1 Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

Johann Wolfgang Goethe - Universität
Frankfurt am Main
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Institut für Statistik und Mathematik
Mathematik - Prof. Dr. H. Rommelfanger
Mertonstr. 17-23
Telefon (069) 798 - 23 609
15.05.2016
WIRTSCHAFTSMATHEMATIK
3. Aufgabenblatt
SS 2001
1.
Sei  eine beliebige Menge.
Seien A, B und C paarweise disjunkte Teilmengen von  mit  = A  B  C.
Geben Sie die kleinste -Algebra in  an, welche die drei Mengen A, B und C enthält.
Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse aus  an, wenn P(A) = P(A  B) = P(C)
sein soll.
2.
Nach dem „Statistischen Jahrbuch für die BRD, 1973“, S. 228f. gehörten im September 1971
29.000 Betriebe der BRD einschließlich Westberlins der Investitionsgüterindustrie an. Die
Betriebe seien in folgender Weise klassifiziert:
Weniger als 50 Beschäftigte, 50 bis 199 Beschäftigte, 200 bis 499 Beschäftigte, mehr als 499
Beschäftigte.
Laut Statistischem Jahrbuch hatten im September 1971 22.500 Betriebe weniger als 50 oder
mehr als 199 Beschäftigte, 20.500 Betriebe weniger als 50 oder mehr als 499 Beschäftigte
(Zahlen gerundet).
Wie groß war der relative Anteil der Firmen mit 200 bis 499 Beschäftigten?
Zur Beantwortung der Frage konstruiere man einen Wahrscheinlichkeitsraum (, , P), wobei
man die absoluten Häufigkeiten der vier Klassen von Firmen normiert.
Lösungshinweis: P  0,07.
3.
Aus dem Intervall [0, 2] wurde ganz zufällig ein Punkt herausgegriffen. Geben Sie für dieses
Zufallsexperiment einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
Lösungshinweis: a  12 , b  12 .
4.
Es liegen drei äußerlich gleiche Kästchen A, B, C mit je drei Lädchen vor. In Kästchen A liegt
in jedem Lädchen eine Goldmünze, in Kästchen B enthält jedes Lädchen eine Silbermünze,
und in Kästchen C enthalten zwei Lädchen je eine Goldmünze und das dritte Lädchen enthält
eine Silbermünze.
Man wählt nun zufällig ein Lädchen, öffnet dieses und stellt fest, daß
a. eine Goldmünze,
b. eine Silbermünze
zum Vorschein kommt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Kästchen C ausgewählt wurde.
Lösungshinweise: a. 25 ; b. 14 .
2
5.
Eine Straßenbahn verkehrt zwischen den Haltestellen G und H. Die Schwarzfahrer unter den
Fahrgästen sind zu 60% jugendlich und zu 40% erwachsen. Um diesen das Leben zu
erschweren, werden alle Fahrgäste zwischen G und H zweimal kontrolliert, und zwar zuerst
von Kontrolleur Nr. 1 und dann von Kontrolleur Nr. 2.
Kontrolleur Nr. 1 entdeckt 60% der erwachsenen Schwarzfahrer und 40% der jugendlichen
Schwarzfahrer. Kontrolleur Nr. 2 entdeckt 50% der erwachsenen Schwarzfahrer und 50% der
jugendlichen Schwarzfahrer.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Schwarzfahrer entdeckt wird?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein entdeckter Schwarzfahrer noch jugendlich ist?
21
Lösungshinweise: a. 37
; b. 37
.
50
6.
Bei der Auswertung eines diagnostischen Tests zur Feststellung einer Krankheit hat sich bei
1050 von 1500 Kranken und bei 180 von 2000 gesunden Versuchspersonen eine positive
Reaktion ergeben. Man schätzt, daß 5% der Gesamtbevölkerung an dieser Krankheit leiden.
Herr X unterzieht sich dem Test. Das Ergebnis ist positiv.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Herr X wirklich an der Krankheit leidet?
Lösungshinweis: 0,29.
7.
In Urne 1 befinden sich 2 rote und 8 schwarze Kugeln; in Urne 2 befinden sich 5 rote und 5
schwarze Kugeln. Man wählt eine Urne zufällig aus, zieht daraus gleichzeitig 3 Kugeln und
stellt fest, daß alle Kugeln schwarz sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie aus der 1. Urne stammen?
Lösungshinweis: 28
:
33
8.
In einem Gefäß befinden sich 5 Chips, die mit den Zahlen 1 bis 5 numeriert sind. Es werden
zufällig 3 Chips gezogen.
a. Schreiben Sie die möglichen Ausgänge dieses Experimentes auf.
b. Ordnen Sie jedem Ausgang die Summe der Zahlen auf die gezogenen Chips zu. Welche
Werte kann diese Zufallsvariable X annehmen?
c. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsvariablen an und zeichnen Sie
ihre Verteilungsfunktion.
d. Definieren Sie als weitere Zufallsvariable Y das Minimum der 3 gezogenen Zahlen und
geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y an.
e. Wir groß ist P(Y  2) ?
Lösungshinweis: e. P(Y  2) = 9 .
10
9.
Gegeben sei die Funktion f: R  R mit
a(3  x ) für  3  x  0

f ( x )  a(3  x ) für 0  x  3

sonst
 0
a. Bestimmen Sie a so, daß f(x) die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X wird.
b. Wie sieht die zugehörige Verteilungsfunktion aus?
c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zufallsvariable X einen Wert aus dem
Intervall [ 12 , 1] annimmt?
Lösungshinweise:
a. 19 ;
b. P( 12  x  1) = 18 .
3
10.
Ein Trickwürfel zeigt die Augenzahl 1 bis 6 mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten an.
Aufgrund einer langen Versuchsreihe werden die Wahrscheinlichkeiten einiger Ereignisse
festgestellt:
2
5
5
1
1
P({1, 2, 3}) = ; P({3, 4, 5}) = ; P({1, 6}) = ; P({5, 6}) = ; P({6}) =
12
12
12
3
6
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der übrigen Elementarereignisse.
(Lösungs-Tip: Aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten lassen sich leicht die Wahrscheinlichkeiten der Komplementärereignisse berechnen!)
11.
Drei Personen A, B und C überlegen sich unabhängig voneinander jeden Abend, ob sie ins
Kino oder ins Theater gehen oder sonst etwas unternehmen sollen. Die Wahrscheinlichkeiten
für Kino (K) bzw. Theater (T) für die drei Personen entnehme man nachfolgender Tabelle:
A
B
C
K
1
4
1
5
1
3
T
1
5
1
4
1
8
a. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Kinogänger (von den 3 Personen) an
irgendeinem Abend an.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß binnen einer Woche die drei sich höchstens
einmal im Theater treffen?
Lösungshinweis:
a.
X
0
1
2
3
P(X)
2
5
13
20
3
20
1
60
b. 0,99919
12.
Für den Stichprobenraum  = {1,2,...,6} bestimme man den kleinsten BOOLEschen
Mengenring, der von den Ereignissen E1  {2, 3, 4} und E 2  {4, 5, 6} erzeugt wird.
13.
Eine faire Münze werde dreimal hintereinander geworfen. Die Zufallsvariable X gebe an, wie
oft dabei Kopf erscheint.
a. Wie viele Elemente besitzt der Stichprobenraum  ?
b. Berechnen sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
c. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
 2X  1

 1 X  2 .
d. Berechnen Sie P 
 2

4
14.
Es wird gleichzeitig mit 3 idealen Würfeln geworfen.
a. Geben Sie den Stichprobenraum  an. Wie groß ist die Mächtigkeit von ?
b. Die Zufallsvariable X ordne den Stichprobenelementen die Summe der oben liegenden
Augenzahlen. Wie lautet die Bildmenge X() und die Wahrscheinlichkeitsverteilung
PX (x j ) ? Geben Sie weiterhin die Verteilungsfunktion FX (x) an.
15.
a. In zwei Schubläden A und B befinden sich insgesamt 6 schwarze und 10 weiße Kugeln,
und zwar in A: 5s und 2w und in B: 1s und 8w.
Aus einer der beiden Schubläden wird eine Kugel zufällig gezogen, sie ist schwarz. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie aus A stammt?
b. Ab welcher Anzahl von Würfen ist es von Vorteil, auf Dreierkopf (gleichzeitig dreimal
Kopf) beim gleichzeitigen Werfen von drei idealen Münzen zu wetten? Ist es z.B.
vorteilhaft darauf zu wetten, daß in den nächsten drei Würfen Dreierkopf kommt?
16.
In der Straßenbahn befinden sich 4 Fahrgäste. An der nächsten Haltestelle steigt jeder
Fahrgast unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit ½ aus, und es steigt
höchstens ein neuer Fahrgast ein. Die Wahrscheinlichkeit, daß in die Straßenbahn kein neuer
Fahrgast einsteigt, beträgt ¼.
Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß nach Abfahrt der Straßenbahn von der
Haltestelle sich in ihr wieder 4 Fahrgäste befinden.
17.
Eignet sich der Ausdruck
18.
Gegeben sei die dreieckige Dichtefunktion
a (3  x ) für  3  x  0
f ( x )  a (3  x ) für
0x3
 0
sonst .
Man bestimme a. Wie sieht die Verteilungsfunktion aus?
19.
Gegeben sei die Dichtefunktion
f(x) = 1 – ax.
f (x)  e x
(0 ≤ x < ∞)
als mögliche Beschreibung der Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X?
Man bestimme die untere Grenze von x für eine vorgegebene obere Grenze von x =
1
.
a