Pythagoras Frage: Was wissen Sie bereits über Pythagoras

Pythagoras
Frage: Was wissen Sie bereits über Pythagoras?
Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der griechischen Insel Samos geboren und ist dort
auch aufgewachsen.
Über seine Herkunft läßt sich nur folgendes sagen :
Seine Mutter hieß Pythais. Seinem Vater - vermutlich hieß er Mnesarchos - schreibt man den
Beruf des Goldschmiedes oder des Kaufmannes zu. Legenden zufolge ist Apollon der Vater
von Pythagoras.
Als Erwachsener ging er auf Reisen und besuchte vermutlich Phönizien, Ägypten, Babylon
und Persien. In Ägypten soll er angeblich in den Kreis der Priester aufgenommen worden
sein und sich Geheimwissen angeeignet haben.
Bei seinem Besuch in Persien studierte er die dort bekannte Mathematik und Religion.
Danach kehrte er nach Samos zurück, wo zu dieser Zeit der Tyrann und Seeräuber
POLYKRATES (538 - 522 v. Chr.) herrschte. Aus diesem Grund wanderte Pythagoras um
530 v. Chr. nach Kroton in Unteritalien - dem damaligen Großgriechenland - aus.
Dort gründete er die Bruderschaft der Pythagoreer , die sich mit religiösen,
wissenschaftlichen, politischen und sittlichen Zielen beschäftigte.
Das besondere Interesse galt jedoch den philosophischen Aspekten der Mathematik. Aus
diesem Bund ging auch die Pythagoreische Philosophenschule hervor, die bis etwa 485 v.
Chr. existierte.
Es sei noch bemerkt, daß Pythagoras ein Schüler von THALES von Milet (erste Hälfte des 6.
Jahrhunderts) war. Pythagoras starb um 480 v. Chr.
Der Satz des Pythagoras
Kommen wir nun zu dem wohl bekanntesten Lehrsatz der Mathematik, dem Satz des
Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat Kc der Hypotenuse c gleich der
Summe der Kathetenquadrate Ka und Kb der Katheten a und b. Die Hypotenuse ist die
längste Seite des Dreiecks und liegt gegenüber dem rechten Winkel:
Und hier die Formel:
a² + b² = c²
Es gibt auch den erweiterten Satz des Pythagoras - den Kosinussatz- er gilt in allen
Dreiecken.
Nun führe ich hier einen von über 400 existierenden verschiedenen Beweistechniken für den
Satz des Pythagoras an:
Wir konstruieren ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b:
Unter der Hypotenuse konstruieren wir die Fläche c²:
Um c² herum konstruieren wir weitere drei zum ersten Dreieck kongruente Dreiecke:
Wir haben nun eine Fläche, die wir zweierlei bezeichnen können:
F = (a + b)²
F = c² + 4 * ½ * a * b
Der erste Ausdruck gilt, da die Summe der Längen zum Quadrat die Fläche des Quadrates
bezeichnet. Wir können aber ebenfalls die einzelnen Flächen addieren, also die Fläche des
Quadrates und die Flächen der vier Dreiecke, für das für ein Dreieck gilt: ½ * Grundseite (b)
* Höhe (a).
Wir dürfen also die beiden Ausdrücke gleichsetzen und vereinfachen:
(a + b)² = c² + 4 * ½ * a * b
nach der Binomischen-Formel:
a² + 2*a*b + b² = c² + 2*a*b
Auf beiden Seiten 2*a*b subtrahieren:
a² + b² = c²
Übungsaufgaben
Lösen Sie folgende Aufgaben und erklären sie ihrem Kollegen Ihr Vorgehen.
1. Dein Freund hat bei einem Gewinnspiel eine Reise mit einem Heißluftballon
gewonnen. Heute ist es endlich soweit und er fliegt los. Er ruft dich mit dem Handy
an und erzählt dir, dass er gleich ungefähr 1 Kilometer vor deinem Haus vorbeifliegt,
und du ihn mit dem Fernglas beobachten sollst. Dein Fernglas hat eine Sichtweite von
ungefähr 1,2 Kilometern, und du kannst deinen Freund gerade noch sehen. Wie hoch
mag er wohl gerade in der Luft sein?
2. Dein Freund und du, ihr schlendert so ein bisschen im Wald herum, und ihr seht in 51
Meter Luftlinie einen Baum. Dein Freund schätzt, dass er 10 Meter hoch ist. Wie weit
müsst ihr noch laufen, bis ihr bei dem Baum seid?
3. Du hast eine Kiste, die 1,5 Meter lang ist, 1 Meter hoch und 1 Meter breit. Du hast
eine Stange, die 2 Meter lang ist. Passt die Stange in die Kiste?
(Tipp: Raumdiagonale berechnen, wende dafür zwei Mal den Satz des Pythagoras
an.)
4. Ein rechteckiger Holzrahmen ist 90 cm lang und 56 cm breit. Er wird durch eine Latte
in den Diagonalen verstärkt. Wie lang muss die Latte sein?
5. Eine Leiter von 34 Metern Länge steht 3 Meter von der Mauer entfernt. In welcher
Höhe liegt die Mauer an der Mauer an? (Genauigkeit: 2 Dezimalstellen)
6. Ein quadratisches Schild mit einer Seitelänge von 110 cm wird in zwei
gegenüberliegenden Ecken befestigt. Wie weit liegen die Ecken auseinander?
Genauigkeit: 2 Dezimalstellen)
7. Ein Hotel brennt im zweiten Stock, der sich 8 Meter über dem Boden befindet. Das
Feuerwehrauto hält in 3 Metern Entfernung. Wie lang muss die Leiter ausgefahren
werden, damit gelöscht werden kann?
8. Ein Brückenpfeiler, der 25 Meter hoch ist, soll in einer Entfernung von 15 Metern mit
einem Stahlseil im Boden verankert werden. Wie lang ist das Stahlseil?
9. Eine Seiltanzgruppe will von der Spitze eines 60 Meter hohen Turmes ein 250 Meter
langes Seil zur Erde spannen. Reicht der vor dem Turm liegende Platz von 220
Metern breite dazu aus?
10. Eine 4,5 Meter lange Eiche steht von einer Hauswand 1,8 Meter entfernt. Bei Sturm
kippt die Eiche gegen die Wand. In welcher Höhe berührt sie die Hauswand?
Lösungen:
1) 663 Meter, 2) 50 Meter, 3) Ja, die Stange passt gerade noch hinein., 4) 1,06 Meter, 5)
33,87 Meter, 6) 1,56 Meter, 7) 8,54 Meter, 8) 29 Meter, 9) Nein, der Platz ist 22,69 Meter zu
kurz. , 10) 4,12 Meter