f(x) - Profesör Naci Yücefer

ABITUR
MATURA
ÜBUNGSBUCH
PROF. NACİ YÜCEFER
www.profnaci.com
BEISPIELSAMMLUNG
(Aus von mir veröffentlichten Zeitschriften)
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
FÜR EINE GRÜNDLICHE PRÜFUNGSVORBEREITUNG UND VERTIEFUNGSBEISPIELE
WIRD EINE PERSÖNLICHE ANMELDUNG
EMPFEHLENDSWERT.
EINZELLHEITEN KANN MAN AUS
www.profnaci.com
bzw. aus meinen FACEBOOKSEITEN
entnehmen.
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PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
MATHE-001
FRAGEN:
Gegeben ist: f(x) = (x-2).e-x
G=R
1- Untersuchen Sie die gegebene Funktion. Bestimmen Sie
Definitions- und Wertemenge, Schnitte mit Koordinatenachsen,
Extrema, Wendepunkte, Grenzverhalten für x→±∞
2- Flaeche zwischen Wendetangente und Koordinatenachsen.
3- Maximale positive Flaeche zwischen Funktion und x-Achse
4- Drücken Sie die Funktion mit Polarkoordinaten (r,φ) aus!
Beurteilen Sie, ob diese Art für Untersuchung besser waere,
indem Sie auf diese Art die “Nullstelle” N(x,y) bestimmen!
LÖSUNGEN:
f(x)= (x-2).e-x
G=R
1.1 Definitionsmenge:
D=R
Weil sowohl (x-2), als auch die Exponentialfunktion, somit
auch ihr Produkt in R definiert sind.
1.2 Symmetrie (Bezüglich y-Achse,bzw. Koordinatenursprung)
f(-x)= (-x-2).ex
≠
f(x) bzw. –f(x)
Also weder achsensymmetrisch um y-Achse, noch punktsymmetrisch um Koordinatenursprung.
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1.3 Schnitt mit x-Achse (Nullstellen) N(xNI0)
Die Funktion besteht aus Produkt zweier Funktionen.
Darum für beide Anteile Nullstellen zu untersuchen:
1.4
Fall-1:
x-2=0
x=2 Somit: N(2│0)
Fall-2:
e-x=0
Ergibt keine weitere Nullstelle.
Schnitt mit y-Achse
P(0│yp)
Also nun f(0) zu finden:
f(0)= (0-2).e-0= -2 Somit:
P(0│-2)
Dieser Punkt ist besonders wichtig. Er gibt Aufschluss über
Funktionsverlauf im Koordinatensystem und dient noch zur
Kontrolle!
1.5.Lokale Extrema:
Sie sind Stellen ,wo die Funktionswerte “lokale” Maximal
bzw. Minimalwerte bekommen. Dort angelegte Tangenten sind
waagrecht. Also die Steigung, mit anderen Worten;die erste
Ableitung der Funktion muss gleich Null sein! Das nennt man
“notwendige Bedingung” . Denn, es gibt auch eventuell Wendepunkte mit waagrechten Tangenten. Solche Wendepunkte
nennt man “Sattelpunkte” (Vergleiche Profile von Pferden,die
Sattel tragen!!!) Für Hochpunkte genügt es, wenn noch die
zweite Ableitung negativ ist, und für Tiefpunkte diese positiv ist.
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Abb.1:
HP(Hochpunkt)
HP
WP
SP (Sattelpunkt)
WP (Wendepunkt)
TP (Tiefpunkt)
HP
f ‘= 0 und f ‘’ < 0
TP
f ‘ = 0 und f ‘’> 0
WP f ‘’= 0 und f ‘’’≠ 0
Speziell ein WP mit f ‘ = 0 nennt man Sattelpunkt.
HP, TP und SP haben also waagrechte Tangenten. Solche
Tangenten ( y=m.x+c) haben die Steigung m=0. Die erste ,
Ableitung f ‘ ist ja die Steigung m (m=tan α α ist Steigungswinkel zwischen x-Achse und Tangente.)
Bilden wir nun die ersten drei Ableitungen, die wir sowieso
brauchen:
Zur Bestimmung dieser Ableitungen ist PRODUKTREGEL
für Ableitungen nötig: Wenn, wie hier in unserem Bsp. f(x)=
u(x).v(x) ist, gilt für ihre Ableitung f’=u’.v+u.v’. Wenn für u= (x-2)
angenommen wird, so ist u’=1. Für die berühmte Exponentialfunktion ex sind alle Ableitungen gleich ex. Hier haben wir
aber e-x. Somit für v=e-x gilt:
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v’=-e-x
v’’= -(-e-x)= e-x usw.
(Kettenregel!)
Somit:
f’(x) = 1.e-x + (x-2).(-e-x) = (-x+3).e-x
Weiterhin mit Produktregel aus f’(x) erhaelt man die zweite
Ableitung:
f’’(x) =(-1).e-x + (-x+3).(-e-x) =(x-4).e-x
Genau so aus f’’(x) die dritte Ableitung f’’’(x):
f’’’(x) =1.e-x + (x-4).(-e-x) = (-x+5).e-x
Für Extremum nun:
f’(x) = 0
(-x+3).e-x = 0
Dİe Lösung ergibt nur
x=3 Ob das “wirklich” ein Extremum
ist, muss man (formal) mit x=3 die zweite Ableitung untersuchen:
f’’(x=3) = f’’(3) = (-3-4).e-3 ist sicher negativ.
f’’(3)< 0 Also für x=3 haben wir einen HOCHPUNKT.
y-Wert des Hochpunktes ist selbstverstaendlich aus Funktion
zu finden:
f(3) = (3-2).e-3 =1/e3
0,05
Somit erhaelt man den Hochpunkt: H(3│0.05)
Für grobe Abschaetzungen kann man e 3 annehmen!!
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1.6.Wendepunkt:
Für Wendepunkt ist f’’(x) = 0 Allerdigs müsste f’’’ 0
sein!
f’’ (x) = (x-4).e-x = 0 liefert x = 4
f’’’(4) =(-4+5).e-4 ist sicher ungleich Null
Die Ordinate y = f(4) = (4-2).e-4
0.04
Somit ist der Wendepunkt W(4 0.04)
1.7.Grenzverhalten im Unendlichen:
Hier unterscheidet man zwei Faelle: x→+∞ bzw. x→-∞
Solche Operationen macht man üblicherweise mit LIMESZeichen:
Fall-1 lim f(x)= lim(x-2).e-x =
x→∞
x→∞
.e-∞ =
ist eine unbestimmte
Form, so wie ∞ -∞, ∞/∞ Diese Formen können je nach
Angabe alle Werte einnehmen! Zur Bestimmung des
Grenzwertes wird die Regel von HOSPITAL gebraucht:
lim[u(x)/v(x)] = lim[u’(x)/v’(x)] = lim[u’’(x)/v’’(x)] usw.Bitte
die Regel NICHT mit Quotientenregel für Ableitungen zu
verwechseln!!! Also wir bringen die Funktion zuerst in Bruchform!!:
f(x)= (x-2)/ex
Somit entsteht die unbestimmte Form ∞/∞
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Nun mit HOSPITAL:
Limx→∞[(x-2)/ex] =limx→∞[1/ex] =1/e∞ =1/∞ = 0 =y=f(∞)
Schon die erste Ableitung hat zum Ziel geführt. Deutung:
Wenn also x immer grösser wird, so wird der Funktionswert
immer kleiner. Mit anderen Worten: Die Funktion schmiegt sich
für grössere x-Werte immer mehr an die x-Achse. Man sagt:
“Die x-Achse ist in diesem Fall die “waagrechte Asymptote”.”
Abb.2:
f(x)
x-Achse
Der andere Grenzwert:
lim (x-2).e-x = (-∞-2).e-(-∞) = (-∞).(∞) = -∞
x→-∞
Die Funktion “divergiert” ins “Minusunendlich”. Somit hat man
für solche Funktionen genügende Anhaltspunkte zur
Darstellung. Eine masstaebliche Zeichnung waere nicht
sinnvoll, weil die Funktionswerte für HP und WP sehr klein
sind. Unten werden diese grob verzerrt gezeichnet:
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1.8. Funktionsbild:
y
HP (3│0,05)
N(2I0)
P(0I-2)
WP (4│0,04)
2.Wendetangente:
Sie ist die Tangente im WP(4│0,04). Zur Bestimmung
dieser linearen Funktion nehmen wir besser :
y=m.x+c
(bzw. y=k.x+d)
Die beiden Parameter sind die Steigung m und c. Wie gesagt ist
m dortige erste Ableitung. Also:
m=f ‘(4) =(-4+3).e-4=-1/e4=-0.02
Somit: y=-0.02.x+c
Nun setzen wir WP ein,weil ja WP ein Element der Wendetangente ist:
0.04 =-0.02.4 + c Daraus: c = 0.12
Somit die Wendetangente :
y = - 0.02.x + 0.12
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Die gesuchte Dreiecksflaeche ist entsteht zwischen Koordinatenachsen, Nullstelle der Tangente und Schnitt mit y-Achse der
Tangente (c=0.12)
Nullstelle: 0= - 0.02.x + 0.12
Gesuchte Flaeche:
Abb.3
y
Also x=6
A=(1/2).6.0.12 = 0.36 Flaecheneinheiten!
A
(0│0,12)
x
(6│0)
Wendetangente
3. Flaeche zwischen Funktion und x-Achse:
Bekanntlich werden solche Flaechen mit bestimmten
Integralen gefunden:
A=
=∫(x-2).eˉxdx =
Aus Funktion ist ersichtlich, das die Flaeche grösser wird,wenn
b grösser wird. Mit einer Limesoperation werden wir sehen,wie
gross die gesuchte Flaeche wird!
Für Lösung solcher Integrale mit Exponentialfunktionen ist
“Partielle Integrationsmethode” anzuwenden:
Man muss für die Lösung u’ und v geschickt waehlen:
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u’ = e-x
Somit: u =
und v = x-2.
-x
.dx = - e-x
und v’ = 1
Mit diesen Nebenrechnungen erhaelt man:
∫(x-2).e-x.dx = - e-x.(x-2) -∫1.(-e-x = -e-x.(x-2) – e-x=
x=b
= [(-x+1).e-x]│ = (-b+1).e-b – (-2+1).e-2
x=2
Aus Funktionsbild sieht man,dass die gesuchte
Flaeche mit wachsendem b grösser wird. Im Grenzfall
mit b→∞ erhaelt man Amax
lim (-b+1)/eb = - ∞/∞ liefert mit HOSPITAL = lim-1/eb = 0
b→∞
( Beachte immer!!
b→∞
e∞ = ∞ und e-∞ =0)
Somit ist die maximale Flaeche mit Hilfe des sogenannten
“Uneigentlichen Integrals” gefunden: Amax =e-2
Flaecheneinheiten.
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PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
4.Polarkoordinatenform der Funktion:
Abb.4
P(xIy) bzw. P(r,φ)
r
φ
x=r.cosφ
y=r.sinφ
Somit die Polarform: r.sinφ = (r.cosφ -2).e-r.cosφ Schon jetzt
sieht man, dass die Bestimmung einer expliziten Form
“hoffnungslos” waere!
Nullstellenbestimmung:
Fall1: φ=0 Damit: 0=(r.cos0-2).e-r.1 liefert r=2, also x=2
Fall2:
φ=1800 liefert dasselbe!!
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CHEMIE-001
FRAGEN:
1-Gegeben ist eine CxHy-Verbindung. Die Analyse ergab, dass
82.7% (Massenprozent) davon Kohlenstoff ist. Geben Sie ihre
Summen-,und alle möglichen Strukturformel!.Benennen Sie
diese! Enthalten diese auch π-Bindungen? (C=12, H=1)
2- Schreiben Sie die Reaktionsgleichung für Verbrennung !
3- Bestimmen Sie, wieviel Liter Kohlendioxidgas waehrend der
Verbrennung bei 1500C und 1.5 bar aus 290 g C-H-Verbindung entsteht, wobei Sie die allgemeine Gasgleichung V.p
= n.R.T anwenden!
4- Bestimmen Sie die Reaktionsenthalpie dieser Reaktion bei
Standartbedingungen unter der Annahme das bei Verbrennung
Wasser( ) entsteht!
5- Welche Reaktionsart kommt prinzipiell zwischen dieser Verbindung und Br2 im Frage? Begründung!
6- Bestimmen Sie die Dichte dieser Verbindung auf möglichst
einfache Weise bei NB.!
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CHEMIE-001
LÖSUNGEN:
1- x und y sind sowohl Atomanzahle im Molekül bzw verbundene Molanzahle. Z.B Bei C3H8 sind in einem Propanmolekül 3
C-Atome und 8 H-Atome gebunden. Genau so kann man
sagen, dass in einem Mol C3H8 3 Mol C und 8 Mol H
vorhanden sind, weil ein Mol immer gleich viele “Teilchen”
enthaelt. (AVOGADROZAHL: 6.1023 Teilchen.)
Zur Bestimmung von x und y, also von Molanzahlen nehme
man am Besten 100g CxHy , weil prozentule Mengen gegeben
sind. In 100 g hat man also 82,7g C und Rest 17,3g H.
Molanzahl n kann man leicht mit der Formel
n=m/M finden.
m=Masse M= Molmasse
Somit: nC= 87,2/ 12 = 6,89 Mol
nH =17,3/1 = 17,3 Mol Also:
C : H = 6,89 :17,3
Allerdigs sind die Anzahl der Atome
ganzzahlig! Dafür zuerst durch 6.89 dividiert ergibt:
C : H = 1: 2.5 = 2:5
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Gİbt es aber eine Verbindung wie C2H5 ? NEIN! Wohl aber mit
doppelten Zahlen: C4H10 (C3H15 usw. gibt es auch nicht!!)
Gesuchte Verbindung ist also ein berühmtes
ALKAN, naemlich BUTAN! Strukturen:
1- Butan:
2-
2-Methylpropan (Methylpropan):
Keine π-Bindungen bei Einfachbindungen!
2. Aus Verbrennung entstehen Kohlendioxid und
Wasser(dampf):
C4H10 (g) + 6,5O2(g) → 4CO2(g) + 5H2O(l)
1Mol
6.5Mol
4Mol
5Mol
bzw doppelt zu nehmen, weil es Moleküle bzw.
Atome nur ganzzahlig sein können!! Im Molbereich
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aber keine Affaere!!!
3. Man hat m= 290 g Butan. M(C4H10) = 4.12 +10.1=
58g/Mol. Somit die Molanzahl n
n=m/M = 290/58 =5Mol Butan
Temperatur T =150 + 273 =423 K (Vorsicht KELVIN nötig!!)
Druck p =1,5 bar = 1,5.105 Pa
(Vorsicht Pa nötig!!)
Somit
V=n.R.T/p (R=Gaskonstante= (8,314J/Mol.K)
V = 5.8,314.423/1,5.105 = 11723.10-5 m3=117,23
4. Zur Bestimmung der Reaktionsenthalpie sind die nötigen
Tabellenwerte (molare Stdbild.enthalpien)
ΔfHm0: Butan -125kJ/Mol
Sauerstoffgas 0
Kohlendioxidgas -393 kJ/Mol
Wasser ( )
ΔR H =
-286 kJ/Mol
∑∆Hf (Produkte) -∑∆Hf(Edukte)
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Also unter Beachtung der Molanzahle der beteiligten
Stoffe
(Siehe Reaktionsgleichung!)
ΔRH =[4.(-393) +5.(-286)] -[(-125) +6,5.0] = -2877kJ (bzw.
kJ/Mol, weil Butan ein Mol genommen!!)
4-Butan ist ein Alkan. Alkane sind gesaettigte Verbindungen.
Eine Additionsreaktion ist unmöglich, wie aus Strukturen
leicht einzusehen ist. Um Br-Atome an C-Atome binden zu
können, müssen die H-Atome ihre “Plaetze” “freimachen”!
Solche Reak-tionen nennt man SUBSTITUTIONSReaktionen. Also, “eine” Gesamtreaktion würde lauten:
C4H10 + Br2 → C4H9Br + HBr
Allerdings laufen diese und möglicherweise fortlaufende weitere Substitutionen, durch Bildung von “Radikalen”, wobei die
Startreaktion die “homolytische” Spaltung von Br2 unter
Energiezufuhr erfolgt:
Br-Br →2 Br•
C4H10 + Br
C4H9• (Butylradikal) +HBr
C4H9• +Br-Br → C4H9Br + Br• usw.
6- Dichte
m/V bzw.
M/VMol (Molmasse/Molvolumen)
M= 58 g/Mol Molvolumen ist bekanntlich bei Normalbedingungen (1,013 bar und 0oC=273K) 22,4 Liter. Somit:
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58/22.4=2,59g/
Butangas ist also dichter als Luft, kann sich am Boden sammeln! Also Vorsicht beim entlüften!
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PHYSIK-001
Abb-1:
Ca2+
v0
O
FRAGEN:
X X X X X X X X X X X B
X X X X X X X X X X X ------ d
X X X X X X X X X X X
Kondensatorplatten, oben an + unten an - Pol angeschlossen.
Magn.Flussdichte=75.10-4T. Magnetfeld ist nach rechts und
oben beliebig ausgedehnt. Die Kondensatorplatten sind
parallel zu Magnetfeldlinien.Ca2+-Ion dringt mit v0 achsial, wie
gezeigt , in das Kondensatorfeld ein.
Ablenkspannung : UA=9V
mCa2+ =6,6.10-26kg
qCa2+=3,2.10-19C
Plattenabstand d=5cm.
1- Bestimme v0 damit das Ion achsial weiterlaeuft!
(Die Einflüsse der Erde zu vernachlaessigen!)
2- Wie gross muss die Beschleunigungsspannung UB eines
Teilchenbeschleunigers sein, um diese v0 aus dem
Ruhezustand zu erreichen?
3- Angenommen , dass die Kondensatorplatten zugleich
parallel zur Erde sind, und die Erde unterhalb der Minusplatte ist! Bestimmen Sie nun theoretisch v0 für achsiale
Bewegung wie in Frage-1,ohne zahlenmaesig zu rechnen!
4- Magnetfeld sei nun entfernt. Wie lang können die Kondensatorplatten maximal sein, damit das Ion austreten
kann? (Ohne Erdeinfluss!)
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5- Nun sei das Kondensator entfernt. Und das Ion dringt
direkt senkrecht zu Magnetfeldlinien in das Magnetfeld
ein. Wie ist nun die Laufbahn des Ions? In welchem
Abstand tritt es aus? Welche Richtung hat es?(keine Erde)
PHYSIK-001
LÖSUNGEN:
1- Weil beide Felder existieren,wirken auf das Ion zwei
Kraefte:
Coulombkraft nach unten: Fc= E.q E= U/d Fc
=U.q/d
Lorentzkraft nach oben: FL = B.q.v0
Wenn beide Kraefte sich gegenseitig aufheben,
bewegt sich das Ion hier geradlinig, achsial weiter,
Also:
Fc = FL
U.q/d = B.q.v0
Somit: v0 =U/d.B = 9/0,05.75.10-4 =24000m/s
2- Beim Durchlaufen der Beschleunigungsspannung
erhaltene Energie wird in kinetische Energie überführt: (Ion am Beginn in Ruhe angenommen!!)
Wel = Ekin
UB.q = m.v02/2 Somit:
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3-
UB= m.v02/2.q = 6,66.10-26.240002/2.3,3.10-19
=58,2 V
FL
FL = Fc + FG
B.q.v0 = U.q/d + m.g
v0 = ( U.q/d + m.g)/ B.q
Fc FG Allerdings: FG
FC FG
fast wirkungslos.
4- Im Kondensatorfeld wird das Ion wie in BRAUNRÖHRE durch FC ,hier nach unten abgelenkt:
Feldstaerke: E =UA/d = 9V/0.05m=180 V/m (N/C)
Coulombkraft:Fc=E.q=180.3,2.10-19 =576.10-19N
nach unten gerichtet.
Durch diese Kraft wirkt auf die Masse des Ions eine
Beschleunigung:
Fc =m.a a=Fc/m = 576.10-19/(6,6.10-26=
86,41.107 m/s2
Die Zeit, um für die halbe Distanzbreite von der
Achse bis zur unteren Platte kann man mit Hilfe der
Wegformel für beschleunigte Bewegung:
s = a.t2/2 errechnen: s=d/2=0,025m
7
t=
=
=76.10-7s
In dieser Zeit legt das Ion zugleich einen waagrechten Weg (wie beim waagrechten Wurf!)
sx = vx.t = v0.t =24000. 76.10-7 =1824.10-4m
=0,18m = 18cm.
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5. İn diesem Fall entsteht eine Kreisbahn,weil die
Lorentzkraft die Rolle einer Zentripetalkraft spielt:
Abb-2:
X X X X X X X B-Feld
v0← •X X X X X X X
X X X X X X X FL =m.v2/r r =m.v02/FL
X X X X X X X FL ist ja bereits bekannt,
X X X X X X X weil sie gleich der FC
v0•→ X X X X X X X
ist! Somit:
r = 6,66.10-26.240002/576.10-19 =6,66.10-1 =0.67m
Es kommt nun nach einer Halbkreisbahn parallel
İm Abstand von 2.r =1,34m heraus.
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MATHEMATIK-002
FRAGEN:
Gegeben ist die Funktion: f(x) =x/lnx
1- Bestimme die Definitionsmenge!
2- Bestimme die ersten zwei Ableitungen der Funktion!
3- Untersuche Extrema bzw. Wendepunkt!
4- Bestimme Asymptote und untersuche Grenzverhalten in
der Umgebung der Asymptote im Unendlichen, sowie an
der Grenze der Definitionsmenge!
5- Skizziere die Funktion!
6- Ermittle die Flaeche zwischen x-Achse, Wendetangente
und Wendenormale!
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MATHEMATIK-002: LÖSUNGEN
f(x)=x/lnx
1- Definitionsmenge:
1) x>0 wegen lnx-Funktion
2) Nenner darf nicht Null sein: x≠1
Also D =R+│x≠1
2- Ableitungen:
f ′ = (nach Quotientenregel)= (1.lnx-x.1/x)/(lnx)2 =
(lnx-1)/(lnx)2
Mit Quotientenregel erhaeltman die 2. Ableitung:
f′′ = (2-lnx)/x.(lnx)2
Hier auf dritte Ableitung verzichtet!
3.1- Lokale Extrema:
1. Ableitung muss Null sein. (Notwendig, aber nicht
hinreichend!)
Also: lnx -1 = 0 Somit: x = e (EULER-Zahl)
f(e) =e Nun muss man aus zweiter Ableitung
ersehen,ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt bzw. Sattelpunkt
vorliegt: f′′(e) = 1/e> 0. Also Tiefpunkt T(e│e)
3.2- Wendepunkt:
Die zweite Ableitung muss Null sein:
Also (Zaehler) 2-lnx =0 Somit x = e2
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mit f′′′≠0 es garantieren!
4.1- Lotrechte Asymptote:
Nullstelle des Nenners ist die lotr. Asymptote: x=1
4.2- Grenzverhalten bei x =1: Man untersuche rechtsseitige und
linksseitige Grenzverhalten für x→1+ bzw. x→1Untersuchen wir eines davon ausführlich: Substitution für
rechtsseitiges Grenzverhalten mit x= 1+1/n, wobei mit grösser
werdendem n, also für n→∞ x von rechts nach “1” strebt:
limn—>∞(x/lnx) = limn—>∞(1+1/n) / ln(1+1/n) = 1/ 0+ =+∞ Genauso
liefert linksseitiges Grenzverhaltenuntersuchung mit x =1-1/n
als Ergebnis -∞
4.3- Verhalten an der linken Grenze der Definitionsmenge:
limx→0+(x/lnx) = 0/-∞ =0
4.4- Verhalten bei +∞
limx→∞(x/lnx) = ∞/∞ mit HOSPITAL = limx→∞(1/(1/x))=+∞
5- Funktionsbild: (unmaszstaeblich!)
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Abb.1-
Lotrechte Asymptote
y
WP
TP
O
(1I0)
x
e
e2
6.1-Wendetangente:
y=mx+c m=f’(xW) =f’(e2) =(lne2-1)/(lne2)2 = ¼
Nun WP in WT. Einsetzen,um c zu finden:
e2/2 =(1/4) .e2 +c Daraus: c=e2/4 Somit die
Wendetangente: y =(x + e2)/4 Nullstelle mit y=0 x=-e2
6.2- Wendenormale:
Wegen Normalitaet ist mN =-1/mT =-4 und mit WP
in
y =mN.x + cN
e2/2 =-4.e2+cN Daraus: cN =9e2/2
Somit die Wendenormale: y =-4.x + 9e2/2
Deren Nullstelle mit y=0 x =9e2/8
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6.3 Gesuchte Flaeche:
Abb.2-(Skizze!)
y
WP
e2/2
-e2
9e2/8
x
Somit A als Dreieck: Grundlinie L= e2 +9e2/8 =17e2/8
Höhe H= e2/2 AΔ=0,5.(17e2/8).e2/2=17e3/32 FE
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GEOMETRIE-002
FRAGEN:
Gegeben ist eine Gerade durch A(4|2|3) und B(8|6|5) und ein
Punkt P(10|0|4), dessen Abstand von dieser Raumgerade
bestimmt werden soll. Der Fusspunkt des Lotes von P auf
diese Gerade F(x1│y1│z1) soll auch angegeben werden.
Mache zuerst eine Hilfsskizze mit nötigen Beschriftungen!
1- Bestimme ZUERST Fusspunkt unter Zuhilfenahme einer
Ebene durch P (Deutung?) und dann den Abstand!
2- Bestimme den gesuchten Abstand unter Forderung,
dass der Abstand eines gewaehlten Punktes F(x|y|z) auf
g MINIMUM sei soll!
3- Bestimme ZUERST DEN ABSTAND, wobei Vektor AP,
Winkel zwischen AP und der Gerade gebraucht wird und
dann durch Streckenauftragung den Fusspunkt!
(Garantiere durch eine passende Kontrolle von Fusspunkt
die “Ortogonalitaet!)
4- AP und der Richtungsvektor u der Gerade spannen
ein Parallelogram. Berechne seine Flaeche mit Hilfe des
vektoriellen Produktes! Und damit den gesuchten
Abstand!
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GEOMETRIE -002
LÖSUNGEN:
Abb.1-
Man kann Richtungsvektor halbieren!
1- Wenn man nun durch P eine Ebene bildet,deren Normalvektor Richtungsvektor der Gerade (A;B) ist,und diese
Ebene mit g(A;B) zum Schnitt bringt erhaelt man den
Fusspunkt:
Ebene in Normalform: n.x  n.p
 2   x   2 10 
 2  . y    2  0 
      
1   z  1  4 
      
34
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Also: 2x+2y+z =24
Nun zum Schnitt mit Raumgerade die Komponenten in die
Ebene einzusetzen, um Parameter t des Fusspunktes zu
finden:
x = 4+2t y =2+2t z =3+t
2(4+2t)+2(2+2t)+(3+t) = 24 Daraus t = 1
Somit:
x1= 4+2.1=6
y1=2+2.1=4
z1=3+1=4
Also Fusspunkt: F(6|4|4)
Kontrolle: F liegt in der Ebene: 2.6+2.4+4 =24 w.A,
Nun ist der gesuchte Distanz Betrag des Vektors
 6  10   4 
PF   4  0    4 
4  4  0 

  
d  16  16  0  32
2- Abstand d eines beliebigen Punktes F(x,y,z) auf g von P
muss Minimum sein. Somit auch d2
d2 = (x-10)2 + (y-0)2 + (z-4)2 x.y.z mit Parametern:
d2 = (4+2t-10)2 + (2+2t)2 + (3+t-4)2
35
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
bekommt man :
(d2)' = 0 =18t-18 also t= 1 wieder F(6,4,4)
Beachte dass die 2. Ableitung = 18 positiv ist!
3-Mit Hilfe von Vektor AP und Richtungsvektor u bestimme
man den Winkel
Abb.2-
Mit Skalarprodukt der Vektoren
AP und u :
 6  2 
 2  2 
  
1  12  4  1
AP. u
AP.u 1 
3

= cos  
cos  



AP u
AP.u
41.3
3. 41
41
sin   1 
9
32

41
41
36
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Somit:
d= AP.sinα =√41.√32/√41=√32
Nun folgt die Bestimmung von Fusspunkt F durch
Streckenauftragung aus A mit:
 2
 2
 
 2


1
u
AF  u 0 .AF  .AF    .3 =  2  Dabei:
 
3
u
1 
 
3
AF  AP.cos   41.
 3 Somit:
41
 4  2 6
OF  OA  AF   2    2    4  Also F(6,4,4) Kontrolle
 3  1   4 
     
 2  4 
 2  4   0
AF.PF  0
  
1  0 
  
4-Mit Hilfe von vektoriellem Produkt der Vektoren AP und u
erhaelt man die Flaeche des von diesen Vektoren gespannten
37
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Parallelogrammes, dessen Basishöhe der gesuchte Abstand ist.
Bekanntlich kann man diese Flaeche mit vektoriellem Produkt
der Basisvektoren AP und u bestimmen:
Abb.3-
 6   2   4 
A pa  AP  u   2    2    4   288
1  1  16 
     
Apa = GrundliniexHöhe = |u|.d
288  3.d
Und daraus wieder: d= 32
38
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
CHEMIE-002: FRAGEN:
1- Schreiben Sie die Protolyse von Essigsaeure in Wasser!
Benennen Sie alle Komponenten nach BRÖNSTED!
2- Es werden 900mg Essigsaeure in 400ml Wasser gelöst.
Wie gross ist die Anfangskonzentration?
3- pKs von Essigsaeure betraegt 4,75. Bestimme
pH-Wert auf zwei Arten unter der Annahme, dass die
Saeure schwach ist! Einmal direkt aus pKs und zum
zweiten Mal aus Ks!
4-Bestimme pH unter Annahme, dass die Saeure mittelstark ist!
5-Wieviel Liter Wasser ist nötig, damit pH-Wert um
0,5 erhöht wird?
6- Wieviel Liter Wasser würde man für 144 mg HCl
benötigen, um gleichen pH-Wert aus Frage-3 zu
erreichen? Dissotiationsgrad von HCl=100%
7- Wieviel Liter NaOH, deren pH 8 ist wird benötigt,
um aus Ergebnis von Frage 6 für HCl, nach Titration eine neutrale Lösung zu erhalten? (Diss.grad für
NaOH ist 100%)
39
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
8- Was wird aus Essigsaeure und Ethylalkohol gebildet? Reaktionsgleichung und Benennung!
9- Was ist der Grenzwert von pH, wenn man in diese
Essigsaeure beliebig viel Wasser mischen darf?
CHEMIE-002
LÖSUNGEN:
1. CH3COOH +H2O → CH3COOaq─ + H3Oaq+
Saeure
2.
Base
m = 900mg = 0,9g
kor. Base
kor. Saeure
V=400ml = 0,4l
Molmasse M= 12+3.1+12+2.16+1=60g/Mol
Molanzahl n =m/M = 0.9/60 = 0,015 Mol
Molare Anfangskonzentration co= n/V = 0,015/0,4 =0,04Mol/l
3.
Für schwache Saeuren gilt:
pH = (pKs-logco)/2 = (4,75 – log 0,04)/2 = 3,1
Man kann auch aus Ks errechnen:
Ks = 10-4,75 = 1,778.10-5 Mol/l
pKs = 4,75
Also:
Ks = x2/co
Hier x=c(H3O+), also
40
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Oxoniumionenkonzentration. Somit:
x =√(0,04.1,778.10-5) =8,43.10-4 Mol/l pH = -log x=3,1
4. Nun müsste man die exakte Formel anwenden:
Ks = x2/(co-x)
1,778.10-5.(0,04-x) = x2
x2 + 1,778.10-5.x – 7,1.10-7 = 0 liefert als positive
Lösung: fast den gleichen x-Wert, somit gleichen pH-Wert.
5.
pH (alt) = 3,1 pH(neu) = 3,6
pH = (pKs- logco)/2
3,6.2 = 4,75 –logco
Und daraus logco = -2,75 Somit co(neu) =3,55.10-3Mol/l
Co(neu) = n/V(neu)
V(neu) =n/co(neu) = 0,015/3,55.10-3
= 4,23l . Differenzvolumen 4,23-0,4 =3,83 l neu hinzufügen.
6- HCl aq ist sehr stark. Also “alle” HCl dissoziieren zu H3O+
pH= 3,1 m = 144mg =0,144g M(HCl) = 1+35 =36 g/Mol
n=m/M = 0,144/36 = 0,004 Mol.
Nun aus pH = 3,1 erhaelt man x = c(H3O+) =10-3,1Mol/l
co = x weil alle diss. Somit: V = n/co = 0,004/10-3,1= 5,03l
7- HClaq + NaOHaq → Na+aq + Claq
Aus Frage-6 V(HCl) =5,03l
pH = 3,1 n(HCl) =0,004 Mol
41
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Für vollstaendige Neutralisation ist gleiche Molanzahl nötig.
Somit: n(NaOH) = 0,004 Mol
pH(NaOH) =8 (Angabe) d.h. pOH = 6 also co(NaOH) =
c(OH‾) = 10-6 Mol/l Und damit: V = 0,004/10-6 = 4000l
8- CH3COOH + C2H5OH → CH3COOC2H5 +H2O
Essigsaeure
Ethanol
Essigs.ethylester Wasser
9- Je mehr Wasser gemischt wird, desto neutraler wird die
Lösung. Als Grenze gilt pH =7
42
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
PHYSIK-002
FRAGEN:
MAGNETFELD
Abb.1LEITER
B =0,8T
X X X X X X X X XX
b=50cm
X X X X X X X X XX
X X X X X X X X XX
v=12m/s X X X X X X X X X X
L = 60 cm
X X X X X X X X XX
Magnetfeldanfang
Die Analyse beginnt zur Zeit t=0 bei M.feldanfang!
1-Wie lange dauert das Eindringen der Schleife ins
Magnetfeld? 2-Gib den magnetischen Fluss als
Funktion der Zeit graphisch an! 3-Welche Spannung
wird dabei induziert? Bestimme sie auf zwei Arten!
4-Warum hört die Induktion nach völligem Eindringen
auf? 5-Bestimme Stromstaerke in der Schleife, wenn
deren elektr. Widerstand 0,4 Ohm ist! 6-Bestimme
Lorentzkraft auf die Schleife , gib Ort und Richtung
an! 7-Welche Arbeit ist nötig, um die Schleife völlig
einzuschieben? 8-Welche elektrische Energie wird
dabei gewonnen?(abgesehen von Waermeverlust)
Deute Ergebnis!
43
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
9- Wie gross ist die Lorentzkraft auf ein Elektron im Draht?
Gib die Richtung an!
PHYSIK-002 LÖSUNGEN:
1-
v = s/t t =s/v = 0,6m/12m/s =0,05s.
2- Magnetischer Fluss Φ = B.A(t) A steigt von Null bis Amax
= L.b = 0,6.0,5 =0,3 m2 in der gefundenen Zeit 0,05s.
Φ(t) = B.b.s(t) =0,8.0,5.12.t = 4,8t Φmax=4,8.0,05 =0,24Tm2
Von t=0 bis t=0,05 steigt magn.Fluss linear.l
Φ(t)
t
3.1. Uind = B.b.v = 0,8.0.5.12 =4,8V
3.2. Man kann aber auch aus der Ableitung des magn, Flusses nach Zeit finden:
Uind = dΦ/dt = B.dA/dt = 4,8 V bzw. = 0,8.(0,3-0)/0,05 =4,8V
4.
Weil nach 0,05s Φ konstant bleibt. Ableitung ist Null
44
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
5.
Nach Ohm: Stromstaerke I=U/R =4,8/0,4=12A
6.
FL =B.I.b =0,8.12.0,5 =4,8N Vorsicht: Die Breite schneidet das Magnetfeld senkrecht!! Die Laenge dringt nur wie
ein Schwert hinein!!
7.
Mechanische Arbeit beim Einschieben der Schleife:
W= F.L= 4,8.0,6= 2,88Nm (J) Die Lorentzkraft wirkt vor-
ne auf b entgegen der Bewegungsrichtung!! (Beachte LENZRegel!)
8-Elektrische Energie,die wegen induzierter Spannung
in der Schleife entsteht: Wel = U.I.t = 4,8,12.0,05=2,88Nm
Wenn man von elektrischen Waermeverlusten absieht, muss
Als Energiesatz gelten:
Wmechanisch = Welektrisch =2,88Nm
9- FL,elektron = B.q.vsenkrecht = 0,8.1,6.10-19.12 =15,36.10-19N
Überlege Bewegungsrichtung der Elektronen bzw. Stromrichtung mit 3-Finger-R!
45
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
MATHEMATIK-003
Geg: Kurvenschar: ft(x) = t.x/(ex-t)
t>0
FRAGEN:
1- Leite die Funktion dreimal ab!
2- Bestimme Schnitt mit Koordinatenachsen,lokale Extrema,
Wendepunkte, Grenzverhalten, Asymptoten!
3- Ortslinie der Extrema und der Wendepunkte!
4- Bestimme Wendetangente!
5- Zeichne für t = 1!
6- Bestimme Flaeche zwischen x-Achse und f1(x) für 0<x< b
7- Grenzwert der Flaeche für b→∞
46
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
MATHEMATIK-003 LÖSUNGEN:
ft(x)= t.x/ex-t
t>0
1. Ableitungen: (Mit Quotientenregel)
t.e x t  tx.e x t t(x  1)
f 
 x t
x t 2
e
e 
f  
f  
t.e x t  t.(1  x).e x t
e 
x t 2
t.e x t  (tx  2t).e x t
 e x t 
2


tx  2t
e x t
tx  3t
e x t
2.1 Nullstelle:
t.x=0 x=0 N(0;0)
2.2. Lokale Extrama:
f   0 Also: t(1-x)=0 x=1 y=t.1/e1-t Et(1;t/e1-t)
t
Aus f (1)  1t  0 folgt Hochpunkt.
e
2.3. Wendepunkt:
f   0 Also: tx-2t=0 folgt x=2 y=2t/e2-t Wt(2;2t/e2-t)
2.4. Grenzverhalten:
tx 
lim x t  unbestmmte Form. Mit HOSPITAL:
x  e

t
t
lim x t   0 Also waagrechte Asymptote.
x  e

47
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Und nach -∞ liefert:
tx  
lim x t   
  “divergiert” nach -∞
x  e
e
0
3.1 Ortslinie der Hochpunkte: x=1 Lotrechte Gerade
3.2.Ortslinie der Wendepunkte:x=2 Lotrechte Gerade
4. Wendetangenten: W(2/2t/e2-t)
Für W.Tangenten nehme man y=mx+c
m=f'(2)=t(1-2)/e2-t=-t/e2-t und damit:
y=-t/e2-t.x+c Darin Wp einsetzen:
2t/e2-t=-t/e2-t.2 +c liefert c= 4t/e2-t und damit
W.Tangente:
tx  4t
y
e 2 t
5. Graph für t=1
HP(1;1), WP(2;2/e), N(0;0), y=0 für x→∞
Abb.1-
6.Flaeche zwischen f(x) und Kurve für 0<x<b
b
b
x
A   x 1 dx   x.e  x 1dx mit Hilfe der part.Integration:
e
0
0
48
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
 uvdx  uv   uvdx
u'=e-x+1
Mit:
A   x.e
 x 1
b
u=-e-x+1
v=x
v'=1
b
b
  0   e  x 1 .1.dx  e  x 1 .( x  1) 0
0
A=e-b+1.(-b-1)+e
7.Nun als uneigentliches Integral (mit HOSPITAL)
b  1
1
1
A=e+ lim b1  e  lim b1  e   e FE
b e
b e

GEOMETRIE-003
Abb-1:
y
H (0│2r)
P(xP│2r)
Tangente durch P, inT
an Kreis ist 45o geneigt.
M
T(xT│yT)
O
N(xN│0) x
c
D
49
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
FRAGEN:
1- Bestimme in Abhaengigkeit von Radius “r” die Abszisse xP !
2- Bestimme in Abh.keit von “r” die Koordinaten xT und yT
des Tangentenberührungspunktes T!
Beide Fragen sind im:
FALL-1 mit Hilfe von Winkeln,
FALL-2 als Tangentenproblem an Kreis zu lösen.
50
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
GEOMETRIE-003 LÖSUNGEN:
FALL-1:
1- Bestimmung von xP des Punktes P:
(yp betraegt wie leicht einzusehen ist 2r.) Die
Tangentenneigung in T ist “1” (45 Grad) Aus Figur
sieht man sofort:
51
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
OM  r. 2 OE  r
ON  OM weil DreieckONM gleichschenkelig
ist! Somit: w = r√2-r =r.(√2-1)
Nun: KP  ON und damit:
xP=2r+r√2= r(2+√2)
2. Bestimmung von xT und yT:
Aus Figur sieht man: xT= ON  w.cos 450 =
= r.√2 +r(√2-1).√2/2= r(√2/2+1) bzw. anders!!
yT=w.sin450=r.(√2-1).√2/2 =r.(1-√2/2)
FALL-2:Als Tangentenproblem:
M(r,r) Kreisgleichung:
(x-r)2+(y-r)2 =r
Tangente: y=mx+c m=1
Damit die Gerade tangiert muss beim Schnitt K  g
Die Diskriminante   0 sein.(Man könnte auch direkt
mit Berührbedingung arbeiten!)
(x-r)2+(1.x+c-r)2=r2 Nach Quadrieren und
Gruppieren erhaelt man die quadratische Gleichung:
2x2+(-4r+2c)x+(c-r)2=0
Die Diskriminante:
∆=B2-4AC=0
52
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
(-4r+2c)2-4.2.(c-r)2=0 Nach Nebenrechnungen
erhaelt man:
c=+r.√2 bzw. c=-r.√2 ist gültig!
c= ON und somit wieder w=IcI-r=r√2-r=r(√2-1)
Weiteres kann wie im FALL-1 erledigt werden!
bzw. anders!!!!
MATHEMATIK-004
In einer Urne sind 6 SCHWARZE und 4 ROTE Kugeln.
FRAGEN:
Bestimme folgende Wahrscheinlichkeiten auf zwei Arten!
Fall1: Mit Hilfe der Formeln der KOMBINATORIK.
Fall2: Mit passenden Methoden der Wahrscheinlichkeit.
1- Es werden 3 Kugeln auf einmal gezogen. P(alle rot) ?(Nur
in Fall1 rechnen!)
2- Es werden der Reihe nach ohne Zurücklegen 3 Kugeln
gezogen. P(alle rot) ?
3- Es werden der Reihe nach mit Zurücklegen der gezogenen, 3 Kugeln gezogen. P(alle rot)
4- Es werden der Reihe nach ohne Zurücklegen 3 Kugeln
gezogen. P(mindestens ein rot) ? (NUR mit Fall2 Lösen!!)
53
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
5- Es werden 3 Kugeln auf einmal gezogen. P(2 schwarz
und ein rot) ? Nur in Fall1 lösen!
MATHEMATIK-004 LÖSUNGEN:
İn Urne 6 schwarze Kugel (“s”) , 4 rote Kugel (“r”)
Also insgesamt 10 Kugel n=10
1.Ereignisse sind Kombinationen.weil,wenn man mit
einem Griff 3 Kugel zieht,ist die Reihe unwichtig.
P(3 rote)= Anzahl der günstigen Faelle G/ Anzahl
der möglichen Faelle M kurz G/M
n
n!
K=   
 k  k !n  k !
4
n!
4!

4
G=   
3
r!
n

r
!
3!
4

3
!




 
 10 
n!
10!

 120
M=   
3
  r!  n  r  ! 3! 10  3  !
Somit: P=4/120= 1/30
2. Beim Nacheinanderziehen ist Reihe wichtig.
Ausserdem werden die Kugel nicht in die Urne
zurückgelegt. Also keine Wiederholung.Das
Ereignis ist “Variation ohne Wiederholung” :
54
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
FALL-1: Mit Kombinatorik:
n!
10!
4!
G
V
 720 M 
 24
(n  k )!
(10  3)!
(4  3)!
Somit P(3rot) =24/720 =1/30
Auffaelligerweise gleiche Wahrscheinlichkeit!
FALL-2: Mit “Sowohl als auch Wahrscheinlichkeit:
“Sowohl 1.Ziehubg rot,als auch 2. als auch 3. Ziehungen
rot: P=P1.P2.P3=(4/10).(3/9).(2/8) =1/30 (Nach jeder
Ziehung um “1” weniger,weil nicht zurückgelegt wird!)
3. Diesmal werden die gezogenen Kugeln zurückgelegt!
FALL-1 Als Variation mit Wiederholung:
Vw=nk G=43 =64 günstige Ereignisse(Faelle)
M=103=1000 möliche Ereignisse
Somit P=64/1000 (6,4%)
FALL-2 “Sowohl als auch W.”
P=P1.P2.P3 =(4/10).(4/10).(4/10)=64/1000
4. Regel: P(mindestens ein rot)=1-P(kein rot)
P=1-(6/10).(5/9).(4/8)=1-120/720=600/720=5/6
5.Kombination für beide günstige aber “getrennte”
Ereignisse: Anzahl der günstigen Faelle für 2 Schwarze
aus 6 Schwarzen zu ziehen:
6 
6!
G1    
 15
 2  2!  6  2  !
55
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Aus 4 roten ein Rot zu ziehen G2=4 G=G1.G2=60
(Beachte Multiplikationsregel,überlege; warum?)
Anzahl der möglichen Ereignisse M ist ja 120
Somit P=60/120 =1/2 =50%
GEOMETRIE-004
FRAGEN:
Gegeben sind zwei Ebenen:
Ebene E1: 2x-2y+z = 18
Ebene E2: Sie enthaelt die x-Achse und den Punkt P(1|1|1)
1- Schnittgerade beider Ebenen?
2- Distanz des Koordinatenursprungs von E1 und Fusspunkt
des Lotes von O(0|0|0) auf E1 0?
3- Winkel zwischen beiden Ebenen?
4- Winkel zwischen Schnittgerade und Koordinatenebene xy?
5- Durchstosspunkte von E1 mit Koordinatenachsen?
6- Durchstosspunkte der Schnittgerade mit Koordinatenebenen?
56
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
GEOMETRIE-004 LÖSUNGEN:
1.E1 ist gegeben: 2x-2y+z =1
E2 enthaelt die x-Achse Darum kann man als einen
Richtungsvektor also waehlen:
1 
u=  0 
0
 
 1
Für den zweiten: OP   1  und als Stützpunkt O(0;0;0)
 1
 
Somit die Parameterform:
 0   1   1
x   0   t  0   s  1  Also x=t+s y=s z=s
 0   0   1
     
Zum Schnitt der Ebenen nun diese in E1 einsetzen:
2.(t+s)-2.s+s=18
2t+s=18 und daraus Z.B. s allein lassen und
diese in Parameterform der E2 einsetzen,um die
57
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
gesuchte Schnittgerade in p-Form zu erhalten:
s=18-2t
 0  1 
 1
x   0   t  0   (18  2t)  1  liefert nach
0 0
 1
   
 
 18   1 
Nebenrechnungen: x   18   t  2 
 18   2 
   
2.1. Distanz des O(0;0;0) von E1 kann man sofort mit
HESSE-Normalform finden:
do 
2x o  2y o  zo  18
2 2  ( 2)2  12

0  0  0  18
 6LE
3
2.2. Fusspunkt des Lotes in E2:
Hier mit Lotgerade die Ebene zum Schnitt gebracht:
0 2 
x   0   r  2  Also x=2r y=-2r z=r zum Schnitt in
 0  1 
   
E1 einsetzen: 2.(2r)-2.(-2r)+r=18 Also r=2
Somit Fusspunkt: x=4 y=-4 z= 2 F(4;-4;2)
Kontrolle OF  16  16  4  6
58
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
3.Winkel zwischen beiden Ebenen:
Dieser Winkel ist gleich dem Winkel zwischen den
betreffenden Normalvektoren der Ebenen:
Normalvektor der zweiten Ebene kann man als
vektorielles Produkt der beiden Richtungsvektoren
finden:
 1   1  0 
n  u  v   0    1    1  Und nun:
 0   1  1 
     
 2  0 
 2  1 
  
 1  1  0  2  1
n1 .n 2
2
cos  
    

n1 n 2
2
9. 2
3. 2
Somit α=450
4.Winkel zwischen Schnittgerade und xy-Ebene:
β (Gesuchter Winkel)
59
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Aus Skalarprodukt von Richtungsvektor der Gerade und
Normalvektor der xy-Ebene finde man allerdings α.
Β ist Komplementarwinkel. Darum nimmt man sinβ:
 0  1 
 0  2 
  
n xy .u g  1 
2  2

sin  

 Somit β≈420
1.3
3
n xy u g
5.Durchstosspunkte der Noordinatenachsen mit E1
Mit x-Achse: y=0 z=0 Also aus E1 x=9 Somit D1(9;0;0)
Mit y-Achse: x=0 z=0 daraus y=-9 Somit D2(0;-9;0)
Mit z-Achse x=0 y=0 Daraus z=18 Somit D3(0;0;18)
6. Durchstosspunkte der Schnittgerade mit
Koordinatenebenen:
 18   1 
Schnittgerade: x   18   t.  2 
 18   2 
   
Mit xy-Ebene: z=0
x=18+t y=18+2t z=0=18+2t
Daraus mit t=-9 erhaelt man x=9 y=0 Also: Dxy(9;0;0)
Analog erhaelt man: Dxz(9;0;0) ist ja gleich Dxy und
Dyz(0;-18;-18)
60
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
CHEMIE-003 FRAGEN:
1.Es werden 0,05 mol H2(g) und 0,03 mol J2(g) in einem Behaelter von V zur Reaktion gebracht. Die Gleichgewichtskonstante betraegt 55. Schreibe die Reaktionsgleichung! Definiere für diese Reaktion die Gleichgewichtskonstante! Bezeichne die reagierende Molanzahl von H2(g) mit x und bestimme die molaren Endmengen von allen Stoffen!
2.Bestimme alle molaren Endmengen von allen Stoffen,wenn
anfaenglich neben oben gegebenen Wassersoff und Jodmengen noch 0,008 mol anfaengliche HJ(g) vorhanden ist!
Warum spielt für diese Reaktionen das Volumen keine Rolle?
Hat diese Kc eine Einheit?
3.Schreibe die Reaktionsgleichung und den Ansatz (Formulierung)
der Gleichgewichtskonstante für Ammoniakherstellung aus den betreffenden Gasen! Welche Einheit hat Kc in
diesem Fall?
4.Erklaere, ob und wie eine Druckerhöhung die Ausbeute der
beiden Reaktionen beeinflussen könnte!
5.Welche Beziehung besteht zwischen Kc und Kp bei Ammoniakherstellung?
6.Warum erhöht man bei Ammoniakherstellung (Haber-BoschVerfahren) die Temperatur? Ist es im Einklang mit Le CHATELIER? Erklaere gründlich!
61
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
CHEMIE-003 LÖSUNGEN:
1.Die Reaktionsgleichung lautet:
H2(g)+J2(g)⇆2HJ(g)
Die reagierenden Molmengen sind:
x
x
2x
Allsemein lautet für diese Reaktion die Formulierung
der Gleichgewichtskonstante:
KC=c2[HJ]/c[H2].c[J2]
Zu beachten ist aber, dass die betreffenden molaren
Konzent-rationen in der Formel die entstandenen
GLEIHGEWICHTSKonzentrationen sind! Am Besten arbeite man tabellarisch:
STOFF ANFANGSMENGE
(MOL)
H2
J2
HJ
0,05
0,03
0
REAKTIONSMENGE
(MOL)
x
x
2x
ENDMENGE
(MOL)
ENDKONZENTRATION
(MOL/L)
0,05-x
0,03-x
0+2x
(0,05-x)/V
(0,03-x)/V
(0+2x)/V
55=(2x/V)2/[(0,05-x)/V].[(0,03-x)/V]
Bie Endkonzentrationen (also die
Gleichgewichtskonzentrationen)
sind nun in die betreffenden Stellen oben in Kc einzusetzen:
62
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Wie man leicht einsieht werden V gekürzt. Es bleibt eine
quadratische Gleichung übrig:
55.(0,05-x).(0,03-x) = 4x2
Nach Nebenrechnungen erhaelt man formal zwei Lösungen:
x1=0,028 Mol x2=0,059Mol>0,03Mol (Anfangsmenge J2)
Also, die Gleichgewichtsmemgen sind:
n(H2) =0.05-0,028=0,022Mol
n(J2) = 0,03-0,028=0,002Mol
n(HJ) =2.0,028=0,056Mol
2.Neue Tabelle und Ergebnisse für diesen Fall:
STOFF ANFANGSMENGE
(MOL)
H2
J2
HJ
0,05
0,03
0,008
REAKTIONSMENGE
(MOL)
ENDMENGE
(MOL)
x
x
2x
0,05-x
0,03-x
0,008+2x
ENDKONZENTRATION
(MOL/L)
(0,05-x)/V
(0,03-x)/V
(0,008+2x)/V
55=[(0,008+2x)/V)]2/[(0,05-x)/V].[(0,03-x)/V]
55.(0,05-x)(0,03-x) =(0,008+2x)2
Nach Nebenrechnungen erhaelt man wiederum als gültige
Lösung x= 0,027Mol und daraus die neuen Gleichgewichtsmolmengen:
n(H2) =0,023Mol
n(N2) =0,003Mol
n(NH3) =0,062Mol
63
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Die Volumina kürzen sich!
Kc hat für diese Reaktion keine Einheit, weil alle “Mol/Liter
sich kürzen!
3. Ammoniaksyntese:
N2(g)+3H2(g)⇆2NH3(g)
Reaktionsmengen:
x
3x
2x
(Mol)
Kc=[c(NH3)]2/c(N2).[c(H2)]3 (Mol/Liter)-2
4.Diese Synthese laeuft unter Volumsverkleinerung. Eine
Druckerhöhung “verschiebt das Gleichgewicht nach rechts”
die Ausbeute wird vermehrt.
5. Kp wird für diese Reaktion analog wie unten definiert:
Kp=[p(NH3)]2/p(N2).[p(H2)]3
Wenn man die allgemeine Gasgleihung für betreffende
Drücke in Anspruch nimmt:
V.p=n.R.T daraus mit c=n/V
p=c.RT für alle drei einsetzt:
Kp=[c(NH3).RT]2/c(N2).RT.[c(N2).[c(H2).RT]3
Kp=c2(NH3) R2T2/c(N2).RT.c3(H2).R3T3=Kc/R2T2
6.Die Temparaturerhöhung ist zweckmaesig, weil N2(g) bei
tiefen Temperaturen wegen Dreifachbindung
64
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
reaktionstraeger ist. Bei höheren Temperaturen wird also die
Bindung gespalten.Diese Arbeitsweise ist nicht im Einklang
mit Le CHATELIER, weil man eigentlich für eine
Volumsverkleinerung sowie für diese exotherme Reaktion
die Temperatur erniedrigen müsste!
PHYSIK-004
FRAGEN:
Ein Schwingkreiskondensator wird mit einer Spannung
von 5000V aufgeladen. Zur Zeit t=0 wird die
Schwingung angelassen.Das Kondensator besteht aus
Platten von je 50 cm2,deren luftgefüllter Abstand 4cm
betraegt. Als Spule benützt man eine mit einer relativen
Permeabilitaet von 600 gefüllte Zylinderspule,deren
Durchmesser 4cm und deren Laenge 20cm ist.
1. Kapazitaet des Kondensators?
2. Aufladeenergie des Kondensators?
3.Wie gross ist die Eigeninduktivitaet der Spule,wenn
die maximale Stromstaerke 3mA ist?
4.Wieviele Windungen hat die Spule?
5.Periodendauer und Frequenz des Systems?
6.Wie gross ist die Stromstaerke,wenn die Spannung
auf die Haelfte des Anfangswertes sinkt?.
7.Wie lange dauert es dafür(zum ersten Mal)?
65
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
8.Wie gross ist der magn.Fluss und die magn.
Flussdichte der Spule,wenn die Ladung einer Kondensatorplatte um 30% abgesunken ist?
PHYSIK-003 LÖSUNGEN:
1.Kapazitaet eines Kondensators wird durchFolgende
Formel bestimmt:
C=ε0εr.A/d
-12
ε0=8,85.10 F/m (El. Feldkonstante)
εr=1 Für Vakuum (Luft!)
A=50cm2=5.10-3m2 Flaeche einer PLatte
d=0,04m Plattenabstand. Somit erhaelt man:
C=1,106.10-12F (=1,106 pF) p=”pico”
2. Die Spannung steigt von Null auf Endwert Umax =”U0”
Darum ist die Aufladeenergie mit der Formel
W=U0.Q/2
zu bestimmen.
Die Ladungsmenge Q wird mit Hilfe der Kapazitaet
bestimmt:
Q=C.U
somit:
Wc0=U02.C/2=50002.1,106.10-12/2 =1,382.10-5J
66
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
3. Maximale Stromstaerke wird erreicht,wenn die Aufladeenergie völlig in die Spule transportiert wird.Also
diesmal:
Wmax=L.I2/2=WLmax
1.382.10-5=L.0,0032/2 Daraus erhaelt man:
L=3,07H
4.Aus
Daraus:
L=µ0µrn2A/ĮSpule
3,07=4π.10-7.600.n2.π.0,022/0,2
n=805 Windungen.
5. Periodendauer:
T=2𝜋√𝐿. 𝐶 =2𝜋√3,07.1,106. 10−12 . =11,57.10-6s
Frequenz f=1/T=86430Hz
6. Die Gesamtenergie besteht (nun) aus der Summe der
Kondensatorenergie und Spulenenergie:
Wges=Wc+WL= U2.C/2+L.I2/2
1,382.10-5 =25002.1,106.10-12/2+3,07.I2/2
Daraus erhaelt man:
I=0,0015A=1,5mA (erwartungsgemaes!)
7. Die Spannungsfunktion lautet:
U=U0.cosωt mit
ω = 2π/T = 2π/11,57.10-6=0,543.106s-1
67
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
U0/2=U0.cosφ
Daraus:
φ=π/3 (zum ersten Mal)
t =φ/ω =1,92.10-6s
( Man könnte natürlich das Ergebnis sofort als T/6
angeben! Beachte Winkel für halbsogrosse Ordinaten
von cos- bzw. sin-Funktionen!)
8.Also zurückgebliebene Ladung ist 70% von Q0, somit
auch, wegen Q=C.U U=0,7.U0
Deswegen nun
Wcneu =U2.C=0,49.Wc0
Weil die Gesamtenergie konstant ist, betraegt nun
WL=0,51.Wc0 =0,705.10-5J
WL=L2.I/2
Daraus:
I=2WL/L2= 2.0,705.10-5/3,072=1,5.10-6A
Die magn. Flussdichte betraegt:
B=µr.µ0.n.I/Įspule
B=1.4π.10-7.805/0,20=0,005T
Und der magn. Fluss:
68
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Ф=B.A =0,005.0,022.π=6,28.10-6Tm2(Wb)
MATHEMATIK-006
Untersucht wird ein regelmaesiges Zylinder mit Radius “ r “
und Höhe “ h “. Oberflaeche sei “ A “ und Volumen sei “V “
r
h
FRAGEN:
1- Mindestmaterialoberflaeche bei gegebenem
Volumen von V= 2000π cm3 ?
2- Maximalvolumen bei gegebener Oberflaeche von
A= 600π cm2 ?
3- Bestimme Vmax als Funktion von C, wenn A=Cπ
und das zu Vmax zugehörige r/h
69
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
MATHEMATIK-006 LÖSUNGEN:
1.Zylindervolumen V=2000π cm3
Man bestimme Mindestoberflaeche A!
A=2r2π + 2πrh Hauptfunktion Sie wird abgeleitet. Eine
Variable aber aus Nebenbedingung V in A einsetzen!
V=r2π.h=2000π Besser h allein lassen: h=2000/r2
Vor Ableitung wird es in A eingesetzt:
A= 2πr(r+h) =2π(r2+2000r-1) (Besser für Ableitung!)
2π spielt für Ableitung als Faktor keine Rolle. Darum direkt A/2π abzuleiten!
(A/2π)’ =2r-2000r-2
(A/2π)’’= 2+4000r-3 ist ja immer positiv. Also A wird
minimal. Aus Nullsetzen der ersten Ableitung erhaelt
man:
2r-2000/r2 =0
2r3-2000=0 und daraus r=10cm und h=20cm
Somit Amin= 2π.10(10+20)= 600π cm2
2.Oberflaeche ist 600π cm2 Nun soll damit V max
gemacht werden:
A=2πr(r+h) ist nun Nebenbedingung.
600π=2πr(r+h) 300=r2+rh daraus h=(300-r2)/r
70
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
in V einsetzen: V=r2πh=r2π(300-r2)/r
V/π=300r-r3 wird nun abgeleitet:
(V/π)’ = 300-3r2=0 ergibt r=10 cm
h=(300-100)/10=20cm
(V/π)’’= -6r ist immer negativ,weil r nicht negativ sein
kann! Somit ist dazugehöriges Volumen sicher Maximum:
Vmax= π100.20= 2000π cm3
3. V=πr2h
und als Nebenbedingung A=Cπ
Daraus: Cπ=2πr(r+h)h=(C-2r2)/2r V=πr2.(C-2r2)/2r=
= π.(Cr-2r3)/2 Für Ableitung nehme man 2V/π
C
(2V/π)’ =C-6r2 =0 (2V/π)’’ <0 Daraus r=
damit h
6
C
C  2.
6  2. C
Also r/h=1/2 Somit

6
C
6
2
 C
C  6
.2.

.C. C
Vmax=π 

6
6
18


Mit C=600 erhaelt man wieder Vmax=2000π cm3
71
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
MATHEMATIK-007:
FRAGEN:
1- Bestimme mit Hilfe der Ableitung der gegebenen
Funktion die Ableitung der Umkehrfunktion!
1.1: f(x)= sinx
1.2: f(x)= tanx
1.3: f(x) =ex
2- Leite folgende Funktionen ab!
2.1: f(x)= ln2(x3+sin4x)
2.2: f(x) =xx
2.3: f(x) =e(sinx+lnx)
3- Bestimme das durch Rotation um x-Achse
entstehende Volumen der Funktion
f(x)= x2-4x+3
72
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
wobei die eingehüllte Flaeche zwischen x-Achse und
Funktion zu rotieren ist!
MATHEMATIK-007:
ANTWORTEN:
1.1: Für Ableitung der Umkehrfunktion f-1 gilt:
f-1’(y) = 1/ f’(x)
Also:
f-1’(y) = 1/cosx =1/√1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =1/√1 − 𝑦 2
Nun schreibe x man statt y :
f-1’(x) =1/√1 − 𝑥 2 ist also die Ableitung der
Funktion y=arcsinx
1.2: Genauso für:
f(x) = tanx f’(x) =1/cos2x
f-1’(y) =1/(1/cos2x)= cos2x=1/(1+tan2x) =1/(1+y2)
f-1’(x) =1/(1+x2) ist also die Ableitung der Funktion
73
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
y=arctanx
1.3: Genauso für
f(x) =ex
f’(x) = ex
f-1’(y) = 1/ ex Nun: y = ex Also: x=lny
und damit ex=elny =y
Somit: f-1’(y) =1/y
f-1’(x) =1/x ist die Ableitung von der
Umkehrfunktion: y=lnx
2.1: y=ln2(x3 + sin4x)
Durch mehrmalige Anwendung der Kettenregel erhaelt
man:
y’ =
2.[ln(x3+sin4x)].[1/(x3+sin4x)].[(3x2+4sin3x.cosx)]
2.2: y=xx Für Basis x nehme man
x=elnx
Damit wird die Funktion: y=[elnx]x = ex.lnx
74
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Die Ableitung liefert mit Kettenregel:
y’ =ex.lnx.(1.lnx+x.1/x)= xx(lnx+1)
3.
Die
Abbi
ldun
g
der
Fun
ktio
n
(unt
en)
zeig
t die
Nullstell
en
der
Fun
75
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
ktion: x=1 bzw. x=3 Nun wird die (negative) Flaeche
zwischen Kurve und x-Achse um x-Achse rotiert:
3
Vx=𝜋 ∫1 (𝑥 2 − 4𝑥 + 3)2dx
76
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Nun wird die Funktion quadriert ,integriert und dann die
entstandene Stammfunktion, wie bekannt, mit Grenzen besetzt.
Auf die Ausführung wird hier verzichtet!
CHEMIE:
VORSICHT-FEHLERQUELLEN!!
77
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
1- Beachte e-Besetzung der Orbitale!
Falsch:
↑↓ ↑ ↓
Richtig:
↑↓ ↑
↑
2-Alkane sind gesättigt! KeineAdditionsreaktion möglich!Substitution möglich.
Ablauf!! (Stufen)
3- pH=(pKs-logc0) ⁄ 2 gilt für schwache
Säuren! (pKs grösser als etwa 5)
Ähnliches bei Basen!
4- -I-Effekt: Hier “-“ (minus) als
Verminderung der Reaktivität zu
deuten!
78
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
+I-Effekt: Hier “+” als Erhöhung der R.
5- Oxidation = Elektronenabgabe
Z.B. X²+ - 1e‾→X³+
6- Reduktion = Elektronenaufnahme
Z.B. Y+ + 3e‾→Y²‾
9
7- Natriumacetat reagiert in Wasser “basisch:
CH3COONa +H2O →CH3COOH+Na++OH⁻
8-Ammoniumchlorid reagiert in Wasser
“sauer”:
79
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
NH4Cl+H2O→ H3O+ +Cl ‾ + NH3
9- Elektronenbesetzung von Ga (OZ=31)
1s², 2s², 2p6, 3s², 3p6, 4s², 3d104p1 n=4!
K
L
M
N M N 3Valenzelek.!
3.Hauptgruppe.
10- Wenn co kleiner als 10-7 mol/l , darf
man für pH bzw. pOH 10-7 mol/l nicht
vernachlässigen!!
11- Reduktionsmittel werden oxidiert.
Oxidationsmittel werden reduziert.
80
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Z.B. 2Na+
+
Ca → 2Na + Ca2+
Ox.mittel Red.mittel
REDOX:
Nämlich: 2Na+ +2e‾→ Na (Reduktion)
Ca - 2e‾→Ca2+ (Oxidation)
12: Isomerie: Vorsicht bei Benennung!
81
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Es gibt noch ein Isomer! Zeichne es!!
13- In einer Redoxreaktion können mehr als
eine Oxidation bzw. Reduktion vorkommen!
82
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
14- Vorsicht bei Löslichkeitsprodukt!
Molanzahl sowohl als Produkt, als auch als
Potenz. Z.B.
Al(OH)3 → Al3++ 3OH−
x
x
3x
L = (x).(3.x)3 = 27.x4 [mol/l]4
15- Bei Alkenen bzw. Alkinen sind die
Bindungen nicht gleich “stark” .
П-Bindungen sind schwächer als
σ-Bindungen!
16- Mesomerie nicht mit Isomerie zu verwechseln!
17- Beachte bei Addition von HCl an Alkene die Regel von MARKOWNIKOFF:
83
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
(Adresse von H an H-reiches C!!)
18- Falsch: (Cl2)2Richtig: 2Cl-
19-Beachte den Unterschied zwischen
Enthalpie , Entropie und “freiem” Enthalpie!
20- Manchmal sind die Indizes wie “aq”, “s”
“l” wichtig. Z.B. Unterschied zwischen
HCl (g) und HCl(aq) ( ist Säure!)
PHYSIK:
84
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
VORSICHT- FEHLERQUELLEN:
1- Stossgesetze! Geschwindigkeitsrichtung
beachten! Wenn v1 positiv genommen, v2
negativ zu nehmen!
О→ v1
m1
v2 ←О
m2
2- Linsen bzw.Spiegel: 1 ⁄ f = 1 ⁄g +1 ⁄ b
Virtuelle Bildweiten b (bzw.g,f) sind
negativ !
3- Potentielle Energie m.g.h geht zum
Müllkorb, wenn die Ruhelage als Bezuglage
85
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Feder
Ruhelage
m.g
angenommen wird.
4- In Gasgesetzen
V.p= n.R.T
bzw.
V.p ⁄ T= Constant ist
T in KELVIN einzusetzen! Z.B. 1000C
=373K
5- Bei Rollbewegung die Rotationsenergie
(neben kinetischer Energie) nicht vergessen!
86
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
Erot= I.ω2 ⁄ 2
I=Trägheitsmoment (Formabhängig)
Z.B. Kugel rollt mit v =r.ω Für Kugel: I=2mr2⁄5
kgm2
t=0
Eges= mv2⁄2 + Iω2⁄2
6. Die Wellenlänge in einem Medium ist
kleiner als im Vakuum: ( c=λ.f)
n Brechungsindex des Mediums
λm =λv ⁄ n
cm=cv ⁄n Aber: fm=fv
7- Doppelspalt (Gitter) und Einzelspalt
haben für Helligkeiten und Dunkelheiten verschiedene Formel!
87
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
8-- DOPPLER-Effekt:
Beachte, ob sich Quelle, Beobachter oder
beide bewegen! Und ihre Richtung!!
9- Elektrische Felder:
Beachte den Unterschied zwischen
homogenem Feld (Z.B. in Kondensatoren)
und Radialfeld um Kugelladungen!
Ec= U ⁄ d
aber Erad. =k.Q ⁄ r2 !
10- Parallelschaltungen haben gleiche
Spannung. Z.B. Haushalt: 220V
11- Für Berechnung der LORENTZ-Kraft
in Magnetfeldern: Winkel zwischen B-Vektor (Flussdichte) und v-Vektor bzw. Leiter
beachten!
88
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
N.Pol
v
S.Pol
Flussdichtevektor
Winkel!!
Ladung
12- Für beschleunigte Bewegung gelten
v = a.t bzw. s= at2⁄ 2 , wenn
zur Zeit t=0 v= vo=0 und so=0 sind!
13- Die Formel für Zentrifugalkraft nicht
mit Formel der kinetischen Energie verwech_
seln: Fzf=m.v2 ⁄ r
Ekin = m.v2 ⁄ 2
89
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
r...Drehradius.
14- eV(Elektronenvolt) ist eine ENERGIEEinheit! 1 eV =1,6.10 -19 J
15- Leistung für Wechselstrom:
Phasendifferenz zwischen Strom und
Spannung nicht vergessen:
P=U.I.cosφ
16- Vorsicht bei
Plattenabstandsänderungen
der Kondensatoren, ob Quelle angeschlossen
ist oder nicht. (Wenn Quelle ang. bleibt, ist U
konstant, sonst Q auf Platten konstant!)
Die Kapazität ändert sich ja dabei!
17-Dreifingerregel für Elektronen, Leiter,
Induktion nicht verwechseln!
90
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
18-Technische Stromrichtung ist
entgegengesezt der Bewegung
derElektronen!
1- VORSICHT-FEHLERQUELLEN!
1.1 In Mathematik:
1- Die Koeffizienten a,b,c in Lösungsformel
mit Vorzeichen einsetzen!!
ax²+bx+c=0 bzw. x²+px+q=0
2- f(x)=(x²-9) ⁄(x-3) G=R D=R\3
x=3 ist weder Nullstelle,nochAsymptote,sondern (hebbare) LÜCKE! L(3│6).
91
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
3- HESSE’sche Normalform gilt nicht für
Abstandsberechnung eines Punktes von einer
RAUMGERADE!
4- Unbestimmte Formen wie 0 ⁄ 0, ∞⁄∞ ,
∞ - ∞ können je nach Angabe verschiedene
Werte ergeben. Z.B.
lim (3n-5)⁄(7n+2)=3/7
n→∞
5- Lösungen von √‾‾-Gleichungen immer
durch einsetzen probieren! Z.B.
√x+4=0 → √x=-4 → x=16 ist keine
92
PROF.DIPL.ING NACİ YÜCEFER
LÖSUNG!
Probe: √16+4=0 f.A. L= {}
6- logx ⁄ logy ≠ logx-logy =log(x ⁄y)
(logx) ² ≠ logx² (logx)²=(logx).(logx)
aber: logx² = 2.logx
7-
√(a+b) ≠ √a + √b
a,b≠0
√(a-b) ≠ √ a - √b
8- sin2x ≠ 2.sinx
( x,y≠0)
sin(x+y) ≠ sinx + siny
sinx+siny = .................. ! Beachte Summensätze! Genau so mit cosx bzw. tanx
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9-Dreiecke, wenn Seite-Seite-Seite bzw. Seite-Winkel-Seite gegeben, zum Lösen mit COSINUSSATZ beginnen!
C
A
SWS:
a=?
)α=37˚,b =14
c=16
B
c=21
B
10-Regel von DE L‘HOSPITAL
lim f(x) ⁄g(x)=limf´(x) ⁄g´(x)=u.s.w
NICHT mit Quotientenregel verwechseln!
f(x)= u(x) ⁄v(x) f´(x)= (u′.v-u.v´) ⁄ v²
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11- Vorsicht bei Partialbruchzerlegung, wenn
Faktoren “mehrmals” existieren:
Z.B.
1⁄x³.(x+1)² = A⁄x+B⁄x²+C⁄x³+D⁄(x+1)+E⁄(x+1)²
12-Bei unbestimmten Integralen die
Konstante C nicht vergessen!
Z.B. ∫dx = x + C
13- Vorsicht bei Kettenregel!
Z.B. Ableitung von y= sin4(5x)
y′= 4sin3(5x).cos(5x).5=
=20sin3(5x).cos(5x)
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14-Für Ableitungen von
y= xx, y= xsinx u.ä. für die Basis x
folgende Form zu verwenden:
x= elnx
Somit: Z.B. y= xsinx = (elnx)sinx=elnx.sinx
Kettenr.: y′ = elnx.sinx[(1/x).sinx+lnx.cosx]=
y′= xsinx.[....]
15- Beachte.dass bei trigonometrischen Glei_
chungen mehrere Lösungen sein können!
Z.B.
sinx= 0,5
G=[0o,360o[
x1= 30o x2=150o
16- Für Produktform von:
f(x)= ax2+bx+c =a.(x-x1).(x-x2)
a nicht vergessen!
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16-Arbeite bei Geraden NICHT mit
ax+by +c=0 (3 Koeffizienten!),
sondern mit: y= kx+d (bzw. y=mx+n) !
17-Vorsicht für Faktorielle:
0!=1
n!=1.2.3.......(n-1).n = (n-1)!.n
1.2 -
In Physik:
4- Stossgesetze! Geschwindigkeitsrichtung
beachten! Wenn v1 positiv genommen, v2
negativ zu nehmen!
О→ v1
m1
v2 ←О
m2
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5- Linsen bzw.Spiegel: 1 ⁄ f = 1 ⁄g +1 ⁄ b
Virtuelle Bildweiten b (bzw.g,f) sind
negativ !
6- Potentielle Energie m.g.h geht zum
Müllkorb, wenn die Ruhelage als Bezuglage
Feder
Ruhelage
m.g
angenommen wird!!
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4- In Gasgesetzen
V.p= n.R.T
bzw.
V.p ⁄ T= Constant ist
T in KELVIN einzusetzen! Z.B. 1000C
=373K
5- Bei Rollbewegung die Rotationsenergie
(neben kinetischer Energie) nicht vergessen!
Erot= I.ω2 ⁄ 2
I=Trägheitsmoment (Formabhängig)
Z.B. Kugel rollt mit v =r.ω Für Kugel: I=2mr2⁄5
kgm2
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t=0
Eges= mv2⁄2 + Iω2⁄2
5. Die Wellenlänge in einem Medium ist
kleiner als im Vakuum: ( c=λ.f)
n Brechungsindex des Mediums
λm =λv ⁄ n
cm=cv ⁄n Aber: fm=fv
7- Doppelspalt (Gitter) und Einzelspalt
haben für Helligkeiten und Dunkelheiten verschiedene Formel!
8-- DOPPLER-Effekt:
Beachte, ob sich Quelle, Beobachter oder
beide bewegen! Und ihre Richtung!!
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9- Elektrische Felder:
Beachte den Unterschied zwischen
homogenem Feld (Z.B. in Kondensatoren)
und Radialfeld um Kugelladungen!
Ec= U ⁄ d
aber Erad. =k.Q ⁄ r2 !
10- Parallelschaltungen haben gleiche
Spannung. Z.B. Haushalt: 220V
11- Für Berechnung der LORENTZ-Kraft
in Magnetfeldern: Winkel zwischen B-Vektor (Flussdichte) und v-Vektor bzw. Leiter
beachten!
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N.Pol
v
Winkel!!
Ladung
S.Pol
Flussdichtevektor
B
12- Für beschleunigte Bewegung gelten
v = a.t bzw. s= at2⁄ 2 , wenn
zur Zeit t=0 v= vo=0 und so=0 sind!
13- Die Formel für Zentrifugalkraft nicht
mit Formel der kinetischen Energie verwech_
seln!!: Fzf=m.v2 ⁄ r
Ekin = m.v2 ⁄ 2
r...Drehradius.
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14- eV(Elektronenvolt) ist eine ENERGIEEinheit! 1 eV =1,6.10 -19 J
17- Leistung für Wechselstrom:
Phasendifferenz zwischen Strom und
Spannung nicht vergessen:
P=U.I.cosφ
18- Vorsicht bei
Plattenabstandsänderungen der
Kondensatoren, ob Quelle
angeschlossen ist oder nicht!! (Wenn
Quelle ang. bleibt, ist U konstant, sonst
Q auf Platten konstant!)
Die Kapazität ändert sich ja dabei!
19- Dreifingerregel für Elektronen, Leiter,
Induktion nicht verwechseln!
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20- Technische Stromrichtung ist
entgegengesezt der Bewegung
derElektronen!
2-WICHTIGE CHEMIEFRAGEN:
2.1CHEMIEFRAGEN-1:
1- Welche Bindugsarten gibt es?
2- Unterschied zwischen Atombindug und
Ionenbindung?
3- Wie entsteht Atombindung? Struktur?
Unter welchen Bedingungen ist die Atombindung
polar?
4- Was ist Elektronegativitaet?
5- Was ist H-Brückenbindung?
6- Wie kann man Ionenbindung auflösen?
7- Unterschied zwischen Ionenbindung und
Metallbindung.
8- Eigenschaften der Ionenbindung?
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9- Eigenschaften der Metallbindung?
10-Warum ist CO2 unpolar?
10- Gib die Struktur folgender Moleküle!
H2O ,CO2, NH3, CH4, H2SO3,O2,N2
Schreibe auch die Summenformel richtig!!!
11- Schreibe chemische Formel für:
Kaliumnitrat,Calciumnitrat,Aluminiumnitrat,
12-Natriumsulfat, Calciumsulfat.Aluminiumsulfat,Calciumphosphat.
Schreibe zuerst die Ionenladugszahlen von
betreffenden Metallen und Saeureresten!
13.
Welche Bindungen haben folgende Stoffe:
HF,HCl, KCl,Na, NaCl, KNO3,CaO,Al,N2,
FeO, Mg, N2, NaOH,CO2, H2O, K,
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2.2 CHEMİEFRAGEN-2
CHEMİE- PRÜFUNGSVORBEREITUNG
1-Schreibe die Löslichkeitsprodukte folgender Salze:
a- Natriumchlorid b- calciumbromid c- Aluminiumfluorid
d- Aluminiumsulfat e- Magnesiumphosphat
2- Wie lautet die Säurekonstante für:
a- Essigsäure b- Kohlensäure
3-Formuliere die Basekonstante für eine schwache Base XOH!
4-Definiere PH, POH, PKs, PKb!
5- Wann ist PKs + PKb = 14 ?
6- Formuliere Dissotiationsgrad für Säueren bzw. Laugen!
7- Formuliere Beziehungen zwischen Diss.grad und Ks bzw.
Kb
8- Wie definiert BRÖNSTED Säuren bzw. Basen?
9- Wie definiert LEWIS Säuren bzw. Basen?
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10- Ist es richtig, wenn man sagt: “Alle Basen sind Laugen!”
11- Leiten Sie die Beziehung zwischen PKs und PH für
schwache Säuren her!
12- Leiten Sie die Beziehung zwischen POH und PKb fur
schwache Laugen her!
13- Gib die Dissotiationsstufen für Schwefelsäure an und
formuliere deren Ks!
14- Wie verhalten sich die Salze in Lösungen bezüglich PH
bzw. POH? Vergleiche Natriumchlorid-, Natriumacetatunh Ammoniumchloridlösungen!!!
15- Definiere Oxidation, Reduktion und Redox! Gib je ein
Beispiel!
16- Was sind Oxidationszahlen?
17- Gib die Ox.zahlen aller Elemente folgender Stoffe wie
üblich an: S, Fe, Cl2, FeCl2, FeCl3, H2S04, H2SO3, Al2O3,
KMnO4,H2S
18- Was ist die Redoxreihe?
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19-Skizziere ein galvanisches Element! Benenne! Arbeitsweise?
20- Bedeutung der NERNST-Gleichung?
21- Brennstoffzellen?
22- Bedeutung der FARADAY-Konstante?
23- Was sind Ampholyte? Gib zwei Beispiele!
24- Definiere Reaktionsgeschwindigkeit!
25- Wann tritt bei einer chem. Reaktion chem.
Gleichgewicht?
26- Erklaere das Prınzip von Le CHATELIER!
27- Welche Möglichkeiten gibt es , um eine ins Gleichgewicht
gekommene Reaktion wieder in Lauf zu bringen?
28- Schreibe die Gleichgewichtskonstante für folgende Reaktionen: a- Propanverbrennung b- Ammoniakherstellung
29- Warum erhöht man bei Ammoniakherstellung dieTemperatur, obwohl es widrig wäre!!?
20- Haben die Katalysatoren einen Einfluss auf chem.Gleichgewicht?
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21- Welche Wirkungen haben überhaupt die Katalysatoren?
22- Satz von HESS?
23- Erkläre folgende Begiffe:
a- Enthalpie b-Entropie
23- GIBBS- HELMHOLTZ-Gleichung? Bedeutung?
24- Wann läuft eine chem. Reaktion freiwillig ab?
25- Wass sind Indikatoren? Beispiele?
26- Was sind Pufferlösungen? Wozu? Beispiel?
27- Konzentrationsarten ?
28- OSTWALD’sches Verdünnungsgesetz?
29- Erkläre die Vorgänge während einer Elektrolyse
mit einem prinzipiellen einfachen Beispiel!
30- Was sind Hybride? Welche zwischen s-und p-Orbitalen?
Für Beispiele chemischer Rechnungen (Mol,PH,POH,Ks,
PKs, Mengen-,Volumsbestimmung, Reaktionsenthalpie,usw.)
andere Blätter in Anspruch zu nehmen!
[email protected]
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Es wird um Verstaendnis gebeten , dass für die Herstellung
einer einheitlichen Form bzw. für die fehlende Inhaltsangabe sowie für fehlende Antworten obiger Chemiefragen
mir die Zeit fehlt.
Prof. Dipl.Ing. Naci Yücefer
www.profnaci.com
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