Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie

Übungen zur Speziellen und Allgemeinen Relativitätstheorie
Blatt 3
Besprechung: 05.05.2010
SS 10
Prof. Dr. T. Mannel, S. Faller, S. Gadatsch
1. Lorentz-Transformation
Das Linienelement ds 2 D c2 dt 2
L
x 7 ! x 0 D x C a ;
d xE2 DW g dx dx ist unter Lorentz-Transformation .; a/,
e
invariant. Betrachtet werde die eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation L mit det D C1
e
und a D 0. Die Lorentz-Transformation L überführe das Inertialsystem S in das Inertialsystem
S0 . Das System S0 bewege sich sich mit konstanter Geschwindigkeit v in x 1 -Richtung gegen das
System S. Ferner seien in S die Weltpunkte xA und xB gegeben und es gilt für den metrischen
Tensor g D diag . 1; 1; 1; 1/.
e
a) Zeigen Sie, das aus dem Postulat der Invarianz des Linienelements g D g bzw.
T g D g folgt.
(4 Punkte)
e ee e
b) Berechnen Sie die Transformationsmatrix der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transfore
mation L, gehen Sie von dem Ansatz
1
0
A B 0 0
BC D 0 0C
C
DB
e @ 0 0 1 0A
0 0 0 1
für aus und bestimmen Sie die Koeffizienten A, B, C und D in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit v.
(6 Punkte)
2. Relativistische Kinematik
Betrachten Sie ein neutrales -Meson, das im Laborsystem S mit konstanter Geschwindigkeit v0 in
x 3 -Richtung fliegt. Das Meson habe die Ruhemasse m und die Eigenzeit .
a) Bestimmen Sie den Energie-Impuls-Vektor p des Pions in Abhängigkeit von der Ruhemasse
m und der Geschwindigkeit v0 .
(4 Punkte)
b) Konstruieren Sie die spezielle Lorentz-Transformation L vE , welche vom Laborsystem S in das
e
Ruhesystem S0 des Teilchens führt.
(4 Punkte)
1
Das Teilchen zerfalle isotrop in zwei Photonen, d.h. in seinem Ruhesystem S0 treten alle Emissionsrichtungen der beiden
Photonen mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Die Viererimpulse der Photonen im Ruhesystem sind k1 D .E1 =c; kE1 / und
k2 D .E2 =c; kE2 /. Die Viererimpulse schließen im Laborsystem
S mit der 3-Achse die Winkel 1 bzw. 2 ein.
kE1
1
1
2
3
kE2
c) Bestimmen Sie den Betrag der Photonimpulse im Ruhesystem. Begründen Sie ohne Rechnung,
weshalb alle weiteren Diskussionen auf die .1; 3/-Ebene beschränkt werden können. Berechnen Sie sodann die Komponenten der Photonenvektoren k1 und k2 in beiden Systemen.
ŒTeilergebnis: jkE j D jkE j D 1 m c 
(6 Punkte)
1
2
2
d) Berechnen Sie im Laborsystem tan 1 und tan 2 .
(2 Punkte)
x2
3. Relativistische Geschwindigkeit
Betrachten Sie zwei Systeme S und S0 . Das System S0 bewegt sich
relativ zu S mit der Geschwindigkeit jv 1 j D 0; 6c. Die räumlichen
Koordinatenachsen der beiden Systeme seien gleich orientiert. Im System S wird zum Zeitpunkt t D 0 ein Photon emittiert. Die Bewegung
des Photons verlaufe in der x 1 -x 2 -Ebene. Zwischen der Bewegungsrichtung des Photons, und der 1-Achse mißt man im System S den
Winkel # D 3 .
uE #
x1
Bestimmen Sie den Winkel # 0 den ein im System S0 ruhender Beobachter messen würde.
p
4
3
(4 Punkte)
ŒTeilergebnis: tan # 0 D 11
2