aufgabe 1 - Cal Poly

Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
FH München, Fakultät 03, Fahrzeug- und Flugzeugtechnik
Prüfung in Technische Dynamik I am 25. Januar 2007
F. Owen / P. Heel
Bearbeitungszeit: 90 min, mit Unterlagen, 5 Aufgaben. Viel Erfolg!!
Name:
Semester:
Punkte:
Note:
Bitte beachten Sie folgende Punkte:

Bearbeiten Sie Ihre Prüfung auf zwei verschiedenen Arbeitsblättern. Verwenden Sie für die
Aufgaben 1 und 2 einen anderen Papierbogen als für die Aufgaben 3, 4 und 5. Geben Sie
Ihre Antworten in zwei Teile ab.

Nummerieren Sie Ihre Antworten unbedingt deutlich und entsprechend dem Fragebogen (z.B.
1a, 1b, 1c… u.s.w.).
Teil 1:
AUFGABE 1 (20%)
Für die Teilaufgaben a), b), c) und d) kreuzen Sie bitte alle möglichen Lösungen an.
a) Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ergibt unbedingt:
x wieder eine harmonische Schwingung derselben Frequenz.
□ eine nichtperiodische Schwingung.
□ eine Schwingung, wobei die Amplitude die Summe der beiden einzelnen Amplituden ist.
□ eine harmonische Schwingung mit der Amplitude = A  A und derselben Frequenz.
2
1
2
2
b) Die Überlagerung zweier Schwingungen mit irrationaler Frequenzverhältnis ergibt:
x eine nicht-periodische Schwingung.
□ eine periodische Schwingung mit einer durchschnittlichen Frequenz.
□ eine harmonische Schwingung mit einer durchschnittlichen Frequenz.
□ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz =  +  .
1
2
c) Ein Fahrzeug bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit VFRZ. Die Antriebsräder drehen
wegen glatter Fahrbahn durch, die Rotationsgeschwindigkeit  der Räder (Radius = r) sei für
diese Betrachtung konstant. Die Geschwindigkeitsverteilung entlang der vertikalen Radachse soll
in nachfolgender Skizze eingetragen werden. Zeichnen Sie die Geschwindigkeit der
Hauptbewegung des Fahrzeugs in Skizze 1, die der reinen Drehungbewegung des Rads in Skizze
2 und schließlich die gesamte Geschwindigkeitsverteilung des Rads in Skizze 3 ein.
1)
2)
+
3)
=
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Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
Die Bedingung für Schlupf lautet:
□V
□V
xV
FRZ
> • r
FRZ
= • r
FRZ
< • r
d) Ein Flugzeug fliegt vom Nordpol zum Äquator (von A über B nach C) mit einer konstanten
Geschwindigkeit VFLZ. Definieren Sie die Coriolisbeschleunigung, die dabei auf das Fluggerät
wirkt. (Die Atmosphäre dreht mit der Erde.)
Drehrichtung der Erde: von oben betrachtet gegen den Uhrzeigersinn

A
Für den Punkt A (Nordpol):
B
acor = 2VFLZ
Für den Punkt B (auf 45° Breitengrad):
acor =
2V FLZ
C
Und für den Punkt C:
acor = 0
In welcher Richtung wirkt die Coriolisbeschleunigung beim Durchfliegen von B?
□ Es gibt keine Coriolisbeschleunigung am Punkt B
x In Drehrichtung der Erde
□ Entgegen der Drehrichtung der Erde
□ In Flugrichtung
□ Entgegen der Flugrichtung
e) Man skizziere rechts das Phasendiagramm für die links dargestellte periodische Schwingung. Die
markierten Zeitpunkte im Zeitbereich sind in der Phasenkurve ebenfalls einzutragen. Beschriften
Sie die Achsen des rechten Diagramms.
x
x
2
8
1
6
9
7
8
1
3
7
t
5
4
6
9
5
4
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3
2
x
Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
f)
Von einem Schwingungsvorgang ist eine freie Ausschwingkurve x(t) gemessen worden. Ermitteln
Sie folgende Kennwerte: logarithmisches Dekrement, Abklingkonstante und dimensionsloser
Dämpfungsgrad.
x(t), cm
Meßergebnis
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
t, Sek.
 y (t ) 
 5 
  ln 
  ln 
  ln( 2)  0,693
 2,5 
 y (t  T ) 

0,693
 
 1,155 Sek 1
Abklingkonstante:
T 0,6 Sek
 2
Dimensionsloser Dämpfungsgrad:
 
 0,110
2
1   2 
Logarithmisches Dekrement:
g) Ein System hat die folgende DGL:
2x  x  18x  u  18u
Für welche überkritische Erregerfrequenz ergibt die Vergrößerungsfunktion genau den Wert 1?
Das System ist Typ A/B wegen das u und u auf der rechten Seite. Für Typ A/B
schneiden alle Kurven (eben, wie groß  ist) V() = 1, wenn  = 1,4 = 2 . Also  =
2 . Im obrigen System,
0 

18
 3 Rad / Sek
2

,    0 
0
 2 3 Rad / Sek  4,24 Rad / Sek
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Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
AUFGABE 2 (20%)
Skizziert ist ein einfaches Modell zur Simulation der Schwenkbewegung eines
Hubschrauberrotorblattes (Masse m, Pendellänge r, Hebellänge e, Dämpfungskonstante d,
Federkonstante c). Die Drehgeschwindigkeit  ist konstant, die Schwenkbewegung erfolgt in der
horizontalen Ebene. Reibung und Schwerkraft spielen keine Rolle. Mit  = 0 ist die Feder entspannt.
a) Man schneide den Arm r samt Masse m frei und zeichnet das D’Alembert-Diagramm der Kräfte
oder alternativ die Frei-Körper- und Masse-Beschleunigung-Diagramme des schwingenden Arms
r.
b) Man ermittle die Bewegungsgleichung für den Winkel . Für dieses Teil der Aufgabe, ist die
Coriolisbeschleunigung zu vernachlässigen.
c) Man wende die Vereinfachung an, dass  sehr klein ist. Wie lautet die vereinfachte
Bewegungsgleichung für den Fall, dass der Winkel  sehr klein ist?
d) Man ermittle die Eigenfrequenz für diesen Fall.
Die folgenden kinematischen Beziehungen gelten:
b  e sin 
r sin   a sin 
m
r
g

e

c

d
Hilfestellung:
m
a

r

O
b
e

A
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Lösung:
a)
FKD
=
MBD
ma t
At
An
ma n
r
=

 r
O
Md , M c
b)
M A :
ma n
ma Cor
 M d  M c  mat r  man b  maCor cos r
M c  c
M  d
d
a n  a 2
a  r
t
 d  c  mr 2  ma 2 b
b  e sin  , a  r
sin 
sin 
ab  er sin 
mr 2  d  c  m 2 er sin   0
c)
A


 klein → mr 2  d  c  m 2 er   0
d)
0 
c  m 2 er
mr 2
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
X
Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
FH München, Fakultät 03, Fahrzeug- und Flugzeugtechnik
Prüfung in Technische Dynamik I am 25. Januar 2007
F. Owen / P. Heel
Bearbeitungszeit: 90 min, mit Unterlagen, 5 Aufgaben. Viel Erfolg!!
Name:
Semester:
Punkte:
Note:
Bitte beachten Sie folgende Punkte:

Bearbeiten Sie Ihre Prüfung auf zwei verschiedenen Arbeitsblättern. Verwenden Sie für die
Aufgaben 1 und 2 einen anderen Papierbogen als für die Aufgaben 3, 4 und 5. Geben Sie
Ihre Antworten in zwei Teile ab.

Nummerieren Sie Ihre Antworten unbedingt deutlich und entsprechend dem Fragebogen (z.B.
1a, 1b, 1c… u.s.w.).
Teil 2:
AUFGABE 3 (15%)
X
g
y
R
x
Die Scheibe links dreht gegen den
Uhrzeigersinn mit der Drehgeschwindigkeit .
Die Masse m kann sich reibungslos entlang
der Führung bewegen. Bei entspannter Feder
( = 0) ist die Masse mit dem Abstand r von
der Drehachse entfernt.
m
k
r

a) Ziehen Sie zunächst den stationären Fall in Betracht. Die Scheibe dreht mit einer konstanten
Drehgeschwindigkeit, die Masse m rotiert ohne Schwingung entlang der Führungsschiene. Man
schneide die Masse frei und zeichne die Kraft/Beschleunigungs-Diagramme oder alternativ das
D’Alembert’sche Diagramm für diesen stationären Fall.
b) Für den stationären Fall ermittelt man die Funktion
(x, k, m, r).
Anschließend untersuche man den dynamischen Fall.  ist nicht konstant und die Masse bewege
sich entlang der Führung. Beantworten Sie die Fragen in allgemeiner Form mit den in der Skizze
angegebenen Variablen.
c) Man zeichne die Kraft/Beschleunigungs-Diagramme oder alternativ das D’Alembert’sche
Diagramm für den dynamischen Fall.
d) Man beschreibe die x-Beschleunigungs-Gleichung, für diesen Fall.
e) Wie lautet die Gleichung für die senkrecht auf die Führung gerichtete Kraft N?
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Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
Lösung:
a)
FKD
=
MBD
=
Fk
ma n
y
x
b)
Fx :  Fk  man
Fk  k ( x  r )
a n  x 2
k ( x  r )  mx 2

k (x  r)
mx
c)
FKD
=
MBD
ma t
ma x
=
Fk
ma n
N
ma Cor
y
x
d)
Fx :  Fk  man  ma x
a x  x
 k ( x  r )  m 2 x  mx
mx  (k  m 2 ) x  kr
e)
Fy : N  mat  maCor
at  x
aCor  2 x
N  m( x  2x )
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AUFGABE 4 (20%)
Ein System wird durch folgende Bewegungsgleichung beschrieben:
mx  dx  c1 x 2  c 2 x  0
a) Man ermittle mittels des Störansatzes die Ruhelagen des Systems.
b) Wie lauten die Gleichungen der gestörten Bewegungsgleichungen in der Nähe der Ruhelagen?
c) Sind die gefundenen Ruhelagen stabile oder instabile Ruhelagen? Begrunden Sie Ihre Antwort.
Lösung:
a)
x  x0  x
x  x
x  x
mx  dx  c1  x0  x   c 2  x0  x   0
2
Statischer Fall : x, x , x  0
c1 x02  c 2 x0  0
x0 (c1 x0  c 2 )  0
c2
c1
Diese sind die zwei Ruhelagen des Systems.
x0  0, 
b1)
c1)
b2)
x0  0 : mx  dx  c1 x 2  c 2 x  0 , aber x2 ≈ 0, weil x so klein ist.
Also, x0  0 : mx  dx  c2 x  0 
Erforderlich für Stabilität um diese Ruhelage: m, d, c2 > 0.
2
 c

 c

c
x0   2 : mx  dx  c1   2  x   c 2   2  x   0
c1
 c1

 c1

2
 c2

c2
c
c2
c
   x   22  2 2 x  x 2  22  2 2 x
c1
c1
c1
c1
 c1

 c 22

 c

c
mx  dx  c1  2  2 2 x   c 2   2  x   0
c1
 c1

 c1

mx  dx  2c 2 x  c 2 x  0
mx  dx  c 2 x  0
c2)
Für Stabilität, m, d, -c2 > 0, also c2 < 0 für Stabilität um diese Ruhelage.
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Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
AUFGABE 5 (25%)
Für eine Vibrationsuntersuchung an einem Hubschrauberheckausleger wird an einem von vier
Heckrotorblätter eine Zusatzmasse mz befestigt. Der Abstand zur Drehachse hat die Länge a. Zur
Abschätzung der Steifigkeit des Heckauslegers wird eine Kraft Ftest in vertikaler Richtung aufgebracht
(siehe Skizze) und die Auslenkung Xtest gemessen. Nach dem Test wird Ftest wieder auf 0 N
gefahren. Die Strukturdämpfung (lehrsche Dämpfung) wird abgeschätzt. Die zu berücksichtigende
schwingende Masse des Heckauslegers sei mH, die Masse des Rotors mR. Diese Parameter haben
die folgenden Größen:
Parameter
mZ
a
Ftest
Xtest

mH
mR
Größe
0,5
0,02
1000
0,001
1%
Einheit
kg
m
N
m
–
30
25
kg
kg
a) Übertragen Sie zur Untersuchung des Systems den Heckauslegers in ein äquivalentes, vertikales
Massen-Feder-Dämpfer-Schwingungssystem. Zeichnen Sie dieses System und beschriften Sie
mZ, mR, mH, , d und k auf Ihrer Skizze.
b) Berechnen Sie die Eigenfrequenz des äquivalenten Systems.
c) Berechnen Sie die Auslenkung des Heckauslegers in vertikaler Richtung bei einer
Heckrotordrehzahl von 2000 Umdrehungen pro Minute?
d) Bei welcher Drehgeschwindigkeit ergibt sich die maximale Auslenkung in vertikaler Richtung?
e) Wie groß ist dabei die maximale Auslenkung des Heckauslegers?
Ftest = 1000 N

Heckrotormasse, m R = 25 kg
a
X
X
Zusatzmasse, m Z = 0,5 kg
Schwingende Heckauslegermasse, m H = 30 kg
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Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
Lösung:
a)
mZ
a

t
m H+ m R
x
d
k
b)
0 
c)
kg m
k
N
 1E 6
 134,2 rad / sec
m H  m R  mZ
m 55,5 kg N sec 2
X ( ) 
F
k  m 
ist die allgemeine Formel auf Seite K4/S8. In dieser
 ( d )
Formel ist F die Amplitude der Kraft und m die ganze schwingende Masse. Also
  2000
2 2
2
rev min 2
rad
 209
min 60 sec rev
sec
 209
F  m Z a  0,5 kg (0,02 m)
 sek
F
1000 N
Ftest  kX test , k  test 
X test 0,001m
2
 
2

  437 N

 1E 6 N / m
d
2m 0
sec2 N
N
 134,2 
d  2m 0  2(55,5 kg ) 
0
,
01
 149

kg m
m / sec
 sec 
437N
X (2000 rpm) 
2
2

N sec 209 

2 N sec 
1
E
6
N
/
m

55
,
5
kg
(
209
rad
/
sec)


  149
kg m 
m sec 


X (2000 rpm)  0,0003m  0,304 mm
d)
 max  1  2 2  1  2(0,01) 2  0,9999

rad
rad

,   0  0,9999 (134,2)
 134,2
0
sec
sec
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2
Technische Dynamik 1 – Owen/Heel – Winter Semester 2006/7
e)
Die Berechnung ist das Gleiche wie in Teil c) aber bei  = 134,2 rad/sec und F:
2
 134,2 
F  mZ a  0,5 kg (0,02 m)
  180 N
 sec 
2
180 N
X (134,2 rad / sec) 
2
2

N sec 134,2 

2 N sec 
1
E
6
N
/
m

55
,
5
kg
(
134
,
2
rad
/
sec)


  149
kg m  
m sec 

X(134,2 rad/sec) = 9,0 mm
Seite 11 von 11
2