Spieltheorie - Einführung

Prof. Dr. Reinhard H. Schmidt
Einige Elemente der Spieltheorie
U3L WS 2015/16
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Typen/Klassen von Mehrpersonen-Entscheidungen
Mehrpersonenentscheidungen
Nichtkooperativ
(Nichtkoop.
Spieltheorie)
Verhandlungen
(Koop. Spieltheorie;
Verhandlungstheorie)
Kooperativ
Abstimmungsregeln
(Public Choice)
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Spieltheorie - Einführung
Ein Spiel ist eine formale Darstellung einer Situation in der (rationale)
Individuen strategisch interagieren.
„Strategisch“ bedeutet: unter Berücksichtigung der Tatsache, dass sich
andere Spieler auch so verhalten, wie es für sie rational ist, wenn sie dabei
bedenken, wie sich (wieder) andere verhalten, die davon ausgehen ….
Benötigte Zutaten:
i Spieler: Wer nimmt daran teil?
ii Regeln: Wer kann zu welchem Zeitpunkt was tun? Welche Informationen
liegen den Spielern vor?
iii Ergebnisse: Was kann alles passieren ?
iv Auszahlungen: Wie bewerten die Spieler die Ergebnisse?
Beispiele:
•
Matching Pennies 1 („dynamisch“=nach einander ziehend) und 2
(„statisch“ (=zugleich ziehend))
•
Meeting in New York (Battle of the Sexes)
3
Die Problemstellung der (NK) Spieltheorie: Die Suche
nach dem Gleichgewicht
 Wie soll ich entscheiden? Das wäre kein Problem, wenn ich




genau wüsste, welche Handlung Spieler 2 wählt, d.h. wenn ich
seine Aktion (a2) im voraus kennen würde. Im Grunde wäre
das eine Entscheidung bei Sicherheit! Ich würde dann meine
„beste Antwort“ auf a2 wählen.
Problem: Da ich nicht weiß, welches a2 mein Gegner wählen
wird, kann ich nur für alle möglichen Handlungen meines
Gegners „bedingt beste Antworten“ spezifizieren.
Mein Gegner wird dasselbe aus seiner Sicht tun.
Wir haben also zwei Spieler, die wissen, „was sie täten, wenn
sie wüssten, was der andere tut.“
Nur: was werden sie wirklich tun? Gibt es ein GG? -oder
keines oder gar mehrere?
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Spieltheorie - Einführung
„Zutaten“ des Koordinationsspiels von Schelling: „Meeting in New York“:
i Spieler: Mr. Luce und Mr. Raiffa.
ii Regeln: Jeder Spieler kann sich um 12.00 mittags zur Grand Central
Station (GC) oder auf das Empire State Building (ES) begeben. Keiner
kennt die Pläne des anderen. Die Spieler können nicht kommunizieren.
iii Ergebnisse: Sie können sich treffen oder verfehlen (siehe Zahlungsmatrix).
iv Auszahlungen:
Lu / Ra
GC
ES
GC
100,100
0,0
ES
0,0
100,100
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Spieltheorie - Einführung
Die Spieltheorie hat sehr viele Anwendungen, z.B.:
• Theorie der Finanzintermediation / Corporate Finance
• Theorie der Unternehmung
• Industrieökonomik
• Theorie des allgemeinen Gleichgewichts
Einige wichtige Forscher auf diesem Forschungsfeldes sind:
• von Neumann und Morgenstern (1944), Nash* (1951)
• Harsanyi* (1973), Selten* (1981)
• Myerson (1978), Kreps und Wilson (1982), Rubinstein (1982)
• Schelling* (1960), Aumann* (1959, 1976)
• Smith* (1962), Kahneman und Tversky * (1979)
Mit * gekennzeichnete Autoren erhielten bisher einen Nobelpreis der
Wirtschaftswissenschaften. R. Selten hat sich in Frankfurt habilitiert.
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Nash-Gleichgewicht: 3 Beispiele
Beispiel 1: (UMD & LR) von oben
1/2
L
R
U
5, 1
7, 0
M
5, 1
3, 0
D
6, 4
4, 3
Beispiel 2: Meeting in New York
Überlegen Sie mal, wie sich Spieler 1
und 2 entscheiden sollten, wenn sie für
sich ein möglichst gutes Ergebnis
anstreben. Evtl. mit Abschätzung der
Wahrscheinlichkeiten dafür, wie der
andere entscheidet?
Aber was wären diese Wahrscheinl.?
Beispiel 3: Das Gefangenenspiel
1/2
ES
GC
1/2
L
G
ES
100, 100
0, 0
L
-1, -1
-9, 0
GC
0, 0
100, 100
G
0, -9
-6, -6
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Eliminierung dominierter Strategien als Lösungs- bzw.
Gleichgewichtskonzept
Beispiel: Spieler 1 (der zuerst zieht) sollte keinesfalls Strategie M spielen. Deshalb:
Zeile M streichen! Spieler 2 sollte wiederum keinesfalls Strategie R wählen. Nun ist
U für Spieler 1 keine streng dominierte Strategie. Aber wenn Spieler 2 rational ist,
wird er keinesfalls R spielen. Unterstellt Spieler 1, dass Spieler 2 rational ist, so
kann er davon ausgehen, dass dieser niemals R wählen wird. In diesem Fall, sollte
er (Spieler 1) keinesfalls U wählen.
1/2
L
R
U
5, 1
7, 0
M
5, 1
3, 0
D
6, 4
4, 3
1/2
L
R
1/2
L
U
5, 1
7, 0
U
5, 1
D
6, 4
4, 3
D
6, 4
1/2
L
D
6, 4
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Nash Gleichgewicht: Definition
• Definition: Eine Strategiekombination (s1*,…, si *) ist ein Nash
Gleichgewicht, wenn für alle Spieler i I, gilt:
ui ( si* , s*i )  ui ( si' , s*i )
(4)
für alle s'i  S i
• In Worten (und für den vereinfachenden Fall von nur 2 Spielern):
Eine Kombination der (besten) Strategien s1* (von Spieler 1) und s2* (von
Spieler 2) ist dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn gleichzeitig gilt:
Die beste Strategie des Spielers 1, s1*, ist mindestens so gut wie jede
andere mögliche Strategie, die Spieler 1 als Reaktion darauf wählen kann,
dass der Spieler 2 seine beste Strategie s2* wählt,
und zugleich:
die beste Strategie des Spielers 2, s2*, ist mindestens so gut wie jede andere
mögliche Strategie, die Spieler 2 als Reaktion darauf ergreifen kann, dass
Spieler 1 seine beste Strategie s1* wählt.
• In einem Nash Gleichgewicht muss die Strategie eines jeden Spielers i eine
beste Antwort bezüglich der Strategien sein, die seine Gegner tatsächlich
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wählen.
Nash-Gleichgewicht: Beispiele
Beispiel 1: (UMD & LR) von oben
Beispiel 2: Meeting in New York
1/2
L
R
1/2
ES
GC
U
5, 1
7, 0
ES
100, 100
0, 0
M
5, 1
3, 0
GC
0, 0
100, 100
D
6, 4
4, 3
D,L ist ein Nash-Gleichgewicht,
und zugleich eines von 2
Pareto-Optima
An diesem Beispiel erkennt man,
dass es in einem Spiel mehrere NashGleichgewichte geben kann
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Statische Spiele
Dominante und Dominierte Strategien
Im folgenden wird immer angenommen, dass alle Spieler rational sind und die
Rationalität der Spieler allen Beteiligten bekannt („common knowledge“) ist.
Auch beschränken wir uns vorläufig auf Spiele mit vollständiger Information.
L=leugnen, G=gestehen
Beispiel: Gefangenendilemma
1/2
L
G
L
-1, -1
-9, 0
G
0, -9
-6, -6
Man beachte: Das Ergebnis das bei rationalen Spielern zu erwarten wäre, ist nicht
Pareto effizient. – und wenn die Spieler dies erkennen, werden sie nach Möglichkeiten
der Kooperation suchen oder die Situation zu verändern versuchen, etwa indem sie
mehrere Spiele zusammenführen („Superspiele“)
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Die Bedeutung des Gleichgewichts-Konzepts von John Nash
Jedes Gleichgewicht der Spieltheorie ist entweder ein Spezialfall des oben dargestellten
Nash Gleichgewichts oder eine Erweiterung.
Beispiel: Ein Gleichgewicht in dominanten Strategien ist ein Spezialfall des Nash
Gleichgewichts. Ein Bayesianisches (Nash) Gleichgewicht ist die Erweiterung des Nash
Gleichgewichts auf den Fall von Spielen mit unvollständiger Information.
Ein nicht zu vernachlässigendes Problem des Nash Gleichgewichtskonzeptes ist die
typischerweise vorhandene Mehrdeutigkeit von Gleichgewichten.
Beispiel: Meeting in New York. Hier gibt es zwei Gleichgewichte.
Und weil es für die Betroffenen oft wichtig ist, ob ein Gleichgewicht vorliegt oder nicht,
entsteht die wichtige Frage: Wie koordinieren sich die Spieler auf ein Gleichgewicht?
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Nobelpreise – wer und wofür?
• John Nash für das Konzept des Nash-Gleichgewichts und
seiner mathematischen Begründung und des Nachweises
seiner Allgemeinheit
• Harsany und Selten für die „Entdeckung“ des Konzepts der
„Teilspielperfektheit“ (und der Lösbarkeit durch
Rückwärtsinduktion) bei Spielen, die sich als Abfolge von
Spielstufen beschreiben lassen.
• Reinhard Selten für „die zitternde Hand“ als „Lösung“ für das
Problem der Uneindeutigkeit (und daran anknüpfend die
Hinwendung zur experimentellen Wirtschaftsforschung, die
sich der Frage widmet, wie Menschen wirklich entscheiden.)
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