Aschbacher Andreas arsenal research

Probleme des
Umweltschutzes
(freies Wahlfach)
Einführungsvorlesung Andreas Aschbacher,MSc, arsenal research
Ges.m.b.H
Hörsaal VIII, 2. Stock Mo 16.30
1. Ausbreitung von Luftschadstoffen
 Punktförmige Quelle - Stoßemission
 Kontinuierlich emittierende Punktquelle mit konstanten Wind
2. Artenvielfalt und Stabilität von Ökosystemen
 Wachstum einer Isolierten Population
 Konkurrenz von n Arten
1. Ausbreitung von Luftschadstoffen
 Punktförmige Quelle - Stoßemission
Unter Annahme, dass sich die Schadstoffquelle im
Koordinatenursprung befindet,
gilt für die Schadstoffkonzentration c( x1 , x2 , x3 , t )
im Punkt ( x1 , x2 , x3 ) zum Zeitpunkt t:
c( x1 , x2 , x3 , t ) 
c0
4Dt 3
e

x12  x22  x32
4 Dt
D…Diffusionskonstante
c0…Konzentration der
emittierten Schadstoffe
- Heuristische Herleitung mittels Galtonschen Brettes
- Exakte Herleitung der Formel für c( x1 , x2 , x3 , t ) aus
der Diffusionsgleichung c
 Dc
t
Wir setzen:
x x x r
2
1
2
2
Dt  
2
3
2

c ( r , ) 
c0
4 
3
e

r²
4
Tatsächlich sehen wir hier die Funktion min cr, , K ,wobei K eine positive Konstante ist
Wir stellen uns die Frage:
Ab welchem Abstand r * liegt die Schadstoffkonzentration c ( r , )
stets unter einem vorgegebenen Wert c * ?
Bei gegebene Wert c hängt r und   Dt , d.h. von t, ab.
Wir suchen den größten Wert r * ,den r zu irgendeinem
Zeitpunkt t bei gegebener Schadstoffkonzentration c *
erreichen kann.
Da c eine abnehmbare Funktion in r ist
*
*
 dass r  r der Wert c nicht mehr erreicht wird
*
c* 
c0
4 3
e

r²
4


c0
r  2   ln 
3
 *
 c 4 2




r nimmt das absolute Maximum bei
1  c0 
ˆ 
 
4e  c 
2
3
an und hat dort den Wert
3  c0 
r 
 
2  c 
*
1
3
 Für
r  r*
liegt die Schadstoffkonzentration stets unter c
*
 Kontinuierlich emittierende Punktquelle mit konstanten Wind
Nach Wahl eines ( x1 , x2 , x3 ) -Koordinatensystems befinde
sich eine kontinuierliche emittierende Punktquelle
im Punkt0,0, h
Emission habe stets die Konzentration c0
In Richtung
x1 -Achse wehe ein Wind mit v1 =const
Wir suchen c( x1 , x2 , x3 )
c  0 für x2 , x3  
Modellannahmen:
c  0 für x1  0
( x2 , x3 )  (0, h)
Für die Konzentrationsverteilung ergibt sich:
c1 ( x1 , x2 , x3 ) 
c0
4D  x  x  x3  h 
2
1
2
2
2
e

v1  2 2
 x1  x2   x3  h 2  x1 

2D 
Die Annahme einer Reflektion der Schadstoffteilchen
am Boden (ohne Resorption) erhöht den Wert c1 um
c2 ( x1 , x2 , x3 ) 
c0
4D  x  x  x3  h 
2
1
2
2
2
e

v1  2 2
 x1  x2   x3  h 2  x1 

2D 
sodass
c( x1 , x2 , x3 )  c1 ( x1 , x2 , x3 )  c2 ( x1 , x2 , x3 )
Als Sonderfall davon erhält man für Bodennähe ( x3  0)
und in Windrichtung ( x2  0) die Verteilung
c( x1 ,0,0) 
c0 e

2D

v1  2 2
 x1  h  x1 

2D 
x12  h 2
x1  h Exponentielle Zunahme
x1  h Abnahme der Schadstoffkonzentration in Form
einer Potenzfunktion
x1  h
Hier wird der größte Wert von c angenommen
2. Artenvielfalt und Stabilität von Ökosystemen
Wenn der Mensch in die Natur eingreift,
stellt sich die Frage, ob es zur einer Instabilität und
letztendlich zum Zusammenbruch des Systems kommen kann
Aber, dass das Gegenteil stets zur Stabilität führt,
Ist ein weit verbreiteter Trugschluss
Nun wollen wir dies im folgenden nachweisen
 Wachstum einer Isolierten Population
- Bei unbeschränkten Nahrungsvorräten
und ohne Feinde
N (t )…Anzahl der Mitglieder der Population zum Zeitpunkt t
dN

 rN
dt
r 0
r …Pro-Kopf-Wachstumsrate
Diese Gleichung ergibt das exponentielle Wachstum
N  N 0 * e rt
N 0  N (0)
Dies kommt in der Natur sehr selten vor