Übungsblatt 1. Gegeben sind die folgende Mengen: A = {x ∈ ℕ| 3

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Übungsblatt
1.
Gegeben sind die folgende Mengen:
A = {x ∈ ℕ| 3 ≤ x < 8}
B = {x ∈ ℕ| 6 ≤ x ≤ 11}
C = {x ∈ ℤ| -2 ≤ x < 5}
Bilden Sie die folgende Mengen, und geben Sie ihre Elemente an.
a)
A ∩ B = {6, 7} (1 Punkt)
b)
B \ A = {8, 9, 10, 11} (1 Punkt)
c)
B ∪ C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (1 Punkt)
2.
Zur Renovierung eines Hauses wird ein Kredit aufgenommen. 10% davon werden für den
Heizungsumbau, 25% für Installationen und 8% für Malerarbeiten benötigt. Für die übrigen
Arbeiten braucht man € 250.000,00. Berechnen Sie, wie hoch der Kredit ist.
€ 250.000,00 = 57%
G = Grundwert = 100 %
G  0,57  250000
250000
G
0,57
G  438596,5
Der Kredit ist € 438.596,50.
3.
Bei einer Vereinswahl entfielen auf die Kandidatin A genau 40 % der Stimmen, Kandidat B
erhielt um 3 Stimmen mehr als ein Fünftel der Stimmen, Kandidat C 31 Stimmen. Berechnen
Sie, wie viele Stimmen die Kandidatin A und wie viele Stimmen der Kandidat B erhalten hat.
100 % - (40 % + 20 %) = 40 % = 31 + 3 = 34 Stimmen
34 : 40 = 0,85 = 1 %
0,85 · 40 = 34 Stimmen (Kandidatin A);
0,85 · 20 = 17; 17 + 3 = 20 Stimmen (Kandidat B)
1
4.
Bei einer Bürgermeisterwahl gingen von 20 000 Wahlberechtigten 15 % nicht zur Wahl. Von
den abgegebenen Stimmen waren 95 % gültig. Von den drei Bürgermeisterkandidatinnen A,
B und C erhielt A 46 % der gültigen Stimmen und B erhielt 5814 Stimmen. Wie viele
Stimmen entfielen auf A und C?
20000 · 0,85 = 17000 (Wahlberechtigten, die zur Wahl gegangen sind)
17000 · 0,95 = 16150 (Gültige Stimmen)
16150 · 0,46 = 7429 (Kandidat A)
16150 – 7429 – 5814 = 2907 (Kandidat B)
5.
Ein Paket wiegt 17,5 kg, davon entfallen 2,1 kg auf die Verpackung. Wie viel Prozent der
Gesamtmasse macht die Verpackung aus?
2,1 / 17,5 = 0,12 = 12 %
Eine Ware kostet inklusive Umsatzsteuer € 234,90. Auf der Rechnung muss die
Umsatzsteuer (20 %) ausgewiesen werden. Ermitteln Sie, wie hoch der Nettopreis ist.
€ 234,90 = 120 %.
234 : 120 = 1,9575 = 1 %.
1,9575 · 100 = 195 = 100 %.
Der Nettopreis beträgt € 195,75.
6. Lineare Gleichungen
9 (x + 10) = 6 (10x - 70)
x = 10
(10x + 179) = 7 (4x + 5)
x=8
-5 (6x - 9) = 5 (8x - 89)
x=7
2 (4x + 8) = 8 (6x - 18)
x=4
3 (-9x + 3) = 2 (-3x - 69)
x=7
7 (-9x + 18) = 9 (-5x + 6)
x=4
-5 (4x - 10) = 2 (x + 36)
x = -1
2 (7x + 6) = -(10x - 108)
x=4
2
7 (10x - 69) = -7 (9x - 7)
x=4
4 (-8x + 1) = 4 (x - 44)
x=5
-3 (3x - 83) = 5 (5x + 9)
x=6
2 (10x + 28) = 6 (7x + 2)
x=2
-9 (2x + 6) = 2 (6x + 33)
x = -4
6 (-9x - 16) = 6 (x + 4)
x = -2
7
8
9
10
11
Vereinfache:
a) 5 . k . 3 . k =
7c . 8c =
13
c) b . 7b . 6c =
8t . s . 3t =
d) 4v . (–9w) . w =
(–2p) . 6r . (–5p) =
Zerlege vorerst jede Potenz in ihre Faktoren, dann vereinfache:
a) x . x2 =
b) b3 . b =
c) r2 . r3 =
d) 3a2 . 4a =
y4 . y2 =
t2 . t 2 =
u4 . u3 =
2t2 . 4t4 =
Vereinfache:
a) x3 . y2 . x =
b) r2 . s4 . s2 =
c) a4 . a . b3 . b2 =
Schreib ohne Klammern und vereinfache:
a) (3 . a)2 =
b) (2b)3 =
c) (xy)4 =
(2 . x)4 =
(6c)2 =
(rs)5 =
d) (– 3s)2 =
(– 4f)3 =
Schreib ohne Klammern und vereinfache:
a)
12
b) 4a . 3a . 5a =
6f . f . 7f =

a
b
3

b)

x
3
4

 
c)  r
2
2

d)
Fasse gleiche Potenzen zusammen:
a) 7 . a2 – 3 . a2 =
b) 3x3 + 5x2 + x3 + 4x2 =
5 . r3 + 3 . r 3 =
10x – 4x3 – 6x3 – 2x =
Vereinfache so weit wie möglich:
a) 4x2 – 3x . x =
b) 6a . 2a2 – 4a2 . 3a =
2a . 3a – (2a)2 =
(2s)3 – s . (2s)2 =
 
2a
3
3

e) 2b3 . 5b4 =
3p3 . 3p3 =
d) x . y5 . y2 . x2 =
e) (2ab)4 =
(5kp)3 =
 
e)  4k
s
3

c) s4 + 3s2 – 5s2 + 8s4 – a2 =
3a3 + 4a5 – 7a5 + 8a3 + 3b5 =
c) (3r)2 – 3r2 =
5k . 3k – (4k)2 =
d) 4s4 – (2s)4 =
(2a)3 – (2a)2 . 3a =
Lösungen zu Potenzen und Wurzeln:
7.
a) 15.k2; 56 . c2
b) 60a3; 42f3
8
a) x . (x . x) = x3; (y . y . y . y) . (y . y) = y6
b) b4; t4
c) r5; u7
9
a) x4 . y2
b) r2 . s6
c) 42b2c; 24st2
d) –36vw2; 60p2r
d) 3.a.a .4.a = 12a3 ; 2.t.t . 4.t.t.t.t = 8t6
e) 10b7; 9p6
c) a5b5
3
d) x3y7
10
11
a) 9 . a2; 16 . x4
b) 8b3; 36c2
c) x4y4; r5s5
d) 9s2; –64f3
4
b) x81
3
a) a
b3
12
a) 4a2; 8r3
13
a) x2; 2a2
8. a
e) 16a4b4; 125k3p3
2
c) r4
3
d) 8a
27
b) 4x3 + 9x2; 8x – 10x3
 n am 
 a
n
m
s
c) 6r2; –k2
d) –12s4; –4a3
füra  R, a  0
1. Aufgabe: Schreibe mit Wurzeln !
4
3
a) 7 
3
4
7 4
11
33

33
4
5
6
b  6 b5
11
2. Aufgabe: Schreibe als Potenz !
a)
3
 7
56  5²
4
5
4
3
 75
7
x3  x 7
3. Aufgabe: Berechne ohne Taschenrechner !
1
a) 27 3  3
3
c) 9s4 – 2s2 – a2; 11a3 – 3a5 + 3b5
b) 0; 4s3
m
n
e)  64k3
1
1
1
125 3  5
343 3  7
243 5  3
4. Aufgabe: Vereinfache !
3
a) 32 * 243 5  36
2
4
4
3 * 34  3
b)
0,5
0,5
1
5
4
5

3 2
  a


 
 0,5
6
5




10
4
2


4
 a


5. Aufgabe: Bestimme x !
a) 2 x * 2 3  32


b)   
  


92  


1
4
3
a7
 a 3 x = 4 4 x   2 24
x
a
x=2
2
x


2
 3


c) 3a  * x 2  36a 2
2
d) x 4 : a 1  a 3
x=a
x=2
3    27
x=2
x²+x²+x²+x²+x² = 125
6
2 x
x4
4a 4
5
 81
x=4
x=
x = 12a
1
4
x = 5 oder -5
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