Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen - Aufgaben zum Wahlteil
1)
Das Profil eines Flussbettes und des angrenzenden Ufers wird näherungsweise beschrieben
20 x 2
durch die Funktion f mit f ( x)  2
(alle Maße in Meter).
x  2500
y
20
10
x
-80 -60 -40 -20 O
20
40
60
80 100 120 140 160
Aufgrund einer Trockenheit sinkt der Wasserspiegel täglich. Im Punkt P(150 / ?) des Ufers steht
ein Turm, von dem aus man durch ein kleines Fenster in 5 Meter Höhe auf den Fluss blicken kann.
Nach einer gewissen Zeit ist der Wasserspiegel aus dem Fenster nicht mehr zu sehen. Wie tief ist
dann der Fluss (an seiner tiefsten Stelle) höchstens?
2)
a)
b)
Bei einer neuen Telefongesellschaft wird der Preis eines Telefongesprächs (in Cent), das die Länge
20  x
;x  0.
x (in Minuten) hat, mit der folgenden Funktion f berechnet: f ( x) 
2
Die Zeit wird dabei genau gestoppt.
Wie viel bezahlt man durchschnittlich pro Minute für ein Telefongespräch von 10 Minuten Dauer?
g(x) ist der durchschnittliche Preis (in Cent pro Minute), den man für ein Telefongespräch der
Länge x (in Minuten) bezahlt. Wie lautet ein Rechenausdruck für g(x)? Untersuche das Schaubild
von g auf Asymptoten.
Was bedeuten die Asymptoten von g für den durchschnittlichen Preis pro Minute? Wie groß ist
der Grenzwert lim f ( x ) und was bedeutet er?
x 0
3)
a)
b)
c)
Eine Firma wirbt für die Wärmedämmung von Häusern mit der Verringerung der Heizkosten. Sie
behauptet, dass bei einer Dämmschicht der Dicke d für die jährlichen Heizkosten H(d) pro m²
Außenwand gilt:
13
H (d ) 
(d in cm; H(d) in Euro)
d 3
Bei welcher Dicke der Dämmschicht betragen die Heizkosten noch ein Drittel der Heizkosten ohne
Dämmschicht?
Für das Anbringen einer Dämmschicht der Dicke d berechnet die Firma pro m² einen Betrag
B(d )  64  4,5d (d in cm; B(d) in Euro). Welche Bedeutung haben dabei die Zahlen 64 und 4,5 in
der Praxis?
Bei einer Betriebszeit von 20 Jahren setzen sich die Gesamtkosten G(d) pro m² zusammen aus den
Kosten für das Anbringen der Dämmschicht und den Heizkosten während der folgenden 20 Jahre.
Bei welcher Dicke der Dämmschicht sind die Gesamtkosten am kleinsten?
Lösungen:
1)
P(150/18)  Fenster C(150/23)
Sehstrahl: y  mx  c
Gesucht zunächst: Berührpunkt U (u; f (u )) von Sehstrahl an Flussprofil.
Es gilt:
f (u )  mu  c
(I)
f (u )  m
(II)
(III) 23  150m  c  c  150m  23
(III) und (II) in (I):
f (u )  f (u )  u  150  f (u )  23  f (u)  (u  150)  23
100000 x
mit f ( x)  2
und GTR ergibt sich:
( x  2500)2
u  72, 02; f (u )  13,50 ( und u  10,89; f (u )  0,91 Tangente verläuft durch Berg  sinnlos)
Bestimmung des Sehstrahls durch LGS:
(I)
23  150m  c
13,5  72, 02m  c
(II)
 Sehstrahl: y  0,122 x  4, 726
Schnitt von Sehstrahl mit f ( x) : SP(-18,67/2,45)  Flusstiefe von 2,45m.
2)a) f (10)  15 Cent in 10 Minuten  1,5 Cent pro Minute
f ( x) 10 1
g ( x) 
 
x
x 2
1
1
lim g ( x) 
waagerechte Asymptote y 
x 
2
2
lim g ( x)   senkrechte Asymptote x  0
x 0
b)
Preis pro Minute sinkt bei längerem Gespräch auf Minutenpreis von 0,5Cent
lim f ( x)  10 10 Cent Mindestumsatz für jedes Telefongespräch.
x 0
3)
1
13
a) H (d )  H (0) mit H (0) 
 d  6cm
3
3
b) Grundpreis: 64 Euro, Materialkosten: 4,5 Euro pro cm Dicke.
13
c) G (d )  B(d )  20  H (d )  64  4,5d  20 
mit GTR: Minimum bei d = 4,6cm
d 3