stochastische prozesse

3. Stochastische Prozesse und ARIMA-Modelle
3.1 Stochastische Prozesse und Stationarität
Stochastischer Prozess
X t tT Xt tT
Stochastischer Prozess (Menge von Zufallsvariablen)
T
Menge der Zeitpunkte, für die der Prozess definiert ist
X t 
wenn T kontinuierlich (meist    t   , also T  R )
Xt
wenn T diskret (i.d.R.t  1,2,3,  , also T   )
oder t  1,2,3,  , also T  
x t t 1,2,,n
Realisation eines stochastischen Prozesses ( ̂ Zeitreihe)
Abbildung 3.1: Stochastischer Prozess und Zeitreihe
Xt,xt
 X t t  :  
t
t0
Zeitreihe
mögliche Realisationen eines stoch. Prozesses
IR

Übersicht 3.1: Stochastischer Prozess und Zufallsvorgänge
t fest
 fest
 variabel
t variabel
x t   x 
X Realisation der Zufallsvariablen
x t tT
X t   X 
Zufallsvariable (zu einem best.
Zeitpunkt)
X t tT
Zeitreihe
vollst. stoch. Prozess
Definition:
Ein stochastischer Prozess ist eine Folge von Zufallsvariablen, inXder
t tTT die
Menge der Zeitpunkte bezeichnet, für die der Prozess definiert ist.
Falls T  Z ist, spricht man von einem diskreten stochastischen Prozess,
bei T  IRvon einem stetigen stochastischen Prozess.
Interpretation:
Einem stochastischen Prozess liegt ein Zufallsvorgang zugrunde.
Sei  ein Element des Stichprobenraums  . Das Ergebnis  des Zufallsvorgangs
zieht somit den Wert x t  der Zufallsvariablen X t  X t  nach sich.
 Stochastischer Prozess als "ensemble" von Zeitreihen (Zeitpfaden, Trajektorien).
Jedes Mitglied dieses "ensembles" (dieser Familie) ist eine mögliche Realisation eines
stochastischen Prozesses. Die beobachtete Zeitreihe ist eine spezielle Realisation.
Ergodizität:
In der induktiven Statistik werden im Allgemeinen unabhängige und identisch verteilte
Stichprobenvariablen bei der Schätzung der Parameter einer Grundgesamtheit
vorausgesetzt. Es lassen sich dann i.d.R. Schätzfunktionen konstruieren, die die
Konsistenzeigenschaft besitzen. Z.B. sind X und S2 konsistente Schätzer für die
Parameter und 2 .
In der Zeitreihenanalyse ist die Unabhängigkeitsannahme im Allgemeinen gerade
nicht erfüllt. Vielmehr werden die Zeitreihenwerte als Realisationen verschiedener
abhängiger Zufallsvariablen aufgefasst. Zu jedem Zeitpunkt (Periode) liegt nur eine
einzige Beobachtung der betrachteten Zufallsvariablen vor. Wenn man trotzdem die n
Zeitreihenwerte analog wie n Querschnittswerte zur Parameterschätzung verwenden
wird, müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein.
Zuallererst ist zu klären, unter welchen Bedingungen das zeitliche Mittel
1 n
Xn   X t
n t 1
gegen das Ensemble-Mittel  konvergiert, d.h. eine konsistente Schätzung von  durch
X möglich ist. Aufklärung hierüber geben die Ergodensätze. Die Konvergenz ist gesichert, wenn der betrachtete stochastische Prozess ergodisch ist. Wie sich zeigt, sind
schwach stationäre Prozesse mit einer bestimmten Zusatzeigenschaft ergodisch.
Im Falle der Mittelwertergodizität gilt z.B.
1 n

lim    X t   2   0
n   n t 1

was bei einem (schwach) stationären stochastischen Prozess gegeben ist, wenn seine


Autokovarianzfunktion absolut summierbar        ist. Das Ensemblemittel lässt


sich dann konsistent durch das zeitliche Mittel X n schätzen.
Eine Zeitreihe ist eine spezielle Realisation aus einer i.d.R. unendlichen Menge von möglichen Realisationen von X t tT . Zu jedem Zeitpunkt liegt nur 1 Beobachtung für
die Zufallsvariable Xt vor, während gewöhnlich bei statistischen Problemen mehrere
Beobachtungen zur Schätzung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder ihrer Charak-
teristiken verfügbar sind. Es werden daher zur Schätzung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t , X t ,  , X t Restriktionen einzuführen sein.
1
2
n
Eine Möglichkeit, einen stochastischen Prozess zu beschreiben, ist die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t1 , X t 2 ,  , X t n für beliebige Mengen (Permutationen) von Zeitpunkten t , t ,  , t und beliebiges n zu spezifizieren.
1 2
n
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t1 , X t 2 ,  , X t n :
(3.1.1)
Ft1 , t 2 ,, t n x1 , x 2 ,  , xn 

gemeinsame Verteilungsfunktion
x
 
x
x
  
 

ft , t ,, t 1, 2 ,  , n d1 d2  dn
1
2
n

gemeinsame Dichtefunktion
Konsistenztheorem v. Kolmogoroff: Stoch. Prozess eindeutig, wenn man das System seiner endlichdimensionalen Verteilungsfunktionen kennt.
Momente eines stochastischen Prozesses
(Momente erster und zweiter Ordnung):
In der Praxis ist dieser Weg i.d.R. jedoch nicht gangbar. Stattdessen beschreibt man
einen stochastischen Prozess durch seine Momente erster und zweiter Ordnung.
Mittelwertfunktion t:
(-folge)
2
(3.1.2)  t  X t 
Varianzfunktion  t :
(-folge)
(3.1.3) 2  Var X t 
t
Autokovarianzfunktion  t , s:
(ACVF) (-folge)
(3.1.4)  t , s  Cov X t , X s 
 X t   t   X s  s 
Für die Autokorrelationsfunktion (ACF) folgt dann
(-folge)
(3.1.5)
t , s   t , s t s 
Interpretation:
 Die Mittelwertfolge  t  gibt die durchschnittliche Zeitfolge an, um die die Realisie-
run-gen des Prozesses schwanken. Mittelung über alle Zeitfolgen des "ensembles"
(= Ensemblemittel).
Dagegen ergibt sich bei Mittelung der einzelnen realisierten Beobachtungen über alle t
das zeitliche Mittel
 
1 n
x   xt
n t 1
• Die Varianzfolge 2t gibt für jeden Zeitpunkt t an, in welchem Ausmaß die Zufallsvariable X t um den Wert der Mittelwertfolge  t streut.
 Bei einem stochastischen Prozess sind die Zufallsvariablen X t typischerweise voneinander stochastisch abhängig. Das Hauptinteresse liegt in der Analyse der Abhängigkeitsstrukturen mittels geeigneter Modelle. Richtung und Stärke der Abhängigkeit
werden mittels der Autokovarianzfolge (ACVF)  t , s und der Autokorrelationsfolge (ACF)
 t , s gemessen.
Streng stationärer stochastischer Prozess
(3.1.6) Ft1 , t 2 ,, t n x1 , x 2 ,  , xn   Ft1  , t 2  ,, t n   x1 , x 2 ,  , xn 
Die gemeinsame Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X t1 , X t 2 ,  , X t n ist identisch mit
der Verteilungsfunktion der um  Zeitpunkte verschobenen Zufallsvariablen
x t1   , x t 2   ,  , x t n   .
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X t1 , X t 2 ,  , X t nhängt also nur von den
Intervallen zwischen t1 , t 2 ,  , tn ab.
Schwach stationärer Prozess
(3.1.7)
t  
(3.1.8)
2t  2
(3.1.9)
 t,s   t  s
für alle t
für alle t
oder, wenn man   t  s setzt:
(3.1.9‘)
 t,s   
[Bem.: Kovarianz zwischen Xt und Xs ist nur von der zeitlichen Differenz abhängig, nicht jedoch von den Zeitpunkten.]
Für die Autokorrelationsfunktion (ACF) folgt damit
(3.1.10) t , s  t  s   t  s  0
oder mit (3.1.9)
(3.1.10‘) t , s       0
mit  0  2
Exkurs: Trendelimination durch Differenzenbildung
• Linearer Trend
x t  a 0  a1  t
x t  x t  x t 1  a 0  a1  t   a 0  a1 t  1
 a 0  a 1t  a 0  a 1t  a 1  a 1
Durch Bildung der ersten Differenzen lässt sich ein linearer Trend ausschalten .
• Quadratischer Trend
x t  a 0  a1  t  a 2  t 2
2 x t  x t  x t 1  x t  x t 1   x t 1  x t  2 
 x t  2x t 1  x t  2

 
x t  x t  x t 1  a 0  a1t  a 2 t 2  a 0  a1 t  1  a 2 t  12



 a 0  a 1t  a 2 t 2  a 0  a1t  a1  a 2 t 2  2 t  1
 a 2 t 2  a 1  a 2 t 2  2a 2 t  a 2  a 1  2a 2 t  a 2


x t 1  x t 1  x t  2  a 0  a1 t  1  a 2 t  12  a 0  a1 t  2   a 2 t  2 2

 

 a 0  a 1 t  a 1  a 2 t 2  2a 2 t  a 2  a 0  a 1 t  2 a 1  a 2 t 2  4 t  4


 a 0  a 1 t  a 1  a 2 t 2  2a 2 t  a 2  a 0  a 1 t  2 a 1  a 2 t 2  4 a 2 t  4 a 2
 a1  2a 2 t  3a 2
 x t  x t  x t 1  a1  2a 2 t  a 2   a1  2a 2 t  3a 2 
2
 2a 2
Durch Bildung der zweiten Differenzen lässt sich ein quadratischer Trend ausschalten.
White-Noise-Prozess
Ein stochastischer Prozess Ut heißt White-Noise-Prozess, wenn er die
Eigenschaften
EUt   
Var Ut   2
i.a. wird EUt   0 gesetzt  ,
und
besitzt.
Cov Ut , Us   0
für t  s
Beim White-Noise-Prozess werden allein die beiden ersten Momente betrachtet. Da
die Autokovarianzen verschwinden, besteht keine lineare Beziehung zwischen den
vergangenen, aktuellen und zukünftigen Realisationen der Zufallsvariablen ut. Das
bedeutet, dass
auf der Basis eines linearen Zeitreihenmodells nicht
u t h , h  0
prognostiziert werden kann. Wenn allerdings höhere Momente des stochastischen
Prozesses Ut ungleich null sind, könnte Ut  h  ggf. unter Verwendung eines
nichtlinearen Modells vorhergesagt werden.
Unabhängige und identische Verteilung (i.i.d.)
Eine Zufallsvariable Ut ist unabhängig und identisch verteilt [independent and
identically distributed (= i.i.d.)], wenn alle Terme zeitlich unabhängig sind und dieselbe
Verteilung haben. Die Dichtefunktionen f u t  sind dann für alle t identisch,
f t u t   f u t  für alle t,
und die gemeinsame Dichtefunktion
f1,2,,T u1, u 2 ,, u T 
ist dann gleich dem
Produkt der marginalen Dichtefunktionen f u t  :
T
f1,2,,T u1, u 2 ,, u T    f t u t   f u t 
T
.
t 1
Die Kenntnis vergangener und aktueller Werte von u t liefert dann keine prognostisch
verwertbaren Informationen für u t  h , h  0 .
Martingale-Prozess
Ein stochastischer Prozess X t , der die Eigenschaft
(3.1.11)
X t 1 x t , x t 1, x t 2 ,  x t
besitzt, heißt Martingale-Prozess.
Wenn xt der bekannte aktuelle Aktienkurs ist, dann würde für die Periode t+1 bei
einem Martingale-Prozess unter Kenntnis aller vergangenen Kursinformationen genau
derselbe Kurs zu erwarten sein. Als "tomorrow's price" ist stets "today's price" zu erwarten.
Die Verwertung vergangener Kursrealisationen führt zu keiner verbesserten Kursprognose. Vielmehr ist die beste Kursprognose im Sinne des Mean Square Errors stets
einfach der aktuelle Kurs.
Die Martingale-Eigenschaft lässt sich gleichwertig in der Form
(3.1.12) EX t 1 x t , x t 1, x t 2 ,  0
mit der "Martingale-Differenz“
X t 1  X t 1  X t
darstellen. Die Martingale-Differenz hat hinsichtlich des Erwartungswerts und der Kovarianzen dieselben Eigenschaften wie der White-Noise-Prozess, doch ist die Varianz
nicht notwendig konstant.
Bei einer Interpretation von xt als Aktienkurs sagt die Eigenschaft (3.1.12) aus, dass die
erwartete Kursänderung unter Berücksichtigung der gesamten Kurshistorie der Aktie
gleich null ist.
Auf bestimmten spekulativen Märkten wie z.B. auf Aktienmärkten wird ein Kapitalanleger finanzielle Mittel nur bei Erwartung einer positiven Rendite investieren. Der für die
Periode t+1 erwartete Kurs (ggf. bereinigt um Dividenden, Kapitalveränderungen etc.)
muss dann bei gegebenen vergangenen Kursen größer als der aktuelle Kurs sein. Lässt
man die Gleichheit als Extremfall zu, dann hat man durch
(3.1.13)
X t 1 x t , x t 1, x t 2 ,  x t
einen Submartingale-Prozess definiert.
Die erwarteten Kurse sind hierbei stets größer oder gleich dem aktuellen Kurs. Sofern
die kursrelevante Informationsmenge auf die Kurshistorie restringiert wird, sind in den
Aktienkursen stets alle Informationen enthalten. Überdurchschnittliche Renditen sind
daher nicht mit einem Submartingale-Prozess vereinbar. Vielmehr ist zu erwarten, dass
alternative "trading rules" im Mittel keine höheren Renditen abwerfen als die einfache
"buy and hold"-Strategie.
Aufgrund dessen wird der (Sub-)Martingale-Prozess bei einer Anwendung auf spekulativen Märkten als eine Ausprägung eines "fair game"-Modells angesehen. Das bedeutet,
dass z.B. die Investition auf einem Aktienmarkt ein faires Spiel in dem Sinne ist, dass
kein Investor, der den aktuellen Kurs kennt, Vorteile gegenüber einem anderen Investor besitzt. Es gibt keine Strategien, die es ermöglichen, den Markt zu "schlagen".
Bei der Definition des (Sub-)Martingale-Prozesses ist hinsichtlich der Verteilung der
Zufallsvariablen Xt allein eine Aussage über den (bedingten) Erwartungswert gemacht
worden. Die höheren (bedingten) Momente sind dagegen unspezifiziert geblieben. So
braucht z.B. bei einem (Sub-)Martingale-Prozess die bedingte Varianz nicht notwendig
konstant zu sein. Allgemein sind die nichtlinearen Eigenschaften eines (Sub-)MartingaleProzesses offen, da die bedingten Erwartungswerte


 X pt 1 x t , x t 1, x t 2 ,
für größere Werte von p nicht spezifiziert sind.
Random Walk
Es sei Ut eine unabhängig identisch verteilte Zufallsvariable (i.i.d.) mit den Parametern
U   0 und Var U   2 . Dann folgt die Zufallsvariable Xt,
t
(3.1.14)
t
X t  X t 1  Ut
einem Random Walk. Man spricht von einem Random Walk, wenn der aktuelle Wert
einer Zufallsvariablen sich aus dem Vorperiodenwert plus einer Realisation einer i.i.d.Zufallsvariablen ergibt. Auf diese Weise ergibt sich ein Zufallspfad, der nicht-stationär ist,
d.h. sich beliebig von seinem Mittelwert entfernen kann. Hieraus hat sich der Begriff der
Irrfahrt geprägt, die gelegentlich z.B. bei Aktienkursen und anderen spekulativen Preisen
zu beobachten ist.
Um den Erwartungswert und die Varianz des Prozesses zu ermitteln, setzen wir den
Anfangswert x0 ohne Einschränkung der Allgemeinheit gleich null:
(3.1.15) x0 = 0.
Dann ergibt sich die Folge (Xt) aus
X1  U1
X2  U1  U2
X3  U1  U2  U3

(3.1.16) X t  U1  U2    Ut
Unter Verwendung von (3.1.16) lässt sich leicht der unbedingte Erwartungswert
(3.1.17) X t   U1  U2    Ut 
 U1   U2     Ut 
0
ableiten. Gleichermaßen erhält man die unbekannte Varianz des Prozesses aus
(3.1.18)
Var X t 


Var U1  U2    Ut 
Var U1   Var U2     Var Ut 

t  2

unabh.
[Für t, d.h. bei unendl. lang andauerndem Prozess geht die Varianz gegen unendlich.]
Während der unbedingte Erwartungswert eines Random Walks zeitlich konstant ist, trifft
dies für seine unbedingte Varianz nicht zu. Vielmehr nimmt sie mit wachsendem t zu und
ist daher zeitvariabel. Der Random Walk-Prozess (3.1.14) ist daher mittelwertstationär,
aber nicht varianzstationär. Wie sich zeigen lässt, ist der Random Walk (3.1.14) ebenfalls nicht kovarianzstationär. Wegen
(3.1.19) Cov X t X s   t  2 ,
0ts
hängt seine Kovarianz wie die Varianz vom Zeitindex t ab. Die Autokorrelationsfunktion
des Random Walks,
(3.1.20) t , s 
t
,
s
ist nicht nur eine Funktion der zeitlichen Differenz |s–t|, sondern auch von den konkreten Zeitperioden t und s abhängig, für die sie betrachtet wird. Abbildung 3.2 gibt eine
typische Realisation eines Random Walks in einem Zeitreihendiagramm wieder. Die im
Zeitablauf zunehmende Varianz bewirkt, dass sich die Realisationen im Mittel immer
weiter voneinander entfernen.
Abbildung 3.2: Zeitpfad eines Random Walks
Xt
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
t
Durch Differenzenbildung lässt sich der nichtstationäre Prozess X t  in einen stationären
Prozess X t überführen:
(3.1.21) X t  Ut
Wie aus (3.1.21) hervorgeht, ist X t  ein i.i.d.-Prozess, dessen Parameter mit denen
des i.i.d.-Prozesses Ut  übereinstimmen.
Der bedingte Erwartungswert X t x t 1, x t 2 ,, x1  ist unabhängig von x t 2 , x t 3 ,, x1
da sich modellmäßig alle Informationen bis zur Periode t–1 im Vorperiodenwert x t 1
widerspiegeln:
(3.1.22)
X t x t 1, x t 2 ,, x1   X t 1  U t 
 x t 1  U t   x t 1
Die Beziehung (3.1.22) kann zur Bestimmung eines Prognosewerts X̂ n,1 für die Periode
n+1 unter Berücksichtigung der gesamten Zeitreihenhistorie verwendet werden. Der
Prognosewert X̂
ist durch den bedingten Erwartungswert
n,1
(3.1.23)
X̂ n ,1  X n 1 x n , x n 1,, x1   X n  U n 1 
 X n  U n 1   x n
gegeben, d.h. die Ein-Schrittprognose entspricht genau dem letzten bekannten
Zeitreihenwert. Analog ergibt sich der Prognosewert X̂n,2 aus
(3.1.24)
X̂ n ,2  Xn 2 x n , x n 1,, x1   Xn 1  U,n 2 
 Xn  Un 1  Un 2   x n  U n 1   U n 2   x n
woraus durch Verallgemeinerung leicht
(3.1.25)
X̂n,h  Xn h x n , x n 1,, x1   x n
gezeigt werden kann. Der h-Schritt-Prognosewert stimmt damit bei einem Random Walk
mit dem Ein-Schritt-Prognosewert überein.
Gleichwohl ist die h-Schritt-Prognose mit zunehmendem Zeithorizont mit einer immer
größeren Unsicherheit behaftet. Man erkennt dies an der Varianz des Prognosefehlers.
Bei der Ein-Schritt-Prognose lautet der Prognosefehler e
en ,1  X n 1  X̂ n ,1
 x n  Un 1  U n  U n 1
so dass seine Varianz durch
n,1
Var en,1   Var Un 1   2
gegeben ist. Der 2-Schritt-Prognosefehler
en ,2  X n 2  X̂ n ,2
 x n  U n 1  U n 2  x n  U n 1  U n 2
Hat dagegen die Varianz
Var en,2 

Var Ut 1  Ut  2 
Var Ut 1   Var Ut  2   2  Cov Ut 1 , Ut  2 


unabh .



2  2  22


0
Allgemein ist die Varianz eines h-Schritt-Prognosefehlers en,h durch


(3.1.26)
Var en,h   h  2
gegeben, was bedeutet, dass sich der Standardfehler der Prognose
(3.1.27) e  h
in jeder Periode um den Faktor h vergrößert.
Aus Abbildung 3.3 geht die damit einhergehende Verbreiterung des Prognoseintervalls (Konfidenzintervall der Prognose) mit zunehmendem Zeithorizont hervor.
Abbildung 3.3: Prognoseintervall
Xt,
*
*
*
*
*
*
*
 2  e  K onfidenzintervall
* * * * * * X̂ n , h  X n
*
*
*
* *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
X̂ n , t
*
*
*
*
n
t
In Gleichung (3.1.14) ist ein Random Walk ohne Drift dargestellt worden. Bei einem
Random Walk ohne Drift ist z.B. die erwartete Änderung eines Aktienkurses gegeben die
Informationen bis zur Periode t–1 stets gleich null:
X t x t 1, x t 2 ,, x1   x t 1  U t  x t 1 
.
  U t   0
Trendmäßig steigende Aktienkurse könnten z.B. durch Einführung eines Driftparameters
in (3.1.14) berücksichtigt werden:
(3.1.28) X t  b  x t 1  U t
.
Gleichung (3.1.18) charakterisiert einen Random Walk mit Drift. Die bedingt erwartete
Kursänderung einer Aktie würde dann genau dem Driftparameter b entsprechen:
X t x t 1, x t 2 ,, x1   b  x t 1  U t  x t 1 
 b  U t   b
Alternative Formulierungen der Random Walk-Hypothese beziehen sich auf eine
Lockerung der Annahmen hinsichtlich des Zufallsprozesses Ut . Zum Einen können
alternativ unabhängige, aber nicht identisch verteilte Innovationen unterstellt werden.
Hierunter fallen vor allem Prozesse mit heteroskedastischen Varianzen. Zum Anderen wird
gelegentlich die Unabhängigkeitsannahme durch die Unkorreliertheitsannahme ersetzt,
Ut
was einem White-Noise-Prozess für
impliziert.