Taktische Probleme
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Kapitel 4
Taktische Planungsprobleme
(Konfiguration und Dimensionierung)
Zusammenhang der verschiedenen Ebenen
strategische Grundsatzentscheidungen
Konkretisierung und Umsetzung in der taktischen Planung
durch Konfigurierungs- und
Dimensionierungs-entscheidungen
Bestmögliche Nutzung der konfigurierten
Produktionsanlagen in der operativen Ebene
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 2
4.1 Konfiguration von WerkstattfertigungsProduktionssystemen
starke Unterscheidung der zu bearbeitenden Aufträge
(z.B. in der Teileproduktion im Maschinenbau):
Keine Anordnung der Arbeitssysteme nach dem Objektprinzip
möglich, da kein einheitlicher Materialfluss existiert
Anordnung nach dem Funktionsprinzip: Hier werden
Arbeitssysteme, die gleichartige Funktionen (Operationen,
Arbeitsgänge) durchführen können, räumlich in einer Werkstatt
(Stanzerei, Dreherei, Galvanik) zusammengefasst.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 3
Werkstattproduktion
Aufträge müssen regelmäßig auf ihre Bearbeitung an einer
Maschine oder auf den Transport zur nächsten Maschine warten
Wartevorgänge führen zu (unerwünschten)
Zwischenlagerbeständen von angearbeiteten Erzeugnissen
Leerzeiten, wenn eine Maschine auf einen Auftrag wartet, weil
dessen voriger Arbeitsgang in einer anderen Werkstatt noch nicht
abgeschlossen ist oder weil er auf ein Transportmittel wartet.
Gänzliche Verhinderung dieser unerwünschten Effekte nicht möglich
Milderung der Effekte durch intelligente Einlastungsstrategien
(operativ) und sinnvolle Anordnung der Werkstätten (taktisch)
Typisches Konfigurationsproblem:
(quadratisches) Zuordnungsproblem
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 4
4.1.1 (lineares) Zuordnungsproblem
(linear assignment problem, LAP)
Das einfachste Optimierungsproblem der innerbetrieblichen
Standortplanung ist das (lineare) Zuordnungsproblem.
Gegeben:
n Maschinen (Aktivitäten, Arbeiter)
n mögliche Standorte (Zeitpunkte, Projekte)
cij ... Kosten des Betriebs von Maschine i an Standort j
Jede Maschine ist an einem Standort zu betreiben, wobei
an keinem Standort mehr als eine Maschine betrieben
werden darf. Die Gesamtkosten sind zu minimieren.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 5
Beispiel 1
3 Maschinen, 4 Standorte und folgenden Kosten cij
Standort
j=
i\j
1
2
3
4
Maschine
1
13
10
12
11
i=
2
15
13
20
3
5
7
10
6
Maschine 2 kann auf Standort 2 nicht betrieben werden - daher Kosten
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 6
Beispiel 1 - Dummy
Falls Anzahl Standorte ≠ Anzahl Maschinen
Hinzufügen von Dummymaschinen (-zeilen) oder Dummystandorten
(-spalten) mit Kosten Null (immer möglich)
Standort
j=
i\j
1
2
3
4
Maschine
1
13
10
12
11
i=
2
15
13
20
3
5
7
10
6
4
0
0
0
0
Dummy
Ein Standort bzw. eine Maschine, dem/der der Dummy zugeordnet
wird, bleibt leer bzw. wird nicht aufgestellt.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 7
LP - Formulierung
xij =
Kosten:
1 wenn Maschine i auf Standort j betrieben wird,
0 sonst
n n
K
cij xij min
i 1 j 1
Nebenbedingungen:
n
xij
= 1 für i = 1,...,n ... jede Maschine 1 zuordnen
xij
= 1 für j = 1,...,n ... genau 1 Masch. pro Standort
j 1
n
i 1
xij = 0 oder 1 für i = 1,...,n und j = 1,...,n
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 8
4.1.1.1 Formulierung als Transportproblem
Vergleich der LP-Formulierungen von TP und LAP
Jedes LAP kann als Spezialfall eines Transportproblems angesehen
werden, wobei jede Maschine als Anbieter mit "Kapazität" 1 und
jeder Standort als Abnehmer mit „Nachfrage" 1 interpretiert wird.
Obwohl das Transportproblem grundsätzlich auch nicht-ganzzahlige
xij zulässt, ist sichergestellt, dass die optimale Lösung die
Eigenschaft besitzt, dass genau n Variablen den Wert 1 besitzen
und alle anderen Null sind. Damit erhält man eine zulässige
Zuordnung.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 9
Beispiel 1 – LAP als TP
i\j
1
2
3
4
si
-10
1
13
10
12
11
1
-13
2
15
13
20
1
-5
3
5
7
10
6
1
4
0
0
0
0
1
dj
1
1
1
1
reduzierte Kostenmatrix:
Es ist immer möglich zunächst in jeder Zeile bzw. Spalte von jedem
Kostenkoeffizienten den kleinsten Kostenkoeffizienten dieser Zeile
bzw. Spalte abzuziehen (dabei bleibt die optimale Lösung
unverändert - nicht aber die Kosten)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 10
Reduzierte Kostenmatrix
i\j
1
2
3
4
1
3
2
2
2
0
1
7
3
0
0
2
5
1
0
0
0
0
Dummy
4
Spaltenminimummethode liefert hier optimale Lösung
(reduzierten) Kosten = Null
Die Maschinen 1, 2 und 3 werden auf Standort 2, 3 und 1 betrieben; Standort 4
bleibt frei (da ihm die Dummy-Maschine 4 zugeordnet wurde).
Bei größeren Problemen muss man zumeist noch einige Schritte des MODIverfahrens anschließen, um zur optimalen Lösung zu gelangen.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 11
4.1.1.2 Ungarische Methode
Kuhn´s algorithm
exaktes Verfahren
besteht aus mehreren Schritten:
Schritt I: Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)
Schritt II: Suche nach einer optimalen Lösung
Schritt III: Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen
und Spalten, die alle Nullen enthält
Schritt IV: Generierung zusätzlicher Nullen – Kostenreduktion
Schritt V: Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 12
4.1.1.2.1 Schritt I
Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten)
Von jedem Element einer Spalte wird das kleinste
Element dieser Spalte abgezogen;
Von jedem Element einer Zeile wird das kleinste Element
dieser Zeile abgezogen;
Wenn schon ein Element 0 ist, kann nichts abgezogen
werden!
Man erhält so eine Matrix, die in jeder Zeile und in jeder
Spalte mindestens eine Null aufweist.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 13
Beispiel 2
17,5
15
9
5,5
12
13
7
0,5
0,5
6,5
11,5
8,5
2
0
5
7,5
7,5
6
6
0
16
16,5 10,5
5
10,5
12
15,5 14,5
11
5,5
4,5
8
14
17,5
13
0
0
5,5
12,5
7,5
13
9,5
8,5
12
17,5
8,5
1,5
0
7
12
-4,5
-8
-8,5
-5
-5,5
12,5
6,5
0
0
6
11,5
8,5
2
0
5
7,5
7,5
6
6
0
0
0
5,5
12,5
7,5
8,5
1,5
0
7
12
K = 4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5
= 32
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
-0,5
Kapitel 4 / 14
Schritt II
Suche nach einer optimalen Lösung
Man sucht eine Lösung, für die die Kostensumme den
Wert Null annimmt, wo also genau eine Null in jeder
Zeile und jeder Spalte auftritt (umrahmte bzw. schattierte
Nullen, s.u.).
Falls das zutrifft, haben wir eine optimale Lösung
gefunden.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 15
Beispiel 1 – nach Reduktion
3
0
2
1
2
0
7
0
2
5
1
0
0
0
0
Optimale Lösung gefunden!
Suche eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig Nullen (möglichst genau
eine Null) und umrahme (schattiere) eine Null dieser Zeile oder Spalte! – hier
ist vorläufig eine Zuordnung erfolgt.
Durchkreuze alle Nullen in dieser Zeile oder Spalte (sodass in jeder Zeile oder
Spalte mit einer umrahmten Null alle anderen Nullen durchkreuzt sind). In
dieser Zeile bzw. Spalte kann ja keine Zuordnung mehr erfolgen.
Danach sucht man wieder eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig nichtmarkierten Nullen, usw., bis keine Null mehr umrahmt werden kann.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 16
Beispiel 2 – nach Reduktion
12,5
6,5
0
0
6
2. Null
11,5
8,5
2
0
5
1. Null
7,5
7,5
6
6
0
3. Null
0
0
5,5
12,5
7,5
4. Null
8,5
1,5
0
7
12
(c) Prof. Richard F. Hartl
Noch keine optimale Lösung
gefunden!
(bzw. Optimalität nicht
bewiesen)
Operations Management
Kapitel 4 / 17
4.1.1.2.3 Schritt III
Bestimmung einer minimalen Anordnung von
Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthält
a) Kennzeichne (z.B. durch ein Kreuz X) alle Zeilen, die keine
umrahmten Nullen enthalten.
b) Kennzeichne alle Spalten, die mindestens eine durchgekreuzte
Null auf einer gekennzeichneten Zeile enthalten.
c) Kennzeichne alle Zeilen, die eine umrahmte Null in einer
gekennzeichneten Spalte enthalten.
d) Wiederhole b) und c) bis keine Spalte oder Zeile mehr
gekennzeichnet werden kann.
e) Markiere mit einer durchgehenden Linie jede nicht
gekennzeichnete Zeile und jede gekennzeichnete Spalte.
(schattiert). Alle (umrahmten und durchgekreuzten) Nullen sind
dann mit mindestens einer Linie markiert.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 18
Beispiel 2
(c) Prof. Richard F. Hartl
12,5
6,5
0
0
6
11,5
8,5
2
0
5
7,5
7,5
6
6
0
0
0
5,5
12,5
7,5
8,5
1,5
0
7
12
Operations Management
Kapitel 4 / 19
Schritt IV
Generierung zusätzlicher Nullen - Kostenreduktion
Wähle unter allen nicht überdeckten Elementen das
kleinste.
Dieses Element a wird
von allen nicht überdeckten Elementen subtrahiert und
zu allen doppelt überdeckten Elementen addiert
Es ist sichergestellt, dass durch diese Transformation die
optimale Lösung nicht verändert wird
Allerdings werden die Gesamtkosten um a reduziert
(Erhöhung der Reduktionskonstante)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 20
Beispiel 2
12,5
6,5
0
0
6
11
5
0
0
4,5
11,5
8,5
2
0
5
10
7
2
0
3,5
7,5
7,5
6
6
0
7,5
7,5
7,5
7,5
0
0
0
5,5
12,5
7,5
0
0
7
14
7,5
8,5
1,5
0
7
12
7
0
0
7
10,5
a = 1,5
(c) Prof. Richard F. Hartl
Eine zusätzliche Null bei Zuordnung
5 2 erhöhte Chance,
Zuordnung mit Kosten 0 zu finden
Operations Management
Kapitel 4 / 21
Schritt V
Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes
Wie in Schritt II wird versucht, eine optimale Zuordnung
zu finden.
Gelingt dies nicht, müssen wir die Iteration ab Schritt II
wiederholen.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 22
Beispiel 2 – Iteration 2
11
5
0
0
4,5
Maschine 1 auf Standort 3
10
7
2
0
3,5
Maschine 2 auf Standort 4
7,5
7,5
7,5
7,5
0
Maschine 3 auf Standort 5
0
0
7
14
7,5
Maschine 4 auf Standort 1
7
0
0
7
10,5
Maschine 5 auf Standort 2
Optimale Zuordnung gefunden!
Gesamtkosten: Addition aller Reduktionskonstanten aus Schritten I und IX:
K= (4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5) + (1,5) = 33,5
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 23
4.1.1.3 Übungsbeispiele – Beispiel 1
Löse das folgende Zuordnungsproblem:
1
2
3
4
5
1
12
8
7
15
4
2
7
9
17
14
10
3
9
6
12
6
7
4
7
6
14
6
10
5
9
6
12
10
6
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 24
Beispiel 2
Sechs Ingenieuren sollen auf 6 Strandorte aufgeteilt werden. Die
folgende Tabelle gibt den Nutzen für die Firma bei den entsprechenden
Zuordnungen an:
A
B
C
D
E
F
I1
4
8
16
20
12
0
I2
16
20
8
0
4
12
I3
0
12
4
16
20
8
I4
4
0
16
12
20
I5
12
16
0
8
I6
20
16
12
0
A:
Morlaix
B:
Bayonne
C:
Strasbourg
8
D:
Annecy
20
4
E:
Aix en Provence
4
8
F:
Dunkerque
Maximiere den Gesamtnutzen!
[Hinweis: Transformation z.B. „Kosten“ = 20 - Nutzen]
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 25
Beispiel 3
Schwimm-Mannschaft für 200m-Lagen-Staffel; einer muss zuschauen.
Die bisherigen Saisonergebnisse bzw. daraus prognostizieren Zeiten
sind:
Schwimmer
Bewerb
Carl
Chris
David
Tony
Ken
Rücken
37,7
32,9
33,8
37
35,4
Brust
43,4
33,1
42,2
34,7
41,8
Butterfly
33,3
28,5
38,9
30,4
33,6
Freistil
29,2
26,4
29,6
28,5
31,1
Es soll die optimale Zusammenstellung der Staffel ermittelt werden!
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 26
4.1.2 Layoutplanung – quadratisches
Zuordnungsproblem (QAP)
quadratische Zuordnungsproblem
(QZOP, quadratic assignment problem, QAP):
ist das typische mathematische Modell zur Beschreibung
innerbetrieblicher Standortprobleme
vgl. dazu Kapitel 6 von Domschke, W.; Drexl, A.:
Logistik: Standorte (Bd. 3), 3. Aufl., Oldenbourg,
München, 1990:
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 27
4.1.2.1 Formulierung
Zur Beschreibung benötigen wir
die Distanzen zwischen den Standorten, und
den Materialfluss zwischen den Organisationseinheiten:
n Organisationseinheiten (OE)
alle OE sind gleich groß paarweise vertauschbar
n Standorte, jeder kann jede OE aufnehmen (genau eine)
thi ... Transportintensität,
Stärke des Materialflusses von OE h nach OE i
djk ... Distanz zwischen Standort j und Standort k
Entfernungen nicht notwendigerweise symmetrisch
Transportkosten proportional zur transportierten Menge und
zur zurückgelegten Entfernung
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 28
Formulierung II
Wenn nun OE h auf Standort j angeordnet wird
und OE i auf Standort k,
dann sind die Transportkosten pro Einheit
von OE h zu OE i gegeben durch djk.
Dies ist zu multiplizieren mit dem Materialfluss thi. von OE h zu OE i
...
h
thi.
...
i
...
OE
Kosten = thi djk
djk.
...
j
(c) Prof. Richard F. Hartl
...
k
...
Operations Management
Standorte
Kapitel 4 / 29
Formulierung III
Definition wie beim LAP:
binäre Entscheidungsvariable
1 wenn OE h auf Standort j
xhj
0 sonst
Wenn nun OE h Standort j (xhj = 1)
und OE i Standort k (xik = 1)
thi.
...
h
OE
...
Kosten = thi djk
xik = 1
xhj = 1
...
i
...
djk.
j
k
...
Standorte
...
n
d jk xhj xik
Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i :
Gesamte Transportkosten:
n
n
n
j 1 k 1
n
t d x x
h 1 i 1 j 1 k 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
n
hi
jk
Operations Management
hj
ik
Kapitel 4 / 30
Zielfunktion und Nebenbedingungen
ZF: Minimiere die gesamten Transportkosten zwischen allen OE
n n n n
thi d jk xhj xik min
h 1 i 1 j 1k 1
Nebenbedingungen
Quadratische Zielfunktion QAP
ident mit dem LAP!!!
n
xhj 1
j 1
für h = 1, ... , n
... jede OE h an genau einem Standort j
für j = 1, ... , n
... jeder Standort j bekommt genau eine OE h
n
xhj 1
h 1
xhj = 0 oder 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
... binäre Entscheidungsvariable
Operations Management
Kapitel 4 / 31
Beispiel
Ermittlung der Kosten bei 3 OE (1 ,2 ,3) und 3 Standorten (A, B, C)
Distanzen zwischen
den Standorten djk
A
B
C
A
A 0
D B 1
C 3
B
1
0
1
C
2
1
0
Transportintensitäten thi
1
1 0
T 2 2
3 3
2
1
0
1
3
1
2
0
mögliche Lösung:
1 A, 2 B, 3 C, also x1A = 1, x2B = 1, x3C = 1, alle anderen xij = 0
Die Nebenbedingungen sind erfüllt.
Gesamten Transportkosten:
0*0 + 1*1 + 2*1 + 1*2 + 0*0 + 1*2 + 3*3 + 1*1 + 0*0 = 17
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 32
Beispiel
Diese Lösung ist nicht optimal, da gerade die OE 1 und 3, zwischen
denen ein starker Materialfluss herrscht, auf die entferntesten
Standorte A und C gelegt wurden.
Besser wäre z.B.:
1 C, 2 A und 3 B, also x1C = 1, x2A = 1, x3B = 1.
mit den gesamten Transportkosten:
0*0 + 3*1 + 1*1 + 2*2 + 0*0 + 2*1 + 1*3 + 1*1 + 0*0 = 14
Distanzen
2A
3B 1C
(c) Prof. Richard F. Hartl
A
C
A 0
C
DB
A 12
C
B 31
BA
13
0
1
C
B
21
1
0
Operations Management
Transportintensitäten
1
1 0
T 2 2
3 3
2
1
0
1
3
1
2
0
Kapitel 4 / 33
Beispiel (Fortsetzung)
dazu wurde die Matrix
A
A 0
D B 1
C 3
B
1
0
1
C
2
1
0
so umsortiert, dass die Zeilen und Spalten in der Reihenfolge
1 C, 2 A und 3 B, also C, A, B auftreten:
(dabei sollte man die Umsortierung in 2 Schritten machen, zuerst Zeilen,
dann Spalten, oder umgekehrt)
A
A 0
D B 1
C 3
B
1
0
1
(c) Prof. Richard F. Hartl
C
2
1
0
C
A 2
D B 1
C 0
A
0
1
3
B
1
0
1
Operations Management
C
C 0
D A 2
B 1
A
3
0
1
B
1
1
0
Kapitel 4 / 34
4.1.2.2 Eröffnungsverfahren
Eröffnungsverfahren:
Entstehung durch Kombination von jeweils einer der
folgenden Möglichkeiten zur Wahl einer OE und zur
Wahl eines Standortes.
Die schon angeordneten OE bilden den so genannten
Kern
In jeder Iteration wird eine weitere OE angeordnet,
wobei folgende Prioritätsregeln zur Auswahl stehen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 35
1) Wahl einer (noch nicht angeordneten) OE
A1
A2
A3
A4
jene, die zu sämtlichen (anderen) OE die größte
Summe der Transportintensitäten besitzt
a) jene, die zur zuletzt angeordneten OE die größte
Transportintensität besitzt
b) jene, die die größte Transportintensität zu einer
angeordneten OE besitzt
jene, die zu allen angeordneten OE (Kern) die größte
Summe der Transportintensitäten besitzt
zufällige Auswahl der OE
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 36
2) Wahl eines (noch nicht besetzten)
Standortes
B1
B2
B3
B4
jener, der die geringste Summe der Entfernungen zu
sämtlichen Standorten besitzt
einer, der dem zuletzt belegten Standorten
benachbart ist
a) einer, sodass die Summe der Transportkosten zum
Kern minimal ist
b) wie a) wobei noch versucht wird, den Platz mit
benachbarten OE zu vertauschen
c) ein Platz (frei oder besetzt) sodass die Summe der
Transportkosten innerhalb des neuen Kernes minimal
wird
zufällige Auswahl des Standortes
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 37
Beispiel
Kombination der einfachsten Regeln A1 und B1:
OE nach fallender Summe der Transportintensitäten
sortieren
Standorte nach steigender Summe der Entfernungen zu
sämtlichen Standorten sortieren
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Manhatten-Distanz zwischen den Standorten.
(da symmetrisch, muss nur die obere Dreiecksmatrix
betrachtet werden)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 38
Summe des
Materialflusses
15 und 51
Beispiel - Transportintensitäten
OE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
-
-
-
-
3
-
-
-
-
3
-
3
1
2
-
4
-
-
10
-
3
5
2
-
3
4
20
-
-
-
1
-
-
5
-
2
2
1
-
15
-
-
-
-
4
-
-
-
7
-
-
4
-
4
2
3
4
5
6
7
8
9
Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 39
Beispiel - Entfernungen
St.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
-
1
2
1
2
3
2
3
4
18
-
1
2
1
2
3
2
3
15
-
3
2
1
4
3
2
18
-
1
2
1
2
3
15
-
1
2
1
2
12
-
3
2
1
15
-
1
2
18
-
1
15
-
18
B
C
D
E
F
G
H
I
Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 40
Zuordnung
Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1
Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I
Zuordnung:
OE 1 2 3 4 5 6 7 8 9
St.
(c) Prof. Richard F. Hartl
I D E H B A F C G
Operations Management
Kapitel 4 / 41
Ermittlung der Kosten
OE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
-
-
-
-
3*3
-
-
-
-
2*2
-
4*2
-
-
3*1
5*1
2*2
-
3*2
4*2
-
-
-
1*2
-
-
-
2*1
2*2
1*1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2
-
3
4
5
6
7
8
3*1 1*2
-
9
(c) Prof. Richard F. Hartl
Auf 1 und 5 stehen I
und B mit
Transportintensität 3
3 (Distanz 1-5) *
3 (Intensität I-B)
Gesamtkosten = 61
-
Operations Management
Kapitel 4 / 42
4.1.2.3 Verbesserungsverfahren
Vertauschungen von OE-Paaren vornehmen (wie
eingangs im Beispiel)
Man probiert, ob sich die Kosten verringern wenn 2 OE
die Standorte tauschen.
Wenn es die Rechenzeit erlaubt, kann man auch
versuchen, OE-Tripeln zu vertauschen
Bei paarweisen Vertauschungen gibt es verschiedene
Möglichkeiten:
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 43
paarweise Vertauschungen
Auswahl der Paare, deren Vertauschung überprüft wird:
C1
alle n(n - 1)/2 Paare
C2
eine bestimmte Teilmenge aller Paare
C3
zufällige Auswahl
Auswahl der Paare, die vertauscht werden:
D1
jenes gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich die
größte Kostensenkung ergibt (bestes Paar)
D2
das erste gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich
eine Kostensenkung ergibt (erstes Paar)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 44
Qualität der Lösungen I
Kombination C1 mit D1:
Rechenaufwand höher als bei den anderen Varianten
Lösungsgüte besser als bei den anderen Varianten
Oft wird zu Beginn C2 gewählt und später C1.
(Kombination C1 und D2 wäre 2-opt beim TSP.)
CRAFT :
sehr bekanntes (heuristisches) Lösungsverfahren
entspricht Kombination C1 und D1 (für OE mit gleichem
Platzbedarf)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 45
Qualität der Lösungen II
zufällige Auswahl (C3 und D2):
recht gute Resultate
beste Vertauschung aus der Menge der überprüften Lösungen
ergibt manchmal eine Verschlechterung
jedoch kein Nachteil (Gefahr des Hängenbleibens in lokalen
Optima verringert sich)
„Metaheuristiken“ in Modul Transportmanagement
Literatur: sämtliche Kombination der Grundideen bzw.
Varianten unter A, B, C und D
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 46
4.1.2.4 Umlaufmethode
Heuristik
Kombination der Ideen von Eröffnungs- und
Verbesserungsverfahren
Bestandteilen:
Initialisierung (i = 1):
Ordne die OE mit der größten Summe der Transportintensitäten
[A1] in der Mitte des Standortträgers an (d.h. wo die Summe der
Distanzen zu allen anderen Standorten minimal ist [B1]).
Iteration i (i = 2, ... , n): ordne die i-te OE zu
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 47
Teil 1
Auswahl einer OE und eines freien Platzes:
wähle jene OE, die zu allen im Kern angeordneten OE die größte
Summe der Transportintensitäten besitzt [A3]
ordne sie auf einen freien Standort zu, so dass die Summe der
Transportkosten zum Kern (bzw. innerhalb des neuen Kernes)
minimal ist [B3a]
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 48
Teil 2
Verbesserungsschritt ab Iteration i = 4:
versuche paarweise Vertauschungen der eben angeordneten OE
mit allen anderen im Kern angeordneten OE [C2]
wenn eine Verbesserung gefunden ist, führe diese Änderung durch
und beginne wieder mit Teil 2 [D2]
Das Verfahren endet mit Abschluss von Iteration i = n,
nachdem alle OE angeordnet sind.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 49
Beispiel – Teil 1
Initialisierung (i = 1):
E = Zentrum
Dort wird zunächst OE 3 angeordnet.
(c) Prof. Richard F. Hartl
A
B
C
D
E 3
F
G
H
I
Operations Management
Kapitel 4 / 50
Reihenfolge der Anordnung
i=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
OE
3
5
2
7
4
6
8
9
1
1
0
3
0
0
0
0
0
0
2
3
2
3
4
3
0
5
5
6
2
2
0
0
7
0
2
4
8
3
1
0
0
0
0
9
4
0
0
0
0
0
0
i=9
i = 3: 2 hat gr. Mat.fluss zum Kern (3,5)
i = 1: zunächst wird 3 angeordnet
1
1
i=5
i = 2: 5 hat größten Mat.fluss zu 3
(c) Prof. Richard F. Hartl
0
i=6
i=4
i=7
i=8
Operations Management
Kapitel 4 / 51
Beispiel – Teil 1
Iteration i = 2
unter allen OE ist der Materialfluss von 5 zum
Kern 3 maximal
Distanzen dBE = dDE = dFE = dHE = 1
gleichzeitig minimal
D gewählt,
B
C
D 5 E 3
In Schritt i = 2 wird also D-5 zugeordnet.
(c) Prof. Richard F. Hartl
A
Operations Management
G
H
F
I
Kapitel 4 / 52
Beispiel – Teil 1
Iteration i = 3
unter allen OE ist der Materialfluß von 2 zum Kern (3, 5)
maximal
Suche Standort X, sodass
dXEt23 + dXDd25 = dXE3 + dXD2 minimal wird: (A, B, G od. H)
X=A
X=B
X=F
X=G
X=H
dAE3 + dAD2 = 23 + 12 = 8
dBE3 + dBD2 = 13 + 22 = 7
dFE3 + dFD2 = 13 + 22 = 7
dGE3 + dGD2 = 23 + 12 = 8
dHE3 + dHD2 = 13 + 22 = 7
B, F oder H B gewählt
In Schritt i = 3 wird also B-2 zugeordnet.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
A
B 2
C
D 5 E 3
F
G
H
I
Kapitel 4 / 53
Beispiel – Teil 1
Iteration i = 4
unter allen OE ist der Materialfluss von 7 zum Kern (2, 3, 5)
maximal
Suche Standort X, sodass
dXEt73 + dXDt75 + dXBt72 = dXE0 + dXD2 + dXB4 minimal wird
aus Lageplan nur A kommt in Frage
In Schritt i = 4 wird also zunächst A-7 zugeordnet.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 54
Beispiel – Teil 2
Versuche A mit E, B bzw. D zu vertauschen und ermittle
jeweils die Kosten der Zuordnung:
Aus Teil 1:
probiere
probiere
probiere
E-3, D-5, B-2, A-7
E-3, D-5, A-2, B-7
E-3, A-5, B-2, D-7
A-3, D-5, B-2, E-7
Kosten =15+13+20+22+12+14 = 18
Kosten = 15+23+10+12+22+14 = 21
Kosten = 25+13+10+12+12+24 = 25
Kosten = 15+13+20+22+12+14 = 18
Vertauschung A mit E wäre möglich ohne Kostenänderung. Da aber
keine Verbesserung möglich ist: lasse Lösung wie aus Teil 1. u.s.w.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 55
Beispiel – Teil 2
Nach 8 Iterationen ohne Teil 2: Kosten = 54
Mit Teil 2 (letzte OE 9 mit 4 vertauscht): Kosten = 51
Händisches durchrechnen ist für größere Probleme
offensichtlich sehr mühsam
am Computer sind die Iterationen einfach zu
implementieren.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 56
4.1.2.5 Verfahren bei ungleichen Platzbedarf
der OE
Anordnung der OE meist in einem Raster aus kleinen
Quadraten
weist jeder OE die nötige Anzahl benachbarter kleiner
Quadrate zu
Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren auch hier
anwendbar
bei Vertauschungen kann sich die Gestalt der OEs ändern
bei ungleicher Größe sind Verschiebungen nötig
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 57
Beispiel
Die Vertauschung von 3 und 5 ist unproblematisch
Bei Vertauschung von 1 und 3 müssen die OE 2 oder 4
die Gestalt verändern.
1
4
2
5
3
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 58
4.2 Konfiguration von Produktionsinseln
Inselproduktion:
liegt zwischen Fließfertigung (Massenfertigung) und
Werkstattfertigung (Einzelfertigung)
Arbeitssysteme unterschiedlicher Funktion werden
räumlich zusammengefasst
jeder Produktionsinsel wird eine Erzeugnisfamilie (mit
ähnlichen benötigten Ressourcen) zugeordnet
Voraussetzung
Erzeugnisfamilien müssen sich auf natürliche Weise bilden
lassen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 59
Vorteile
kurze Transportwege (zumeist innerhalb einer Insel)
geringe Umrüstzeiten wegen hoher Fertigungsverwandtschaft in
Erzeugnisfamilie
hohe Flexibilität (bzgl. kurzfristigen Änderungen der
Produktionsaufgaben)
geringer Investitionsbedarf (mit konventioneller Technologie
realisierbar)
Übersichtlichkeit einfache Produktionssteuerung
Motivation und Zufriedenheit der Mitarbeiter durch Identifikation mit
"ihren" Produkten
niedrige Losgrößen möglich, kurze Durchlaufzeiten
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 60
4.2.1 Binäre Sortierung
Einfache Methode eine Gruppierung vorzunehmen
Matrixdarstellung: Bearbeitung des jeweiligen Erzeugnis
auf der jeweiligen Maschinen
Auffassung diese Einträge zeilen- und spalten weise als
Binärzahlen
Sortierung der Zeilen in absteigender und der Spalten in
aufsteigender Reihenfolge
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 61
Beispiel
Gegeben: 5 Maschinen; 6 Erzeugnisse, die jeweils auf
eine Auswahl der Maschinen zu bearbeiten sind
Maschinen/Erzeugnis-Matrix:
Erzeugnisart
Maschinentyp
Wert
E1 E2 E3 E4 E5 E6
M1
-
1
-
1
-
-
22 + 24 = 20
M2
1
-
1
-
1
1
20 + 21 + 23 + 25 = 43
M3
-
1
1
1
-
1
20 + 22 + 23 + 24 = 29
M4
1
-
-
-
1
1
20 + 21 + 25 = 35
M5
-
-
-
1
1
-
21 + 22 = 6
25
(c) Prof. Richard F. Hartl
24 23 22 21
20
Operations Management
Kapitel 4 / 62
Beispiel
Erzeugnisart
24
M2
1
-
1
-
1
1
43
23
M4
1
-
-
-
1
1
35
22
M3
-
1
1
1
-
1
29
21
M1
-
1
-
1
-
-
20
20
M5
-
-
-
1
1
-
6
21 + 22 = 6
22 + 24 = 20
20+21+22=7
20+23+24=25
22+23+24=28
Wert
23 + 24 = 24
Maschinentyp E1 E2 E3 E4 E5 E6
Wert
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 63
Beispiel – Ergebnis
Erzeugnisart
Maschinentyp
E6 E5 E1 E3 E4 E2
M2
1
1
1
1
-
-
M4
1
1
1
-
-
-
M3
1
-
-
1
1
1
M1
-
-
-
-
1
1
M5
-
1
-
-
1
-
7
6
Wert
28 25 24 20
(c) Prof. Richard F. Hartl
Kein eindeutiges Ergebnis
Blockdiagonalstruktur verfehlt
Zusammenfassung der
Maschinen zu den Gruppen
{2, 4} und {3, 1, 5} od.
{2, 4, 3} und {1, 5}
Komplette Bearbeitung von drei
Erzeugnisse innerhalb einer
Produktionsinsel
Bearbeitung der übrigen
Erzeugnisse in beiden
Produktionsinseln
event. einzelne Maschinen auf
mehrere Produktionsinseln
verteilen
Operations Management
Kapitel 4 / 64
4.2.2 Verfahren von Askin und Standridge
Erweiterung der Gruppenbildung mittels der binären
Sortierung.
jedes Erzeugnis wird innerhalb einer Maschinengruppe
komplett bearbeitet
die Kapazitätsgrenzen der einzelnen Maschinen werden
beachtet
jede Maschinengruppe nimmt nur eine vorgegebene
Anzahl von Maschinen eines Typs auf
die maximale Anzahl von Maschinen innerhalb einer
Gruppe ist vorgegeben
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 65
Beispiel - Verfahren von Askin und
Standridge
Beispiel:
In einem Produktionssegment werden sieben Erzeugnisse auf
insgesamt sechs Maschinentypen bearbeitet.
Die Arbeitspläne zeigen auf welchen Maschinen ein Erzeugnis
bearbeitet werden muss und welche Rüst- bzw.
Stückbearbeitungszeiten jeweils anfallen.
Aufgrund des durchschnittlichen Periodenbedarfs kann somit
ermittelt werden, welcher Anteil der Periodenkapazität einer
Maschine jeweils für die Bearbeitung eines Erzeugnisses benötigt
wird.
Eine Gruppe besteht aus höchstens 4 Maschinen
9/4 = 2,25 mindestens 3 Inseln
Es darf höchstens je eine Maschine eines bestimmten Typs in einer
Gruppe enthalten sein
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 66
Beispiel - Verfahren von Askin und
Standridge
Erzeugnisart
Maschinentyp
E1 E2 E3 E4 E5 E6
E7
Summe
min.
Maschinenanzahl
M1
0.3
-
-
-
0.6
-
-
0.9
1
M2
-
0.3
-
0.3
-
-
0.1
0.7
1
M3
0.4
-
-
0.5
-
0.3
-
1.2
2
M4
0.2
-
0.4
-
0.3
-
0.5
1.4
2
M5
-
0.4
-
-
-
0.5
-
0.9
1
M6
-
0.2 0.3 0.4
-
-
0.2
1.1
2
9 Maschinen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 67
1. Schritt
Binäre Sortierung
Erzeugnisart
Maschinentyp
E1 E5 E7 E3 E4 E6
M4
0.2 0.3 0.5 0.4
M3
0.4
M1
0.3 0.6
-
-
-
-
-
-
-
0.5 0.3
-
E2
-
-
-
M6
-
-
0.2 0.3 0.4
-
0.2
M2
-
-
0.1
-
0.3
-
0.3
M5
-
-
-
-
-
0.5 0.4
Lösung
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 68
2. Schritt
Zuordnung der Erzeugnisse zu Maschinengruppen
Benötigte Maschinen werden in die Maschinengruppe
aufgenommen
Weitere Erzeugnisse werden in Maschinengruppe
aufgenommen, bis:
Erreichung der Kapazitätsgrenze einer Maschine
Erreichung der Höchstzahl von Maschinen in der Maschinengruppe
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 69
Beispiel – 2. Schritt
Iteration
gewähltes MaschinenErzeugnis
gruppe
Tabelle
zugeordnete
Maschinen
Restkapazität
1
E1
1
M4, M3, M1
M4 (0,8), M3 (0,6), M1 (0,7)
2
E5
1
M4, M3, M1
M4 (0,5), M3 (0,6), M1 (0,1)
3
E7
2
M4, M6, M2
M4 (0,5), M6 (0,8), M2 (0,9)
4
E3
2
M4, M6, M2
M4 (0,1), M6 (0,5), M2 (0,9)
5
E4
2
M4, M6, M2, M3
6
E6
3
M3, M5
7
E2
3
(c) Prof. Richard F. Hartl
M4 (0,1), M6 (0,1), M2 (0,6),
M3 (0,5)
M3 (0,7), M5 (0,5)
M3, M5, M6, M2 M3 (0,7), M5 (0,1), M6 (0,8),
M2 (0,7)
Operations Management
Kapitel 4 / 70
Beispiel – Ergebnis
Benötigte Maschinen:
Eine Maschine des Typs: M1, M5
Zwei Maschinen des Typs: M2, M4, M6
Drei Maschinen des Typs: M3
Verfahren von Askin und Standridge: einfache Heuristik
oft keine optimale Lösung
Vergleich:
erhaltenes Ergebnis vs. theoretische Mindestanzahl an Maschinen
event. Einsparung von je einer Maschine des Typs
M3 und M2 möglich
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 71
4.2.2.1 LP - Formulierung
Zielsetzung: Minimierung der Gesamtzahl der benötigten
Einzelmaschinen bei einer vorgegebenen Anzahl von
Maschinengruppen
Erklärung mittels vorhergehenden Beispiel
Mind. 9 Maschinen erforderlich
Jede Maschinengruppe höchstens M = 4 Einzelmaschinen
3 Maschinengruppen
Jede Maschinengruppe enthält maximal eine einzige Maschine
eines Typs
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 72
Daten
a jk
Kapazitätsbedarf von Erzeugnis j bezüglich
Maschinentyp k
iI
Maschinengruppen bzw. Produktionsinseln
j J Erzeugnisse
k K Maschinentypen
M
Höchstanzahl von Maschinen je Maschinengruppe
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 73
Entscheidungsvariablen
x ij =
1, falls Erzeugnis j der Maschinengruppe i
zugeordnet wird
0, sonst
y ik =
1, falls eine Maschine des Typs k der
Maschinengruppe i zugeordnet wird
0, sonst
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 74
Lineare Optimierung
Zielfunktion:
y
iI
kK
ik
min
Nebenbedingungen:
x
iI
a
jJ
ij
1
jk
xij y ik
y
kK
ik
jJ
jedes Erzeugnis in eine Maschinengruppe
i I , k K Kapazität der Maschine k in Gruppe i beachten
M
iI
nicht mehr als M Maschine in Gruppe i
xij 0,1
i I , j J binäre Variablen
yik 0,1
i I , k K binäre Variablen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 75
Lösung
Maschinen
gruppe
Erzeugnisse
1
E2, E4, E6
2
E1, E5
M1, M3, M4
M1 (0.1), M3 (0.6), M4 (0.5)
3
E3, E7
M2, M4, M6
M2 (0.9), M4 (0.1), M6 (0.5)
Maschinen
Restkapazität
M2, M3, M5, M6 M2 (0.4), M3 (0.2), M5 (0.1), M6 (0.4)
Zulässige Konfiguration mit 10 Maschinen
Optimale Lösung
theoretische Mindestanzahl von 9 Maschinen aufgrund
der Platzbeschränkung (M = 4) nicht erreicht
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 76
4.3 Konfiguration von FließfertigungsProduktionssystemen
Objektprinzip
Anordnung der Arbeitssysteme orientiert sich an
Arbeitsplänen der zu bearbeitenden Erzeugnisse
Bei einheitlichem Materialfluss:
Arbeitssysteme werden i.d.R. linear angeordnet
nur sinnvoll, wenn ein einheitliches Grundprodukt bzw. eine
begrenzte Anzahl von Produktvarianten produziert wird
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 77
4.3.1 Arten der Fließfertigung
Nach dem zeitlichen Zusammenhang unterscheidet man 2
Formen der Fließfertigung:
Fließfertigung ohne Zeitzwang (Reihenfertigung)
Fließfertigung mit Zeitzwang (Fließbandabgleich)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 78
4.3.1.1 Fließfertigung ohne Zeitzwang
(Reihenfertigung)
Keine zeitlicher Beschränkung für die Durchführung des
Arbeitsinhalt einer Station
Einrichtung von Pufferlager nötig
Materialfluss für alle Erzeugnisse weitgehend identisch
Einzelne Arbeitsstationen können übersprungen werden;
Rücksprünge nicht möglich
Bearbeitungszeiten der einzelnen Produkte können sich
unterscheiden
Materiallager
(c) Prof. Richard F. Hartl
Station 1
Zwischenlager
Station 2
Operations Management
...
Station m
Absatzlager
Kapitel 4 / 79
4.3.1.2 Fließfertigung mit Zeitzwang
(Fließbandfertigung)
getaktete Fließfertigung
zeitliche Bindung zwischen den Arbeitsgängen
fest vorgegebene Höchstzeit (Taktzeit) zur Bearbeitung eines
Werkstückes in jeder Station
Fließproduktion
Selbstständige Fördereinrichtungen
Einzelne Werkstücke können auch unabhängig voneinander bewegt
werden (asynchroner Materialfluss)
Bsp.: Montage von Fernsehern
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 80
Fließbandfertigung
Verkettung zu automatisierten Gesamtsystem
Transferstraße, Fließband
Werkstücke sind fest mit dem Transportsystem verbunden
Simultane Fortbewegung (synchroner Materialfluss)
Station 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Station 2
Station 3
...
Operations Management
Kapitel 4 / 81
Getaktete Fließfertigung
Produktionsgeschwindigkeit = Kehrwert der Taktzeit
Band kontinuierlich vorwärts bewegt
Beschäftigte Personen bewegen sich während der Bearbeitung des
Werkstückes parallel zum Fließband vorwärts und kehren am Ende
des Taktes zum Stationsbeginn zurück
Weitere Möglichkeit:
Band wird während Bearbeitung angehalten
Werkstücke werden am Ende des Taktes zur nächsten Station
weiterbewegt (intermittierender Transport)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 82
4.3.2 Fließbandabgleich
Fließbandabstimmung, Fließbandaustaktung, Leistungsabstimmung,
Bandabgleich
Zerlegung des mehrstufigen Produktionsprozess für jedes
herzustellende Produkt (Auftrag) in n Arbeitsgänge (unteilbare
Elementartätigkeiten)
Bearbeitungszeit tj zu jedem Arbeitsgang j
Reihenfolge- oder Vorrangrestriktionen möglich
Vorranggraph:
Zyklenfreier gerichteter Graph G = (V, E, t)
Keine parallelen Pfeile oder Schlingen
Für alle Pfeile (i, j) gilt die Beziehung i < j
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 83
Beispiel
Arbeitsgang j
Vorgänger
tj
1
-
6
2
-
9
3
1
4
4
1
5
5
2
4
6
3
2
7
3, 4
3
8
6
7
9
7
3
10
5, 9
1
11
8,1
10
12
11
1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Vorranggraph
t1=6
1
t2=9
2
Operations Management
4
3
5
4
4
5
2
6
3
7
7
8
10
11
3
9
1
12
..1
10
Kapitel 4 / 84
Fließfertigung
Produktiveinheiten (Maschinen) werden hintereinander angeordnet
An jeder Arbeitsstation werden ein oder mehrere Arbeitsgänge
ausgeführt
Jeder Arbeitsgang wird genau einer Station zugeordnet
(Unteilbarkeit)
i vor j – (i, j) E:
i und j in gleicher Station
i auf früheren Station als j
Zuordnung der Arbeitsgänge zu den Stationen:
zeit- oder kostenorientierte Zielfunktion
Einhaltung der Vorrangbeziehungen
Taktzeit optimieren
Gleichzeitige Bestimmung von Stationszahl und Taktzeit
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 85
4.3.3 Einproduktmodelle
„klassisches Modell der Fließbandabstimmung“
Simple assembly line balancing problem
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 86
4.3.3.1 Ein Grundmodell mit alternativen
Zielsetzungen
Annahmen:
Herstellung eines homogenen Produktes in n Arbeitsgängen
vorgegebene Bearbeitungszeiten ti für die Arbeitsgänge j = 1,...,n
Reihenfolgebeziehungen (Vorranggraphen)
alle Stationen besitzen dieselbe Taktzeit
fixe Anstoßrate
gleichwertig ausgestattete Stationen (hinsichtlich Personal und
Betriebsmittel)
keine parallelen Stationen
geschlossene Stationen
unbewegliche Werkstücke
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 87
4.3.3.1.1 Alternative 1
Minimierung der Stationsanzahl m bei vorgegebener
Taktzeit c:
untere Schranke für die Stationszahl
n
mmin : t j c
j 1
obere Schranke für die Stationszahl
n
mmax : t j
j 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
c 1 t max 1
Operations Management
Kapitel 4 / 88
Beweis
t(Sk) … Belegungszeit der Stationen Sk, k = 1, ..., m
Ganzzahligkeit
tmax + t(Sk) > c
also
t(Sk) c + 1 - tmax k =1,...,m-1
Summieren der Ungleichungen
m 1
t Sk m 1 c 1 tmax
k 1
n
m 1
t j t Sk
j 1
k 1
und Ganzzahligkeit von m
obere Schranke
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 89
4.3.3.1.2 Alternative 2
Minimierung der Taktzeit
(bzw. Maximierung der Produktionsgeschwindigkeit)
untere Schranken für die Taktzeit c:
tmax = max {tj j = 1, ... , n} … Dauer des längsten Arbeitsganges
Unteilbarkeit der Arbeitsgänge c tmax
Produktions- bzw. Absatzhöchstmenge qmax im Planungszeitraum
der Länge T vorgegeben
c T qmax
Mit Hilfe der gegebenen Stationsanzahl m
n
c t j m
j 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 90
Alternative 2
untere Schranke für die Taktzeit (insgesamt)
n
c cmin : max t max , T qmax , t j m
j 1
obere Schranke für die Taktzeit
c T qmin
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 91
4.3.3.1.3. Alternative 3
Maximierung des Bandwirkungsgrades (BG)
Bestimmung von:
positiver Taktzeit c
positiver Stationszahl m
um BG (Auslastung des Fließbandes) zu maximieren
n
1
BG
t j
m c j 1
BG = 1 Auslastung von 100% (keine Leerzeiten)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 92
Alternative 3
untere Schranke für die Taktzeit wie bei Alternative 2
obere Schranke für die Taktzeit cmax gegeben
untere Schranke für die Stationszahl
n
mmin : t j cmax
j 1
obere Schranke für die Stationszahl
n
mmax : t j
j 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
cmin 1 t max 1
Operations Management
Kapitel 4 / 93
Beispiel I
Schichtdauer T = 7,5 Stunden
Mindestproduktionsmenge qmin = 600 Stück
cmax : T qmin 7,5 * 3600 / 600 45 Sekunden/Stück
t1=6
1
t2=9
2
(c) Prof. Richard F. Hartl
4
3
5
4
4
5
2
6
3
7
7
8
10
11
3
9
1
12
..1
10
Operations Management
Kapitel 4 / 94
Beispiel II
Arbeitsgang j
Vorgänger
tj
1
-
6
2
-
9
3
1
4
4
1
5
5
2
4
6
3
2
7
3, 4
3
8
6
7
9
7
3
10
5, 9
1
11
8,1
10
12
11
1
Summe
(c) Prof. Richard F. Hartl
tj = 55
n
mmin : t j cmax 55 45 2
j 1
keine Absatzhöchstmenge
Taktzeit mindestens
cmin = tmax = 10 Sekunden/Stück
55
Operations Management
Kapitel 4 / 95
Beispiel III
Stationszahl m
BG = 1
7
BG = 0.982
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60 Taktzeit c
Alle Kombinationen von m und c, für die eine zulässige Lösung des Problems existiert
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 96
Beispiel IV
maximaler BG = 1
(nur für unzulässige Werte: m = 1 und c = 55 erreichbar)
Optimaler BG = 0,982
(zulässiger Bereich: 10 c 45 und m 2)
m = 2 Stationen
c = 28 Sekunden/Stück
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 97
Beispiel V
Realisierbare Taktzeiten c für verschiedene Stationszahlen m
# Stationen
m
theoretisch min
Taktzeit 55 m
minimale realisierbare Taktzeit
c
Bandwirkungsgrad
55/cm
1
55
nicht möglich da c 45
-
2
28
28
0,982
3
19
19
0.965
4
14
15
0,917
5
11
12
0.917
6
10
10
0,917
wachsende Taktzeit Reduzierung des BG (Erhöhung des Leerzeitanteils) so
lange, bis eine Station eingespart werden kann
BG besitzt für jede mögliche Stationsanzahl m ein lokales Maximum bei der
kleinsten Taktzeit c, für die eine zulässige Lösung mit m Stationen existiert.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 98
4.3.3.1.4 Weitere Zielsetzungen für das
Grundmodell
Maximierung des BG ist äquivalent zu:
Minimierung der Durchlaufzeit:
D=mc
n
tj
Minimierung der Summe der Leerzeiten:
L mc
Minimierung des Leerzeitanteils:
L
LA =
= 1 – BG
mc
j 1
n
Minimierung der Gesamtwartezeit:
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
W D tj L
j 1
Kapitel 4 / 99
4.3.4 LP Formulierungen
Unterscheidung zwischen:
LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit
LP-Formulierung bei gegebener Stationszahl
Mathematische Formulierung bei Maximierung des
Bandwirkungsgrades
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 100
4.3.4.1 LP-Formulierung bei gegebener
Taktzeit
Binärvariablen:
1 falls Arbeitsgan g j der Station k zugeordnet wird
x jk
sonst
0
mmax
k x jk
k 1
j = 1, ..., n
k = 1, ..., mmax
= Nummer der Station, der der Arbeitsgang j
zugeordnet ist
Annahme: Graph G besitzt Knoten n als einzige Senke
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 101
Modellformulierung
Zielfunktion:
Minimiere Z x
mmax
kx
k 1
nk
Nebenbedingungen:
mmax
x jk 1
k 1
n
x jk t j
c
j=1
mmax
mmax
k 1
k 1
j = 1, ... , n
... AG auf genau eine Station
k = 1, ... , mmax
... Einhaltung der Taktzeit bei
Station k
k xhk k x jk h,j E
... Vorrangbeziehungen
x jk 0,1
... binäre Variablen
(c) Prof. Richard F. Hartl
j und k
Operations Management
Kapitel 4 / 102
Bemerkungen
Mögliche Erweiterungen:
Zuordnungseinschränkungen in Form von Betriebsmitteloder Positionsrestriktionen
entsprechende Variablen aus dem Modell entfernen oder
vorab zu Null fixieren
Arbeitsgangrestriktionen
Verhinderung, dass zwei Arbeitsgänge h und j mit (h, j) in
derselben Station ausgeführt werden
m
k x
k 1
m
hk
(c) Prof. Richard F. Hartl
1 k x jk mit (h,j) E
k 1
Operations Management
Kapitel 4 / 103
4.3.4.2 LP Formulierung bei gegebener
Stationszahl
Ersetzen vom mmax durch gegebene Stationszahl m
c wird zusätzliche Variable
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 104
Modellformulierung
Zielfunktion:
Minimiere Z(x, c) = c … Taktzeit
c 0 ganzzahlig
Nebenbedingungen:
m
x jk 1
k 1
n
x jk t j
c
j = 1, ... , n
... AG auf genau eine Station
k = 1, ... , m
... Einhaltung der Taktzeit
bei Station k
j=1
m
k xhk
k 1
m
k x jk
k 1
x jk 0,1
(c) Prof. Richard F. Hartl
h,j E
... Vorrangbeziehungen
j und k
... binäre Variablen
Operations Management
Kapitel 4 / 105
4.3.4.3 Mathematische Formulierung bei
Maximierung des Bandwirkungsgrades
Ist weder Taktzeit c noch Stationszahl m gegeben
übernehmen der LP-Formulierung bei gegebener Taktzeit
Zielfunktion (nichtlinear):
Minimiere Z x, c c
mmax
kx
k 1
nk
zusätzlichen Nebenbedingungen:
c cmax
c cmin
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 106
Mathematische Formulierung bei
Maximierung des Bandwirkungsgrades
Wiedererlangen eines LPs
Gewichtung von Taktzeit und Stationsanzahl mit den Faktoren w1
und w2
Zielfunktion (linear):
Minimiere Z(x,c) = w1(kxnk) + w2c
sehr große LP-Modelle
hohe Anzahl von Binärvariablen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 107
4.3.5. Heuristische Verfahren bei gegebener
Taktzeit
Zahlreiche heuristische Verfahren
(zumeist Prioritätsregelverfahren)
Verkürzte exakte Verfahren
enumerative Vorgehensweise
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 108
Prioritätsregelverfahren I
Zuordnung eines Rangwerts RWj zu jedem Arbeitsgang j
Prioritätsliste
Ein noch nicht zugeordneter Arbeitsgang j ist in einer
Station k einplanbar, falls
alle seine Vorgänger im Vorranggraphen in einer der Stationen
1,...,k bereits eingeplant sind und
die aktuelle Leerzeit der Station k nicht kleiner als die
Bearbeitungszeit von j ist.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 109
Prioritätsregelverfahren II
Vorraussetzung:
Taktzeit c
einzuplanende Arbeitsgänge j=1,...,n mit Bearbeitungszeiten tj c
Vorranggraph, gegeben durch Vorgängermengen V(j)
Variablen
k
c
Lp
Ls
(c) Prof. Richard F. Hartl
Nummer der aktuellen Station
Leerzeit der aktuellen Station
Liste bisher eingeplanter Arbeitsgänge
Sortierte Liste der n Arbeitsgänge gemäß Prioritätsregel
Operations Management
Kapitel 4 / 110
Prioritätsregelverfahren III
Ein Arbeitsgang j Lp ist einplanbar, wenn tj
und h Lp für alle h V(j) gilt
stationsweise vorgehen
unter den jeweils einplanbaren Arbeitsgängen wird derjenige mit
höchster Priorität zugeordnet
Öffnung einer neue Station, wenn die aktuell betrachtete Station
maximal belegt ist
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
c
Kapitel 4 / 111
Prioritätsregelverfahren IV
Start: bestimme Liste Ls mit Hilfe einer Prioritätsregel; k := 0; LP := <]; ... noch nichts
eingeplant
Iteration:
repeat
k := k+1; := c;
while es existiert für Station k ein einplanbarer Arbeitsgang in der Liste Ls do
begin
wähle und entferne den ersten einplanbaren Arbeitsgang j aus Liste Ls;
Lp:= < Lp,j]; :=- tj
end;
until Ls = <];
Ergebnis: Lp enthält eine zulässige Reihung der Aufträge mit m = k Stationen.
Single-Pass- vs. Multi-Pass-Heuristiken
(je nachdem ob Verfahren ein- oder mehrmalig durchlaufen wird)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 112
Prioritätsregeln I
Regel 1: Zufällige Auswahl von Arbeitsgängen
Regel 2: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder
zunehmender) Bearbeitungszeit tj aus: RWj: = tj
Regel 3: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmender (oder
zunehmender) Zahl der unmittelbaren Nachfolger aus:
RWj : = (j)
Regel 4: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton wachsender Tiefe der
Arbeitsgänge in G aus:
RWj : = Anzahl Pfeile im Weg mit den meisten Pfeilen von einer Quelle des
Vorranggraphen nach j
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 113
Prioritätsregeln II
Regel 5: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton abnehmendem
Positionsgewicht (Positionswert):
RW j : t j
t
h
hN mj
Regel 6: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer
Schranke der für j und alle Vorgänger benötigten Stationszahl aus:
RW j : E j t j th c
m
h
V
j
Regel 7: Wähle die Arbeitsgänge nach monoton zunehmender oberer
Schranke für die spätestmögliche Station des Arbeitsganges j aus:
RW j : L j 1 m t j th c
hN mj
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 114
Beispiel – Regel 5
t1=6
1
4
3
2
6
5
4
t2=9
2
7
8
10
11
3
9
3
7
4
5
S1 = {1,3,2,4,6}
1
12
S2 = {7,8,5,9,10,11}
S3 = {12}
..1
10
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tj
6
9
4
5
4
2
3
7
3
1
10
1
RWj(5)
42
25
31
23
16
20
18
18
15
12
11
1
Taktzeit c = 28 m = 3 Stationen
BG = tj / (3*28) = 0,655
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 115
Beispiel – Regel 7, 6 und 2
m =3
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RWj(7)
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
RWj(6)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
RWj(2)
6
9
4
5
4
2
3
7
3
1
10
1
Anwendung von:
primär Regel 7 (spätmöglichste Station)
bei Gleichheit Regel 6 (für j und alle Vorgänger
benötigten Stationszahl)
bei Gleichheit Regel 2 (nach abnehmenden tj)
Lösung: c = 28 m = 2; BG = 0,982
S1 = {1,3,2,4,5} ; S2 = {7,9,6,8,10,11,12}
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 116
Weitere heuristische Verfahren I
Stochastische Varianten der Prioritätsregeln 2 bis 7:
zufällige Auswahl des nächsten Arbeitsganges unter den
einplanbaren Arbeitsgängen
Auswahlwahrscheinlichkeiten: proportional oder umgekehrt
proportional zu Rangwerten
Zufällig ermittelte Prioritätsregel
Enumerative Heuristiken:
Ermittlung sämtlicher zulässiger Belegungen für erste Station
Einplanung der Stationsbelegung mit geringster Leerzeit
Analoge Bildung der weiteren Stationen (Greedy)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 117
Weitere heuristische Verfahren II
Heuristiken von Verschnitt- und Verpackungsproblemen
zusätzliche Beachtung der Vorrangbeziehungen
z.B.: Verallgemeinerung der Heuristik First-Fit-Decreasing für
das Bin Packing-Problem
Kürzeste-Wege-Problem mit exponentiell vielen Knoten
Vertauschungsverfahren:
Austauschen von Arbeitsgängen zwischen Stationen
Ziel: Verbesserung des nachgeordneten Ziels einer möglichst
gleichmäßigen Stationsauslastung
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 118
Worst-Case Analyse von Heuristiken
Lösungseigenschaften bei Ganzzahligkeit von c und tj
(j = 1,...,n) für Alternative 2:
t Sk t Sk 1 c 1 für alle k=1,...,m-1
t Sk tmax c 1
für alle k=1,...,m-1
Summe der Belegungszeiten zweier benachbarter Stationen
müssen die Taktzeit überschreiten
Worst-Case Schranken für die Abweichung einer Lösung mit m
Stationen von einer optimalen Lösung mit m* Stationen:
m/m* 2 - 2/m* für gerades m bzw. m/m* 2 - 1/m* für ungerades m
m < cm*/(c - tmax + 1) + 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 119
4.3.6 Verfahren zur Bestimmung der Taktzeit
gegebene Stationszahl
Taktzeit nicht gegeben
Taktzeit ist zu minimieren (Alternative 1) oder
Taktzeit ist gemeinsam mit der Stationszahl zu optimieren um
einen maximalen BG zu erzielen (Alternative 3)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 120
Iteratives Verfahren zur Ermittlung der
minimalen Taktzeit I
1. Ermittle die theoretische minimale Taktzeit
Bearbeitun gszeiten aller AV
cmin
Anzahl Arbeitssta tionen
(bzw. cmin = tmax wenn dies größer ist) und setze c = cmin
2. Suche für die Taktzeit c eine optimale Lösung mit minimaler
Stationszahl m(c) mittels Verfahren zu Alternative 1 (vgl. 2.3.2. und
2.3.3.)
3. Wenn m(c) größer als die gegebene Stationszahl: vergrößere c um
(ganzzahlig) und wiederhole Schritt 2.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 121
Iteratives Verfahren zur Ermittlung der
minimalen Taktzeit II
Zulässige Lösung mit Taktzeit c und Stationszahl m gefunden.
Wenn > 1, so kann man noch eine Intervallschachtelung
vornehmen:
wenn also für Taktzeit c eine Lösung mit Stationszahl m gefunden
wurde und für Taktzeit c- nicht, so kann man noch c-/2 probieren,
etc.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 122
Beispiel – Regel 5
m = 5 Stationen
Suche: maximal mögliche Produktionsrate
minimale Taktzeit
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tj
6
9
4
5
4
2
3
7
3
1
10
1
RWj(5)
42
25
31
23
16
20
18
18
15
12
11
1
Es muss mindestens die Taktzeit cmin = tj/m = 55/5 = 11 gewählt
werden (es ist 11 > tmax = 10)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 123
Beispiel – Regel 5
Lösung c = 11:
{1,3}, {2,6}, {4,7,9}, {8,5}, {10,11},
{12}
Benötigt: 6 > m = 5 Stationen
c = 12, Zuteilung von AG 12 zu
Station 5
S5 = {10,11,12}
t1=6
1
t2=9
2
4
3
5
4
4
5
2
6
3
7
7
8
10
11
3
9
1
12
.1
10
In großen Problemen: Jenes c, für das eine Stationsbelegung mit
gegebener Stationszahl existiert, ist oft deutlich größer als cmin, sodass
die schrittweise Erhöhung von c um 1 zu lange dauern würde. Daher
Erhöhung um > 1.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 124
4.3.7 Klassifikation von komplexeren
Fließbandabstimmungsproblemen
Überlegungen bezüglich:
Anzahl der Produkte
Zuordnungsrestriktionen
Parallele Stationen
Ausstattung von Stationen mit Arbeitskräften
Stationsbegrenzung
Anstoßrate
Verbindung der Werkstücke zum Transportsystem
Verfahrensalternativen
Zielsetzungen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 125
4.3.7.1 Anzahl der Produkte
Einproduktmodelle:
Fertigung eines homogenen Produkts auf einem Fließband
Massenproduktion, Großserienfertigung
Mehrproduktmodelle:
Gemeinsame Fertigung mehrerer Produkte auf einem oder mehreren
Fließbändern
Arten:
Varianten-Fließfertigung:
Produkte sind Varianten eines Grundproduktes
Bearbeitung in gemischter Folge auf dem Fließband
losweise Mehrprodukt-Fließfertigung:
Umrüstvorgänge zwischen der Fertigung von verschiedenen Produkten
Produktionslose (jedes Produkt hat eigene Fließbandaustaktung)
Planung von Losgrößen und Reihenfolge der einzelnen Produkte TSP
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 126
4.3.7.2 Zuordnungsrestriktionen
Betriebsmittelrestriktionen:
Ausrüstung einer bestimmten Station mit geeigneten Betriebsmittel
nötig
vorgegebene Umgebungsbedingungen
Positionsrestriktionen:
Arbeitsgangrestriktionen:
Festlegung der Position eines Werkstücks innerhalb der Station
bestimmte AG nicht ausführbar (z.B.: Unterbodenarbeiten)
zeitliche oder räumliche Mindest- oder Maximalabstände zwischen 2 AG
bestimme Arbeitsgangkombinationen an derselben Station nicht
ausführbar
Qualifikationsrestriktionen:
Kombination von Arbeitsgängen mit ähnlichem Anspruchsniveau
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 127
4.3.7.3. Parallele Stationen
Modelle ohne parallelen Stationen:
Heterogene Stationen mit unterschiedlicher Zuordnung von AG
serielles Fließband
Modelle mit parallelen Stationen:
Mindestens 2 Stationen, die dieselben AG ausführen
Bearbeitung von aufeinanderfolgenden Aufträgen auf zueinander
parallelen Stationen im zeitlichen Wechsel
Mischform - Parallelisierung von Arbeitsgängen:
Zuordnung eines AG zu zwei verschiedenen Stationen eines seriellen
Fließbandes
Ausführung des AG abwechselnd in einer der beiden Stationen
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 128
4.3.7.4 Ausstattung von Stationen mit
Arbeitskräften
Einfachbemannte Stationen:
Eine Arbeitskraft pro Station
Mehrfachbemannung:
Differenzierung der Arbeitsinhalte der Stationen möglich
Kurzfristige Kapazitätsanpassung durch flexiblen Einsatz von Springern
Vollautomatisierte Stationen:
Einsatz von Arbeitskräften zur Kontrolle des Fertigungsprozesses
Oft für mehrere Stationen zuständig
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 129
4.3.7.5 Stationsbegrenzung
Geschlossene Stationen:
räumliche Ausdehnung für Station fest vorgegeben
Verlassen des Bereichs während der Bearbeitung nicht erlaubt
Offene Stationen:
Stationsgrenzen dürfen in/oder entgegen der Fließrichtung verlassen
werden
rechtsoffen (in Fließrichtung verlassen)
linksoffen (entgegen der Fließrichtung verlassen)
kurzfristige Kapazitätsanpassung durch Unter- bzw. Überschreitung der
(lokalen) Taktzeit
z.B.: Herstellung von Produktvarianten
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 130
4.3.7.6 Anstoßrate
Modelle mit fixer Anstoßrate:
Aufeinanderfolgende Werkstücke werden jeweils nach Ablauf derselben
Zeitspanne (Auflageintervall) auf das Fließband gebracht
Modelle mit variabler Anstoßrate:
Das nächste Werkstück wird eingelastet, sobald die erste Bandstation
wieder frei ist.
Unterschiedliche Abstände der Werkstücke auf dem Fließband (bei
Mehrproduktfertigung)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 131
4.3.7.7 Verbindung der Werkstücke zum
Transportsystem
Unbewegliche Werkstücke:
fest mit dem Transportsystem verbunden
allenfalls Drehbewegungen erlaubt
Bewegliche Werkstücke:
Zwischenzeitliche Wegnahme vom Transportsystem erlaubt
Nachbearbeitung
Zwischenlagerung
Fließfertigung ohne Zeitzwang
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 132
4.3.7.8 Verfahrensalternativen
Vorgegebene Produktionsverfahren
Arbeitspläne sind vorgegeben
Verschiedene Produktionsverfahren
Wahl bezüglich des einzusetzenden Verfahrens
Mehrere alternative Arbeitspläne vorhanden (Vorranggraphen)
und/oder
unterschiedliche Bearbeitungszeiten einzelner Arbeitsgänge
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 133
4.3.7.9 Zielsetzungen
Zeitorientierte Zielsetzungen
Minimierung der Durchlaufzeit, der Gesamtleerzeit, des Leerzeitanteils,
der Gesamtwartezeit
Maximierung der Kapazitätsauslastung (Bandwirkungsgrad) – bei den
meisten (Einprodukt-) Modellen
Gleichmäßige Auslastung der Stationen
Weitere Zielsetzungen
Minimierung der Stationsanzahl bei geg. Taktzeit
Minimierung der Taktzeit bei geg. Stationszahl
Minimierung der Summe der gewichteten Taktzeit und der gewichteten
Stationszahl
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 134
Zielsetzungen
Erfolgsorientierte Ansätze:
Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags
Minimierung der Gesamtkosten
Maschinen- und Werkzeugkosten (Maschinenstundensätze – von
Stationsanzahl abhängig)
Lohnkosten: häufig identische Lohnsätze für die Arbeitskräfte aller Stationen
Materialkosten: durch Ausbringungsmenge und Taktzeit bestimmt
Leerkosten: Opportunitätskosten – hängen von Taktzeit und Stationsanzahl
ab
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 135
4.3.8 Mehrproduktmodelle
Variantenfließfertigung:
Bearbeitung mehrere Varianten eines Grundmodells in
gemischter Folge auf einem Fließband
einzelne Arbeitsgänge können von Variante zu Variante
unterschiedliche Bearbeitungszeiten aufweisen
einzelne Arbeitsgänge nicht bei allen Varianten erforderlich
Bestimmung einer optimalen Abstimmung des Fließbandes
und einer optimalen Bearbeitungsreihenfolge für die
Werkstücke
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 136
multi-model
losweise
MehrproduktFließfertigung
mit Umrüsten
(c) Prof. Richard F. Hartl
Umrüsten von Würfel
auf Pyramide nach 2
Wochen
Operations Management
Kapitel 4 / 137
mixed-model
Variantenfließfertigung
ohne Umrüsten
Abstimmung
auf eine
„theoretische
Durchschnittsvariante“
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 138
4.3.9 Fließbandabstimmung bei
Variantenfertigung
Bei ähnlichen Varianten:
Vermeidung von Umrüstung und Losbildung
Betrachtung aller Varianten simultan (Varianten-Fließfertigung)
Verallgemeinerung des Grundmodells (von 2.3.1)
Herstellung von p Varianten eines Grundproduktes in bis zu n
Arbeitsgängen; das Produktionsverfahren ist fest vorgegeben
vorgegebene Reihenfolgebeziehungen für die Arbeitsgänge in jeder
Variante j = 1,...,n gemeinsamen Vorrangsgraphen über alle
Varianten aggregieren
jeder AG wird genau einer Station zugeordnet
vorgegebene Bearbeitungszeiten tjv jedes AG j bei jeder Variante v
gegebener Bedarf bv bei jeder Variante v
gegebene Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 139
Fließbandabstimmung bei
Variantenfertigung
Gesamtbedarf aller Varianten im Planungszeitraum:
b
p
bv
v 1
Kumulierte Bearbeitungszeit von AG j über alle Varianten
im Planungszeitraum:
tj
p
bvt jv
v 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 140
LP-Modell
Aggregierte Variante:
Fließband wird nicht taktweise, sondern auf Grundlage der
Gesamtdauer T der Arbeitsschichten im Planungszeitraum
abgestimmt
1 falls Arbeitsgan g j Sk
x jk
sonst
0
für alle j=1,...,n und k=1,...,m
Gleiche LP wie im Kapitel 2.3.1.5, jedoch
Ersetzen der Taktzeit c durch die Gesamtdauer T
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 141
LP-Modell
Zielfunktion:
m
Minimiere Z x k xnk
k 1
… Nummer der letzten Station (mit AG n)
Nebenbedingungen:
m
x
k 1
jk
1
für alle j = 1, ... , n
... AG auf genau eine Station
für alle k = 1, ... ,
... Gesamtdauer bei Station k
n
x jk t j T
j=1
m
kx
k 1
m
hk
k x jk für alle h,j E
... Vorrangbeziehungen
k 1
x jk 0,1
(c) Prof. Richard F. Hartl
für alle j und k
Operations Management
Kapitel 4 / 142
Beispiel I
v = 1, b1 = 4
4
t11=6 3
1
5
4
7
2
v = 2, b2 = 2
2
6
4
7
7
8
10
11
3
9
5
5
1
12
11
2
1
10
v = 3, b3 = 1
t13=8
1
13
2
0
3
5
4
t12=5
1
6
3
1
6
4
8
5
4
1
7
4
9
3
5
11
11
0
12
70
11
7
12
1
10
aggregiertes Modell
4
6
13
8
3
7
1
9
2
5
(c) Prof. Richard F. Hartl
8
11
3
12
28
t1=42 3
1
35
4
1
10
63
2
28
5
Operations Management
14
6
49
8
21
7
21
9
7
10
Kapitel 4 / 143
Beispiel II
Verwendung von exakten Verfahren:
gegeben: T = 70
Stationszuteilung mit m = 7 Stationen:
S1 = {1,3}
S2 = {2}
S3 = {4,6,7}
S4 = {8,9}
S5 = {5,10}
S6 = {11}
S7 = {12}
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 144
Größen
n
kv bv t jv x jk
...
Belegungszeit der Station k durch Variante v in
Zeitdauer T
v bv t jv / m
...
mittlere Belegungszeit der m Stationen durch
Variante v in T
j 1
n
j 1
bzw. die analogen Größen pro Stück (ME):
n
kv
t jv x jk
...
Belegungszeit der Station k durch 1 ME von
Variante v
t jv / m
...
mittlere Belegungszeit der m Stationen durch 1
ME Variante v
v
j 1
n
j 1
Aggregiert über alle Varianten erhält man:
p
t (Sk )
t kv
v 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
...
gesamte Belegungszeit der Station k in T
Operations Management
Kapitel 4 / 145
Beispiel – Maßzahlen pro ME
Station
k
’kv
Mittel
Variante v
1
2
3
4
5
6
7
`v
1
10
7
11
10
6
10
1
7,86
x4
2
11
11
7
8
4
11
0
7,43
x2
3
8
13
12
14
3
8
3
8,71
x1
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 146
Beispiel – Maßzahlen
Station
k
kv
Mittel
Variante v
1
2
3
4
5
6
7
v
1
40
28
44
40
24
40
4
31,43
2
22
22
14
16
8
22
0
14,86
3
8
13
12
14
3
8
3
8,71
t(Sk)
70
63
70
70
35
70
7
55
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 147
Fazit
Station 5 und 7 sind sehr schlecht ausgelastet
die Belegungszeiten kv der Stationen k schwanken bei den Varianten
v stärker als die aggregierte Variante t(Sk)
Die Belegungszeiten schwanken bei den Größen pro ME (2. Tabelle)
stark mit der Variante.
Bei Variante 3 sind z.B. die Stationen 2, 3 und 4 sehr stark
beansprucht.
mehrere ME von Variante 3 hintereinander gefertigt
die mittlere Taktzeit kann hier nicht eingehalten werden, d.h. das Band
muss angehalten werden.
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 148
Behebung der ungleichen Auslastungen
durch Betrachtung nachgeordneter Zielfunktionen
Unter mehreren Lösungen, die alle die gleiche (minimale)
Stationszahl m liefern (1. Ziel), wählt man jene, die die folgende
2. Zielfunktion minimiert:
m
k 1
p
v 1
kv
v
...
Summe der absoluten
Auslastungsunterschiede
Minimierung z.B. durch folgende Greedy-Heuristik möglich
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 149
Verfahren von Thomopoulos
Start: Abweichung = 0, k = 0
Iteration: solange noch nicht alle AG eingeplant:
erhöhe k um 1
ermittle alle zulässigen Stationsbelegungen Sk für die nächste Station k
p
wähle jenes Sk mit der kleinsten Abweichungssumme ( Sk ) kv v
v 1
setze = + (Sk)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 150
Verfahren von Thomopoulos – Beispiel
T = 70
m=7
Lösung:
9 Stationen (min. Stationszahl = 7):
S1 = {1}, S2 = {3,6}, S3 = {4,7}, S4 = {8}, S5 = {2},
S6 = {5,9}, S7 = {10}, S8 = {11}, S9 = {12}
Abweichungssumme: = 183,14
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 151
Verfahren von Thomopoulos
Nur jene Stationsbelegungen Sk kommt in Frage, deren
Belegungszeit t(Sk) einen Wert überschreiten (keine zu
großen Leerzeiten).
Wahl von :
zu klein:
sehr ausgeglichene Stationsbelegungen bezüglich der einzelnen
Varianten
u.U. zu viele Stationen.
zu groß:
wenig ausgeglichene Stationsbelegungen
eher minimale Stationszahl. [sehr großes u.U. gar keine
zulässige Stationsbelegung mit t(Sk) ]
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 152
Verfahren von Thomopoulos – Beispiel Fort.
= 49
Lösung:
7 Stationen:
S1 = {2}, S2 = {1,5}, S3 = {3,4},
S4 = {7,9,10}, S5 = {6,8}, S6 = {11}, S7 = {12}
Abweichungssumme: = 134,57
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 153
Lösung – exaktes Verfahren
7 Stationen:
S1 = {1,3}, S2 = {2}, S3 = {4,5}, S4 = {6,7,9 }, S5 = {8,10},
S6 = {11}, S7 = {12}
Abweichungssumme: = 126
kv
Station k
Mittel
Variante v
1
2
3
4
5
6
7
v
1
40
28
40
36
32
40
4
31,43
2
22
22
16
12
10
22
0
14,86
3
8
13
7
8
14
8
3
8,71
t(Sk)
70
63
63
56
56
70
7
55
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 154
Weitere Zielsetzungen
Abstimmung von Nachfragewerten bj abhängig
Änderung der Nachfragewerte Abstimmung
wiederholen und umrüsten
Umgehen durch:
Nachfrageunabhängige Zielsetzungen
m
p
kv v
k 1v 1
(c) Prof. Richard F. Hartl
… Summe der absoluten
Auslastungsunterschiede pro Stück
Operations Management
Kapitel 4 / 155
Weitere Zielsetzungen
Nachteil dieser Zielfunktionen:
Große Abweichungen bei einer Station (die zu Störungen im
Produktionsablauf führen können) können durch geringe
Abweichungen bei einigen anderen Stationen kompensiert
werden.
max max kv
v ... maximaler Auslastungsunterschied pro
k ,v
Stück (ME)
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 156
4.4 Konfiguration von Lagerhäusern
einfaches Modell von Askin & Standridge
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 157
4.5 Konfiguration und Analyse von flexiblen
Fließfertigungssystemen
einfache Warteschlangenmodelle, M/M/s, M/G/1, GI/G/1
aus Zeitgründen werden diese Themen hier nicht
behandelt;
(c) Prof. Richard F. Hartl
Operations Management
Kapitel 4 / 158
