 bar c = 10 m/s = 10³ kg/m³ d = 30 mm c A c A d Abb. 6-2: Stationär durchströmter Rohrkrümmer Übung 6-2 Aus einem horizontalen Rohr tritt ein Wasserstrahl aus, trifft auf eine Platte und teilt sich dort in zwei gleich große Teilstrahlen auf. Gesucht ist die Körperkraft auf die Platte und die erforderliche Haltekraft. Wie ändern sich diese Kräfte, wenn die Platte um einen Winkel gegenüber der Ausströmrichtung aus dem Rohr gedreht wird? Gegeben sind folgende Größen: 164 Umgebungsdruck Strömungsgeschwindigkeit Dichte Rohrinnendurchmesser Neigungswinkel der Platte pa = 1 bar c = 10 m/s = 10³ kg/m³ d = 30 mm = 0°, 10° 6. Impulssatz Abb. 6-3: Strahl auf eine ebene Platte Übung 6-3 Ein Tischtennisball kann durch einen ihn umströmenden Luftfreistrahl so in der Schwebe gehalten werden, dass er sich nicht zu bewegen scheint. Dazu muss eine Kraft aufgebracht werden, die bei richtiger Abstimmung aller Größen in der Lage ist, das Gewicht des Balls zu kompensieren. Das Eigengewicht des Luftstrahls kann vernachlässigt und die Strömung kann als stationär und inkompressibel betrachtet werden. Setzen Sie den Eintrittsquerschnitt A1, die Geschwindigkeit c1 und den Winkel 1 sowie das Gewicht G des Balls als bekannt voraus. c2 2 A1 G c1 1 g y x Abb. 6-4: Schwebender Tischtennisball in einer Luftströmung 165 6. Impulssatz 1. Berechnen Sie die Reaktionskraft Rx auf den Tischtennisball in x-Richtung! 2. Berechnen Sie die Reaktionskraft Ry auf den Tischtennisball in y-Richtung! 3. Berechnen Sie den Austrittswinkel 2 des Luftstrahls aus den gegebenen Größen. 4. Bestimmen Sie die Abströmgeschwindigkeit c2 in Abhängigkeit der gegebenen beziehungsweise berechneten Größen. Übung 6-4 Zur Stromversorgung Ihrer auf h = 2000m Höhe gelegenen Berghütte beschließen Sie eine Windkraftanlage zu installieren. Im Vorfeld führen Sie über einen gesamten Jahreszyklus eine Messung der Windgeschwindigkeit am vorgesehenen Ort für das Minikraftwerk durch. Dabei ermitteln Sie eine mittlere Windgeschwindigkeit von c = 5 m/s. Die maximale Bauteilgröße, die Sie im Tragegestell auf den Berg transportieren können beträgt lmax = 2 m. 1. Berechnen Sie die maximale Leistung, die Sie im Idealfall aus der Windkraftanlage entziehen können. 2. Berechnen Sie die Kraft auf die Achse des Rotors. 166 7. Drallsatz 7 Drallsatz Im letzten Kapitel hatten Sie die Auswirkungen von Geschwindigkeitsänderungen beziehungsweise von Richtungsänderungen in einem translatorisch durchströmten System kennengelernt. Die zeitliche Änderung des Impulses ergibt den Impulsstrom, also eine Kraft. Im folgenden Kapitel werden Sie die Auswirkung von rotatorisch durchströmten Systemen betrachten. Solchen Systemen begegnen Sie relativ häufig, sei es bei technischen Anwendungen, wie beispielsweise einer Kreiselpumpe oder einem Turboluftstrahltriebwerk oder in der Natur bei einem Wasserstrudel. Des Weiteren werden wir die Frage klären, warum wir (fast) alle im Schulsport beim Reckturnen so häufig einen eher traurigen Anblick boten. 7.1 Drallerhaltung In Analogie zum Impuls lässt sich bei rotierenden Strömungen der sogenannte Drehimpuls oder auch Drall definieren. Dessen zeitliche Änderung entspricht dem Drallstrom, also einem Moment. Der lineare Impuls eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine Geschwindigkeit als ∙ Für eine punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor Drehimpuls zu der Drall oder ∙ Da der Drehimpuls eine Funktion des Ortvektors ist, besteht immer eine Abhängigkeit des Dralls von seinem Bezugspunkt. Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses bei der sich eine Kraft ergibt, folgt für die zeitliche Änderung des Dralls ein Moment Das heißt die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des Dralls. Starrer Körper in Rotation Rotiert ein Massepunkt m mit der Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse (Abb. 7-1), so gilt für die Geschwindigkeit des Massepunkts Für den Drehimpuls des Massepunkts gilt ∙ ∙ 167 7. Drallsatz z m (O) y x Abb. 7-1: Rotation eines starren Körpers Gesamtdrehimpuls des starren Körpers Liegt bei einem starren Körper eine homogene Masseverteilung vor, so gilt für alle Teilmassen mi ∙ ∙ Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung 0 0 und damit ∙ ∙ 0 0 0 ∙ ∙ ∙ ∙ 0 ∙ ∙ ∙ Mit dem Abstand , des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den Drehimpuls des gesamten Körpers ∙ 168 , ∙ 7. Drallsatz Die Summe in der Klammer in dieser Gleichung beschreibt das Massenträgheitsmoment des starren Körpers, nämlich ∙ , Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J ∙ ∙ , ∙ Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment ∙ ∙ ∙ Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls Aus der Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit folgt wegen ∙ ∙ also ∥ dass Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, somit ergibt das Kreuzprodukt 0 und es gilt Mit ment ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmo- In der anderen Richtung betrachtet bedeutet dies aber, dass ein Drehmoment eine zeitliche Änderung des Drehimpulses bewirkt, ebenso wie eine Kraft eine zeitliche Änderung des Impulses bewirkt, also also Impulsstrom = Kraft und 169 7. Drallsatz also Drallstrom = Moment. Der Drallstrom entspricht somit der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt. Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum entspricht der Summe aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente ∙ oder ∙ beziehungsweise und beinhalteten die Momente an den Ein- und AustrittsDie Momente flächen des Kontrollraums infolge von Druck- und Reibungskräften. Das Moment wird durch Reibungskräfte an der Innenseite des Kontrollraums, das Moment wird durch Stützkräfte auf Einbauten und das Moment wird durch die Gewichtskraft hervorgerufen. Relevant ist das Drehmoment um die Bezugsachse. Beiträge können in diesem Fall nur diejenigen Geschwindigkeitskomponenten liefern, die senkrecht auf einen Radius zur Drehachse vorliegen. ∙ ∙ ∙ Im reibungsfreien Fall verschwindet das Moment und es gilt M = 0, also ∙ ∙ oder ∙ Drehimpulserhaltung Solange keine äußeren Momente auf das System wirken, bleibt auch der Drehimpuls des Systems konstant. Aus der Bedingung 0 folgt 0 beziehungsweise . Da sich der Drehimpuls auch als Produkt aus Masseträgheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit schreiben lässt, führt uns dies wieder zurück zu der ursprünglichen Frage, warum wir fast alle beim Reckturnen im Schulsport solch einen traurigen Anblick boten. Die Übung wäre sehr einfach gewesen, hätte der Sportlehrer den Drallsatz erklären können. 170 7. Drallsatz Drehimpulserhaltung bedeutet, es gilt . Bei der Rotation um eine einzige Achse, in diesem Fall um die Reckstange, vereinfacht sich die Gleichung zu ∙ . Das Masseträgheitsmoment ergibt sich aus der Masseverteilung des Körpers zur Drehachse. Je näher der Schwerpunkt zur Drehachse wandert, umso kleiner wird das Trägheitsmoment, beziehungsweise es wird umso größer, je weiter der Schwerpunkt sich von der Drehachse entfernt (Abb. 7-2). Reckstange (1) Körperschwerpunkt Kreisbahn Schwerpunktbahn (2) Abb. 7-2: Schüler beim Feldaufschwung an der Reckstange Bei Vernachlässigung der Reibungskräfte muss der Gesamtdrehimpuls konstant bleiben. Eine Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit . Um Schwung aufzunehmen befindet sich der Turner in gestreckter Haltung, Position (1). Somit befindet sich sein Körperschwerpunkt in maximaler Entfernung von der Drehachse. Beim Durchgang durch den unteren Totpunkt, Position (2), werden die Beine angewinkelt, wodurch sich der Körperschwerpunkt näher zur Drehachse verschiebt und das Trägheitsmoment in Bezug auf die Reckstange kleiner wird. Aus der Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls folgt entsprechend ∙ ∙ . beziehungsweise ⇒ 171 7. Drallsatz dass die Winkelgeschwindigkeit bei verkleinertem Trägheitsmoment jetzt ansteigen muss und der Turner eine nach oben beschleunigte Bewegung um die Reckstange ausführt. Dieser Effekt lässt sich in den unterschiedlichsten Anwendungen beobachten, beispielsweise beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhochachse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um die Drehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls führt zu einer Erhöhung der Drehrate, infolgedessen die Eiskunstläuferin mit stark erhöhter Drehgeschwindigkeit um ihre Hochachse rotiert. Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) lässt sich auch leicht mit Hilfe eines drehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten, beispielsweise zwei Büchern49 nachvollziehen. Mit seitlich ausgestreckten Armen halten Sie in jeder Hand ein jeweils gleich schweres Buch und versetzten den Bürostuhl in eine Drehung. Ziehen Sie die beiden Bücher zu sich heran, so nimmt die Drehgeschwindigkeit automatisch zu. Bevor Ihnen vollständig übel wird, strecken Sie die beiden Bücher einfach wieder so weit als möglich seitlich von sich weg und die Drehung verlangsamt sich wieder. Dabei sollten Sie darauf achten, dass die Gewichtsverteilung symmetrisch zur Drehachse verläuft, da andernfalls die Gefahr besteht, dass der Stuhl bei der Drehung kippt. Diesen Versuch haben Sie sicher in der einen oder anderen Form schon einmal durchgeführt. Aber den nächsten Versuch kennen Sie vielleicht noch nicht. Alles was Sie dazu benötigen sind wieder ein Drehstuhl und ein Rad, beispielsweise das Vorderrad Ihres alten Drahtesels. Es empfiehlt sich die Radachse mit zwei Griffen zu versehen, da die eventuell auftretenden Kippmomente recht groß werden können und Gefahr besteht, dass die teuren Radspeichen Schaden nehmen, falls Sie Ihre Finger in das rotierende Rad bringen. Zu Beginn des Versuches halten Sie die Radachse senkrecht zur Drehachse des Stuhls (Abb. 7-3a). Sie versetzen das Rad in eine Rotation und harren der Dinge, die kommen mögen. Der Drehimpulsvektor des Rades zeigt in z-Richtung und leistet keinen Beitrag in y-Richtung, also die Drehachse Ihres Bürostuhls. Somit verbleiben Sie auf Ihrem Stuhl in Ruhe. Interessant wird der Versuch, wenn Sie das rotierende Rad um 90 Grad drehen, so dass die Radachse jetzt parallel zur Drehachse des Stuhls liegt, also in y-Richtung zeigt (Abb. 7-3b). Da zu Beginn der Gesamtdrehimpuls gleich Null war, darf sich an dieser Bedingung nichts ändern. Um die Forderung nach einem unveränderten Drehimpuls zu erfüllen, muss der Drall des Rades durch einen betragsmäßig gleich großen, aber mit einem entgegengesetzten Vorzeichen versehenen Drallvektor kompensiert werden. Als Folge begin–––––––––– 49 172 Bücher: Dicke, bedruckte Papierstapel, die an einer Seite, dem Buchrücken zusammengeleimt sind. Sie finden diese sogenannten Bücher in gehäufter Form an einem heute meist verwaisten, geheimnisvollen Ort, der auch Bibliothek genannt wird. In der Regel wird dieser Ort von Studenten eher gemieden. Bis ins 21. Jahrhundert bildeten gedruckte Bücher die Grundlage zur Aneignung von Wissen, verloren jedoch mit der zunehmenden Verbreitung von internetfähigen Mobiltelefonen fast gänzlich an Bedeutung und sind bei heutigen Studenten nahezu unbekannt. Trotz der nach gegenwärtigen Maßstäben sehr begrenzten Speicherkapazität, hatten Bücher einen unschlagbaren Vorteil: Auch bei vollständigem Ausfall der Stromversorgung blieb die Speicherfähigkeit erhalten. Ebenso waren Sie vergleichsweise robust, nur wenig anfällig gegenüber mechanischer Belastung und ertrugen auch Stürze aus größeren Höhen völlig unbeschadet. Gefahr drohte ihnen allenfalls von ideologischer Seite, als es beispielsweise in der finsteren Phase der neueren deutschen Geschichte bedauerlicherweise üblich wurde das Trägermaterial unliebsamen Gedankengutes zu verbrennen, anstatt zu lesen. 7. Drallsatz nen Sie sich auf dem Drehstuhl in entgegen gesetzter Drehrichtung um die y-Achse zu drehen. Achten Sie bei diesem Versuch unbedingt auf eine feste Haltemöglichkeit der Radachse! y y y x z z Abb. 7-3: Versuch zur Drehimpulserhaltung a) Rad rotiert parallel zur z-Achse, b) Rad rotiert parallel zur y-Achse Einfluss der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen – Tornado Voraussetzung für die Entstehung eines Tornados ist das Zusammentreffen einer trocken-kalten Luftmasse mit einer feucht-warmen Luftmasse. Sobald sich die kalte Luft trotz ihrer größeren Dichte über die warme Luftmasse schiebt, bildet sich eine instabile Schichtung mit großem vertikalem Temperaturunterschied. Kalte Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeit aufzunehmen als warme Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes, was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch die Kondensation wird zusätzliche Wärme freigesetzt, wodurch es zur Ausbildung einer nach oben gerichteten Luftbewegung kommt. Die dabei frei werdende Energie entspricht genau der Energie, die zuvor in Form von solarer Einstrahlung aufgewendet wurde, um das Wasser von der flüssigen in die gasförmige Phase umzuwandeln (Verdampfungsenthalpie). Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft auf der Nordhalbkugel einen linksdrehenden Wirbel mit einem Durchmesser von wenigen Metern. Auf der Südhalbkugel bildet sich entsprechend ein rechtsdrehender Wirbel. Die große Rotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung. Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten bewirken Zentrifugalkräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des Wirbels. Die oben liegende Kaltluft wird jetzt, infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die der unten liegenden Warmluft, nach unten gesaugt. Die kondensierte Feuchte aus der feucht-warmen Luft bewirkt das Erscheinungsbild des dunklen „Rüssels“ des Tornados, der von der Gewitterwolke auf den Erdboden herabhängt. Das wäre alles sehr schön anzuschauen, wären da nicht die destruktiven Begleiterscheinungen, infolge des starken Druckgefälles und der hohen Windgeschwindigkeiten im Wirbelkern des Tornados. 173 7. Drallsatz 7.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen Drall kann in einer Strömung durch die Umlenkung an einem Leitblech oder einer Schaufel entstehen. Dadurch wird dem Fluid zusätzlich zur translatorischen Bewegung noch eine rotatorische Bewegung aufgeprägt. Ein schönes Anwendungsbeispiel für diesen Prozess sind Strömungsmaschinen. Das sind Maschinen, die entweder einer Strömung Energie zuführen (Verdichter, Kompressoren oder Pumpen) oder der Strömung Energie entziehen (Turbine). In Abhängigkeit von der Bauform unterscheidet man zwischen Axial- und Radialmaschinen. Axial durchströmte Maschinen sind im Wesentlichen dadurch gekennzeichnet, dass sie sehr hohe Strömungsgeschwindigkeiten und damit hohe Masseströme erlauben, jedoch vergleichsweise geringe Druckänderungen bewirken. Radial durchströmte Maschinen hingegen zeichnen sich durch hohe Druckänderungen bei relativ geringen Geschwindigkeiten aus. 7.2.1 Drall am Beispiel einer axialen Strömungsmaschine Radial als auch axial durchströmte Maschinen bestehen immer aus einer paarweisen Anordnung von einem Laufrad, das sich auf der Achse dreht und einem Leitrad, das mit dem Gehäuse verbunden ist und still steht. Diese Kombination aus Lauf- und Leitrad wird auch als Stufe bezeichnet. Die infolge der radialen Umlenkung der Strömung entstehende Geschwindigkeitsverteilung soll am Beispiel der in Abb. 7-4 skizzierten axial durchströmten Verdichterstufe erläutert werden. Die Strömung bewegt sich mit der axialen Geschwindigkeit c1 in der Ebene (1) auf das Laufrad zu, das sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u1 dreht. Damit ergibt sich für die Strömung die Relativgeschwindigkeit w1 zum Laufrad, das unter dem Winkel 1 angeströmt wird. Die Strömung hat nun zusätzlich zur translatorischen Geschwindigkeit eine rotatorische Komponente, also einen Drall. Stromabwärts des Laufrads, in der Ebene (2), wird die Strömung um den Winkel 2 umgelenkt und hat nun zum Laufrad die Relativgeschwindigkeit w2. Das feststehende Leitrad hat die Aufgabe die Strömung wieder in axialer Richtung umzulenken. Die axiale Geschwindigkeitskomponente ca bleibt in allen drei Ebenen konstant. Der Druckanstieg ergibt sich im Wesentlichen durch das Laufrad, da hier die Relativgeschwindigkeit von w1 auf w2 verzögert. Die anschließende Umlenkung in radialer Richtung durch das Leitrad bewirkt eine weitere Verzögerung der Relativgeschwindigkeit und damit einen zusätzlichen Druckanstieg in Strömungsrichtung. Gehäuse (1) (2) (3) (2) (1) (3) A A Laufrad Leitrad Laufrad Leitrad Abb. 7-4: Axial durchströmte Verdichterstufe a) Schnitt durch eine Stufe einer axial durchströmten Strömungsmaschine, b) Abwicklung des koaxialen Schnitts A–A 174 7. Drallsatz 7.2.2 Drall am Beispiel einer radialen Strömungsmaschine Eine andere sehr weit verbreitete Bauform von Strömungsmaschinen sind Radialmaschinen. Hier erfolgt eine Beschleunigung der Strömung hauptsächlich in radialer Richtung. Die Geschwindigkeitsverhältnisse an einem Laufrad eines Radialverdichters sind in Abb. 7-5 skizziert. Den wesentlichen Beitrag zum Druckanstieg liefert die Erhöhung der Umfangsgeschwindigkeit zwischen Eintrittsebene (1) und Austrittsebene (2) von u1 auf u2. (1) (2) Gehäuse (2) r2 (1) rm1 (1) (2) rm2 r1 Laufrad Abb. 7-5: Geschwindigkeitsverhältnisse am Laufrad eines Radialverdichters Die vom Laufrad auf das Fluid übertragene Leistung P12 ergibt sich aus dem mittleren Radius rm beziehungsweise dem mittleren Durchmesser dm der Stromfläche. Die Stromfläche A berechnet sich aus den Radien r1 und r2 entsprechend ∙ ∙ ∙ mit ∙ ergibt sich für die auf das mit rotie- Mit der Umfangsgeschwindigkeit rende Laufrad übertragene Leistung ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ bezogen, so ergibt sich die spezifische Wird die Leistung auf den Massestrom m technische Arbeit wt,12 oder auch Y ∙ ∙ 175 7. Drallsatz Übung 7-1 Für das in Abb. 7-5 skizzierte Laufrad einer einstufigen Pumpe gilt - Zu- und Abströmgeschwindigkeit: c1 = 20 m/s, c2 = 40 m/s - Strömungswinkel: 1 = 75°, 2 = 25° - Laufradabmessungen: rm,1 = 0,07 m, rm,2 = 0,1 m - Massenstrom: - Drehzahl: n = 1200 min-1 - Gesamtwirkungsgrad: P = 65% = 50 kg/s 1. Berechnen Sie das Moment M, das das Laufrad auf die Strömung ausübt. 2. Berechnen Sie die aufgenommene Leistung Pges der Pumpe. 3. Berechnen Sie die spezifische technische Arbeit wt,12, die die Pumpe an die Strömung abgibt. 176 Literaturverzeichnis Literaturverzeichnis Anderson J. D. (1985): Fundamentals of Aerodynamics, McGraw-Hill Book Company Anderson J. D. (1985): Introduction to Flight, McGraw-Hill Book Company Böswirth, L. (2007): Technische Strömungslehre, 7. Auflage, F. Vieweg und SohnVerlag/ GWV Fachverlag GmbH, Wiesbaden Geller W. (2015): Thermodynamik für Maschinenbauer, Springer-Verlag Berlin, 5. Auflage Gerthsen C., Kneser H.O., Vogel H. (1982): Physik, Springer Verlag Berlin, 14. Auflage Kaskas, A. A. (1970): Schwarmgeschwindigkeiten in Mehrkornsuspensionen am Beispiel der Sedimentation, Diss. TU Berlin Kümmel, W. (2007): Technische Strömungsmechanik, 3. Auflage, Teubner-Verlag/ GWV Fachverlag GmbH, Wiesbaden Liljequist G. H. (1984): Allgemeine Meteorologie, Vieweg Verlag Braunschweig, 3. Auflage Moody, F.(1944): Friction Factors for Pipe Flow, Transactions of the A.S.M.E., S.671 - 684 Richter, H. (1971): Rohrhydraulik, 5. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg Schlichting H, Truckenbrodt E. (1967): Aerodynamik des Flugzeugs, Erster Band, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg Schlichting H, Truckenbrodt E. (1969): Aerodynamik des Flugzeugs, Zweiter Band, 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg Schlichting, H. (1982): Grenzschicht-Theorie, 8. Auflage, Verlag G. Braun, Karlsruhe Siegloch, H. (1996): Technische Fluidmechanik, 3. Auflage, VDI-Verlag Düsseldorf Stephan K., Mayinger F. (2013): Thermodynamik, Springer-Verlag Berlin, 19. Auflage, 2013 Truckenbrodt, E. (1983): Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik, SpringerVerlag Berlin Truckenbrodt, E. (1996): Fluidmechanik Band 1, Springer-Verlag Berlin , 4. Auflage Weast R.C., Astle M.J. (1979): Handbook of Chemistry and Physics, 60th Edition, CRC Press Inc., Boca Raton, Florida Wittfogel, K.A. (1931): Wirtschaft und Gesellschaft Chinas. Versuch der wissenschaftlichen Analyse einer großen asiatischen Agrargesellschaft. 1. Teil: Produktivkräfte, Produktions- und Zirkulationsprozess. C.L. Hirschfeld, Leipzig 177 Anhang Stichwortverzeichnis Ablösegebiet 115 Ablösung 20 Absorption 24 Adhäsionskräfte 23 adiabat 104 Adsorption 24 Aerodynamik 13 Aerostatik 13 Aggregatszustände 23 Ähnlichkeitskennzahlen 105 Aktionsprinzip 159 Alembertsches Paradoxon 121 Anziehungskräfte intermolekulare 24 Atmosphäre 68 Auftrieb dynamischer 54 statischer 54 Auftriebskraft 55 Austrittsverluste 144 Bahnkurve 14 Barometer Quecksilber 44 Benetzung form 27 hydrophil 27 hydrophob 27 Bernoulli-Gleichung 17, 96 Bruchgrenze 13 Carnot-Stoß 145 Dampfdruck 39 Dampfdruckkurve 23, 39 Dampftafel 39 diabat 104 Diffusor 145 Drall 168 Drallstrom 168 Drallvektor 173 Drehimpuls 168 Drehimpulserhaltung 171 Druck 17, 31 Absolut- 31 bohrung 41 gesamt 41 messung 41 Rückgewinn 145 178 sensor 41 sonde 41 statischer 40 total 40 verlust 136 Wirk- 148 Durchfluss Koeffizient 149 Zahl 148 Einbauten 142 Eintrittsverlust 143 Energie erhaltungssatz 91 innere 93 System- 93 Transport- 93 Enthalpie 94 Ersatzdurchmesser hydraulischer 150 Exosphäre 71 Expansionszahl 149 Flächen-Deviationsmoment 48 Flächenschwerpunktskoordinate 46 Flächenträgheitsmoment 47 Fluide 11, 19, 20 ideale 19 inkompressible 20 kompressible 20 Newton‘sche 13 reale 19 reibungsbehaftete 19 reibungsfreie 19 Fluidmechanik 11 Freiheitsgrade 23 Freistrahlbedingung 162 Gasdynamik 13 Gasgleichung 22 Gaskonstante spezifische 23, 95 Geoid 82 Gibbs'sche Phasenregel 23 Grenzflächenspannung 24 Grenzschicht 19, 102 Strömungs- 103 Temperatur- 104 Grenzschichttheorie Prandtlsche 107 Haftungsbedingung 19, 103 Anhang Haltekraft 162 Hauptsatz erster 93 Heaviside-Schichten 70 Höhe 81 absolute 82 Dichte- 86 Druck- 83 geometrische 81 geopotentielle 82 metazentrische 60 Hydraulik 13 Hydromechanik 13 Hydrostatik 13, 31 Hyperschall 13 Impuls 160 Impulssatz 160 Impulsstrom 160 Ionosphäre 70 Isobarenfläche 61, 65, 85 Kapillar aszension 27 depression 27 kraft 28 methode 29 wirkung 27 Kármánsche Wirbelstraße 116 Kavitation 39 Kohäsionskräfte 23 Kompressibilität 20 Kontinuitätsgleichung 17, 90 Kontinuumsannahme 14 Kontinuumshypothese 13 Kontraktionszahl 144 Körperkraft 162 Kraftstoß 160 Krümmungsdruck 25 laminar 104 Mach-Zahl 13 Manometer Schrägrohr 42 U-Rohr 42 Masseerhaltungssatz 90 Massenpunktdynamik 12 Massenträgheitsmoment 170 Massestrom 17 Mesosphäre 70 Metazentrum 60 Molekularkräfte 23 Nachlaufdelle 117 Niveaufläche 61 Normatmosphäre 76 Nußelt-Zahl 105 Oberflächenspannung 24 Pascalsches Paradoxon 34 Péclet-Zahl 105 Perpetuum Mobile 96 Phasen 23 Pitot-Rohr 42 Potentialströmungen 19 Prandtl Grenzschichtgleichung 107 Korrekturfaktor 113 Zahl 106, 114 Prandtl-Rohr 42 Randwinkel 27 Reaktionsprinzip 159 Recovery-Faktor 109 Reynolds-Zahl kritische 117 Rheologie 13 Ringmethode 30 Rohrreibungszahl 138 Rohrströmung laminare 134 turbulente 135 Rotationsparaboloid 64 Saugpumpe 38 Schallgeschwindigkeit 13 Schallmauer 13 Schrägrohrmanometer 44 Schwimmachse 60 Schwimmfläche 60 Siededruck 23, 39 Siedetemperatur 23, 39 SI-System 32 Spannung Normal- 24 Schub- 24 Stabilität statische 60 Stalagmometer 29 Staudruck 17 Staupunkt 20, 40 Steighöhe kapillare 28 Stolperdraht 118, 156 Stratopause 70 179 Anhang Stratosphäre 70 Streckgrenze 13 Stromfaden 18 Stromlinie 15 Stromröhre 18 Strömung 13, 18 inkompressibel 13 instationär 18 kompressibel 13 kriechende 154 stationär 18 Strömungen verdünnter Gase 14 Strömungsmaschine axiale 175 radiale 176 Strömungsmechanik 11 Stufe Verdichter 175 Sutherlandformel 79 System 91 grenze 91 Taucherkrankheit 24 Teilchenkräfte 23 Temperaturgrenzschicht 104 Thermosphäre 70 Totwassergebiet 20, 115, 122 Trägheitsprinzip 159 Transition erzwungene 117 natürliche 117 Transitionspunkt 104, 117 Transschall 13 180 Treibhauseffekt 69 Tropopause 70 Troposphäre 70 turbulent 104 Überschall 13 Umlaufbahn 12 Umlaufzeit 12 Umschlagpunkt 104, 117 Unterschall 13 Van-Allen-Strahlengürtel 71 Verlustbeiwert für Einbauten 142 Versuchswesen 12 Viskosität 103 dynamische 103 kinematische 103 Volumen virtuelles 35 Wärmekapazität isobare 94 isochore 94 Weglänge mittlere freie 70 Widerstand Druck 122 Form 122 Gesamt 121 induzierter 126, 131 Reibungs 122 Zähigkeit 103 Zustandsgleichungen 22 kalorische 94 Zustandsgrößen 22 Anhang Anhang Tab. A-1 Stoffdaten von Gasen bei 0°C [Stephan K., Mayinger, 2013] .............................................. 182 Tab. A-2: Definitionen der SI-Basiseinheiten [Geller, 2015] ............... 183 Tab. A-3: Physikalische Konstante [Weast, Astle, 1979] ..................... 183 Tab. A-4,5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [Stephan, Mayinger, 2013] ................................................... 184 Tab. A-6,7: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) [Stephan, Mayinger, 2013] ................................................... 186 Tab. A-8a-g: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 ......................... 188 181 Anhang A. Tabellen Gas cp M R [kJ/kgK] [kg/mol] [kJ/kgK ] [-] Helium He 5,2380 4,003 2,0770 1,660 Argon Ar 0,5203 39,950 0,2081 1,660 Wasserstoff H2 14,2000 2,016 4,1250 1,409 Stickstoff N2 1,0390 28,010 0,2968 1,400 Sauerstoff 02 0,9150 32,000 0,2598 1,397 1,0040 28,950 0,2872 1,400 Luft Kohlenmonoxid CO 1,0400 28,010 0,2968 1,400 Stickstoffmonoxid NO 0,9983 30,010 0,2771 1,384 Chlorwasserstoff HCl 0,7997 36,460 0,2280 1,400 Wasser H 20 1,8580 18,020 0,4615 1,330 Kohlendioxid CO2 0,8169 44,010 0,1889 1,301 Distickstofftmonoxid N 20 0,8507 44,010 0,1889 1,285 Schwefeldioxid S02 0,6092 64,060 0,1298 1,271 Ammoniak (R717) NH3 2,0560 17,030 0,4882 1,312 Azetylen C2H2 1,5130 26,040 0,3193 1,268 Methan CH4 2,1560 16,040 0,5183 1,317 CH3Cl 0,7369 50,490 0,1647 1,288 Ethylen C2H4 1,6120 28,050 0,2964 1,225 Ethan (R170) C2H6 1,7290 30,070 0,2765 1,200 Ethylchlorid C2H5Cl 1,3400 64,510 0,1289 1,106 C2H8 1,6670 44,100 0,1896 1,128 Methylchlorid Propan (R290) Tab. A-1Stoffdaten von Gasen bei 0°C [Stephan K., Mayinger, 2013] 182 Anhang Größe Einheit Zeichen Definition Länge Meter [m] Länge, die das Licht im Vakuum in 1/299792458 Sekunden durchläuft Masse Kilogramm [kg] Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps Zeit Sekunde [s] 9192631770fache Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung. Elektrische Ampère Stromstärke [A] Die Stärke eines zeitlich konstanten elektrischen Stroms, der durch zwei im Vakuum parallel, im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen pro 1 Meter Leiterlänge eine elektrodynamische Kraft von 210-7 N erzeugen würde. Temperatur Kelvin [K] Der 273,16te Teil der Temperatur des Tripelpunktes von Wasser Lichtstärke Candela [cd] Die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung von 5401012 Hz aussendet und deren Strahlstärke in dieser Richtung 1/683 Watt pro Steradiant beträgt. Stoffmenge Mol [mol] Die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in 0,012 kg des Nuklids 12C enthalten sind. Tab. A-2: Definitionen der SI-Basiseinheiten [Geller, 2015] Boltzmann-Konstante k 1,3805410-23 J/K Planck-Konstante h 6,625610-34 Js Stefan-Boltzmann-Konstante 5,669710-8 W/(K4m2) Avogadro-Konstante N 6,022521023 1/mol Molare Gaskonstante Rm 8,3143 J/(molK) 5 Normdruck pN 1,0132510 Pa Normtemperatur TN 273,15 K Normvolumen VN 22,4136 m3/kmol Erdbeschleunigung g 9,80665 m/s2 Tab. A-3: Physikalische Konstante [Weast, Astle, 1979] 183 Anhang p [bar] 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 [°C] 6,983 17,513 24,10 28,98 32,90 36,18 41,53 45,83 60,09 69,12 75,88 81,35 85,96 89,95 93,51 96,71 99,63 102,32 104,81 107,13 109,32 111,4 113,3 116,9 120,2 123,3 126,1 128,7 131,2 133,5 135,8 137,9 139,9 141,8 143,6 147,9 151,8 158,8 165,0 170,4 175,4 179,9 184,1 188,0 191,6 spezifisches Volumen v' v'' [m³/kg] [m³/kg] 0,001000 129,2 0,001001 67,01 0,001003 45,67 0,001004 34,80 0,001005 28,19 0,001006 23,74 0,001008 18,10 0,001010 14,67 0,001017 7,650 0,001022 5,229 0,001027 3,993 0,001030 3,240 0,001033 2,732 0,001036 2,365 0,001039 2,087 0,001041 1,869 0,001043 1,694 0,001046 1,549 0,001048 1,428 0,001050 1,325 0,001051 1,236 0,001053 1,159 0,001055 1,091 0,001058 0,9772 0,001061 0,8854 0,001064 0,8098 0,001067 0,7465 0,001069 0,6925 0,001072 0,646 0,001074 0,6056 0,001076 0,57 0,001078 0,5385 0,001080 0,5103 0,001082 0,4851 0,001084 0,4622 0,001088 0,4138 0,001093 0,3747 0,001101 0,3155 0,001108 0,2727 0,001115 0,2403 0,001121 0,2148 0,001127 0,1943 0,001133 0,1774 0,001139 0,1632 0,001144 0,1511 spez, Enthalpie spez, Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 29,3 2514 0,106 8,977 73,5 2534 0,2607 8,725 101,0 2546 0,3544 8,579 121,4 2554 0,4225 8,476 137,8 2562 0,4763 8,396 151,5 2568 0,5209 8,331 173,9 2577 0,5925 8,230 191,8 2585 0,6493 8,151 251,5 2610 0,8321 7,909 289,3 2625 0,9441 7,770 317,7 2637 1,0261 7,671 340,6 2646 1,0912 7,595 359,9 2654 1,145 7,533 376,8 2660 1,192 7,480 391,7 2666 1,233 7,435 405,2 2671 1,270 7,395 417,5 2675 1,303 7,36 428,8 2680 1,333 7,328 439,4 2683 1,361 7,298 449,2 2687 1,387 7,272 458,4 2690 1,411 7,247 467,1 2693 1,434 7,223 475,4 2696 1,455 7,202 490,7 2702 1,494 7,162 504,7 2706 1,530 7,127 517,6 2711 1,563 7,095 529,6 2715 1,593 7,066 540,9 2718 1,621 7,039 551,4 2722 1,647 7,014 561,4 2725 1,672 6,991 570,9 2728 1,695 6,969 579,9 2730 1,717 6,949 588,5 2733 1,738 6,93 596,8 2735 1,757 6,912 604,7 2738 1,776 6,894 623,2 2743 1,82 6,855 640,1 2748 1,86 6,819 670,4 2756 1,931 6,759 697,1 2762 1,992 6,705 720,9 2768 2,046 6,659 742,6 2772 2,094 6,62 762,6 2776 2,138 6,583 781,1 2780 2,179 6,550 798,4 2783 2,216 6,519 814,7 2785 2,251 6,491 Tab. A-4: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [Stephan, Mayinger, 2013] 184 Anhang p [bar] 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 110 120 130 140 150 160 180 200 220 221,2 [°C] 195,0 198,3 201,4 204,3 207,1 209,8 212,4 217,2 221,8 226,0 230,1 233,8 237,5 240,9 244,2 247,3 250,3 253,2 256,1 258,8 261,4 263,9 269,9 275,6 280,8 285,8 290,5 295 299,2 303,3 307,2 311 318,1 324,7 330,8 336,6 342,1 347,3 357 365,7 373,7 374,2 spezifisches Volumen v' v'' [m³/kg] [m³/kg] 0,001149 0,1407 0,001154 0,1317 0,001159 0,1237 0,001164 0,1166 0,001168 0,1103 9,001173 0,1047 0,001177 0,09954 0,001185 0,09065 0,001193 0,0832 0,001201 0,07686 0,001209 0,07139 0,001216 0,06663 0,001223 0,06244 0,001230 0,05873 0,001237 0,05541 0,001245 0,05244 0,001252 0,04975 0,001259 0,04731 0,001266 0,04508 0,001273 0,04304 0,001280 0,04116 0,001286 0,03943 0,001303 0,03563 0,001319 0,03244 0,001335 0,02972 0,001351 0,02737 0,001368 0,02533 0,001384 0,02353 0,001401 0,02193 0,001418 0,0205 0,001436 0,01921 0,001453 0,01804 0,001489 0,01601 0,001527 0,01428 0,001567 0,01280 0,001611 0,01150 0,001658 0,01034 0,001710 0,00930 0,001840 0,00749 0,002037 0,00587 0,002671 0,00372 0,003170 0,00317 spez, Enthalpie spez, Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 830,1 2788 2,284 6,465 844,7 2790 2,315 6,441 858,6 2792 2,344 6,418 871,8 2793 2,371 6,396 884,6 2795 2,398 6,375 896,8 2796 2,423 6,355 908,6 2797 2,447 6,337 931 2799 2,492 6,302 951,9 2800 2,534 6,269 971,7 2801 2,574 6,239 990,5 2802 2,611 6,210 1008,4 2802 2,646 6,184 1025,4 2802 2,679 6,159 1041,8 2802 2,71 6,134 1057,6 2802 2,74 6,112 1072,7 2801 2,769 6,090 1087,4 2800 2,797 6,069 1102 2799 2,823 6,048 1115 2798 2,849 6,029 1129 2797 2,874 6,0100 1142 2796 2,897 5,991 1155 2794 2,921 5,974 1185 2790 2,976 5,931 1214 2785 3,027 5,891 1241 2780 3,076 5,853 1267 2774 3,122 5,816 1293 2767 3,166 5,781 1317 2760 3,208 5,747 1341 2753 3,248 5,714 1364 2745 3,287 5,682 1386 2736 3,324 5,651 1408 2728 3,361 5,620 1451 2709 3,43 5,560 1492 2689 3,497 5,500 1532 2667 3,562 5,441 1572 2642 3,624 5,380 1611 2615 3,686 5,318 1651 2585 3,747 5,253 1735 2514 3,877 5,113 1827 2418 4,015 4,941 2011 2196 4,295 4,580 2107 2107 4,443 4,443 Tab. A-5: Sättigungsdampftafel für Wasser (Drucktafel), [Stephan, Mayinger, 2013] 185 Anhang [°C] 0,0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 p [bar] 0,006108 0,008718 0,01227 0,01704 0,02337 0,03166 0,04241 0,05622 0,07375 0,09582 0,1234 0,1574 0,1992 0,2501 0,3116 0,3855 0,4736 0,578 0,7011 0,8453 1,0133 1,208 1,433 1,691 1,985 2,321 2,701 3,131 3,614 4,155 4,76 5,433 6,181 7,008 7,92 8,924 10,027 11,23 12,55 13,99 15,55 17,24 19,08 21,06 23,2 spez. Volumen v' v'' [dm³/kg] [m³/kg] 1,0002 206,3 1,0000 147,2 1,0003 106,4 1,0008 77,98 1,0017 57,84 1,0029 43,4 1,0043 32,93 1,006 25,24 1,0078 19,55 1,0099 15,28 1,0121 12,05 1,0145 9,579 1,0171 7,679 1,0199 6,202 1,0228 5,046 1,0259 4,134 1,0292 3,409 1,0326 2,829 1,0361 2,361 1,0399 1,982 1,0437 1,673 1,0477 1,419 1,0519 1,21 1,0562 1,036 1,0606 0,8915 1,0652 0,7702 1,0700 0,6681 1,075o 0,5818 1,0801 0,5085 1,0853 0,446 1,0908 0,3924 1,0964 0,3464 1,1022 0,3068 1,1082 0,2724 1,1145 0,2426 1,1209 0,2165 1,1275 0,1938 1,1344 0,1739 1,1415 0,1563 1,1489 0,1408 1,1565 0,1272 1,1644 0,115 1,1726 0,1042 1,1811 0,09463 1,1900 0,08604 spez. Enthalpie spez. Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] -0,04 2502 -0,0002 9,158 21,01 2511 0,0762 9,027 41,99 2520 0,151 8,902 62,94 2529 0,2243 8,783 83,86 2538 0,2963 8,668 104,77 2547 0,367 8,559 125,7 2556 0,4365 8,455 146,6 2565 0,5049 8,354 167,5 2574 0,5721 8,258 188,4 2583 0,6383 8,166 209,3 2592 0,7035 8,078 230,2 2601 0,7677 7,993 251,1 2610 0,831 7,911 272,0 2618 0,8933 7,832 293,0 2627 0,9548 7,757 313,9 2635 1,0154 7,684 334,9 2644 1,0753 7,613 355,9 2652 1,134 7,545 376,9 2660 1,193 7,48 398,0 2668 1,25 7,417 419,1 2676 1,307 7,355 440,2 2684 1,363 7,296 461,3 2691 1,419 7,239 482,5 2699 1,473 7,183 503,7 2706 1,528 7,129 525,0 2713 1,581 7,077 546,3 2720 1,634 7,026 567,7 2727 1,687 6,977 589,1 2733 1,739 6,928 610,6 2739 1,791 6,882 632,2 2745 1,842 6,836 653,8 2751 1,892 6,791 675,5 2757 1,943 6,748 697,3 2762 1,992 6,705 719,1 2767 2,042 6,663 741,1 2772 2,091 6,622 763,1 2776 2,139 6,582 785,3 2780 2,188 6,542 807,5 2784 2,236 6,504 829,9 2788 2,283 6,465 852,4 2791 2,331 6,428 875,0 2794 2,378 6,391 897,7 2796 2,425 6,354 920,6 2798 2,471 6,318 943,7 2800 2,518 6,282 Tab. A-6: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) [Stephan, Mayinger, 2013] 186 Anhang [°C] 225 230 235 240 245 250 255 260 265 270 275 280 285 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 371 372 373 374 374,15 p [bar] 25,5 27,98 30,63 33,48 36,52 39,78 43,25 46,94 50,88 55,06 59,5 64,2 69,19 74,46 80,04 85,93 92,14 98,7 105,61 112,9 120,6 128,6 137,1 146,1 155,5 165,4 175,8 186,8 198,3 210,5 213,1 215,6 218,2 220,8 221,2 spez. Volumen v' v'' [dm³/kg] [m³/kg] 1,1992 0,07835 1,2087 0,07145 1,2187 0,06525 1,2291 0,05965 1,2399 0,05461 1,2513 0,05004 1,2632 0,0459 1,2756 0,04213 1,2887 0,03871 1,3025 0,03559 1,3170 0,03274 1,3324 0,03013 1,3487 0,02773 1,3659 0,02554 1,3844 0,02351 1,4041 0,02165 1,4252 0,01993 1,4480 0,01833 1,4726 0,01686 1,4995 0,01548 1,5289 0,01419 1,5615 0,01299 1,5978 0,01185 1,6387 0,01078 1,6858 0,00976 1,7411 0,00879 1,8085 0,00785 1,8959 0,00694 2,016 0,00601 2,2136 0,00497 2,2778 0,00472 2,3636 0,00443 2,4963 0,00408 2,8407 0,00345 3,17 0,00317 spez. Enthalpie spez. Entropie h' h'' s' s'' [kJ/kg] [kJ/kg] [kJ/(kg K)] [kJ/(kg K)] 966,9 2801 2,564 6,246 990,3 2802 2,610 6,211 1013,8 2802 2,656 6,176 1037,6 2802 2,702 6,141 1061,6 2802 2,748 6,106 1085 2800 2,794 6,071 1110 2799 2,839 6,036 1135 2796 2,885 6,001 1160 2794 2,931 5,966 1185 2790 2,976 5,93 1211 2786 3,022 5,895 1237 2780 3,068 5,859 1263 2775 3,115 5,822 1290 2768 3,161 5,785 1317 2760 3,208 5,747 1345 2751 3,255 5,708 1373 2741 3,303 5,669 1402 2730 3,351 5,628 1432 2718 3,400 5,586 1463 2704 3,450 5,542 11494 2688 3,501 5,497 1527 2670 3,553 5,449 1560 2650 3,606 5,398 1596 2626 3,662 5,343 1633 2599 3,719 5,283 1672 2568 3,780 5,218 1717 2530 3,849 5,144 1764 2485 3,921 5,06 1818 2428 4,002 4,958 1890 2343 4,111 4,814 1911 2318 4,141 4,774 1936 2287 4,179 4,724 1971 2244 4,233 4,656 2046 2155 4,349 4,517 2107 2107 4,443 4,443 Tab. A-7: Sättigungsdampftafel für Wasser (Temperaturtafel) [Stephan, Mayinger, 2013] 187 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 T/TH=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 0,0 288,150 101325,000 1,224287 340,393 0,14620 1,000000 0,999418 1,000000 0,0 0,1 287,500 100129,727 1,212580 340,009 0,14736 0,988204 0,989861 0,997744 0,1 0,2 286,850 98945,891 1,200959 339,624 0,14852 0,976520 0,980375 0,995489 0,2 0,3 286,200 97773,414 1,189423 339,239 0,14970 0,964949 0,970958 0,993233 0,3 0,4 285,550 96612,211 1,177973 338,854 0,15088 0,953488 0,961610 0,990977 0,4 0,5 284,900 95462,203 1,166606 338,468 0,15208 0,942139 0,952332 0,988721 0,5 0,6 284,250 94323,305 1,155324 338,082 0,15330 0,930899 0,943122 0,986465 0,6 0,7 283,600 93195,430 1,144126 337,695 0,15452 0,919767 0,933980 0,984210 0,7 0,8 282,950 92078,500 1,133010 337,308 0,15576 0,908744 0,924906 0,981954 0,8 0,9 282,300 90972,438 1,121978 336,920 0,15701 0,897828 0,915900 0,979698 0,9 1,0 281,650 89877,156 1,111028 336,532 0,15827 0,887019 0,906961 0,977442 1,0 1,1 281,000 88792,570 1,100160 336,143 0,15954 0,876315 0,898089 0,975187 1,1 1,2 280,350 87718,617 1,089373 335,754 0,16083 0,865715 0,889284 0,972931 1,2 1,3 279,700 86655,195 1,078667 335,365 0,16213 0,855220 0,880545 0,970675 1,3 1,4 279,050 85602,242 1,068042 334,975 0,16345 0,844828 0,871871 0,968419 1,4 1,5 278,400 84559,672 1,057498 334,585 0,16478 0,834539 0,863263 0,966163 1,5 1,6 277,750 83527,406 1,047033 334,194 0,16612 0,824351 0,854721 0,963908 1,6 1,7 277,100 82505,367 1,036647 333,803 0,16747 0,814265 0,846243 0,961652 1,7 1,8 276,450 81493,477 1,026341 333,411 0,16884 0,804278 0,837829 0,959396 1,8 1,9 275,800 80491,664 1,016113 333,019 0,17023 0,794391 0,829480 0,957140 1,9 2,0 275,150 79499,836 1,005963 332,626 0,17163 0,784602 0,821194 0,954885 2,0 2,1 274,500 78517,938 0,995891 332,233 0,17304 0,774912 0,812972 0,952629 2,1 2,2 273,850 77545,875 0,985896 331,839 0,17447 0,765318 0,804813 0,950373 2,2 2,3 273,200 76583,586 0,975979 331,445 0,17591 0,755821 0,796717 0,948117 2,3 2,4 272,550 75630,984 0,966137 331,051 0,17737 0,746420 0,788684 0,945862 2,4 2,5 271,900 74687,992 0,956372 330,656 0,17885 0,737113 0,780712 0,943606 2,5 2,6 271,250 73754,555 0,946683 330,260 0,18034 0,727901 0,772802 0,941350 2,6 2,7 270,600 72830,578 0,937068 329,864 0,18184 0,718782 0,764954 0,939094 2,7 Tab. A-8a: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 188 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 T/TH=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 2,8 269,950 71916,000 0,927529 329,468 0,18336 0,709756 0,757167 0,936838 2,8 2,9 269,300 71010,742 0,918064 329,071 0,18490 0,700822 0,749440 0,934583 2,9 3,0 268,650 70114,734 0,908673 328,674 0,18645 0,691979 0,741774 0,932327 3,0 3,1 268,000 69227,898 0,899356 328,276 0,18803 0,683226 0,734168 0,930071 3,1 3,2 267,350 68350,172 0,890112 327,877 0,18961 0,674564 0,726622 0,927815 3,2 3,3 266,700 67481,477 0,880941 327,479 0,19122 0,665990 0,719136 0,925560 3,3 3,4 266,050 66621,742 0,871843 327,079 0,19284 0,657505 0,711708 0,923304 3,4 3,5 265,400 65770,898 0,862816 326,679 0,19448 0,649108 0,704340 0,921048 3,5 3,6 264,750 64928,875 0,853861 326,279 0,19614 0,640798 0,697029 0,918792 3,6 3,7 264,100 64095,602 0,844977 325,878 0,19781 0,632574 0,689778 0,916537 3,7 3,8 263,450 63271,004 0,836165 325,477 0,19951 0,624436 0,682583 0,914281 3,8 3,9 262,800 62455,023 0,827422 325,075 0,20122 0,616383 0,675447 0,912025 3,9 4,0 262,150 61647,578 0,818750 324,673 0,20295 0,608414 0,668368 0,909769 4,0 4,1 261,500 60848,609 0,810148 324,270 0,20470 0,600529 0,661345 0,907513 4,1 4,2 260,850 60058,047 0,801615 323,867 0,20647 0,592727 0,654379 0,905258 4,2 4,3 260,200 59275,820 0,793151 323,463 0,20826 0,585007 0,647470 0,903002 4,3 4,4 259,550 58501,863 0,784755 323,059 0,21007 0,577368 0,640616 0,900746 4,4 4,5 258,900 57736,109 0,776427 322,654 0,21189 0,569811 0,633818 0,898490 4,5 4,6 258,250 56978,492 0,768167 322,249 0,21374 0,562334 0,627075 0,896235 4,6 4,7 257,600 56228,941 0,759975 321,843 0,21561 0,554937 0,620388 0,893979 4,7 4,8 256,950 55487,398 0,751850 321,437 0,21750 0,547618 0,613755 0,891723 4,8 4,9 256,300 54753,789 0,743791 321,030 0,21941 0,540378 0,607176 0,889467 4,9 5,0 255,650 54028,059 0,735798 320,623 0,22134 0,533215 0,600652 0,887212 5,0 5,1 255,000 53310,133 0,727872 320,215 0,22330 0,526130 0,594181 0,884956 5,1 5,2 254,350 52599,953 0,720011 319,806 0,22528 0,519121 0,587764 0,882700 5,2 5,3 253,700 51897,449 0,712215 319,398 0,22727 0,512188 0,581400 0,880444 5,3 5,4 253,050 51202,566 0,704483 318,988 0,22930 0,505330 0,575088 0,878188 5,4 5,5 252,400 50515,234 0,696816 318,578 0,23134 0,498547 0,568830 0,875933 5,5 5,6 251,750 49835,391 0,689213 318,168 0,23341 0,491837 0,562623 0,873677 5,6 Tab. A-8b: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 189 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 T/TH=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 5,7 251,100 49162,977 0,681674 317,757 0,23550 0,485201 0,556469 0,871421 5,7 5,8 250,450 48497,926 0,674198 317,345 0,23761 0,478637 0,550366 0,869165 5,8 5,9 249,800 47840,180 0,666785 316,933 0,23975 0,472146 0,544314 0,866910 5,9 6,0 249,150 47189,672 0,659434 316,520 0,24191 0,465726 0,538314 0,864654 6,0 6,1 248,500 46546,348 0,652146 316,107 0,24410 0,459377 0,532364 0,862398 6,1 6,2 247,850 45910,145 0,644919 315,694 0,24632 0,453098 0,526464 0,860142 6,2 6,3 247,200 45280,996 0,637753 315,279 0,24856 0,446889 0,520615 0,857887 6,3 6,4 246,550 44658,852 0,630649 314,865 0,25082 0,440749 0,514816 0,855631 6,4 6,5 245,900 44043,645 0,623606 314,449 0,25311 0,434677 0,509066 0,853375 6,5 6,6 245,250 43435,316 0,616622 314,033 0,25543 0,428673 0,503365 0,851119 6,6 6,7 244,600 42833,812 0,609699 313,617 0,25778 0,422737 0,497714 0,848863 6,7 6,8 243,950 42239,066 0,602836 313,200 0,26015 0,416867 0,492111 0,846608 6,8 6,9 243,300 41651,027 0,596031 312,782 0,26255 0,411064 0,486556 0,844352 6,9 7,0 242,650 41069,637 0,589286 312,364 0,26498 0,405326 0,481050 0,842096 7,0 7,1 242,000 40494,832 0,582599 311,946 0,26744 0,399653 0,475591 0,839840 7,1 7,2 241,350 39926,559 0,575970 311,526 0,26992 0,394044 0,470180 0,837585 7,2 7,3 240,700 39364,758 0,569399 311,107 0,27244 0,388500 0,464816 0,835329 7,3 7,4 240,050 38809,379 0,562886 310,686 0,27499 0,383019 0,459499 0,833073 7,4 7,5 239,400 38260,359 0,556430 310,265 0,27756 0,377600 0,454228 0,830817 7,5 7,6 238,750 37717,645 0,550030 309,844 0,28017 0,372244 0,449004 0,828562 7,6 7,7 238,100 37181,180 0,543687 309,422 0,28281 0,366950 0,443826 0,826306 7,7 7,8 237,450 36650,910 0,537400 308,999 0,28548 0,361716 0,438694 0,824050 7,8 7,9 236,800 36126,781 0,531169 308,576 0,28818 0,356544 0,433608 0,821794 7,9 8,0 236,150 35608,738 0,524994 308,152 0,29092 0,351431 0,428566 0,819538 8,0 8,1 235,500 35096,727 0,518873 307,728 0,29368 0,346378 0,423570 0,817283 8,1 8,2 234,850 34590,691 0,512807 307,303 0,29649 0,341384 0,418618 0,815027 8,2 8,3 234,200 34090,582 0,506796 306,877 0,29932 0,336448 0,413711 0,812771 8,3 8,4 233,550 33596,340 0,500838 306,451 0,30219 0,331570 0,408848 0,810515 8,4 8,5 232,900 33107,918 0,494934 306,024 0,30510 0,326750 0,404028 0,808260 8,5 Tab. A-8c: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 190 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 T/TH=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 8,6 232,250 32625,262 0,489084 305,597 0,30804 0,321986 0,399252 0,806004 8,6 8,7 231,600 32148,318 0,483287 305,169 0,31102 0,317279 0,394520 0,803748 8,7 8,8 230,950 31677,037 0,477542 304,741 0,31403 0,312628 0,389830 0,801492 8,8 8,9 230,300 31211,363 0,471850 304,311 0,31708 0,308032 0,385184 0,799236 8,9 9,0 229,650 30751,250 0,466210 303,882 0,32017 0,303491 0,380580 0,796981 9,0 9,1 229,000 30296,643 0,460622 303,451 0,32330 0,299005 0,376018 0,794725 9,1 9,2 228,350 29847,492 0,455085 303,020 0,32647 0,294572 0,371498 0,792469 9,2 9,3 227,700 29403,750 0,449599 302,589 0,32967 0,290192 0,367019 0,790213 9,3 9,4 227,050 28965,363 0,444163 302,157 0,33292 0,285866 0,362582 0,787958 9,4 9,5 226,400 28532,285 0,438779 301,724 0,33621 0,281592 0,358187 0,785702 9,5 9,6 225,750 28104,463 0,433444 301,290 0,33953 0,277369 0,353832 0,783446 9,6 9,7 225,100 27681,852 0,428159 300,856 0,34290 0,273199 0,349517 0,781190 9,7 9,8 224,450 27264,398 0,422923 300,422 0,34632 0,269079 0,345244 0,778935 9,8 9,9 223,800 26852,059 0,417737 299,986 0,34978 0,265009 0,341010 0,776679 9,9 10,0 223,150 26444,783 0,412599 299,550 0,35328 0,260990 0,336816 0,774423 10,0 10,1 222,500 26042,523 0,407510 299,114 0,35682 0,257020 0,332661 0,772167 10,1 10,2 221,850 25645,232 0,402469 298,677 0,36041 0,253099 0,328546 0,769911 10,2 10,3 221,200 25252,863 0,397476 298,239 0,36405 0,249226 0,324470 0,767656 10,3 10,4 220,550 24865,369 0,392530 297,800 0,36773 0,245402 0,320433 0,765400 10,4 10,5 219,900 24482,703 0,387632 297,361 0,37147 0,241625 0,316434 0,763144 10,5 10,6 219,250 24104,820 0,382780 296,921 0,37525 0,237896 0,312474 0,760888 10,6 10,7 218,600 23731,674 0,377975 296,481 0,37908 0,234213 0,308551 0,758633 10,7 10,8 217,950 23363,217 0,373217 296,040 0,38295 0,230577 0,304667 0,756377 10,8 10,9 217,300 22999,406 0,368504 295,598 0,38688 0,226986 0,300820 0,754121 10,9 11,0 216,650 22632,039 0,363706 295,155 0,39101 0,223361 0,296903 0,751865 11,0 11,5 216,650 20916,561 0,336137 295,155 0,42307 0,206430 0,274398 0,751865 11,5 12,0 216,650 19331,115 0,310659 295,155 0,45777 0,190783 0,253599 0,751865 12,0 12,5 216,650 17865,842 0,287111 295,155 0,49532 0,176322 0,234376 0,751865 12,5 13,0 216,650 16511,637 0,265349 295,155 0,53594 0,162957 0,216611 0,751865 13,0 Tab. A-8d: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 191 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 13,5 216,650 15260,076 0,245236 295,155 0,57990 0,150605 0,200192 0,751865 13,5 14,0 216,650 14103,384 0,226647 295,155 0,62746 0,139190 0,185018 0,751865 14,0 14,5 216,650 13034,366 0,209467 295,155 0,67892 0,128639 0,170994 0,751865 14,5 15,0 216,650 12046,379 0,193590 295,155 0,73460 0,118889 0,158033 0,751865 15,0 15,5 216,650 11133,279 0,178916 295,155 0,79485 0,109877 0,146054 0,751865 15,5 16,0 216,650 10289,393 0,165355 295,155 0,86004 0,101548 0,134983 0,751865 16,0 16,5 216,650 9509,471 0,152821 295,155 0,93057 0,093851 0,124752 0,751865 16,5 17,0 216,650 8788,665 0,141237 295,155 1,0069 0,086737 0,115296 0,751865 17,0 17,5 216,650 8122,497 0,130532 295,155 1,0895 0,080163 0,106557 0,751865 17,5 18,0 216,650 7506,822 0,120638 295,155 1,1788 0,074087 0,098480 0,751865 18,0 18,5 216,650 6937,815 0,111493 295,155 1,2755 0,068471 0,091015 0,751865 18,5 19,0 216,650 6411,938 0,103042 295,155 1,3801 0,063281 0,084116 0,751865 19,0 19,5 216,650 5925,922 0,095232 295,155 1,4933 0,058484 0,077740 0,751865 19,5 20,0 216,650 5474,878 0,087983 295,155 1,6163 0,054033 0,071823 0,751865 20,0 21,0 217,650 4678,053 0,074833 295,836 1,9077 0,046169 0,061088 0,755336 21,0 22,0 218,650 4000,083 0,063695 296,515 2,2499 0,039478 0,051996 0,758806 22,0 23,0 219,650 3422,813 0,054255 297,192 2,6515 0,033781 0,044290 0,762277 23,0 24,0 220,650 2930,926 0,046247 297,868 3,1224 0,028926 0,037753 0,765747 24,0 25,0 221,650 2511,488 0,039450 298,542 3,6742 0,024786 0,032204 0,769217 25,0 26,0 222,650 2153,571 0,033676 299,215 4,3203 0,021254 0,027491 0,772688 26,0 27,0 223,650 1847,935 0,028768 299,886 5,0763 0,018238 0,023484 0,776158 27,0 28,0 224,650 1586,758 0,024592 300,555 5,9603 0,015660 0,020075 0,779629 28,0 29,0 225,650 1363,417 0,021037 301,224 6,9932 0,013456 0,017173 0,783099 29,0 30,0 226,650 1172,297 0,018008 301,890 8,1993 0,011570 0,014700 0,786569 30,0 31,0 227,650 1008,639 0,015426 302,556 9,6067 0,009954 0,012593 0,790040 31,0 32,0 228,650 868,016 0,013217 303,219 11,253 0,008567 0,010790 0,793510 32,0 33,0 231,450 748,252 0,011256 305,070 13,347 0,007385 0,009188 0,803227 33,0 34,0 234,250 646,166 0,009604 306,910 15,798 0,006377 0,007840 0,812945 34,0 Tab. A-8e: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 192 T/TH=0 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 T/TH=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 35,0 237,050 558,981 0,008210 308,739 18,661 0,005517 0,006702 0,822662 35,0 36,0 239,850 484,383 0,007031 310,557 21,999 0,004780 0,005740 0,832379 36,0 37,0 242,650 420,439 0,006033 312,364 25,884 0,004149 0,004925 0,842096 37,0 38,0 245,450 365,529 0,005185 314,161 30,397 0,003607 0,004233 0,851813 38,0 39,0 248,250 318,296 0,004464 315,948 35,632 0,003141 0,003644 0,861530 39,0 40,0 251,050 277,596 0,003850 317,725 41,692 0,002740 0,003143 0,871248 40,0 41,0 253,850 242,469 0,003326 319,492 48,697 0,002393 0,002715 0,880965 41,0 42,0 256,650 212,101 0,002877 321,249 56,781 0,002093 0,002349 0,890682 42,0 43,0 259,450 185,806 0,002493 322,997 66,094 0,001834 0,002035 0,900399 43,0 44,0 262,250 163,002 0,002164 324,735 76,808 0,001609 0,001767 0,910116 44,0 45,0 265,050 143,196 0,001881 326,464 89,115 0,001413 0,001536 0,919833 45,0 46,0 267,850 125,968 0,001637 328,184 103,23 0,001243 0,001337 0,929551 46,0 47,0 270,650 110,906 0,001427 329,895 119,45 0,001095 0,001165 0,939268 47,0 48,0 270,650 97,757 0,001258 329,895 135,52 0,000965 0,001027 0,939268 48,0 49,0 270,650 86,167 0,001108 329,895 153,75 0,000850 0,000905 0,939268 49,0 50,0 270,650 75,951 0,000977 329,895 174,43 0,000750 0,000798 0,939268 50,0 51,0 270,650 66,947 0,000861 329,895 197,89 0,000661 0,000703 0,939268 51,0 52,0 270,650 59,001 0,000759 329,895 224,54 0,000582 0,000620 0,939268 52,0 53,0 268,650 51,981 0,000674 328,674 251,50 0,000513 0,000550 0,932327 53,0 54,0 266,650 45,754 0,000597 327,448 281,93 0,000452 0,000488 0,925386 54,0 55,0 264,650 40,234 0,000529 326,218 316,31 0,000397 0,000432 0,918445 55,0 56,0 262,650 35,345 0,000469 324,983 355,19 0,000349 0,000382 0,911504 56,0 57,0 260,650 31,019 0,000414 323,743 399,20 0,000306 0,000338 0,904564 57,0 58,0 258,650 27,196 0,000366 322,498 449,06 0,000268 0,000299 0,897623 58,0 59,0 256,650 23,820 0,000323 321,249 505,60 0,000235 0,000264 0,890682 59,0 60,0 254,650 20,841 0,000285 319,995 569,78 0,000206 0,000233 0,883741 60,0 61,0 252,650 18,210 0,000251 318,736 642,89 0,000180 0,000205 0,876800 61,0 62,0 248,650 15,890 0,000222 316,203 715,82 0,000157 0,000182 0,862919 62,0 Tab. A-8f: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 193 Anhang H T p c 104 p/pH=0 /H=0 H [km] [K] [Pa] [kg/m³ [m/s] [m²/s] [-] [-] [-] [km] 63,0 244,650 13,835 0,000197 313,649 798,37 0,000137 0,000161 0,849037 63,0 64,0 240,650 12,019 0,000174 311,074 891,99 0,000119 0,000142 0,835155 64,0 65,0 236,650 10,416 0,000153 308,478 998,38 0,000103 0,000125 0,821274 65,0 66,0 232,650 9,005 0,000135 305,860 1119,5 0,000089 0,000110 0,807392 66,0 67,0 228,650 7,766 0,000118 303,219 1257,8 0,000077 0,000097 0,793510 67,0 68,0 224,650 6,679 0,000104 300,555 1416,0 0,000066 0,000085 0,779629 68,0 69,0 220,650 5,729 0,000090 297,868 1597,3 0,000057 0,000074 0,765747 69,0 70,0 216,650 4,901 0,000079 295,155 1805,7 0,000048 0,000064 0,751865 70,0 71,0 212,650 4,180 0,000068 292,418 2045,8 0,000041 0,000056 0,737984 71,0 72,0 208,650 3,554 0,000059 289,655 2323,2 0,000035 0,000048 0,724102 72,0 73,0 204,650 3,013 0,000051 286,865 2644,4 0,000030 0,000042 0,710220 73,0 74,0 200,650 2,545 0,000044 284,047 3017,5 0,000025 0,000036 0,696339 74,0 75,0 196,650 2,143 0,000038 281,202 3452,1 0,000021 0,000031 0,682457 75,0 76,0 192,650 1,798 0,000033 278,327 3959,8 0,000018 0,000027 0,668575 76,0 77,0 188,650 1,503 0,000028 275,423 4554,8 0,000015 0,000023 0,654694 77,0 78,0 184,650 1,252 0,000024 272,487 5254,4 0,000012 0,000019 0,640812 78,0 79,0 180,000 1,038 0,000020 269,034 6042,9 0,000010 0,000016 0,624675 79,0 80,0 180,000 0,858 0,000017 269,034 7305,6 0,000008 0,000014 0,624675 80,0 81,0 180,000 0,710 0,000014 269,034 8832,1 0,000007 0,000011 0,624675 81,0 82,0 180,000 0,587 0,000011 269,034 10678 0,000006 0,000009 0,624675 82,0 83,0 180,000 0,486 0,000009 269,034 12909 0,000005 0,000008 0,624675 83,0 84,0 180,000 0,402 0,000008 269,034 15606 0,000004 0,000006 0,624675 84,0 85,0 180,000 0,332 0,000006 269,034 18867 0,000003 0,000005 0,624675 85,0 86,0 180,000 0,275 0,000005 269,034 22809 0,000003 0,000004 0,624675 86,0 87,0 180,000 0,227 0,000004 269,034 27574 0,000002 0,000004 0,624675 87,0 88,0 180,000 0,188 0,000004 269,034 33336 0,000002 0,000003 0,624675 88,0 89,0 180,000 0,156 0,000003 269,034 40302 0,000002 0,000002 0,624675 89,0 Tab. A-8g: Normatmosphäre nach DIN 5450/ISO2533 194 T/TH=0
