Weitere Übungen zur Prädikatenlogik und zu Prolog Thema 1

Weitere Übungen zur Prädikatenlogik und zu Prolog Thema 1
Gegeben sei eine Sprache L mit einer prädikatenlogischen Syntax gemäß den Definitionen
2.1.15, 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18, mit den
Termen andi, biggi, chris, dia, emma
und den
Prädikatensymbolen schüler, lehrer, mann, frau, klug (alle 1-stellig)
sowie mag, lernt-von, hört-auf (alle 2-stellig).
(Wir beziehen uns im Weiteren auf diese Definition der Terme und der Prädikatensymbole
mit der Bezeichnung „Lexikon“.)
Die Sprache L besitzt ferner eine prädikatenlogische Semantik gemäß den Definitionen
2.1.19, 2.1.20, 2.1.21, 2.1.22, mit
D = {Andreas, Brigitte, Christian, Diana, Emma}
F(andi) = Andreas
F(biggi) = Brigitte
F(chris) = Christian
F(dia) = Diana
F(emma) = Emma
F(schüler) = {Andreas, Brigitte, Christian, Diana}
F(lehrer) = {Emma}
F(mann) = {Andreas, Christian}
F(frau) = {Brigitte, Diana, Emma}
F(klug) = {Brigitte, Diana, Emma}
F(mag) = {<Andreas, Brigitte>, <Christian, Diana>, <Brigitte, Emma>, <Diana, Emma>}
F(lernt-von) = {<Andreas, Emma>, <Brigitte, Emma>}
F(hört-auf) = {<Andreas, Emma>, <Brigitte, Emma>, <Diana, Emma>}
g beliebig, z.B. {<x,Andreas> | x ist eine beliebige Variable vn}
Wie kürzen die Variablen v0 und v1 als x bzw. y ab.
I. Übungen zur Syntax der Prädikatenlogik
1. Entscheiden Sie, ob die folgenden Ausdrücke wohlgeformte Formeln von Sprache L sind.
Beschreiben Sie dazu ausführlich, Schritt für Schritt, wie sich die Formeln mithilfe der
syntaktischen Regeln von L konstruieren lassen. Falls eine Zeile keine wohlgeformte Formel
von L ist, erklären Sie kurz, an welchem Punkt und warum die Ableitung der Formel
fehlschlägt.
Beispiel:
(schüler(emma) ↔ (mag(andi, biggi)  x.mann(x)))
1. Schritt: mann(x) ist eine Formel aufgrund des Lexikons und Regel 2 (von Def. 2.1.17).
2. Schritt: x.mann(x) ist eine Formel aufgrund Schritt 1 und Regel 5.
3. Schritt: mag(andi, biggi) ist eine Formel aufgrund des Lexikons und Regel 2.
4. Schritt: (mag(andi, biggi)  x.mann(x)) ist eine Formel aufgrund der Schritte 2 und 3
sowie Regel 4.
5. Schritt: schüler(emma) ist eine Formel aufgrund des Lexikons und Regel 2.
6. Schritt: (schüler(emma) ↔ (mag(andi, biggi)  x.mann(x))) ist eine Formel aufgrund der
Schritte 4 und 5 sowie Regel 4.
a) (frau(andreas)  klug(biggi))
b) x.(lernt-von(x, emma)  frau(dia))
c) x.(lehrer(x)  mann(x))
d) ((schüler(dia)  lernt-von (chris, chris)) ↔ frau(biggi, emma))
e) x.(schüler(x)  (x = x))
f) schüler.(klug(x))
g) x.(mann  frau(x))
h) x.y.(lernt-von(x,y)  hört-auf(x,y))
2. Entscheiden Sie, welche Variablen in den folgenden Formeln gebunden bzw. frei
vorkommen!
a) mann(andi) ↔ (x.mag(x, andi)  klug(x))
b) x.(frau(y)  y.hört-auf(x, y))
c) x.lernt-von(emma,x) ↔ y.(hört-auf(emma,y)  mag(y,x))
II. Übungen zur Semantik der Prädikatenlogik
3. Gegen Sie folgende Aussagen in der Sprache L wieder (angenommen, dass die Bedeutung
unserer prädikatenlogischen Prädikate jeweils den ähnlich lautenden deutschen Prädikaten
entspricht, und bei einem zweistelligen Prädikat das deutsche Subjekt immer das erste
Argument ist, und das Objekt das zweite). Sie dürfen die Sprache L nicht erweitern (d.h. keine
weiteren Prädikate oder Terme einführen). Achten Sie auf das Geschlecht der Substantive!
a) Andreas ist ein Mann.
b) Brigitte und Diana sind Frauen.
c) Brigitte ist eine Schülerin.
d) Andreas ist keine Schülerin.
e) Es gibt kluge Schüler.
f) Alle SchülerInnen sind klug.
g) Alle Schülerinnen mögen Emma.
h) Es gibt keine männlichen Lehrer.
i) Es gibt eine Schülerin, die der Andreas mag.
j) Es gibt keine Männer außer Andreas und Christian.
4. Berechnen Sie für alle 4 wohlgeformten Formeln in Aufgabe 1 an, was jeweils ihr
Wahrheitswert ist!
III. Übungen zu Prolog
5. Entscheiden Sie, ob die folgenden Ausdrücke Atome oder Variablen sind! Überprüfen Sie
anschließend Ihre Antwort in Prolog mithilfe von den eingebauten Prädikaten var und atom,
siehe Aufgabenblatt von letzter Woche.
andi
Andi
'Andi'
andi, chris
'Andi und Chris'
_emma
eMMa
_
':-'
_?6. Entscheiden Sie, ob die folgenden Ausdrücke Atome, Variablen oder komplexe Terme
sind! Bestimmen Sie die Funktoren der komplexen Terme und ihre Stelligkeit!
mag(andi)
Mag(Andi)
lEhrerin(emma)
(andi)mag(biggi)
lernt-von(andi, emma)
'hoert auf'
(andi, chris, emma)
hoert_auf(andi, biggi, dia, emma)
Schueler
7. Übersetzen Sie das auf der ersten Seite oben für Sprache L definierte Modell in eine
Prolog-Wissensbasis! Benutzen Sie dabei als Atome die Konstanten und Prädikatensymbole
der Sprache L (falls es aus der Sicht der Syntax von Prolog notwendig ist, modifizieren Sie
diese Symbole entsprechend)!
Sie sollten folgende Antworten auf Anfragen an diese Wissensbasis in Prolog bekommen:
-? schueler(biggi).
Yes
-? schueler(emma).
No.
-? mann(X), mag(X,emma).
No.
-? frau(X), schueler(X).
X = biggi ;
X = dia ;
No.
Formulieren Sie folgende weitere Anfragen!
a) Gibt es männliche Lehrer?
b) Gibt es eine kluge Person, die eine andere kluge Person mag?
c) Wer hört auf Emma?
d) Wer lernt von Brigitte?
e) Gibt es eine Person, die der Christian mag, und die von jemandem lernt?
Ergänzen Sie die Wissensbasis mit folgenden Regeln! Geben Sie für jede Regel an, welche
Fakten durch die Einführung der betreffenden Regel überflüssig werden (wenn überhaupt).
a) Alle Frauen sind klug.
b) Alle, die von einer Person lernen, hören auf diese Person.
c) Alle Schülerinnen mögen Emma.
d) Alle Frauen mögen sich selbst.
e) Alle Frauen mögen alle klugen Männer.
f) Man hört nur auf eine Person, die man mag.
g) Männer, die lernen, sind klug.
Falls Sie die Wissensbasis dementsprechend ergänzt haben, wie muss die Funktion F für
Sprache L wiederum modifiziert werden, so dass sie wieder dieselben Informationen über die
Welt enthält, wie die Wissensbasis? Falls sich dadurch einzelne Mengen ändern, die F den
verschiedenen Prädikatensymbolen zuordnet, geben Sie die neue Menge an, z.B.: was ist
F(klug)?
8. Denken Sie auf der Grundlage der gelösten Aufgaben darüber nach, in welcher Beziehung
die Sprache L und die Prolog-Syntax zueinander stehen. Gibt es bestimmte Elemente in L, die
Sie in Prolog nicht ausdrücken können? Wie wird in Prolog die Quantifikation (der
Allquantor und der Existenzquantor) ausgedrückt?