12. Juni 2002, 13 Seiten Aufgabe 1

1
Rekapitulation der Vorlesung I (11 Aufgaben)
12. Juni 2002, 13 Seiten
Aufgabe 1 (zu Lageparametern: Spannweite, E[X], var[X], Streuung, Skalierung)
Eine Umfrage über den Bierkonsum Hamburger Bürger ergibt bei 10 Personen folgende
Zahlenreihe (Liter pro Woche):
3
10
1
2
3
0
2
1
0
3
a) Berechnen Sie Mittelwert, Spannweite, mittlere quadratische Abweichung und
Standardabweichung.
b) Wie ändern sich die Ergebnisse, falls als Maßeinheit ein Glas Bier (= 0.4 Liter)
verwendet wird?
c) Stimmt der Median mit dem Mittelwert überein?
Lösung:
Sortieren der Stichprobe gibt: n= 10
0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 10
a) x = 2.5 ; Spannweite = max xi - min xi = 10 - 0 = 10, s2 = 7.45, s ~ 2.73
b) yi = 2,5 xi ∴ y = 2.5 x = 6,25; Spannweite = max yi - min yi = 25- 0 = 25,
s2 = 2.52 7.45 = 46.56, s ~ 2.5 . 2.73 = 6.225
(M.a.W. die neue Maßeinheit bedeutet eine lineare Transformation.)
c)
Liter
0
1
2
3
10
Zahl
2
2
2
3
1
p(x)
0.2
0.2
0.2
0.3
0.1
F(x)
0.2
0.4
0.6
0.9
1.0
Median = 2
2
Aufgabe 2 (zu zweidimensionalen Daten, Summe, E[X], cov[X,Y],diskret)
Es seien X1 und X2 zwei quantitative Merkmale (bzw. Zufallsvariable) mit der gemeinsamen Häufigkeit (bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion, Häufigkeitsfunktion, Zähldichte)
f(x,y) = P(X1=x,X2=y)
1
(x 1,x2) =(0,0)
2
3
(x 1,x2) ∈ { (1,0),(0,1) }
f(X1,X2) = 16
1
(x 1,x2) ∈ { (2,0),(1,1) }
16
0
sonst
a) Stellen Sie den Zusammenhang in einer Kontingenztafel dar
b) Berechnen Sie den Erwartungswert (den Mittelwert) von Z:= X1 + X2.
c) Berechnen Sie die Kovarianz von X1 und X2, bzw die mittlere quadratische
Abweichung von X1 und X2
d) Sind die Größen unabhängig?
Lösung
a)
X1 \ X 2
0
1
0
8/16
3/16
11/16
1
3/16
1/16
4/16
2
1/16
0
1/16
12/16
4/16
1
3
3
1
1
10
b) E(Z) = (0 + 0). + (1 + 0).
+ (0 + 1).
+ (2 + 0).
+ (1 + 1).
=
2
16
16
16
16
16
c) Randzähldichten:
11
4
1
4
P(X1 = 0) =
, P(X1 = 1) =
,P(X1 = 2) =
; P(X2 = 1) =
, P(X2 = 0) =
16
16
16
16
Berechnung der Kovarianz aus der Formel E(X1.X2) - E(X1) . E(X2)
1
6
4
1
6 . 4
2
E(X1.X2) =
, E(X1) =
, E(X2) =
, Cov(X1,X2) =
=
16
16
16
16 16 16
32
d) nein, siehe a) Feld (2,1): pij ≠ pi . qj bzw. aus c).zu verneinen.
=
5
8
12
,
16
-
3
1
=32
32
3
Aufgabe 3 (zur Unabhängigkeit)
Sei (X,Y) eine diskrete zweidimensionale Zufallsvariable, bzw. eine Menge von Beobachtungen für zwei Merkmale, deren Wahrscheinlichkeitsfunktion, Häufigkeitsfunktion
W(X=xi , Y=yi ) für i = 1, 2 und j = 1, 2, 3 durch die folgende Tabelle gegeben ist:
X\Y
y1 = 1
y2 = 2
y3 = 3
x1 = 1
0.1
0.2
0.3
x2 = 2
0
0.2
0.2
a) Berechnen Sie die gemeinsame Verteilungsfunktion F(xi ,yj) für i = 1, 2 und
j = 1, 2, 3 und schreiben Sie das Ergebnis in eine entsprechende Tabelle.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen X
oder in einer entsprechenden Formulierung
Bestimmen Sie für die Beobachtungen {X} den Mittelwert und die mittlere
quadratische Abweichung
c) Sind X und Y stochastisch unabhängig?
Lösung
a) Zähldichte:
X\Y
y1 = 1
y2 = 2
y3 = 3
x1 = 1
0.1
0.2
0.3
0.6
x2 = 2
0
0.2
0.2
0.4
0.1
0.4
0.5
X\Y
y1 = 1
y2 = 2
y3 = 3
x1 = 1
0.1
0.3
0.6
0.6
x2 = 2
0.1
0.5
1.0
1.0
0.1
0.5
1.0
Verteilung: P(X≤x, Y≤y) = F(x,y)
Vgl. die Ränder der Tabelle für die Vereilungen der Randgrössen:
FY(0) = 0, FY(1)= 0.1, FY(2) = 0.5, FY(3) = 1;
FX(0) = 0, FX(1) = 0.6, FX(2) = 1;
b) E(X) = 1 . 0.6 + 2 . 0.4 = 1.4, s2 = 2.4
c) Keine Unabhängigkeit, z.B. aufgrund der Null im Feld (x2 = 2, y1 = 1)
4
Aufgabe 4 (zur Kombinatorik: hypergeometrisch,Lotto)
a)
Wieviel Möglichkeiten gibt es, im Lotto (6 aus 49)
6 Richtige,
5 Richtige mit Zusatzzahl,
5 Richtige ohne Zusatzzahl,
4 Richtige,
3 Richtige
zu tippen?
(Die Zusatzzahl ist die bei der Ziehung der Lottozahlen auf der 7. gezogenen Zahl
erscheinenden Zahl.)
b)
Verallgemeinern Sie die Fragestellung für ein Lotto, bei dem s aus S Kugeln (s<S)
gezogen werden.
Lösung:
Die 49 Zahlen werden in drei Gruppen zerlegt: 6 Gewinnzahlen, 1 Zusatzzahl, 42 übrige.
a)
Für die Gewinnzahlen (die richtigen Kreuze) gilt:
6 1 42
6
6 Richtige:
=
=1
6 0 0
6
5 Richtige mit Zusatzzahl:
6
5
1 42
1 0
=
6
5
=6
5 Richtige ohne Zusatzzahl:
6
5
1 42
0 1
=
6
5
42
= 252
1
6
4
6
3
43
= 13545
2
43
= 246820
3
4 Richtige:
3 Richtige:
49
Möglichkeiten, sechs Zahlen auszuwählen, und die Gewinn6
49
Sechser sind davon nur eine der 6 aus 49: Es gibt
= 13 983 816 Möglichkeiten. Die
6
1
Chance einer jeden Möglichkeit ist
13 983 816
Insgesamt gibt es
5
b)
s
s
= 1 Möglichkeit
s
Richtige:
s-1 Richtige mit Zusatzzahl:
s .
1 = s.1 (keine Wahl für die Zusatzzahl)
s-1
s-1 Richtige ohne Zusatzzahl:
s S-s-1
= s (S-s-1),
s-1
1
da
s!
S-s-1
= s und
= S-s-1 (für die Zusatzzahl)
(s–1)!1!
1
s-2 Richtige:
s S-s
s-2 2
s-3 Richtige:
s S-s
s-3 3
Aufgabe 5 (zur Kombinatorik)
Es sind 4 Briefe geschrieben und die zugehörigen Umschläge (ohne Fenster) adressiert. In
jeden Umschlag wird ein Brief gelegt, und zwar zufällig.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß dabei wenigstens 3 Briefe in den richtigen
Umschlag gesteckt werden?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß dabei 2 Briefe in den richtigen Umschlag
gesteckt werden?
Lösung
a) Wieviel Möglichkeiten gibt es die vier Briefe zu verteilen?
1. SSSS
2.
SSS
3.
SS
4.
S 4!,
Eine Möglichkeit ist davon richtig: P[alle vier Briefe richtig] = 1/4! = 1/24
P[genau drei Briefe richtig] = P[mindestens 3 sind richtig kuvertiert] =
P[alle richtig kuvertiert]
Hinweis: wenn drei richtig plaziert sind, dann ist auch der letzte richtig!
b) Es gibt 42 = 6 Möglichkeiten, es richtig zu machen, d.h. 6/24 = 1/4
rrff
frrf
ffrr
rffr
rfrf
frfr
6
Aufgabe 6 (zur bedingten Wahrscheinlichkeit)
Es seien 5% der Männer und 0.25% der Frauen farbenblind. Aus einer gleichen Anzahl von
Männern und Frauen wird zufällig ein Farbenblinder ausgewählt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die ausgewählte Person ein Mann ist?
b) Wie ändert sich die Lösung, wenn die farbenblinde Person aus doppelt so vielen
Männern wie Frauen ausgewählt wird?
Lösung
Bezeichne B das Merkmal “farbenblind” und B die Negation. Dann ist die Situation wie
folgt
a)
Grundgesamtheit
Frau0.50
Mann 0.50
0.9975B
0.0025B
0.95B
0.05B
0.49875
0.00125
0.475
0.025
bzw als Kontingenztafel:
B
B
Mann
0.025
0.475
.50
Frau
0.00125
0.49875
.50
0.02625
0.97375
1.00
P(B)= P(B|M) . P(M) + P(B|F) . P(F) = 0.05 . 0.5 + 0.0025 . 0.5 = 0.02625 (Spalte 1)
P(M|B) = [P(B|M) . P(M)]/P(B) = 0.025/ 0.02625 = .95238 (Feld (1,1) aus Spalte 1)
7
b)
Grundgesamtheit
Frau 1/3
Mann 2/3
0.9975B
0.0025B
0.95B
0.05B
0.3325
bzw als Kontingenztafel:
0.00083
0.6333
0.0333
B
B
Mann
0.03333
0.6333
2/3
Frau
0.00083
0.3325
1/3
0.03416
0.96584
1.00
2
1 10.25
+ 0.0025 . =
= 0.03416 (Spalte 1)
3
3
300
P(M|B) = [P(B|M) . P(M)]/P(B) = 0.0333/0.03416 = 0.9756 (Feld (1,1) aus Spalte 1)
P(B) = 0.05 .
Eine ähnliche Aufgabe ist Aufgabe 6.1
Angenommen, 5 von 100 Männern und 25 von 10000 Frauen seien farbenblind. Unter den
Farbenblinden wird zufällig eine Person ausgewählt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist
diese Person eine Frau?
Lösung:
Bezeichne A: “Ausgewählte Person ist eine Frau”, und
B: “Ausgewählte Person ist farbenblind”, dann gilt
25
P(A ∩ B)
25
1
10000
P(A|B) =
=
=
=
P(B)
25
5
525
21
+
10000 100
(S.o. 1 -P( A |B) die komplementäre Wahrscheinlichkeit.)
8
Aufgabe 7 (zur Unabhängigkeit und zu elementaren Wahrscheinlichkeiten)
Die Ereignisse A und B seien unabhängig. Zeigen Sie, daß dann die Ereignisse A und B
ebenfalls unabhängig sind.
Lösung
Unabhängigkeit {A, B} ⇔
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = P(A) [1 - P(B)] + P(B)
∴ P(A∪B) - P(B) = P(A) P(B )
bzw. aus Symmetriegründen
∴ P(A∪B) - P(A) = P(B) P( A )
Addition liefert: 2 P(A∪B) - P(A) - P(B) = P(B) P( A ) + P(A) P(B )
2[P(A) + P(B) - P(A) P(B)] - P(A) - P(B) = P(B) P( A ) + P(A) P(B )
P(A) + P(B) - 2[P(A) P(B)] = P(B) P( A ) + P(A) P(B )
z.B.
1/2 + 1/4 - 2(1/2 . 1/4) = (1/4)(1/2) + (1/2)(3/4)
Unabhängigkeit {A, B} verlangt entsprechend P(A∩B) = P(A) P(B)
Das Ergebnis folgt aus einer Partition, zwei disjunkte Mengen aus A:
P(A) = P(A∩B) + P(A∩ B ) ⇔ P(A∩ B ) = P(A) - P(A∩B)= P(A) - P(A) P(B)
P(B) = 1- P(B), also
P(A∩ B ) = P(A) - P(A) (1- P(B)) = P(A) P(B) wzbw.
∴ (s.o.)
P(A∪ B ) = P(A) + P(B ) - P(A∩ B ) = P(A) + P(B ) - P(A) P(B ) = P(A) [1 - P(B )] + P(B )
9
Aufgabe 8 (zur Zähldichte und Dichte, E[X], var[X], Verteilung)
Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X sei gegeben durch
0
,
x< 0
0.5
,
0≤x< 1
0.6
,
1≤x< 2
F(x) =
0.8
,
2≤x< 3
0.9
,
3≤x< 4
1
,
x≥4
{
Bestimmen Sie
a) P(X = 2),
b) die Wahrscheinlichkeit, daß X eine Realisierung zwischen 0.5 und 1.5 hat,
c) den Erwartungswert und die Varianz von X.
Lösung: Aus der Treppenfunktion der Verteilung folgt, daß es sich um eine diskrete
Zufallsvariable handeln muß.
a)
10
P(X = 2) = 0.2, denn
X
0
1
2
3
4
P(X=x)
0.5
0.1
0.2
0.1
0.1
P(X≤x)
0.5
0.6
0.8
0.9
1.0
b) P
1
3
3
1
≤X≤
= F
-F
= 0.6 - 0.5 = 0.1
2
2
2
2
c) Hierzu ist die Zähldichte zu bestimmen (s.o. Bild)
1
1
2
1
1
E(X) = E(X) =0 . + 1 .
+ 2.
+ 3.
+ 4.
= 1.2, (E(X))2 = 1.44
2
10
10
10
10
1
1
2
1
1
E(X2) = 0 . + 1 .
+ 4.
+ 9.
+ 16 .
= 3.4
2
10
10
10
10
var(X) = E(X2) - (E(X))2 = 1.96
(vgl. für die Beobachtungen der deskriptiven Statistik: s2 = XX - X . X )
11
Aufgabe 9 (zur Dreiecks-Zähldichte, Normierung, E[X])
Die Zufallsvariable X besitze die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Zähldichte)
f(x) =
{
a (x + 1)
,
5
0
falls x∈{1,2,3,4,5}
,
sonst
Bestimmen Sie a und berechnen Sie den Erwartungswert von X
Lösung (die Dreiecksdichte)
5
∑
x=1
a(x +1)
a
=1 ⇔
5
5
1
E(X) =
20
5
∑
x=1
(x 2 +x)
5
∑
x=1
a
(x +1) = 1 ⇔ (
5
5
∑ x) +a = 1 ⇔ 3a + a = 1 ⇔ a = 14
x=1
1 5 2 1 5
11 3 7
+ =
= 20 ∑ x + 20 ∑ x =
4
4 2
x=1
x=1
12
Aufgabe 10 (zur Dichte, Normierung, Transformation,E[X],var[X])
Die Dichte einer Zufallsvariablen X sei gegeben durch
1 2
a(x+ x )
,
0≤x≤2
2
f(x) =
{
0
,
sonst.
a) Bestimmen Sie a.
b) Bestimmen Sie die Varianz der Zufallsvariablen Y:=
3
+ 2X.
2
c) Bestimmen Sie die Verteilung von X
Lösung
2
a) a
0
1 2
1 2 1 3
(x + x ) dx = a x + x
2
2
6
2
| = a 2 + 43
0
2
b) E(X)
3
2 1 3
3 1 3 1 4
(x + x ) dx =
x + x
10
2
10 3
8
=
!
3
= 1 ⇒ a=
10
2
| = 103 2 + 83
0
=
4 3 7
+ =
5 5 5
0
E(X2)
3
=
10
2
0
1 4
3 1 4 1 5
(x + x ) dx =
x +
x
2
10 4
10
3
216 49
216 - 196
=
=
100 25
100
3
var(Y)= var( + 2X) = 4 var(X) =
2
var(X) =
2
| = 103 4 + 3210
0
=
120 + 96
= 2.16
100
1
= E(X2) - (E(X))2
5
4
= var(Y) = var(a+ bX) = b 2var(X)
5
x
3 1 2 1 3
x
3
1 3
3
1 2
2
c) F(x) =
(x + x ) =
f(u) du =
(u+ u ) du = 10 ( 2 u + 6 u )
20
3
10
2
0
0
|
x
0
13
Aufgabe 11 (E[X], var[X],Transformation, linear)
Gegeben seien die kardinalen Beobachtungswerte (bzw. Zufallsvariable) x1, ..., xn, die
mittels
yi = a + bxi (a,b∈R)
transformiert werden.
a) Zeigen Sie, daß für den Mittelwert und die Standardabweichung von y1, ..., yn gilt:
y = a + bx
sy = |b|s x
b) Zeigen Sie, daß
die Transformation eine einfache Anwendung der üblichen
Transformationsregeln für Mittelwert und Varianz sind.
Lösung
a)
n
1 n
1 n
1 n
1 n
.
y = Σ yi = Σ (a +bxi) =
a
+
bx
=
a
+
b
x = a + bx
Σ i
n
n
n Σ
nΣ i
s 2y =
i=1
n
i=1
i=1
i=1
n
n
n
1
2 =1
2 =1
2 = b2 1
(y
–
y)
(a
+
bx
–
(a+
bx))
(b(x
–
x))
(x – x)2 = b2 sx2
i
i
nΣ i
n Σ
n Σ
n Σ i
i=1
sy =
i= 1
s 2y =
i= 1
i= 1
i=1
b2s x2 = b s x
b) Die Anwendung ist offensichtlich: x und y sind die Mittelwerte, und s y ist die Wurzel
der Varianz.