Blatt5

Mechanik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 5
Abgabe: 27. Mai 2013
Aufgabe 1: Rakete
Eine Rakete der Anfangsmasse M0 bewege sich zunächst kräftefrei und habe
die Geschwindigkeit v0 . Zum Zeitpunkt t = 0 werde der Antrieb gezündet.
Zu einem Zeitpunkt t > 0 werde im Zeitinterval dt die Masse −dM mit
der Geschwindigkeit V relativ zur Rakete und entgegengesetzt zu ihrer Geschwindigkeit ausgestoßen (beachten Sie: dM < 0). Die Geschwindigkeit v
der Rakete vergrößert sich dabei um dv. Es handelt sich also um ein eindimensionales Problem.
(a) Betrachten Sie den (momentanen) Impuls der Rakete zu einem Zeitpunkt t > 0. Die momentane Masse der Rakete sei M , und ihre momentane Geschwindigkeit sei v. Dieser Impuls verteilt sich zu einem infinitesimal
späteren Zeitpunkt t + dt auf die Rakete und die in der Zeit dt ausgestoßene
Masse (warum?). Wie lauten diese Impulse der Rakete und der ausgestoßenen Masse?
(b) Vernachlässigen Sie infinitesimal kleine Terme von höherer als erster
Ordnung, und geben Sie die Differentialgleichung für die Abhängigkeit der
Masse M von v an.
Hinweis: Zur Kontrolle:
dv
dM
V
= −M
.
(c) Integrieren Sie diese Differentialgleichung mit den angegebenen Anfangsbedingungen, um die Geschwindigkeit v als Funktion der Masse M zu bestimmen. Skizzieren Sie v(M ).
(d) Die Rate µ = −Ṁ des Massenausstoßes sei zeitlich konstant. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v als Funktion der Zeit t.
(e) Das Verhältnis der Treibstoffmasse zu M0 (d.h. zur anfänglichen Gesamtmasse der Rakete) sei x. Es gilt also 0 < x < 1. Welche Endgeschwindigkeit
erreicht die Rakete als Funktion von x, und wie kann man sie maximieren?
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Aufgabe 2: Rotierende Perle∗
In der (x, y)-Ebene rotiert ein gerader Draht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um den Koordinatenursprung. Auf dem Draht gleite reibungsfrei eine Perle der Masse m, s. Skizze.
Die Perle wird durch die Rotation nach außen gedrückt, so daß ihre kinetische Energie ständig ansteigt. In dieser Aufgabe wollen wir die Ursache des
Energiegewinns diskutieren. Die Ursache muß in einer Kraft F~D liegen, die
der Draht auf die Perle ausübt. Da die Perle reibungsfrei gleiten kann, muß
diese Kraft senkrecht zum Draht wirken.
Führen Sie ein rotierendes kartesisches Koordinatensystem ein, dessen x0 Achse entlang des Drahtes liegt und dessen z 0 -Achse mit der z-Achse des
nichtrotierenden Inertialsystems übereinstimmt.
(a) Wie lautet die Bewegungsgleichung im rotierenden Koordinatensystem?
Zeigen Sie insbesondere
mẍ0 (t) = mω 2 x0 (t) ,
(2.1)
wobei x0 (t) die Position der Perle entlang des Drahtes ist. Wie hängen F~D
und die Corioliskraft zusammen?
(b) Lösen Sie (2.1) durch einen Exponentialansatz für die Anfangsbedingungen x0 (t = 0) = x00 > 0 und ẋ0 (t = 0) = 0.
(c) Berechnen Sie die Arbeit, die der Draht im Zeitinterval [0, t] an der Perle
verrichtet.
R
Hinweis: dx sinh(x) cosh(x) = 21 cosh(x)2 .
Bei Fragen:
[email protected]
∗:
Aufgabe wird korrigiert.
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