Bruchtheorie von Griffith

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8: Stress (Spannung)
Kraft (Force): Eine Kraft ändert die Geschwindigkeit (Länge pro Zeiteinheit) eines
Objekts (Newton’s Second Law of Motion)
F = m  a (Masse  Beschleunigung) [(kg  msec-1)sec-1] [1 Newton];
Vektorquantität mit Größe und Richtung; Aufspaltung in Vektorkomponenten
Körperkräfte (body forces): Gravitation (wirkt auf ein Gesteinsvolumen und ist
proportional zu der Masse in diesem Volumen).
Oberflächenkräfte (surface forces): Zwischenkörperkräfte (plattentektonische Kräfte)
! Kraft ist ein wichtiges Konzept, beschreibt aber nicht die unterschiedlichen
Wirkungen, die sie auf Körper mit gleicher Masse, aber unterschiedliche Gestalt hat!
Deshalb: Stress: () Kraft pro Fläche ( = F/A) - kann als Intensität der Kraft
betrachtet werden
 = kg  m  sec-2 (Kraft-Term)  m-2 (Flächen-Term) = kgm-1sec-2 = N  m-2 = 1
Pascal (1 bar = 105 Pa  1 atm, 1 kbar = 1000 bar = 108 Pa = 100MPa, 1 GPA = 1000
MPa)
Im Gegensatz zur Vektoraufspaltung der Kraft, ist die Aufteilung des Stresses in seine
Komponenten entlang einer Fläche komplex, da sich die Fläche als eine Funktion der
Orientierung des Stressvektors ändert (z.B. Größe).
Kraft und Stress auf eine Fläche (Figure 3.2 = P&M):
Stress () hat die Größe F/AB. Wenn die Fläche EF einen Winkel  mit der Ober- und
Unterseite des Würfels bildet; dann gilt:
Fn = Fcos = ABcos = EFcos2
[cos = Fn/F;  = F/AB; AB = EFcos]
Fs = Fsin = ABsin = EFsincos = EF½sin2
Für Stress:
n = Fn/EF = cos2
s = Fs/EF = ½sin2
Wichtig: Gleichungen z.B. für Fn, n unterschiedlich (geplotted in Fig. 3.2c,d-PM) siehe besonders Unterschied zwischen Fs und s. Konventionen für Scherstress
(Scherpaar bewirkt Uhrzeigersinnrotation = ).
Darstellung (Repräsentation) von Stress
(a) Hauptspannungen
3D-Stress auf ein ruhendes Objekt (= jeder Stress wird durch einen gleich großen,
entgegengesetzt gerichteten Stress aufgehoben = Newton’s Third Law of Motion).
Objekt wird auf einen Punkt verkleinert, da dieser alle möglichen Orientierungen von
einer Fläche im Raum repräsentiert. Fig. 3.3a-PM zeigt Stress auf mehreren Flächen;
zwecks Vereinfachung Schnitt durch den Punkt (2D). Wie oben abgeleitet, variiert der
Stress als Funktion der Orientierung, so ist die Vektorlänge (Magnitude) in jeder
Orientierung unterschiedlich. Die Einhüllende aller Stressvektoren in 2D ist eine
Ellipse, in 3D ein Ellipsoid; dies besagt, dass die Magnitude des Stress für jede mögliche Flächenorientierung ein Punkt auf der Ellipse/des Ellipsoids ist (Stressellipse, ellipsoid). Alle Ellipsoide lassen sich durch 3 Achsen definieren = Hauptachsen
(principal axes). Diese Achsen haben die folgenden Eigenschaften:
1) Sind orthogonal zueinander
2) Senkrecht auf die Flächen ohne Scherstress (Hauptstressflächen)
Hauptspannungen (principal stresses) sind Vektoren!
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(b) Darstellung als Stresskomponenten in kartesischem Koordinatensystem
Die Orientierung und Magnitude eines Stresszustandes kann definiert werden, in dem
man seine Komponenten auf eine kartesisches Koordinatensystem projiziert (Fig. 3.4PM), Koordinatenachsen x,y,z. Dazu wird anstatt des unendlich kleinen Punktes ein
unendlich kleiner Würfel genommen, auf den der Stress wirkt. Die Würfelflächen
stehen normal zu x,y,z. Der Stress, der auf die Flächen wirkt wird nun in drei
Komponenten aufgespaltet:
In die Richtung von:
x:
y:
z:
Stress auf die Würfelfläche normal zu x: xx xy xz
Stress auf die Würfelfläche normal zu y: yx yy yz
Stress auf die Würfelfläche normal zu z: zx zy zz
(Beachte: Erstes Unterzeichen ― Koordinatenfläche auf die der Stress einwirkt [senkrecht der Achse], zweites Unterzeichen ― Koordinatenrichtung entlang der Stress
wirkt)
Definition des Stresszustandes an einem Punkt: Der Stress, der auf einen Punkt wirkt,
wird definiert durch seine Komponenten (xx bis zz) definiert, mathematisch ist dies
eine 3  3 Matrix, also ein Tensor zweiten Ranges. Von diesen 9 Stresskomponenten
im x-y-z Koordinatensystem sind nur 6 unabhängig, da z.B. xz = zx, etc. ist
(Gleichgewichtsbedingung).
 xx  x y  xz 


   yx  yy  yz 
 zx  zy  zz 


Stresstensor: ij
Hauptkoord inatensyst em (x, y, z parallel  1 ,  2 ,  3 )
 1 0 0 
   0  2 0 
 0 0  3 
Generelles Koordinate nsystem
 11  12  13 
   21  22  23 
 31  32  33 
Erstes Subskript: Fläche (ausgedrückt durch Flächennormale), auf die Stress wirkt.
Zweites Subskript: Richtung, in die der Scherstress wirkt. Von den neun
Komponenten sind nur sechs unabhängig (12 = 21, 13 = 31, 23 = 32).
Beziehung zwischen Normal-, Scher- und Hauptspannungen
Experiment Figure 3.5-PM –
Normal- und Scherstress auf eine beliebig orientierte Fläche im Hauptstresskoordinatensystem. Da das Experiment unter atmosphärischen Bedingungen abläuft,
gilt 1 = 2; also 2D Betrachtung in der 1 - 3 Ebene. Weitere Annahmen: Fläche AB
= 1 cm2 (Einheitsfläche), Strecke AB = 1 cm.
Es gilt:
AC = 1 sin
BC = 1 cos
3
daraus resultiert
Kraft auf BC = 1 cos
Kraft auf AC = 3 sin
Kraft auf AB besteht aus einer Normalkraft = n 1 und Scherkraft = s 1.
n 1 = Kraft auf BC - umgelegt (durch Winkel ) = 1 coscos + 3 sinsin Kraft
auf AC - umgelegt (durch Winkel ): n = 1 cos2 + 3 sin2
Nimmt man die folgenden trigoniometrischen Indentitäten, gilt:
cos2 = ½ (1 + cos2)
sin2 = ½ (1 - cos2)
ergibt sich: n = ½ (1 + 3) + ½ (1 - 3) cos2
s 1 = 1 cossin Kraft auf BC - umgelegt (durch Winkel ) - 3 sincos (AC).
Negative Zeichen, weil Kraft auf AC aufgelöst auf AB in die Gegenrichtung wirkt als
die Kraft senkrecht BC aufgelöst auf AB. s = (1 - 3) sincos
Nimmt man die folgenden trigoniometrische Indentität, gilt:
sin cos = ½ sin2
s = ½ (1 - 3) sin2
Daraus erkennbar: n max, wenn  = 0° (cos0° = 1). s max, wenn  = 45, 2 =
90° (sin90° = 1)
Mohr-Diagramm für 2D Stress
Stressellipse zeigt an, dass die Normal- und Scherstresskomponenten auf einer Fläche
sich kontinuierlich mit der Orientierung der Fläche ändern müssen. Das Mohr-D.
ermöglicht die Beziehung zwischen der Orientierung der Fläche und den Werten für
Scher- und Normalstress einfach darzustellen. x-Achse = Betrag von n; y-Achse =
Betrag von s. n und s von Flächen beliebiger Orientierung (durch einen Punkt)
liegen auf dem Mohrkreis, der seinen Mittelpunkt auf der n-Achse hat. Kompressiver
Stress n = positiv; Gegenuhrzeiger s = positiv!
1) Unterschied physikalischer Raum und Mohr-D. (Fig. Twiss 8.7)
2) Die maximalen und minimalen Normalspannungen (Hauptspannungen) plotten
entlang der n-Achsen, für sie ist der s = 0.
3) Die Orientierung einer Fläche im M-D wird durch ihre Normale, n, ausgedrückt,
nicht durch die Fläche selbst!
4)  ist der Winkel zwischen x1 (= Koordinatenachse // 1) und n und auch x1 und n
im physikalischen Raum (Fig. Twiss 8.7).
5) Alle Winkelwerte werden im M-D verdoppelt ( = 2).
6) Die Gleichungen für n und s für eine beliebige Fläche im physikalischen Raum,
deren Normale ° von 1 weg ist, können aus der Geometrie des Mohrkreises
abgeleitet werden (Fig. Twiss 8.7B). Aus zwei Punkten auf dem Kreis kann im
Mohrdiagramm die mittlere Normalspannung und der Radius konstruiert werden
(siehe Gleichungen).
 3
  3
, r   s max  1
.
n  1
2
2
Die mittlere Normalspannung (mean normal stress) und r werden die „Skalaren
Invarianten“ genannt (ändern sich nie).
7) Alle Stresskomponenten, die auf eine Fläche P wirken, plotten am Kreis mit dem
Radius [(1-3)/2] und mit dem Winkel 2 von der n-Achse.
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Zwei Flächen im Mohrdiagramm:
1) Die Spannungskomponenten, die 2 = 180° am Mohrkreis auseinander liegen,
liegen 90° im physikalischen Raum auseinander. So plotten auch 1 und 2 180°
auseinander auf der n-Achse (Fig. Twiss 8.9).
2) Spannungen auf Flächen, die im physikalischen Raum 45° zu 1 geneigt sind
(und 45 auseinander liegen), liegen sich am Mohrkreis gegenüber und auf 2 =
90°. Dort ist s ein Maximum (leicht zu sehen am Mohrdiagramm). Diese
Flächen heißen die konjugierten Flächen des maximalen Scherstresses (Fig.
8.10).
Beispiel (ex: Means: Stress and Strain, p. 75)
Der Stress an einem Punkt wurde gemessen und ergab: 1 = E-W horizontal = 30
MPa, 2 = vertikal = 10 MPa. Suche den Stress, der auf eine Störungsfläche wirkt, die
N-S streicht und 80° nach E einfällt.
Lösung Figur 9.4, zeichne physikalisches Raumdiagramm und Mohr-D.!
Homework:
Herleitung der Gleichungen für den Mohrschen Spannungskreis
Die Gleichungen für n und s werden neu geordnet und quadriert.
n = ½ (1 + 3) + ½ (1 - 3) cos2
(verwendet wird die Form: n - ½ (1 + 3) = ½ (1 - 3) cos2)
und
s = ½ (1 - 3) sin2
{n - ½ (1 + 3)}2 = {½ (1 - 3)}2 cos22
{s2 = {½ (1 - 3)}2 sin22
Dann addiert:
{n - ½ (1 + 3)}2 + s 2 = {½ (1 - 3)}2 (cos22 + sin22)
Dann verwendet man die folgende trigoniometrische Beziehung:
(cos22 + sin22) = 1
ergibt
{n - ½ (1 + 3)}2 + s 2 = {½ (1 - 3)}2
Die letzte Gleichung hat die Form von:
(x - a)2 + y2 = r2
dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius r, der seinen Ursprung auf x hat.
Der Mohrkreis hat einen Radius ½(1 - 3) mit dem Mittelpunkt auf  und einem Abstand von ½(1 +
3) vom Ursprung (was auch das Zentrum des Kreises ist - der mittlere Stress (mean stress)).
½ (1 - 3) ist der maximale Scherstress.
Box. 8.4 Mohrdiagramm in 3D (Fig. Twiss 8.4.2)
1) Dreidimensionaler Stress plottet auf einem Mohrdiagramm als ein Set von drei
Mohrkreisen; jeder der Kreise ist ein Diagramm der Oberflächenspannungskomponenten, welche auf Sets von Flächen einwirken, die parallel einer der
Koordinatenachsen sind.
2) Hauptspannungen: plotten auf n. Der „mean stress“ (mittlere Spannung) ist
kein Mittelpunkt irgendeines der drei Mohr-Kreise.
3) Oberflächenspannungen von Flächen, die nicht parallel zu einer der Hauptachsen sind, liegen nicht auf den Hauptkoordinatenflächen. Die Komponenten
der Oberflächenspannungen plotten innerhalb des größten Mohrkreises, aber
außerhalb der zwei kleinern Kreise.
Stress Terminologie
Beziehen sich auf spezifische Spannungszustände (Fig. Twiss 8.14).
5
Hydrostatischer Stress: 1=2=3=p. Alle Hauptspannungen sind kompressiv und
gleich groß. Es existiert keine Scherspannung auf irgendeiner Fläche. Alle orthogonalen Flächen sind Hauptkoordinatensysteme. Der Mohrkreis ist ein Punkt.
Uniaxialer Stress: 3D Mohrdiagramm ist ein einziger Kreis, der Tangente zu der s
Koordinatenachse ist (2=3=0). Uniaxiale Kompression: kompressiver Stress in eine
Richtung, 1>2=3=0. Häufig verwendet in Experimenten zur Gesteinsfestigkeit.
Uniaxiale Extension: 0=1=2>3, häufig verwendet zum Test von Metallen.
Axiale oder “confined” (allseitige begrenzte) Kompression: 1>2=3>0. Verwendet
zur Erforschung von Fliessgesetzen von Gesteinen. Axiale Extension, extensiver
Stress oder Extension: 1=2>3>0. Extension hat eine unterschiedliche Bedeutung
für Strain!
Dreiaxialer (triaxialer) Stress: 1>2>3.
Pure shear Stress oder Pure Shear (reine Scherung): 1=3 mit 2=0. n auf die
Flächen mit smax sind 0, deshalb der Name. Mohrkreis hat seinen Mittelpunkt am
Koordinatenursprung! Pure Shear hat eine andere Bedeutung für Strain!
Deviatorischer Stress: definiert durch die Subtraktion des mittleren Stress
(1+2+3)/3 von jeder n Komponente im Stresstensor. Der Mohrkreis wird auf
einen Kreis mit dem Mittelpunkt am Koordinatenmittelpunkt verschoben. Der deviatorische Stress ist brauchbar, um Material zu beschreiben, welches nur vom Radius
(der Größe) des Mohrkreises, d.h. von s abhängt
Differentieller Stress: ist die Differenz zwischen dem maximalen und minimalen
Stress, D=1-3. Für 2D Mohrkreis stellt der differentielle Stress den Durchmesser
des Mohrkreises dar.
Effektiver Stress: Von den Hauptspannungen wird der Porenwasserdruck subtrahiert.
Der Mohrkreis bewegt sich näher zum Ursprung.
Tabelle 8.2 fasst Stresstensornotation zusammen.
9: Mechanik von Bruchbildung
Elastische Deformation und Bruchexperimente
Experimente mit Typusgesteinen (wie Solenhofener Kalk, Yule Marmor, Westerly
Granit, etc..): zylindrische Blöcke von cm bis m Durchmesser in hydraulische Presse.
Stress verursacht Strain, der messbar ist. Hauptergebnisse: Verbindung zwischen den
angebrachten Axialkräften (Stress) und der Verformung der Probe (Strain).
Elastische Deformation: am Beginn der graduell zunehmenden Belastung. Strainresponse zu Stress ist augenblicklich und bei Rücknahme der angebrachten Kraft
verschwindet die Verformung komplett. Bei uniaxialem Stress ist die Größe der Verformung (gemessen als Extension, en=(ld-li/li) parallel der angebrachten Kraft) direkt
proportional zur Größe des Stresses.
n = Een
Proportionalitätskonstante E ist der Young Modul; gilt für isotropes Material.
Geologische Vorzeichenkonvention beachten (Stress = +, e = ¸ bemerke: weil
123 und e1e2e3 und weil geologische Vorzeichenkonvention sagt, dass kompressiver Stress und Extension positiv sind, ergibt sich, dass 1 den Strain e3
produziert). E ist eine negative Zahl (in Tabellen ist E generell eine positive #, da die
meist der engineering „sign convention“ folgt). E ist meist zwischen 10-100 GPa für
6
Gesteine. Elastische Strains umfassen wenige % Extension bevor das Material bricht.
Strain- und Stressachsen sind bei diesen kleinen Beträgen parallel.
Krustaler Stress erreicht 10-100 MPa (Differenzstress), so sind elastische Strains in der
Größenordnung von 1%;
[e 

E

100 MPa
 0.01  1% ]
10000 MPa
Volumsveränderungen sind häufig, da die meisten Materialen Mikrorisse, Poren, etc.
enthalten. Das Poissonsche Verhältnis beschreibt das Verhältnis der Extension
normal zum angelegten Stress und der Extension (Verkürzung) parallel der angelegten
Kompression (Fig. Twiss 9.1).
e
   ( e  e1 , laterale Längenzunahme;  = Verhältnis der Radial- zur
e//
Axialdehung) (see also Fig. 4.27 Suppe)
e
oder    1
e3
Das Youngsche Modul und das Poissonsche Verhältnis sind die zwei wichtigsten
Konstanten, die das Verhalten von isotropen, elastischen Materialen charakterisieren.
 ist 0.5 für perfekte inkompressive Materialien (solche die konstantes Volumen
behalten, ganz gleich wie hoch der Stress ist), generell treten Werte zwischen 0.25
und 0.33 auf.
Einschub - Ableitung warum  = 0.5 ist.
Ausgangszustand: Quader mit Kantenlängen a=b=c = 1, d.h. V = 1 = const.
Deformierter Zustand, geplättet: a' = 1+e3 < 1, b' = 1+e2 > 1, c' = 1+e1 > 1;
wegen flattening Geometrie: b' = c'
V = a'  c'  c'
V = 1, so: a' = 1/(c'  c')
Poisson’sches Verhältnis:  = -e1 / e3 = -(c' - 1)/(a' - 1) = (1 - c')/(1/(c'  c') - 1)) =
= (1 - c')/((1 - c'  c')/(c'  c')) = (1 - c')  c'  c'/(1 - c'  c');
(1 - c' x c') lässt sich zerlegen in (1 - c') x (1 + c'), sodass (1 - c') gekürzt
werden kann. Somit heißt die Formel:  = c' x c' / (1 + c')
Für ein inkompressibles Material geht c' gegen 1 (weil auch a' gegen 1 geht).
Grenzwertberechnung ergibt:  = 0.5.
Experimente zur Bruchbildung
Umgebungs(Umschließungs-)druck (confining pressure): vermindert radiale Dehnung.
Der Umgebungsdruck wird als Flüssigkeitsdruck innerhalb einer nichtpermeablen
Hülle, die die Probe umgibt gemessen (Cu-Mantel).
Bruchtypen (Fig. Twiss 9.2)
Extensionsbrüche (extensional fractures) werden Dehnungsbrüche (tension fractures)
genannt, wenn 3 tensil, , ist. Longitudinal Splitting (Teilung) wenn 3  0; solche
Brüche sind sehr unregelmäßig. Beachte: Extensionsbrüche können auch entstehen,
wenn beide, 1 und 3, positiv sind.
Scherbrüche bilden sich unter Umgebungsdruck bei Winkeln kleiner als 45° zu 1
(Experiment). Bei triaxialen Stress (123), sind die Scherbrüche // zu 2 und
bilden konjugierte Störungspaare. Bei 2=3 treten alle möglichen Orientierungen der
Scherbrüche auf, alle sind aber Tangenten zu einem Kegel.
Tensile Festigkeit und tensiler Bruchbereich (tension fracture envelope): charakteristischer Bruchbereich für verschiedene Materialien. Mohrdiagramm Fig. Twiss 9.3.
7
n* = T0 (T0 - charakteristischer Wert für tensilen Stress, an dem Material unter
uniaxialer Tension bricht; n* - kritischer n um Bruch zu erzeugen)
Die Bruchflächen werden entweder mit dem Bruchflächenwinkel (fracture plane
angle, f, Winkel zwischen 1 und der Fläche), oder dem Bruchwinkel (fracture angle,
f, Winkel zwischen 1 und der Flächennormalen) beschrieben. Lage dieser Flächen
im Bezug zu 3 = T0 siehe Fig. Fig. 9.3D,E.
Coulombsche Bruchkriterium für Umschließungsdruck
(Coulomb fracture criterion for confined pressure)
Beginn der Bruchbildung hängt vom differentiellen Stress, (D=1-3) ab. Die Größe
des D, die angewandt werden muss, hängt vom Umschließungsdruck (p=2=3) ab,
je höher p je höher D. Der Bruchwinkel (f, between 1 and normal to fracture plane)
ist in den Experimenten generell 60°; f, Winkel zwischen der Bruchflache und 1
ist dann 30°.
Durch eine Vielzahl von Experimenten hat man einen shear fracture envelope (Einhüllende der Bruchgrenze) am Mohrdiagramm erarbeitet, die stabile von instabilen
Stresszuständen trennt (Fig. 9.4A-C, dies wurde durch viele Experimente mit unterschiedlichem p erreicht). Abgrenzung der Bereiche mit stabilen, kritischen, und
instabilen Stresszuständen.
Die Annäherung der Brucheinhüllenden mit Hilfe einer geraden Linie ist als das
Coulombsche Bruchkriterium bekannt.
 s*  c   n mit   tan 
 s* der kritische Scherstress,  und c sind die Neigung und der Schnittpunkt der Linie
mit s,  ist der Neigungswinkel der Linie.  und c, die zwei Konstanten, definieren
die Bruchkriterien des Materials und sind materialabhängig.
c (Kohäsion) ist der Widerstand gegen Bruch im Schermodus entlang einer
Fläche, auf der n=0 ist.
, der Koeffizient der inneren Reibung (coefficient of internal friction) und , der
Winkel der inneren Reibung, werden so genannt, da bei c = 0, obige Gleichung der
ähnelt, die den Reibungswiderstand beschreibt (siehe später).
Ein Scherbruch entwickelt sich, wenn der Stress auf einer beliebig orientierten Fläche
obige Gleichung erfüllt (der Stress wird ausgedrückt durch n und s). Diese zwei
kritischen Punkte sind dort, wo der Mohrkreis Tangente zu den zwei Linien ist, d.h.
die durch obige Gleichungen gegeben sind (Fig. Twiss 9.4B). Dies impliziert, dass
sich zwei Scherflächen ausbilden (die “konjugierten Scherflächen”). Welche der
beiden möglichen Flächen sich ausbildet (oder ob beide) wird vom Kriterium nicht
vorhergesagt. Die Orientierung der Flächen sind aus der Ableitung aus dem
Mohrdiagramm in folgenden Formeln darstellbar (Fig.Twiss 9.4).
2 f  (90   )  ( / 2   )radians ,
2 f  (90   )  ( / 2   )radians .
Die Einhüllende definiert sowohl den kritischen Scherstress, der zum Bruch
führt, und die Orientierung der Bruchflächen.
Beispiel: Berea Sandstein hat nach Experimenten folgendes Bruchkriterium:
 s*  24.1  0.49 n
Aus obigen Gleichungen ergibt sich: =26°, f= 58° und f=32°.
8
Figure Twiss 9.5A (see caps) gibt eine Übersicht über die Verteilung von f aus unterschiedlichen Gesteinen unter unterschiedlichen experimentellen Rahmenbedingungen.
Der mittlere f Winkel = 29°. Es wird generell ein 30° Winkel angenommen. Dies
ergibt 60° zwischen den konjugierten Bruchflächen. Deutlich ist eine Vergrößerung
dieses Winkels bei der Erhöhung des Umschließungsdruckes (Fig. Twiss 9.5B).
Es erscheint seltsam, dass sich die Scherbrüche in einem Winkel 30° zu 1 bilden
und nicht 45°, parallel den konjugierten Scherbrüchen mit maximalem Scherstress.
Der geringere Winkel resultiert aus den konkurrierenden Effekten der Normal- und
Scherspannung, die auf eine Bruchfläche einwirken. Ist aus einem Mohrdiagramm
(e.g. Fig. Twiss 9.4) zu ersehen: die Entwicklung eines Scherbruches wird ausgelöst,
wo es ein Minimum an Normalspannung und ein Maximum an Scherspannung gibt.
Dort wo der s ein Maximum ist (2 = 90°) ist jedoch n auch ein Maximum (oder:
kein Minimum). Der Bruchwinkel optimiert diese zwei Effekte.
Figur Twiss 9.6 illustriert diesen Zusammenhang für eine Experiment an Berea
Sandstein. s und n variieren mit der Orientierung einer Fläche (ausgedrückt durch
den Winkel zwischen der Normalen auf die Fläche und 1, 2).  s* wird ausgerechnet,
indem n in das Coulombsche Bruchkriterium eingesetzt wird. Wo der zur Verfügung
stehende Scherstress gleich  s* ist kommt es zum Bruch. Die Orientierung wird
gegeben durch den “Punkt” wo s und  s* sich berühren. Deutlich ist ein Bereich wo
die s und die  s* Kurven subparallel sind. Heterogenitäten im Gestein bestimmen die
genaue Bruchorientierung.
Analogmaterialexperimente dienen zur Veranschaulichung wie sich Scherbrüche in
der Natur bilden und entwickeln (infinitesimal zu finitem Strain). Wichtig: wir
bearbeiten mit dem Bruchkriterium die Bruchbildung nicht die finite Deformation
(also sind diese Experimente strikt nicht mit dem Coulombschen Kriterium zu interpretieren (nur die Bruchbildung)). Figur Twiss 9.7 (read caps): Experiment mit Ton
unter pure shear (Strain-Begriff). Figur Twiss 9.8: Experiment mit Ton unter simple
shear. Wichtig ist, dass sich R und R’ Störungen ziemlich gleichzeitig bei wenig
Strain bilden, P bei fortlaufender Deformation, erst bei höherem Strain reißt eine
Fläche // der angelegten Scherung durch. Wenn in diesem Experiment ein pure shear
Spannungszustand herrscht, dann können die Riedelshears als konjugierte Scherbrüche, die sich entsprechend dem Coulombschen Bruchkriterium bilden, gedeutet
werden. P und T shears werden nicht vom Coulombschen Kriterium erklärt; hier liegt
wahrscheinlich eine rotiertes Stressfeld vor (lokal?).
Effekte des Umgebungsdrucks auf das Bruchverhalten und die Bruchentwicklung
Das Coulombsche Kriterium gilt nicht für den tensilen Teil des Mohrdiagramms und
auch nicht für Bereiche mit höherem Umgebungsdruck im Bereich der spröd-duktilen
und duktilen Deformation (Fig. Twiss 9.9). Tensile Brüche haben Übergange in
“mixed mode” extensive Scherbrüche, dann kommt der eigentliche Bereich der
Coulombschen Scherbrüche. Im spröd-duktilen Übergangsbereich wird der Winkel
zwischen den Scherbrüchen wesentlich größer als 60°. Im duktilen Bereich gilt das
von Mises Kriterium. Im Mohrdiagram wird das von Mises Kriterium durch // Linien
// zur n Achse dargestellt. Das Kriterium besagt, dass duktile Deformation bei
einem kritischen Scherstress beginnt, der unabhängig vom Umgebungsdruck ist
(Mohrkreise habe gleichen Radius). Den kritischen Stress bezeichnet man als den
9
yield Stress. 2f ist 90°, d.h. mögliche Brüche bilden sich entlang den Flächen mit
maximalen Scherstress.   s* = konstant im Bereich des von Mises Kriteriums.
Figur Twiss 9.10 zeigt ein Experiment an Marmor bei Umgebungstemperatur und mit
unterschiedlichem confining pressures.
Umgebungsdruck und Reibungsgleiten (frictional sliding)
Nach der Bruchbildung ist der Bruch eine Schwächezone, da entlang des Bruches die
Kohäsion = 0 ist. Nachfolgende Deformation geschieht durch Reibungsgleiten.
 s*    n
ist das Reibungsgleitkriterium.  ist der Koeffizient für Reibungsgleiten (frictional
gliding). Generell ist  > (  s* für Reibungsgleiten ist also kleiner, so beginnt es zu
gleiten, bevor es bricht). Bei niedrigem Umgebungsdruck ist der differentielle Stress,
D=1-3, um zu gleiten geringer als der zu brechen! Es ist also klar, dass zuerst präexistente Brüche reaktiviert werden, bevor sich neue Brüche bilden (Fig. Twiss 9.11).
Siehe z.B. die Parameter für Fig. 9.11.
a) Bruch- und Gleiteinhüllende, die von  und  definiert werden.
 s  70  0.6 n (für  n  100 MPa )  130 MPa
*
b)
 s  0.81 n (für  n  100 MPa)  81 MPa
*
Bewegungen an Störungen sind manchmal durch stabiles (beständiges) Gleiten
charakterisiert (immer in der Tiefe). Bei Erhöhung des Umgebungsdruckes kann es zu
stick-slip Bewegung kommen. Dies ist typisch für Erdbebenregionen, wobei die
Erhöhung des zum Bruch nötigen Differenzstresses wohl durch die Versiegelung der
Störung bedingt wird. Beziehung zu Erdbeben (Fig. Twiss 9.12).
Wenn sich der Umgebungsdruck weiter erhöht überschneiden sich das Gleit- und das
Bruchkriterium (Fig. Twiss 9.11) und es kommt zur Ausbildung eines neuen Bruches.
In diesem Bereich bilden sich dann Kataklasite aus (kataklastisches Fliessen).
Effekte des Porenwasserdruckes
Bei Vorhandensein von Porenwässern verhält sich das Gestein so als ob ein niedriger
Umgebungsdruck herrschen würde. Die Mechanik wird mit dem effektiven Stresstensor beschrieben. Der Mohrkreis für effektiven Stress hat den gleichen Durchmesser
wie für den angesetzten (applied) Stress, aber ist entlang der n Achse zu niedrigeren
kompressiven Spannungen verschoben; die Verschiebung entspricht dem Betrag des
Porenwasserüberdruckes (Fig. Twiss 9.13).
Das Bruchkriterium ist:
 s*  c   ( E  n )  c   ( n  p f ) mit
n n  pf
Der wichtige Effekt des Verschiebens des Mohrkreises nach links ist, dass stabile
Stresszustände durch Erhöhung des Porenwasserdruckes instabil werden können. In
der oberen Kruste sind differentielle Spannungen gewöhnlich klein. Wenn pf > 3,
und zwar um einen Betrag der größer ist als die tensile Festigkeit des Gesteines (T0),
können Extensionsbrüche sogar in größerer Tiefe auftreten (z.B. auch in Eklogiten).
3-pf =T0
E
10
Porenwasserdruck hat den gleichen Effekt auf Reibungsgleiten. Porenwasserdruck ist
sehr wichtig bei der Ausbildung und beim Gleitverhalten von großen Störungen
(Barbados).
Ursprung der Porenfluide und ihr Überdruck: Sedimente in Wasser und Dehydratisierungsreaktionen während der Metamorphose. In offenen Systemen (permeable Zone
mit Öffnung zur Oberfläche) kann der Porenwasserdruck nicht den Druck der Wassersäule in der bestimmten Tiefe überschreiten.
Das Verhältnis des hydrostatischen Porenwasserdruckes zum vertikalen lithostatischen Normalstress (Gesteinsüberlagerung),  = pf/v = ~0.4 bei einer Dichte von
Wasser von 103kg/m3 und Sedimentgestein 2.3103kg/m3. pf = wgh und v = rgh.
w, r, Dichten von Wasser und Gestein, h - Tiefe, v - lithostatische Normalspannung.
Häufig werden  = 1 gemessen in tektonisch aktiven Gebieten; impliziert keine
Permeabilität (oder zu langsame).
Anisotropie, 2, T und Grösse: Effekte auf die Bruchbildung
Anisotropie: Schieferung, Schichtung, Klüftung. Fig. Twiss 9.14; Experimente an
Martinsburg Slate (Schiefer). Maximale Festigkeit:  = 90° der 0°, shear fractures at
30°. At  = 0 oft longitudinal splitting.  = 15-60°, Brüche // cleavage, minimale
Festigkeit.
Beschreibung von anisotropen Gesteinen durch zwei Bruchkriterien (Fig. Twiss 9.15
mit captions). Beachte die zwei Möglichkeiten der Bruchbildung: a) Schieferung hat
keinen Einfluss auf Bruchbildung - Mohrkreis schneidet den äußeren Envelope (Fig.
Twiss 9.15 - Fig. Twiss 9.17), b) die Spannungszustände an der Schieferung überschreiten, die vom inneren Envelope gegebenen Bedingungen. Minimale Festigkeit im
anisotropen Gestein (Fig. Twiss 9.16).
Effekt von 2:
Bis jetzt 2-D Stress, mit 2 = 0. Experimente zeigen, dass die Festigkeit am geringsten
ist und die Winkel des Bruchs zu 1 am kleinsten ist wenn 1 = 2 (extensiver Stress).
Festigkeit ist am höchsten und Bruchwinkel ist am größten wenn 2 = 3.
Größe der Testproben:
Je größer die Probe desto geringer die Festigkeit, weil es Mikrorisse etc. gibt (präexistierende Anisotropien).
Bruchtheorie von Griffith
Beschreibt den physikalischen Mechanismus der Bruchbildung.
Theoretische tensile Festigkeit kann man z.B. auf der Basis der Festigkeit der Atombindungen eines Festkörpers berechnen. Alle solche Berechnungen haben gezeigt,
dass die so errechnete Festigkeit zwei Größenordnungen höher ist als die experimentell bestimmte.
Griffith schlug vor, dass alle Festkörper voll von kleinen Brüchen (mikroskopisch
oder submikroskopisch) sind = Griffith cracks. Griffith cracks können Gitterfehlstellen oder Korngrenzkontakte sein; Sie sind viel länger als breit und haben eine
starke Biegung am Ende. Werden als zerdrückte Ellipse modelliert (Fig. Twiss 9.18
nicht richtige G. cracks, die viel länger sind).
Warum verändern die G.-cracks die Festigkeit? Man unterscheidet den angesetzten
Stress (applied stress) an die Oberfläche eines Körper und die hohen Stresskonzentrationen, die an der Spitze von Mikrorissen (G.-cracks) entstehen. Die
11
Letzteren sind lokale Spannungen in der Umgebung der Spitze eines Mikrorisses. Je
kleiner der Radius des Bogens an der Spitze der Ellipse, desto höher ist der lokale
tensile Stress.
Zwei Faktoren sind wichtig (Fig. Twiss 9.18); , der Winkel zwischen der Langachse
der Ellipse, die den Mikrobruch darstellt, und dem Punkt an dem der tensile Stress ein
Maximum ist. , die Orientierung des Cracks zum angesetzten Hauptstress. 
bestimmt die Größe und die Position des lokalen Stressmaximums. Die Orientierung
*, des am stärksten unter Spannung stehenden cracks und die Position und
Orientierung des lokalen maximalen tensilen Stresses, *, bestimmen welcher Griffith
crack sich zu einem Bruch auswächst.
Bildung von tensilen Brüchen: Fig. Twiss 9.19 and captions. Unter tensilem Stress
sind die cracks offen. Ein crack, der sich am besten zur Bruchbildung eignet hat * =
90° und * = 0°. tmax = //3. Wenn a/c der Ellipse ~ 100 ist, dann ist die Größe des
lokalen Stresses an der Spitze ~ 200 mal so groß wie der angesetzte tensile Stress,
tmax  2003. Leicht kann so die Festigkeit des Materials an der Spitze des Cracks
überwunden sein. Ist die Festigkeit überwunden, propagiert der Crack, dabei erhöht
sich das a/c Verhältnis, der lokale Stress steigt weiter und es kann zu “katastrophalen”
Bruchbildung kommen (wenn nicht der angesetzte Stress sinkt).
Bildung der longitudinal Splitting cracks: Cracks sind geschlossen. Tip-Stresses aber
sind tensil. In diesem Fall ist tmax  -251
Bildung von Scherbrüchen: Cracks sind geschlossen. (Fig. Twiss 9.20). Tensile
Spitzen durch Scherung an den Cracks.
Der Mechanismus der Bildung von Scherbrüchen (Fig. Twiss 9.21).
Zustand I: typisches Griffith Material mit vielen Cracks. Geringe Neigung der Stress-Strain
Kurve resultiert vom Schließen der Cracks.
II) Cracks sind stabil, kein Wachstum, lineare Stress – Strain Kurve.
III) Einzelne Cracks zeigen Scherdeformation und Crackspitzen propagieren. Volumszunahme durch Bildung neuer Cracks ist noch geringer als Volumsabnahme durch
Crackschließung.
IV) Starke Volumszunahme. Lokale Stresskonzentrationen um Crackspitzen beginnen sich
gegenseitig zu beeinflussen. Cracks fallen zusammen und es kann ein Bruch entstehen
(V). Scherbruchbildung hängt also auch von der Bildung vom Wachstum von tensilen Cracks
ab.
10: Mechanik von natürlichen Brüchen und Störungen
Stressbestimmung
Aus felsmechanischen Gründen entwickelt (Tunnelbau, Bohrlochstabilität, künstliche
Bruchbildung vergrößert die Permeabilität in Lagerstätten, ..).
Stressentlastungsmessungen: Basieren auf der Tatsache, dass Stress in einem elastischen Material einen proportionalen Strain bewirkt. Entlastung des Stresses ergibt den
Strain, vorausgesetzt die elastischen Konstanten sind bekannt.
Überkernung (Overcoring): Ringförmiges Bohrloch wird um erstes Bohrloch
gebohrt - dieses befreit das erste Bohrloch von Stress und dieser wird mittels vorher
angebrachter Strainmeter gemessen, Fig. Twiss 10.1 und Captions, Dimensionsänderung des inneren Bohrloches wird gemessen. Angewandt wird die folgende
Gleichung:
1

e zz   zz  ( xx   yy )
E
E
12
e
, Poisson’sches Verhältnis, n = Een (E, Young’scher Modulus), x,y,z e//
Raumrichtungen.
Wird in bis zu 50 m tiefen Bohrlöchern verwendet (sonst zu teuer).
Flat Jack Messungen: Fig. Twiss 10.1 und Captions, misst den Stress normal zu einer
Fläche. Messungen in verschiedenen Richtungen können den kompletten Stresszustand ergeben. Wird hauptsächlich in Tunnels verwendet.
Hydaulische Bruchbildung (hydraulic fracturing - hydrofrac measurements):
Ursprünglich verwendet um die Permeabilität von erdölhältigem Gestein zu erhöhen.
Hydraulischer Bruch (hydrofracturing) wird dadurch erzeugt, dass man in einem nach
oben und unten durch Parker abgedichteten Tiefenintervall Flüssigkeit unter Druck ins
umliegende Gestein einpumpt und dort den hydraulischen Druck so lange erhöht, bis
das Gestein an einem Extensionsbruch senkrecht zu 3 aufreißt und Flüssigkeit in die
offenen Risse eindringt. Beim Aufreißen der Brüche fällt der Flüssigkeitsdruck augenblicklich und wird genau auf dem Wert stabilisiert, der die Brüche offen hält; der dazu
notwenige Druck wird “instantaneous shut-in pressure”, Ps, genannt (Fig. Twiss 10.2).
Weil die Erdoberfläche eine freie Fläche ist und deshalb der Scherstress an ihr 0 sein
muss, sind die Hauptstressrichtungen annähernd vertikal und horizontal. Zur Messung
wird angenommen, dass das Bohrloch vertikal ist und Dehnungsbrüche sich parallel
zu ihm sind; dann gilt:
Ps   H (min) .
mit  
Weiters ist dann:
Pc   H (min)  T0 (letzteres ist die tensile Gesteinsfestigkeit).
Die drei Hauptspannungen werden ermittelt, indem man die vertikalen Hauptspannung als gleich dem Überlagerungsdruck nimmt (  V   r gh ). Die Orientierung
von  H (min) wird mit einem Bohrloch”televiewer” bestimmt, sodass sich der gesamte
Stresstensor bestimmen lässt. Messungen bis in eine Tiefe von 5 km wurden erreicht
(siehe KTB).
Stressorientierungen von Erdbebenersteinsätzen (earthquake first-motion studies):
wiederhole Box 2.4, Fig. Twiss 2.4.1. Bruchgesetze (z.B. das von Mises-Kriterium
besagen, dass die minimale und maximale Hauptspannung den Winkel zwischen der
Störungsfläche und der Nodal-Fläche halbieren (Bruchkriterien, Fig. Twiss 9.9). Es
können keine Stressmagnituden gemessen werden.
Stresszustände in der Erde
Figure Twiss Twiss 10.3 zeigt, dass die Annahmen, dass die Hauptspannungsachsen
generell vertikal und horizontal sind stimmen.
Nichttektonische Spannungen: (z.B. in Sedimentbecken): sollten durch Überlagerung
mit der vertikalen Normalspannung als maximaler kompressiver Stress gekennzeichnet sein; der Stress sollte gleich der Überlagerung sein.
Der horizontale Hauptstress kann wie folgt angenähert werden:
Angenommen wird, dass die Sedimente des Beckens sich als elastischer Festkörper
verhalten und dass die Geometrie der Erde es mit sich bringt, dass die horizontale
e
Poisson Expansion (   ) e xx  0 ist (weil die Erde sich nicht ausdehnt).  H ,
e//
13
welche die Poisson Expansion als Resultat des vertikalen Stresses genau aufhebt ist
1

e xx   xx  ( zz   yy )(Gleichung 9.5)
dann:
E
E
mit :  xx   yy   H ,  zz   V , e xx  0.
v
V .
Die Lösung für den horizontalen Stress ist dann:  H 
1 v
Herleitung aus: die achsiale Verkürzung durch eine achsiale Kompression wird durch die Poisson’sche
Expansion, die mit jeder der kompressiven radialen Hauptspannungen assoziiert ist, vermindert.
 zz 
1
1
1
 zz    xx    yy
E
E
E
Für   0.25  0.33 , den typischen, experimentell bestimmten Poisson’sche Verhältnissen für Gesteine, ergibt die Gleichung, dass der horizontale Stress nur 1/3 bis 1/2
der vertikalen Normalspannung sein sollte. Figure Twiss 10.4 zeigt die minimalen
horizontalen Spannungen in Sedimentbecken der USA, die mittels der hydrofrac
Technik bestimmt wurden. Es zeigt sich, dass die Spannungen, die sich aus dem
Poisson’schen Effekt ergeben, generell zu gering sind. Nimmt man im Gegensatz zu
der elastischen Annahme an, dass die Gesteine duktil sind und das Fliessen der
Gesteine jede Stressdifferenz ausgleichen (  0.5 , inkompressive Materialien), dann
würde der Stress ein lithostatischer und gleich der Gesteinsüberlagerung sein. Fig.
Twiss 10.4 zeigt, dass dies auch keine gute Annahme ist.
Tektonische horizontale Normalspannungen: Einzige Aussage, die machbar ist, ist
dass der differentielle Stress (also der Durchmesser des Mohrkreises) nicht die
Festigkeit des Gesteins überschreiten darf. Wir nehmen an, dass die Festigkeit durch
das Mohr-Coulombsche Bruchkriterium gegeben ist (  1  S  K 3 , ausgedrückt in
kritischen Hauptspannungen, wobei
2c sin 2 f
S
and
1  cos 2 f
K
1  cos 2 f
1  cos 2 f
(  s  c   n ,  f  60  - Winkel zwischen kompressiver Normalspannung und der
Normalen auf die Fläche), dass die Orientierungen der Hauptspannungen normal und
horizontal sind, und dass der vertikale Stress der Überlagerung entspricht.
Im folgenden werden zwei Fälle untersucht, horizontale Extension und horizontale
Kompression, mit  f  60  and c = 10 MPa (ergibt S = 34.6 MPa und K = 3 in
Gleichung 9.1.2).
Fig. Twiss 10.5: für den Fall der tektonischen Extension,  V   1 , kann Gleichung
9.1.2 für die minimal möglichen Werte von  3 gelöst werden (analoges gilt für
tektonische Kompression). Die daraus ableitbare Festigkeit der Gesteine wird um den
Porenwasserdruck reduziert; die Hauptspannungen müssen durch die effektiven
Hauptspannungen ersetzt werden (e.g. E  1   1  p f ). Der Porenwasserdruck wird
als Verhältnis zur Überlagerung ausgedrückt, p f   V . D.h., für tektonische
Extension, je höher der Wert für , desto höher der Wert für p f , dann wird der
14
Überlagerungsdruck aufgefangen und es braucht einen höheren  3 um die Gesteine
zu brechen. Für tektonische Kompression heißt dies: je höher der Wert für  desto
höher der Porenwasserdruck und desto geringer wirkt der Überlagerungsdruck dem
Brechen der Gesteine durch das horizontale  1 entgegen. Die Variation der
maximalen und minimalen Hauptspannungen mit der Tiefe sind in Fig. 10.5A (read
caption) gegeben.
Ableitung des Mohr-Coulombschen Kriteriums für Hauptstress: Ausgangpunkt sind die Gleichungen des
Mohrkreises
 1   3   1   3 

cos 2
2   2 
 n   n  r cos 2  

 1   3 
sin 2
2 
 s  r sin 2  

mit 2 = f.
Desweiteren
 = tan
2 f  (90   )
 s  c   n
tan 2 f  sin 2 f / cos 2 f
sin 2 2 f  cos 2 2 f  1
siehe Box 9.1, p. 170, Twiss and Moores
Beispiel von Stressmessungen sind in Fig. Twiss 10.5B und C gegeben (read
captions). Die Daten zeigen einen weiten Streubereich. Wichtig in Fig. Twiss 10.5A
ist, dass tensile Spannungen (d.h. negative Werte für die Normalspannung) unter 1 km
Tiefe nicht existieren können. Messungen haben gezeigt, dass es überhaupt keinen
tensilen Stress in der Erde gibt. Tensionsbrüche entstehen also wohl fast immer mit
einer kleinen Scherkomponente oder unter Porenwasserüberdruck (Figs. Twiss 9.9
und 9.13).
Alle diese Differenzstressabschätzungen gelten nur für die oberen 15-20 km, darunter
herrscht duktile Deformation.
Regionale Stressverteilung
Figur Twiss 10.6: world stress map. Die Spannungen reflektieren wesentliche tektonische Prozesse und liefern wichtige Aussagen über die Antriebsmechanismen der
Plattentektonik (see http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/wsm/).
Warum gibt es Stress in der Erde? - Mechanismen
Erlaubt uns Modelle zum Entstehen von Brüchen aufzustellen.
1. Überlagerung: Stress entsteht durch das Gewicht der Gesteine und durch die topographischen Unterschiede. Der Einfluss der Topographie auf den Stress nimmt mit
der Tiefe ab und kann vernachlässigt werden in Tiefen größer als die horizontale
Länge des topographischen Merkmals (siehe Tibet).
2. Antriebsmechanismen der Tektonik: Stress, der von den Plattenbewegungen
ausgeht, e.g slab pull, ridge push (vergleiche world stress map), lithosphereasthenosphere drag, Platteninteraktionen.
3. Horizontale und vertikale Bewegungen: Biegung der Lithosphäre erzeugt Stress,
dessen Ausdehnung vergleichbar mit der Wellenlänge der Biegung ist. Z.B.
15
Biegung an Subduktionszonen, Biegung durch Ladung z.B. durch Eis oder
Vulkangebäude, Sedimentanhäufungen, Erosion. Lithosphärenbiegung muss auch
während der Plattenwanderung über unterschiedliche Breiten auftreten, da die
Erde elliptisch ist, und die Oberfläche eine stärkere Krümmung am Äquator hat als
an den Polen.
4. Thermische und Druck-Effekte: Thermische Expansion und Kontraktionen.
Gesteine haben unterschiedliche Koeffizienten der thermischen Expansion, so
muss Stress z.B. zwischen Sandstein und Kalk bei ihrer Abkühlung - Aufwärmung
auftreten (resultiert z.B. in unterschiedlichen Klufthäufigkeiten).
5. Porenwasserdruck: Erlaubt extensionale Bruchbildung in rein kompressiven
Stresszuständen. Hoher Porenwasserdruck entsteht durch Kompaktion impermeabler Sedimente. Des weiteren: Wasser hat einen höheren Koeffizient der thermischen Ausdehnung als Gesteine, so muss sich bei der Erwärmung eines wassergefüllten Gesteinspakets der Porenwasserdruck erhöhen (aquathermal pressuring).
Prograde metamorphe Reaktionen sind Dehydation- und Dekarbonatisierungsreaktionen und setzen dadurch Wasser und CO2 in den Gesteinen frei. Da
kristalline Gesteine generell impermeabel sind, muss der Porendruck erhöht
werden. So sind Hydrobrüche ein weit verbreitetes Phänomen in metamorphen
Terranes (wohl viel tension gashes, siehe Exkursionen).
Spezialfälle: Brüche, die mit Störungen und Falten assoziiert sind
1. Störungen: bekannte en-echelon Anordnung von Extensionsbrüchen, Zerrspalten
und mineralgefüllten Spalten (Fig. Twiss 10.11).
2. Falten: (Fig. Twiss 3.17) Bruchmuster kann zu einem Teil durch die
Stressverteilung in Falten erklärt werden. Stresstrajektorenmuster in einer Falten
(Fig. Twiss 10.12 mit captions). Wichtig: die Orientierung, Magnitude und
Vorzeichen des Stresses ändern sich während der Faltungsgeschichte.
Großmaßstäbliches mögliches Analogbeispiel - Stressverteilung in E-Tibet.
Stressverteilung und Störungsausbildung
Andersons Störungsflächetheorie: M.E. Anderson kombinierte zwei Resultate der
Bruchtheorie und schlug folgende Theorie für die Orientierung und Anordnung von
Störungen vor.
1. The surface of the earth does not support shear stress; it must therefore be a
principal plane of stress and the surfaces of principal stresses must be normal and
parallel to the earth surface.
2. Das Coulomb Kriterium setzt voraus, dass Scherbruchflächen  2 enthalten und
dass der Winkel  f zwischen der Störungsfläche und  1 kleiner als 45° ist. Der
Störungstyp hängt davon ab, welche der drei Hauptspannungen vertikal ist (Fig.
Twiss 10.13). In der Natur lassen sich der Grossteil aller Störungen nach dieser
Theorie erklären.
Störungen und die Stressverteilung in der Tiefe: Zur Untersuchung definiert man
zuerst einen Standardzustand in einem freistehenden Gesteinsblock, der dem Stresszustand durch die Überlagerung entspricht (σ3 = vertikal, σ1 = horizontal). Des
weiteren existiert kein Scherstress an irgendwelchen Blockseitenflächen.
Fig. Twiss 10.14 überlagert eine horizontale Kompression. Störungsflächenmuster
entspricht der Anderson’schen Theorie. Unrealistisch einfach, da keine Scherstress an
16
den Blockflächen; in der Natur erleidet jeder Körper der extensiert oder sich verkürzt
einen Scherstress, der der Bewegung entgegenwirkt.
Fig. Twiss 10.15 addiert einen horizontalen Scherstess, der mit der Tiefe zunimmt.
Die Annahme ist auch einfach, hat aber interessante Ergebnisse.
1. Die Symmetrie des Stresstensors fordert, dass die horizontalen Scherspannungen
durch vertikale aufgefangen werden; es müssen also Scherspannungen an den
vertikalen Blockgrenzen existieren.
2. Die Forderung, dass alle horizontalen Kräfte sich zu 0 aufsummieren (sonst würde
sich der Block bewegen), ergibt eine ungleiche Kräfteverteilung an den
Blockrändern; die Unterschiede werden durch die Scherkräfte an der
Blockunterseite bedingt.
Die Tatsache, dass Scherspannungen an den Blockgrenzen existieren bedeutet, dass
sie nicht länger Hauptflächen des Stresses sind und dass die Hauptachsen im
allgemeinen nicht mehr horizontal und vertikal sind. Die Blockobergrenze ist aber
noch immer eine scherstressfreie Oberfläche; sie muss eine Hauptfläche sein. Die
Hauptstresstrajektorien sind horizontal und vertikal an der Oberfläche und biegen zur
Tiefe hin, um die Scherspannungen an den vertikalen und horizontalen Flächen zu
erzeugen (sie nehmen auch mit der Tiefe zu). Mit dieser Stressverteilung zeigen die
potentiellen Störungen Biegungen, vergleichbar zu natürlichen Störungen (listrische
Störungen).
Fig. Twiss 10.16 zeigt eine mögliche Stressverteilung, wie sie an mittelozeanischen
Rücken auftreten könnte. Die auferlegten Stresszustände verursachen eine Biegung
des Blockes und die Stresszustände sind vergleichbar mit der in einer gefalteten Lage.
Am mittelozeanischen Rücken wird dieser Stresszustand durch Upwelling und
laterales Spreading erzeugt; der vertikale tektonische Stress nimmt lateral von der
Spreadingachse weg ab. Das Bruchmuster erklärt, z.B. warum die listrischen
Störungen generell zur Achse hin einfallen.
Paläostressanalyse und Stressanalyse von Störungen
1. Auf der Basis von konjugierten Störungsflächen. Störungsflächen sind konjugiert,
wenn: a) der Winkel zwischen Ihnen zwischen 40 und 90° beträgt; b) der Schersinn
entlang ihnen entgegengesetzt ist; c) es gute Evidenz für gegenseitiges Abschneiden
gibt, d.h., dass die Störungen sich gleichzeitig gebildet haben. Dann lässt sich die
Schnittlinie als  2 beinhaltend erklären.
2. Scherbrüche entstehen und Scherung tritt auch auf prä-existierenden Brüchen auf,
die in einer Orientierung liegen, die nicht vom Coulombschen Bruchkriterium vorausgesagt werden. Scherbrüche, die von der Coulombschen Theorie vorausgesagt werden
ergeben Extension oder Verkürzung nur in der σ1-σ3 Ebene; gibt es Extension oder
Verkürzung entlang von  2 , dann kann das Coulombsche Kriterium die Bruchorientierung nicht voraussagen.
Brüche, die mit größeren Störungen assoziiert sind, haben generell eine
Orientierungsverteilung der Striemungen; diese Slickenlines sind parallel der
Gleitrichtung auf diesen Störungen. Es wird angenommen, dass diese Richtungen
parallel zur Richtung der maximalen Scherspannung auf diesen Flächen sind.
Geplottet werden diese Daten Störungsflächendiagrammen (zwei Arten: Angelier und
Höppener Diagramme). Mit Hilfe dieser Diagramme (Fig. Twiss 10.17 und captions
für den Höppener-Plot) lassen sich die 3-D Stresszustände qualitativ ableiten
(gegeben durch den Stressellipsoidformfaktor R oder   ( 2   3 ) /( 1   3 ) . Mittels
17
Computerprogrammen lassen sich inverse Rechnungen ableiten, d.h. die Orientierung
der Hauptspannungen und der Formfaktor als Funktion der im Feld gemessenen
Störungen, Striemungen und Versetzungssinne.
Die Mechanik von grossen Überschiebungen
Überschiebungen >100  100 km und nur wenige km dick. Logische und intuitive
Aussage: Gesteine müssen zerbrechen, wenn sie einfach durch Schub von hinten
bewegt werden sollen.
Betrifft einen rechteckigen Block mit Höhe H (//x3), Breite W (in
Überschiebungsrichtung = x1) und Länge L (x2); Gewicht per Flächeneinheit ist  r g ,
und der Reibungskoeffizient an der Blockbasis ist . Fn ist die Normalkraft auf die
Basis des Blockes.
Die Reibungskraft, die der Bewegung des Blockes entgegensteht ist:
Ff  Fn   x (normal force per unit area) x (area)
F f   (  r gH )(WL ) (WL = Basalfläche)
Die Antriebskraft, die den Block bewegt, muss größer oder gleich dem Reibungswiderstand sein. Wirkt die Kraft auf die vertikale Hinterseite des Blockes, dann ist der
Stress auf diese Fläche die Antriebskraft per Einheitsfläche,
Ff
 11 
  r gW ; in diese Gleichung wird die obige für Ff eingesetzt. Der daraus
LH
errechnete Stresswert darf nicht die Bruchfestigkeit des Gesteins überschreiten.
Setzt man die folgenden durchschnittlichen Werte ein: =0.6, r=2500kg/m3,
11=250MPa, und löst obige Gleichung für W, dann ist
W
 11
 17km.
 r g
Demnach kann die maximale Breite einer Decke in
Überschiebungsrichtung nur 17 km sein. Für größere Decken zerbricht das Gestein im
Hinterland. Überschiebungsweiten können aber >100 km sein.
Folgende Annahmen in diesem Modell können falsch sein:
1) Ff, die Reibungskraft entlang der Basis der Decke könnte niedriger sein als
angenommen.  (von F f  Fn ) ist in Labortest 0.85, in der Natur kann der
Koeffizient der Reibung unter diesen Wert fallen (siehe Annahme) - gibt nicht viel
Spielraum. Ein hoher Porenwasserüberdruck ( gegen 1) entlang dem
Decollement würde Fn reduzieren und dadurch auch den Reibungswiderstand
herabsetzen. Für einen fehlenden Reibungswiderstand (e.g. durch Fn = 0) ist die
mögliche Breite der Decke unendlich. In vielen Akkretionskeilen und Decken in
Sedimentbecken hat man entlang des Decollements hohe Porenwasserüberdrucke
gemessen, aber es gibt auch viele aktive Überschiebungen, entlang denen diese
Überdrucke fehlen.
2) Duktiles Fliessen entlang dem Decollement anstatt Reibungsgleiten. Überschiebungen folgen häufig schwachen Lagen in der stratigraphischen Abfolge.
Salze (Halit) haben einen yield Stress von 0.1-1 MPa. Viele Decken, wie z.B. die
im Golf von Mexiko, haben Evaporite entlang dem Decollement. Bereiche mit
Salzen entlang Überschiebungen können sehr breite Salients erklären (z.B. Potwar
Plateau). Aber auch Schiefer, Kalke und Quarzite können bei entsprechenden
Temperaturen an der Deckenbasis duktil deformieren und auch diese Gesteine
brauchen einen weit niedrigeren yield Stress um zu deformieren als Reibung.
18
3) Nicht Druck entlang der Hinterseite des Blockes tritt auf, sondern gravitativ
bedingter Zug. Gravitationskräfte greifen auf jeden Punkt des Blockes an und
nicht nur auf das Hinterende. Gravitatives Gleiten tritt auf, wenn die Scherkraft
durch die Einwirkung der Schwerkraft (Fs) mindestens gleich dem Reibungswiderstand entlang dem Decollement ist (Fs = Ff, siehe oben) (Figur Twiss 10.18A).
Kennen wir den Widerstand, dann können wir die Neigung bestimmen, die
notwendig ist, um eine Decken gleiten zu lassen. Es gilt:
F
  s . Wenn die Gravitation die einzige treibende Kraft ist, dann sind Fn und Fs
Fn
folgendermaßen zum Einfallen der Überschiebungsbahn bezogen:
tan     0.6
F
(siehe Gleichungen weiter oben)
tan   s , es gilt dann:
Fn
  31
So wäre eine Neigung von 31° nötig, um die Decke zu bewegen. Eine 100 km
breite Decke müsste dann von einem 51.5 km hohen topographischen Hoch
abgleiten (Figur Twiss 10.18B). Wenn dieses Modell funktionieren soll, muss man
Porenwasserdruck oder duktile Gesteine zu Hilfe nehmen.
In tektonischen aktiven Gegenden wird verdickte Kruste produziert und deshalb
auch eine topographische Hochzone. Gravitativer Kollaps kann also Decken
produzieren; der Mechanismus tritt aber nur auf, wenn der Grossteil der Decke
duktil deformiert; Analogmodelle sind kontinentale Eiskörper, die von den
Polregionen gravitativ abgeflossen sind. Die Antriebskraft wird durch die
topographische Neigung der verdickten Kruste gegeben, und das basale
Decollement muss nicht flach sein (Figur Twiss 10.18C). Reine gravitativ
getriebene Tektonik ist jedoch unwahrscheinlich, da die produzierten Kräfte sehr
gering, und extrem weiche Decollements selten sind.
4) Keilförmige Überschiebungskörper anstatt rechteckige Blöcke
Typische Form aktiver Orogen- und Akkretionskeile ist eine keilförmige (Fig.
Twiss 10.19). Modell: Annahmen - a) Gesteine des Keils sind überall gerade an der
Grenze zum Bruch (critical Stress für den Bruch). b) Die Antriebskraft auf eine
vertikale Fläche im Keil ist genau im Gleichgewicht (genau gleich) dem
Reibungswiderstand zur Gleitung auf dem Teil des Decollements, der vor der
vertikalen Fläche liegt. Demnach muss die Kraft, die der Gleitung entgegenwirkt,
mit der Entfernung von der Spitze des Keiles zunehmen. So muss die Antriebskraft
auch mit der Entfernung von der Spitze des Keils zunehmen. Weil der
Antriebsstress durch die Festigkeit der Gesteine limitiert wird, kann die
Antriebskraft nur zunehmen, wenn die vertikalen Fläche an Ausdehnung zunimmt d.h. die Dicke der Decke (des Keils) muss zunehmen. So hängt die Dicke des Keils
an jedem Punkt von der Länge des Keils ab, der vor diesem Punkt liegt und bewegt
werden muss. Deshalb muss jede Decke eine keilförmige Geometrie haben.
Mechanische Modelle für Orogen-Akkretionskeile sind komplex (Twiss Box.
10.2), da der Oberflächenwinkel (so die Keilgeometrie) auch von Einfallen des
Decollements (und nicht nur vom Widerstand gegen die Bewegung) abhängt. Und:
der Widerstand hängt wieder vom Porenwasserdruck, dem Vorhandensein von
duktilen Gesteinen, etc. ab.
Wenn Material an die Spitze oder die Basis des Keils akkretiert wird, dann
deformiert der gesamte Keil, um seinen Gleichgewichtszustand (critical taper)
aufrechtzuerhalten. Wenn der Winkel des Keils (seine Verjüngung = Zuspitzung =
19
taper) zu groß wird, propagieren die Überschiebungen an der Spitze des Keils rasch
in das Vorland, um die Länge des Keils zu erhöhen.
Vergleiche des Modells mit den Beobachtungen von Akkretions- und Orogenkeilen
weltweit (Figur Twiss 10.20). Die Linien sind die theoretisch vorhergesagten
Werte unter Berücksichtigung unterschiedlicher Porenwasserdrucke (je höher 
desto größer der Porenwasserdruck). Von dieser Figur ist es klar, dass die meisten
Orogen-Akkretionskeile hohe -Werte benötigen, die beträchtlich über dem hydrostatischen (  0.4) liegen, was einen signifikanten Porenwasserüberdruck anzeigt.
Solche Überdrucke entsprechen generell den in Bohrlöchern beobachteten (z.B.
Barbados und ODP-Bohrlöcher). Bei dem Vorhandensein von Salz kann der taper
auf 1° abnehmen.
5) Die Decke bewegt sich nicht en masse als eine zusammengehörige Decke, sondern
wie eine Raupe, d.h. durch das Propagieren von lokalisierten Domänen des
Gleitens entlang dem Decollement. 1) - 4) haben angenommen, dass die gesamte
Decke überall am kritischen Stress für den Bruch ist. Dies ist eine vereinfachte
Annahme, da sich die gesamte Decke nicht als ein rigider Block bewegt. Sie
deformiert durch Gleiten in einem finiten Areal in und an der Basis der Decke
während Erdbeben. Nur eine Mittelung über eine lange Zeit produziert die
Bewegung über die gesamte Decke.