Vom mechanistischen Weltbild zum Chaos

Vom mechanistischen Weltbild zum
Chaos
Isaac Newton und René Descartes waren
maßgeblich für das mechanistische Weltbild der letzten Jahrhunderte verantwortlich.
1
Vom mechanistischen Weltbild zum
Chaos
Isaac Newton und René Descartes waren
maßgeblich für das mechanistische Weltbild der letzten Jahrhunderte verantwortlich.
Hundert Jahre später 1814 postuliert Pierre Simon Marquis de Laplace den Laplaceschen Dämon.
1-a
Vom mechanistischen Weltbild zum
Chaos
Isaac Newton und René Descartes waren
maßgeblich für das mechanistische Weltbild der letzten Jahrhunderte verantwortlich.
Hundert Jahre später 1814 postuliert Pierre Simon Marquis de Laplace den Laplaceschen Dämon.
Schon 1893 zeigte Henri Poincaré, dass
das Drei-Körper-Problem keine integrablen
Lösungen hat ⇒ Die Stabilität des Sonnensystems ist nicht beweisbar.
1-b
Vom mechanistischen Weltbild zum
Chaos
Isaac Newton und René Descartes waren
maßgeblich für das mechanistische Weltbild der letzten Jahrhunderte verantwortlich.
Hundert Jahre später 1814 postuliert Pierre Simon Marquis de Laplace den Laplaceschen Dämon.
Schon 1893 zeigte Henri Poincaré, dass
das Drei-Körper-Problem keine integrablen
Lösungen hat ⇒ Die Stabilität des Sonnensystems ist nicht beweisbar.
Der Meteorologe Edward N. Lorenz simulierte erstmals (zufällig) chaotische Erscheinungen in den 60ger Jahren in einem einfachen Wettermodell.
1-c
Ordnung im Chaos
Auf der Suche nach den grundlegenden Prinzipien der Ordnung im Chaos baute John
von Neumann eine Maschine, die sich selbst
reproduzieren kann.
2
Ordnung im Chaos
Auf der Suche nach den grundlegenden Prinzipien der Ordnung im Chaos baute John
von Neumann eine Maschine, die sich selbst
reproduzieren kann.
Den Formalismus für die Maschine lieferte
Stanislaw Ulam. Er schlug als Lebensraum
ein Gitter vor, dessen Felder ihre unmittelbare Nachbarschaft in die eigene Lebensentwicklung einbeziehen.
2-a
Ordnung im Chaos
Auf der Suche nach den grundlegenden Prinzipien der Ordnung im Chaos baute John
von Neumann eine Maschine, die sich selbst
reproduzieren kann.
Den Formalismus für die Maschine lieferte
Stanislaw Ulam. Er schlug als Lebensraum
ein Gitter vor, dessen Felder ihre unmittelbare Nachbarschaft in die eigene Lebensentwicklung einbeziehen.
John von Neuman entwickelte aus diesem
Vorschlag einen selbstreproduzierenden Automaten. Die einzelnen Felder nannte er
Zellen womit der Name zellulärer Automat
entstanden war.
2-b
zelluläre Automaten
• Seine Entwicklung findet in Raum und
Zeit statt.
• Sein Raum ist eine diskrete Menge von
Zellen.
• Eine Zelle hat nur endliche viele verschiedene Zustände.
• Die Zustände der Zellen verändern sich
in diskreten Zeitschritten.
• Alle Zellen sind identisch und verhalten
sich nach den gleichen Entwicklungsregeln.
• Die Entwicklung einer Zelle hängt nur
von ihrem Zustand und ihrer Nachbarschaft ab.
3
Zellraum
Durch die geometrische Grundform der
einzelnen Zellen wird die Geometrie des
Zellraums bestimmt.
Als geometrische Figuren kommen nur solche in Frage, die den
Zellraum vollständig mit kongruenten Bildern überdecken und dabei höchstens die Randpunkte gemeinsam haben.
Im Zweidimensionalen ist eine Parkettierung mit regelmäßigen n-Ecken nur mit
Drei-, Vier- und Sechsecken möglich, da
hierfür der Innenwinkel (n−2)·180
ein ganzn
zahliges Vielfaches von 360 sein muss.
4
Nachbarschaft
Als Nachbarschat bezeichnet man die Zellen, die die Entwicklung einer Zelle beeinflussen.
Im eindimensionalen Zellraum hat eine Zelr=2
le einen rechten und einen
linken Nachbarn. Durch Einführung r=1
eines Nachbarschaftsradius kann die Anzahl der Nachbarschaftszellen variiert werden.
In zweidimensionalen Zellräumen haben
sich die von Neumann- und die
Moore-Nachbarschat etabliert.
5
Randprobleme
Aufgrund der Endlichkeit konkreter Zellräume
herrschen an den Rändern andere Nachbarschaftsverhältnisse als im Inneren.
• Offene Randbedingung keine Sonderbehandlung
• Periodische Randbedingung verbinden
...
...
der Ränder ...
7 8 1 2
7 8 1 2
• Symmetrische Randbedingung fehlen...
de Zellen werden gespiegelt ...
2 1 1 2
7 8 8 7
6
...
Zustandsentwicklung
Nach jedem Zeitschritt ti berechnet eine
Zelle ihren neuen Zustand aufgrund ihres
Zustandes und dem ihrer Nachbarschaft
zum Zeitpunkt ti−1.
7
Zustandsentwicklung
Nach jedem Zeitschritt ti berechnet eine
Zelle ihren neuen Zustand aufgrund ihres
Zustandes und dem ihrer Nachbarschaft
zum Zeitpunkt ti−1.
Der Zustand der Kernzelle eines eindimensionalen binären Automaten mit dem Radius 1 ist von drei Zellen abhängig, für
die es 23 Konfigurationen gibt, denen im
nächsten Zeitschritt eine 0 oder 1 zugeord3
net wird. Also ergeben sich 22 mögliche
Regeln.
7-a
Zustandsentwicklung
Nach jedem Zeitschritt ti berechnet eine
Zelle ihren neuen Zustand aufgrund ihres
Zustandes und dem ihrer Nachbarschaft
zum Zeitpunkt ti−1.
Der Zustand der Kernzelle eines eindimensionalen binären Automaten mit dem Radius 1 ist von drei Zellen abhängig, für
die es 23 Konfigurationen gibt, denen im
nächsten Zeitschritt eine 0 oder 1 zugeord3
net wird. Also ergeben sich 22 mögliche
Regeln.
Es gibt für eine Zelle mit k Zuständen
n+1
und einer n-Zelligen Nachbarschaft k k
mögliche Regeln. Bei einem 3-Dimensionalen
Gitterraum also
27
22 = 180 01403980 5100 0000000
mögliche Regeln.
7-b
Zustandsentwicklung
Nach jedem Zeitschritt ti berechnet eine
Zelle ihren neuen Zustand aufgrund ihres
Zustandes und dem ihrer Nachbarschaft
zum Zeitpunkt ti−1.
Der Zustand der Kernzelle eines eindimensionalen binären Automaten mit dem Radius 1 ist von drei Zellen abhängig, für
die es 23 Konfigurationen gibt, denen im
nächsten Zeitschritt eine 0 oder 1 zugeord3
net wird. Also ergeben sich 22 mögliche
Regeln.
Es gibt für eine Zelle mit k Zuständen
n+1
und einer n-Zelligen Nachbarschaft k k
mögliche Regeln. Bei einem 3-Dimensionalen
Gitterraum also
27
22 = 180 01403980 5100 0000000
mögliche Regeln.
Ist nur die Summe der Nachbarschaft für
den Zustand verantwortlich spricht man von
totalistischen Regeln.
7-c
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
8
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
• Zellraum: zweidimensional, mit rechtecken
parkettiertes n × m-Gitter.
8-a
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
• Zellraum: zweidimensional, mit rechtecken
parkettiertes n × m-Gitter.
• Nachbarschaft: Moore-Nachbarschaft mit
Radius eins.
8-b
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
• Zellraum: zweidimensional, mit rechtecken
parkettiertes n × m-Gitter.
• Nachbarschaft: Moore-Nachbarschaft mit
Radius eins.
• Randbedingung: Beliebig.
8-c
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
• Zellraum: zweidimensional, mit rechtecken
parkettiertes n × m-Gitter.
• Nachbarschaft: Moore-Nachbarschaft mit
Radius eins.
• Randbedingung: Beliebig.
• Zustandsmenge: Z := {0, 1}, wobei 0 eine
tote, 1 eine lebende Zelle repräsentiert.
8-d
LIFE
John Horton Conway entwickelte 1968 das
,,Spiel des Lebens” basierend auf von Neumanns Arbeit. Nach zweijähriger Handarbeit von Conway und Kollegen standen die
Regeln fest:
• Zellraum: zweidimensional, mit rechtecken
parkettiertes n × m-Gitter.
• Nachbarschaft: Moore-Nachbarschaft mit
Radius eins.
• Randbedingung: Beliebig.
• Zustandsmenge: Z := {0, 1}, wobei 0 eine
tote, 1 eine lebende Zelle repräsentiert.
• Zustandsentwicklung:

P


1 , wenn (k,l)∈Ni,j zkl (t) = 3






 1 , wenn P
(k,l)∈Ni,j zkl (t) = 4
zij (t+1) =



∧zij (t) = 1





 0 , sonst
8-e
Statische und Pulsierende
Muster
Block
Wanne
Brötchen
Schlange
Bienenkorb
Teich
Fähre
lange Fähre
Schiff
langes Schiff
statische Muster
Blinker
Uhr
Rad der heiligen Katharina
Fünfzehnkampf
Acht
pulsierende Muster
9
Mobile Muster
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
Zyklus eines Gleiters
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
Zyklus eines Raumschiffs
10
Zerstörerische Muster
Schon eine Zelle kann ein statisches Muster zerstören.
Der Fresser zerstört Raumschiffe und Gleiter ohne dabei selbst schaden zu nehmen.
frisst Blinker
frisst Gleiter
frisst Raumschiff
Fresser
11
Zerstörerische Muster
Schon eine Zelle kann ein statisches Muster zerstören.
Der Fresser zerstört Raumschiffe und Gleiter ohne dabei selbst schaden zu nehmen.
frisst Blinker
frisst Gleiter
frisst Raumschiff
Fresser
Lebenspendende Muster
Eine Gruppe am M.I.T um R. Gosper entwickelte die Gleiterkanone.
Gleiterkanone
11-a
Paradiesische Zustände
1962 beschäftigte sich Edward Moor systematisch mit paradiesischen Zuständen
und konnte ihre Existenz beweisen.
Beweisidee: Man betrachtet alle statischen
Muster einer gewissen Größe; Wählt man
die Größe geschick, lässt sich berechnen,
dass die Anzahl der möglichen Vorgänger
kleiner ist als die Muster.
Paradiesischer Zustand
12
Computer, universelle Turingmaschine und LIFE
Mit dem Fresser(F), der Gleiterkanone (G)
und kodierten Gleiterströmen als Eingabe
(A,B) können in LIFE drei grundlegende
Logikgatter ,,und”, ,,oder” und ,,non” realisiert werden.
Tatsächlich konnte gezeigt werden, dass
LIFE jede berechenbare Funktion berechnen kann. LIFE ist also eine universelle Turingmaschine.
G
G
A
G
A
B
A&B
F
B
G
A
F
~A
AvB
13
Zufallszahlen
Zufallszahlen werden eingesetzt
• bei der Simulation von Naturvorgängen,
• bei einer Stichprobenauswahl
• in der numerischen Analysis
• bei der Entscheidungsfindung
• bei Unterhaltungsspielen (Monte-CarloMethode)
14
Verteilung
• Die Auftrittswahrscheinlichkeit ist von
anderen Zufallszahlen der Sequenz unabhängig.
15
Verteilung
• Die Auftrittswahrscheinlichkeit ist von
anderen Zufallszahlen der Sequenz unabhängig.
• Die Zahlen der Zufallssequenz sind gleichverteilt.
15-a
Verteilung
• Die Auftrittswahrscheinlichkeit ist von
anderen Zufallszahlen der Sequenz unabhängig.
• Die Zahlen der Zufallssequenz sind gleichverteilt.
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gleichverteilte
Zufallssequenz?
15-b
Verteilung
• Die Auftrittswahrscheinlichkeit ist von
anderen Zufallszahlen der Sequenz unabhängig.
• Die Zahlen der Zufallssequenz sind gleichverteilt.
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gleichverteilte
Zufallssequenz?
• nine, nine, nine, nine,. . . eine Zufallssequenz?
15-c
Zufallszahlen in Rechnern
Man kann einen Zufallszahlengenerator anschließen oder die Zufallszahlen als Tabelle
hinterlegen.
16
Zufallszahlen in Rechnern
Man kann einen Zufallszahlengenerator anschließen oder die Zufallszahlen als Tabelle
hinterlegen.
1940 schlug John von Neumann vor, eine
Zufallssequenz mittels arithmetischer operationen zu erzeugen und stellte die MittelQuadrat-Methode vor.
Mit dieser Methode wäre beispielsweise der
Nachfolger von
5772156649 über 333177923805949 09201
dann 7923805949.
16-a
Zufallszahlen in Rechnern
Man kann einen Zufallszahlengenerator anschließen oder die Zufallszahlen als Tabelle
hinterlegen.
1940 schlug John von Neumann vor, eine
Zufallssequenz mittels arithmetischer operationen zu erzeugen und stellte die MittelQuadrat-Methode vor.
Mit dieser Methode wäre beispielsweise der
Nachfolger von
5772156649 über 333177923805949 09201
dann 7923805949.
G.E. Forsythe untersuchte 16 4-Stellige Zahlen und fand, dass 12 von ihnen in dem Zyklus 6100, 2100, 4100, 8100, 6100,. . . endeten
und zwei weitere zu Null degenerierten.
16-b
Lineare-Kongruenz-Methode
Im Jahre 1948 stellte D. H. Lehmer diese, bis heute erfolgreichste, Methode vor.
Enthält die Variable seed eine beliebige Zahl
so erstellt:
Pseudocode
1
2
3
4
5
6
int N = 20;
long[] a = new long[N];
a[0] = seed;
long m, b; // vorgegebene Konstanten
for (int i = 1; i <= N; i++)
a[i] = (a[i-1]*b + 1) % m
eine Zuffallszahlenfolge von 20 Zahlen.
17
Die Konstanten m und b
• m sollte eine Zweier- oder Zehnerpotenz sein
• m sollte möglichst groß sein.
• b sollte eine Ziffer kürzer als m sein
• b sollte keine Muster enthalten
• b sollte der Form x21 genügen wobei
x gerade ist
18
Überlaufproblem
Sei
• m = 1 ∗ 1016
• b = 3141586237594821 ≈ 3 · 1015
• seed ≈ 1 · 1012
Wobei seed in etwa die Zeit in Millisekunden seit dem 01.01.1970.
Also a · b ≈ 1027 mit a = seed.
Da der Maximalwert eines longs in Java
etwa 9 · 1018 ist, erfolgt ein Überlauf.
19
Nur relevante Stellen berechnen
Sei f : N −→ N die Funktion, die jeder natürlichen
Zahl die Anzahl ihrer Ziffern zuordnet. Es gilt
∀n, m ∈ N(f (n + m) ≤ max{f (n), f (m)} + 1)
∀n, m ∈ N(f (n · m) ≤ f (n) + f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n div 10m) = f (n) − f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n mod 10m) = f (m))
20
Nur relevante Stellen berechnen
Sei f : N −→ N die Funktion, die jeder natürlichen
Zahl die Anzahl ihrer Ziffern zuordnet. Es gilt
∀n, m ∈ N(f (n + m) ≤ max{f (n), f (m)} + 1)
∀n, m ∈ N(f (n · m) ≤ f (n) + f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n div 10m) = f (n) − f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n mod 10m) = f (m))
a und b zerlegen:
a = 108 a0 + a1 mit a0 = a div 108, a1 = a mod 108
b = 108 b0 + b1 mit b0 = b div 108 , b1 = b mod 108
20-a
Nur relevante Stellen berechnen
Sei f : N −→ N die Funktion, die jeder natürlichen
Zahl die Anzahl ihrer Ziffern zuordnet. Es gilt
∀n, m ∈ N(f (n + m) ≤ max{f (n), f (m)} + 1)
∀n, m ∈ N(f (n · m) ≤ f (n) + f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n div 10m) = f (n) − f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n mod 10m) = f (m))
a und b zerlegen:
a = 108 a0 + a1 mit a0 = a div 108, a1 = a mod 108
b = 108 b0 + b1 mit b0 = b div 108 , b1 = b mod 108
⇒ a · b = 1016 a0b0 + 108 (a0b1 + a1b0) + a1b1
⇒ a · b mod 16 =
(108((a0b1 + a1b0) mod 108) + a1b1) mod 16
wobei während der Berechnung maximal Zahlen
der Größenordnung 1017 auftreten.
20-b
Nur relevante Stellen berechnen
Sei f : N −→ N die Funktion, die jeder natürlichen
Zahl die Anzahl ihrer Ziffern zuordnet. Es gilt
∀n, m ∈ N(f (n + m) ≤ max{f (n), f (m)} + 1)
∀n, m ∈ N(f (n · m) ≤ f (n) + f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n div 10m) = f (n) − f (m))
∀n, m ∈ N(n > m ⇒ f (n mod 10m) = f (m))
a und b zerlegen:
a = 108 a0 + a1 mit a0 = a div 108, a1 = a mod 108
b = 108 b0 + b1 mit b0 = b div 108 , b1 = b mod 108
⇒ a · b = 1016 a0b0 + 108 (a0b1 + a1b0) + a1b1
⇒ a · b mod 16 =
(108((a0b1 + a1b0) mod 108) + a1b1) mod 16
wobei während der Berechnung maximal Zahlen
der Größenordnung 1017 auftreten. Also ist mit
((108((a0b1 + a1b0) mod 108 ) + a1b1) + 1) mod 1016
eine Überlaufsfreie berechnung von
(a · b + 1) mod m
möglich.
20-c
Implementierung
1
Java-Code
import java.util.Date;
2
3
4
5
6
7
8
public class Rnd {
long m=10000000000000000l;
//10^16
long b=3141586237594821l;
long a = (new Date()).getTime(); // seed
long m1 = 100000000l;
//10^8
long b0 = b / m1, b1 = b % m1;
9
public int next_rnd(int x) {
long a0 = a / m1, a1 = a % m1;
a = (((((a0*b1 + a1*b0) % m1)
* m1 + a1*b1) % m) + 1) % m;
return (int) (((a / m1) * x) / m1);
// return (double) a/m; //alternative
}
10
11
12
13
14
15
16
17
}
a geliefert =⇒ liefert bx(a/m)c ein
Wird m
x aus {0, . . . , x − 1}.
21
Gewichtete Zufallszahlen
Sei M = {0, . . . , x − 1} und n = |M|. Bei
Gleichverteilung kann man jeder der n Zahlen aus M ein äquidistantes Teilintervall
des Intervalls [0, 1) bijektiv zuordnen
1 ), . . . , x − 1 7→ [ n−1 , n )
0 7→ [0, n
n n
Ordnet man nun einer Zufallszahl ein größeres und den anderen entsprechend kleinere
Intervalle zu, erhält man eine gewichtete
Zufallssequenz.
Dies ließe sich bsp. so realisieren:
Seien gi ∈ M mit 1 ≤ i < n die gewichteten
Zufallszahlen, uj ∈ M mit 1 ≤ j ≤ n − i,
dann gilt für die W’keit der ungewichteten
Zahlen (Gleichverteilt)
Pi 1
P1(u) = 1 − 1 n und
1 + 1 P (u)
P1(gi) = n
2n 1
1 P (u) ∗ |{g }|)
P1(uj ) = |{u1 }| (P1(u) − 2n
1
i
j
22
Implementierung
Java-Code
1 private void calc_weight() {
2
double extraWeight;
3
double restP = 1.0-(double)weightedFigures.size()
4
* 1.0/(double)initWeightFig;
5
WeightedFigure wf;
6
Enumeration e = weightedFigures.elements();
7
for (int i=1; i <= maxWeight; i++) {
8
extraWeight = restP/(initWeightFig*2);
9
e = weightedFigures.elements();
10
while (e.hasMoreElements()) {
11
wf = (WeightedFigure) e.nextElement();
12
if (wf.weight >= i) {
13
wf.extraWeight += extraWeight;
14
restP -= extraWeight;
15
}
16
}
17
}
18
this.restP = restP / (initWeightFig
19
- weightedFigures.size());
20
intervalls = new double[initWeightFig+1];
21
Integer key;
22
intervalls[0] = 0;
23
for (int i=1; i < initWeightFig; i++) {
24
key = new Integer(i);
25
if (weightedFigures.containsKey(key)) {
26
intervalls[i] = intervalls[i-1] + uniDist +
27
((WeightedFigure)
28
weightedFigures.get(key)).extraWeight;
29
} else {
30
intervalls[i] = intervalls[i-1]+this.restP;
31
}
32
}
33
intervalls[initWeightFig] = 1.0;
34 }
23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Java-Code
public int next_rnd() {
double r = Rnd.this.next_rnd();
if (weightedFigures.size() == 0)
return (int) (initWeightFig * r + 1);
if (intervalls == null) calc_weight();
int low = 0,
mid = (initWeightFig+1) / 2,
heigh = initWeightFig+1;
while (true) {
if (intervalls[low] <= r
&& r < intervalls[mid]) {
if (mid - low == 1) {
return mid;
}
else {
heigh = mid;
mid /= 2;
}
} else { // intervalls[mid] <= r < heigh
if (heigh - mid == 1) {
return heigh;
}
else {
low = mid;
mid += (heigh - mid) / 2;
}
}
}
}
24
Random Walk
Legen wir einen n-dimensionalen Raum Rn
zugrunde, dann nennen wir die zufällige
Bewegung eines Punktes P (x1 , . . . , xn) in
diskreten Zeitschritten einen Random Walk.
Nehmen wir einen diskreten Raum, setzen
n = 2 und betrachten jeden Punkt dieses
Raumes als ein Quadrat, erhalten wir einen
Raum, der stark an einen zellulären Automaten erinnert. In diesem Zellraum erfolgt ein Bewegungsschritt indem P in eine
zufällig ermittelte Nachbarzelle verschoben
wird.
Als Nachbarschaft kommen die oben genannte Moore- und von Neumann Nachbarschaft in Frage
25
Randproblem
Analog zu LIFE gibt es beim Random Walk
auch ein Randproblem mit den folgenden
Lösungen:
• Reflexion: Würde im nächsten Schritt eine Randzelle erreicht, wird die entgegengesetzte Operation durchgeführt.
• Warteschleife: Es werden so lange Zufallszahlen gewürfelt, bis eine Bewegung
vom Rand weg erfolgt.
• Periodische Fortsetzung: Hierbei erfolgt der
nächste Schritt auf der gegenüberliegenden Seite (entsprechend vom Rand
weg).
• Abbruch: Bei Erreichen des Randes wird
abgebrochen.
26
Visualisierung
Versieht man die schon besuchten Zellen
mit einem anderen Zustand der durch eine
andersfarbige Markierung dargestellt wird,
lässt sich der zurückgelegte Weg bzw. das
,,Zellwachstum” visualisieren.
Random Walk mit Moorumgebung und
Warteschleife nach ca. 1500 Schritten
27
Gewichteter Random Walk
Es gibt biologische Prozesse, die sich auf
den Random Walk zurückführen lassen und
eine bevorzugte Richtung haben.
Beispielsweise der Nachhausegang eines Betrunkenen – aber auch Nervenaussprossungen von durchtrennten Nervenfasern, die
sich, scheinbar tastend, auf einander zu bewegen.
Um dies zu simulieren benötigen wir, die
oben eingeführten, gewichteten Zufallszahlen.
28
Auch Gefäßstrukturen, Zellfortsätze oder
Bronchialbäume lassen sich mit dieser Idee
nachbilden.
Bronchialbaum
29
DLA-Simulation
Um allerdings die Clusterung zu erreichen,
muss man den Random
Walk modifizieren.
Vom Startpunkt ausgehend zieht man auf einem bestimmtem Radius
einen Punkt P 0 . Dieser Punkt wird zufällig
in einer von Neumannumgebung verschoben und anschließend wird innerhalb einer
Moorumgebung geprüft ob es einen Nachbarn gibt, falls ja wird P 0 entsprechend
markiert.
Man spricht hier von ,,durch Diffusion begrenztes Wachstum” und von einer DLASimulation (Diffusion on Limited Aggregation).
30