Übungsaufgaben Serie 05

Elementargeometrie
ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 05
AUFGABE 1:
Gegeben sind drei zueinander parallele Geraden 𝑎, 𝑏 und 𝑐 sowie ein Punkt 𝐴 auf 𝑎. Man konstruiere ein
̅̅̅̅̅̅ derart, dass 𝐵 zu 𝑏 und 𝐶 zu 𝑐 gehört.
gleichseitiges Dreieck 𝐴𝐵𝐶
LÖSUNG:
̅̅̅̅̅̅ gleichseitig sein soll, haben alle seine Innenwinkel die Größe 60°. Wir nehmen
Da das gesuchte Dreieck 𝐴𝐵𝐶
an, wir hätten das Dreieck schon konstruiert (Strategie des Rückwärtsarbeitens).
AB = 5,99 cm
BC = 5,99 cm
AC = 5,99 cm
c
C
a
A
b
B
Bei einer Drehung um 𝐴 mit dem Drehwinkel 60° würde der Punkt 𝐶 auf den Punkt 𝐵 abgebildet werden. Dreht
man die Gerade 𝑐 mit, so verläuft ihr Bild ebenso durch den Punkt 𝐵.
AB = 5,99 cm
BC = 5,99 cm
AC = 5,99 cm
c'
c
C
a
A
b
B
Diese Idee würde uns eigentlich schon die gewünschte Konstruktion determinieren. Wir können uns allerdings
auch noch überlegen, dass bei der Drehung um 𝐴 mit dem Drehwinkel -60° der Punkt 𝐵 auf den Punkt 𝐶
abgebildet werden würde. Das Bild von 𝑏 würde bei dieser Drehung ebenfalls durch den Punkt 𝐶 gehen
müssen.
Damit ergibt sich die folgende Konstruktion:
(1) Konstruiere das Bild von 𝑐 bei der Drehung um 𝐴 mit dem Drehwinkel 60°.
c'
c
a
A
b
(2) Du erhältst den Schnittpunkt 𝐵 von 𝑐′ mit 𝑏.
c'
c
a
A
b
B
(3) Konstruiere das Bild von 𝑐 bei der Drehung um 𝐴 mit dem Drehwinkel 300° (-60°).
c'
c
b'
a
A
b
B
(4) Du erhältst den Schnittpunkt 𝐶 von 𝑏′ mit 𝑐.
c'
c
b'
C
a
A
b
B
(5) ̅̅̅̅̅̅
𝐴𝐵𝐶 ist das gesuchte Dreieck.
c'
c
b'
C
a
A
b
B
Obige Skizze zeigt uns sofort, dass wir den bestimmten Artikel in Schritt (5) korrigieren müssen.
Eine weitere Lösung der Aufgabe:
c'
C'
c
b'
C
a
A
b
B'
B
AUFGABE 2:
Es sind zwei konzentrische Kreise 𝑘1 und 𝑘2 sowie eine Gerade 𝑔 gegeben. Man konstruiere ein gleichseitiges
Dreieck mit der vorgegebenen Seitenlänge 𝑎, von dem je eine Ecke auf 𝑘1 , 𝑘2 und 𝑔 liegt.
LÖSUNG:
a = 3,23 cm
a
M
k1
k2
g
Die Punkte 𝐴 und 𝐵 des gesuchten gleichseitigen Dreiecks ̅̅̅̅̅̅
𝐴𝐵𝐶 wollen wir auf 𝑘1 bzw. 𝑘2 legen. Wählen wir
etwa 𝐴 auf 𝑘1 beliebig, so ist 𝐵 auf 𝑘2 wegen der vorgegebenen Seitenlänge a von ̅̅̅̅̅̅
𝐴𝐵𝐶 nicht mehr beliebig
wählbar. Wir entscheiden uns für einen der beiden Punkte, in denen der Kreis um 𝐴 mit dem Radius 𝑎 den Kreis
𝑘2 schneidet. (Falls diese überhaupt existieren. Ansonsten wäre die Aufgabe nicht lösbar.)
a = 3,23 cm
a
A
M
k1
B
k2
g
Ein gleichseitiges Dreieck ist bis auf die Lage in der Ebene durch seine Seitenlänge 𝑎 eindeutig bestimmt:
a = 3,23 cm
a
C
A
M
k1
B
k2
g
Bei einer Drehung um 𝑀 bewegt sich der Punkt 𝐶 unseres bisher konstruierten Dreiecks auf einem Kreis um 𝑀
mit dem Radius |𝑀𝐶|.
a = 3,23 cm
a
C
A
M
k1
B
k2
g
Sollte dieser Kreis einen Schnittpunkt mit der Geraden 𝑔 haben, so ist unsere Aufgabe lösbar:
a = 3,23 cm
a
mCMC' = 106,94
C
A
M
k1
B
k2
g
A'
B'
C'
AUFGABE 3:
In der Vorlesung wurde die folgende Konstruktionsaufgabe erläutert:
Aufgabe 1: Billard
Die Kugel 𝐴 soll so gestoßen werden, dass sie nach der Reflektion an Bande 𝑎 auf die Kugel 𝐵 stößt. Konstruiere
den Weg von Kugel 𝐴.
L
B

D
a


A
Die Begründung der Konstruktion des Punktes 𝐿 war richtig, aber nicht besonders effizient. Geben Sie eine
einfachere Begründung für die Konstruktion an.
LÖSUNG:
Zur Lösung der Konstruktionsaufgabe genügt es, den Punkt 𝐴 an der Bande 𝑎 zu spiegeln. Der Schnittpunkt von
𝐵𝐴′ mit 𝑎 ist der gesuchte Punkt 𝐿, auf den 𝐴 treffen muss, damit 𝐴 so reflektiert wird, dass 𝐵 nach der
Reflektion getroffen wird.
Begründung:
A'
l
F
a
L
B
E
D
A
Zu zeigen: ∡𝐴𝐿𝐸 ≅ ∡𝐵𝐿𝐸.
genügt zu zeigen: ∡𝐴𝐿𝐷 ≅ ∡𝐵𝐿𝐹 (Lot 𝑙 steht senkrecht auf 𝑎.)
(1) ∡𝐴𝐿𝐷 ≅ ∡𝐷𝐿𝐴′ (Spiegelung)
(2) ∡𝐷𝐿𝐴′ ≅ ∡𝐵𝐿𝐹 (Scheitelwinkel)
(3) ∡𝐴𝐿𝐷 ≅ ∡𝐵𝐿𝐹 ((1), (2))
AUFGABE 4:
Noch einmal Billard:
Die Kugel 𝐴 soll jetzt erst alle vier Banden berühren und dann die Kugel 𝐵 treffen.
b
B
c
a
A
d
LÖSUNG:
Mehrfache Anwendung der Überlegungen aus Aufgabe 3.
(1)
(2)
(3)
(4)
Spiegeln von 𝐴 an 𝑎.
Spiegeln von 𝐴′ an 𝑏.
Spiegeln von 𝐴′′ an 𝑐.
Spiegeln von 𝐴′′′ an 𝑑.
A''
A'''
b
a
B
c
A'
A
d
A''''
(5)
(6)
(7)
(8)
Schnittpunkt 𝑆1 : 𝐴′′′′𝐵 ∩ 𝑑
Schnittpunkt 𝑆2 : 𝐴′′′𝑆1 ∩ 𝑐
Schnittpunkt 𝑆3 : 𝐴′′𝑆2 ∩ 𝑏
Schnittpunkt 𝑆4 : 𝐴′𝑆3 ∩ 𝑎
A''
A'''
b S3
a
B
c
A
S4
A'
S2
S1
d
A''''
AUFGABE 5:
Ein Klassiker, der in den verschiedensten Varianten in Mathematiklehrbüchern der Klasse 9 zu finden ist :
Angenommen eine Wasserlilie ragt genau 10 Zoll über die Oberfläche des Wassers hinaus und verschwände
darunter wenn man sie zur Seite ziehen würde 21 Zoll von ihrem ursprünglichen Standort entfernt, wie tief ist
dann das Wasser des Sees?
a) Lösen Sie diese Aufgabe mit der Satzgruppe des Pythagoras.
b) Lösen Sie diese Aufgabe ohne irgendeinen Satz aus Satzgruppe des Pythagoras.
LÖSUNG:
Löst man die Aufgabe mittels eines Satzes aus der Satzgruppe des Pythagoras, stellt man fest, dass letztlich ein
lineare Gleichung zu lösen ist. Das deutet darauf hin, dass irgendwelche quadratischen Zusammenhänge wie
etwa im Pythagoras nicht zwingend betrachtet werden müssen.
Wir modellieren die Lilie als Strecke ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 . Der Punkt, in dem diese Strecke die „Wasseroberfläche durchstößt“,
sei mit 𝐴 bezeichnet. Wir unterstellen, dass die Lilie in sich starr ist (Modellierung als Strecke), das „Ziehen“
wäre dann eine Drehung der Strecke ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 um den Punkt 𝑀. Bei dieser Drehung wird der Punkt 𝐶 auf den Punkt
𝐵 abgebildet. In unserem Modell wäre also 𝐵 der Punkt, in dem der Endpunkt 𝐶 der Lilie beim „Ziehen“ wieder
in die Wasseroberfläche eintaucht.
C
A
B
M
̅̅̅̅̅̅ ist rechtwinklig bei 𝐴. Gegeben sind ferner die beiden Katheten ̅̅̅̅
̅̅̅̅ . Wir können das
Das Dreieck 𝐴𝐵𝐶
𝐴𝐵 und 𝐴𝐶
̅̅̅̅̅̅ also eindeutig konstruieren. Wenn es und gelänge, 𝑀 zu konstruieren, könnten wir die Länge der
Dreieck 𝐴𝐵𝐶
̅̅̅̅̅
Strecke 𝑀𝐴 messen und damit die Seetiefe bestimmen.
C
A
B
̅̅̅̅ auf 𝐵 abgebildet werden. Der
𝐶 würde auch bei einer Spiegelung an der Mittelsenkrechten der Strecke 𝐶𝐵
gesuchte Punkt 𝑀 wäre ein Fixpunkt bei dieser Spiegelung, d.h. er müsste auf der Mittelsenkrechten von ̅̅̅̅
𝐶𝐵
liegen. Andererseits müsste M auch auf 𝐴𝐶 liegen, wodurch 𝑀 in letzter Konsequenz eindeutig bestimmt wäre.
Noch einmal die Argumentation in anderem Kontext: ̅̅̅̅
𝐶𝐵 ist Sehne des Kreises um 𝑀 mit dem Radius ̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 . Die
̅̅̅̅ muss also durch den Mittelpunkt 𝑀 gehen.
Mittelsenkrechte von 𝐶𝐵
C
M1
A
m
B
M
Zur Berechnung der Seetiefe legen wir jetzt unseren Betrachtungen ein geeignetes Koordinatensystem
zugrunde:
24
22
20
18
16
14
12
C
10
8
M1
6
4
m
2
A
-5
5
10
15
20
B
25
30
35
40
45
50
55
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
M
-18
-20
-22
-24
Wenn wir die 𝑦-Koordinate von 𝑀 berechnen könnten, hätten wir auch die Seetiefe bestimmt.
10
Wir bestimmen zunächst den Anstieg der Geraden 𝐵𝐶: − . Die Mittelsenkrechte 𝑚 steht senkrecht auf 𝐵𝐶.
21
Ihr Anstieg ist demnach das negative Reziproke des Anstiegs von 𝐵𝐶:
21
10
. Mit 𝑀1 kennen wir die Koordinaten
eines Punktes der Geraden 𝑚: (10,5|5). Die 𝑦-Koordinate 𝑡 (Seetiefe) des Schnittpunktes 𝑀 von 𝑚 mit der 𝑦Achse berechnet sich jetzt wie folgt:
5 = 2,1 ⋅ 10,5 + 𝑡
𝑡 = 5 − 2,1 ⋅ 10,5 = −17,05
AUFGABE 6:
Es sind zwei Kreise 𝑘1 und 𝑘2 gegeben sowie ein Punkt 𝑃. Man ermittle einen Punkt 𝐴 auf 𝑘1 und 𝐵 auf 𝑘2 so,
dass 𝑃 Mittelpunkt der Strecke ̅̅̅̅
𝐴𝐵 ist.
LÖSUNG:
Sollte es derartige Punkte 𝐴 und 𝐵 wirklich geben, müsste etwa 𝐵 bei einer Punktspiegelung an 𝑃 (Drehung um
𝑃 mit dem Drehwinkel 180°) auf 𝐴 abgebildet werden. Diese Überlegung führt auf folgende Konstruktion:
(1) Konstruktion einer beliebigen Geraden 𝑎 durch 𝑃:
P
k1
M2
k2
M1
a
(2) Konstruktion von 𝑏: Senkrechte zu 𝑎 in 𝑃
P
k1
b
M2
M1
a
(3) Spiegelung von 𝑘2 an 𝑏
k2
k'2
P
k1
b
M2
k2
M1
a
(4) Spiegelung von 𝑘2 ′ an 𝑎
k''2
k'2
P
k1
b
M2
M1
a
(5) Bestimmung der Schnittpunkte von 𝑘2 ′′ mit 𝑘1
k2
k''2
k'2
S2
S1
P
b
k1
M2
k2
M1
a
(6) Bestimmung der Urbilder dieser Schnittpunkte auf 𝑘2
k''2
k'2
S2
S1
P
S'2
S'1
k1
M2
M1
a
b
S''2
S''1
k2