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UE05 Differential-Algebraische Systeme - Lösung

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RWTH Aachen · AVT Systemverfahrenstechnik · 52074 Aachen · Prof. Alexander Mitsos, Ph.D.
Simulationstechnik
Musterlösung zur 5. Frontalübung1
DA Systeme
L1
R1
i1
i2
uL1
L2
i3
uR1
uin
uL2
L3
uL3
Abbildung 1: Schaltkreis
In Abb. 1 ist ein elektrischer Schaltkreis bestehend aus einem Widerstand R1 und drei Induktivitäten L1, L2 und L3 dargestellt, welcher mit einer sinusförmigen Spannung uin =
1V sin(ωt + φ) beaufschlagt wird. Der Schaltkreis lässt sich durch das folgende mathematische Modell beschreiben:
di1
L1 = uL,1 ,
dt
di2
L2 = uL,2 ,
dt
di3
L3 = uL,3 ,
dt
uR,1 = i3 R1 ,
0 = i1 + i2 − i3 ,
0 = uL,1 − uL,2 ,
0 = −uin + uR,1 + uL,1 + uL,3
1©
AVT.PT, Prof. Wolfgang Marquardt; AVT.SVT, Prof. Alexander Mitsos
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Simulationstechnik: Lösung 5. Frontalübung
2
Aufgabe 1: Modellierung
Anmerkung:
In der Vorlesung haben wir immer differentielle Gleichungen der Form ẋi = f (x, z, u, p)
betrachtet. In dieser Übung liegen die differentiellen Gleichungen in der Form ẋi · zj =
f (x, z, u, p), bzw. ẋi · pj = f (x, z, u, p) vor. Durch Dividieren erhält man die explizite Form
der Vorlesung.
1.1. Identifizieren Sie Knoten, Zweige und Maschen im Schaltkreis! Woher kommen die
gegebenen Gleichungen?
Lösung
• Knoten sind Verzweigungen zwischen mehr als zwei Bauteilen. Es gibt zwei Knoten
n = 2: zwischen dem Widerstand und den Induktivitäten L1 und L2 und zwischen
den Induktivitäten L1 und L2 und der Induktivität L3.
• Zweige sind Verbindungen zwischen Knoten. Es gibt drei Zweige z = 3 und wir führen
für jeden einen Strom ein.
• Maschen sind geschlossene Stromkreise die keinen weiteren geschlossenen Stromkreise
enthalten. Es gibt drei Maschen, m = 3: Einen Stromkreis, der L1 und L2 enthält,
einen Stromkreis, der R1, L1 und L3 enthält und einen Stromkreis, der R1, L2 und
L3 enthält.
Wir brauchen also n − 1 = 2 − 1 = 1 Knotengleichungen und z − (n − 1) = 3 − 1 = 2
Maschengleichungen.
L1
R1
i1
i2
uL1
L2
i3
Knoten
Zweig z1
Zweig z2
Zweig z3
Masche m1
Masche m2
Masche m3
uR1
uin
uL2
L3
uL3
Abbildung 2: Schaltkreis Lösung
Bei Gln. (1)–(3) handelt es sich um Bauteilgleichungen für die Induktivitäten. Bei Gln. (4)
handelt es sich um die Bauteilgleichung für den Ohm’schen Widerstand R1 . Gln. (5)–(7)
Simulationstechnik: Lösung 5. Frontalübung
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entsprechen den Kirchhoff’schen Gesetzen (eine Knotengleichung und zwei Maschengleichungen).
1.2. Identifizieren Sie differentielle Gleichungen, algebraische Gleichungen, differentielle
Variablen, algebraische Variablen, Eingänge und Parameter!
Lösung
Gln. (1)–(3) sind differentielle Gleichungen, Gln. (4)–(7) algebraische Gleichungen. Die
Ströme i1 , i2 und i3 sind die differentiellen Größen, die Spannungen uR,1 , uL,1 , uL,2 und
uL,3 die algebraischen Variablen. Die Spannung uin ist der Eingang. Die Bauteilkonstanten
R1 , L1 , L2 und L3 sind die Parameter.
Aufgabe 2: Index
Wie kann man im Allgemeinen anhand der algebraischen Gleichungen eines gegebenen Systems erkennen, ob es sich um ein System mit einem Index größer eins handelt? Überprüfen
Sie für das gegebene System, ob der differentielle Index größer eins ist!
Lösung
Bei semi-expliziten DA-Systemen müssen die algebraischen Gleichungen nach den algebraischen Variablen auflösbar sein. Wenn das nicht möglich ist, dann liegt ein System mit
differentiellem Index größer 1 vor. Wenn die Inzidenzmatrix nicht vollen strukturellen Rang
hat (die Inzidenzmatrix ist singulär), ist der differentielle Index des Systems größer eins.
Man überprüft ob die algebraischen Gleichungen (4)–(7) nach den algebraischen Variablen
z (hier uR,1 , uL,1 , uL,2 und uL,3 ) aufgelöst werden können. In der algebraischen Gleichung
(5) kommt keine algebraische Variable vor. Also ist die Inzidenzmatrix singulär und der
differentielle Index größer eins.
Aufgabe 3: Indexreduktion
Bestimmen Sie den differentiellen Index des Systems. Geben Sie gegebenenfalls auftretende
zusätzliche algebraische Gleichungen explizit an.
Hinweis: Es genügt, den Index solange zu reduzieren, bis Sie nachweisen können, dass es
sich bei dem Index-reduzierten System um ein Index-1 System handelt.
Lösung
Wir leiten Gl. (5) nach der Zeit ab, und hoffen, eine weitere algebraische Gleichung für uL,1 ,
uL,2 und uL,3 zu erhalten:
di1 di2 di3
+
−
0=
dt
dt
dt
di1 di2
di3
Wir substituieren die Terme dt , dt und dt indem wir Gleichungen (1)–(3) einsetzen, und
erhalten die zusätzliche algebraische Gleichung:
0=
uL,1 uL,2 uL,3
+
−
.
L1
L2
L3
(8)
Die Inzidenzmatrix der algebraischen Gleichungen (hier haben wir die problematische Glei-
Simulationstechnik: Lösung 5. Frontalübung
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chung (5) durch (8) ersetzt) hat vollen strukturellen Rang:


uR,1 uL,1 uL,2 uL,3
(4) ∗
0
0
0 


(6) 0
∗
∗
0 


(7) ∗
∗
0
∗ 
(8) 0
∗
∗
∗
Also ist die notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für Lösbarkeit erfüllt.
Die algebraischen Gleichungen sind linear, also könnte man Lösbarkeit durch den Rang der
Matrix bestimmen. Alternativ kann man die Gleichungen (4), (6), (7) und (8) explizit nach
den algebraischen Größen uR,1 , uL,1 , uL,2 und uL,3 auflösen
uR,1 = R1 i3
uL,1 = uL,2
uL,3 = uin − R1 i3 − uL,2
und mit Einsetzen in (8) bekommt man eine explizite Gleichung für uL,2 , die dann wiederum eingesetzt werden kann. Der differentielle Index des DA-Systems ist also 2, da wir
einmal ableiten mussten, um die algebraischen Gleichungen nach den algebraischen Variablen auflösen zu können, und ein weiteres mal um eine explizite Differentialgleichung für
jede algebraische Variable zu bekommen. Wir können also bereits das Index-1 System für
die Simulation aufstellen.
Aufgabe 4: Simulation
Geben Sie an, welche Gleichungen Sie für die Simulation des Schaltkreises verwenden würden! Begründen Sie ihre Antwort!
Lösung
Für die Simulation wählt man zwei der drei Differentialgleichungen (1)–(3) und zusätzlich
alle algebraischen Gleichungen (4)–(7) und (8) aus, da dieses mathematische Modell auch
numerisch stabil gelöst werden kann. Die ausgewählten Gleichungen ergeben zusammen das
Index-1 System (man kann leicht erkennen, dass dieses ein Index-1 System ist). Daher kann
man direkt konsistente Anfangswerte auswählen.
Aufgabe 5: Freiheitsgrade
Wie viele frei wählbare Anfangsbedingungen lassen sich spezifizieren? Geben Sie beispielhaft
zwei Sätze konsistenter Anfangsbedingungen an!
Lösung
Es können zwei Anfangsbedingungen vorgegeben werden, da das Index-1 System zwei differentielle Variablen hat. Mögliche Kandidaten sind i1,0 und i2,0 , i1,0 und i3,0 oder i2,0 und i3,0 .
Um sicher zu sein, wählt man die Variablen für die man differentielle Gleichungen gewählt
hat.
Simulationstechnik: Lösung 5. Frontalübung
5
Aufgabe 6: Induktivitäten (Zusatzaufgabe)
N parallel geschaltete Induktivitäten lassen sich im Allgemeinen zu einer Gesamtinduktivität
1
Lges,N = PN
1
i=1 Li
zusammenfassen. M in Reihe geschaltete Induktivitäten lassen sich analog über
Lges,M =
M
X
Li
i=1
als eine zusammengesetzte Induktivität beschreiben. Welche Auswirkungen hat die Modellierung der Induktivitäten L1, L2 und L3 als eine zusammengesetzte Induktivität auf
den differentiellen Index des resultierenden Systems? Nennen Sie einen Vorteil und einen
Nachteil des Ansatzes, die drei Induktivitäten als eine zusammengesetzte Induktivität zu
modellieren!
Lösung
Durch die Modellierung der Induktivitäten L1, L2 und L3 als Gesamtinduktivität erhalten
wir
1
Lges = 1
1 + L3
+
L1
L2
Wir haben jetzt nur einen Zweig und deshalb auch nur einen Strom i. Es werden Gl. (1)–(3)
durch
di
Lges = uL,ges
dt
ersetzt. Zudem entfallen die algebraischen Gln. (5) und (6). Die neue Modellformulierung
lautet:
di
Lges = uL,ges ,
dt
(9)
1
+
− L3
(10)
uR,1 = iR1
0 = −uin + uR,1 + uL,ges .
(11)
(12)
0 = Lges −
1
L1
1
L2
Man kann jede algebraische Gleichung nach einer algebraischen Variable auflösen. Also
ist der differentielle Index des resultierenden Systems eins. Zur Information: wir haben
hier ein Beispiel gesehen, wie man Indexreduktion durch Projektion machen kann, in dem
man Variablen zusammenführt. Indexreduktion wird genauer in der Vorlesung Modellierung
technischer Systeme betrachtet.
Vorteile: niedriger Index, Identifikation konsistenter Anfangsbedingungen trivial, einfachere
numerische Lösung...
Nachteile: Ströme i1 und i2 werden nicht aufgelöst, man muss die zusammengesetzte Induktivität erkennen.
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