B1-10Fo6 - Bionik TU

Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“
Bionik auf dem mathematischen Prüfstand
Optimallösungen als Ergebnis der Evolution
Der kubisch paraboloide Baumstamm
P
Solarbetriebener
CO2-Sammler
Wind
2r
Mast
y
Höchster Baum in Deutschland:
Douglasie 63,33m im Freiburger
Stadtwald
Höchster Baum in der Welt:
Mammutbaum115,5m im Redwood
Nationalpark in Kalifornien
Form eines Kiefernstamms
aus dem Tegeler Forst
Nur Formvergleich möglich, da
genaue Belastungsdaten fehlen.
15
10
Höhe / m
20
Materialminimierung:
Theorie „Träger gleicher Festigkeit“
Kubische Parabel
r ( y)  3 4 P y /( zul )
r ( y)  k  3 y
5
0
0
Radius / cm
5
10
Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße
Arteriole
Kleine Vene
Das Blutgefäßsystem als
hydraulisches Fördernetz
Arterienzweig
Kapillare
Gewebe
Vene
Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution
Vermessung des Blutgefäßsystems
eines 13 kg schweren Hundes
Gefäßart
Durchmesser D [mm]
Anzahl
Aorta
Große Arterien
10
3
1
40
Arterienäste
1
600
Arterienzweige
0,6
1800
Arteriolen
0,02
40 000 000
Kapillaren
0,008
1 200 000 000
Aorta
10
D
Große Arterien
mm
Arterienäste
Arterienzweige
1
Genauigkeit !
0.1
Di  D0 3 1 / z
+
- 5%
Arteriolen
0.01
Kapillaren
0
10
3
10
6
10
z
9
10
Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen
Zwei Entwürfe für eine
Rohrverzweigung
a
b
Herzpumpe
Energiebilanz
Gehirnzellen (20 %)
Beinmuskeln
Armmuskeln
Mensch 10 000 kJ
Herzantrieb
3 000 000
Blutkörperchen/s
Blutneubildung
a
b
Pumpleistung Herz [kJ]
groß
klein
Neubildung Blut [kJ]
klein
groß
Qualitätsfunktion:
 Energieverbrauch
 Energieverbrauch
F 




Zeit
Zeit

 Herzpumpe 
 Blutneubil dung
p
Gesetz von Hagen-Poiseuille
D
p 
Q
128 l Q
D4
Mengenstrom / m3/s
FHerzpumpe  Kraft Strömungspropfen  Geschwindi gkeitStrömungspropfen   p F v   p Q
FBlutneubil dung  Rohrvolumen  k VRohr
k : N3m
ms
Blutbildungsarbeit
Kubikmeter · Sekunde
Fges 
n
n
  p Q   kV
i
i 0
i
i
i 1
D0
Fges  F 
n
Di
n
  p Q   kV
i
i
i
i 0
F   p0Q0 
i 0
n
p Q
i
i
 kV0 
i1
n
 kV
i
i 1
Minimierungsproblem:

128  l0Q0
F 
Q0 
4

  D0
n

i 1
128  liQi
 Di4
n

2
2


Qi  kl0 D0   k li Di   Min



i 1


128  l0Q0
F 
Q0 
4

  D0
n

i 1
128  liQi
 Di4
n

2
2


Qi  kl0 D0   k li Di   Min



i 1

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:
F    0
D0
F    0
Di
i  1, 2,  n
Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen
D06
1024  Q02

k 2
Di6
1024  Qi2

k 2
Di / D0  3 Qi /Q0
i  1, 2,  n
Di / D0  3 Qi / Q0
Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser
Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab!
Beispiel:
D0
0
Q0
Q1 Q0 z
D1 / D0  3 1 / z
Aorta
10
D
Große Arterien
mm
Arterienäste
Arterienzweige
1
0.1
Di  D0 3 1 / z
+
- 5%
Arteriolen
0.01
Kapillaren
0
10
3
10
6
10
z
9
10
Bedingung für die Lösung:
Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte
Blutstrom hindurchfließt.
Hund arterielles System
Mensch arterielles System
Mensch venöses System
10
D
mm
1
0.1
Di  D0 3 1 / z
0.01
0
10
3
10
6
10
z
9
10
Optimale Blutgefäßverzweigung
Hund - Mensch - Theorie
Hydraulik des Hämatokrits
Hämatokrit H =
Blutzellenvolumen
Gesamtvolumen
v
Zwei Lösungen für eine
hydraulische Förderung
von Blutkörperchen
a
v
Ist die Lösung a besser als b
oder ist b besser als a ?
b
HMann = 42 – 50%
HFrau = 37 – 45%
Hoptimal = 43,3%
HSchaf = 32%
(eine mathematische Lösung)
Zeit
Künstliche H-Werte
HSchwein = 41%
Zur Messung des
Blutzellen-Volumenstroms
Blutzellenstrom
1,5
1,0
Optimaler
Schwein
0,5
0
Blutzellenstrom
HEvolution = 41%
1,0
Hämatokrit H
0
10
20
30
40
50
60 %
Schaf
HEvolution = 32%
0,5
Blutkörperchenstrom
Die über 35 Jahre alten Messungen wurden
noch nicht verifiziert. - Deshalb Vorsicht!
0
Hämatokrit H
0
10
20
30
40
50
60 %
Geometrie der Bienenwaben
Dumme Gärtner
Schlaue Gärtner
b
b
Eingesparte Strecke
Hinzugefügte Strecke
g
2 g  2 v  max
v
g
für opt  120 
v
Vom Angrenzungsproblem
in 2 Dimensionen zum
Angrenzungsproblem
in 3 Dimensionen
2g  2v
b
 0,134
Das Angrenzungsproblem
in 3 Dimensionen
Am Boden der sechseckigen
Zellen der Bienenwabe sieht
man die versetzt angeordneten
Zellwände der Gegenseite
durchscheinen.
Gartenzaun
Bienenwabe
Das Angrenzungsproblem
9 Kanten !
14 Kanten !
Bienenwabe
Zelle von Fejes Tóth
Gewinn = 0,035% gegenüber
der Lösung der Evolution
László Fejes Tóth
(1915 – 2005)
Über Größe und Leistung
Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten
und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard
dadurch, dass er klein war, beim Kampf in voller
Ritterrüstung Vorteile ?
Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste
Ritterrüstung ist leichter ?
Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche
angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat
der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten
Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ?
Die Rüstung
Richard des
Dritten
Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional
zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proportional zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ?
Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !
Eine Science-Fiction-Geschichte
Gliese 581g
Planet der Halslinge
Gliese 581
(in Sternbild Waage)
Text
Osmium
Magnesium
Evolution auf dem
extrasolaren Planeten
2210
Erdlinge
Vermessung der extraterrestrischen Halslinge
Riesen-Halsling
Halslänge = 60,0 m
Halsgewicht = 4522000 kg
Kopfgewicht = 20340000 kg
Halslänge = 12,0 m
Halsgewicht = 16180 kg
Kopfgewicht = 162700 kg
Halslänge = 5,0 m
Halsgewicht = 755,3 kg
Kopfgewicht = 11770 kg
Halslänge = 1,0 m
Halsgewicht = 2,702 kg
Kopfgewicht = 94,17 kg
Halslänge = 0,30 m
Halsgewicht = 0,040 kg
Kopfgewicht = 2,542 kg
plump
Großer Halsling
Gemeiner Halsling
Kleiner Halsling
grazil
Zwerg-Halsling
10 7
Riesen-Halsling
Halsgewicht
kg
10 4
10 2
Großer Halsling
Anstieg = 7/6
Allometriegesetz der
extraterrestrischen
Halslinge
Gemeiner Halsling
Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
10 0
-2
10
100
Kleiner Halsling
Zwerg-Halsling
10 2
8
104
106 kg 10
Kopfgewicht
!
10 4
Skelettgewicht S
kg
10
Elefant
2
Mensch
Hund
Allometriegesetz
der terrestrischen
Wirbeltiere
Anstieg = 7/6
10 0
Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz
Kaninchen
Katze
Ratte
-2
10
S  L7/6
Maus
-2
10
100
!
102 kg
104
Lastgewicht L
Katze
grazil
Elefant
plump
Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht
10 7
60 m
Trägergewicht G
kg
12 m
10 4
10 2
10
5m
Theorie für minimales
Trägergewicht bei gleicher
relativer Durchbiegung
(Steifigkeit)
1m
0
100
rKugel  lBalken
Anstieg = 7/6
G  L7/6
0,3 m
-2
10
Das technische Problem:
Links eingespannter
Balken mit Kugelgewicht
10 2
104
8
106 kg 10
Kugellast L
Auf dem Planeten Gliese 581g
existieren auch die Hüpflinge
Riesenhüpfling
Gemeiner Hüpfling
Zwerghüpfling
Osmium
r
P
Magnesium
Euler Knickung
l
Optimale Auslegung der
Hüpflingsarten auf dem
extrasolaren Planeten
d
r l
l variabel
Hüpfling
3Ed4
Aus PEuler 
64 l2
& PEuler  PKopf  g Kopf VKopf
Kritische Last
Es kommen die Gleichungen hinzu:
VBein 
8  3 
 
  4 
2/ 3
 g Kopf
 4
  E
VKopf 
1/ 2
4 3
r
3

7/6
  VKopf 

VKopf
VBein 
3 E d 4

64 l 2 g Kopf
 2
d l
4
VBein  VKopf
r l
7/ 6
Bemessungsoptimierung
Was ist Beltistometrie ?
Isometrie
(  gleich)
Mit gleichem Maß
Allometrie
(  anders)
Mit anderem Maß
Beltistometrie
Mit bestem Maß
(  bester)
Beltistometrie
(mit bestem Maß)
Definition:
Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit,
Materialstärke usw.), die optimiert wurde, wird über der Größe des
Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B.
isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende
Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt.
Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte
Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert.
10
3
10
Elen-Antilope
Wasserbock
Weißschwanzgnu
2
Von der Zwergmaus
zur Elenantilope
Löwenjunges
10
1
10
0
Suniböckchen
Gazelle
Springhase
Antilope
Rattenkänguruh
Ginsterkatze
Zebramungo
Allometrie
Beltistometrie
Zwergmungo
Eichhörnchen
10
Anstieg = 4/5
-1
Zwergmaus
10
10
-2
10
-3
10
-2
-1
10
10
0
1
2
10
10
Körpergewicht
kg 10
Vom Modellflugmotor
zum Schiffsdiesel
3
Sulzer RD-90
Cooper Bessemer V-250
4
Daimler-Benz 609
l/s
Luftdurchsatz
Sauerstoffverbrauch
ml/s
10
Nordberg
Allison V-1710
3
Chrysler 340
10
2
10
1
10
0
Continental C115
Honda 450
Lycoming GO-290A
Anstieg = 4/5
McCulloch M2-10
Enya 60-4C
Webra Speedy
10
-1
10
0
1
10
10
2
3
4
10
10
Motorgewicht
kg 10
5
MAN-Schiffsdiesel mit
22 000 kW Leistung
Modellflugdiesel mit
0,31 kW Leistung
Vergleich von Leistung und Gewicht:
Großdiesel für Kreuzfahrtschiff:
Gewicht: 250 Tonnen
Leistung: 22 000 kW
Kleinstdiesel für Flugmodell:
Gewicht: 237,5 g
Leistung: 0,99 kW
1000 000 Modellflugdiesel wiegen
so viel wie ein Schiffsdiesel.
Sie leisten zusammen 1000 000 kW.
Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !
Blattschneiderameise
Eine Weberameise kann das 40-fache
ihres Eigengewichts tragen.
Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht
müsste dann 3,2 Tonnen schultern.
Weberameise
Aber: Der beltistometrische
Zusammenhang sieht
anders aus!
Emil Rechsteiner
Eine 6 mm große Schaumzikade kann
70 cm hochschnellen.
Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann
210 m hoch springen können.
Schaumzikade
Die Schaumzikade hält den Weltrekord
im Insekten-Hochsprung. Sie
beschleunigt beim Absprung mit 400 g.
Aber: Der beltistometrische
Zusammenhang sieht
anders aus!
Aus dem Guinness Buch der Tierrekorde:
Die schnellste Spinne der Welt
Die Hausspinne (Tegenaria atrica) erreichte bei einer
Reihe von Experimenten, die 1970 in Großbritannien
durchgeführt wurden, über kurze Distanzen eine
Geschwindigkeit von 1,9 km/h. Dies ist außerordentlich
schnell, wenn man bedenkt, dass die Spinne in nur 10
Sekunden eine Strecke zurücklegte, die dem
330fachen ihrer Körperlänge entsprach.
Dann müsste ein 2 Meter großer Mensch
in 10 Sekunden …
Ende
www.bionik.tu-berlin.de
Gliese 581 g ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 581 umkreist.
Der Planet liegt im Sternbild Waage, etwa 20,4 Lichtjahre (etwa
193 Billionen Kilometer) entfernt von der Erde.
Gliese 581 g besitzt etwa einen 1,2- bis 1,4-fachen Erddurchmesser und
die 3- bis 4-fache Erdmasse, seine Umlaufzeit beträgt etwa 36,6 Tage.
Gliese 581 g besteht möglicherweise aus Stein und hat genug Masse,
um eine Atmosphäre zu halten. Er liegt in der habitalen Zone, verfügt
also potentiell über flüssiges Wasser. Die Durchschnittstemperatur wird
auf etwa −30 bis −12 °C geschätzt.