F13-T1-A1
Sei S = {n ∈ Z| es gibt x, y ∈ Z mit n = x2 − 23y 2 }. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Die Primzahl 97 ist kein Element von S.
Hinweis: Sie können zum Beispiel das quadratische Reziprozitätsgesetz verwenden.
b) Sind a, b ∈ S, dann ist auch ab ∈ S.
Lösungsvorschlag. Zu a). Zu zeigen ist also, dass die Gleichung x2 − 23y 2 = 97 keinen
Lösung mit x, y ∈ Z besitzt. Wir wollen dem Hinweis folgen und das quadratische Reziprozitätsgesetz verwenden. Dazu beobachten wir zuerst, dass für eine potentielle Lösung
x, y gelten müsste ggT(97, y) = 1, denn angenommen, 97 teilte y, dann könnten wir mit
y = y 0 · 97 schreiben x2 = 97 − 23 · 972 · y 02 und folgern, dass auch 97|x gelten muss. Somit
würde x2 − 23y 2 von 972 geteilt, im Widerspruch zur Annahme x2 − 23y 2 = 97. Somit
existiert also y −1 ∈ Z97 und wäre (x, y) ∈ Z2 eine Lösung, so hätten wir
(xy −1 )2 = 23
mod 97.
Andererseits ist wegen
23
97
5
23
3
5
2
=
=
=
=
=
=
= −1
97
23
23
5
5
3
3
aber 23 kein Quadrat modulo 97, womit eine ganzzahlige Lösung (x, y) ∈ Z2 nicht existieren kann.
√
√
√
2
2
2
2
Zu
√ b). Sei a = x − 23y = (x + 23y)(x − 23y) und b = w − 23z = (w + 23z)(w −
23z), für x, y, z, w ∈ Z. Dann ist
ab = (x +
√
√
√
23y)(w + 23z)(w − 23z) =
√
√
√
√
= (x + 23y)(w + 23z)(x − 23y)(w − 23z) =
√
√
= (xw + 23yz + 23(xz + yw))(xw + 23yz − 23(xz + yw)) =
23y)(x −
√
= (xw + 23yz)2 − 23(xz + yw)2 ∈ S
1
