Schwerpunktfach Physik und Angewandte Mathematik

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MATURAPRÜFUNG SPAM
Anwendungen der Mathematik
1. Aufgabe. Punkte: 10 (2+2+1+3+2)
Ein Teilchen der Masse m hat nach der Speziellen Relativitätstheorie die Gesamtenergie
E=mc 2 .
Ist m0 die Ruhemasse, dann hat es insbesondere die Ruheenergie E 0 =m0 c 2 .
v
Die Masse m hängt von der Geschwindigkeit v des Teilchens ab. Mit β= , d.h. mit der
c
Geschwindigkeit gemessen in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit c , gilt
m(β)=
m0
√1 −β
−1
=m0 ( 1−β2 ) 2
2
Unter der relativistischen kinetischen Energie versteht man nun die Differenz
E kin
−1
2 2
=E − E =m(β)⋅c − m c =m c ( ( 1−β )
2
0
2
0
2
0
)
−1 .
Dieser Wert soll in Abhängigkeit von β untersucht werden. Entscheidend ist dabei das Ver−1
1
halten der Funktion
f (x )=
=( 1+x ) 2 .
1+x
√
1
3 2
a) Weisen Sie nach, dass f (x )=1− x + x ±… die Taylor-Approximation zweiter Ord2
8
nung von f darstellt, und geben Sie den Konvergenzradius der Taylor-Reihe an.
b) Approximieren Sie damit m(β) bis vierter Ordnung bezüglich β .
Weisen Sie nach, dass diese Approximation tatsächlich im Rahmen des Konvergenzradiusses der betrachteten Reihe bleibt.
c) Approximieren Sie E kin mithilfe der Teilaufgabe b).
Im folgenden geht es darum, den Approximationsfehler mithilfe des Lagrange'schen Restglieds abzuschätzen.
−1
1
=( 1+x ) 2 an.
1+x
√
Erklären Sie die Bedeutung der darin vorkommenden zusätzlichen Variable.
d) Geben Sie das Lagrange'sche Restglied R 2 (x ) zur Funktion f (x )=
e) In der Approximation aus Teilaufgabe b) kommen mit x =−β2 negative Werte in Be−5 x 3
tracht. – Weisen Sie nach, dass für −1< x <0 gilt R 2 (x )≤
.
16 (1+ x )3.5
KS Zofingen, Maturaprüfung SPAM, Anwendungen der Mathematik
2
2. Aufgabe. Punkte: 15 (3+1+2+2+2+2+3)
deren vertikale Komponente von der Form F v =a cos(ω1 t ) ist (mit variabler Frequenz ω1 ).
Die horizontale Komponente wird hier nicht weiter betrachtet, d.h. das System wird eindimensional betrachtet.
Verwenden Sie folgende Angaben und Bezeichnungen:
•
Masse des Motorblocks m=500 kg , Masse der Stahlplatte m P=100 kg
•
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Federhärte k=2.5⋅10
•
Anregende Kraft F v =a cos(ω1 t ) mit Kraftspitze a=7000 N
•
Die Bewegung des Motorblocks, d.h. die vertikale Auslenkung x =x (t ) , wird aus der
Gleichgewichtslage gemessen.
•
Die Dämpfung ist proportional zur Geschwindigkeit ẋ (t ) .
N
m
a) Weisen Sie nach, dass die Bewegung des Motorblocks der Differentialgleichung
ẍ (t )+ 2δ ẋ (t )+5000 x (t )=14 cos(ω 1 t )
gehorcht, wobei der Faktor 2 δ die (unbekannte) Stärke der Dämpfung angibt.
b) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz ω0 der Bewegung des Motorblocks.
c) Bestimmen Sie δ0 , sodass für δ>δ 0 starke Dämpfung auftritt.
Gehen Sie in der Folge von δ>δ 0 , d.h. von starker Dämpfung aus (mit weiterhin unbestimmtem δ ).
d) Bestimmen Sie die Funktion x (t ) als allgemeine Lösung der obigen Differentialgleichung.
e) Nach einer Einschwingphase kann ein Teil dieser Lösung vernachlässigt werden. – Weisen Sie nach, dass dieser Teil tatsächlich gegen Null strebt.
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Im eingeschwungenen Zustand wird die Bewegung beschrieben durch
A
~
x (t )=
cos (ω1 t + γ)
2
22
2 2
(ω 0−ω1 ) + 4 δ ω1
γ
mit Phasenverschiebung , welche hier keine Rolle spielt.
x¨ (t ) .
f) Bestimmen Sie die Beschleunigungsfunktion ~
√
x¨ (t )≥( m+m P )⋅g bezogen auf die KraftspitDie Maschine kommt ins Gleiten, wenn gilt m⋅~
m
ze von ~
x (t ) (mit g =9.81 2 ).
s
Verwenden Sie δ=δ0 für die weitere Betrachtung. – Sollten Sie keinen Wert für δ0 beN⋅s
stimmt haben, verwenden Sie δ=75
.
m
g) Bestimmen Sie den kleinsten Wert von ω1 , welcher obige Ungleichung erfüllt.
3. Aufgabe. Punkte: 12 (5+7)
[
]
Die Matrix A= 9 4 definiert eine lineare Selbstabbildung a des ℝ2 bezüglich der
−1 5
Standardbasis.
a) Weisen Sie nach, dass a genau einen Eigenwert hat, und dass dessen Eigenraum eindimensional ist.
Sollten Sie Eigenwert λ oder Eigenraum in Teilaufgabe a) nicht bestimmt haben, verwen−4
den Sie λ=−7 mit Eigenraum erzeugt durch den Vektor
.
2
[ ]
b) Stellen Sie a als Produkt von elementaren Selbstabbildungen des ℝ2 (Streckung, Spiegelung, Scherung) in Standardkoordinaten dar.
4. Aufgabe. Punkte: 10 (1+2.5+1.5+2+3)
[
]
3
8 −73 9
58
Betrachten Sie die Matrix B= 1
4 −35 3
30 .
−1 −7 59 −3 −54
(Zum Vergleich: Die letzte Zeile von cumSum ( B) lautet [ 3,5,−49,9,34 ] .)
a) Geben Sie die Dimensionen des Urbild- sowie des Bildraums von B an.
b) Bestimmen Sie mittels des Gauss-Algorithmus eine Matrix T B , sodass
[
]
1 0 −3 3 −2
T B⋅B= 0 1 −8 0 8 .
0 0 0 0 0
c) Begründen Sie stichwortartig, weshalb der Gauss-Algorithmus in Teilaufgabe b eine invertierbare Matrix T B produziert.
d) Geben Sie dim (ker(B )) und rang (B ) an.
e) Bestimmen Sie ker (B ) unter Verwendung von T B⋅B .
KS Zofingen, Maturaprüfung SPAM, Anwendungen der Mathematik
Aufgaben SPAM Matur 2015; Teil Physik
1) Rollende Körper [12 Punkte]
Sie lassen eine Kugel und eine kurze (zylinderförmige) Stange eine 1.00 m lange, geneigte Ebene
hinabrollen. Die Ebene ist um 30.0° gegenüber der Horizontalen geneigt. Die Rollreibung können
Sie vernachlässigen. Beide Körper sind homogen und haben je eine Masse von 500 g, der
Durchmesser beträgt bei beiden 5.00 cm. Die Körper starten beide aus der Ruhe.
a) Stellen Sie für die beschriebene Anordnung den Energiesatz als allgemeine Gleichung für
beide Körper auf. [2 Punkte]
b) Beschreiben Sie formal den Zusammenhang zwischen Translations-, Bahn- und
Winkelgeschwindigkeit. [2 Punkte]
c) Bestimmen Sie die Translationsgeschwindigkeit der beiden Körper am Ende der schiefen
Ebene. [7 Punkte]
d) Erklären Sie in wenigen Worten, weshalb/inwiefern Reibung für die Rollbewegung
erforderlich ist. [1 Punkt]
2) Satellit [12 Punkte]
Ein Satellit mit einer Masse von 1000 kg umrundet die Erde auf einer Ellipsenbahn. Sein Abstand
zur Erdoberfläche beträgt im erdnächsten Punkt 800 km, im erdfernsten Punkt 900 km.
a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Kepler’schen Gesetze das Verhältnis der beiden
Bahngeschwindigkeiten an diesen Stellen. [3 Punkte]
Im Folgenden können Sie als Näherung die Umlaufbahn durch einen Kreis mit Radius der grossen
Halbachse der Ellipse annähern.
b) Berechnen Sie für diese kreisförmige Umlaufbahn
b1) die Bahngeschwindigkeit und
b2) die kinetische Energie des Satelliten. [7 Punkte]
c) Berechnen Sie die potenzielle Energie, welche dem Satelliten zugeführt werden muss, um ihn
im radialen Gravitationsfeld der Erde auf die kreisförmige Umlaufbahn zu bringen. [2 Punkte]
3) Raumschiff Utopia [12 Punkte]
Das Raumschiff Utopia befindet sich auf dem Flug von der Erde weg. Es bewegt sich mit der
Geschwindigkeit 0.80 c aus Sicht eines Beobachters auf der Erde. Im Raumschiff befinden sich
Quecksilberatome (197Hg), welche sich auf der Erde mit einer Halbwertszeit von 64 h in
Goldatome umwandeln.
a) Nach welcher Flugstrecke wäre, nach klassischer Rechnung, bereits die Hälfte der
Quecksilberatome umgewandelt? [3 Punkte]
b) Nach welcher Zeit wäre im bewegten Raumschiff, relativistisch gerechnet und von der Erde
aus gesehen, die Hälfte der Quecksilberatome umgewandelt? [3 Punkte]
c) Welche Flugstrecke hat das Raumschiff bis die Hälfte der Quecksilberatome umgewandelt
sind, relativistisch gerechnet und von der Erde aus gesehen, zurückgelegt? [3 Punkte]
d) Ein zweites Raumschiff fliegt Utopia mit der gleichen Geschwindigkeit, bezogen auf die Erde,
entgegen. Welche Geschwindigkeiten messen die Raumfahrer (ausgedrückt durch die
Lichtgeschwindigkeit) für das jeweils andere Raumschiff? [3 Punkte]
4) Spaltabstand beim Doppelspalt [11 Punkte]
Sie sollen mit einem roten He-Ne-Laserpointer den Spaltabstand eines optischen Gitters
bestimmen. Dazu stellen Sie das optische Gitter im Abstand von 3.0 m so vor einen Schirm, dass
der Laserstrahl durch das Gitter hindurchgeht und Gitterebene und Schirm senkrecht zum
Laserstrahl stehen. Auf dem Schirm beobachten Sie eine symmetrische Abfolge roter Punkte. Der
Abstand zwischen den beiden Punkten links und rechts von der Symmetrieebene beträgt
zueinander 3.6 cm. Sie können das Gitter im Weiteren als Doppelspalt behandeln.
a) Erklären Sie das Phänomen mit wenigen Sätzen für einen Doppelspalt. [3 Punkte]
b) Berechnen Sie den Spaltabstand mit Herleitung durch eine Skizze. [4 Punkte]
c) Berechnen Sie den Abstand der beiden jeweils 3. Lücken (von der Symmetrieebene aus
gezählt) zueinander. [4 Punkte]