8. ¨Ubungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16: Mechanik

8. Übungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16:
Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie
Relativitätstheorie II: Gleichzeitigkeit, Signalübertragung &
Raumzeitdiagramme
Aufgabe 22
Mesonen-Bündel, Zeitdilatation, Längenkontraktion
a) Aus einer Hochenergie-Maschine kommt ein Bündel von π-Mesonen. Die Intensität sei in 37 m
Entfernung von dem Erzeugungsort auf die Hälfte gefallen. Nehmen Sie an, dass alle Mesonen eine
Geschwindigkeit von 0.99c hatten. Die Halbwertszeit von ruhenden π-Mesonen ist 1.78 × 10−8 s.
Prüfen Sie den Abstand von 37 m mit Hilfe der anderen Daten und
(a) der Zeitdilatation
(b) der Lorentz-Kontraktion.
b) Zeitdilatation und Lorentzkontraktion sind reziproke Effekte. Fertigen Sie jeweils ein RaumzeitDiagramm (x, t) an, dass die Effekte der Zeitdilatation und Lorentzkontraktion aus beiden Perspektiven zweier relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung bewegten Beobachter
beschreibt.
c) Betrachten Sie zwei Elektronen-Positronen Paare. Beide Paare annihilieren in den Ereignissen A und
B und zerstahlen in ein Paar Photonen. Die Ereignisse A, B liegen auf der x-Achse des Ruhesystems
der Elektronen in gleicher Entfernung zum Ursprung. Untersuchen Sie wie zwei Beobachter, die sich
jeweils im Ursprung des Ruhesystems der Elektronen bzw. Positronen befinden die Lichtblitze der
beiden Annihilationsereignisse wahrnehmen. Fertigen Sie dazu ein Raumzeit-Diagramm an, welches
klar zeigt, dass die beiden Beobachter die Zeitpunkte der Annihilation der beiden e+ -e− -Paare
verschieden wahrnehmen. Machen Sie sich anhand dieses Beispiels noch einmal die Relativität der
Gleichzeitigkeit klar.
Aufgabe 23
Garagen-Paradoxon
Betrachten Sie ein Auto der Länge 4m (gemessen im Ruhesystem I 0 des Autos mit Koordinaten (x0 , t0 ))
und eine Garage der Länge 3.5m (gemessen Im Ruhesystem der Garage I mit Koordinaten (x, t)).
a) Das Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von v = c/2 gerade durch die Garage (die Garagentore
an Vorder- und Rückseite sind als offen angenommen).
Welche Länge hat die Garage gemessen im Ruhesystem des Autos und welche Länge hat das Auto
gemessen im Ruhesystem der Garage? Benutzen Sie die Formel für die Lorentz-Kontraktion.
b) Zeichnen sie jeweils die vier Weltlinien der Vorder- und Hinterseite des Autos sowie der beiden Tore
an Vorder- und Rückseite der Garage – sowohl in einem (x, t) als auch in einem (x0 , t0 ) RaumzeitDiagramm. Nutzen Sie die beiden Diagramme um - sowohl im Ruhesystem des Autos als auch im
Ruhesystem der Garage - zu prüfen, ob das Auto zu irgendeinem Moment jemals vollständig in die
Garage passte.
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c) Entscheiden Sie auf Grundlage der Resultate aus dem vorigen Aufgabenteil, ob die folgende Aussage
dem Relativitätsprinzip widerspricht. Aussage:“ Ob das Auto in die Garage passt oder nicht ist
abhänig von der Wahl des Bezugssystems”. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Aufgabe 23
Signalübertragung mit einem Raumschiff
Betrachten Sie im folgenden die beiden Inertialsysteme S und S 0 . Ein Beobachter auf der Erde ruhe im
Ursprung des Inertialsystems S und ein Raumschiff R1 ruhe im Ursprung des Inertialsystems S 0 . Das
Raumschiff R1 bewege sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit v = 0.8 c in x-Richtung von der
Erde weg. Wenn das Raumschiff, im Erdbezugssystem S gemessen, eine Distanz xR1 = 6 × 108 km von
der Erde hat, sende der Beobachter auf der Erde ein Radiosignal zum Raumschiff aus.
Hinweis: Nutzen Sie c = 3 × 108 m/s, wenn Sie numerische Werte ausrechnen.
a) Wie lange wird es dauern bis das Signal das Raumschiff erreicht, gemessen im Ruhesystem des Beobachters auf der Erde?
Hinweis: Es ist immer hilfreich ein Raumzeit-Diagramm anzufertigen, um den Zusammenhang verschiedener Ereignisse besser zu verstehen.
b) Bestimmen Sie den Ort des Raumschiffs zu dem Zeitpunkt an dem das Signal eintrifft, gemessen im
Ruhesystem des Beobachters auf der Erde.
c) Wie lange wird es dauern bis das Signal das Raumschiff erreicht, gemessen im Ruhesystem des
Raumschiffs?
d) Bestimmen Sie den Ort des Raumschiffs zu dem Zeitpunkt an dem das Signal eintrifft, gemessen im
Ruhesystem des Raumschiffs.
e) Betrachten Sie nun ein drittes Inertialsystem S̃, in welchem ein weiteres Raumschiff R2 ruhe. Das
Raumschiff sei mit einem Sender und einem Empfänger ausgerüstet und bewege sich mit geradlinig
konstanter Geschwindigkeit vr in x-Richtung von der Erde weg. Das Raumschiff sende ein Radiosignal zur Erde, welches dort reflektiert wird. Das Raumschiff empfängt das reflektierte Signal mit
einer Frequenz, die nur noch halb so groß ist, wie die ursprünglich ausgesandte. Wir groß ist die
Geschwindigkeit des Raumschiffs R2 relativ zur Erde?
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