Übungsblatt 1. Gegeben sind die folgende Mengen: A = {x ∈ ℕ| 3 ≤ x < 8} B = {x ∈ ℕ| 6 ≤ x ≤ 11} C = {x ∈ ℤ| -2 ≤ x < 5} Bilden Sie die folgende Mengen, und geben Sie ihre Elemente an. a) A ∩ B = {6, 7} (1 Punkt) b) B \ A = {8, 9, 10, 11} (1 Punkt) c) B ∪ C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (1 Punkt) 2. Zur Renovierung eines Hauses wird ein Kredit aufgenommen. 10% davon werden für den Heizungsumbau, 25% für Installationen und 8% für Malerarbeiten benötigt. Für die übrigen Arbeiten braucht man € 250.000,00. Berechnen Sie, wie hoch der Kredit ist. € 250.000,00 = 57% G = Grundwert = 100 % G 0,57 250000 250000 G 0,57 G 438596,5 Der Kredit ist € 438.596,50. 3. Bei einer Vereinswahl entfielen auf die Kandidatin A genau 40 % der Stimmen, Kandidat B erhielt um 3 Stimmen mehr als ein Fünftel der Stimmen, Kandidat C 31 Stimmen. Berechnen Sie, wie viele Stimmen die Kandidatin A und wie viele Stimmen der Kandidat B erhalten hat. 100 % - (40 % + 20 %) = 40 % = 31 + 3 = 34 Stimmen 34 : 40 = 0,85 = 1 % 0,85 · 40 = 34 Stimmen (Kandidatin A); 0,85 · 20 = 17; 17 + 3 = 20 Stimmen (Kandidat B) 1 4. Bei einer Bürgermeisterwahl gingen von 20 000 Wahlberechtigten 15 % nicht zur Wahl. Von den abgegebenen Stimmen waren 95 % gültig. Von den drei Bürgermeisterkandidatinnen A, B und C erhielt A 46 % der gültigen Stimmen und B erhielt 5814 Stimmen. Wie viele Stimmen entfielen auf A und C? 20000 · 0,85 = 17000 (Wahlberechtigten, die zur Wahl gegangen sind) 17000 · 0,95 = 16150 (Gültige Stimmen) 16150 · 0,46 = 7429 (Kandidat A) 16150 – 7429 – 5814 = 2907 (Kandidat B) 5. Ein Paket wiegt 17,5 kg, davon entfallen 2,1 kg auf die Verpackung. Wie viel Prozent der Gesamtmasse macht die Verpackung aus? 2,1 / 17,5 = 0,12 = 12 % Eine Ware kostet inklusive Umsatzsteuer € 234,90. Auf der Rechnung muss die Umsatzsteuer (20 %) ausgewiesen werden. Ermitteln Sie, wie hoch der Nettopreis ist. € 234,90 = 120 %. 234 : 120 = 1,9575 = 1 %. 1,9575 · 100 = 195 = 100 %. Der Nettopreis beträgt € 195,75. 6. Lineare Gleichungen 9 (x + 10) = 6 (10x - 70) x = 10 (10x + 179) = 7 (4x + 5) x=8 -5 (6x - 9) = 5 (8x - 89) x=7 2 (4x + 8) = 8 (6x - 18) x=4 3 (-9x + 3) = 2 (-3x - 69) x=7 7 (-9x + 18) = 9 (-5x + 6) x=4 -5 (4x - 10) = 2 (x + 36) x = -1 2 (7x + 6) = -(10x - 108) x=4 2 7 (10x - 69) = -7 (9x - 7) x=4 4 (-8x + 1) = 4 (x - 44) x=5 -3 (3x - 83) = 5 (5x + 9) x=6 2 (10x + 28) = 6 (7x + 2) x=2 -9 (2x + 6) = 2 (6x + 33) x = -4 6 (-9x - 16) = 6 (x + 4) x = -2 7 8 9 10 11 Vereinfache: a) 5 . k . 3 . k = 7c . 8c = 13 c) b . 7b . 6c = 8t . s . 3t = d) 4v . (–9w) . w = (–2p) . 6r . (–5p) = Zerlege vorerst jede Potenz in ihre Faktoren, dann vereinfache: a) x . x2 = b) b3 . b = c) r2 . r3 = d) 3a2 . 4a = y4 . y2 = t2 . t 2 = u4 . u3 = 2t2 . 4t4 = Vereinfache: a) x3 . y2 . x = b) r2 . s4 . s2 = c) a4 . a . b3 . b2 = Schreib ohne Klammern und vereinfache: a) (3 . a)2 = b) (2b)3 = c) (xy)4 = (2 . x)4 = (6c)2 = (rs)5 = d) (– 3s)2 = (– 4f)3 = Schreib ohne Klammern und vereinfache: a) 12 b) 4a . 3a . 5a = 6f . f . 7f = a b 3 b) x 3 4 c) r 2 2 d) Fasse gleiche Potenzen zusammen: a) 7 . a2 – 3 . a2 = b) 3x3 + 5x2 + x3 + 4x2 = 5 . r3 + 3 . r 3 = 10x – 4x3 – 6x3 – 2x = Vereinfache so weit wie möglich: a) 4x2 – 3x . x = b) 6a . 2a2 – 4a2 . 3a = 2a . 3a – (2a)2 = (2s)3 – s . (2s)2 = 2a 3 3 e) 2b3 . 5b4 = 3p3 . 3p3 = d) x . y5 . y2 . x2 = e) (2ab)4 = (5kp)3 = e) 4k s 3 c) s4 + 3s2 – 5s2 + 8s4 – a2 = 3a3 + 4a5 – 7a5 + 8a3 + 3b5 = c) (3r)2 – 3r2 = 5k . 3k – (4k)2 = d) 4s4 – (2s)4 = (2a)3 – (2a)2 . 3a = Lösungen zu Potenzen und Wurzeln: 7. a) 15.k2; 56 . c2 b) 60a3; 42f3 8 a) x . (x . x) = x3; (y . y . y . y) . (y . y) = y6 b) b4; t4 c) r5; u7 9 a) x4 . y2 b) r2 . s6 c) 42b2c; 24st2 d) –36vw2; 60p2r d) 3.a.a .4.a = 12a3 ; 2.t.t . 4.t.t.t.t = 8t6 e) 10b7; 9p6 c) a5b5 3 d) x3y7 10 11 a) 9 . a2; 16 . x4 b) 8b3; 36c2 c) x4y4; r5s5 d) 9s2; –64f3 4 b) x81 3 a) a b3 12 a) 4a2; 8r3 13 a) x2; 2a2 8. a e) 16a4b4; 125k3p3 2 c) r4 3 d) 8a 27 b) 4x3 + 9x2; 8x – 10x3 n am a n m s c) 6r2; –k2 d) –12s4; –4a3 füra R, a 0 1. Aufgabe: Schreibe mit Wurzeln ! 4 3 a) 7 3 4 7 4 11 33 33 4 5 6 b 6 b5 11 2. Aufgabe: Schreibe als Potenz ! a) 3 7 56 5² 4 5 4 3 75 7 x3 x 7 3. Aufgabe: Berechne ohne Taschenrechner ! 1 a) 27 3 3 3 c) 9s4 – 2s2 – a2; 11a3 – 3a5 + 3b5 b) 0; 4s3 m n e) 64k3 1 1 1 125 3 5 343 3 7 243 5 3 4. Aufgabe: Vereinfache ! 3 a) 32 * 243 5 36 2 4 4 3 * 34 3 b) 0,5 0,5 1 5 4 5 3 2 a 0,5 6 5 10 4 2 4 a 5. Aufgabe: Bestimme x ! a) 2 x * 2 3 32 b) 92 1 4 3 a7 a 3 x = 4 4 x 2 24 x a x=2 2 x 2 3 c) 3a * x 2 36a 2 2 d) x 4 : a 1 a 3 x=a x=2 3 27 x=2 x²+x²+x²+x²+x² = 125 6 2 x x4 4a 4 5 81 x=4 x= x = 12a 1 4 x = 5 oder -5