lineare Optimierung

1 Ein nussverarbeitendes Unternehmen verfügt über 111 kg Erdnüsse und 49 kg Walnüsse. Es sollen
zwei Mischungen hergestellt werden, wobei die Mischung A zu 80 % aus Erdnüssen und zu 20 % aus
Walnüssen, die Mischung B zu 30 % aus Erdnüssen und zu 70 % aus Walnüssen besteht. Man will von
der Mischung A höchstens 130 kg und von der Mischung B höchstens 60 kg herstellen. Man verkauft die
Mischung A um 5€/kg, die Mischung B um 8€/kg. Wie ist der Produktionsplan zu erstellen, um
maximalen Umsatz zu erzielen? Wie groß ist der maximale Umsatz?
[A: 126 kg; B: 34 kg; Zmax = 902€]
2 Ein Autohändler bestellt zwei Modelle A und B zu einem
Einkaufspreis von € 20 000 bzw. € 30 000, wobei er insgesamt mindestens 22 Wagen einkaufen möchte, wegen
begrenzter Lagermöglichkeiten jedoch höchstens 44 Fahrzeuge ankaufen kann. Insgesamt will er für den Einkauf
höchstens € 1 000 000 ausgeben. Aufgrund von Beobachtungen des Käuferverhaltens soll die Anzahl der teureren
Wagen mindestens 20 %, aber nicht mehr als 50 % der
Gesamtlieferung betragen. Der Autohändler will vom teureren Modell höchstens 18 Stück, vom billigeren Modell mindestens 15 Stück bestellen. Wie viele Autos
der Modelle A bzw. B muss er bestellen, damit der Gewinn maximal wird, wenn er beim Verkauf eines
Modells A 15 %, eines Modells B 20 % verdient? Wie groß ist der maximale Gewinn?
[A: 23 Stück; B: 18 Stück; Zmax = € 177 000]
3 In einer Fabrik werden zwei verschiedene Arten von Gefriertruhen erzeugt. Die Produktion einer Gefriertruhe des Typs A nimmt das Eineinhalbfache der Zeit in Anspruch, die für die Fertigung einer Truhe
des Typs B nötig wäre. Würde nur der Typ B hergestellt, könnten täglich 150 Gefriertruhen erzeugt
werden. Aufgrund begrenzter Lagermöglichkeiten können insgesamt höchstens 120 Gefriertruhen gefertigt werden. Bedingt durch Lieferschwierigkeiten stehen für den Typ A täglich höchstens 70, für den
Typ B höchstens 90 Kühlaggregate zur Verfügung. Der Gewinn pro Gefriertruhe A beträgt € 60, bei
Gefriertruhe B € 48. Wie ist der Produktionsplan zu erstellen, wenn der Gewinn maximiert werden soll?
Wie groß ist dieser Gewinn. Inwiefern ändern sich die Ergebnisse, wenn die Beschränkungen infolge
begrenzter Lagermöglichkeiten aufgehoben werden?
[A: 60 Stück; B: 60 Stück; Zmax = € 6 480 bzw. A: 40 Stück; B: 90 Stück; Zmax = € 6 720]
4 Ein Elektrogeschäft möchte aus einem Sonderrabattposten für insgesamt maximal € 54 000 Videound TV-Geräte einkaufen, muss dabei aber mindestens 100 Stück abnehmen. Die Anzahl der Fernsehapparate soll mindestens doppelt und höchstens viermal so groß sein wie die der Videorekorder. Der
Einkaufspreis beträgt für ein TV-Gerät € 600, für einen Videorekorder € 150. Wegen des günstigen Einkaufs beträgt der Gewinn beim Verkauf eines Videogerätes 50 %, beim Verkauf eines Fernsehapparates
ein Drittel des Einkaufspreises. Wie viele TV- bzw. Videogeräte soll der Elektrohändler einkaufen, damit
der Gewinn maximal wird, und wie groß ist dieser maximale Gewinn?
[Video: 40 St.; TV: 80 St.; Zmax = € 19 000]
5 Im Zuge einer Abmagerungskur will ein Patient täglich höchstens 50 g Fett, höchstens 200 g Kohlehydrate und mindestens 135 g Eiweiß zu sich nehmen. Es stehen zwei Fertignahrungen „Abspeckfutter“
und „Bauchfettkiller“ mit den in der folgenden Tabelle angegebenen Nährstoffinhalten und Preisen zur
Verfügung, die den kulinarischen Anforderungen unseres Patienten gerade noch entsprechen. In welchem Verhältnis soll er die beiden Fertignahrungen mischen, um die Kosten möglichst gering zu halten,
und wie hoch sind diese minimalen Kosten?
Fertignahrung
„Abspeckfutter“
Fett (%)
Kohlenhydrate (%)
Eiweiß (%)
Preis (€/kg)
10
25
20
4,00
45
12,00
„Bauchfettkiller“
5
40
[450 g „Abspeckfutter“ und 100 g „Bauchfettkiller“ kosten 3 € täglich.]
6 Aus zwei Legierungen L1 und L2 wird durch einen Schmelzvorgang eine neue Legierung hergestellt.
100 kg der Legierung L1 enthalten 70 kg Kupfer, 10 kg Nickel und 20 kg Zink, 100 kg der Legierung L 2
enthalten 50 kg Kupfer, 10 kg Nickel und 40 kg Zink. Die neue Legierung soll mindestens 30 kg Kupfer,
mindestens 5 kg Nickel und mindestens 12 kg Zink enthalten. 1 kg der Legierung L1 kostet 12 €, 1 kg
der Legierung L2 16 €. Wie viel kg der beiden Sorten muss man verwenden, damit die gestellten Bedingungen zu einem möglichst günstigen Preis erfüllt werden, und wie groß ist dieser minimale Preis?
[L1: 40 kg; L2: 10 kg; Zmin = 640 €]
7 In zwei Kartoffellagern K1 und K2 liegen
je 50 t Kartoffeln, die auf drei ZwischenTransportkosten
nach
nach
nach
händler A, B und C verteilt werden sollen,
pro t in €
A
B
C
wobei A 30 t, B 40 t und C ebenfalls 30 t
erhalten soll. Aus der nebenstehenden Tabelle sind die Transportkosten je Tonne in
von K1
5
6
3
Euro ersichtlich. Wie ist der Lieferplan zu
erstellen, damit die Transportkosten
von K2
3
3
2
minimal sind, und wie groß sind diese
Transportkosten? Inwieweit ändern sich
die Ergebnisse, wenn die Transportkosten für eine Tonne von K1 nach A auf € 6 steigen und von K1
nach B auf € 5 sinken?
[K1A: 20 t; K1B: 0 t; K1C: 30 t; K2A: 10 t; K2B: 40 t; K2C: 0 t; Zmin = € 340]
[K1A: 0 t; K1B: 20 t; K1C: 30 t; K2A: 30 t; K2B: 20 t; K2C: 0 t; Zmin = € 340]
8 Ein internationaler Konzern beauftragt
eine Spedition Waren von zwei Werken W1
Transportkosten
nach
nach
nach
und W2 zu drei Vertragspartnern A, B und
pro ME in €
A
B
C
C zu transportieren. Im Werk W1 befinden
sich 58 ME (Mengeneinheiten) im Werk W2
42 ME, Vertragspartner A benötigt 33 ME,
von W1
55
42
75
B benötigt 27 ME und C benötigt 40 ME.
Die Kosten für den Transport pro ME sind
von W2
43
42
33
der nebenstehenden Tabelle zu entnehmen.
a) Wie ist der Lieferplan zu erstellen, damit dem Konzern minimale Kosten entstehen?
b) Der Konzern überlässt der Speditionsfirma die Ausarbeitung des Lieferplans. Wie sollte diese den
Lieferplan erstellen, um mit dem Konzern ein möglichst großes Geschäft machen?
[a) W1A: 31 t; W1B: 27 t; W1C: 0 t; W2A: 2 t; W2B: 0 t; W2C: 40 t; Zmin = 4245 €]
[b) W1A: 18 t; W1B: 0 t; W1C: 40 t; W2A: 15 t; W2B: 27 t; W2C: 0 t; Zmax = 5769 €]
9 In zwei Lagerhäusern in Rattenberg und Söll liegen 540 t
bzw. 460 t eines Rohstoffs, der für drei Zwischenhändler in
Kufstein (240 t), Wörgl (340 t) und Hopfgarten (420 t)
bestimmt ist. Der Transport einer Tonne kostet 50ct/km.
Die Entfernungen zwischen den einzelnen Orten sind nebenstehendem Lageplan zu entnehmen. Wie ist der Transportplan zu erstellen, damit die Transportkosten minimal
werden? Wie groß sind die minimalen Transportkosten?
Aufgrund eines Erdrutsches muss die Eibergbundesstraße
für den Verkehr gesperrt werden. Welche Auswirkungen
hat dies auf obiges Transportproblem?
[RK: 0 t; RW: 340 t; RH: 200 t;
SK: 240 t; SW: 0 t; SH: 220 t; Zmin = 8380 €]
[bei gesperrter Eibergstraße: RH: 0 t; SH: 420 t;
Rest beliebig; Zmin = 9260 €]