– 147 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Die „Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion“ Definition: K sei eine IN 0 – wertige Zufallsvariable . ∞ fK(s) : = ∑ P( K = n ) s n = E(sK) , 0 ≤ s ≤ 1, n =0 heißt „Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion“ (kurz: WEF) von K (bzw. von PK). Satz: (i) fK(s) ist in [0, 1) unendlich oft differenzierbar. Für n ∈ IN und die n-te Ableitung f K( n ) (s) gilt: f K( n ) (1−) : = lim f K( n ) (s) = s ↑1 ∞ ∑ P(K = k) ⋅ k ⋅ (k − 1) ⋅ . . . ⋅ (k - n + 1) = k=n = E(K⋅(K – 1)⋅ . . . ⋅(K – n + 1)), wobei beide Seiten = ∞ sein können. ∞ Speziell: E(K) = ∑ P( K = k ) ⋅ k = f K′ (1−) , k =1 f K′′ (1−) = E(K⋅(K – 1)) ( = E(K2) – E(K), falls E(K) < ∞) ⇒ Var(K) = f K′′ (1−) + f K′ (1−) – (f K′ (1−)) 2 , falls E(K) < ∞ . (ii) PK ist durch fK(s) eindeutig charakterisiert: P(K = n) = 1 (n) f K (0) . n! (iii) fK(s) ist durch die Angabe von abzählbar vielen Werten fK(si), si ∈ [0, 1], i ∈ IN , eindeutig festgelegt. Konvergiert obige Reihe auch für ein s > 1, so ist für jedes n∈ IN f K( n ) (1−) = f K( n ) (1) < ∞, und fK(s) ist durch die Angabe von f K( n ) (1) , n∈ IN , eindeutig charakterisiert. (iv) fK(1) = 1; fK(s) ≥ 0, monoton wachsend und konvex auf [0, 1]. Beweis: Elementare Theorie der Potenzreihen. Satz: K1, . . . ,Kn unabhängige IN 0 – wertige Zufallsvariablen . Dann ist f K1 + . . . + K n (s) = f K1 (s) ⋅. . . ⋅ f K n (s) , 0 ≤ s ≤ 1. Beweis: f K1 + . . . + K n (s) = E(s K1 + . . . + K n ) = E(s K1 ⋅ . . . ⋅ s K n ) = = E (s K1 ) ⋅ . . . ⋅ E(s K n ) = f K1 (s) ⋅. . . ⋅ f K n (s) . – 148 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Beispiele: (i) d K = B(1, p) ⇒ fK(s) = (1 – p) + p⋅s ⇒ d K = B(n, p) : fK(s) = n m=0 d n ∑ m p (1 − p) n − m s m = ((1 – p) + p⋅s) n . m d unabhängig. ⇒ K = B(m, p) , L = B(n, p) d fK+L(s) = ((1 – p) + p⋅s) m ⋅ ((1 – p) + p⋅s) n = ((1 – p) + p⋅s) m + n ⇒ K + L = B(m + n, p), bzw. B(m, p) ∗ B(n, p) = B(m + n, p). ∞ ∞ λk k ( λs) k s = e −λ ∑ k! k = 0 k! k =0 (ii) K = Pn(λ) ⇒ fK(s) = e −λ ∑ d e λ⋅(s-1)⋅ e ρ⋅(s-1) = e (λ+ρ)⋅(s-1) ⇒ = e λ⋅(s-1) , s ∈ [0, 1]. Pn(λ) ∗ Pn(ρ) = Pn(λ + ρ). E(K) = Var(K) = λ. d (iii) K = G(p) ⇒ fK(s) = ∞ ∑ p ⋅ (1 - p) k ⋅ sk = k =0 f K′ (s) = Satz: p . 1 − (1 − p)s 2 ⋅ p ⋅ (1 − p) 2 p ⋅ (1 − p) 1− p 1− p ′ ′ ; f ( s ) = ⇒ E(K) = ; Var(K) = 2 . K 2 3 p (1 − (1 − p)s) (1 − (1 − p)s) p (Kn)n ∈ IN , K seien IN 0 – wertige Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent: → P(K = k) für alle k ∈ IN 0 . (i) P(Kn = k) n →∞ (ii) P(Kn ∈ A) n → P(K ∈ A) →∞ für alle A ⊂ IN 0 . → fK(s) für alle s ∈ [0, 1]. (iii) f K n (s) n →∞ → fK(s) für alle s ∈ [0, ε], ε > 0. (iv) f K n (s) n →∞ d (v) Kn n → K. →∞ Anwendung: Es sei n⋅pn n → λ > 0, d.h. →∞ ((1 – pn) + pn⋅s) n = (1 + pn⋅(s – 1)) n = (1 + ⇒ pn = λ + εn , εn n → 0 . ⇒ →∞ n λ + εn → e λ⋅(s-1) , s ∈ [0, 1]. ⋅(s – 1)) n n →∞ n d B(n, pn) n → Pn(λ). →∞ – 149 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Unabhängige Ereignisse Satz : Die Ereignisse A und B seien unabhängig. Dann tritt mindestens eines der drei Ereignisse A∩B, A ∆ B ( = (A ∪ B) \ (A ∩ B)) , A∩B (wobei A und B die Gegenereignisse von A und B sind) mit einer Wahrscheinlichkeit größer oder gleich 4 ein. 9 1, ω ∈ A Beweis : Es seien X die Indikatorvariable von A, d.h. X(ω) = , und Y die 0, ω ∉ A Indikatorvariable von B. Da A und B unabhängig sind, gilt dasselbe für X und Y. Wir studieren nun f(s), die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion der Variablen (X + Y) : f(s) := E( s ( X+Y ) ) = P(X + Y = 0) + P(X + Y = 1)⋅ s + P(X + Y = 2)⋅s2 = P( A ∩ B ) + P(A ∆ B)⋅s + P(A ∩ B)⋅s2 =: a + b⋅s + c⋅s2 , a + b + c = 1 – 150 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Da f(s) := E( s X ⋅ s Y ) = E( s X )⋅E( s Y ) = (P(X = 0) + P(X = 1)⋅ s)⋅ (P(Y = 0) + P(Y = 1)⋅ s), hat f(s) mindestens eine Nullstelle in den reellen Zahlen, zumindest wenn c = P(X = 1)⋅ P(Y = 1) > 0. Dies ist gleichbedeutend mit 2 2 b2 b b − ac ≥ 0 ⇔ c − bc − c 2 ≤ ⇔ c ≤ + c ⇔ 4 2 2 c ≤ b +c ⇔ 2 b≥ 4 9 b 2 c (1 − c) ≤ Wir unterscheiden 3 Fälle : 1.Fall : c≥ 4 9 qed 2.Fall : c≤ 1 9 ⇒ 3.Fall : 1 4 <c< 9 9 a+b≥ ⇔ 1 < 3 8 9 ⇒ c < 2 3 a ≥ ⇒ 4 9 b ≥ 2 oder c (1 − c) ≥ qed 2 4 ⇒ b≥ 9 9 qed, da min { x ⋅ (1 – x) | d < x < 1 – d } = d ⋅ (1 – d). Bemerkung : Das folgende Beispiel zeigt, daß die untere Schranke vergrößert werden kann : A, B unabhängig mit P(A) = P(B) = P(A ∩ B) = P(A ∆ B) = 4 ; 9 2 3 P( A ∩ B ) = ⇒ 1 . 9 4 in obigem Satz nicht 9 – 151 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Korollar : Zweimaliger unabhängiger Münzenwurf , jeweiliger Ausgang ∈ { Z, W }. S sei die Anzahl der in den beiden Würfen gefallenen „Z“. Es ist unmöglich , die beiden Münzen so zu verfälschen, daß S auf {0, 1, 2} gleichverteilt ist. Beweis : Es seien A = „erster Münzenwurf : Z“ und B = „zweiter Münzenwurf : Z“. A und B sind unabhängig. (S = 0) = A ∩ B , (S = 1) = A ∆ B , (S = 2) = A ∩ B. Gleichverteilung ⇒ P( A ∩ B ) = P(A ∆ B) = P(A ∩ B) = aber : 1 4 < . 3 9 1 , 3 – 152 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion – 153 – Kapitel 19: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion