RaketenprinzipZiolko..

Raketenprinzip
Für alle Arten der Fortbewegung gilt das
gleiche Prinzip:
Man stößt sich von einer bestimmten Materie
ab. Betrachten Sie die Fortbewegung zu
Lande, zu Wasser und in der Luft unter diesem Aspekt. Im Weltraum gibt es keine Materie von der man sich "abdrücken" könnte,
daher muss diese Materie mitgeführt werden. In der Praxis stößt die Rakete meist
heiße Gase mit hoher Geschwindigkeit aus
und verliert dabei Masse. In der Massenveränderlichkeit eines Wechselwirkungspartners liegt der Unterschied zu den Problemen, die bisher mit dem Impulssatz behandelt wurden.
Die Wirkung eines Raketenantriebs beruht auf Newtons fundamentalen Wechselwirkungsgesetz, welches besagt, dass jede Kraft eine gleich große, entgegengerichtete Kraft auslöst.
Dieses Gesetz lässt sich einfach mit einem Luftballon verdeutlichen. Wird der Ballon unverschlossen und aufgeblasen losgelassen, fliegt er auf einer wilden Flugbahn davon. Beim aufgeblasenen Ballon steht die Luftmasse im Innern durch die
Spannung der Ballonhülle relativ zu der Umgebung unter Überdruck. Im Moment
des Loslassens gleicht sich dieser aus und ein Teil der ursprünglichen Gesamtmasse trennt mit einer Geschwindigkeit, die zur Druckdifferenz proportional ist,
ab. Dadurch entsteht ein Kraftstoß, welcher den Ballon vorantreibt.
Wir versuchen nun, dieses Reaktionsprinzip in Bezug auf ein Raketentriebwerk an
drei physikalischen Modellen zu verdeutlichen.
1. Störung des in einem geschlossenen Behälter herrschenden Druckgleichgewichts durch eine einseitige Öffnung des Behälters.
Durch die Verbrennung von Treibstoffen im Innern eines solchen Behälters
entsteht Wärme. Damit erhöht sich auch die ungerichtete Molekularbewegung
und ein Druck der Verbrennungsgase wird auf die Behälterinnenwand erzeugt. Ist der Druck im Innern nun höher als der umgebende Aussendruck,
strömen die Verbrennungsgase beim Öffnen nach außen, um den Druck aus28
zugleichen und den Innendruck zu entspannen. Wenn jetzt der Behälter nur
an einer bestimmten Stelle durch eine Bohrung geöffnet wird, kann nur dort
der Druckausgleich stattfinden. Dabei tritt dann die enthaltene Gasmasse mit
einer Geschwindigkeit proportional zum Druckunterschied und der Bohrungsgröße nach außen. Das Druckgleichgewicht an den gegenüberliegenden
Wänden wird nun entsprechend der Bohrungsgröße einseitig verschoben, so
dass in Richtung der nicht durchbohrten Wand, also in Richtung der Raketenspitze ein Schub entsteht.
2. Der Impulserhaltungssatz
Der Impulserhaltungssatz besagt, dass im abgeschlossenen System der Gesamtimpuls konstant bleibt. Man versteht unter dem Gesamtimpuls die Vektorsumme aller Einzelimpulse.
Der Impulserhaltungssatz kann gut an einem einfachen Experiment erläutert
werden. Wenn ein Wagen 1 der Masse m1 mit einer Geschwindigkeit v1 unterwegs ist und während der Fahrt auf einen zweiten Wagen der Masse m 2
und der Geschwindigkeit v2, so gilt m1 • v 1 + m2 • v 2 = m1 • v 1' + m2 • v '2 , wobei
mit den apostrophierten Größen die Größen nach dem Stoss genannt sind.
Der Gesamtimpuls ist somit vor und nach dem Stoss gleich.
3. Der Satz von der Erhaltung des gemeinsamen Schwerpunkts
Dieser Satz ist eigentlich nur eine andere Version des Impulssatzes. Er kann
wiederum am Beispiel mit den zwei Wagen erläutert werden: Im Zustand der
Ruhe besitzen beide Wagen zusammen einen gemeinsamen Schwerpunkt,
dessen Lage auch während der Rollbewegung relativ zu den Wagen gleich
bleibt. Der Wagen mit der größeren Masse, legt deshalb pro Zeiteinheit auch
eine entsprechend kürzere Strecke zurück. Für diesen Lehrsatz gilt folgende
Formel m1 • s1 = m2 • s2 , wobei m für die Masse und s für die zurückgelegte
Strecke steht.
Mittels dieser Voraussetzungen kann nun die Geschwindigkeit und die Schubkraft einer Rakete berechnet relativ einfach berechnet werden.
Setzt man für die Masse der Rakete m1 und für die vom Treibwerk mit der Geschwindigkeit v2 abgestoßene Gasmasse m2, kann ihre Geschwindigkeit einfach mit dem Impulserhaltungssatz berechnet werden. Sie beträgt somit
v1 = m2 m1 • v 2 .Ihr Schub F wird mit der ausgestoßenen Gasmasse m2 pro
Zeiteinheit t und der Gasgeschwindigkeit v2 berechnet: F = m2 t • v 2 .
Raketenprinzip Uni München
http://www.bernd-leitenberger.de/saturn.html
http://inspace.trekzone.de/nph-nge.cgi?n=raumfahrt.raketen&f=home
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Die Ziolkowski – Raketenformel
Bedingungen:

Auf die Rakete sollen keine äußeren Kräfte wirken, d. h. Luftwiderstand
und Gravitation

Die Rakete soll aus der Ruhelage starten, d. h. zur Zeit t=0s soll die Geschwindigkeit v0=0m/s.
Herleitung
Die Start- oder Anfangsmasse der Rakete besteht aus 2 Teilen, nämlich aus der
Masse des Treibstoffes mTr und der Leermasse mL es gilt also:
Startmasse
m0 = mTr + mL
Während des ganzen Fluges stößt die Rakete stets die gleiche Gasmasse Δm in
jeweils gleichen Zeitintervallen Δt aus.
Durchsatz oder Abbrandgeschwindugkeit
μ=
ausgestoßene Masse
Zeitinterv all
μ=
m
= const.
Δt
Δ
Bei konstantem Abbrand gilt:
μ=
mTr
T
Wobei T die Brenndauer vom Start bis zum Brennschluss ist.
Für die Masse einer Rakete zu einer beliebigen Zeit t gilt.
mt = m0 - μt = m0 -
mTr
•t
T
Die Geschwindigkeit der Rakete relativ zur Erde sei vt.
Die Ausströmgeschwindigkeit des Gases sei w.
Die Geschwindigkeit des Gases relativ zur Erde ist w - v t .
Am Ende eines Zeitintervalls Δt gilt
Masse Rakete
mt - μ • Δt
Geschw. der Rakete
v t + Δv
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Nach dem Impulserhaltungssatz muss die Summe von pRakete und pGas gleich dem
Impuls zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls Δt , d. h. gleich dem Impuls
p t = mt • v t
Es gilt:
m t • v t = (m t - μ • Δt )(v t + Δv) - μ • Δt (w - (v t + Δv))
m t • v t = m t • v t + m t • Δv - μ • Δt • v t - μ • Δt • Δv - μ • Δt • w + μ • Δt • v t + μ • Δt • Δv / - m t • v t
0 = m t • Δv - μ • Δt • w
mt • Δv - μ • Δt • w = 0
Aus der Gleichung folgt:
mt • Δv = μ • Δt • w
mt •
v
=μ• w
Δt
Δ
mit
Fs = μ • w
v
=a
Δt
Δ
(Schub)

Unter dem Schub eines Raketentriebwerkes (Formelzeichen: FS ) versteht man die
von dem Gasausstoß herrührende Kraft, die die Rakete beschleunigt. Der Schub
ist gleich dem Produkt ans der Abbrandgeschwindigkeit μ und der Geschwindigkeit w der ausgestoßenen Gase relativ zur Rakete.
Weiter erfolgt für Δt → 0 aus der Gleichung
m t • dv = w • μ • dt
m t = m0 - μ • t
(m
0
- μ • t ) • dv = w • μ • dt
dv = w •
μ • dt
m0 - μ • t
- μ • dt = d(m0 - μ • t)
Daraus ergibt sich:
dv = - w
Durch Differenzstation lässt
sich zeigen:
d
(mt ) = d (m0 - μ • t) = -μ
dt
dt
oder
d (m0 - μ • t)
m0 - μ • t
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Durch Integration erfolgt:
dv = - w
d (m 0 - μ • t)
m0 - μ • t
d (m 0 - μ • t)
0 -μ• t
dx
dv = - w ∫
∫
m
∫x
= ln x
v t = - w • ln (m 0 - μ • t) + C
Aus den Anfangsbedingungen t=0s und v=0m/s ergibt sich:
0 = - w • ln m0 + C
C = w • ln m0
damit ergibt sich für die Geschwindigkeit (vor Abbrand)
v t = - w • ln (m 0 - μ • t) + w • ln m 0
v t = w • (ln m 0 - ln (m 0 - μ • t))
v t = w • ln
m0
m0 - μ • t
v t = w • ln
m0
mt
Für die ideale Endgeschwindigkeit ergibt sich:
v t = w • ln
m0
mL
Raketengleichung nach
Ziolkowski
Stufenprinzip
1. Stufe
v1 = w • ln
m01
mL1
2. Stufe
v 2 = w • ln
m02
mL 2
m02 = mL1 - mR ST1
3. Stufe
v 3 = w • ln
m03
mL 3
m03 = mL2 - mR ST2
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