Übungsaufgabe (Korrelation)

Übungsaufgabe (AR-Prognose)
Gegeben ist die Prozessgleichung eines AR(1)-Prozesses:
xt =  + 1·x t-1 + ut.
Ut ist eine White-Noise-Zufallsvariable mit dem Erwartungswert 0 und der
Varianz 2.
a) Geben Sie die h-Schritt-Prognose ˆ
x t (h) des AR(1)-Prozesses in Abhängigkeit vom letzten bekannten Beobachtungswert xt an! Gegen welchen Wert strebt
die Prognose bei wachsendem Prognosehorizont?
Lösung:
Setzt man in die Prognosegleichung des AR(1)-Prozesses,
(1)
x t (h)    1  ˆ
x t (h  1) ,
ˆ
für h=1,
x t (1)    1  ˆ
x t (0) ,
ˆ
x t (0)  x t (xt ist zur Zeit t bereits bekannt), erhält man
ˆ
(2)
x t (1)    1  x t .
ˆ
Substituiert man ˆ
x t (1) in der Zwei-Schritt-Prognose (h=2),
x t (2)    1  ˆ
x t (1)
ˆ
durch (2), ergibt sich
x t (2)    1  (  1  x t )    1    12  x t .
ˆ
Bei fortlaufender Substitution erhält man
x t (h )    1    ...  1h 1  1h  x t
ˆ
 (1  1  ...  1h 1 )    1h  x t
und unter Verwendung der Summenformel einer geometrischen Reihe
(3)
1  1h


x t (h ) 
  1h  x t 
 1h  (x t 
).
ˆ
1  1
1  1
1  1
(3) gibt die h-Schritt-Prognose ˆ
x t (h) in Abhängigkeit von xt an.
Da der Term /(1-1) dem Prozessmittelwert  entspricht, folgt
x t (h)    1h  ( x t  ) ,
ˆ
so dass man bei über alle Grenzen wachsendem Prognosehorizont h, h, den
Grenzwert
(4)
lim ˆ
x t (h)  
h 
erhält. Bei wachsendem Prognosehorizont strebt die h-Schritt-Prognose somit
gegen den Prozessmittelwert .
b) Wie lautet die Varianz des Prognosefehlers ft(h)? Gegen welchen Ausdruck
strebt sie?
Lösung:
h-Schritt-Prognosefehler:
(5)
f t (h)  x t  h  ˆ
x t (h)
h=1:
f t (1)  x t 1  ˆ
x t (1)
 (  1  x t  u t 1)  (  1  x t )  u t 1
Var (f t (1))  Var (u t 1)   2
h=2:
f t (2)  x t  2  ˆ
x t (2)
 (  1  x t 1  u t )  (  1    12  x t )
 [  1  (  1  x t  u t 1)  u t  2 ]  (  1    12  x t )
 (  1    12  x t  1  u t 1)  u t  2 ]  (  1    12  x t )
 u t  2  1  u t 1
Var (f t (2))  Var (u t  2  1  u t 1)   2  12   2  (1  12 )   2
Allgemein ist der Prognosefehler f t (h) durch
f t (h)  x t  h  ˆ
x t (h)
 [(1  1  ...  1h 1)    1h  x t  (u t  h  1  u t  h 1  ...  1h 1  u t 1)]
 [(1  1  ...  1h 1)    1h  x t ]
(6)
 u t  h  1  u t  h 1  ...  1h 1  u t 1
gegeben. Für die Varianz des Prognosefehlers f t (h) erhält man aus (6)
Var (f t (h))  Var (u t  h  1  u t  h 1  ...  1h 1  u t 1)
  2  12   2  14   2  ...  12(h 1)   2
 (1  12  14  ...  12(h 1) )   2
Da der Ausdruck (1  12  14  ...  12(h 1) ) eine endliche geometrische Reihe darstellt, ist die Varianz des Prognosefehlers f t (h) der h-Schritt-Prognose
schließlich durch
(7) Var (f t (h)) 
1  12h
1  12
 2
gegeben.
Bei über alle Grenzen wachsendem Prognosehorizont h, h, strebt die Varianz des Prognosefehlers f t (h) gegen den Wert
(8)
lim Var (f t (h)) 
h 
1
1  12
 2 .
erhält. Bei wachsendem Prognosehorizont strebt die Varianz der h-SchrittPrognose somit gegen die Varianz 0 des AR(1)-Prozesses.
c) In den ersten vier Perioden liegen die Werte der Störgröße U bei 2=4 vor: u1
= 1,7208, u2 = 0,9254, u3 = -1,4668, u4 = -0,9576.
Stellen Sie Realisationen und Prognosen des AR(1)-Prozesses mit 1=0,8 bei
x1=-0,4102 für die Perioden 1 bis 8 zusammen mit dem 95%-Prognoseintervall
in einem Zeitreihendiagramm dar!
Lösung: