- Leibniz-Gymnasium Pirmasens

Leibniz-Gymnasium Pirmasens
Die spezielle Relativitätstheorie und das Erstellen einer
PowerPoint-Präsentation
Facharbeit in Physik
Vorgelegt von Erik Eitel
LK Physik bei Herr Littig
Vorgelegt am 02.06.2006
Vorwort
Albert Einstein (1879-1955) ist Begründer der
speziellen Relativitätstheorie, in der er
formulierte, dass es einerseits die absolute Zeit
nicht gibt, also dass man immer von
Bezugssystemen ausgehen muss und die
Messung von Zeit und somit auch von
Geschwindigkeit, Länge und Masse immer
relativ ist und dass andererseits Masse und
Energie äquivalent sind.
1. Wichtige Grundlage
Der Michelson-Versuch brachte die Erkenntnis, dass sich das
Licht nicht wie angenommen in einem bestimmten Medium
ausbreitet, sondern sich in alle Richtungen gleich schnell
ausbreitet, unabhängig von der Ausrichtung und
Geschwindigkeit in Relation zum „Äther“, dem vermeintlichen
Medium für das Licht.
Veranschaulichung 
Die Grundidee dieses Versuchs ist, dass sich das Licht in
einem Medium ausbreitet und man die Auswirkungen
messen kann, indem man das Licht einmal parallel und
einmal senkrecht zu der Bewegungsrichtung eines im
Medium bewegten Beobachters losschickt und dann zu
einem Interferenzmuster wieder zusammenführt.
Die von der Lichtquelle ausgesandten Strahlen werden von
einer halb durchlässigen Glasplatte in zwei Teilbündel
aufgespalten und durchlaufen danach die beiden gleich
langen Arme des Interferometers, von denen einer parallel
und der andere senkrecht zur Bewegungsrichtung der Erde
steht.
Durch das Fernrohr kann man die Interferenzmuster
beobachten. Nach den Vorstellungen des amerikanischen
Physikers Albert Michelson sollten dabei unterschiedliche
Laufzeiten der reflektierten Strahlenbündel auftreten, deren
verschobene Interferenzmuster mit Hilfe des Fernrohres
gemessen werden könnten.
Das Versuchsergebnis war negativ, und damit wurde
gezeigt, dass sich Licht auf der Erde in allen Richtungen mit
der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Zudem diente
dieses Experiment als historische Grundlage der speziellen
Relativitätstheorie von Albert Einstein.
2. Die Einstein-Synchronisation
Man stellt zwei Uhren, die zum starten einen Lichtimpuls benötigen, in
jeweils gleicher Entfernung zu einer Blitzlampe auf. Wird ein
Lichtimpuls von der Lampe gestartet, kommt das Licht bei beiden
Uhren gleichzeitig an, wie es bereits durch den Michelson-Versuch
beschrieben wurde.
So kann man zwei Uhren synchronisieren.
Veranschaulichung 
Die zwei Uhren haben den gleichen Abstand zu der Lampe.
Die Lampe sendet einen Blitz, einen Lichtimpuls.
Der Lichtimpuls breitet sich zu beiden Lampen mit der
Lichtgeschwindigkeit c = 299 792,458 km/s aus.
Der Lichtimpuls erreicht die Uhren zur gleichen Zeit und startet sie
somit synchron.
Allgemeine Folgerung:
Zwei Uhren, die sich an verschiedenen Orten befinden, werden
synchronisiert, indem man von deren geometrischer Mitte gleichzeitig
zwei Lichtsignale aussendet, die die Uhren beim Ankommen starten.
3. Die relative Gleichzeitigkeit
Fliegen zwei Raketen aneinander vorbei und bilden somit zwei
zueinander bewegte Inertialsysteme (Bezugssysteme) und startet ein
Lichtsignal von einer Blitzlampe, welche sich zwischen den Raketen
befindet, so messen Uhren an den Raketen verschiedene Zeiten für die
Ankunft des Lichtes an einer bestimmten Stelle.
Veranschaulichung 
Die zwei Raketen sind genau nebeneinander, die Uhren A, B, C und
D sind gleichweit von der Lichtquelle entfernt.
Die Lichtquelle sendet ihr Lichtsignal.
Das Lichtsignal breitet sich in alle Richtungen mit der
Lichtgeschwindigkeit aus und die Raketen fliegen mit der
Relativgeschwindigkeit v aneinander vorbei. Man kann nun entweder
aus Sicht d.h. aus dem Inertialsystem der oberen oder der unteren
Rakete beschreiben, was geschieht. Betrachten wir zunächst den
Fall aus Sicht der unteren Rakete.
Aus Sicht der unteren Rakete fliegt die obere Rakete mit der
Geschwindigkeit v nach links weg, demnach erreicht das Lichtsignal
zuallererst die Uhr B im hinteren Teil der oberen Rakete, die dem
Lichtsignal entgegenfliegt.
Da sich die untere Rakete als Bezugssystem nicht bewegt und die
Uhren C und D gleichweit von der Lichtquelle entfernt waren, kommt
hier bei beiden Uhren das Lichtsignal gleichzeitig an. Die Uhr B ist
bereits vor einiger Zeit aktiviert worden und ist deshalb schon um
diese Zeit vorangeschritten.
Die Uhr A wird als letzte Uhr aktiviert, denn sie entfernt sich von der
Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v. Als sie aktiviert wird, sind die
Uhren C und D bereits um eine bestimmte Zeit vorangeschritten und
die Uhr B ist weiter vorangeschritten.
Betrachten wir jedoch das Geschehen aus der Sicht der oberen
Rakete, so beobachten wir folgendes:
Aus Sicht der oberen Rakete fliegt die untere Rakete mit der
Geschwindigkeit v nach rechts weg, demnach erreicht das
Lichtsignal zuallererst die Uhr C im hinteren Teil der unteren Rakete,
die dem Lichtsignal entgegenfliegt.
Da sich die obere Rakete nicht bewegt und die Uhren A und B
gleichweit von der Lichtquelle entfernt waren, kommt hier bei beiden
Uhren das Lichtsignal gleichzeitig an. Die Uhr C ist bereits vor einiger
Zeit aktiviert worden und ist deshalb schon um diese Zeit
vorangeschritten.
Die Uhr D wird als letzte Uhr aktiviert, denn sie entfernt sich von der
Lichtquelle mit der Geschwindigkeit v. Als sie aktiviert wird, sind die
Uhren A und B bereits um eine bestimmte Zeit vorangeschritten und
die Uhr C ist weiter vorangeschritten.
Allgemeine Folgerung:
Zwei Ereignisse, die aus Sicht eines Inertialsystems gleichzeitig
geschehen, geschehen aus Sicht eines zum ersten Inertialsystem
bewegten Inertialsystem nicht gleichzeitig.
4. Die Zeitdilatation
Als weiterer Effekt der Relativität der Zeit tritt die Zeitdilatation bei der
Zeitmessung in verschiedenen Bezugssystemen auf. Hierbei gibt es
zum einen das Ruhesystem mit der Ruhezeit ΔtR und das bewegte
System mit der Eigenzeit Δt.
Veranschaulichung 
Wir verwenden Lichtuhren, die die Zeit mit einem Lichtsignal messen.
Das Lichtsignal wird von oben nach unten hin und her geschickt. Das
Lichtsignal wird jetzt hier nach unten geschickt.
Von unten wird es wieder nach oben geschickt. Kommt es wieder
oben an, so ist eine Nanosekunde vergangen (wenn die Uhr die
richtige Höhe hat, ca. 30 cm).
Die Uhren A und B stehen fest in dem hier betrachteten Ruhesystem
und die Uhr C bewegt sich mit der Geschwindigkeit v von links nach
rechts. Die Uhren A und B sind synchronisiert. Wir betrachten ab dem
Zeitpunkt, an dem die Uhr C ihre Zeitmessung beginnt und auf Höhe
der Uhr A ist.
Die Uhr C hat nun die mittlere Entfernung der Uhren A und B erreicht,
wobei für die Uhren A und B das Lichtsignal in der Uhr C eine aus der
Bewegungsrichtung der Uhr C und des Lichtes in der Uhr C
resultierende Bewegung um die Strecke cΔtR durchgeführt hat.
Dennoch hat sich das Licht der Uhr C aus Sicht der Uhr C nur
innerhalb der Uhr C um die Strecke cΔt bewegt. Und die Uhr C hat
aus Sicht der Uhren A und B die Strecke vΔtR zurückgelegt.
Wenn die Uhr C auf Höhe der Uhr B ist, dann hat das Licht in Uhr C
aus Sicht der Uhren A und B erneut eine resultierende Bewegung der
Länge cΔtR durchgeführt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt hier:
(cΔtR)2 = (cΔt)2 + (vΔtR)2
Durch Umformen erhalten wir:
(c  t )²  (c  t R )²  (v  t R )²
c  t  c ²  t R ²  v ²  t R ²
c  t  c ²  t R ²(1 
c  t  c  t R  1 
v²
)
c²
v²
c²
Die Formel lautet demnach:
c  t  c  t R  1 
v²
t  t R  1 
c²
v²
c²
Allgemeine Folgerung:
Wenn sich Uhren relativ zueinander bewegen, dann gilt für die
gemessenen Zeiten, dass die Uhr, die sich relativ zu dem Ruhesystem
der anderen Uhr bewegt, die Eigenzeit Δt misst, während die Uhr im
Ruhesystem die Zeit ΔtR misst. Es gilt:
v²
t  t R  1 
c²
5.1 Die Längenkontraktion
Bei der Längenkontraktion handelt es sich um einen Folgeeffekt der
Zeitdilatation. Wir betrachten zunächst eine Rakete, die an einer
Lichtuhr vorbeifliegt.
Veranschaulichung 
Die Rakete bewegt sich mit 3/5 der Lichtgeschwindigkeit von links
nach rechts an der Lichtuhr vorbei. Sowohl die Uhren A und B in der
Rakete als auch die Uhr C messen die Zeit, die die Rakete zum
Vorbeiflug benötigt.
Nun wollen wir die Länge der Rakete bestimmen.
Die Uhren A und B in der Rakete messen die Zeit Δt mit 250ns und
die Lichtuhr C mit 200ns, so wie es bereits bei der Zeitdilatation
beschrieben wurde.
Da wir die Geschwindigkeit der Rakete kennen und auch die Zeit, die
sie zum Vorbeiflug benötigt, können wir daraus ihre Länge
berechnen.
Es gilt:
einerseits :
lk
 lk  v  t
t
l
v
 l  v  t R
t R
v
anderersei ts :
t  t R  1 

v²
c²
lk
l

t t R
lk
l


v ² t R
t R  1 
c²
 l  lk  1 
v²
c²
Allgemeine Folgerung:
Die Eigenlänge l im Ruhesystem eines Körpers wird in einem anderen
Inertialsystem Ik, das sich in der Längsrichtung des Körpers mit der
Relativgeschwindigkeit v bewegt, als kontrahierte Länge lk gemessen.
Es gilt:
v²
lk  l 1 
c²
5.2 Wirkungsbereich der
Längenkontraktion
Die Längenkontraktion wirkt nicht in alle beliebigen Richtungen.
Betrachten wir den Fall, dass zwei Uhren, die zusammen ein festes
Bezugssystem bilden, sich senkrecht zur ihrer Aufstellungsrichtung von
einer Synchronisationslampe entfernen.
Veranschaulichung 
Die Uhren werden in einem Ruhesystem synchronisiert. Der Abstand der
Uhren zur Lampe ist gleich und deswegen kommt das Licht gleichzeitig an.
Bewegt sich das Bezugssystem der Uhren senkrecht zur
Aufstellungsrichtung von A1 und A2, so kommt das Licht zwar später an, aber
dennoch gleichzeitig, da es zu beiden Uhren die gleiche Zeit benötigt.
Somit sind die Uhren noch immer synchron. Demnach gibt es auch keine
Zeitdilatation und auch keine daraus folgende Längenkontraktion.
Allgemeine Folgerung:
Die Längenkontraktion wirkt nur in Richtung der
Relativbewegungsrichtung und nicht senkrecht dazu. Gegebenenfalls
muss diese mit Hilfe einer Vektorzerlegung ermittelt werden.
6. Die relativistische
Massezunahme
Betrachten wir den Fall, dass ein Auto der Masse m mit der
Geschwindigkeit w gegen ein Testobjekt fährt und dieses um eine
bestimmte Strecke eindrückt, aus dem Inertialsystem I. Die Zerstörung
ist umso größer, je schneller und massereicher das Auto ist.
Veranschaulichung 
Die Geschwindigkeit wird aus der Zeitänderung Δt und der zurückgelegten
Strecke Δy errechnet.
Die Uhren C1 und C2 messen die Zeitänderung Δt = 4s für die Strecke Δy =
100m.
Also gilt für die Geschwindigkeit w:
w
100m
m
 25
4s
s
Das Auto hat die Masse m = 1000kg.
Daraus ergibt sich für den Impuls des Autos das Produkt aus dessen Masse
m und dessen Geschwindigkeit w:
m
m
p  m  w  1000kg  25  25000kg
s
s
Betrachten wir nun das Geschehen aus einem sich mit der Geschwindigkeit
v = 0,6c senkrecht zu der Geschwindigkeit des Autos bewegenden
Inertialsystem I´, so hat das Auto näherungsweise die Geschwindigkeit –v
(man kann w in Relation zu v als so klein ansehen, dass w keine relevante
Auswirkung hat).
Das Testobjekt wird ebenso tief eingedrückt, da die Längenkontraktion nur in
Richtung der Relativbewegung wirkt und nicht senkrecht dazu. Demnach ist
der Impuls unverändert und gleich dem, der aus Sicht des Bezugssystems I
gemessen wird. Es gilt daher:
m
p´ p  25000kg
s
Auch die zurückgelegte Strecke Δy ist im Inertialsystem I´ so groß wie in I.
Es gilt:
y´ y  100m
Anders ist dies allerdings mit der Zeit, die das Auto benötigt, um die
Messstrecke Δy zurückzulegen. Die synchronisierten Uhren A und B des
Inertialsystems I´ messen die Zeitänderung ΔtR´. Die Uhren C1 und C2, die
zwar von I´ aus gesehen auch zueinander synchron gehen, aber wegen der
Zeitdilatation langsamer gehen, messen die Zeitänderung Δt.
Nach der Formel für die Zeitdilatation gilt dann:
1
1
t R ´ t 
 4s 
 5s
v²
1  0,6²
1
c²
Demnach hat das Auto in Fahrtrichtung nur die Geschwindigkeit w´, es gilt:
w´
y´ 100m
m

 20
t R ´
5s
s
Da aber das Testobjekt trotz der relativ zu w geringeren Geschwindigkeit w´
gleichermaßen zerstört wird, muss für das Inertialsystem I´ gelten, dass die
Masse des Autos größer ist:
m
w
s  1250kg
m´ m   1000kg 
m
w´
20
s
25
Man erhält allgemein aus p´= p und der Zeitdilatationsformel
t  t R  1 
v²
c²
für die Masse m´:
y
m´ m
w
t  m  t´  m  1
 m
y
w´
t
v²
1

t´
c²
somit ist der Zusammenhang zwischen der Ruhemasse m0 eines Körpers aus
Sicht seines Ruhesystems und der dynamischen Masse m des gleichen
Körpers aus Sicht eines bewegten Systems beschrieben.
Allgemeine Folgerung:
Aus Sicht eines Inetialsystems I ist die dynamische Masse m eines
Körpers, der sich mit der Relativgeschwindigkeit v bewegt, größer als
die Ruhemasse m0 des Körpers. Es gilt:
m
m0
v²
1
c²
Wenn sich v an c annähert, dann wird die dynamische Masse m
unendlich groß. Wenn v sehr viel kleiner ist als c, dann sind
dynamische Masse und Ruhemasse annähernd gleich, die Masse ist
konstant, so wie in der klassischen Physik.
Für den relativistischen Impuls gilt:
m0  v
p  mv 
v²
1
c²
7. Schlusswort
Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt noch weitere Effekte wie die
relativistische kinetische Energie oder die Äquivalenz von Masse und
Energie, die mit der berühmten Formel E = m c² beschrieben wird.
Und es gibt noch die allgemeine Relativitätstheorie, in der unter
Anderem die Raumkrümmung beschrieben wird.
Mit seinen genialen und revolutionären Erkenntnissen stellte Albert
Einstein die klassische Physik auf den Kopf, kam mit vielen
Physikgelehrten in Konflikt und eröffnete eine völlig neue Sichtweise.
Für diese grandiose Leistung ist ihm zu gedenken.
8. Quellen
Bilder: Metzler Physik, Schroedel Verlag
Text: nach Metzler Physik, Schroedel Verlag
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