BWB-2_2012-Loesungen Theorie

31. ÖSTERREICHISCHE PHYSIK-OLYMPIADE-2012
Bundeswettbewerb - 2. Teil
Eisenstadt, 29.Mai – 13.Juni 2012
Theoretische Aufgabe aus ELEKTRIZITÄT
Heimo HERGAN
BORG 8020 Graz Dreierschützengasse 15
Physik im Mikrowellenherd
Lösungsvorschläge
Die theoretische Aufgabe widmet sich diesmal einem sehr praktischen Thema – dem Zubereiten
von Speisen mit dem Mikrowellenherd. Dabei werden die Speisen mit Hilfe von Mikrowellen
erwärmt, die wiederum in einem Magnetron erzeugt werden. Dies ist eine spezielle
Elektronenröhre, die mittels der Kombination elektromagnetischer Felder Elektronen zu einer Art
Fächer formt, die ähnlich wie die Arme einer Galaxie im zylindrischen Raum zwischen Anode und
Kathode die Kathode umkreisen und dabei die in die Anode integrierten Hohlräume
(Schwingkreise) zu resonanten Schwingungen anregen. Diese Schwingungen werden dann
ausgekoppelt und über einen Hohlleiter in den eigentlichen Garraum weitergeleitet. Dort können
sich je nach Befüllung verschiedene stehende Wellen einstellen, die man durch verschiedene
Maßnahmen laufend zu wechseln versucht (Drehteller, rotierende „Deckenantenne, ...).
1. Das Magnetron
Die Abbildungen zeigen verschiedene Darstellungen des Magnetrons und die Wirkungsweise.
Aus der geheizten Kathode treten Elektronen aus und werden mit einer
Beschleunigungsspannung U a zur Anode hin beschleunigt. Da aber parallel zur Kathode (also
quer zur Bewegungsrichtung zur Anode) auch ein Magnetfeld B wirkt, werden die Elektronen
quer abgelenkt und beschreiben eine (zykloidenförmige) „Kreisbahn“ um die Kathode. Dabei
regen sie die als Hohlräume geformten Schwingkreise in der Anode an, die wiederum ihrerseits
die Dichte des Elektronenstroms modulieren. Damit stellt sich automatisch mit der
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gewünschten Frequenz f der mittlere Bahnradius ein. Die Stärke des Magnetfeldes ist damit
ebenfalls festgelegt.
a. Die Elektronen werden zur Anode hin beschleunigt und erhalten dadurch kinetische
Energie. Die Reonatoren schwingen in Takt und Gegentakt, jeder zweite Resonatorbügel ist
über Verbindungsringe mit den anderen verbunden. Deshalb laufen die Elektronen mit
n
einer um den Faktor verringerten Frequenz um die Kathode. Die nötige Zentripetalkraft
2
liefert die durch das senkrechte Magnetfeld verursachte Lorentzkraft.
𝑓0
𝑓𝑀 =
2∙𝑓0
=
𝑛
2
𝑛
𝑣
= 2∙𝜋∙𝑟
1
𝑒 ∙ 𝑈 = 2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑣2
4∙𝑟∙𝜋∙𝑓0
𝑛
𝑛
4∙𝜋∙𝑓0
2
1
2
⇒ 𝑣=
⇒
𝑚
𝑟
= 𝐵∙𝑒
(1)
𝑛
(2)
𝑚
𝑛
⇒
2∙𝑒∙𝑈
𝑟 = 4∙𝜋∙𝑓 ∙ √
aus (1) und (2) gibt
𝑚
𝑣2
4∙𝑟∙𝜋∙𝑓0
2∙𝑒∙𝑈
𝑣=√
2∙𝑒∙𝑈
=√
𝑒∙𝑣∙𝐵 =𝑚∙
1
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0
𝑒
𝑣 =𝑚∙𝐵∙𝑟
𝑣
(4) und
𝐵=
aus (3) und (5) gibt
4∙𝜋∙𝑓0 ∙𝑚
𝑛∙𝑒
𝑚
𝑟=𝐵∙
𝑚
𝑒
(3)
(5)
(6)
B ist also unabhängig von der Beschleunigungsspannung U.
𝑐
b. 0 = 𝑓0 = 12,24 𝑐𝑚, 𝐵 = 21,88𝑚𝑇, 𝑟 = 6,98 𝑚𝑚 , als knapp 14mm Durchmesser
0
zwischen der etwas kleineren Kathode und der etwas größeren Anode.
2. Gargut und Garraum
Im Garraum bilden sich dreidimensionale stehende Wellen aus, weil die Welle wegen u.a.
wegen des Skineffekts an den Wänden gut reflektiert wird.
a. Aluminium: Eindringtiefe 𝛿 = 0,67 𝜇𝑚
Wasser: Eindringtiefe 𝛿 = 18,14 𝑚𝑚
𝜀𝑟 = 80 + 𝑖 ∙ 10
ergibt
𝑑 = 17,42 𝑚𝑚 in guter Übereinstimmung mit oben
und 𝑘 = 57,41 𝑚−1 = 0,574 𝑐𝑚−1
(  2 berücksichtigt die Phasenverschiebung zwischen dem einstrahlenden Feld und den
Dipolen des Dielektrikums)
d  1m,   1m 1  0,01cm 1 für Wassereis bedeutet, dass Eis fast nicht absorbiert,
sondern die Mikrowellen fast ungehindert durchgehen, das Eis sich also kaum erwärmt.
Für Tafelspitz (gekochtes Rindfleisch) ergibt sich 𝑑 ≅ 1 𝑐𝑚 und 𝛼 = 𝑘 = 103 𝑚−1 =
1,03 𝑐𝑚−1 , Mikrowelle eignet sich also ganz gut zum Aufwärmen etwa 1cm dicker
Schnitten Tafelspitz.
𝑃
𝑃
b. 𝐼𝑎 = 𝑈𝜇𝑊 = 400 𝑚𝐴, 𝑃𝑁𝑒𝑡𝑧 = 𝜇𝑊
≥ 1000𝑊

𝑎
𝑃
c. 𝐸𝑒𝑓𝑓 = √2∙𝜋∙𝑓∙𝜀𝜇𝑊∙𝜀
0 2 ∙𝑉
𝐵=
𝐸
𝑐
= 5,11 𝜇𝑇
= 1532
𝑉
𝑚
und damit
𝐸∙𝐵
𝐼 = |𝑆⃗| = 𝜇 = 6230
0
𝑊
𝑚2
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2
2
1
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d. Aus dem unteren Diagramm kann man die Daten
ablesen und einsetzen. Die Eindringtiefe nimmt zu und
der Absorptionsgrad ab, was dazu führt, dass das
Wasser bei gleicher Energiezufuhr immer weniger
erwärmt, d.h. dass der Temperaturanstieg immer
langsamer erfolgt.
T(°C) eps1 eps2 d
0
82
20 0,0108
20
79
10 0,0212
40
73
5 0,0407
60
66 2,5 0,0774
80
58 1,25 0,1451
100
50 0,75 0,2245
k
92,7397
47,2421
24,5726
12,9214
6,8919
4,4537
e. 𝐸 = ℎ ∙ 𝑓 = 1,6 ∙ 10−34 𝐽 = 1 ∙ 10−5 𝑒𝑉 . Für eine Multiphotonenreaktion wären also pro
eV 1 ∙ 105 Photonen innerhalb kürzester Zeit nötig. Für eine H-Ionisierung sind das somit
rund 1,34 ∙ 106 und für eine Dissoziation mindestens 60000 Photonen.
f. Es sieht aus wie eine Resonanzkurve mit der Resonanzfrequenz 10GHz. Die zweite Kurve
könnte nach geeigneter Normierung ein Maß für die Phasenverschiebung zwischen
anregender Welle und angeregtem Oszillator sein.
(aus Physik in unserer Zeit 2004/1 und /2)