Klausur Experimentalphysik III WiSe 2008/2009 Datum: 13. Februar

Klausur Experimentalphysik III
Relativitätstheorie und Quantenmechanik
WiSe 2008/2009
Datum: 13. Februar 2009
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Diese Klausur besteht aus 2 Seiten.
1. Zeitentwicklung
Der Hamiltonoperator Ĥ hat 2 Eigenfunktionen |0i, |1i mit zugehörigen Eigenwerten E0 , E1 mit
E0 < E1 . Es werden zwei Observablen  und B̂ betrachtet, welche in der Eigenbasis von Ĥ
lauten:
0 0
 =
0 1
1
B̂ =
2
1 1
1 1
iE0 t
~
a) Der Zustand zum Zeitpunkt t ist gegeben durch |Ψ, ti = αe−
Sie, dass |Ψ, ti Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
i~
|0i + βe−
iE1 t
~
|1i. Zeigen
∂
|Ψ, ti = Ĥ|Ψ, ti
∂t
ist.
b) Das System sei zur Zeit t = 0 im Zustand |Ψ, 0i = √12 (|0i + |1i). Nach welcher Zeit
t2π befindet sich das System, bis auf einen globalen Phasenfaktor, erstmalig wieder im
selben Zustand? Nach welcher Zeit tπ befindet sich das System, bis auf einen globalen
Phasenfaktor, erstmalig im Zustand √12 (|0i − |1i)?
c)Was sind die möglichen Messergebnisse bei Messung der Observablen Â? Was sind die
möglichen Messergebnisse bei Messung der Observablen B̂? Kommutieren die Operatoren
 und B̂?
d) Das System befindet sich nun im Zustand |Ψ, ti mit den Koeffizienten α = 0 und β = 1.
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten p0 bzw. p1 erhält man bei Messung von  den Wert 0
bzw. 1? Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators Â.
e) Das System befindet sich nun im Zustand |Ψ, ti mit den Koeffizienten α = β = √12 . Mit
welchen Wahrscheinlichkeiten p0 bzw. p1 erhält man nun bei Messung von  den Wert 0
bzw. 1? Berechnen Sie den Erwartungswert des Operators Â.
f ) Das System befindet sich zur Zeit t = 0 im Zustand |Ψ, 0i mit den Koeffizienten α = β =
√1 . Zu einer beliebigen Zeit t > 0 wird  gemessen mit dem Ergebnis 0. Etwas später wird
2
dann B̂ gemessen. Welche Messwerte werden mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten?
! BITTE WENDEN !
2. Wellenfunktion und Zustand
Was ist der Unterschied bzw. der Zusammenhang zwischen der quantenmechanischen Wellenfunktion Ψ(~r, t) und dem quantenmechanischen Zustand |Ψ, ti?
3. Klassisch ↔ Quantenmechanisch
Angabe: ~ ≈ 10−34 Js.
a) Ein Elektron der Masse me ≈ 10−30 kg befindet sich in einem Kochtopf mit Durchmesser
10 cm. Schätzen Sie den Energieabstand der niedrigsten beiden Energiezustände ab (nur
Größenordnung). Sehen Sie dazu den Topf als eindimensionalen unendlich hohen Potentialtopf an.
b) Ein Elektron (wieder mit Masse me ) befindet sich diesmal in einem sogenannten Quantenpunkt mit Durchmesser 10 nm. Was ist jetzt die Größenordnung des Abstands der
niedrigsten beiden Energiezustände? Der Quantenpunkt kann wieder als eindimensionaler
unendlich hoher Potentialtopf betrachtet werden.
c) Das Elektron habe nun eine Energie von Ee = 8 · 10−21 J. In welcher Situation a) oder
b) wird das Elektron besser durch die klassische Physik beschrieben? Begründung?
4. Vierervektoren
a) Wie lässt sich die Energie- und Impulserhaltung mit Hilfe des Impuls-Vierervektors
formulieren?
b) Die Lorentztransformation L ist gegeben durch x01 = γ(x1 − U t), x02 = x2 , x03 = x3 ,
t0 = γ(t − cU2 x1 ). Zeigen Sie, dass die ”Länge” des Orts-Vierervektors invariant ist unter L.
Was bedeutet diese ”Länge”, was bedeutet sie nicht?
c) Die Geschwindigkeit im System K ist definiert durch vi =
tische Additionstheorem für die vi her.
dxi
dt .
Leiten Sie das relativis-
5. Minkowski-Diagramm
Ein Beobachter ist im System K in Ruhe. Er sieht zum Zeitpunkt t = 0 ein Raumschiff mit
Geschwindigkeit vR in x-Richtung an der Stelle x = 0 vorbeifliegen. Gleichzeitig (im System
K) wird an der Stelle x = −xL ein Laserpuls erzeugt, der sich in derselben Flugrichtung wie
das Raumschiff fortbewegt. Zum Zeitpunkt t = t0 im System K trifft der Laserpuls auf das
Raumschiff.
a) Zeichnen Sie das Szenario in Form eines Minkowski-Diagramms.
b) Ein Astronaut im Raumschiff stoppt die Zeit, die vom Durchfliegen des Ursprungs bis
zum Eintreffen des Laserpulses vergeht. Welche Zeit tR misst er? Ist diese Zeit länger,
kürzer oder gleich lang wie die Zeit t0 , die der Beobachter misst? Begründung?