2012 - BG/BRG Gleisdorf

BG/BRG Gleisdorf
SCHRIFTLICHE REIFEPRÜFUNG AUS MATHEMATIK
HT 2011/2012
8BR
8CGF, 8CGL
Mag. Thomas MAIROLD
Mag. Margit WAGNER
Name des Kandidaten / der Kandidatin:
Klasse:
(1) GRUNDKOMPETENZEN
12 P
a) Die Summe A der Inhalte der beiden von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen
Flächen soll berechnet werden. (2P)
Kreuze die richtige(n) Formel(n) an!
□
8
A
□ A
□ A
□ A
□ A
 f(x)  g(x) dx
1
3
8
1
3
 f(x)  g(x) dx   g(x)  f(x) dx
8
 f(x)- g(x) dx
1
3
8
1
3
3
8
1
3
 f(x)  g(x) dx   f(x)  g(x) dx
 f(x) - g(x) dx   f(x)  g(x) dx
b) Die zweite Ableitung f‘‘ einer Funktion f ist an der Stelle eines lokalen Hochpunkts (2P)
□ negativ,
□ null,
□ der Graph von f in der Umgebung eines lokalen Hochpunkts
weil
□ positiv,
linksgekrümmt ist.
□ der Graph von f in der Umgebung eines lokalen Hochpunkts
rechtsgekrümmt ist.
□ sich die Krümmung des Graphen von f in einem lokalen Hochpunkt
ändert.
c) Ordne den Graphen ihre Funktionsgleichung zu.
Trage die entsprechende Nummer unten ein. (2P)
1
2
3
4
5
y = ln x
y  x1²
y = e-x
y = x-1
y = ex
d) Änderungsmaße (2P)
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
f(x) = 0,1x²
Kreuze die beiden richtigen Aussagen an.
 Die absolute Änderung in den Intervallen [0;3] und [4;5] ist
gleich groß.
 Die mittlere Änderungsrate der Funktion f in den
Intervallen [0; 2] und [2; 6] ist gleich groß.
 Die momentane Änderungsrate an der Stelle
x = 5 hat den Wert 2,5.
 Die momentane Änderungsrate an der Stelle x = 2 ist größer als die momentane Änderungsrate an der Stelle
x = 6.
 Die Steigung der Sekante durch die Punkte A(3|f(3)) und B(6|f(6)) ist größer als die momentane
Änderungsrate an der Stelle x = 3.
e) Lineare Funktionen (2P)
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist die Messung in °F
(Fahrenheit) üblich.
Es gilt folgender Zusammenhang: f(x )  95 x  32 (x ... Temperatur in °C, f(x) ... Temperatur in °F)
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander
 direkt proportional, da gilt: Je mehr °C, desto mehr °F.
 direkt proportional, da eine Zunahme um 1°C immer eine Erwärmung um gleich viele °F bedeutet.
 indirekt proportional, da es beispielsweise bei 320°F genau halb so viele °C hat.
 nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet, dass die Temperatur
auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel absinkt.
 nicht proportional, da der entsprechende Funktionsterm die Form f(x) = kx+d mit d ≠ 0 hat.
f) Potenzfunktionen (2P)
In der Abbildung sind zwei gebrochen rationale Funktionen
der Form f1 (x )  ax , a  0 und f2 (x )  a2 , a  0 dargestellt.
x
Kreuze die richtige Aussage an und begründe deine Entscheidung.
Der Schnittpunkt S zweier solcher Funktionen ist immer
 S(1/1)
 S(a/1)
 S(1/a)
 S(a/a)
 S(a/a²)
 S(1/ a )
(2) GERADEN UND EBENEN
15 P
Gegeben sind die Punkte A(1/2/1), B(0(-2/10) und C(3/-4/4), die Gerade g: X = (-2/4/7) + t(-3/2/6)
und die Ebene E: X = (-2/-1/-10) + u(1/0/-3) + v(0/2/-3)
a) Zeige, dass der Punkt A auf der Geraden g liegt.
(2P)
b) Lege durch B und C eine Gerade h und zeige, dass g und h parallel, aber nicht identisch sind.
(3P)
c) Bestimme die Gleichung der von g und h aufgespannten Ebene F in allgemeiner Form.
(2P)
d) Berechne den Abstand eines allgemein gegebenen Punktes P(p1/p2/p3) der Ebene E von der Ebene F.
Was lässt sich aus dem Ergebnis hinsichtlich der gegenseitigen Lage von E und F folgern?
(3P)
e) Begründe, warum die Gerade m: X = (1/2/3) + s(6/3/2) normal zur Ebene E ist.
(3P)
f) Nenne zwei Möglichkeiten für die Abstandsbestimmung eines Punktes P von einer Ebene E.
(2P)
(3) MATHEMATISCHE MODELLE
18 P
Umweltskandal:
Ein Gewässer wurde mit einem Umweltgift verseucht, das durch chemische Zersetzung nur langsam abgebaut
wird. In einem Liter Wasser sind zwei Jahre nach der Vergiftung noch 2 mg des Giftes, nach weiteren drei Jahren
noch 1 mg vorhanden. Es sei N(t) die Giftmenge (in mg pro Liter Wasser) nach t Jahren.
a) Bestimme die Menge des Giftes zu Beginn der Vergiftung,
wenn (1) exponentieller Abbau, (2) linearer Abbau des Giftes angenommen wird.
Stelle für beide Modelle jeweils eine Funktionsgleichung auf.
(8P)
b) Nach wie vielen Jahren ist nur mehr 1 % der Anfangsmenge vorhanden?
c)
Nach wie vielen Jahren ist das Gift ganz verschwunden?
Beantworte die Fragen für beide Modelle!
(Ersatzangabe: N(t )  3,948  0,7598t bzw. N(t)  12 (7  t) )
(6P)
Skizziere die Graphen beider Modelle für die ersten 8 Jahre in einem Koordinatensystem.
(4P)
(4) TRIGONOMETRIE – KREDITRÜCKZAHLUNG
21 P
Der Wandertag in der 5. Klasse führte uns von St. Johann
über die Geierwand zum Stubenbergsee – immer mit Blick
auf den Kulm, den „Steirischen Rigi“.
Von einer 10 m hohen Wasserrutsche aus kann man den
Gipfels des Kulms unter einem Höhenwinkel  = 9,489°
sehen, sein Spiegelbild im See unter einem Tiefenwinkel
 = 9,809°.
Fertige eine Skizze an und berechne die Höhe des
Kulmgipfels. Es ist dabei zu berücksichtigen, dass der
Stubenbergsee auf 380 m Seehöhe liegt.
(8P)
Ein Grundstück am See wird um 180 000 € zum
Verkauf angeboten.
Wie hoch ist der Preis pro m², wenn der Plan in etwa
dem Grundstück entspricht?
(6P)
(Maße in Meter)
Für die Finanzierung des Kaufpreises von 180 000 € bieten sich 2 Möglichkeiten an:
a) 80 000 € sofort bei Vertragsabschluss und den Rest in 5 Jahren bei einer Verzinsung von 6 % p.a.
Bestimme diese Restschuld.
b) Die Bank gewährt einen Kredit zu 6 % p.a., der bei einer Laufzeit von 10 Jahren in monatlichen Raten
getilgt werden soll.
Berechne die voraussichtliche Höhe einer monatlichen Rate, wenn die erste einen Monat
nach Auszahlung fällig ist.
(2P)
(5P)
Begründe, warum man bei monatlicher Ratenzahlung mit theoretischer quartalsmäßiger Verzinsung rechnet.
(5) STATISTIK – WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
16 P
Konzertbesuch: In der Gasometer-City in Wien finden regelmäßig Rock-/Popkonzerte statt. Die dort befindliche
Planet-City-Hall ist für 4000 Konzertbesucher zugelassen.
Aus Erfahrung weiß man, dass 3% der verkauften Karten nicht in Anspruch genommen werden.
a)
Ein Fan-Club hat eine Busfahrt zu einem Konzert in das Gasometer organisiert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 angemeldeten Leuten höchstens zwei nicht mitfahren
und ihre Karte verfallen lassen.
(4P)
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4000 verkauften Karten zwischen 100 und 140 Personen nicht
zum Konzert kommen?
Unter welchen Bedingungen darf die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden?
( 4P)
c)
Um die Halle optimal zu füllen, werden vom Veranstalter mehr als 4000 Karten verkauft.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei 4100 verkauften Karten nicht alle Konzertbesucher
eingelassen werden können?
Wie kann man vermeiden, dass man trotz gültiger Karte nicht eingelassen wird?
d)
(4P)
Die Lärmbelastung (der Schallpegel) wird in Dezibel (dB) gemessen. Während eines Konzerts im Gasometer
wurden Schallpegelmessungen durchgeführt und in Form eines Boxplots (Kastenschaubild) dargestellt.
(4P)
Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) zum abgebildeten Boxplot an.

Es wurden 28 Messungen durchgeführt.

Das 1. Quartil hat den Wert 84.

Der Median liegt bei (99+87)/2.

Im Intervall [87; 99] liegen die mittleren 50 % der Werte.

Im Intervall [84; 87] liegen 25 % der Werte
(6) DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
18 P
Brems- und Anhalteweg: Ein Auto hat die Anfangsgeschwindigkeit v0. Der Lenker erkennt eine Gefahr und
beginnt nach einer Reaktionszeit tR zu bremsen. Dabei wird angenommen, dass die Verzögerung gleichmäßig mit
a(t )  a bis zum Stillstand erfolgt.
a) Zeige mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung, dass die Formel für den Anhalteweg wie folgt lautet:
sA  v 0  t R 
v02
2a
(v0 in m/s; a in m/s²)
(6P)
b) Welches der vier abgebildeten Zeit-Weg-Diagramme beschreibt den Bremsweg bei Vollbremsung mit
konstanter Verzögerung? Begründe deine Wahl.
A
B
(4P)
C
D
c) Gegeben ist ein Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm eines aktuellen VW-Golfs bei einer Vollbremsung aus
100 km/h. (Datenquelle: www.auto-motor-und-sport.de).
Ermittle aus dem Diagramm näherungsweise die Verzögerung a und den Anhalteweg sA.
Beschreibe deine Vorgehensweise.
(4P)
d) Sicherheitsabstand: Sehr bekannt ist die - nur scheinbar - simple Regel „Abstand gleich halber Tacho". Nach
dieser Formel sollte der Autofahrer zum Beispiel bei 80 km/h 40 Meter Sicherheitsabstand wahren, bei 120
km/h 60 Meter. Allerdings lässt sich die reale Entfernung oft nur ungenau schätzen. Eine Orientierungshilfe
sind die Leitpfosten, die etwa alle 50 Meter am Straßenrand aufgestellt sind.
Kontrolliere diese Faustformel mit Hilfe obiger Formel für den Anhalteweg, in dem du eine ¾ Sekunde als
Reaktionszeit und 8 m/s² als Verzögerungswert annimmst. Diese Werte gelten für optimale Bedingungen
(trockene, nicht rutschige Fahrbahn).
Ist diese Faustformel ohne Einschränkungen anwendbar? Begründe deine Antwort.
(4P)
Als Hilfsmittel sind erlaubt:
* nicht programmierbare TR wie der TI 30 u.ä.
* die Mathematische Formelsammlung von Kraft, Götz u.a.
Zur Beurteilung:
Insgesamt sind 100 Punkte zu erreichen
Dabei ergibt sich folgende Notenvergabe:
Sehr gut
Gut
Befriedigend
Genügend
Nicht gen.
92 - 100
79 - 91
62 - 78
50 - 61
0 - 49
Gleisdorf, 7. März 2012