Aufgabe 20: Rotverschiebungen Ein Amateurastronom beobachtet

Übung Grundlagen Mechanik
(WiSe 13/14)
Prof. Dr. J. Tjus
Übungsgruppen:
Gruppe I: (Matthias Mandelartz, Marcio Keßler): Di, 8-10h, NB 7/173
Gruppe II: (Sebastian Schöneberg, Lukas Merten): Do, 14-16h, NC 5/99
Übungsblatt VII
[Ausgabe: 21.01.2014; Abgabe: 02.02.2012]
Übungszettel im Netz unter http://www.pat.rub.de/
Aufgabe 20: Rotverschiebungen
Ein Amateurastronom beobachtet eine Spektrallinie bei einer Rotverschiebung z = (λ−λ0 )/λ0 =
2, wobei λ0 die Wellenlänge im nicht-bewegten Labor ist und λ die Wellenlänge, die der Amateurastronom im bewegten System wahrnimmt. Der Amateurastronom bedient sich der nichtrelativistischen Physik, um die Geschwindigkeit des Systems festzulegen, z = u/c, und stellt
fest, dass sich das Objekt mit doppelter Lichtgeschwindigkeit von uns entfernt. Klären Sie
diesen Irrtum auf,:
(a) Leiten Sie die relativistische Beziehung zwischen Wellenlängenverhältnis und Geschwindigkeiten her:
1 + uc
λ
=q
(1)
2
λ0
1 − uc2
(b) Zeigen Sie, dasss sich für den nicht-relativistischen Fall (u/c 1) die von dem Amateurastronom angegebene Gleichung z = u/c ergibt.
(c) Berechnen Sie für den relativistischen Fall die tatsächliche Relativgeschwindigkeit u für
das Objekt.
Hinweis: Betrachten Sie das Ruhesystem der Emissionsquelle und das Ruhesystem des Astroc
1
nomen und beachten Sie, dass im System der Quelle gilt: ν 0 = t0 −t
0 = λ0 . Berücksichtigen Sie
2
1
die Laufzeit, die die Signale bis zur Ankunft beim Astronomen benötigen.
Aufgabe 21: Geschwindigkeitsaddition
Ein Zug bewege sich mit relativistischer Geschwindigkeit ~v = v · ~ez von einem am Bahnsteig
stehenden Beobachter weg. Da es anfängt zu dämmern, schaltet der relativistische Zug seine
Scheinwerfer an, welche im Zugsystem Σ0 eine Geschwindigkeit ~u0 besitzt.
Im Folgenden soll für verschiedene Fälle die im Bahnsteigsystem Σ beobachtete Geschwindigkeit
~u des Scheinwerferlichts bestimmt werden:
2
(a) Für das Scheinwerferlicht gilt i.A. im Zugsystem Σ0 : u~0 = c2 . Berechnen Sie ~u2 .
(b) Im Zugsystem Σ0 geben nun die Scheinwerfer ihr Licht entlang der y-Achse (also senkrecht
t
zur Fahrtrichtung) ab: u~0 = (0, c, 0). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Scheinwerferlichts ~u im Bahnsteigsystem Σ. Wie groß ist der Betrag von ~u?
Aufgabe 22: Relativistische Rakete
In der Vorlesung wurde besprochen, dass Licht (=Photonen) durch seine Teilcheneigenschaften
auch einen Impuls besitzt, der sich aus der Energie ergibt: Eγ = |~p| · c. Durch den Rückstoß
der Photonen kann theoretisch eine Rakete angetrieben werden. Dieses Szenarium soll in dieser
Aufgabe durchgegangen werden:
Eine Rakete mit einem idealen Photonenantrieb fliegt mit einer konstanten Beschleunigung
a = 10 m/s2 , gemessen im Ruhesystem der Rakete. Das Startgewicht der Rakete sei m0 . Im Lauf
der Zeit nimmt die Raketenmasse ab, die Masse wird in die Energie der Photonen umgewandelt
und zum Raketenantrieb verwendet. Nach welcher Zeit, gemessen im mitbewegten System der
Rakete, beträgt die Masse nur noch 1/100 der ursprünglichen Startmasse?
Hinweis (1): Verwenden Sie Energie- und Impulserhaltung (d/dt(E) = 0 und d/dt(~p) = 0) und
beachten Sie hierbei, dass die Masse der Rakete nicht konstant ist!
Hinweis (2): Energie- und Impuls hängen, wie in der Vorlesung diskutiert, wie folgt zusammen:
E 2 − p~2 c2 = m2 c4 .
(2)
Insbesondere gilt für Photonen Eγ = |~p| · c.
Bonusaufgabe 23: Verständnisfragen (8 Bonuspunkte, Punkte ab 4 korrekten Antworten)
Beantworten Sie die folgenden Fragen mit ‘Ja’ oder ‘Nein’:
Ja
Nein
(1)
Die Newtonschen Axiome gelten im klassischen Grenzfall (v c) in allen
Inertialsystemen.
(2)
Für den freien Fall mit Stokesscher Reibung existiert eine endliche Grenzgeschwindigkeit des fallenden Objekts für t → ∞.
(3)
Ein Zentralkraftfeld ist nie konservativ.
(4)
Bei der freien, harmonischen Schwingung ist eine Resonanzkatastrophe
möglich.
(5)
Alle Körper, die ausschließlich einem zentralen Gravitationsfeld ausgesetzt sind, beschreiben Kegelschnittbahnen.
(6)
Das effektive Potential im Zentralkraftfeld ist im Allgemeinen abhängig von der Geschwindigkeit des betrachteten Körpers.
(7)
Wenn der Betrag der Geschwindigkeit eines Körpers gegen die Lichtgeschwin- digkeit geht, so geht der Lorentzfaktor gegen Null, γ → 0.