E1-07Fo6 - Bionik TU

Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“
Mutationsgeneratoren für die Evolutionsstrategie
Objektiver, subjektiver und algorithmischer Zufall
Weiterverwendung nur unter
Angabe der Quelle gestattet
Treibstoff für den
Optimierungsmotor
Evolutionsstrategie
ZufallsMaschinen
Normalverteilung
Die normale Verteilung des Zufalls
Sir Francis Galton (1822 - 1911)
Francis Galton
und sein Nagelbrett
2 3
1
4
5
Nagelbrett
Simulation
Senkrecht aus der
Wand ragende Nägel
Wir erhalten das Ergebnis +2
auch, indem wir alle Vorzeichen
addieren und das Ergebnis
durch 2 dividieren
5 4 3 2 1 0
+1 + 2 + 3 + 4 + 5
Chips, die auf der einen
Seite ein Minus- und auf
der anderen Seite ein
Plus-Zeichen tragen.
1968 für die
Evolutionsstrategie entwickelt
Mechanischer Zufallszahlengenerator
„Turbulenzklappe“
Text
Physikalischer Zufallszahlengenerator als USB-Stecker
Das Zufallssignal wird von der
thermischen Rauschquelle,
generiert, die eine Z-Diode
liefert.
PRG310
Firma: Westphal Electronic
Preis: 340 Euro
Subjektiver und objektiver Zufall
Der Zufall im täglichen Leben und auch der Zufall in der klassischen Physik ist
ein scheinbarer Zufall. Der deutsche Physiker Werner Heisenberg hat dies auch
als subjektiven Zufall bezeichnet, womit gemeint ist: Es ist ausschließlich unser
momentanes Unwissen, das Unwissen des Subjekts, das es uns so erscheinen
lässt, als wäre ein bestimmtes Ereignis rein zufällig gewesen. In Wirklichkeit gibt
es dafür jedoch einen wohl definierten Grund.
Nur in Quantenphysik existiert der objektive Zufall. Kommt ein System in einen
Quantenzustand, sind mehrere Zustände gleichzeitig in einer Raum-Zeit-Wahrscheinlichkeitswelle vorhanden. Bricht diese Welle z. B. durch eine Messung zusammen, ist nur noch ein Zustand vorhanden. Dabei ist es objektiv zufällig, welchen der gleichberechtigten Zustände das physikalische Objekt dabei annimmt.
y
klick = “1”
Elektronenquelle
Detektoren
?
klick = “0”
Elektron
Heisenbergsche Unschärferelation
Δ y  Δ py  h
4
Für m = konst.
Δ y  Δ vy  h
4
p  mv
h = 6,63·10-34 Js
Plancksches
Wirkungsquantum
Die genaue Ortsfestlegung des
Elektrons in y-Richtung bedingt
eine hohe Unschärfe der
Geschwindigkeit in y-Richtung
Prinzip eines Quanten-Zufallszahlengenerators
Quanten-Zufallszahlen-Generator
Halbdurchlässiger Spiegel
Photonenquelle
?
50%
“1”
Photon
50%
Schneller Quanten-Zufallszahlen-Generator
Der Quanten-Zufallszahlen-Generator (QRNG), den
ein Aussteller auf der CeBIT 2004 zeigt, ist noch einmal kleiner, leistungsfähiger und preisgünstiger als
sein Vorgängermodell. Im Vergleich zu anderen Generatoren, die auf so genannten chaotischen Prozessen
basieren, nutzt das vorgestellte Modell mit der zufälligen Reflexion oder Transmission eines einzelnen
Photons an einem halbtransparenten Spiegel einen
fundamentalen quantenphysikalischen Prozess aus.
Photonen-Detektor
“0”
Text
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(c) copyright 2004, www.randomnumbers.info
1000 wirklich echte Zufallszahlen, erzeugt mit einem Quanten-Generator
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12
23
46
08
14
28
26
15
5000 ??? - Zufallszahlen
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938
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4912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082
7785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771
3099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528
8658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921
6420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454150
6959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989
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7640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927210
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4524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922
2184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984896
0841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958
1339047802759009946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625245
1749399651431429809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953
9594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948
6855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803
5593634568174324112515076069479451096596094025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009
7149096759852613655497818931297848216829989487226588048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413
5473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386
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2397489409071864942319615679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215
0306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816357
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8673215791984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369882
0914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183515565088490998985998238734552833163550764791
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5732654893823911932597463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197621
1011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110104
4682325271620105265227211166039666557309254711055785376346682065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876486
1179104533488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591344
0171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545
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447377441842631298608099888687413260472
Text
Pseudozufallszahlengenerator, der nach einer mathematischen
Formel in Form einer Rekursionsvorschrift arbeitet
zi 1  f ( zi , zi 1 ,  zi k )
oder einfacher
zi 1  f ( zi )
Beispiel:
zi1  FRAC(ezi  )  (e
zi  
) INT (e zi   )
8
zi1  FRAC( zi  )  ( zi  )8 INT( zi  )8
Liefert [0, 1) - gleichverteilte Pseudozufallszahlen
Das Quadrat-Mittenverfahren von
John von Neumann
1949
Start mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …)
J. v. Neumann (1903 – 1957)
z0 = 66 662 = 4356
z1  35 352 = 1225
z2  22 222 = 0484
z3  48 482 = 2304
z4  30 302 = 0900
z5  90 902 = 8100
z6  10 102 = 0100
z7  10
Rekursionsformel
2a
zi 1  INT [10 FRAC (
zi2
10 3a
)]
Text
Der Kongruenzgenerator
A. Rothenberg (1960)
zi 1  ( a  zi  b ) mod m
Liefert (0, 1, 2, … m -1) gleichverteilte Zufallszahlen
Bedeutung der Operation a = b mod c
Es ist a der Divisionsrest, der sich ergibt, wenn b durch c
geteilt wird.
Beispiele:
a = 23 mod 9
a=5
a = 100 mod 3
a=1
a = 100 mod 90
a = 10
a = 33 mod 37
a = 33
Der Kongruenzgenerator
zi 1  ( a  zi  b ) mod m
Alternative Schreibweise:
a zi  b
zi 1  m[FRAC ( m
)]
Beispiel:
zi 1  (7  zi  3 ) mod10
z1 = 4
z2 = 1
z3 = 0
z4 = 3
z5 = 4
Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit
maximaler Periodenlänge m
zi 1  ( a  zi  b ) mod m
Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen
Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein
Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4
Beispiel: a = 11, b = 3, m = 10
zi 1  (11  zi  3) mod10
z0 = 4
z1 = 7
z2 = 0
z3 = 3
z4 = 6
z5 = 9
z6 = 2
z7 = 5
z8 = 8
z9 = 1
z9 = 4
Regeln für einen Kongruenz-Zufallszahlengenerator mit
maximaler Periodenlänge m
zi 1  ( a  zi  b ) mod m
Regel 1: b und m dürfen keinen gemeinsamen Teiler besitzen
Regel 2. a –1 muss durch die Primfaktoren von m teilbar sein
Regel 3. a –1 muss durch 4 teilbar sein, wenn m Vielfaches von 4
Beispiel: a = 901, b = 17, m = 30000
zi 1  (901  zi  17) mod 30000
Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen
1
w
2
 2 zi
1
w ( zi ) 
e 2
2
2
zi
Warum ?
Sie verhalten sich n-dimensional zusammengesetzt rotationssymmetrisch
z2
z1
Erzeugung rotationssymmetrisch
normalverteilter Zufallszahlen
Erzeugung von 2 normalverteilter Zufallszahlen y1 und y2 aus 2 gleichverteilten
Zufallszahlen x1 und x2 durch die Box-Muller Transfomation:
y1   2 ln(x1 ) sin(2 x2 )
y2   2 ln(x1 ) cos( 2 x2 )
Beweis: Durch Bildung von y1 + y2 und y1 / y2 können wir das Gleichungssystem
leicht nach x1 und x2 auflösen:
x1  e
y
x 2  1 arctan ( y1 )
2
2
 1 ( y12  y22 )
2
Für die Transformation der Dichte w(x1,x2) in die Dichte w( y1,y2) gilt:
( x1 , x 2 )
w ( y1 , y2 )  w (x1 , x 2 ) 
( y1 , y2 )
Erweiterung der einsichtigen eindimensionalen
Transformationsregel:
w ( y)dy  w (x ) dx
1
Berechnung der Jacobi-Determinante
x1
( x1 , x 2 )
y
 x1
( y1 , y2 )
2
y1
x1
1  y12 / 2 1  y22 / 2
y2

e
x 2  2  e
2
y2
Box, G. E. P. and Muller, M. E.
"A Note on the Generation of
Random Normal Deviates.„
Ann. Math. Stat. 29, 610-611, 1958
Fester Glauben
Wilhelm Busch
Professor:
„… und nun will ich ihnen diesen Lehrsatz jetzt auch beweisen“
Schüler:
„Wozu beweisen, Herr Professor? Ich glaub‘ es Ihnen so.“
Erzeugung von normalverteilten Zufallzahlen
Box-Muller-Formel für den Computer:
znormal   2  log(1  z1 gleich ) sin( 2   z2 gleich )
rnd
rnd
in Basic
Aus zwei [ 0, 1 ) - gleichverteilten Zufallszahlen
wird eine normalverteilte Zufallszahl produziert
Gleichverteilte,
normalverteilte und
kugelrandverteilte Zufallzahlen
im Computerbild
z kubus  2 ( zgleich 0,5)
z2
z3
z1
-1
+1
Gleichverteilte Zufallsmutationen in die z1- z2- und z3-Richtung
erzeugen im Mittel in den Diagonalenrichtungen
n - fach
größere Mutationsvektoren als in den Variablenrichtungen !
Text
Zusammengefasste Logik
der Evolutionsstrategie
Der Dumme, der einfach losgeht, kommt
weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt
und sich vor lauter Nachdenken nicht
entscheiden kann.
Einfach losgehen (irgendetwas machen) erfordert einen
Stichproben-Generator
100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
Quanten-Zufallsgenerator
0,3694
0,6529
0,2226
0,7918
0,6603
0,7437
0,6077
0,9989
0,4309
0,1965
0,8982
0,3418
0,6829
0,1715
0,7083
0,3440
0,8282
0,7363
0,0648
0,1695
0,9284
0,9316
0,5342
0,7372
0,4121
0,7771
0,8724
0,9308
0,7503
0,6839
0,2496
0,0863
0,9253
0,2330
0,8156
0,2245
0,1834
0,8807
0,3631
0,9996
0,2079
0,7965
0,4488
0,8404
0,3412
0,7157
0,0601
0,1323
0,4484
0,7762
0,9110
0,6957
0,6371
0,2525
0,0602
0,0655
0,1076
0,8428
0,0960
0,8175
0,9989
0,3705
0,1678
0,4038
0,4439
0,0781
0,6445
0,0898
0,8258
0,2457
0,9204
0,7688
0,2503
0,6164
0,9943
0,2725
0,2949
0,3533
0,4324
0,7368
0,1260
0,8985
0,1628
0,9501
0,2659
0,5667
0,2855
0,0321
0,0438
0,5428
0,9541
0,5117
0,4469
0,5399
0,8288
0,7460
0,5979
0,5511
0,4509
0,4984
BASIC rnd-Zufallsgenerator
0,7055
0,7747
0,0454
0,9620
0,5249
0,2982
0,8298
0,2269
0,1064
0,1001
0,2958
0,4014
0,4101
0,2076
0,9057
0,9194
0,5610
0,5434
0,5137
0,0556
0,5334
0,0140
0,4140
0,8714
0,7671
0,6227
0,8246
0,6951
0,9994
0,1030
0,3820
0,2783
0,4128
0,1860
0,2614
0,6317
0,6945
0,9162
0,4630
0,2438
0,5759
0,7607
0,8626
0,0562
0,0535
0,6478
0,5892
0,9800
0,6762
0,7989
0,3010
0,1604
0,7127
0,5834
0,7852
0,6276
0,9137
0,4303
0,3535
0,9791
0,2896
0,8145
0,7905
0,9496
0,5925
0,2638
0,9861
0,2439
0,0157
0,2845
0,9486
0,1628
0,3262
0,0807
0,3789
0,4285
0,8348
0,6779
0,4048
0,0609
0,3019
0,7090
0,3735
0,3640
0,4687
0,2793
0,9110
0,5339
0,5752
0,0456
0,9798
0,6466
0,6332
0,4580
0,2897
0,0980
0,0226
0,5025
0,2697
0,3903
Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator
Zur „Philosophie“ der richtigen Schrittsetzfolge
4
1
2
4
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2
3
3
1
1
  4 / 16
1
1
4
1
2
3
2
4
  4 / 12
2
3
2
100 [0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen
Quanten-Zufallsgenerator
0,3694
0,6529
0,2226
0,7918
0,6603
0,7437
0,6077
0,9989
0,4309
0,1965
0,8982
0,3418
0,6829
0,1715
0,7083
0,3440
0,8282
0,7363
0,0648
0,1695
0,9284
0,9316
0,5342
0,7372
0,4121
0,7771
0,8724
0,9308
0,7503
0,6839
0,2496
0,0863
0,9253
0,2330
0,8156
0,2245
0,1834
0,8807
0,3631
0,9996
0,2079
0,7965
0,4488
0,8404
0,3412
0,7157
0,0601
0,1323
0,4484
0,7762
0,9110
0,6957
0,6371
0,2525
0,0602
0,0655
0,1076
0,8428
0,0960
0,8175
0,9989
0,3705
0,1678
0,4038
0,4439
0,0781
0,6445
0,0898
0,8258
0,2457
0,9204
0,7688
0,2503
0,6164
0,9943
0,2725
0,2949
0,3533
0,4324
0,7368
0,1260
0,8985
0,1628
0,9501
0,2659
0,5667
0,2855
0,0321
0,0438
0,5428
0,9541
0,5117
0,4469
0,5399
0,8288
0,7460
0,5979
0,5511
0,4509
0,4984
BASIC rnd-Zufallsgenerator
0,7055
0,7747
0,0454
0,9620
0,5249
0,2982
0,8298
0,2269
0,1064
0,1001
0,2958
0,4014
0,4101
0,2076
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0,9194
0,5610
0,5434
0,5137
0,0556
0,5334
0,0140
0,4140
0,8714
0,7671
0,6227
0,8246
0,6951
0,9994
0,1030
0,3820
0,2783
0,4128
0,1860
0,2614
0,6317
0,6945
0,9162
0,4630
0,2438
0,5759
0,7607
0,8626
0,0562
0,0535
0,6478
0,5892
0,9800
0,6762
0,7989
0,3010
0,1604
0,7127
0,5834
0,7852
0,6276
0,9137
0,4303
0,3535
0,9791
0,2896
0,8145
0,7905
0,9496
0,5925
0,2638
0,9861
0,2439
0,0157
0,2845
0,9486
0,1628
0,3262
0,0807
0,3789
0,4285
0,8348
0,6779
0,4048
0,0609
0,3019
0,7090
0,3735
0,3640
0,4687
0,2793
0,9110
0,5339
0,5752
0,0456
0,9798
0,6466
0,6332
0,4580
0,2897
0,0980
0,0226
0,5025
0,2697
0,3903
Quanten-Zufallsgenerator contra Pseudozufallsgenerator
Text
Ende
Aus den Anfängen der Evolutionsstrategie stammt ein bemerkenswert einfacher
strömungstechnischer Apparat, der normalverteilte Zufallszahlen erzeugt: Die
Turbulenzklappe. In einem turbulenten Freistrahl befindet sich eine leicht drehbar
gelagerte Balsaholzfahne. Die turbulenten Strömungswirbel, die sich unvorhersagbar chaotisch bewegen, schleppen die Fahne schwingend hin und her. Die Fahne
stößt dabei unregelmäßig an einen elektrischen Kontakt. An die Stelle der Lampe
in der Skizze ist ein elektronische Zähler eingefügt. Die von der Klappe erzeugten
Impulse werden für T Sekunden aufwärts und für ebenfalls genau T Sekunden abwärts gezählt. Was übrig bleibt ist eine Zufallszahl, die einer Normalverteilung genügt. Denn große Zähldifferenzen werden wesentlich seltener auftreten als kleine.
Eine schwache Lichtquelle, z. B. ein Laser oder eine Leuchtdiode, sendet einen
Strom von Lichtteilchen (Photonen) aus. Der Lichtstrahl wird an einem halbdurchlässigen Spiegel geteilt. Die Hälfte der Lichtteilchen dringt hindurch und trifft
dahinter auf ein Messgerät. Die andere Hälfte wird reflektiert und dann in einem
zweiten Messgerät aufgefangen. Ähnlich wie beim Münzwurf hat das einzelne
Photon eine Wahrscheinlichkeit von ½ in einen der beiden Detektoren zu treffen.
Es gibt jedoch keinen inneren Mechanismus, der das Photon in die eine oder
andere Richtung stößt. Und genau das ist der Unterschied zu allen anderen
Zufallsgeneratoren. Der Zufall ist in den Formeln der Quantenphysik enthalten.
Seit etlichen Jahrzehnten ersinnen die Forscher immer neue Experimente, um
das zu beweisen oder vielleicht doch einen verborgenen Mechanismus zu finden.
Albert Einstein war einer der prominentesten Kritiker des "eingebauten Zufalls".
Sein abschätziger Kommentar: "Gott würfelt nicht!" Nach unserem heutigen
Wissensstand ist es sehr wahrscheinlich, dass er doch gewürfelt hat...
Die Ziffernfolge Pi hat bisher alle Test bezüglich ihres zufälligen Verhaltens
bestanden.
Von Pi sind heute über 1,24 Billionen Kommastellen bekannt, das ist der
momentane Weltrekord.
Ein weiterer Weltrekord:
Mathematikfreunde aus Gießen haben im Mathematikum der Stadt einen Weltrekord aufgestellt, indem sie 108 000 Kommastellen der Wunderzahl vorlasen:
Rund vierzig Kinder und Erwachsene schieben sich vor die Bühne im Hinterhof
des Gießener Mathematikums, als Albrecht Beutelspacher am Freitag um Punkt
achtzehn Uhr den Vorleseweltrekord der Zahl Pi eröffnet, die als 3,14 bekannt ist.
Fünf Minuten hat der Mathematikprofessor Zeit, um die ersten 300 Zahlen nach
dem Komma inklusive der Drei vor dem Komma vorzulesen. Eine Minute länger
als vorgesehen braucht er dafür, doch Albrecht Beutelspacher, Leiter des Mathematikums und Organisator des Wettbewerbs, ist mit seiner Leistung zufrieden …
Samstagnacht um vierundzwanzig Uhr ist es dann geschafft: Die Organisatorinnen
Svenja Häuser und Lisa Grieb lesen die letzten sechshundert Ziffern vor. Ein
neuer Weltrekord ist erreicht.
Man beginnt mit einer 2a-stelligen Zahl (a = 1, 2, 3, …). Die Zahl wird quadriert. Es
entsteht eine 4a-stellige Zahl. Ist bei der Quadratbildung die Stellenzahl kleiner als
4a, so werden dem Ergebnis entsprechend viele Nullen vorgesetzt. Daraufhin
werden die mittleren 2a Stellen herausgeschnitten und als neue Pseudozufallszahl
interpretiert. Nach der abermaligen Quadrierung dieser Zahl ergibt sich durch
Herausblenden der Mitte die nächste Pseudozufallszahl usw.
Anmerkung zur Rekursionsformel für das Quadratmittenverfahren:
Mit der Operation FRAC wird der Nachkommateil und mit der Operation INT der
Vorkommateil einer Zahl herausgeblendet.
Bemerkung zum Programm: Der Computerversuch zeigt, dass in der Praxis die
Anisotropie der Zufallsvektoren, die mit n gleichverteilten Zufallszahlen zwischen
-1 und +1 erzeugt werden, die Konvergenz der Evolutionsstrategie nicht stört.
Das ist durch die sehr schnelle Anpassung der Mutationsschrittweite mit der 1/5Erfolgsregel zu erklären.
In der Theorie würde dagegen die Verwendung von gleichverteilten Zufallszahlen
in der Form 2*(Rnd - 0.5) zu den größten Schwierigkeiten führen, da sich
dann für jede Raumrichtung eine andere Lösung ergeben würde. Aus diesem
Grund arbeiten Evolutionsstrategen nicht nur in der Theorie, sondern auch in der
Praxis mit normalverteilten Zufallsmutationen.
Feststellung: Evolutionsbefürworter und Evolutionsgegner streiten über die Rolle
des Zufalls in der Entwicklung des Lebens. Evolutionsbiologen sehen im Zufall den
großen „Macher“, Kreationisten ziehen die Kraft des Zufalls ins Lächerliche. Tatsache ist: Der Zufall spielt bei weitem nicht die Rolle, wie es die Kontroverse erwarten
lässt. Der Zufall ist in der Evolutionsstrategie nur eine besonders einfacher Stichprobengenerator. Es muss etwas Neues probiert werden und dabei jegliches
„Vorurteil“ (Bevorzugung einer bestimmten Richtung) vermieden werden. Auch ein
deterministischer Stichprobengenerator könnte diese Bedingungen erfüllen. Der
Pseudozufallszahlengenerator ist ein solcher deterministischer Stichprobengenerator, der sich besonders einfach programmieren lässt. Nur wer an eine mystische
Kraft des Zufalls glaubt wird seine Mutationen mit einem Quantengenerator
erzeugen.
Was in der Evolution schon nicht mehr dem Zufall überlassen werden darf, das ist
die Mutationsgröße (in der Evolutionsstrategie die Schrittweite d ). Das zeigt die
Theorie des Evolutionsfensters.