mathematik-klausur erwartungshorizont haupttermin 2008

BORG Wr.Neustadt, Herzog-Leopold-Straße 32, 2700 Wr.Neustadt, 304036
Erwartungshorizont zur schriftlichen Reifeprüfung aus Mathematik zum Haupttermin 2007/2008
8N - ORG mit ergänzendem Unterricht in Physik, Chemie und Biologie und Umweltkunde
erlaubte Hilfsmittel: (selbst erstellte) Formelsammlung, Taschenrechner
Allgemeines






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
07
03
Abkürzungen für Unbekannte und Parameter können von den Schülern beliebig gewählt werden.
Prozentangaben werden auf zwei Nachkommastellen gerundet
Auf Grund der Verwendung unterschiedlicher Taschenrechner kann es bei der Berechnung der Werte
für die Binomialverteilung, sowie bei der Berechnung mittels Logarithmen zu kleinen Unterschieden
in den Nachkommastellen kommen.
Bei der Lösung von Gleichungssystemen können unterschiedliche Lösungsvarianten (Gleich- oder
Einsetzungsverfahren, sowie Gauß’sches Eliminationsverfahren) verwendet werden. Alle drei sind
gleichwertig. Hier wird exemplarisch nur ein Verfahren verwendet.
Äquivalenzumformungsschritte von Gleichungen müssen nicht angegeben werden.
Alle Definitionen und Begründungen können in Sätzen oder Stichworten gegeben werden.
Bei der Berechnung des Taylorpolynoms kann die Formel (Auspotenzieren der Binome) verwendet
werden oder die Koeffizienten mittels Gauß’schem Eliminationsverfahren bestimmt werden
Beim Newton-Verfahren kann es je nach gewähltem Startwert zu unterschiedlich vielen
Iterationsschritten kommen.
Zahlenstrahle bei der Berechnung der Definitionsmenge können benutzt werden.
Beim Herausheben bei der Lösung der Exponentialgleichung können unterschiedliche Wege gewählt
werden, hier ist exemplarisch einer vorgestellt.
1
6  x  0  x  6
 D   22 / 9;11
a Definitionsmenge: 22  2 x  0  x  11
9 x  22  0  x  22 / 9
6  x  22  2 x  9 x  22 / 2
(6  x)  2  6  x  22  2 x  (22  2 x)  9 x  22
 x  28  2  6  x  22  2 x  9 x  22
2  6  x  22  2 x  10 x  6 / : 2
6  x  22  2 x  5 x  3 / 2
(6  x)  (22  2 x)  25 x 2  30 x  9
132  12 x  22 x  2 x 2  25 x 2  30 x  9
27 x 2  40 x  123  0
x1, 2 
40  1600  13284 40  122

54
54
x1  3
x 2  41 / 27
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6  3  22  2  3  9  3  22
Probe:
9  16  49
3 4  7
r. A.
6  (41 / 27)  22  2  (41 / 27)  9  (41 / 27)  22
Probe: 121 / 27  217 / 8  25 / 3
2,12  5,00  2,89
f. A.
 L  3
02
b
x2 x3

 Hauptnenner (HN): ( x  4)( x  5)
x4 x5
Fall 1: x  4  0, x  5  0  x  4, x  5  HN>0
x2 x3

/ HN
x4 x5
( x  2)( x  5)  ( x  3)( x  4)
x 2  5 x  2 x  10  x 2  4 x  3x  12
 L1   
 7 x  10   x  12
 6 x  22
x  22 / 6  11 / 3
Fall 2: x  4  0, x  5  0  x  4, x  5  HN <0
 L2   
 x  11/ 3
Fall 3: x  4  0, x  5  0  x  4, x  5  HN <0
 L3  ] 4;5 [
 x  11/ 3
Fall 4: x  4  0, x  5  0  x  4, x  5  HN >0
 L4  ]  ; 11/3 [
 x  11/ 3
 L ges  ]  ; 11/3 [  ] 4;5 [
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02
c 2 x 3  5 x 1  2 x 1  5 x  4  2 x  2
2 x 3  2 x  2  2 x 1  5 x  4  5 x 1



2 x 3 1  2  2 4  5 x  4 1  5 5

2 x 3  19  5 x  4  3126
( x  3)  ln 2  ln 19  ( x  4)  ln 5  ln 3126
x  ln 2  3  ln 2  ln 19  x  ln 5  4  ln 5  ln 3126
x  ln 2  x  ln 5  4  ln 5  ln 3126  3  ln 2  ln 19
x  ln 2  ln 5  4  ln 5  ln 3126  3  ln 2  ln 19
 4  ln 5  ln 3126  3  ln 2  ln 19
x
 0,812799255
ln 2  ln 5
07
01
2
a k 1 : x 2  y 2  6 x  4 y  12  x  3   y  2  12  9  4  25  M 1 (3 / 2), r  5
2
2
k 2 : x 2  y 2  8 x  6 y  60  x  4   y  3  60  16  9  85  M 2 (4 / 3), r  85
2
02
2
b
I : x 2  y 2  6 x  4 y  12
II : x 2  y 2  8 x  6 y  60
I - II : -14x  2y  -48/ : 2
I - II : -7x  y  -24  y  7x - 24
Einsetzen in k1: x 2  7 x  24  6 x  4  7 x  24  12
2
x 2  49 x 2  336 x  576  6 x  28 x  96  12
50 x 2  370 x  660  0
x1, 2 
370  136900  132000 370  70

100
100
x1  3
x 2  4,4
y1  7  3  24  21  24  3
y 2  7  4,4  24  30,8  24  6,8
S1(3/-3), S2(4,4/6,8)
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04
c Verwendung von S(3/-3)
T  M    X  T   0
T  M    X  T   0
 3   3   x   3 
k1 :             0
  3   2   y    3 
 3    4   x   3 
k 2 :             0
  3   3   y    3 
 7   x  3
   
  0
  6   y  3
 0   x  3
   
  0
  5   y  3
 5  ( y  3)  0
 5 y  15  0  t1 : y  3
7  ( x  3)  6  ( y  3)  0
7 x  21  6 y  18  0
7 x  6 y  39  0  t 2 : y  (7 / 6)  x  (39 / 6)
 
k1  k 2
n1  n2
Verwendung von tan  
oder cos     .
n1  n2
1  k1  k 2
k1  k 2
07/6

 7 / 6    49,40    49,40
1  k1  k 2 1  0  (7 / 6)
 0  7 
    
1 6
6
cos       
   130,60    49,40
1  85
85
tan  
implizite Differentiation:
k 1 ': 2 x  2 yy '6  4 y '  0
k 2 ': 2 x  2 yy '8  6 y '  0
2 yy '4 y '  2 x  6
2 yy '6 y '  2 x  8
y '(2 y  4)  2 x  6
y '(2 y  6)  2 x  8
y' 
 2x  6
 23 6
0


0
2y  4
 2  3  4  10
y' 
Verwendung Schnittwinkelformel wie oben.
15
3
2
01
a
 x  lnxd x  0,636294261 FE?
1
g ( x )  ln x
g ' ( x)  1 / x
f ( x)  x
F ( x)  x 2 / 2
Seite 4
 2 x  8  2  3  8  14 7



2y  6
 2  3  6  12 6
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2
2
x2
x2 1
x2
x
x2
x2 2
1
1

 ln x |    dx 
 ln x |   dx 
 ln x 
|  2  ln 2  1   ln 1   
2
2 x
2
2
2
4 1
4
1
1
2
1
1
2
1
 0,636294361
4
 2  ln 2  1 
02
2
b u  v '  u 'v  u  v'  u 'v  u  v 'u  v'   u 'vdx   u  v 'u  v' dx
  u 'vdx  u  v   u  v' dx , Umbenennen: u '  f ( x), u  F ( x), v  g ( x), v'  g ' ( x)
  f ( x)  g ( x)dx  F ( x)  g ( x)   F ( x)  g ' ( x)dx
02
c Antwort mit den Fachtermini: Fläche unter der Kurve, Gegenteil der Differentiation, Funktion, Zahl
oder Skalar, additive Konstante, Ableitung, Null
02
d 3 äquidistante Zwischenstützstellen bedeuten 4 Intervalle.
b  a 2 1 1
x 


4
4
4
Stelle
x0  1
Funktionswert
0
x1  5 / 4
x2  3 / 2
x3  7 / 4
0,278929439
0,608197662
x4  2
---
2
0,979327629
 x  lnxd x  4   f ( x
1
0
)  f ( x1 )  f ( x 2 )  f ( x3 )   0,25  1,86645473  0,466613683 FE
1
02
e n = 3  2n  1  5 Zwischenstützstellen bedeuten 6 Intervalle.
b  a 2 1 1
x 


6
6
6
Stelle
x0  1
Funktionswert
0
x1  7 / 6
x2  4 / 3
x3  3 / 2
0,17984246
0,383576097
x4  5 / 3
x5  11 / 6
0,85137604
1,111248973
x6  2
1,386294361
0,608197662
Seite 5
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2
 x  lnxd x 
1
ba
  f ( x0 )  4  f ( x1 )  2  f ( x 2 )  4  f ( x3 )  2  f ( x 4 )  4  f ( x5 )  f ( x6 )  
6n
1
 0  0,71936984  0,767152194  2,432790648  1,702752079  4,444995892  1,386294361 
18
 0,636297501 FE

04
f Ableitungen der gegebenen Funktion:
f ( x)  x  ln x
f ' ( x)  ln x  x 
f ' ' ( x) 
1
 ln x  1
x
1
x
f ' ' ' ( x)  
1
x2
Variante 1 mit Formel:
f ( x0 )
f ' ( x0 )
f ' ' ( x0 )
f ' ' ' ( x0 )
( x  x0 ) 0 
( x  x 0 )1 
( x  x0 ) 2 
( x  x0 ) 3 
0!
1!
2!
3!
0
1
1
1
  1  ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) 3 
1
1
2
6
1
1
 x  1  ( x 2  2 x  1)  ( x 3  3x 2  3x  1) 
2
6
1
1
1
  x3  x2  x 
6
2
3
P( x) 
Variante 2 mit Gleichungssystem:
I : P( x0 )  ax03  bx02  cx0  d  0  f ( x0 )
II : P' ( x0 )  3ax02  2bx0  c  1  f ' ( x0 )
III : P' ' ( x0 )  6ax0  2b  1  f ' ' ( x0 )
IV : P' ' ' ( x0 )  6a  1  f ' ' ' ( x0 )
2
 
1
IV : 6a  1  a  
1
6
 1
III : 6      1  2b  1  b  1
 6
1
 1
II : 3      1  2  1  1  c  1  c  
2
 6
1
1
 1
I :    1  1 1  1  d  d  
2
3
 6
1 3
1
1
1
1
1
1 2 1  7 
x  x 2  x  dx   x 4  x 3  x 2  x |       0,625 FE
6
2
3
24
3
4
3 1 3  24 
Seite 6
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02
g Konzept d und e: Antwort mit den Fachtermini: Annäherung, Fläche, Rechteck
Konzept f: Antwort mit den Fachtermini: Vereinfachung, Funktion
09
4
03
a Giftstoff A: Ansatz G (t )  G0  e  t
100  G0  e  0  G0  1  G0  100
137  100  e  10
1,37  e  10
ln 1,37    10
ln 1,37

 0,031481074
10
 G A (t )  100  e 0, 031481074  t
Giftstoff B: Ansatz: k 
k
y 2  y1
x 2  x1
y 2  y1 302  250

 5,2
x 2  x1
10  0
 y  kx  d  250  5,2  0  d  d  250
 G B (t )  5,2 x  250
b
Schadstoffkonzentrationen A, B
700
600
500
400
G(t)
06
300
200
100
0
0
10
20
30
t
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40
50
60
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Es gilt: G A (t )  100  e 0,031481074t  5,2 x  250  GB (t )
 G(t )  100  e 0,031481074t  5,2 x  250  0
G' (t )  3,1481074  e 0,031481074t  5,2
Startwert: x1 = 50 (kann variieren)
f ( xn )
f ' ( xn )
G ( x1 )
G (50)
 27,38275504
x 2  x1 
 50 
 50 
 52,74010886
G ' ( x1 )
G ' (50)
9,993309202
G( x2 )
1,848354644
x3  x 2 
 52,74010886 
 52,5774316
G' ( x2 )
11,36209609
G ( x3 )
0,006887275
x 4  x3 
 525774316 
 52,57682089
G ' ( x3 )
11,2774942
Nach der dritten Iteration ist die geforderte Genauigkeit erreicht.
Newton’sches Näherungsverfahren: xn 1  xn 
Nach rund 52,58 Tagen ist die Giftstoffkonzentration beider Schadstoffe gleich hoch, diese beträgt rund
523 mg/l.
09
5
01
a P(12) 
02
02
1
2
3
, P(11) 
, P(10) 
36
36
36
1
2
3
5
 30
 5 20 10 25
G ( x) 
 90 
 40 
 40    (10)   
 
   0,28 €
36
36
36
3
3
18
 36
 2 9
b Spiel ist nicht fair. Weitere Antwort mit den Fachtermini: fair, Gewinnerwartung, (kleiner) Null,
Verlust, längerer Zeitraum
1
2
3
 30

 (100  x) 
 (50  x) 
 (50  x)    ( x)  / 36
36
36
36
 36

(100  x)  2  (50  x)  3  (50  x)  30 x  0
c G ( x)  0 
100  x  100  2 x  150  3x  30 x  0
36 x  350
x  9,72€
1
2
3
 30

 ( x  10)   40   40    (10)  / 36
36
36
36
 36

x  10  80  120  300  0
G ( x)  0 
x  110€
Seite 8
BORG Wr.Neustadt, Herzog-Leopold-Straße 32, 2700 Wr.Neustadt, 304036
Erwartungshorizont zur schriftlichen Reifeprüfung aus Mathematik zum Haupttermin 2007/2008
8N - ORG mit ergänzendem Unterricht in Physik, Chemie und Biologie und Umweltkunde
erlaubte Hilfsmittel: (selbst erstellte) Formelsammlung, Taschenrechner
02
03
3
103
3
7
10   1   35 
10   1   35 
d P( X  3)         
          0,0021  0,21%
 3   36   36 
 3   36   36 
0
8 0
0
8
 8   3   33 
 8   3   33 
P( X  1)  1  P(0)  1           1           1  0,4985  0,5015  50,15%
 0   36   36 
 0   36   36 
e 1  1  p   0,75
n
n
1 

1  1    0,75
 36 
n
 35 
1     0,75
 36 
n
 35 
    0,25
 36 
n
 35 
   0,25
 36 
n
 35 
ln    ln 0,25
 36 
 35 
n  ln    ln 0,25
 36 
 35 
n  ln 0,25 / ln    49,21019544
 36 
Der Würfel muss 50 Mal geworfen werden.
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Erwartungshorizont zur schriftlichen Reifeprüfung aus Mathematik zum Haupttermin 2007/2008
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Es werden folgende Korrekturzeichen verwendet:
AF (Angabe- oder Abschreibefehler)
Auslassung bzw. Teile fehlen
DF (Denkfehler)
FF (Folgefehler)
RF (Rechenfehler)
Rechtschreibfehler bei Fachausdruck
VZ (Vorzeichenfehler)
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