Mathematik Gesamtrepetition Kulturtechniken

Gesamtrepetition Kulturtechniken - Lösungen
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A Proportionalität (%-Rechnungen, allg. Proportionalität)
A1) Gib an, was bei den folgenden Themen 100% ist
a) Zinsrechnungen .......................................... Kapital (Sparguthaben, Schuld...)
b) Gewinn und Verlust.................................... Ankauf (Einstandspreis)
c) Heute mehr im Vergleich zu früher.............. Betrag von früher (mehr ALS früher)
d) Früher weniger im Vergleich zu heute ......... Betrag von heute (mehr ALS heute)
e) Rabattberechnung ...................................... Ladenpreis (Katalogpreis, Bruttopreis)
f) Skontoberechnung ...................................... Verkaufspreis (Bruttofakturabetrag)
g) Brutto-Netto-Tara ........................................ Brutto
h) Steigung und Gefälle .................................. Projektionslänge (Basis, waagrechte Strecke)
A2) Zinsrechnungen
a) +Fr. 345.-  Fr. 3345.b) Fr. 200.c) 6%
d) Fr. 1319.95
e) Fr. 1199.25
f) Anzahl Banktage (1 Jahr 360 Tage / jeder Monat 30 Tage)
 107
 51
 43
 40
 115
g) 168d  Fr. 1026.20
h) 107d  Fr. 81'741.20
i) 57d  3.25% 3¼%
A3) Gewinn und Verlust
a)
 Fr. 750.- Gewinn
 Fr 1250.- Gewinn
 Fr. 500.- Verlust
 Fr. 250.- Verlust
b) Fr. 34'285.70
c) Total 220%  80'000 : 2.2  36'363,636...
Ankauf: Fr. 36'363.65
Verkauf: Fr. 32’727.25 und Fr. 47'272.70
A4) Zu- und Abnahme / mehr als...; weniger als...
a) Benzinpreisaufschlag um 15 Rappen. Früher kostete der Liter Fr. 1.20. Heute Fr. 1.35
 1.20  100% (teurer ALS früher). Um 11.1 % ist heute das Benzin teurer
 1.35  100% (billiger ALS heute). Um 12.5 % war früher das Benzin billiger
b) 1 kg Trauben kostete Fr. 4.80 und in der Aktion noch Fr. 2.90. Fr. 1.90 billiger
 Um 39.6 % verbilligt
 Um 65.5 % ist der Normalpreis höher
c) Im Zug...
 ...sitzen 150 Personen
 ...sind total 162 Personen
 ...sitzen 92.6 % aller Personen. (162 Personen  100%)
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A5) Rabatt und Skonto
a) Rabatt 59.2 %.
b) Verkaufspreis
 Fr. 187.50
 Fr. 108. Fr. 238. Fr. 123.50
c) Fr. 140.d)  Rabatt und Skonto sind beides Abzüge, Rabatt wird vom Ladenpreis und Skonto vom
Verkaufspreis abgezogen.
e) Rabatt und Skonto.
 Barzahlung Fr. 880.05
 Ladenpreis Fr. 6767.85
 Skonto 2.5 %
 Ladenpreis Fr. 979.40
 Rabatt 26 %
A6) Brutto - Netto - Tara
a) 50g von 800g  Tara: 6.25 % = 6¼%
b) 14.5 Tonnen  100%. Tara: 17.5%.
c) Brutto 222.2 kg?
d) Bohnen
 190 kg Bohnen Netto?
 1kg Bohnen kostet Netto Fr. 1.85
e) Äpfel und Birnen
 Ein kg Äpfel Netto kostete Fr. 2.- ? (90 kg kosten Fr.180.-)
 Er kaufte 250 kg (1kg kostete Fr. 1.20  x  1.20 = 300)
A7) Steigung und Gefälle
a)  Die Steigung ist 100% , wenn der Höhenunterschied = Projektion  also 45°  Nr. 2!
1
b)



2
3
Steigung 7.5 % a
Höhendiferenz 360 m
Projektionslänge 5000 m
c) Ein Strassenstück weist eine durchschnittliche Steigung von 11% auf.
 Die Strasse steigt 11cm pro Meter?
 1329m Höhendifferenz, Strassenlänge 12.081 km, auf der Karte 48.3 cm
d) 20 Schwellen  80 m, dies entspricht 2.5 - 1.5 = 1% Flusslänge also 8000m = 800'000 cm.
800'000 : 32 = 25'000 x kleiner  1 : 25’000
Vermischtes (auch umgekehrte Proportionalität)
e)  Proportional oder umgekehrt proportional?
 Umgekehrt proportionnal; 34.7 l / 36.2 l
 Proportional; Fr. 74.- / Fr. 71.50
 Umgekehrt proportionnal; 900 l im Becken : 15  60 min
 Umgekehrt proportionnal; 1100 l . 40  27.5 l/min
f) 90  25 : 25  72 Tage
g) 800kg ist keine wesentliche Grösse! 10 Wochen  70 Tage; es bleiben also 110 Tage; 110 
25 : 20  ca.138 Tage geht es jetzt noch (statt 110) Also total 70 + 138 = 208 Tage
h) 112.5 g
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190g 15karätiges Gold  118.75g effektives Gold;
71.25g ist etwas „anderes“
bei 18 Karat sind diese 71.25g 25% des Gesamtgewichts  285g.
davon sind 75% reines Gold  231.75g.
118.75g Gold sind schon vorhanden, also müssen 95g beigemischt werden
j) Total 14cl mi 1.6cl Alkohol  ca 11.4%
k) 3kg Tee zu Fr. 1.90  Fr. 5.70
5 kg zu
Fr. 2.80  Fr. 14.i)
l)
8 kg zu
Fr. ???  Fr. 19.70
Fr. 2.46  ca. Fr. 2.50
8kg
.
Fr. 9.- 
Fr. 72.12 kg 
Fr. ?? 
Fr. 78.-
20 kg 
Fr. 7.50 
Fr. 150.78.- : 12  Fr. 6.50
m) 39 Rp. für 1.06 l  36.8 Rp./l dazu kommen 40 Rp./l  76.8 Rp.
n)
 Fr. 411.25
 2760 Austr. $
 Fr. 156.05 / Fr. 152. Fr. 182.35
 300 $
 Fr. 452.90
B Geometrie (Flächen, Körper, Konstruktionen)
B1) Gradlinig begrenzte Flächen
a) Quadrat.
 Fläche 20.25 cm2 , Umfang 18 cm , Diagonale 6.36 cm (√2s2)
 Seitenlänge 2 m, Umfang 8 m, Diagonale 2.83 m
 Fläche 50 cm2, Seitenlänge 7.07cm, Umfang 28.28cm
b) Rechteck
 Fläche 8.4 cm2, Umfang 11.8 cm
 Länge 53.4 mm, Fläche 352.44 mm2
 Länge 666.67 cm, Umfang 1363.3 cm
 Länge 12.5 cm, Breite 0.25 cm
Rechenbar nur mit Gleichung 2. Grades!
I 2a + 2b = 25.5
II a  b = 3.125  b = 3.125/a in I einsetzen
2a + 3.125/a = 25.5 (umformen)
 a2 - 12.25a + 3.125 = 0  a1 = 12.5 / a2 = - 0.25
 b = 0.25
c) Rhombus
 Fläche 13.5 cm2, Umfang 18 cm
 Seitenlänge 20 cm, Umfang 80 cm
d) Parallelogramm
 Fläche 13.5 cm, Umfang 22 cm
 Seite b 6cm (a 4 cm)
e)
 17.5 + 3.675 + 1.17 + 6.51  21.505 cm2
 3.15 + 14.4 + 4.2 oder 3358 - 8.68 -3.15  21.75 cm2
B2) Kreis und kombinierte Flächen
a) Kreis.
 Fläche 38.48 cm2, Umfang 21.99 cm
 Radius 0.796 cm, Fläche 1.989 cm2
 Radius 0.714 m, Umfang 4.484.m
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b) Halbkreis
 Fläche 66.366 cm2, (b = 20.42 cm) Umfang 33.42 cm
 Kreis 2.4 m2, Radius 0.874 m, (b = 2.746 m) Umfang 4.494 m
 Radius (4 / (1 + ) / 2) 0.778 dm , Fläche 1.90 dm2
c) Kreissektor
 Fläche 6.702 cm2, Umfang (3.35 + d) 11.35 cm
 Radius 6.18 m, Umfang (7.119 + d) 51.119 m
d) Kreisring
 Fläche (2463.0 - 2123.7) 339.3 cm2
 Fläche 197.9 cm2
e) Kombinierte Flächen
 (Quadrat - Kreis) / 4 ; 0.706 - 0.554  0.151 / 4  0.038 m2
 Durchmesser des grossen Kreises ist a + b  13.5 cm
Gr. Halbkreis (71.569) - mittl. Halbkreis (34.699) - kl. Halbkreis 6.601  30.269 cm2
 Schneide einen Viertelkreis aud und setze ihn in die linke untere Ecke ein - es ist zu
berechnen: ½ Kreis (0.2513) + 1 Quadrat (0.1600)  0.4113 m2
B3) Gradlinig begrenzte Säulen
a) Würfel
 Volumen 314..432 cm3, Gesamtkantenlänge 81.6 cm, Oberfläche 277.44 cm2
 Seitenlänge 12.5 dm, Volumen 1953.125 dm3, Oberfläche 937.5 dm2
 Seitenlänge 1.442 m, Gesamtkantenlänge 17.3 cm, Oberfläche 12.48 m2
 Seitenlänge 133.333 mm, Gesamtkantenlänge 1600 mm, Volumen 2’370’370 mm3 (ca.
2.37 dm3)
 Diagonale des Quadrates 2x2
x2 + 2x2 = 10
x (Seite) = 5.7735 Volumen 192.45 cm3, Oberfläche (2  Raumdiagonale2 !) 200 cm2
b) Quader. Berechne das Fehlende:
 Volumen 465.85 cm3, Oberfläche 378.4 cm2 (Mantel 292.6 cm2)
 b 7.5 cm, Oberfläche 850 cm2
 Mantel = 10'000 cm2 -2 Grundflächen (zu 450 cm2)  9100 cm2
Höhe = 9100 : 86  105.81 cm, Volumen 47'616.28 cm3 (47,6 dm3)
 Länge 400 cm , Breite 300 cm, Höhe 25 cm
c) Dreiecksprisma (a ist jeweils die Grundlinie, ha die dazugehörende Dreieckshöhe):
Seite (a) =
Grundlinie
8.2 cm
5.7 cm
Umfang der
Grundfläche(u)
26.3 cm
21.6 cm
Seite (b)
Seite (c)
7.6 cm
7.3 cm
10.5 cm
8.6 cm
Dreieckshöhe
(ha)
7.5 cm
7.2 cm
Körperhöhe (h)
11.9 cm
14.5 cm
Grundfläche
Mantel
Oberfläche
Volumen
30.75 cm²
20.52 cm²
312.97 cm²
313.2 cm²
374.47 cm²
354.24 cm²
365.925 cm³
297.54 cm³
d) Zylinder:
Durchmesser
6.1 cm 12.2 cm
1.8 cm 3.6 cm
Radius
Körperhöhe
11.2 cm
12.2 cm
Grundfläche
116.8987 cm²
10.1788 cm²
Mantel
429.2672 cm²
137.9787 cm²
Oberfläche
Volumen
663.0645 cm² 1309.2650 cm³
158.3363 cm² 124.1809 cm³
e) Betonrohr:
(r = 6 cm; R = 10 cm) Grundfläche 201.062 cm2, Volumen 2251.89 cm3
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B4)
Pyramide, Kegel und Kugel
a) Pyramide mit quadratischer Grundfläche:
Umfang (u)
53.4 cm
27 cm
45.6 cm
24 cm
b) Kegel:
Radius
8 cm
4.3 cm
4.5 cm
Grundfläche
205.59 cm²
51.975 cm²
149.34 cm²
41.4 cm²
Durchmesser
16 cm
8.6 cm
9 cm
Grundfläche
201.0619 cm²
58.088 cm²
63.6173 cm²
Mantel
475.26 cm²
128.25 cm²
348.84 cm²
103.2 cm²
Seitenhöhe
18.3 cm
11.0 cm
11.1 cm
Mantel
459.9292 cm²
148.5973 cm²
156.9226 cm²
Oberfläche
660.9911 cm²
206.6854 cm²
220.5398 cm²
Oberfläche
680.85 cm²
180.225 cm²
498.18 cm²
144.6 cm²
Volumen
1096.48 cm³
148.995 cm³
686.964 cm³
107.64 cm³
Körperhöhe
16.4 cm
10.1 cm
10.1 cm
Umfang (u)
50.2655 cm
27.0177 cm
28.2743 cm
Volumen
1099.1385 cm³
195.5631 cm³
214.1781 cm³
c) Kugel:
Radius
6.3 cm
3 cm
5.6 cm
Durchmesser
12.6 cm
6 cm
11.2 cm
Oberfläche
498.7592 cm²
113.0973 cm²
394.0814 cm²
Formeln auswendig
 Zeichnungen: Schüler/innen - Lösungen
a) Flächen-Formeln
Fläche
Quadrat
s  s = s2
Rechteck
lb
Parallelogramm
a  ha (g  h)
Dreieck
a  ha : 2 (g  h : 2)
Kreis
r  r   (r2)
Kreissektor
r  r    : 360
Volumen
1047.3944 cm³
113.0973 cm³
735.6186 cm³
B5)
Umfang
s+s+s+s =4s
l + b + l + b = 2l + 2b = 2(l+b)
a + b + c + d = 2a + 2b = 2(a+b)
a+b+c
2  r  = d  
d    : 360
b) Körper-Formeln:
Würfel
Quader
Dreiecksprisma
Zylinder
Pyramide
Kegel
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Volumen
immer: Grundfläche x Höhe!
s  s  s = s3
lbh
a  ha : 2  hK
r  r   h
immer:
Grundfläche x Körperhöhe : 3
s2  hK : 3
r  r   hK : 3
Oberfläche
immer: Umfang x Höhe + 2 Grundflächen
6  s2
(2l + 2b)  h + 2lb
(a+b+c)  h + a  ha ( 2 : 2 hebt sich auf)
dh + rr 2
immer:
Umfang x Seitenhöhe : 2 + Grundfläche
4s  hS : 2 + s2
d  hS : 2 + rr 
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B6)
Situationen / Gewichtberechnung
a) Schüler/innen - Lösungen, max. Quadrate: 7 x 7 cm  Oberfläche 294 cm2
b) Breite A5: 14.85 cm, dies ist der maximale Umfang  r = 2.363 cm
h = 21 - 4  r (2d) = 11.546 cm
Volumen 202.54 cm3
c) AKüche = 5 m2 (50'000 cm2); ATrapez = 150 cm2
50'000 : 150  1.05 (105%) = 350 Plättchen
d)
 A = 4080 m2; Die Breite (A : L) beträgt 40m
 (total Umfänge aller kleinen Flächen - Umfang grosse Fläche) : 2 = 542m Zaun
e) 260g (0.26kg)
f) r = 0.75 cm ; R = 1 cm ; L = 4 cm ; G = 1.374 cm2 ; Volumen 549.7 cm3 ; Gewicht 4915 g
g) G = 10.179 m2  0.4 (!)  4.072 m3
 5,6548 h  5 h 39 min
h) Tipp: Rechne alles in m / m2 / m3 um ( 1m3 Wasser ist 1 t schwer!)
Also 40'000 km2  1 mm  40'000'000'000 m2  0.001 m = 40'000'000 m3  40'000'000 t
i) A = 5  5   = 78.54 m2 ; total 3150 l ; pro m2 durch A dividieren  (40.1 l) rund 40 l/m2
j) 92 : 1.05  87.619 dm3 sind im Gefäss; volles Gefäss: 156.463 dm3 ; Grundfl.: 12.566 dm2
Höhe : 12.45 dm  ca. 1.25 m
B7) Konstruktionen
b
A
C


c
a

B
Zeichne jeweils zuerst ein Dreieck und Bezeichne Seiten, eckpunkte und Winkel!
Beachte, dass  bei A liegt und gegenüber die Seite a
a) Zeichne die Seite a. Trage von B aus mit dem Zirkel die Seite c und von C aus die Seite b ab.
Im Schnittpukt liegt A. Konsstruiere die Winkelhalbierenden. Im Schnittpunkt liegt der
Inkreismittelpunkt.
b) Zeichne die Seite b. Von A aus (rechts!) den Winkel a als Strahl einzeichnen und darauf die
Seite c abmessen. Konstruiere die Mittelsenkrechten. Im Schnittpunkt liegt der Umkreismittelpunkt.
c) Zeichne die Seite b. Von A aus (rechts!) den Winkel a als Strahl einzeichnen. Von C aus mit
dem Zirkel die Strecke a eintragen. Im Schnittpunkt liegt B. Die Höhen zeichnest du jeweils von
A, B und C aus senkrecht auf die Grundlinie oder deren Verlängerung.
d) An zwei Stellen auf der Gerade einen rechten Winkel konstruieren und je 2 cm abmessen.
e) Schülerlösungen
f) Spiegeln an der Winkelhalbierenden

c
g) Beantworte die folgenden Fragen:
 Bei welchen Dreiecken liegen zwei Höhen auf den Seiten?  Bei den rechtwinkligen
 Welche Dreiecke haben zwei Höhen ausserhalb?  Bei den stumpfwinkligen
 Welche Dreiecke haben 180° Innenwinkelsumme?  Bei den allen Dreiecken
 Bei welchen Dreiecken liegen alle drei Schwerelinien auf den Winkelhalbierenden?  Bei
den gleichseitigen Dreiecken
 Welche Dreiecke haben eine Schwerelinie ausserhalb des Dreiecks?  Natürlich keine!!
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C Brüche / Schätzen / Verhältnisse
C1) Brüche (ohne Rechner zu lösen!)
a) Addition
 1½ ; 5/6 ; 16/160 + 10/160 = 26/160  13/80

1  9/5
4  39/8 ; also 72/40 + 195/40 = 267/40  6 27/40
b) Multiplikation
 15/64 ; 1/28 ; 1/72

c)
1  81/71
2  1 7/6 ; 81/71  17/6  1377/426  3 99/426  3 33/142
Subtraktion
  ;  ; 64/72 - 9/72  55/72

3  31/8 ; 1  9/7 ; also 217/56 - 72/56 145/56  2 33/56
d) Division
 4 ; 25/24  1 1/24 ; 300/8  37½

81/71  8/29 
648/2059
e) Verwandle in Dezimalbrüche:
0.01; 0.5; 0.005; 0.25; 0.125; 0.75; 0.625; 0.8888…
f) Verwandle in gewöhnliche Brüche:
1/5; 4/5; 3/10; 3/8; 7/9; 1/3; 1/6
C2) Schätzen (ohne Rechner zu lösen!)
a) Schätze die Resultate, rechne danach von Hand aus:


0.08 ; 0.0066 ; 0.00240
20 ; 33 ; (4500 : 9) 500 ; (6 : 600'000) 0.00001
b) Welche gewöhnlichen Brüche liegen in der Nähe folgender Dezimalbrüche?

0.5  1/2 ; 0.2  1/5 ; 0.8  4/5 ; 0.1  1/10
C3) Verhältnisse
a) Kürze die folgenden Verhältnisse
 1:2; 1:9; 8:6:5
 1 : 10 : 2 ; 91 : 7 : 13 (kann nicht gekürzt werden!)
b) 145 : 69  rund Fr. 2.10
c) Total 72 Schüler/innen  33.80 Fr./Schü.
 Bönigen Fr. 743.60, Lyssach Fr. 1081.60, Walperswil Fr. 608.40
d) Fr. 6000.- ; Fr. 6666.65 ; Fr. 7333.35
e) 0.0785 pro investierten Franken  Mayer Fr. 1334.55 ; Müller Fr. 1452.35
f)
 3x = 24  x = 8
 40 = 4.5x  x = 8.888...
b
a
g1
g) a : c = b : d
2 : 3.6 = 1.1 : x  2 x = 3.96  x = 1.98
1.98 cm
g2
c
d
f und g können auch als Proportionen gelöst werden:
f1)
f2)
links
3
4
68615350
rechts
6
?
 8
g)
links
5
4.5
rechts
?
8
 8.888...
links
2
3.6
rechts
1.1
?
 1.98
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D Algebra (Terme, Gleichungen)
D1) Terme
a) Vereinfache, wenn möglich









7a
3ab + 4b (kann nicht verändert werden)
3a + 2b
4ab2
abc3 + abc
5ab2c + 2a2bc (kann nicht verändert werden)
12a2
10ab
9a3b3c2
b) Berechne
 6a2 +12ab
 3ab - 6abc
 2ab + 5ab - 15b2 = 7ab - 15b2
c) s Klammere so viel wie möglich aus:
 ab2(1 + 3b)
 abc(3b - 2c2 +bc2)
d) s Zerlege in Faktoren




(a + b) (a + b)
(2s - 3t) (2s - 3t)
(3ab - 2) (ab - 3)
(2b + 3d) (2b - 3d)
D2) Gleichungen
a) einfache Zahlenbeispiele (Berechne x):
 x=4
 x= 2
 4x = 13  x = 3.25
b) Einfache Satzaufgaben. Stelle die Gleichungen auf und berechne:
 x + 3 = 2x oder x = 2x - 3 ; x = 3
 5x = 3x + 4 oder 5x - 4 = 3x ; x = 2
 30 - x = 12 + x ; x = 9
c) Komplexere Aufgaben:
–
2( x  3) 4(3 x  2 )

( mal 10)
5
10
2  2( x  3)  4(3x  2)
¦ Ausmultiplizieren
4x - 12
= 12x + 8
¦ -12x +12
- 8x
= 20
¦:8
-x
= 2.5
¦ 
x
= - 2.5
 a und c = x ; b und d = x + 3 ; 2(x + 3) + 2x = 60  x = 13.5
a und c  13.5 cm ; c und d  16.5 cm
–
heute
in 2 Jahren
Vater
x + 20
x + 22
Tochter
x
x+2
Tochter 8 Jahre Vater 28 Jahre alt
68615350
3 (x + 2)
3x + 6
2x
x
=
=
=
=
x + 22
x + 22
16
8
Kurt Bertschi, Lyssach
Gesamtrepetition Kulturtechniken - Lösungen
Seite 9
Hinweise:
Verwendete Schriftarten:
- Arial
- Windings (Pfeile, Multiplikationszeichen)
- Symbol (Winkel / Pi)
- MS Reference 2 (Brüche)
Aufgabenblätter siehe
„Mathematik Gesamtrepetition Kulturtechniken.doc“
 auf
68615350
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Kurt Bertschi, Lyssach